Theorem swrdccat2 14619

Description: Recover the right half of a concatenated word. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
swrdccat2	⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → ((𝑆 ++ 𝑇) substr ⟨(♯‘𝑆), ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))⟩) = 𝑇)

Proof of Theorem swrdccat2

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ccatcl 14524	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → (𝑆 ++ 𝑇) ∈ Word 𝐵)
2		swrdcl 14595	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ++ 𝑇) ∈ Word 𝐵 → ((𝑆 ++ 𝑇) substr ⟨(♯‘𝑆), ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))⟩) ∈ Word 𝐵)
3		wrdfn 14478	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ++ 𝑇) substr ⟨(♯‘𝑆), ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))⟩) ∈ Word 𝐵 → ((𝑆 ++ 𝑇) substr ⟨(♯‘𝑆), ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))⟩) Fn (0..^(♯‘((𝑆 ++ 𝑇) substr ⟨(♯‘𝑆), ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))⟩))))
4	1, 2, 3	3syl 18	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → ((𝑆 ++ 𝑇) substr ⟨(♯‘𝑆), ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))⟩) Fn (0..^(♯‘((𝑆 ++ 𝑇) substr ⟨(♯‘𝑆), ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))⟩))))
5		lencl 14483	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐵 → (♯‘𝑆) ∈ ℕ0)
6		nn0uz 12864	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
7	5, 6	eleqtrdi 2844	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐵 → (♯‘𝑆) ∈ (ℤ≥‘0))
8	7	adantr 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → (♯‘𝑆) ∈ (ℤ≥‘0))
9	5	nn0zd 12584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐵 → (♯‘𝑆) ∈ ℤ)
10	9	uzidd 12838	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐵 → (♯‘𝑆) ∈ (ℤ≥‘(♯‘𝑆)))
11		lencl 14483	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑇 ∈ Word 𝐵 → (♯‘𝑇) ∈ ℕ0)
12		uzaddcl 12888	. . . . . . . . 9 ⊢ (((♯‘𝑆) ∈ (ℤ≥‘(♯‘𝑆)) ∧ (♯‘𝑇) ∈ ℕ0) → ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) ∈ (ℤ≥‘(♯‘𝑆)))
13	10, 11, 12	syl2an 597	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) ∈ (ℤ≥‘(♯‘𝑆)))
14		elfzuzb 13495	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝑆) ∈ (0...((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) ↔ ((♯‘𝑆) ∈ (ℤ≥‘0) ∧ ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) ∈ (ℤ≥‘(♯‘𝑆))))
15	8, 13, 14	sylanbrc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → (♯‘𝑆) ∈ (0...((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))))
16		nn0addcl 12507	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((♯‘𝑆) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑇) ∈ ℕ0) → ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) ∈ ℕ0)
17	5, 11, 16	syl2an 597	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) ∈ ℕ0)
18	17, 6	eleqtrdi 2844	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) ∈ (ℤ≥‘0))
19	17	nn0zd 12584	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) ∈ ℤ)
20	19	uzidd 12838	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) ∈ (ℤ≥‘((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))))
21		elfzuzb 13495	. . . . . . . . 9 ⊢ (((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) ∈ (0...((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) ↔ (((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) ∈ (ℤ≥‘0) ∧ ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) ∈ (ℤ≥‘((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))))
22	18, 20, 21	sylanbrc 584	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) ∈ (0...((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))))
23		ccatlen 14525	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → (♯‘(𝑆 ++ 𝑇)) = ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))
24	23	oveq2d 7425	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → (0...(♯‘(𝑆 ++ 𝑇))) = (0...((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))))
25	22, 24	eleqtrrd 2837	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) ∈ (0...(♯‘(𝑆 ++ 𝑇))))
26		swrdlen 14597	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ++ 𝑇) ∈ Word 𝐵 ∧ (♯‘𝑆) ∈ (0...((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) ∧ ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) ∈ (0...(♯‘(𝑆 ++ 𝑇)))) → (♯‘((𝑆 ++ 𝑇) substr ⟨(♯‘𝑆), ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))⟩)) = (((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) − (♯‘𝑆)))
27	1, 15, 25, 26	syl3anc 1372	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → (♯‘((𝑆 ++ 𝑇) substr ⟨(♯‘𝑆), ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))⟩)) = (((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) − (♯‘𝑆)))
28	5	nn0cnd 12534	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐵 → (♯‘𝑆) ∈ ℂ)
29	11	nn0cnd 12534	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇 ∈ Word 𝐵 → (♯‘𝑇) ∈ ℂ)
30		pncan2 11467	. . . . . . 7 ⊢ (((♯‘𝑆) ∈ ℂ ∧ (♯‘𝑇) ∈ ℂ) → (((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) − (♯‘𝑆)) = (♯‘𝑇))
31	28, 29, 30	syl2an 597	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → (((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) − (♯‘𝑆)) = (♯‘𝑇))
32	27, 31	eqtrd 2773	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → (♯‘((𝑆 ++ 𝑇) substr ⟨(♯‘𝑆), ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))⟩)) = (♯‘𝑇))
33	32	oveq2d 7425	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → (0..^(♯‘((𝑆 ++ 𝑇) substr ⟨(♯‘𝑆), ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))⟩))) = (0..^(♯‘𝑇)))
34	33	fneq2d 6644	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → (((𝑆 ++ 𝑇) substr ⟨(♯‘𝑆), ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))⟩) Fn (0..^(♯‘((𝑆 ++ 𝑇) substr ⟨(♯‘𝑆), ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))⟩))) ↔ ((𝑆 ++ 𝑇) substr ⟨(♯‘𝑆), ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))⟩) Fn (0..^(♯‘𝑇))))
35	4, 34	mpbid 231	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → ((𝑆 ++ 𝑇) substr ⟨(♯‘𝑆), ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))⟩) Fn (0..^(♯‘𝑇)))
36		wrdfn 14478	. . 3 ⊢ (𝑇 ∈ Word 𝐵 → 𝑇 Fn (0..^(♯‘𝑇)))
37	36	adantl 483	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → 𝑇 Fn (0..^(♯‘𝑇)))
38	1, 15, 25	3jca 1129	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → ((𝑆 ++ 𝑇) ∈ Word 𝐵 ∧ (♯‘𝑆) ∈ (0...((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) ∧ ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) ∈ (0...(♯‘(𝑆 ++ 𝑇)))))
39	31	oveq2d 7425	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → (0..^(((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) − (♯‘𝑆))) = (0..^(♯‘𝑇)))
40	39	eleq2d 2820	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → (𝑘 ∈ (0..^(((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) − (♯‘𝑆))) ↔ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝑇))))
41	40	biimpar 479	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝑇))) → 𝑘 ∈ (0..^(((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) − (♯‘𝑆))))
42		swrdfv 14598	. . . 4 ⊢ ((((𝑆 ++ 𝑇) ∈ Word 𝐵 ∧ (♯‘𝑆) ∈ (0...((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) ∧ ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) ∈ (0...(♯‘(𝑆 ++ 𝑇)))) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) − (♯‘𝑆)))) → (((𝑆 ++ 𝑇) substr ⟨(♯‘𝑆), ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))⟩)‘𝑘) = ((𝑆 ++ 𝑇)‘(𝑘 + (♯‘𝑆))))
43	38, 41, 42	syl2an2r 684	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝑇))) → (((𝑆 ++ 𝑇) substr ⟨(♯‘𝑆), ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))⟩)‘𝑘) = ((𝑆 ++ 𝑇)‘(𝑘 + (♯‘𝑆))))
44		ccatval3 14529	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝑇))) → ((𝑆 ++ 𝑇)‘(𝑘 + (♯‘𝑆))) = (𝑇‘𝑘))
45	44	3expa 1119	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝑇))) → ((𝑆 ++ 𝑇)‘(𝑘 + (♯‘𝑆))) = (𝑇‘𝑘))
46	43, 45	eqtrd 2773	. 2 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝑇))) → (((𝑆 ++ 𝑇) substr ⟨(♯‘𝑆), ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))⟩)‘𝑘) = (𝑇‘𝑘))
47	35, 37, 46	eqfnfvd 7036	1 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → ((𝑆 ++ 𝑇) substr ⟨(♯‘𝑆), ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))⟩) = 𝑇)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  ⟨cop 4635   Fn wfn 6539  ‘cfv 6544  (class class class)co 7409  ℂcc 11108  0cc0 11110   + caddc 11113   − cmin 11444  ℕ₀cn0 12472  ℤ_≥cuz 12822  ...cfz 13484  ..^cfzo 13627  ♯chash 14290  Word cword 14464   ++ cconcat 14520   substr csubstr 14590

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-hash 14291  df-word 14465  df-concat 14521  df-substr 14591

This theorem is referenced by:  ccatopth  14666