Theorem swrdccat2 14605

Description: Recover the right half of a concatenated word. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
swrdccat2	⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → ((𝑆 ++ 𝑇) substr ⟨(♯‘𝑆), ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))⟩) = 𝑇)

Proof of Theorem swrdccat2

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ccatcl 14509	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → (𝑆 ++ 𝑇) ∈ Word 𝐵)
2		swrdcl 14581	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ++ 𝑇) ∈ Word 𝐵 → ((𝑆 ++ 𝑇) substr ⟨(♯‘𝑆), ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))⟩) ∈ Word 𝐵)
3		wrdfn 14463	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ++ 𝑇) substr ⟨(♯‘𝑆), ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))⟩) ∈ Word 𝐵 → ((𝑆 ++ 𝑇) substr ⟨(♯‘𝑆), ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))⟩) Fn (0..^(♯‘((𝑆 ++ 𝑇) substr ⟨(♯‘𝑆), ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))⟩))))
4	1, 2, 3	3syl 18	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → ((𝑆 ++ 𝑇) substr ⟨(♯‘𝑆), ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))⟩) Fn (0..^(♯‘((𝑆 ++ 𝑇) substr ⟨(♯‘𝑆), ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))⟩))))
5		lencl 14468	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐵 → (♯‘𝑆) ∈ ℕ0)
6		nn0uz 12801	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
7	5, 6	eleqtrdi 2847	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐵 → (♯‘𝑆) ∈ (ℤ≥‘0))
8	7	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → (♯‘𝑆) ∈ (ℤ≥‘0))
9	5	nn0zd 12525	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐵 → (♯‘𝑆) ∈ ℤ)
10	9	uzidd 12779	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐵 → (♯‘𝑆) ∈ (ℤ≥‘(♯‘𝑆)))
11		lencl 14468	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑇 ∈ Word 𝐵 → (♯‘𝑇) ∈ ℕ0)
12		uzaddcl 12829	. . . . . . . . 9 ⊢ (((♯‘𝑆) ∈ (ℤ≥‘(♯‘𝑆)) ∧ (♯‘𝑇) ∈ ℕ0) → ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) ∈ (ℤ≥‘(♯‘𝑆)))
13	10, 11, 12	syl2an 597	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) ∈ (ℤ≥‘(♯‘𝑆)))
14		elfzuzb 13446	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝑆) ∈ (0...((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) ↔ ((♯‘𝑆) ∈ (ℤ≥‘0) ∧ ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) ∈ (ℤ≥‘(♯‘𝑆))))
15	8, 13, 14	sylanbrc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → (♯‘𝑆) ∈ (0...((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))))
16		nn0addcl 12448	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((♯‘𝑆) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑇) ∈ ℕ0) → ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) ∈ ℕ0)
17	5, 11, 16	syl2an 597	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) ∈ ℕ0)
18	17, 6	eleqtrdi 2847	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) ∈ (ℤ≥‘0))
19	17	nn0zd 12525	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) ∈ ℤ)
20	19	uzidd 12779	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) ∈ (ℤ≥‘((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))))
21		elfzuzb 13446	. . . . . . . . 9 ⊢ (((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) ∈ (0...((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) ↔ (((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) ∈ (ℤ≥‘0) ∧ ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) ∈ (ℤ≥‘((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))))
22	18, 20, 21	sylanbrc 584	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) ∈ (0...((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))))
23		ccatlen 14510	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → (♯‘(𝑆 ++ 𝑇)) = ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))
24	23	oveq2d 7384	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → (0...(♯‘(𝑆 ++ 𝑇))) = (0...((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))))
25	22, 24	eleqtrrd 2840	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) ∈ (0...(♯‘(𝑆 ++ 𝑇))))
26		swrdlen 14583	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ++ 𝑇) ∈ Word 𝐵 ∧ (♯‘𝑆) ∈ (0...((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) ∧ ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) ∈ (0...(♯‘(𝑆 ++ 𝑇)))) → (♯‘((𝑆 ++ 𝑇) substr ⟨(♯‘𝑆), ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))⟩)) = (((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) − (♯‘𝑆)))
27	1, 15, 25, 26	syl3anc 1374	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → (♯‘((𝑆 ++ 𝑇) substr ⟨(♯‘𝑆), ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))⟩)) = (((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) − (♯‘𝑆)))
28	5	nn0cnd 12476	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐵 → (♯‘𝑆) ∈ ℂ)
29	11	nn0cnd 12476	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇 ∈ Word 𝐵 → (♯‘𝑇) ∈ ℂ)
30		pncan2 11399	. . . . . . 7 ⊢ (((♯‘𝑆) ∈ ℂ ∧ (♯‘𝑇) ∈ ℂ) → (((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) − (♯‘𝑆)) = (♯‘𝑇))
31	28, 29, 30	syl2an 597	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → (((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) − (♯‘𝑆)) = (♯‘𝑇))
32	27, 31	eqtrd 2772	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → (♯‘((𝑆 ++ 𝑇) substr ⟨(♯‘𝑆), ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))⟩)) = (♯‘𝑇))
33	32	oveq2d 7384	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → (0..^(♯‘((𝑆 ++ 𝑇) substr ⟨(♯‘𝑆), ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))⟩))) = (0..^(♯‘𝑇)))
34	33	fneq2d 6594	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → (((𝑆 ++ 𝑇) substr ⟨(♯‘𝑆), ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))⟩) Fn (0..^(♯‘((𝑆 ++ 𝑇) substr ⟨(♯‘𝑆), ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))⟩))) ↔ ((𝑆 ++ 𝑇) substr ⟨(♯‘𝑆), ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))⟩) Fn (0..^(♯‘𝑇))))
35	4, 34	mpbid 232	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → ((𝑆 ++ 𝑇) substr ⟨(♯‘𝑆), ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))⟩) Fn (0..^(♯‘𝑇)))
36		wrdfn 14463	. . 3 ⊢ (𝑇 ∈ Word 𝐵 → 𝑇 Fn (0..^(♯‘𝑇)))
37	36	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → 𝑇 Fn (0..^(♯‘𝑇)))
38	1, 15, 25	3jca 1129	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → ((𝑆 ++ 𝑇) ∈ Word 𝐵 ∧ (♯‘𝑆) ∈ (0...((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) ∧ ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) ∈ (0...(♯‘(𝑆 ++ 𝑇)))))
39	31	oveq2d 7384	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → (0..^(((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) − (♯‘𝑆))) = (0..^(♯‘𝑇)))
40	39	eleq2d 2823	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → (𝑘 ∈ (0..^(((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) − (♯‘𝑆))) ↔ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝑇))))
41	40	biimpar 477	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝑇))) → 𝑘 ∈ (0..^(((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) − (♯‘𝑆))))
42		swrdfv 14584	. . . 4 ⊢ ((((𝑆 ++ 𝑇) ∈ Word 𝐵 ∧ (♯‘𝑆) ∈ (0...((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) ∧ ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) ∈ (0...(♯‘(𝑆 ++ 𝑇)))) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) − (♯‘𝑆)))) → (((𝑆 ++ 𝑇) substr ⟨(♯‘𝑆), ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))⟩)‘𝑘) = ((𝑆 ++ 𝑇)‘(𝑘 + (♯‘𝑆))))
43	38, 41, 42	syl2an2r 686	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝑇))) → (((𝑆 ++ 𝑇) substr ⟨(♯‘𝑆), ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))⟩)‘𝑘) = ((𝑆 ++ 𝑇)‘(𝑘 + (♯‘𝑆))))
44		ccatval3 14514	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝑇))) → ((𝑆 ++ 𝑇)‘(𝑘 + (♯‘𝑆))) = (𝑇‘𝑘))
45	44	3expa 1119	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝑇))) → ((𝑆 ++ 𝑇)‘(𝑘 + (♯‘𝑆))) = (𝑇‘𝑘))
46	43, 45	eqtrd 2772	. 2 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝑇))) → (((𝑆 ++ 𝑇) substr ⟨(♯‘𝑆), ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))⟩)‘𝑘) = (𝑇‘𝑘))
47	35, 37, 46	eqfnfvd 6988	1 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → ((𝑆 ++ 𝑇) substr ⟨(♯‘𝑆), ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))⟩) = 𝑇)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ⟨cop 4588   Fn wfn 6495  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  ℂcc 11036  0cc0 11038   + caddc 11041   − cmin 11376  ℕ₀cn0 12413  ℤ_≥cuz 12763  ...cfz 13435  ..^cfzo 13582  ♯chash 14265  Word cword 14448   ++ cconcat 14505   substr csubstr 14576

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-card 9863  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-fz 13436  df-fzo 13583  df-hash 14266  df-word 14449  df-concat 14506  df-substr 14577

This theorem is referenced by:  ccatopth  14651  gsumwrd2dccatlem  33170