Theorem aks4d1p1p4 42028

Description: Technical step for inequality. The hard work is in to prove the final hypothesis. (Contributed by metakunt, 19-Aug-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
aks4d1p1p4.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
aks4d1p1p4.2	⊢ 𝐴 = ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑘) − 1))
aks4d1p1p4.3	⊢ 𝐵 = (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5))
aks4d1p1p4.4	⊢ (𝜑 → 3 ≤ 𝑁)
aks4d1p1p4.5	⊢ 𝐶 = (2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1))
aks4d1p1p4.6	⊢ 𝐷 = ((2 logb 𝑁)↑2)
aks4d1p1p4.7	⊢ 𝐸 = ((2 logb 𝑁)↑4)
aks4d1p1p4.8	⊢ (𝜑 → ((2 · 𝐶) + 𝐷) ≤ 𝐸)

Assertion

Ref	Expression
aks4d1p1p4	⊢ (𝜑 → 𝐴 < (2↑𝐵))

Distinct variable groups:   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)   𝐶(𝑘)   𝐷(𝑘)   𝐸(𝑘)

Proof of Theorem aks4d1p1p4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		aks4d1p1p4.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
2	1	nnred 12308	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
3		2re 12367	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℝ
4	3	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
5		2pos 12396	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 < 2
6	5	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 < 2)
7	1	nngt0d 12342	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑁)
8		1red 11291	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
9		1lt2 12464	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 1 < 2
10	9	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 1 < 2)
11	8, 10	ltned 11426	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 1 ≠ 2)
12	11	necomd 3002	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 2 ≠ 1)
13	4, 6, 2, 7, 12	relogbcld 41929	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (2 logb 𝑁) ∈ ℝ)
14		5nn0 12573	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 5 ∈ ℕ0
15	14	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 5 ∈ ℕ0)
16	13, 15	reexpcld 14213	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑5) ∈ ℝ)
17		ceilcl 13893	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((2 logb 𝑁)↑5) ∈ ℝ → (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)) ∈ ℤ)
18	16, 17	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)) ∈ ℤ)
19	18	zred 12747	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)) ∈ ℝ)
20		aks4d1p1p4.3	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐵 = (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5))
21	20	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)))
22	21	eleq1d 2829	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ℝ ↔ (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)) ∈ ℝ))
23	19, 22	mpbird 257	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
24		0red 11293	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
25		7re 12386	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 7 ∈ ℝ
26	25	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 7 ∈ ℝ)
27		7pos 12404	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 < 7
28	27	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 < 7)
29		aks4d1p1p4.4	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 3 ≤ 𝑁)
30	2, 29	3lexlogpow5ineq3 42014	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 7 < ((2 logb 𝑁)↑5))
31	26, 16, 30	ltled 11438	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 7 ≤ ((2 logb 𝑁)↑5))
32		ceilge 13896	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((2 logb 𝑁)↑5) ∈ ℝ → ((2 logb 𝑁)↑5) ≤ (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)))
33	16, 32	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑5) ≤ (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)))
34	33, 21	breqtrrd 5194	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑5) ≤ 𝐵)
35	26, 16, 23, 31, 34	letrd 11447	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 7 ≤ 𝐵)
36	24, 26, 23, 28, 35	ltletrd 11450	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐵)
37	4, 6, 23, 36, 12	relogbcld 41929	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (2 logb 𝐵) ∈ ℝ)
38	37	flcld 13849	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℤ)
39	24, 8	readdcld 11319	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (0 + 1) ∈ ℝ)
40	38	zred 12747	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℝ)
41	40, 8	readdcld 11319	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘(2 logb 𝐵)) + 1) ∈ ℝ)
42	4, 6, 4, 6, 12	relogbcld 41929	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (2 logb 2) ∈ ℝ)
43	8	leidd 11856	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ 1)
44		1cnd 11285	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
45	44	addlidd 11491	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (0 + 1) = 1)
46	4	recnd 11318	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
47	24, 6	gtned 11425	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 2 ≠ 0)
48		logbid1 26829	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0 ∧ 2 ≠ 1) → (2 logb 2) = 1)
49	46, 47, 12, 48	syl3anc 1371	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (2 logb 2) = 1)
50	49	eqcomd 2746	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 1 = (2 logb 2))
51	50	eqcomd 2746	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (2 logb 2) = 1)
52	45, 51	breq12d 5179	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((0 + 1) ≤ (2 logb 2) ↔ 1 ≤ 1))
53	43, 52	mpbird 257	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (0 + 1) ≤ (2 logb 2))
54		5re 12380	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 5 ∈ ℝ
55	54	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 5 ∈ ℝ)
56	4, 55	readdcld 11319	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (2 + 5) ∈ ℝ)
57	3, 14	nn0addge1i 12601	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ≤ (2 + 5)
58	57	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 2 ≤ (2 + 5))
59	3	recni 11304	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 2 ∈ ℂ
60		5cn 12381	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 5 ∈ ℂ
61	59, 60	addcomi 11481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (2 + 5) = (5 + 2)
62		5p2e7 12449	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (5 + 2) = 7
63	61, 62	eqtri 2768	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (2 + 5) = 7
64	63	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (2 + 5) = 7)
65	26	leidd 11856	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 7 ≤ 7)
66	64, 65	eqbrtrd 5188	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (2 + 5) ≤ 7)
67	4, 56, 26, 58, 66	letrd 11447	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 2 ≤ 7)
68	4, 26, 23, 67, 35	letrd 11447	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 2 ≤ 𝐵)
69		2z 12675	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ ℤ
70	69	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℤ)
71	70	uzidd 12919	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ (ℤ≥‘2))
72		2rp 13062	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℝ+
73	72	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ+)
74	23, 36	elrpd 13096	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
75		logbleb 26844	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 2 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (2 ≤ 𝐵 ↔ (2 logb 2) ≤ (2 logb 𝐵)))
76	71, 73, 74, 75	syl3anc 1371	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (2 ≤ 𝐵 ↔ (2 logb 2) ≤ (2 logb 𝐵)))
77	68, 76	mpbid 232	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (2 logb 2) ≤ (2 logb 𝐵))
78	39, 42, 37, 53, 77	letrd 11447	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (0 + 1) ≤ (2 logb 𝐵))
79		fllep1 13852	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 logb 𝐵) ∈ ℝ → (2 logb 𝐵) ≤ ((⌊‘(2 logb 𝐵)) + 1))
80	37, 79	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (2 logb 𝐵) ≤ ((⌊‘(2 logb 𝐵)) + 1))
81	39, 37, 41, 78, 80	letrd 11447	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0 + 1) ≤ ((⌊‘(2 logb 𝐵)) + 1))
82	24, 40, 8	leadd1d 11884	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ (⌊‘(2 logb 𝐵)) ↔ (0 + 1) ≤ ((⌊‘(2 logb 𝐵)) + 1)))
83	81, 82	mpbird 257	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (⌊‘(2 logb 𝐵)))
84	38, 83	jca 511	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (⌊‘(2 logb 𝐵))))
85		elnn0z 12652	. . . . . 6 ⊢ ((⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℕ0 ↔ ((⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (⌊‘(2 logb 𝐵))))
86	84, 85	sylibr 234	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℕ0)
87	2, 86	reexpcld 14213	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) ∈ ℝ)
88		fzfid 14024	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ∈ Fin)
89	2	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 𝑁 ∈ ℝ)
90		elfznn 13613	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → 𝑘 ∈ ℕ)
91	90	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 𝑘 ∈ ℕ)
92	91	nnnn0d 12613	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
93	89, 92	reexpcld 14213	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → (𝑁↑𝑘) ∈ ℝ)
94		1red 11291	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 1 ∈ ℝ)
95	93, 94	resubcld 11718	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → ((𝑁↑𝑘) − 1) ∈ ℝ)
96	88, 95	fprodrecl 16001	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑘) − 1) ∈ ℝ)
97	87, 96	remulcld 11320	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑘) − 1)) ∈ ℝ)
98		aks4d1p1p4.2	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑘) − 1))
99	98	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑘) − 1)))
100	99	eleq1d 2829	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ↔ ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑘) − 1)) ∈ ℝ))
101	97, 100	mpbird 257	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
102		aks4d1p1p4.7	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐸 = ((2 logb 𝑁)↑4)
103	102	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐸 = ((2 logb 𝑁)↑4))
104	103	oveq2d 7464	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁↑𝑐𝐸) = (𝑁↑𝑐((2 logb 𝑁)↑4)))
105		2cnd 12371	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
106	73	rpne0d 13104	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 2 ≠ 0)
107	106, 12	nelprd 4679	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ¬ 2 ∈ {0, 1})
108	105, 107	eldifd 3987	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}))
109	2	recnd 11318	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
110	24, 7	ltned 11426	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 0 ≠ 𝑁)
111		necom 3000	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (0 ≠ 𝑁 ↔ 𝑁 ≠ 0)
112	111	imbi2i 336	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 → 0 ≠ 𝑁) ↔ (𝜑 → 𝑁 ≠ 0))
113	110, 112	mpbi 230	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ≠ 0)
114	113	neneqd 2951	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑁 = 0)
115		c0ex 11284	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 ∈ V
116	115	elsn2 4687	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ {0} ↔ 𝑁 = 0)
117	114, 116	sylnibr 329	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑁 ∈ {0})
118	109, 117	eldifd 3987	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℂ ∖ {0}))
119		cxplogb 26847	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}) ∧ 𝑁 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (2↑𝑐(2 logb 𝑁)) = 𝑁)
120	108, 118, 119	syl2anc 583	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (2↑𝑐(2 logb 𝑁)) = 𝑁)
121	120	eqcomd 2746	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 = (2↑𝑐(2 logb 𝑁)))
122	121	oveq1d 7463	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑁↑𝑐((2 logb 𝑁)↑4)) = ((2↑𝑐(2 logb 𝑁))↑𝑐((2 logb 𝑁)↑4)))
123		eqidd 2741	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((2↑𝑐(2 logb 𝑁))↑𝑐((2 logb 𝑁)↑4)) = ((2↑𝑐(2 logb 𝑁))↑𝑐((2 logb 𝑁)↑4)))
124	122, 123	eqtrd 2780	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁↑𝑐((2 logb 𝑁)↑4)) = ((2↑𝑐(2 logb 𝑁))↑𝑐((2 logb 𝑁)↑4)))
125	104, 124	eqtrd 2780	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁↑𝑐𝐸) = ((2↑𝑐(2 logb 𝑁))↑𝑐((2 logb 𝑁)↑4)))
126	103	eqcomd 2746	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑4) = 𝐸)
127		4nn0 12572	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 4 ∈ ℕ0
128	127	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 4 ∈ ℕ0)
129	13, 128	reexpcld 14213	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑4) ∈ ℝ)
130	103	eleq1d 2829	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∈ ℝ ↔ ((2 logb 𝑁)↑4) ∈ ℝ))
131	129, 130	mpbird 257	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ)
132	131	recnd 11318	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℂ)
133	126, 132	eqeltrd 2844	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑4) ∈ ℂ)
134	73, 13, 133	cxpmuld 26797	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (2↑𝑐((2 logb 𝑁) · ((2 logb 𝑁)↑4))) = ((2↑𝑐(2 logb 𝑁))↑𝑐((2 logb 𝑁)↑4)))
135	134	eqcomd 2746	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((2↑𝑐(2 logb 𝑁))↑𝑐((2 logb 𝑁)↑4)) = (2↑𝑐((2 logb 𝑁) · ((2 logb 𝑁)↑4))))
136	125, 135	eqtrd 2780	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁↑𝑐𝐸) = (2↑𝑐((2 logb 𝑁) · ((2 logb 𝑁)↑4))))
137	13	recnd 11318	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (2 logb 𝑁) ∈ ℂ)
138	137	exp1d 14191	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑1) = (2 logb 𝑁))
139	138	eqcomd 2746	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (2 logb 𝑁) = ((2 logb 𝑁)↑1))
140	139	oveq1d 7463	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((2 logb 𝑁) · ((2 logb 𝑁)↑4)) = (((2 logb 𝑁)↑1) · ((2 logb 𝑁)↑4)))
141		1nn0 12569	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℕ0
142	141	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℕ0)
143	137, 128, 142	expaddd 14198	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑(1 + 4)) = (((2 logb 𝑁)↑1) · ((2 logb 𝑁)↑4)))
144	143	eqcomd 2746	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((2 logb 𝑁)↑1) · ((2 logb 𝑁)↑4)) = ((2 logb 𝑁)↑(1 + 4)))
145	140, 144	eqtrd 2780	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((2 logb 𝑁) · ((2 logb 𝑁)↑4)) = ((2 logb 𝑁)↑(1 + 4)))
146	145	oveq2d 7464	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (2↑𝑐((2 logb 𝑁) · ((2 logb 𝑁)↑4))) = (2↑𝑐((2 logb 𝑁)↑(1 + 4))))
147	136, 146	eqtrd 2780	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁↑𝑐𝐸) = (2↑𝑐((2 logb 𝑁)↑(1 + 4))))
148		4cn 12378	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℂ
149		ax-1cn 11242	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℂ
150		4p1e5 12439	. . . . . . . 8 ⊢ (4 + 1) = 5
151	148, 149, 150	addcomli 11482	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 4) = 5
152	151	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1 + 4) = 5)
153	152	oveq2d 7464	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑(1 + 4)) = ((2 logb 𝑁)↑5))
154	153	oveq2d 7464	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (2↑𝑐((2 logb 𝑁)↑(1 + 4))) = (2↑𝑐((2 logb 𝑁)↑5)))
155	147, 154	eqtrd 2780	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁↑𝑐𝐸) = (2↑𝑐((2 logb 𝑁)↑5)))
156		3re 12373	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℝ
157	156	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 3 ∈ ℝ)
158		0le1 11813	. . . . . . 7 ⊢ 0 ≤ 1
159	158	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 1)
160		1lt3 12466	. . . . . . . 8 ⊢ 1 < 3
161	160	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 < 3)
162	8, 157, 161	ltled 11438	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ 3)
163	24, 8, 157, 159, 162	letrd 11447	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 3)
164	24, 157, 2, 163, 29	letrd 11447	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑁)
165	2, 164, 131	recxpcld 26783	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁↑𝑐𝐸) ∈ ℝ)
166	155, 165	eqeltrrd 2845	. 2 ⊢ (𝜑 → (2↑𝑐((2 logb 𝑁)↑5)) ∈ ℝ)
167	21	eleq1d 2829	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ℤ ↔ (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)) ∈ ℤ))
168	18, 167	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
169	24, 23, 36	ltled 11438	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐵)
170	168, 169	jca 511	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐵))
171		elnn0z 12652	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 ↔ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐵))
172	170, 171	sylibr 234	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ0)
173	4, 172	reexpcld 14213	. 2 ⊢ (𝜑 → (2↑𝐵) ∈ ℝ)
174	2, 7	elrpd 13096	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ+)
175	16, 8	readdcld 11319	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((2 logb 𝑁)↑5) + 1) ∈ ℝ)
176	15	nn0zd 12665	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 5 ∈ ℤ)
177		logb1 26830	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0 ∧ 2 ≠ 1) → (2 logb 1) = 0)
178	46, 47, 12, 177	syl3anc 1371	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (2 logb 1) = 0)
179	178, 24	eqeltrd 2844	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (2 logb 1) ∈ ℝ)
180	24	leidd 11856	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 0)
181	178	eqcomd 2746	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 0 = (2 logb 1))
182	180, 181	breqtrd 5192	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (2 logb 1))
183	8, 157, 2, 161, 29	ltletrd 11450	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 1 < 𝑁)
184		1rp 13061	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 1 ∈ ℝ+
185	184	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ+)
186		logblt 26845	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((2 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 1 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → (1 < 𝑁 ↔ (2 logb 1) < (2 logb 𝑁)))
187	71, 185, 174, 186	syl3anc 1371	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (1 < 𝑁 ↔ (2 logb 1) < (2 logb 𝑁)))
188	183, 187	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (2 logb 1) < (2 logb 𝑁))
189	24, 179, 13, 182, 188	lelttrd 11448	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 0 < (2 logb 𝑁))
190	13, 176, 189	3jca 1128	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((2 logb 𝑁) ∈ ℝ ∧ 5 ∈ ℤ ∧ 0 < (2 logb 𝑁)))
191		expgt0 14146	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((2 logb 𝑁) ∈ ℝ ∧ 5 ∈ ℤ ∧ 0 < (2 logb 𝑁)) → 0 < ((2 logb 𝑁)↑5))
192	190, 191	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 < ((2 logb 𝑁)↑5))
193		ltp1 12134	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((2 logb 𝑁)↑5) ∈ ℝ → ((2 logb 𝑁)↑5) < (((2 logb 𝑁)↑5) + 1))
194	16, 193	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑5) < (((2 logb 𝑁)↑5) + 1))
195	24, 16, 175, 192, 194	lttrd 11451	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 < (((2 logb 𝑁)↑5) + 1))
196	4, 6, 175, 195, 12	relogbcld 41929	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)) ∈ ℝ)
197		aks4d1p1p4.5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐶 = (2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1))
198	197	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = (2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)))
199	198	eleq1d 2829	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ ↔ (2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)) ∈ ℝ))
200	196, 199	mpbird 257	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
201	13	resqcld 14175	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑2) ∈ ℝ)
202		aks4d1p1p4.6	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐷 = ((2 logb 𝑁)↑2)
203	202	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = ((2 logb 𝑁)↑2))
204	203	eleq1d 2829	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ ℝ ↔ ((2 logb 𝑁)↑2) ∈ ℝ))
205	201, 204	mpbird 257	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
206	205	rehalfcld 12540	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐷 / 2) ∈ ℝ)
207	200, 206	readdcld 11319	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐶 + (𝐷 / 2)) ∈ ℝ)
208	131, 4, 106	redivcld 12122	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐸 / 2) ∈ ℝ)
209	207, 208	readdcld 11319	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 + (𝐷 / 2)) + (𝐸 / 2)) ∈ ℝ)
210	174, 209	rpcxpcld 26793	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁↑𝑐((𝐶 + (𝐷 / 2)) + (𝐸 / 2))) ∈ ℝ+)
211	210	rpred 13099	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁↑𝑐((𝐶 + (𝐷 / 2)) + (𝐸 / 2))) ∈ ℝ)
212	1, 98, 20, 29	aks4d1p1p2 42027	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < (𝑁↑𝑐(((2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)) + (((2 logb 𝑁)↑2) / 2)) + (((2 logb 𝑁)↑4) / 2))))
213	126	oveq1d 7463	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((2 logb 𝑁)↑4) / 2) = (𝐸 / 2))
214	213	oveq2d 7464	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)) + (((2 logb 𝑁)↑2) / 2)) + (((2 logb 𝑁)↑4) / 2)) = (((2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)) + (((2 logb 𝑁)↑2) / 2)) + (𝐸 / 2)))
215	198	eqcomd 2746	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)) = 𝐶)
216	215	oveq1d 7463	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)) + (((2 logb 𝑁)↑2) / 2)) = (𝐶 + (((2 logb 𝑁)↑2) / 2)))
217	203	eqcomd 2746	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑2) = 𝐷)
218	217	oveq1d 7463	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((2 logb 𝑁)↑2) / 2) = (𝐷 / 2))
219	218	oveq2d 7464	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐶 + (((2 logb 𝑁)↑2) / 2)) = (𝐶 + (𝐷 / 2)))
220	216, 219	eqtrd 2780	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)) + (((2 logb 𝑁)↑2) / 2)) = (𝐶 + (𝐷 / 2)))
221	220	oveq1d 7463	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)) + (((2 logb 𝑁)↑2) / 2)) + (𝐸 / 2)) = ((𝐶 + (𝐷 / 2)) + (𝐸 / 2)))
222	214, 221	eqtrd 2780	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)) + (((2 logb 𝑁)↑2) / 2)) + (((2 logb 𝑁)↑4) / 2)) = ((𝐶 + (𝐷 / 2)) + (𝐸 / 2)))
223	222	oveq2d 7464	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁↑𝑐(((2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)) + (((2 logb 𝑁)↑2) / 2)) + (((2 logb 𝑁)↑4) / 2))) = (𝑁↑𝑐((𝐶 + (𝐷 / 2)) + (𝐸 / 2))))
224	212, 223	breqtrd 5192	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < (𝑁↑𝑐((𝐶 + (𝐷 / 2)) + (𝐸 / 2))))
225	200	recnd 11318	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
226	225, 105, 106	divcan3d 12075	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝐶) / 2) = 𝐶)
227	226	eqcomd 2746	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = ((2 · 𝐶) / 2))
228	227	oveq1d 7463	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐶 + (𝐷 / 2)) = (((2 · 𝐶) / 2) + (𝐷 / 2)))
229	4, 200	remulcld 11320	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝐶) ∈ ℝ)
230	229	recnd 11318	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝐶) ∈ ℂ)
231	205	recnd 11318	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
232	230, 231, 46, 106	divdird 12108	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝐶) + 𝐷) / 2) = (((2 · 𝐶) / 2) + (𝐷 / 2)))
233	232	eqcomd 2746	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝐶) / 2) + (𝐷 / 2)) = (((2 · 𝐶) + 𝐷) / 2))
234	228, 233	eqtrd 2780	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐶 + (𝐷 / 2)) = (((2 · 𝐶) + 𝐷) / 2))
235		aks4d1p1p4.8	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝐶) + 𝐷) ≤ 𝐸)
236	229, 205	readdcld 11319	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝐶) + 𝐷) ∈ ℝ)
237	236, 131, 73	lediv1d 13145	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝐶) + 𝐷) ≤ 𝐸 ↔ (((2 · 𝐶) + 𝐷) / 2) ≤ (𝐸 / 2)))
238	235, 237	mpbid 232	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝐶) + 𝐷) / 2) ≤ (𝐸 / 2))
239	234, 238	eqbrtrd 5188	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐶 + (𝐷 / 2)) ≤ (𝐸 / 2))
240	207, 208, 208, 239	leadd1dd 11904	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 + (𝐷 / 2)) + (𝐸 / 2)) ≤ ((𝐸 / 2) + (𝐸 / 2)))
241	132	2halvesd 12539	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 / 2) + (𝐸 / 2)) = 𝐸)
242	240, 241	breqtrd 5192	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 + (𝐷 / 2)) + (𝐸 / 2)) ≤ 𝐸)
243	2, 183, 209, 131	cxpled 26780	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 + (𝐷 / 2)) + (𝐸 / 2)) ≤ 𝐸 ↔ (𝑁↑𝑐((𝐶 + (𝐷 / 2)) + (𝐸 / 2))) ≤ (𝑁↑𝑐𝐸)))
244	242, 243	mpbid 232	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁↑𝑐((𝐶 + (𝐷 / 2)) + (𝐸 / 2))) ≤ (𝑁↑𝑐𝐸))
245	101, 211, 165, 224, 244	ltletrd 11450	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < (𝑁↑𝑐𝐸))
246	245, 155	breqtrd 5192	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < (2↑𝑐((2 logb 𝑁)↑5)))
247		1le2 12502	. . . . 5 ⊢ 1 ≤ 2
248	247	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ 2)
249	172	nn0red 12614	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
250	21	eqcomd 2746	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)) = 𝐵)
251	33, 250	breqtrd 5192	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑5) ≤ 𝐵)
252	4, 248, 16, 249, 251	cxplead 26781	. . 3 ⊢ (𝜑 → (2↑𝑐((2 logb 𝑁)↑5)) ≤ (2↑𝑐𝐵))
253		cxpexp 26728	. . . 4 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (2↑𝑐𝐵) = (2↑𝐵))
254	105, 172, 253	syl2anc 583	. . 3 ⊢ (𝜑 → (2↑𝑐𝐵) = (2↑𝐵))
255	252, 254	breqtrd 5192	. 2 ⊢ (𝜑 → (2↑𝑐((2 logb 𝑁)↑5)) ≤ (2↑𝐵))
256	101, 166, 173, 246, 255	ltletrd 11450	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < (2↑𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946   ∖ cdif 3973  {csn 4648  {cpr 4650   class class class wbr 5166  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  ℂcc 11182  ℝcr 11183  0cc0 11184  1c1 11185   + caddc 11187   · cmul 11189   < clt 11324   ≤ cle 11325   − cmin 11520   / cdiv 11947  ℕcn 12293  2c2 12348  3c3 12349  4c4 12350  5c5 12351  7c7 12353  ℕ₀cn0 12553  ℤcz 12639  ℤ_≥cuz 12903  ℝ⁺crp 13057  ...cfz 13567  ⌊cfl 13841  ⌈cceil 13842  ↑cexp 14112  ∏cprod 15951  ↑_𝑐ccxp 26615   log_b clogb 26825

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-inf2 9710  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262  ax-addf 11263

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-iin 5018  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-se 5653  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-isom 6582  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-of 7714  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-supp 8202  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-2o 8523  df-er 8763  df-map 8886  df-pm 8887  df-ixp 8956  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-fsupp 9432  df-fi 9480  df-sup 9511  df-inf 9512  df-oi 9579  df-card 10008  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-9 12363  df-n0 12554  df-z 12640  df-dec 12759  df-uz 12904  df-q 13014  df-rp 13058  df-xneg 13175  df-xadd 13176  df-xmul 13177  df-ioo 13411  df-ioc 13412  df-ico 13413  df-icc 13414  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-fl 13843  df-ceil 13844  df-mod 13921  df-seq 14053  df-exp 14113  df-fac 14323  df-bc 14352  df-hash 14380  df-shft 15116  df-cj 15148  df-re 15149  df-im 15150  df-sqrt 15284  df-abs 15285  df-limsup 15517  df-clim 15534  df-rlim 15535  df-sum 15735  df-prod 15952  df-ef 16115  df-sin 16117  df-cos 16118  df-pi 16120  df-struct 17194  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-ress 17288  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-starv 17326  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-ip 17329  df-tset 17330  df-ple 17331  df-ds 17333  df-unif 17334  df-hom 17335  df-cco 17336  df-rest 17482  df-topn 17483  df-0g 17501  df-gsum 17502  df-topgen 17503  df-pt 17504  df-prds 17507  df-xrs 17562  df-qtop 17567  df-imas 17568  df-xps 17570  df-mre 17644  df-mrc 17645  df-acs 17647  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-submnd 18819  df-mulg 19108  df-cntz 19357  df-cmn 19824  df-psmet 21379  df-xmet 21380  df-met 21381  df-bl 21382  df-mopn 21383  df-fbas 21384  df-fg 21385  df-cnfld 21388  df-top 22921  df-topon 22938  df-topsp 22960  df-bases 22974  df-cld 23048  df-ntr 23049  df-cls 23050  df-nei 23127  df-lp 23165  df-perf 23166  df-cn 23256  df-cnp 23257  df-haus 23344  df-tx 23591  df-hmeo 23784  df-fil 23875  df-fm 23967  df-flim 23968  df-flf 23969  df-xms 24351  df-ms 24352  df-tms 24353  df-cncf 24923  df-limc 25921  df-dv 25922  df-log 26616  df-cxp 26617  df-logb 26826

This theorem is referenced by:  aks4d1p1p5  42032