Theorem aks4d1p1p4 39663

Description: Technical step for inequality. The hard work is in to prove the final hypothesis. (Contributed by metakunt, 19-Aug-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
aks4d1p1p4.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
aks4d1p1p4.2	⊢ 𝐴 = ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑘) − 1))
aks4d1p1p4.3	⊢ 𝐵 = (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5))
aks4d1p1p4.4	⊢ (𝜑 → 3 ≤ 𝑁)
aks4d1p1p4.5	⊢ 𝐶 = (2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1))
aks4d1p1p4.6	⊢ 𝐷 = ((2 logb 𝑁)↑2)
aks4d1p1p4.7	⊢ 𝐸 = ((2 logb 𝑁)↑4)
aks4d1p1p4.8	⊢ (𝜑 → ((2 · 𝐶) + 𝐷) ≤ 𝐸)

Assertion

Ref	Expression
aks4d1p1p4	⊢ (𝜑 → 𝐴 < (2↑𝐵))

Distinct variable groups:   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)   𝐶(𝑘)   𝐷(𝑘)   𝐸(𝑘)

Proof of Theorem aks4d1p1p4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		aks4d1p1p4.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
2	1	nnred 11694	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
3		2re 11753	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℝ
4	3	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
5		2pos 11782	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 < 2
6	5	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 < 2)
7	1	nngt0d 11728	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑁)
8		1red 10685	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
9		1lt2 11850	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 1 < 2
10	9	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 1 < 2)
11	8, 10	ltned 10819	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 1 ≠ 2)
12	11	necomd 3006	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 2 ≠ 1)
13	4, 6, 2, 7, 12	relogbcld 39565	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (2 logb 𝑁) ∈ ℝ)
14		5nn0 11959	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 5 ∈ ℕ0
15	14	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 5 ∈ ℕ0)
16	13, 15	reexpcld 13582	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑5) ∈ ℝ)
17		ceilcl 13266	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((2 logb 𝑁)↑5) ∈ ℝ → (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)) ∈ ℤ)
18	16, 17	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)) ∈ ℤ)
19	18	zred 12131	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)) ∈ ℝ)
20		aks4d1p1p4.3	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐵 = (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5))
21	20	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)))
22	21	eleq1d 2836	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ℝ ↔ (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)) ∈ ℝ))
23	19, 22	mpbird 260	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
24		0red 10687	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
25		7re 11772	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 7 ∈ ℝ
26	25	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 7 ∈ ℝ)
27		7pos 11790	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 < 7
28	27	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 < 7)
29		aks4d1p1p4.4	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 3 ≤ 𝑁)
30	2, 29	3lexlogpow5ineq3 39650	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 7 < ((2 logb 𝑁)↑5))
31	26, 16, 30	ltled 10831	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 7 ≤ ((2 logb 𝑁)↑5))
32		ceilge 13268	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((2 logb 𝑁)↑5) ∈ ℝ → ((2 logb 𝑁)↑5) ≤ (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)))
33	16, 32	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑5) ≤ (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)))
34	33, 21	breqtrrd 5063	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑5) ≤ 𝐵)
35	26, 16, 23, 31, 34	letrd 10840	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 7 ≤ 𝐵)
36	24, 26, 23, 28, 35	ltletrd 10843	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐵)
37	4, 6, 23, 36, 12	relogbcld 39565	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (2 logb 𝐵) ∈ ℝ)
38	37	flcld 13222	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℤ)
39	24, 8	readdcld 10713	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (0 + 1) ∈ ℝ)
40	38	zred 12131	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℝ)
41	40, 8	readdcld 10713	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘(2 logb 𝐵)) + 1) ∈ ℝ)
42	4, 6, 4, 6, 12	relogbcld 39565	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (2 logb 2) ∈ ℝ)
43	8	leidd 11249	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ 1)
44		1cnd 10679	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
45	44	addid2d 10884	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (0 + 1) = 1)
46	4	recnd 10712	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
47	24, 6	gtned 10818	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 2 ≠ 0)
48		logbid1 25458	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0 ∧ 2 ≠ 1) → (2 logb 2) = 1)
49	46, 47, 12, 48	syl3anc 1368	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (2 logb 2) = 1)
50	49	eqcomd 2764	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 1 = (2 logb 2))
51	50	eqcomd 2764	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (2 logb 2) = 1)
52	45, 51	breq12d 5048	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((0 + 1) ≤ (2 logb 2) ↔ 1 ≤ 1))
53	43, 52	mpbird 260	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (0 + 1) ≤ (2 logb 2))
54		5re 11766	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 5 ∈ ℝ
55	54	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 5 ∈ ℝ)
56	4, 55	readdcld 10713	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (2 + 5) ∈ ℝ)
57	3, 14	nn0addge1i 11987	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ≤ (2 + 5)
58	57	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 2 ≤ (2 + 5))
59	3	recni 10698	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 2 ∈ ℂ
60		5cn 11767	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 5 ∈ ℂ
61	59, 60	addcomi 10874	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (2 + 5) = (5 + 2)
62		5p2e7 11835	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (5 + 2) = 7
63	61, 62	eqtri 2781	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (2 + 5) = 7
64	63	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (2 + 5) = 7)
65	26	leidd 11249	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 7 ≤ 7)
66	64, 65	eqbrtrd 5057	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (2 + 5) ≤ 7)
67	4, 56, 26, 58, 66	letrd 10840	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 2 ≤ 7)
68	4, 26, 23, 67, 35	letrd 10840	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 2 ≤ 𝐵)
69		2z 12058	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ ℤ
70	69	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℤ)
71	70	uzidd 12303	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ (ℤ≥‘2))
72		2rp 12440	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℝ+
73	72	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ+)
74	23, 36	elrpd 12474	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
75		logbleb 25473	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 2 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (2 ≤ 𝐵 ↔ (2 logb 2) ≤ (2 logb 𝐵)))
76	71, 73, 74, 75	syl3anc 1368	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (2 ≤ 𝐵 ↔ (2 logb 2) ≤ (2 logb 𝐵)))
77	68, 76	mpbid 235	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (2 logb 2) ≤ (2 logb 𝐵))
78	39, 42, 37, 53, 77	letrd 10840	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (0 + 1) ≤ (2 logb 𝐵))
79		fllep1 13225	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 logb 𝐵) ∈ ℝ → (2 logb 𝐵) ≤ ((⌊‘(2 logb 𝐵)) + 1))
80	37, 79	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (2 logb 𝐵) ≤ ((⌊‘(2 logb 𝐵)) + 1))
81	39, 37, 41, 78, 80	letrd 10840	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0 + 1) ≤ ((⌊‘(2 logb 𝐵)) + 1))
82	24, 40, 8	leadd1d 11277	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ (⌊‘(2 logb 𝐵)) ↔ (0 + 1) ≤ ((⌊‘(2 logb 𝐵)) + 1)))
83	81, 82	mpbird 260	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (⌊‘(2 logb 𝐵)))
84	38, 83	jca 515	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (⌊‘(2 logb 𝐵))))
85		elnn0z 12038	. . . . . 6 ⊢ ((⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℕ0 ↔ ((⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (⌊‘(2 logb 𝐵))))
86	84, 85	sylibr 237	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℕ0)
87	2, 86	reexpcld 13582	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) ∈ ℝ)
88		fzfid 13395	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ∈ Fin)
89	2	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 𝑁 ∈ ℝ)
90		elfznn 12990	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → 𝑘 ∈ ℕ)
91	90	adantl 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 𝑘 ∈ ℕ)
92	91	nnnn0d 11999	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
93	89, 92	reexpcld 13582	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → (𝑁↑𝑘) ∈ ℝ)
94		1red 10685	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 1 ∈ ℝ)
95	93, 94	resubcld 11111	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → ((𝑁↑𝑘) − 1) ∈ ℝ)
96	88, 95	fprodrecl 15360	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑘) − 1) ∈ ℝ)
97	87, 96	remulcld 10714	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑘) − 1)) ∈ ℝ)
98		aks4d1p1p4.2	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑘) − 1))
99	98	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑘) − 1)))
100	99	eleq1d 2836	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ↔ ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑘) − 1)) ∈ ℝ))
101	97, 100	mpbird 260	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
102		aks4d1p1p4.7	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐸 = ((2 logb 𝑁)↑4)
103	102	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐸 = ((2 logb 𝑁)↑4))
104	103	oveq2d 7171	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁↑𝑐𝐸) = (𝑁↑𝑐((2 logb 𝑁)↑4)))
105		2cnd 11757	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
106	73	rpne0d 12482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 2 ≠ 0)
107	106, 12	nelprd 4556	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ¬ 2 ∈ {0, 1})
108	105, 107	eldifd 3871	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}))
109	2	recnd 10712	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
110	24, 7	ltned 10819	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 0 ≠ 𝑁)
111		necom 3004	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (0 ≠ 𝑁 ↔ 𝑁 ≠ 0)
112	111	imbi2i 339	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 → 0 ≠ 𝑁) ↔ (𝜑 → 𝑁 ≠ 0))
113	110, 112	mpbi 233	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ≠ 0)
114	113	neneqd 2956	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑁 = 0)
115		c0ex 10678	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 ∈ V
116	115	elsn2 4564	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ {0} ↔ 𝑁 = 0)
117	114, 116	sylnibr 332	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑁 ∈ {0})
118	109, 117	eldifd 3871	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℂ ∖ {0}))
119		cxplogb 25476	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}) ∧ 𝑁 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (2↑𝑐(2 logb 𝑁)) = 𝑁)
120	108, 118, 119	syl2anc 587	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (2↑𝑐(2 logb 𝑁)) = 𝑁)
121	120	eqcomd 2764	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 = (2↑𝑐(2 logb 𝑁)))
122	121	oveq1d 7170	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑁↑𝑐((2 logb 𝑁)↑4)) = ((2↑𝑐(2 logb 𝑁))↑𝑐((2 logb 𝑁)↑4)))
123		eqidd 2759	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((2↑𝑐(2 logb 𝑁))↑𝑐((2 logb 𝑁)↑4)) = ((2↑𝑐(2 logb 𝑁))↑𝑐((2 logb 𝑁)↑4)))
124	122, 123	eqtrd 2793	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁↑𝑐((2 logb 𝑁)↑4)) = ((2↑𝑐(2 logb 𝑁))↑𝑐((2 logb 𝑁)↑4)))
125	104, 124	eqtrd 2793	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁↑𝑐𝐸) = ((2↑𝑐(2 logb 𝑁))↑𝑐((2 logb 𝑁)↑4)))
126	103	eqcomd 2764	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑4) = 𝐸)
127		4nn0 11958	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 4 ∈ ℕ0
128	127	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 4 ∈ ℕ0)
129	13, 128	reexpcld 13582	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑4) ∈ ℝ)
130	103	eleq1d 2836	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∈ ℝ ↔ ((2 logb 𝑁)↑4) ∈ ℝ))
131	129, 130	mpbird 260	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ)
132	131	recnd 10712	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℂ)
133	126, 132	eqeltrd 2852	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑4) ∈ ℂ)
134	73, 13, 133	cxpmuld 25431	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (2↑𝑐((2 logb 𝑁) · ((2 logb 𝑁)↑4))) = ((2↑𝑐(2 logb 𝑁))↑𝑐((2 logb 𝑁)↑4)))
135	134	eqcomd 2764	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((2↑𝑐(2 logb 𝑁))↑𝑐((2 logb 𝑁)↑4)) = (2↑𝑐((2 logb 𝑁) · ((2 logb 𝑁)↑4))))
136	125, 135	eqtrd 2793	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁↑𝑐𝐸) = (2↑𝑐((2 logb 𝑁) · ((2 logb 𝑁)↑4))))
137	13	recnd 10712	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (2 logb 𝑁) ∈ ℂ)
138	137	exp1d 13560	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑1) = (2 logb 𝑁))
139	138	eqcomd 2764	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (2 logb 𝑁) = ((2 logb 𝑁)↑1))
140	139	oveq1d 7170	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((2 logb 𝑁) · ((2 logb 𝑁)↑4)) = (((2 logb 𝑁)↑1) · ((2 logb 𝑁)↑4)))
141		1nn0 11955	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℕ0
142	141	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℕ0)
143	137, 128, 142	expaddd 13567	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑(1 + 4)) = (((2 logb 𝑁)↑1) · ((2 logb 𝑁)↑4)))
144	143	eqcomd 2764	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((2 logb 𝑁)↑1) · ((2 logb 𝑁)↑4)) = ((2 logb 𝑁)↑(1 + 4)))
145	140, 144	eqtrd 2793	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((2 logb 𝑁) · ((2 logb 𝑁)↑4)) = ((2 logb 𝑁)↑(1 + 4)))
146	145	oveq2d 7171	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (2↑𝑐((2 logb 𝑁) · ((2 logb 𝑁)↑4))) = (2↑𝑐((2 logb 𝑁)↑(1 + 4))))
147	136, 146	eqtrd 2793	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁↑𝑐𝐸) = (2↑𝑐((2 logb 𝑁)↑(1 + 4))))
148		4cn 11764	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℂ
149		ax-1cn 10638	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℂ
150		4p1e5 11825	. . . . . . . 8 ⊢ (4 + 1) = 5
151	148, 149, 150	addcomli 10875	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 4) = 5
152	151	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1 + 4) = 5)
153	152	oveq2d 7171	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑(1 + 4)) = ((2 logb 𝑁)↑5))
154	153	oveq2d 7171	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (2↑𝑐((2 logb 𝑁)↑(1 + 4))) = (2↑𝑐((2 logb 𝑁)↑5)))
155	147, 154	eqtrd 2793	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁↑𝑐𝐸) = (2↑𝑐((2 logb 𝑁)↑5)))
156		3re 11759	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℝ
157	156	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 3 ∈ ℝ)
158		0le1 11206	. . . . . . 7 ⊢ 0 ≤ 1
159	158	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 1)
160		1lt3 11852	. . . . . . . 8 ⊢ 1 < 3
161	160	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 < 3)
162	8, 157, 161	ltled 10831	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ 3)
163	24, 8, 157, 159, 162	letrd 10840	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 3)
164	24, 157, 2, 163, 29	letrd 10840	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑁)
165	2, 164, 131	recxpcld 25418	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁↑𝑐𝐸) ∈ ℝ)
166	155, 165	eqeltrrd 2853	. 2 ⊢ (𝜑 → (2↑𝑐((2 logb 𝑁)↑5)) ∈ ℝ)
167	21	eleq1d 2836	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ℤ ↔ (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)) ∈ ℤ))
168	18, 167	mpbird 260	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
169	24, 23, 36	ltled 10831	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐵)
170	168, 169	jca 515	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐵))
171		elnn0z 12038	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 ↔ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐵))
172	170, 171	sylibr 237	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ0)
173	4, 172	reexpcld 13582	. 2 ⊢ (𝜑 → (2↑𝐵) ∈ ℝ)
174	2, 7	elrpd 12474	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ+)
175	16, 8	readdcld 10713	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((2 logb 𝑁)↑5) + 1) ∈ ℝ)
176	15	nn0zd 12129	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 5 ∈ ℤ)
177		logb1 25459	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0 ∧ 2 ≠ 1) → (2 logb 1) = 0)
178	46, 47, 12, 177	syl3anc 1368	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (2 logb 1) = 0)
179	178, 24	eqeltrd 2852	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (2 logb 1) ∈ ℝ)
180	24	leidd 11249	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 0)
181	178	eqcomd 2764	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 0 = (2 logb 1))
182	180, 181	breqtrd 5061	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (2 logb 1))
183	8, 157, 2, 161, 29	ltletrd 10843	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 1 < 𝑁)
184		1rp 12439	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 1 ∈ ℝ+
185	184	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ+)
186		logblt 25474	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((2 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 1 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → (1 < 𝑁 ↔ (2 logb 1) < (2 logb 𝑁)))
187	71, 185, 174, 186	syl3anc 1368	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (1 < 𝑁 ↔ (2 logb 1) < (2 logb 𝑁)))
188	183, 187	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (2 logb 1) < (2 logb 𝑁))
189	24, 179, 13, 182, 188	lelttrd 10841	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 0 < (2 logb 𝑁))
190	13, 176, 189	3jca 1125	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((2 logb 𝑁) ∈ ℝ ∧ 5 ∈ ℤ ∧ 0 < (2 logb 𝑁)))
191		expgt0 13517	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((2 logb 𝑁) ∈ ℝ ∧ 5 ∈ ℤ ∧ 0 < (2 logb 𝑁)) → 0 < ((2 logb 𝑁)↑5))
192	190, 191	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 < ((2 logb 𝑁)↑5))
193		ltp1 11523	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((2 logb 𝑁)↑5) ∈ ℝ → ((2 logb 𝑁)↑5) < (((2 logb 𝑁)↑5) + 1))
194	16, 193	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑5) < (((2 logb 𝑁)↑5) + 1))
195	24, 16, 175, 192, 194	lttrd 10844	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 < (((2 logb 𝑁)↑5) + 1))
196	4, 6, 175, 195, 12	relogbcld 39565	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)) ∈ ℝ)
197		aks4d1p1p4.5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐶 = (2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1))
198	197	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = (2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)))
199	198	eleq1d 2836	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ ↔ (2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)) ∈ ℝ))
200	196, 199	mpbird 260	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
201	13	resqcld 13666	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑2) ∈ ℝ)
202		aks4d1p1p4.6	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐷 = ((2 logb 𝑁)↑2)
203	202	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = ((2 logb 𝑁)↑2))
204	203	eleq1d 2836	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ ℝ ↔ ((2 logb 𝑁)↑2) ∈ ℝ))
205	201, 204	mpbird 260	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
206	205	rehalfcld 11926	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐷 / 2) ∈ ℝ)
207	200, 206	readdcld 10713	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐶 + (𝐷 / 2)) ∈ ℝ)
208	131, 4, 106	redivcld 11511	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐸 / 2) ∈ ℝ)
209	207, 208	readdcld 10713	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 + (𝐷 / 2)) + (𝐸 / 2)) ∈ ℝ)
210	174, 209	rpcxpcld 25427	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁↑𝑐((𝐶 + (𝐷 / 2)) + (𝐸 / 2))) ∈ ℝ+)
211	210	rpred 12477	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁↑𝑐((𝐶 + (𝐷 / 2)) + (𝐸 / 2))) ∈ ℝ)
212	1, 98, 20, 29	aks4d1p1p2 39662	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < (𝑁↑𝑐(((2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)) + (((2 logb 𝑁)↑2) / 2)) + (((2 logb 𝑁)↑4) / 2))))
213	126	oveq1d 7170	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((2 logb 𝑁)↑4) / 2) = (𝐸 / 2))
214	213	oveq2d 7171	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)) + (((2 logb 𝑁)↑2) / 2)) + (((2 logb 𝑁)↑4) / 2)) = (((2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)) + (((2 logb 𝑁)↑2) / 2)) + (𝐸 / 2)))
215	198	eqcomd 2764	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)) = 𝐶)
216	215	oveq1d 7170	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)) + (((2 logb 𝑁)↑2) / 2)) = (𝐶 + (((2 logb 𝑁)↑2) / 2)))
217	203	eqcomd 2764	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑2) = 𝐷)
218	217	oveq1d 7170	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((2 logb 𝑁)↑2) / 2) = (𝐷 / 2))
219	218	oveq2d 7171	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐶 + (((2 logb 𝑁)↑2) / 2)) = (𝐶 + (𝐷 / 2)))
220	216, 219	eqtrd 2793	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)) + (((2 logb 𝑁)↑2) / 2)) = (𝐶 + (𝐷 / 2)))
221	220	oveq1d 7170	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)) + (((2 logb 𝑁)↑2) / 2)) + (𝐸 / 2)) = ((𝐶 + (𝐷 / 2)) + (𝐸 / 2)))
222	214, 221	eqtrd 2793	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)) + (((2 logb 𝑁)↑2) / 2)) + (((2 logb 𝑁)↑4) / 2)) = ((𝐶 + (𝐷 / 2)) + (𝐸 / 2)))
223	222	oveq2d 7171	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁↑𝑐(((2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)) + (((2 logb 𝑁)↑2) / 2)) + (((2 logb 𝑁)↑4) / 2))) = (𝑁↑𝑐((𝐶 + (𝐷 / 2)) + (𝐸 / 2))))
224	212, 223	breqtrd 5061	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < (𝑁↑𝑐((𝐶 + (𝐷 / 2)) + (𝐸 / 2))))
225	200	recnd 10712	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
226	225, 105, 106	divcan3d 11464	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝐶) / 2) = 𝐶)
227	226	eqcomd 2764	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = ((2 · 𝐶) / 2))
228	227	oveq1d 7170	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐶 + (𝐷 / 2)) = (((2 · 𝐶) / 2) + (𝐷 / 2)))
229	4, 200	remulcld 10714	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝐶) ∈ ℝ)
230	229	recnd 10712	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝐶) ∈ ℂ)
231	205	recnd 10712	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
232	230, 231, 46, 106	divdird 11497	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝐶) + 𝐷) / 2) = (((2 · 𝐶) / 2) + (𝐷 / 2)))
233	232	eqcomd 2764	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝐶) / 2) + (𝐷 / 2)) = (((2 · 𝐶) + 𝐷) / 2))
234	228, 233	eqtrd 2793	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐶 + (𝐷 / 2)) = (((2 · 𝐶) + 𝐷) / 2))
235		aks4d1p1p4.8	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝐶) + 𝐷) ≤ 𝐸)
236	229, 205	readdcld 10713	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝐶) + 𝐷) ∈ ℝ)
237	236, 131, 73	lediv1d 12523	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝐶) + 𝐷) ≤ 𝐸 ↔ (((2 · 𝐶) + 𝐷) / 2) ≤ (𝐸 / 2)))
238	235, 237	mpbid 235	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝐶) + 𝐷) / 2) ≤ (𝐸 / 2))
239	234, 238	eqbrtrd 5057	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐶 + (𝐷 / 2)) ≤ (𝐸 / 2))
240	207, 208, 208, 239	leadd1dd 11297	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 + (𝐷 / 2)) + (𝐸 / 2)) ≤ ((𝐸 / 2) + (𝐸 / 2)))
241	132	2halvesd 11925	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 / 2) + (𝐸 / 2)) = 𝐸)
242	240, 241	breqtrd 5061	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 + (𝐷 / 2)) + (𝐸 / 2)) ≤ 𝐸)
243	2, 183, 209, 131	cxpled 25415	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 + (𝐷 / 2)) + (𝐸 / 2)) ≤ 𝐸 ↔ (𝑁↑𝑐((𝐶 + (𝐷 / 2)) + (𝐸 / 2))) ≤ (𝑁↑𝑐𝐸)))
244	242, 243	mpbid 235	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁↑𝑐((𝐶 + (𝐷 / 2)) + (𝐸 / 2))) ≤ (𝑁↑𝑐𝐸))
245	101, 211, 165, 224, 244	ltletrd 10843	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < (𝑁↑𝑐𝐸))
246	245, 155	breqtrd 5061	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < (2↑𝑐((2 logb 𝑁)↑5)))
247		1le2 11888	. . . . 5 ⊢ 1 ≤ 2
248	247	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ 2)
249	172	nn0red 12000	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
250	21	eqcomd 2764	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)) = 𝐵)
251	33, 250	breqtrd 5061	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑5) ≤ 𝐵)
252	4, 248, 16, 249, 251	cxplead 25416	. . 3 ⊢ (𝜑 → (2↑𝑐((2 logb 𝑁)↑5)) ≤ (2↑𝑐𝐵))
253		cxpexp 25363	. . . 4 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (2↑𝑐𝐵) = (2↑𝐵))
254	105, 172, 253	syl2anc 587	. . 3 ⊢ (𝜑 → (2↑𝑐𝐵) = (2↑𝐵))
255	252, 254	breqtrd 5061	. 2 ⊢ (𝜑 → (2↑𝑐((2 logb 𝑁)↑5)) ≤ (2↑𝐵))
256	101, 166, 173, 246, 255	ltletrd 10843	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < (2↑𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2951   ∖ cdif 3857  {csn 4525  {cpr 4527   class class class wbr 5035  ‘cfv 6339  (class class class)co 7155  ℂcc 10578  ℝcr 10579  0cc0 10580  1c1 10581   + caddc 10583   · cmul 10585   < clt 10718   ≤ cle 10719   − cmin 10913   / cdiv 11340  ℕcn 11679  2c2 11734  3c3 11735  4c4 11736  5c5 11737  7c7 11739  ℕ₀cn0 11939  ℤcz 12025  ℤ_≥cuz 12287  ℝ⁺crp 12435  ...cfz 12944  ⌊cfl 13214  ⌈cceil 13215  ↑cexp 13484  ∏cprod 15312  ↑_𝑐ccxp 25251   log_b clogb 25454

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5159  ax-sep 5172  ax-nul 5179  ax-pow 5237  ax-pr 5301  ax-un 7464  ax-inf2 9142  ax-cnex 10636  ax-resscn 10637  ax-1cn 10638  ax-icn 10639  ax-addcl 10640  ax-addrcl 10641  ax-mulcl 10642  ax-mulrcl 10643  ax-mulcom 10644  ax-addass 10645  ax-mulass 10646  ax-distr 10647  ax-i2m1 10648  ax-1ne0 10649  ax-1rid 10650  ax-rnegex 10651  ax-rrecex 10652  ax-cnre 10653  ax-pre-lttri 10654  ax-pre-lttrn 10655  ax-pre-ltadd 10656  ax-pre-mulgt0 10657  ax-pre-sup 10658  ax-addf 10659  ax-mulf 10660

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-int 4842  df-iun 4888  df-iin 4889  df-br 5036  df-opab 5098  df-mpt 5116  df-tr 5142  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5446  df-so 5447  df-fr 5486  df-se 5487  df-we 5488  df-xp 5533  df-rel 5534  df-cnv 5535  df-co 5536  df-dm 5537  df-rn 5538  df-res 5539  df-ima 5540  df-pred 6130  df-ord 6176  df-on 6177  df-lim 6178  df-suc 6179  df-iota 6298  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-isom 6348  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-of 7410  df-om 7585  df-1st 7698  df-2nd 7699  df-supp 7841  df-wrecs 7962  df-recs 8023  df-rdg 8061  df-1o 8117  df-2o 8118  df-er 8304  df-map 8423  df-pm 8424  df-ixp 8485  df-en 8533  df-dom 8534  df-sdom 8535  df-fin 8536  df-fsupp 8872  df-fi 8913  df-sup 8944  df-inf 8945  df-oi 9012  df-card 9406  df-pnf 10720  df-mnf 10721  df-xr 10722  df-ltxr 10723  df-le 10724  df-sub 10915  df-neg 10916  df-div 11341  df-nn 11680  df-2 11742  df-3 11743  df-4 11744  df-5 11745  df-6 11746  df-7 11747  df-8 11748  df-9 11749  df-n0 11940  df-z 12026  df-dec 12143  df-uz 12288  df-q 12394  df-rp 12436  df-xneg 12553  df-xadd 12554  df-xmul 12555  df-ioo 12788  df-ioc 12789  df-ico 12790  df-icc 12791  df-fz 12945  df-fzo 13088  df-fl 13216  df-ceil 13217  df-mod 13292  df-seq 13424  df-exp 13485  df-fac 13689  df-bc 13718  df-hash 13746  df-shft 14479  df-cj 14511  df-re 14512  df-im 14513  df-sqrt 14647  df-abs 14648  df-limsup 14881  df-clim 14898  df-rlim 14899  df-sum 15096  df-prod 15313  df-ef 15474  df-sin 15476  df-cos 15477  df-pi 15479  df-struct 16548  df-ndx 16549  df-slot 16550  df-base 16552  df-sets 16553  df-ress 16554  df-plusg 16641  df-mulr 16642  df-starv 16643  df-sca 16644  df-vsca 16645  df-ip 16646  df-tset 16647  df-ple 16648  df-ds 16650  df-unif 16651  df-hom 16652  df-cco 16653  df-rest 16759  df-topn 16760  df-0g 16778  df-gsum 16779  df-topgen 16780  df-pt 16781  df-prds 16784  df-xrs 16838  df-qtop 16843  df-imas 16844  df-xps 16846  df-mre 16920  df-mrc 16921  df-acs 16923  df-mgm 17923  df-sgrp 17972  df-mnd 17983  df-submnd 18028  df-mulg 18297  df-cntz 18519  df-cmn 18980  df-psmet 20163  df-xmet 20164  df-met 20165  df-bl 20166  df-mopn 20167  df-fbas 20168  df-fg 20169  df-cnfld 20172  df-top 21599  df-topon 21616  df-topsp 21638  df-bases 21651  df-cld 21724  df-ntr 21725  df-cls 21726  df-nei 21803  df-lp 21841  df-perf 21842  df-cn 21932  df-cnp 21933  df-haus 22020  df-tx 22267  df-hmeo 22460  df-fil 22551  df-fm 22643  df-flim 22644  df-flf 22645  df-xms 23027  df-ms 23028  df-tms 23029  df-cncf 23584  df-limc 24570  df-dv 24571  df-log 25252  df-cxp 25253  df-logb 25455

This theorem is referenced by:  aks4d1p1p5  39667