Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  aks4d1p1p4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem aks4d1p1p4 40557
Description: Technical step for inequality. The hard work is in to prove the final hypothesis. (Contributed by metakunt, 19-Aug-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
aks4d1p1p4.1 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
aks4d1p1p4.2 ๐ด = ((๐‘โ†‘(โŒŠโ€˜(2 logb ๐ต))) ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))((๐‘โ†‘๐‘˜) โˆ’ 1))
aks4d1p1p4.3 ๐ต = (โŒˆโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘5))
aks4d1p1p4.4 (๐œ‘ โ†’ 3 โ‰ค ๐‘)
aks4d1p1p4.5 ๐ถ = (2 logb (((2 logb ๐‘)โ†‘5) + 1))
aks4d1p1p4.6 ๐ท = ((2 logb ๐‘)โ†‘2)
aks4d1p1p4.7 ๐ธ = ((2 logb ๐‘)โ†‘4)
aks4d1p1p4.8 (๐œ‘ โ†’ ((2 ยท ๐ถ) + ๐ท) โ‰ค ๐ธ)
Assertion
Ref Expression
aks4d1p1p4 (๐œ‘ โ†’ ๐ด < (2โ†‘๐ต))
Distinct variable groups:   ๐‘˜,๐‘   ๐œ‘,๐‘˜
Allowed substitution hints:   ๐ด(๐‘˜)   ๐ต(๐‘˜)   ๐ถ(๐‘˜)   ๐ท(๐‘˜)   ๐ธ(๐‘˜)

Proof of Theorem aks4d1p1p4
StepHypRef Expression
1 aks4d1p1p4.1 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
21nnred 12175 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
3 2re 12234 . . . . . . . . . 10 2 โˆˆ โ„
43a1i 11 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ 2 โˆˆ โ„)
5 2pos 12263 . . . . . . . . . 10 0 < 2
65a1i 11 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ 0 < 2)
71nngt0d 12209 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ 0 < ๐‘)
8 1red 11163 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„)
9 1lt2 12331 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 < 2
109a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ 1 < 2)
118, 10ltned 11298 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ 1 โ‰  2)
1211necomd 3000 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ 2 โ‰  1)
134, 6, 2, 7, 12relogbcld 40459 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (2 logb ๐‘) โˆˆ โ„)
14 5nn0 12440 . . . . . . . . . . . . . 14 5 โˆˆ โ„•0
1514a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ 5 โˆˆ โ„•0)
1613, 15reexpcld 14075 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ((2 logb ๐‘)โ†‘5) โˆˆ โ„)
17 ceilcl 13754 . . . . . . . . . . . 12 (((2 logb ๐‘)โ†‘5) โˆˆ โ„ โ†’ (โŒˆโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘5)) โˆˆ โ„ค)
1816, 17syl 17 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (โŒˆโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘5)) โˆˆ โ„ค)
1918zred 12614 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (โŒˆโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘5)) โˆˆ โ„)
20 aks4d1p1p4.3 . . . . . . . . . . . 12 ๐ต = (โŒˆโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘5))
2120a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐ต = (โŒˆโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘5)))
2221eleq1d 2823 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐ต โˆˆ โ„ โ†” (โŒˆโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘5)) โˆˆ โ„))
2319, 22mpbird 257 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
24 0red 11165 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ 0 โˆˆ โ„)
25 7re 12253 . . . . . . . . . . 11 7 โˆˆ โ„
2625a1i 11 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ 7 โˆˆ โ„)
27 7pos 12271 . . . . . . . . . . 11 0 < 7
2827a1i 11 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ 0 < 7)
29 aks4d1p1p4.4 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ 3 โ‰ค ๐‘)
302, 293lexlogpow5ineq3 40543 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ 7 < ((2 logb ๐‘)โ†‘5))
3126, 16, 30ltled 11310 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ 7 โ‰ค ((2 logb ๐‘)โ†‘5))
32 ceilge 13757 . . . . . . . . . . . . 13 (((2 logb ๐‘)โ†‘5) โˆˆ โ„ โ†’ ((2 logb ๐‘)โ†‘5) โ‰ค (โŒˆโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘5)))
3316, 32syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ((2 logb ๐‘)โ†‘5) โ‰ค (โŒˆโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘5)))
3433, 21breqtrrd 5138 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((2 logb ๐‘)โ†‘5) โ‰ค ๐ต)
3526, 16, 23, 31, 34letrd 11319 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ 7 โ‰ค ๐ต)
3624, 26, 23, 28, 35ltletrd 11322 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ 0 < ๐ต)
374, 6, 23, 36, 12relogbcld 40459 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (2 logb ๐ต) โˆˆ โ„)
3837flcld 13710 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (โŒŠโ€˜(2 logb ๐ต)) โˆˆ โ„ค)
3924, 8readdcld 11191 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (0 + 1) โˆˆ โ„)
4038zred 12614 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (โŒŠโ€˜(2 logb ๐ต)) โˆˆ โ„)
4140, 8readdcld 11191 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((โŒŠโ€˜(2 logb ๐ต)) + 1) โˆˆ โ„)
424, 6, 4, 6, 12relogbcld 40459 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (2 logb 2) โˆˆ โ„)
438leidd 11728 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ 1 โ‰ค 1)
44 1cnd 11157 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
4544addid2d 11363 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (0 + 1) = 1)
464recnd 11190 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
4724, 6gtned 11297 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ 2 โ‰  0)
48 logbid1 26134 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((2 โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โ‰  0 โˆง 2 โ‰  1) โ†’ (2 logb 2) = 1)
4946, 47, 12, 48syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ (2 logb 2) = 1)
5049eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ 1 = (2 logb 2))
5150eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (2 logb 2) = 1)
5245, 51breq12d 5123 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((0 + 1) โ‰ค (2 logb 2) โ†” 1 โ‰ค 1))
5343, 52mpbird 257 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (0 + 1) โ‰ค (2 logb 2))
54 5re 12247 . . . . . . . . . . . . . . 15 5 โˆˆ โ„
5554a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ 5 โˆˆ โ„)
564, 55readdcld 11191 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (2 + 5) โˆˆ โ„)
573, 14nn0addge1i 12468 . . . . . . . . . . . . . 14 2 โ‰ค (2 + 5)
5857a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ 2 โ‰ค (2 + 5))
593recni 11176 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 โˆˆ โ„‚
60 5cn 12248 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 5 โˆˆ โ„‚
6159, 60addcomi 11353 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (2 + 5) = (5 + 2)
62 5p2e7 12316 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (5 + 2) = 7
6361, 62eqtri 2765 . . . . . . . . . . . . . . 15 (2 + 5) = 7
6463a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ (2 + 5) = 7)
6526leidd 11728 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ 7 โ‰ค 7)
6664, 65eqbrtrd 5132 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (2 + 5) โ‰ค 7)
674, 56, 26, 58, 66letrd 11319 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ 2 โ‰ค 7)
684, 26, 23, 67, 35letrd 11319 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ 2 โ‰ค ๐ต)
69 2z 12542 . . . . . . . . . . . . . 14 2 โˆˆ โ„ค
7069a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ 2 โˆˆ โ„ค)
7170uzidd 12786 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ 2 โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
72 2rp 12927 . . . . . . . . . . . . 13 2 โˆˆ โ„+
7372a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ 2 โˆˆ โ„+)
7423, 36elrpd 12961 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„+)
75 logbleb 26149 . . . . . . . . . . . 12 ((2 โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง 2 โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ (2 โ‰ค ๐ต โ†” (2 logb 2) โ‰ค (2 logb ๐ต)))
7671, 73, 74, 75syl3anc 1372 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (2 โ‰ค ๐ต โ†” (2 logb 2) โ‰ค (2 logb ๐ต)))
7768, 76mpbid 231 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (2 logb 2) โ‰ค (2 logb ๐ต))
7839, 42, 37, 53, 77letrd 11319 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (0 + 1) โ‰ค (2 logb ๐ต))
79 fllep1 13713 . . . . . . . . . 10 ((2 logb ๐ต) โˆˆ โ„ โ†’ (2 logb ๐ต) โ‰ค ((โŒŠโ€˜(2 logb ๐ต)) + 1))
8037, 79syl 17 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (2 logb ๐ต) โ‰ค ((โŒŠโ€˜(2 logb ๐ต)) + 1))
8139, 37, 41, 78, 80letrd 11319 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (0 + 1) โ‰ค ((โŒŠโ€˜(2 logb ๐ต)) + 1))
8224, 40, 8leadd1d 11756 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (0 โ‰ค (โŒŠโ€˜(2 logb ๐ต)) โ†” (0 + 1) โ‰ค ((โŒŠโ€˜(2 logb ๐ต)) + 1)))
8381, 82mpbird 257 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค (โŒŠโ€˜(2 logb ๐ต)))
8438, 83jca 513 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((โŒŠโ€˜(2 logb ๐ต)) โˆˆ โ„ค โˆง 0 โ‰ค (โŒŠโ€˜(2 logb ๐ต))))
85 elnn0z 12519 . . . . . 6 ((โŒŠโ€˜(2 logb ๐ต)) โˆˆ โ„•0 โ†” ((โŒŠโ€˜(2 logb ๐ต)) โˆˆ โ„ค โˆง 0 โ‰ค (โŒŠโ€˜(2 logb ๐ต))))
8684, 85sylibr 233 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (โŒŠโ€˜(2 logb ๐ต)) โˆˆ โ„•0)
872, 86reexpcld 14075 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘โ†‘(โŒŠโ€˜(2 logb ๐ต))) โˆˆ โ„)
88 fzfid 13885 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2))) โˆˆ Fin)
892adantr 482 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
90 elfznn 13477 . . . . . . . . 9 (๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2))) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•)
9190adantl 483 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•)
9291nnnn0d 12480 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
9389, 92reexpcld 14075 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))) โ†’ (๐‘โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„)
94 1red 11163 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))) โ†’ 1 โˆˆ โ„)
9593, 94resubcld 11590 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))) โ†’ ((๐‘โ†‘๐‘˜) โˆ’ 1) โˆˆ โ„)
9688, 95fprodrecl 15843 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))((๐‘โ†‘๐‘˜) โˆ’ 1) โˆˆ โ„)
9787, 96remulcld 11192 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘โ†‘(โŒŠโ€˜(2 logb ๐ต))) ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))((๐‘โ†‘๐‘˜) โˆ’ 1)) โˆˆ โ„)
98 aks4d1p1p4.2 . . . . 5 ๐ด = ((๐‘โ†‘(โŒŠโ€˜(2 logb ๐ต))) ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))((๐‘โ†‘๐‘˜) โˆ’ 1))
9998a1i 11 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ด = ((๐‘โ†‘(โŒŠโ€˜(2 logb ๐ต))) ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))((๐‘โ†‘๐‘˜) โˆ’ 1)))
10099eleq1d 2823 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐ด โˆˆ โ„ โ†” ((๐‘โ†‘(โŒŠโ€˜(2 logb ๐ต))) ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))((๐‘โ†‘๐‘˜) โˆ’ 1)) โˆˆ โ„))
10197, 100mpbird 257 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
102 aks4d1p1p4.7 . . . . . . . . 9 ๐ธ = ((2 logb ๐‘)โ†‘4)
103102a1i 11 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ธ = ((2 logb ๐‘)โ†‘4))
104103oveq2d 7378 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘โ†‘๐‘๐ธ) = (๐‘โ†‘๐‘((2 logb ๐‘)โ†‘4)))
105 2cnd 12238 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
10673rpne0d 12969 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ 2 โ‰  0)
107106, 12nelprd 4622 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ยฌ 2 โˆˆ {0, 1})
108105, 107eldifd 3926 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ 2 โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0, 1}))
1092recnd 11190 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
11024, 7ltned 11298 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰  ๐‘)
111 necom 2998 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0 โ‰  ๐‘ โ†” ๐‘ โ‰  0)
112111imbi2i 336 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โ†’ 0 โ‰  ๐‘) โ†” (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โ‰  0))
113110, 112mpbi 229 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โ‰  0)
114113neneqd 2949 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ยฌ ๐‘ = 0)
115 c0ex 11156 . . . . . . . . . . . . . 14 0 โˆˆ V
116115elsn2 4630 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ โˆˆ {0} โ†” ๐‘ = 0)
117114, 116sylnibr 329 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ยฌ ๐‘ โˆˆ {0})
118109, 117eldifd 3926 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}))
119 cxplogb 26152 . . . . . . . . . . 11 ((2 โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0, 1}) โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0})) โ†’ (2โ†‘๐‘(2 logb ๐‘)) = ๐‘)
120108, 118, 119syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (2โ†‘๐‘(2 logb ๐‘)) = ๐‘)
121120eqcomd 2743 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ = (2โ†‘๐‘(2 logb ๐‘)))
122121oveq1d 7377 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘โ†‘๐‘((2 logb ๐‘)โ†‘4)) = ((2โ†‘๐‘(2 logb ๐‘))โ†‘๐‘((2 logb ๐‘)โ†‘4)))
123 eqidd 2738 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((2โ†‘๐‘(2 logb ๐‘))โ†‘๐‘((2 logb ๐‘)โ†‘4)) = ((2โ†‘๐‘(2 logb ๐‘))โ†‘๐‘((2 logb ๐‘)โ†‘4)))
124122, 123eqtrd 2777 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘โ†‘๐‘((2 logb ๐‘)โ†‘4)) = ((2โ†‘๐‘(2 logb ๐‘))โ†‘๐‘((2 logb ๐‘)โ†‘4)))
125104, 124eqtrd 2777 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘โ†‘๐‘๐ธ) = ((2โ†‘๐‘(2 logb ๐‘))โ†‘๐‘((2 logb ๐‘)โ†‘4)))
126103eqcomd 2743 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((2 logb ๐‘)โ†‘4) = ๐ธ)
127 4nn0 12439 . . . . . . . . . . . . 13 4 โˆˆ โ„•0
128127a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ 4 โˆˆ โ„•0)
12913, 128reexpcld 14075 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((2 logb ๐‘)โ†‘4) โˆˆ โ„)
130103eleq1d 2823 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐ธ โˆˆ โ„ โ†” ((2 logb ๐‘)โ†‘4) โˆˆ โ„))
131129, 130mpbird 257 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐ธ โˆˆ โ„)
132131recnd 11190 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐ธ โˆˆ โ„‚)
133126, 132eqeltrd 2838 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((2 logb ๐‘)โ†‘4) โˆˆ โ„‚)
13473, 13, 133cxpmuld 26107 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (2โ†‘๐‘((2 logb ๐‘) ยท ((2 logb ๐‘)โ†‘4))) = ((2โ†‘๐‘(2 logb ๐‘))โ†‘๐‘((2 logb ๐‘)โ†‘4)))
135134eqcomd 2743 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((2โ†‘๐‘(2 logb ๐‘))โ†‘๐‘((2 logb ๐‘)โ†‘4)) = (2โ†‘๐‘((2 logb ๐‘) ยท ((2 logb ๐‘)โ†‘4))))
136125, 135eqtrd 2777 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘โ†‘๐‘๐ธ) = (2โ†‘๐‘((2 logb ๐‘) ยท ((2 logb ๐‘)โ†‘4))))
13713recnd 11190 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (2 logb ๐‘) โˆˆ โ„‚)
138137exp1d 14053 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((2 logb ๐‘)โ†‘1) = (2 logb ๐‘))
139138eqcomd 2743 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (2 logb ๐‘) = ((2 logb ๐‘)โ†‘1))
140139oveq1d 7377 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((2 logb ๐‘) ยท ((2 logb ๐‘)โ†‘4)) = (((2 logb ๐‘)โ†‘1) ยท ((2 logb ๐‘)โ†‘4)))
141 1nn0 12436 . . . . . . . . . 10 1 โˆˆ โ„•0
142141a1i 11 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„•0)
143137, 128, 142expaddd 14060 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((2 logb ๐‘)โ†‘(1 + 4)) = (((2 logb ๐‘)โ†‘1) ยท ((2 logb ๐‘)โ†‘4)))
144143eqcomd 2743 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (((2 logb ๐‘)โ†‘1) ยท ((2 logb ๐‘)โ†‘4)) = ((2 logb ๐‘)โ†‘(1 + 4)))
145140, 144eqtrd 2777 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((2 logb ๐‘) ยท ((2 logb ๐‘)โ†‘4)) = ((2 logb ๐‘)โ†‘(1 + 4)))
146145oveq2d 7378 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (2โ†‘๐‘((2 logb ๐‘) ยท ((2 logb ๐‘)โ†‘4))) = (2โ†‘๐‘((2 logb ๐‘)โ†‘(1 + 4))))
147136, 146eqtrd 2777 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘โ†‘๐‘๐ธ) = (2โ†‘๐‘((2 logb ๐‘)โ†‘(1 + 4))))
148 4cn 12245 . . . . . . . 8 4 โˆˆ โ„‚
149 ax-1cn 11116 . . . . . . . 8 1 โˆˆ โ„‚
150 4p1e5 12306 . . . . . . . 8 (4 + 1) = 5
151148, 149, 150addcomli 11354 . . . . . . 7 (1 + 4) = 5
152151a1i 11 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (1 + 4) = 5)
153152oveq2d 7378 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((2 logb ๐‘)โ†‘(1 + 4)) = ((2 logb ๐‘)โ†‘5))
154153oveq2d 7378 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (2โ†‘๐‘((2 logb ๐‘)โ†‘(1 + 4))) = (2โ†‘๐‘((2 logb ๐‘)โ†‘5)))
155147, 154eqtrd 2777 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘โ†‘๐‘๐ธ) = (2โ†‘๐‘((2 logb ๐‘)โ†‘5)))
156 3re 12240 . . . . . 6 3 โˆˆ โ„
157156a1i 11 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ 3 โˆˆ โ„)
158 0le1 11685 . . . . . . 7 0 โ‰ค 1
159158a1i 11 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค 1)
160 1lt3 12333 . . . . . . . 8 1 < 3
161160a1i 11 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ 1 < 3)
1628, 157, 161ltled 11310 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ 1 โ‰ค 3)
16324, 8, 157, 159, 162letrd 11319 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค 3)
16424, 157, 2, 163, 29letrd 11319 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค ๐‘)
1652, 164, 131recxpcld 26094 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘โ†‘๐‘๐ธ) โˆˆ โ„)
166155, 165eqeltrrd 2839 . 2 (๐œ‘ โ†’ (2โ†‘๐‘((2 logb ๐‘)โ†‘5)) โˆˆ โ„)
16721eleq1d 2823 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐ต โˆˆ โ„ค โ†” (โŒˆโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘5)) โˆˆ โ„ค))
16818, 167mpbird 257 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„ค)
16924, 23, 36ltled 11310 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค ๐ต)
170168, 169jca 513 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง 0 โ‰ค ๐ต))
171 elnn0z 12519 . . . 4 (๐ต โˆˆ โ„•0 โ†” (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง 0 โ‰ค ๐ต))
172170, 171sylibr 233 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„•0)
1734, 172reexpcld 14075 . 2 (๐œ‘ โ†’ (2โ†‘๐ต) โˆˆ โ„)
1742, 7elrpd 12961 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„+)
17516, 8readdcld 11191 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (((2 logb ๐‘)โ†‘5) + 1) โˆˆ โ„)
17615nn0zd 12532 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ 5 โˆˆ โ„ค)
177 logb1 26135 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((2 โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โ‰  0 โˆง 2 โ‰  1) โ†’ (2 logb 1) = 0)
17846, 47, 12, 177syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ (2 logb 1) = 0)
179178, 24eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ (2 logb 1) โˆˆ โ„)
18024leidd 11728 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค 0)
181178eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ 0 = (2 logb 1))
182180, 181breqtrd 5136 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค (2 logb 1))
1838, 157, 2, 161, 29ltletrd 11322 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ 1 < ๐‘)
184 1rp 12926 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 โˆˆ โ„+
185184a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„+)
186 logblt 26150 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((2 โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง 1 โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+) โ†’ (1 < ๐‘ โ†” (2 logb 1) < (2 logb ๐‘)))
18771, 185, 174, 186syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ (1 < ๐‘ โ†” (2 logb 1) < (2 logb ๐‘)))
188183, 187mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ (2 logb 1) < (2 logb ๐‘))
18924, 179, 13, 182, 188lelttrd 11320 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ 0 < (2 logb ๐‘))
19013, 176, 1893jca 1129 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ((2 logb ๐‘) โˆˆ โ„ โˆง 5 โˆˆ โ„ค โˆง 0 < (2 logb ๐‘)))
191 expgt0 14008 . . . . . . . . . . . 12 (((2 logb ๐‘) โˆˆ โ„ โˆง 5 โˆˆ โ„ค โˆง 0 < (2 logb ๐‘)) โ†’ 0 < ((2 logb ๐‘)โ†‘5))
192190, 191syl 17 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ 0 < ((2 logb ๐‘)โ†‘5))
193 ltp1 12002 . . . . . . . . . . . 12 (((2 logb ๐‘)โ†‘5) โˆˆ โ„ โ†’ ((2 logb ๐‘)โ†‘5) < (((2 logb ๐‘)โ†‘5) + 1))
19416, 193syl 17 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((2 logb ๐‘)โ†‘5) < (((2 logb ๐‘)โ†‘5) + 1))
19524, 16, 175, 192, 194lttrd 11323 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ 0 < (((2 logb ๐‘)โ†‘5) + 1))
1964, 6, 175, 195, 12relogbcld 40459 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (2 logb (((2 logb ๐‘)โ†‘5) + 1)) โˆˆ โ„)
197 aks4d1p1p4.5 . . . . . . . . . . 11 ๐ถ = (2 logb (((2 logb ๐‘)โ†‘5) + 1))
198197a1i 11 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ = (2 logb (((2 logb ๐‘)โ†‘5) + 1)))
199198eleq1d 2823 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ โˆˆ โ„ โ†” (2 logb (((2 logb ๐‘)โ†‘5) + 1)) โˆˆ โ„))
200196, 199mpbird 257 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)
20113resqcld 14037 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((2 logb ๐‘)โ†‘2) โˆˆ โ„)
202 aks4d1p1p4.6 . . . . . . . . . . . 12 ๐ท = ((2 logb ๐‘)โ†‘2)
203202a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐ท = ((2 logb ๐‘)โ†‘2))
204203eleq1d 2823 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐ท โˆˆ โ„ โ†” ((2 logb ๐‘)โ†‘2) โˆˆ โ„))
205201, 204mpbird 257 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„)
206205rehalfcld 12407 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐ท / 2) โˆˆ โ„)
207200, 206readdcld 11191 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ + (๐ท / 2)) โˆˆ โ„)
208131, 4, 106redivcld 11990 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐ธ / 2) โˆˆ โ„)
209207, 208readdcld 11191 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ + (๐ท / 2)) + (๐ธ / 2)) โˆˆ โ„)
210174, 209rpcxpcld 26103 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘โ†‘๐‘((๐ถ + (๐ท / 2)) + (๐ธ / 2))) โˆˆ โ„+)
211210rpred 12964 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘โ†‘๐‘((๐ถ + (๐ท / 2)) + (๐ธ / 2))) โˆˆ โ„)
2121, 98, 20, 29aks4d1p1p2 40556 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ด < (๐‘โ†‘๐‘(((2 logb (((2 logb ๐‘)โ†‘5) + 1)) + (((2 logb ๐‘)โ†‘2) / 2)) + (((2 logb ๐‘)โ†‘4) / 2))))
213126oveq1d 7377 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (((2 logb ๐‘)โ†‘4) / 2) = (๐ธ / 2))
214213oveq2d 7378 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (((2 logb (((2 logb ๐‘)โ†‘5) + 1)) + (((2 logb ๐‘)โ†‘2) / 2)) + (((2 logb ๐‘)โ†‘4) / 2)) = (((2 logb (((2 logb ๐‘)โ†‘5) + 1)) + (((2 logb ๐‘)โ†‘2) / 2)) + (๐ธ / 2)))
215198eqcomd 2743 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (2 logb (((2 logb ๐‘)โ†‘5) + 1)) = ๐ถ)
216215oveq1d 7377 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((2 logb (((2 logb ๐‘)โ†‘5) + 1)) + (((2 logb ๐‘)โ†‘2) / 2)) = (๐ถ + (((2 logb ๐‘)โ†‘2) / 2)))
217203eqcomd 2743 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((2 logb ๐‘)โ†‘2) = ๐ท)
218217oveq1d 7377 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (((2 logb ๐‘)โ†‘2) / 2) = (๐ท / 2))
219218oveq2d 7378 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ + (((2 logb ๐‘)โ†‘2) / 2)) = (๐ถ + (๐ท / 2)))
220216, 219eqtrd 2777 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((2 logb (((2 logb ๐‘)โ†‘5) + 1)) + (((2 logb ๐‘)โ†‘2) / 2)) = (๐ถ + (๐ท / 2)))
221220oveq1d 7377 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (((2 logb (((2 logb ๐‘)โ†‘5) + 1)) + (((2 logb ๐‘)โ†‘2) / 2)) + (๐ธ / 2)) = ((๐ถ + (๐ท / 2)) + (๐ธ / 2)))
222214, 221eqtrd 2777 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (((2 logb (((2 logb ๐‘)โ†‘5) + 1)) + (((2 logb ๐‘)โ†‘2) / 2)) + (((2 logb ๐‘)โ†‘4) / 2)) = ((๐ถ + (๐ท / 2)) + (๐ธ / 2)))
223222oveq2d 7378 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘โ†‘๐‘(((2 logb (((2 logb ๐‘)โ†‘5) + 1)) + (((2 logb ๐‘)โ†‘2) / 2)) + (((2 logb ๐‘)โ†‘4) / 2))) = (๐‘โ†‘๐‘((๐ถ + (๐ท / 2)) + (๐ธ / 2))))
224212, 223breqtrd 5136 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ด < (๐‘โ†‘๐‘((๐ถ + (๐ท / 2)) + (๐ธ / 2))))
225200recnd 11190 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
226225, 105, 106divcan3d 11943 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((2 ยท ๐ถ) / 2) = ๐ถ)
227226eqcomd 2743 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ = ((2 ยท ๐ถ) / 2))
228227oveq1d 7377 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ + (๐ท / 2)) = (((2 ยท ๐ถ) / 2) + (๐ท / 2)))
2294, 200remulcld 11192 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท ๐ถ) โˆˆ โ„)
230229recnd 11190 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท ๐ถ) โˆˆ โ„‚)
231205recnd 11190 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
232230, 231, 46, 106divdird 11976 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (((2 ยท ๐ถ) + ๐ท) / 2) = (((2 ยท ๐ถ) / 2) + (๐ท / 2)))
233232eqcomd 2743 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (((2 ยท ๐ถ) / 2) + (๐ท / 2)) = (((2 ยท ๐ถ) + ๐ท) / 2))
234228, 233eqtrd 2777 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ + (๐ท / 2)) = (((2 ยท ๐ถ) + ๐ท) / 2))
235 aks4d1p1p4.8 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((2 ยท ๐ถ) + ๐ท) โ‰ค ๐ธ)
236229, 205readdcld 11191 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((2 ยท ๐ถ) + ๐ท) โˆˆ โ„)
237236, 131, 73lediv1d 13010 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (((2 ยท ๐ถ) + ๐ท) โ‰ค ๐ธ โ†” (((2 ยท ๐ถ) + ๐ท) / 2) โ‰ค (๐ธ / 2)))
238235, 237mpbid 231 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (((2 ยท ๐ถ) + ๐ท) / 2) โ‰ค (๐ธ / 2))
239234, 238eqbrtrd 5132 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ + (๐ท / 2)) โ‰ค (๐ธ / 2))
240207, 208, 208, 239leadd1dd 11776 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ + (๐ท / 2)) + (๐ธ / 2)) โ‰ค ((๐ธ / 2) + (๐ธ / 2)))
2411322halvesd 12406 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐ธ / 2) + (๐ธ / 2)) = ๐ธ)
242240, 241breqtrd 5136 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ + (๐ท / 2)) + (๐ธ / 2)) โ‰ค ๐ธ)
2432, 183, 209, 131cxpled 26091 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (((๐ถ + (๐ท / 2)) + (๐ธ / 2)) โ‰ค ๐ธ โ†” (๐‘โ†‘๐‘((๐ถ + (๐ท / 2)) + (๐ธ / 2))) โ‰ค (๐‘โ†‘๐‘๐ธ)))
244242, 243mpbid 231 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘โ†‘๐‘((๐ถ + (๐ท / 2)) + (๐ธ / 2))) โ‰ค (๐‘โ†‘๐‘๐ธ))
245101, 211, 165, 224, 244ltletrd 11322 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ด < (๐‘โ†‘๐‘๐ธ))
246245, 155breqtrd 5136 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐ด < (2โ†‘๐‘((2 logb ๐‘)โ†‘5)))
247 1le2 12369 . . . . 5 1 โ‰ค 2
248247a1i 11 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ 1 โ‰ค 2)
249172nn0red 12481 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
25021eqcomd 2743 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (โŒˆโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘5)) = ๐ต)
25133, 250breqtrd 5136 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((2 logb ๐‘)โ†‘5) โ‰ค ๐ต)
2524, 248, 16, 249, 251cxplead 26092 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (2โ†‘๐‘((2 logb ๐‘)โ†‘5)) โ‰ค (2โ†‘๐‘๐ต))
253 cxpexp 26039 . . . 4 ((2 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0) โ†’ (2โ†‘๐‘๐ต) = (2โ†‘๐ต))
254105, 172, 253syl2anc 585 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (2โ†‘๐‘๐ต) = (2โ†‘๐ต))
255252, 254breqtrd 5136 . 2 (๐œ‘ โ†’ (2โ†‘๐‘((2 logb ๐‘)โ†‘5)) โ‰ค (2โ†‘๐ต))
256101, 166, 173, 246, 255ltletrd 11322 1 (๐œ‘ โ†’ ๐ด < (2โ†‘๐ต))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2944   โˆ– cdif 3912  {csn 4591  {cpr 4593   class class class wbr 5110  โ€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  โ„‚cc 11056  โ„cr 11057  0cc0 11058  1c1 11059   + caddc 11061   ยท cmul 11063   < clt 11196   โ‰ค cle 11197   โˆ’ cmin 11392   / cdiv 11819  โ„•cn 12160  2c2 12215  3c3 12216  4c4 12217  5c5 12218  7c7 12220  โ„•0cn0 12420  โ„คcz 12506  โ„คโ‰ฅcuz 12770  โ„+crp 12922  ...cfz 13431  โŒŠcfl 13702  โŒˆcceil 13703  โ†‘cexp 13974  โˆcprod 15795  โ†‘๐‘ccxp 25927   logb clogb 26130
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136  ax-addf 11137  ax-mulf 11138
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-iin 4962  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-supp 8098  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-er 8655  df-map 8774  df-pm 8775  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9313  df-fi 9354  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9453  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-z 12507  df-dec 12626  df-uz 12771  df-q 12881  df-rp 12923  df-xneg 13040  df-xadd 13041  df-xmul 13042  df-ioo 13275  df-ioc 13276  df-ico 13277  df-icc 13278  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-fl 13704  df-ceil 13705  df-mod 13782  df-seq 13914  df-exp 13975  df-fac 14181  df-bc 14210  df-hash 14238  df-shft 14959  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-limsup 15360  df-clim 15377  df-rlim 15378  df-sum 15578  df-prod 15796  df-ef 15957  df-sin 15959  df-cos 15960  df-pi 15962  df-struct 17026  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-plusg 17153  df-mulr 17154  df-starv 17155  df-sca 17156  df-vsca 17157  df-ip 17158  df-tset 17159  df-ple 17160  df-ds 17162  df-unif 17163  df-hom 17164  df-cco 17165  df-rest 17311  df-topn 17312  df-0g 17330  df-gsum 17331  df-topgen 17332  df-pt 17333  df-prds 17336  df-xrs 17391  df-qtop 17396  df-imas 17397  df-xps 17399  df-mre 17473  df-mrc 17474  df-acs 17476  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-submnd 18609  df-mulg 18880  df-cntz 19104  df-cmn 19571  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-fbas 20809  df-fg 20810  df-cnfld 20813  df-top 22259  df-topon 22276  df-topsp 22298  df-bases 22312  df-cld 22386  df-ntr 22387  df-cls 22388  df-nei 22465  df-lp 22503  df-perf 22504  df-cn 22594  df-cnp 22595  df-haus 22682  df-tx 22929  df-hmeo 23122  df-fil 23213  df-fm 23305  df-flim 23306  df-flf 23307  df-xms 23689  df-ms 23690  df-tms 23691  df-cncf 24257  df-limc 25246  df-dv 25247  df-log 25928  df-cxp 25929  df-logb 26131
This theorem is referenced by:  aks4d1p1p5  40561
  Copyright terms: Public domain W3C validator