Theorem swrdccat2 14621

Description: Recover the right half of a concatenated word. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
swrdccat2	⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → ((𝑆 ++ 𝑇) substr ⟨(♯‘𝑆), ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))⟩) = 𝑇)

Proof of Theorem swrdccat2

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ccatcl 14526	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → (𝑆 ++ 𝑇) ∈ Word 𝐵)
2		swrdcl 14597	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ++ 𝑇) ∈ Word 𝐵 → ((𝑆 ++ 𝑇) substr ⟨(♯‘𝑆), ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))⟩) ∈ Word 𝐵)
3		wrdfn 14480	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ++ 𝑇) substr ⟨(♯‘𝑆), ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))⟩) ∈ Word 𝐵 → ((𝑆 ++ 𝑇) substr ⟨(♯‘𝑆), ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))⟩) Fn (0..^(♯‘((𝑆 ++ 𝑇) substr ⟨(♯‘𝑆), ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))⟩))))
4	1, 2, 3	3syl 18	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → ((𝑆 ++ 𝑇) substr ⟨(♯‘𝑆), ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))⟩) Fn (0..^(♯‘((𝑆 ++ 𝑇) substr ⟨(♯‘𝑆), ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))⟩))))
5		lencl 14485	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐵 → (♯‘𝑆) ∈ ℕ0)
6		nn0uz 12866	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
7	5, 6	eleqtrdi 2843	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐵 → (♯‘𝑆) ∈ (ℤ≥‘0))
8	7	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → (♯‘𝑆) ∈ (ℤ≥‘0))
9	5	nn0zd 12586	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐵 → (♯‘𝑆) ∈ ℤ)
10	9	uzidd 12840	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐵 → (♯‘𝑆) ∈ (ℤ≥‘(♯‘𝑆)))
11		lencl 14485	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑇 ∈ Word 𝐵 → (♯‘𝑇) ∈ ℕ0)
12		uzaddcl 12890	. . . . . . . . 9 ⊢ (((♯‘𝑆) ∈ (ℤ≥‘(♯‘𝑆)) ∧ (♯‘𝑇) ∈ ℕ0) → ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) ∈ (ℤ≥‘(♯‘𝑆)))
13	10, 11, 12	syl2an 596	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) ∈ (ℤ≥‘(♯‘𝑆)))
14		elfzuzb 13497	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝑆) ∈ (0...((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) ↔ ((♯‘𝑆) ∈ (ℤ≥‘0) ∧ ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) ∈ (ℤ≥‘(♯‘𝑆))))
15	8, 13, 14	sylanbrc 583	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → (♯‘𝑆) ∈ (0...((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))))
16		nn0addcl 12509	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((♯‘𝑆) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑇) ∈ ℕ0) → ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) ∈ ℕ0)
17	5, 11, 16	syl2an 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) ∈ ℕ0)
18	17, 6	eleqtrdi 2843	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) ∈ (ℤ≥‘0))
19	17	nn0zd 12586	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) ∈ ℤ)
20	19	uzidd 12840	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) ∈ (ℤ≥‘((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))))
21		elfzuzb 13497	. . . . . . . . 9 ⊢ (((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) ∈ (0...((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) ↔ (((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) ∈ (ℤ≥‘0) ∧ ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) ∈ (ℤ≥‘((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))))
22	18, 20, 21	sylanbrc 583	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) ∈ (0...((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))))
23		ccatlen 14527	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → (♯‘(𝑆 ++ 𝑇)) = ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))
24	23	oveq2d 7427	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → (0...(♯‘(𝑆 ++ 𝑇))) = (0...((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))))
25	22, 24	eleqtrrd 2836	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) ∈ (0...(♯‘(𝑆 ++ 𝑇))))
26		swrdlen 14599	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ++ 𝑇) ∈ Word 𝐵 ∧ (♯‘𝑆) ∈ (0...((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) ∧ ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) ∈ (0...(♯‘(𝑆 ++ 𝑇)))) → (♯‘((𝑆 ++ 𝑇) substr ⟨(♯‘𝑆), ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))⟩)) = (((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) − (♯‘𝑆)))
27	1, 15, 25, 26	syl3anc 1371	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → (♯‘((𝑆 ++ 𝑇) substr ⟨(♯‘𝑆), ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))⟩)) = (((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) − (♯‘𝑆)))
28	5	nn0cnd 12536	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐵 → (♯‘𝑆) ∈ ℂ)
29	11	nn0cnd 12536	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇 ∈ Word 𝐵 → (♯‘𝑇) ∈ ℂ)
30		pncan2 11469	. . . . . . 7 ⊢ (((♯‘𝑆) ∈ ℂ ∧ (♯‘𝑇) ∈ ℂ) → (((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) − (♯‘𝑆)) = (♯‘𝑇))
31	28, 29, 30	syl2an 596	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → (((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) − (♯‘𝑆)) = (♯‘𝑇))
32	27, 31	eqtrd 2772	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → (♯‘((𝑆 ++ 𝑇) substr ⟨(♯‘𝑆), ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))⟩)) = (♯‘𝑇))
33	32	oveq2d 7427	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → (0..^(♯‘((𝑆 ++ 𝑇) substr ⟨(♯‘𝑆), ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))⟩))) = (0..^(♯‘𝑇)))
34	33	fneq2d 6643	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → (((𝑆 ++ 𝑇) substr ⟨(♯‘𝑆), ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))⟩) Fn (0..^(♯‘((𝑆 ++ 𝑇) substr ⟨(♯‘𝑆), ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))⟩))) ↔ ((𝑆 ++ 𝑇) substr ⟨(♯‘𝑆), ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))⟩) Fn (0..^(♯‘𝑇))))
35	4, 34	mpbid 231	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → ((𝑆 ++ 𝑇) substr ⟨(♯‘𝑆), ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))⟩) Fn (0..^(♯‘𝑇)))
36		wrdfn 14480	. . 3 ⊢ (𝑇 ∈ Word 𝐵 → 𝑇 Fn (0..^(♯‘𝑇)))
37	36	adantl 482	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → 𝑇 Fn (0..^(♯‘𝑇)))
38	1, 15, 25	3jca 1128	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → ((𝑆 ++ 𝑇) ∈ Word 𝐵 ∧ (♯‘𝑆) ∈ (0...((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) ∧ ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) ∈ (0...(♯‘(𝑆 ++ 𝑇)))))
39	31	oveq2d 7427	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → (0..^(((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) − (♯‘𝑆))) = (0..^(♯‘𝑇)))
40	39	eleq2d 2819	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → (𝑘 ∈ (0..^(((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) − (♯‘𝑆))) ↔ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝑇))))
41	40	biimpar 478	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝑇))) → 𝑘 ∈ (0..^(((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) − (♯‘𝑆))))
42		swrdfv 14600	. . . 4 ⊢ ((((𝑆 ++ 𝑇) ∈ Word 𝐵 ∧ (♯‘𝑆) ∈ (0...((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) ∧ ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) ∈ (0...(♯‘(𝑆 ++ 𝑇)))) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) − (♯‘𝑆)))) → (((𝑆 ++ 𝑇) substr ⟨(♯‘𝑆), ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))⟩)‘𝑘) = ((𝑆 ++ 𝑇)‘(𝑘 + (♯‘𝑆))))
43	38, 41, 42	syl2an2r 683	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝑇))) → (((𝑆 ++ 𝑇) substr ⟨(♯‘𝑆), ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))⟩)‘𝑘) = ((𝑆 ++ 𝑇)‘(𝑘 + (♯‘𝑆))))
44		ccatval3 14531	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝑇))) → ((𝑆 ++ 𝑇)‘(𝑘 + (♯‘𝑆))) = (𝑇‘𝑘))
45	44	3expa 1118	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝑇))) → ((𝑆 ++ 𝑇)‘(𝑘 + (♯‘𝑆))) = (𝑇‘𝑘))
46	43, 45	eqtrd 2772	. 2 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝑇))) → (((𝑆 ++ 𝑇) substr ⟨(♯‘𝑆), ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))⟩)‘𝑘) = (𝑇‘𝑘))
47	35, 37, 46	eqfnfvd 7035	1 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → ((𝑆 ++ 𝑇) substr ⟨(♯‘𝑆), ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))⟩) = 𝑇)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ⟨cop 4634   Fn wfn 6538  ‘cfv 6543  (class class class)co 7411  ℂcc 11110  0cc0 11112   + caddc 11115   − cmin 11446  ℕ₀cn0 12474  ℤ_≥cuz 12824  ...cfz 13486  ..^cfzo 13629  ♯chash 14292  Word cword 14466   ++ cconcat 14522   substr csubstr 14592

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-card 9936  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-nn 12215  df-n0 12475  df-z 12561  df-uz 12825  df-fz 13487  df-fzo 13630  df-hash 14293  df-word 14467  df-concat 14523  df-substr 14593

This theorem is referenced by:  ccatopth  14668