Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  aks4d1p1p4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem aks4d1p1p4 40086
Description: Technical step for inequality. The hard work is in to prove the final hypothesis. (Contributed by metakunt, 19-Aug-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
aks4d1p1p4.1 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
aks4d1p1p4.2 𝐴 = ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁𝑘) − 1))
aks4d1p1p4.3 𝐵 = (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5))
aks4d1p1p4.4 (𝜑 → 3 ≤ 𝑁)
aks4d1p1p4.5 𝐶 = (2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1))
aks4d1p1p4.6 𝐷 = ((2 logb 𝑁)↑2)
aks4d1p1p4.7 𝐸 = ((2 logb 𝑁)↑4)
aks4d1p1p4.8 (𝜑 → ((2 · 𝐶) + 𝐷) ≤ 𝐸)
Assertion
Ref Expression
aks4d1p1p4 (𝜑𝐴 < (2↑𝐵))
Distinct variable groups:   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)   𝐶(𝑘)   𝐷(𝑘)   𝐸(𝑘)

Proof of Theorem aks4d1p1p4
StepHypRef Expression
1 aks4d1p1p4.1 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
21nnred 11997 . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
3 2re 12056 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℝ
43a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
5 2pos 12085 . . . . . . . . . 10 0 < 2
65a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 < 2)
71nngt0d 12031 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 0 < 𝑁)
8 1red 10985 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
9 1lt2 12153 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 < 2
109a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → 1 < 2)
118, 10ltned 11120 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 1 ≠ 2)
1211necomd 3000 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 2 ≠ 1)
134, 6, 2, 7, 12relogbcld 39988 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (2 logb 𝑁) ∈ ℝ)
14 5nn0 12262 . . . . . . . . . . . . . 14 5 ∈ ℕ0
1514a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 5 ∈ ℕ0)
1613, 15reexpcld 13890 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑5) ∈ ℝ)
17 ceilcl 13571 . . . . . . . . . . . 12 (((2 logb 𝑁)↑5) ∈ ℝ → (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)) ∈ ℤ)
1816, 17syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)) ∈ ℤ)
1918zred 12435 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)) ∈ ℝ)
20 aks4d1p1p4.3 . . . . . . . . . . . 12 𝐵 = (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5))
2120a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵 = (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)))
2221eleq1d 2824 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐵 ∈ ℝ ↔ (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)) ∈ ℝ))
2319, 22mpbird 256 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
24 0red 10987 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
25 7re 12075 . . . . . . . . . . 11 7 ∈ ℝ
2625a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 7 ∈ ℝ)
27 7pos 12093 . . . . . . . . . . 11 0 < 7
2827a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 < 7)
29 aks4d1p1p4.4 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 3 ≤ 𝑁)
302, 293lexlogpow5ineq3 40072 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 7 < ((2 logb 𝑁)↑5))
3126, 16, 30ltled 11132 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 7 ≤ ((2 logb 𝑁)↑5))
32 ceilge 13574 . . . . . . . . . . . . 13 (((2 logb 𝑁)↑5) ∈ ℝ → ((2 logb 𝑁)↑5) ≤ (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)))
3316, 32syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑5) ≤ (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)))
3433, 21breqtrrd 5103 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑5) ≤ 𝐵)
3526, 16, 23, 31, 34letrd 11141 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 7 ≤ 𝐵)
3624, 26, 23, 28, 35ltletrd 11144 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 < 𝐵)
374, 6, 23, 36, 12relogbcld 39988 . . . . . . . 8 (𝜑 → (2 logb 𝐵) ∈ ℝ)
3837flcld 13527 . . . . . . 7 (𝜑 → (⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℤ)
3924, 8readdcld 11013 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (0 + 1) ∈ ℝ)
4038zred 12435 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℝ)
4140, 8readdcld 11013 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((⌊‘(2 logb 𝐵)) + 1) ∈ ℝ)
424, 6, 4, 6, 12relogbcld 39988 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (2 logb 2) ∈ ℝ)
438leidd 11550 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 1 ≤ 1)
44 1cnd 10979 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
4544addid2d 11185 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (0 + 1) = 1)
464recnd 11012 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
4724, 6gtned 11119 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 2 ≠ 0)
48 logbid1 25927 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0 ∧ 2 ≠ 1) → (2 logb 2) = 1)
4946, 47, 12, 48syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (2 logb 2) = 1)
5049eqcomd 2745 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 1 = (2 logb 2))
5150eqcomd 2745 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (2 logb 2) = 1)
5245, 51breq12d 5088 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((0 + 1) ≤ (2 logb 2) ↔ 1 ≤ 1))
5343, 52mpbird 256 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (0 + 1) ≤ (2 logb 2))
54 5re 12069 . . . . . . . . . . . . . . 15 5 ∈ ℝ
5554a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 5 ∈ ℝ)
564, 55readdcld 11013 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (2 + 5) ∈ ℝ)
573, 14nn0addge1i 12290 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ≤ (2 + 5)
5857a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 2 ≤ (2 + 5))
593recni 10998 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 ∈ ℂ
60 5cn 12070 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 5 ∈ ℂ
6159, 60addcomi 11175 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (2 + 5) = (5 + 2)
62 5p2e7 12138 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (5 + 2) = 7
6361, 62eqtri 2767 . . . . . . . . . . . . . . 15 (2 + 5) = 7
6463a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (2 + 5) = 7)
6526leidd 11550 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 7 ≤ 7)
6664, 65eqbrtrd 5097 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (2 + 5) ≤ 7)
674, 56, 26, 58, 66letrd 11141 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 2 ≤ 7)
684, 26, 23, 67, 35letrd 11141 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 2 ≤ 𝐵)
69 2z 12361 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ ℤ
7069a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 2 ∈ ℤ)
7170uzidd 12607 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 2 ∈ (ℤ‘2))
72 2rp 12744 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℝ+
7372a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 2 ∈ ℝ+)
7423, 36elrpd 12778 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
75 logbleb 25942 . . . . . . . . . . . 12 ((2 ∈ (ℤ‘2) ∧ 2 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+) → (2 ≤ 𝐵 ↔ (2 logb 2) ≤ (2 logb 𝐵)))
7671, 73, 74, 75syl3anc 1370 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (2 ≤ 𝐵 ↔ (2 logb 2) ≤ (2 logb 𝐵)))
7768, 76mpbid 231 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (2 logb 2) ≤ (2 logb 𝐵))
7839, 42, 37, 53, 77letrd 11141 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (0 + 1) ≤ (2 logb 𝐵))
79 fllep1 13530 . . . . . . . . . 10 ((2 logb 𝐵) ∈ ℝ → (2 logb 𝐵) ≤ ((⌊‘(2 logb 𝐵)) + 1))
8037, 79syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (2 logb 𝐵) ≤ ((⌊‘(2 logb 𝐵)) + 1))
8139, 37, 41, 78, 80letrd 11141 . . . . . . . 8 (𝜑 → (0 + 1) ≤ ((⌊‘(2 logb 𝐵)) + 1))
8224, 40, 8leadd1d 11578 . . . . . . . 8 (𝜑 → (0 ≤ (⌊‘(2 logb 𝐵)) ↔ (0 + 1) ≤ ((⌊‘(2 logb 𝐵)) + 1)))
8381, 82mpbird 256 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ≤ (⌊‘(2 logb 𝐵)))
8438, 83jca 512 . . . . . 6 (𝜑 → ((⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (⌊‘(2 logb 𝐵))))
85 elnn0z 12341 . . . . . 6 ((⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℕ0 ↔ ((⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (⌊‘(2 logb 𝐵))))
8684, 85sylibr 233 . . . . 5 (𝜑 → (⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℕ0)
872, 86reexpcld 13890 . . . 4 (𝜑 → (𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) ∈ ℝ)
88 fzfid 13702 . . . . 5 (𝜑 → (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ∈ Fin)
892adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 𝑁 ∈ ℝ)
90 elfznn 13294 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → 𝑘 ∈ ℕ)
9190adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 𝑘 ∈ ℕ)
9291nnnn0d 12302 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
9389, 92reexpcld 13890 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → (𝑁𝑘) ∈ ℝ)
94 1red 10985 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 1 ∈ ℝ)
9593, 94resubcld 11412 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → ((𝑁𝑘) − 1) ∈ ℝ)
9688, 95fprodrecl 15672 . . . 4 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁𝑘) − 1) ∈ ℝ)
9787, 96remulcld 11014 . . 3 (𝜑 → ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁𝑘) − 1)) ∈ ℝ)
98 aks4d1p1p4.2 . . . . 5 𝐴 = ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁𝑘) − 1))
9998a1i 11 . . . 4 (𝜑𝐴 = ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁𝑘) − 1)))
10099eleq1d 2824 . . 3 (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ↔ ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁𝑘) − 1)) ∈ ℝ))
10197, 100mpbird 256 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
102 aks4d1p1p4.7 . . . . . . . . 9 𝐸 = ((2 logb 𝑁)↑4)
103102a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑𝐸 = ((2 logb 𝑁)↑4))
104103oveq2d 7300 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁𝑐𝐸) = (𝑁𝑐((2 logb 𝑁)↑4)))
105 2cnd 12060 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
10673rpne0d 12786 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 2 ≠ 0)
107106, 12nelprd 4593 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ¬ 2 ∈ {0, 1})
108105, 107eldifd 3899 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 2 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}))
1092recnd 11012 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
11024, 7ltned 11120 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 0 ≠ 𝑁)
111 necom 2998 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0 ≠ 𝑁𝑁 ≠ 0)
112111imbi2i 336 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 → 0 ≠ 𝑁) ↔ (𝜑𝑁 ≠ 0))
113110, 112mpbi 229 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑁 ≠ 0)
114113neneqd 2949 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ¬ 𝑁 = 0)
115 c0ex 10978 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ∈ V
116115elsn2 4601 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ {0} ↔ 𝑁 = 0)
117114, 116sylnibr 329 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ¬ 𝑁 ∈ {0})
118109, 117eldifd 3899 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑁 ∈ (ℂ ∖ {0}))
119 cxplogb 25945 . . . . . . . . . . 11 ((2 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}) ∧ 𝑁 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (2↑𝑐(2 logb 𝑁)) = 𝑁)
120108, 118, 119syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (2↑𝑐(2 logb 𝑁)) = 𝑁)
121120eqcomd 2745 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 = (2↑𝑐(2 logb 𝑁)))
122121oveq1d 7299 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑁𝑐((2 logb 𝑁)↑4)) = ((2↑𝑐(2 logb 𝑁))↑𝑐((2 logb 𝑁)↑4)))
123 eqidd 2740 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((2↑𝑐(2 logb 𝑁))↑𝑐((2 logb 𝑁)↑4)) = ((2↑𝑐(2 logb 𝑁))↑𝑐((2 logb 𝑁)↑4)))
124122, 123eqtrd 2779 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁𝑐((2 logb 𝑁)↑4)) = ((2↑𝑐(2 logb 𝑁))↑𝑐((2 logb 𝑁)↑4)))
125104, 124eqtrd 2779 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁𝑐𝐸) = ((2↑𝑐(2 logb 𝑁))↑𝑐((2 logb 𝑁)↑4)))
126103eqcomd 2745 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑4) = 𝐸)
127 4nn0 12261 . . . . . . . . . . . . 13 4 ∈ ℕ0
128127a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 4 ∈ ℕ0)
12913, 128reexpcld 13890 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑4) ∈ ℝ)
130103eleq1d 2824 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐸 ∈ ℝ ↔ ((2 logb 𝑁)↑4) ∈ ℝ))
131129, 130mpbird 256 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐸 ∈ ℝ)
132131recnd 11012 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐸 ∈ ℂ)
133126, 132eqeltrd 2840 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑4) ∈ ℂ)
13473, 13, 133cxpmuld 25900 . . . . . . 7 (𝜑 → (2↑𝑐((2 logb 𝑁) · ((2 logb 𝑁)↑4))) = ((2↑𝑐(2 logb 𝑁))↑𝑐((2 logb 𝑁)↑4)))
135134eqcomd 2745 . . . . . 6 (𝜑 → ((2↑𝑐(2 logb 𝑁))↑𝑐((2 logb 𝑁)↑4)) = (2↑𝑐((2 logb 𝑁) · ((2 logb 𝑁)↑4))))
136125, 135eqtrd 2779 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁𝑐𝐸) = (2↑𝑐((2 logb 𝑁) · ((2 logb 𝑁)↑4))))
13713recnd 11012 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (2 logb 𝑁) ∈ ℂ)
138137exp1d 13868 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑1) = (2 logb 𝑁))
139138eqcomd 2745 . . . . . . . 8 (𝜑 → (2 logb 𝑁) = ((2 logb 𝑁)↑1))
140139oveq1d 7299 . . . . . . 7 (𝜑 → ((2 logb 𝑁) · ((2 logb 𝑁)↑4)) = (((2 logb 𝑁)↑1) · ((2 logb 𝑁)↑4)))
141 1nn0 12258 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℕ0
142141a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 1 ∈ ℕ0)
143137, 128, 142expaddd 13875 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑(1 + 4)) = (((2 logb 𝑁)↑1) · ((2 logb 𝑁)↑4)))
144143eqcomd 2745 . . . . . . 7 (𝜑 → (((2 logb 𝑁)↑1) · ((2 logb 𝑁)↑4)) = ((2 logb 𝑁)↑(1 + 4)))
145140, 144eqtrd 2779 . . . . . 6 (𝜑 → ((2 logb 𝑁) · ((2 logb 𝑁)↑4)) = ((2 logb 𝑁)↑(1 + 4)))
146145oveq2d 7300 . . . . 5 (𝜑 → (2↑𝑐((2 logb 𝑁) · ((2 logb 𝑁)↑4))) = (2↑𝑐((2 logb 𝑁)↑(1 + 4))))
147136, 146eqtrd 2779 . . . 4 (𝜑 → (𝑁𝑐𝐸) = (2↑𝑐((2 logb 𝑁)↑(1 + 4))))
148 4cn 12067 . . . . . . . 8 4 ∈ ℂ
149 ax-1cn 10938 . . . . . . . 8 1 ∈ ℂ
150 4p1e5 12128 . . . . . . . 8 (4 + 1) = 5
151148, 149, 150addcomli 11176 . . . . . . 7 (1 + 4) = 5
152151a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (1 + 4) = 5)
153152oveq2d 7300 . . . . 5 (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑(1 + 4)) = ((2 logb 𝑁)↑5))
154153oveq2d 7300 . . . 4 (𝜑 → (2↑𝑐((2 logb 𝑁)↑(1 + 4))) = (2↑𝑐((2 logb 𝑁)↑5)))
155147, 154eqtrd 2779 . . 3 (𝜑 → (𝑁𝑐𝐸) = (2↑𝑐((2 logb 𝑁)↑5)))
156 3re 12062 . . . . . 6 3 ∈ ℝ
157156a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → 3 ∈ ℝ)
158 0le1 11507 . . . . . . 7 0 ≤ 1
159158a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ≤ 1)
160 1lt3 12155 . . . . . . . 8 1 < 3
161160a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → 1 < 3)
1628, 157, 161ltled 11132 . . . . . 6 (𝜑 → 1 ≤ 3)
16324, 8, 157, 159, 162letrd 11141 . . . . 5 (𝜑 → 0 ≤ 3)
16424, 157, 2, 163, 29letrd 11141 . . . 4 (𝜑 → 0 ≤ 𝑁)
1652, 164, 131recxpcld 25887 . . 3 (𝜑 → (𝑁𝑐𝐸) ∈ ℝ)
166155, 165eqeltrrd 2841 . 2 (𝜑 → (2↑𝑐((2 logb 𝑁)↑5)) ∈ ℝ)
16721eleq1d 2824 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐵 ∈ ℤ ↔ (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)) ∈ ℤ))
16818, 167mpbird 256 . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ ℤ)
16924, 23, 36ltled 11132 . . . . 5 (𝜑 → 0 ≤ 𝐵)
170168, 169jca 512 . . . 4 (𝜑 → (𝐵 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐵))
171 elnn0z 12341 . . . 4 (𝐵 ∈ ℕ0 ↔ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐵))
172170, 171sylibr 233 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℕ0)
1734, 172reexpcld 13890 . 2 (𝜑 → (2↑𝐵) ∈ ℝ)
1742, 7elrpd 12778 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℝ+)
17516, 8readdcld 11013 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((2 logb 𝑁)↑5) + 1) ∈ ℝ)
17615nn0zd 12433 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 5 ∈ ℤ)
177 logb1 25928 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0 ∧ 2 ≠ 1) → (2 logb 1) = 0)
17846, 47, 12, 177syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (2 logb 1) = 0)
179178, 24eqeltrd 2840 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (2 logb 1) ∈ ℝ)
18024leidd 11550 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 0 ≤ 0)
181178eqcomd 2745 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 0 = (2 logb 1))
182180, 181breqtrd 5101 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 0 ≤ (2 logb 1))
1838, 157, 2, 161, 29ltletrd 11144 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 1 < 𝑁)
184 1rp 12743 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 ∈ ℝ+
185184a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → 1 ∈ ℝ+)
186 logblt 25943 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((2 ∈ (ℤ‘2) ∧ 1 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℝ+) → (1 < 𝑁 ↔ (2 logb 1) < (2 logb 𝑁)))
18771, 185, 174, 186syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (1 < 𝑁 ↔ (2 logb 1) < (2 logb 𝑁)))
188183, 187mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (2 logb 1) < (2 logb 𝑁))
18924, 179, 13, 182, 188lelttrd 11142 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 0 < (2 logb 𝑁))
19013, 176, 1893jca 1127 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((2 logb 𝑁) ∈ ℝ ∧ 5 ∈ ℤ ∧ 0 < (2 logb 𝑁)))
191 expgt0 13825 . . . . . . . . . . . 12 (((2 logb 𝑁) ∈ ℝ ∧ 5 ∈ ℤ ∧ 0 < (2 logb 𝑁)) → 0 < ((2 logb 𝑁)↑5))
192190, 191syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 < ((2 logb 𝑁)↑5))
193 ltp1 11824 . . . . . . . . . . . 12 (((2 logb 𝑁)↑5) ∈ ℝ → ((2 logb 𝑁)↑5) < (((2 logb 𝑁)↑5) + 1))
19416, 193syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑5) < (((2 logb 𝑁)↑5) + 1))
19524, 16, 175, 192, 194lttrd 11145 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 < (((2 logb 𝑁)↑5) + 1))
1964, 6, 175, 195, 12relogbcld 39988 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)) ∈ ℝ)
197 aks4d1p1p4.5 . . . . . . . . . . 11 𝐶 = (2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1))
198197a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐶 = (2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)))
199198eleq1d 2824 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ ↔ (2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)) ∈ ℝ))
200196, 199mpbird 256 . . . . . . . 8 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
20113resqcld 13974 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑2) ∈ ℝ)
202 aks4d1p1p4.6 . . . . . . . . . . . 12 𝐷 = ((2 logb 𝑁)↑2)
203202a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐷 = ((2 logb 𝑁)↑2))
204203eleq1d 2824 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐷 ∈ ℝ ↔ ((2 logb 𝑁)↑2) ∈ ℝ))
205201, 204mpbird 256 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐷 ∈ ℝ)
206205rehalfcld 12229 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐷 / 2) ∈ ℝ)
207200, 206readdcld 11013 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐶 + (𝐷 / 2)) ∈ ℝ)
208131, 4, 106redivcld 11812 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐸 / 2) ∈ ℝ)
209207, 208readdcld 11013 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐶 + (𝐷 / 2)) + (𝐸 / 2)) ∈ ℝ)
210174, 209rpcxpcld 25896 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁𝑐((𝐶 + (𝐷 / 2)) + (𝐸 / 2))) ∈ ℝ+)
211210rpred 12781 . . . 4 (𝜑 → (𝑁𝑐((𝐶 + (𝐷 / 2)) + (𝐸 / 2))) ∈ ℝ)
2121, 98, 20, 29aks4d1p1p2 40085 . . . . 5 (𝜑𝐴 < (𝑁𝑐(((2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)) + (((2 logb 𝑁)↑2) / 2)) + (((2 logb 𝑁)↑4) / 2))))
213126oveq1d 7299 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((2 logb 𝑁)↑4) / 2) = (𝐸 / 2))
214213oveq2d 7300 . . . . . . 7 (𝜑 → (((2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)) + (((2 logb 𝑁)↑2) / 2)) + (((2 logb 𝑁)↑4) / 2)) = (((2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)) + (((2 logb 𝑁)↑2) / 2)) + (𝐸 / 2)))
215198eqcomd 2745 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)) = 𝐶)
216215oveq1d 7299 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)) + (((2 logb 𝑁)↑2) / 2)) = (𝐶 + (((2 logb 𝑁)↑2) / 2)))
217203eqcomd 2745 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑2) = 𝐷)
218217oveq1d 7299 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((2 logb 𝑁)↑2) / 2) = (𝐷 / 2))
219218oveq2d 7300 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐶 + (((2 logb 𝑁)↑2) / 2)) = (𝐶 + (𝐷 / 2)))
220216, 219eqtrd 2779 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)) + (((2 logb 𝑁)↑2) / 2)) = (𝐶 + (𝐷 / 2)))
221220oveq1d 7299 . . . . . . 7 (𝜑 → (((2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)) + (((2 logb 𝑁)↑2) / 2)) + (𝐸 / 2)) = ((𝐶 + (𝐷 / 2)) + (𝐸 / 2)))
222214, 221eqtrd 2779 . . . . . 6 (𝜑 → (((2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)) + (((2 logb 𝑁)↑2) / 2)) + (((2 logb 𝑁)↑4) / 2)) = ((𝐶 + (𝐷 / 2)) + (𝐸 / 2)))
223222oveq2d 7300 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁𝑐(((2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)) + (((2 logb 𝑁)↑2) / 2)) + (((2 logb 𝑁)↑4) / 2))) = (𝑁𝑐((𝐶 + (𝐷 / 2)) + (𝐸 / 2))))
224212, 223breqtrd 5101 . . . 4 (𝜑𝐴 < (𝑁𝑐((𝐶 + (𝐷 / 2)) + (𝐸 / 2))))
225200recnd 11012 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
226225, 105, 106divcan3d 11765 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((2 · 𝐶) / 2) = 𝐶)
227226eqcomd 2745 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐶 = ((2 · 𝐶) / 2))
228227oveq1d 7299 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐶 + (𝐷 / 2)) = (((2 · 𝐶) / 2) + (𝐷 / 2)))
2294, 200remulcld 11014 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (2 · 𝐶) ∈ ℝ)
230229recnd 11012 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (2 · 𝐶) ∈ ℂ)
231205recnd 11012 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
232230, 231, 46, 106divdird 11798 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((2 · 𝐶) + 𝐷) / 2) = (((2 · 𝐶) / 2) + (𝐷 / 2)))
233232eqcomd 2745 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((2 · 𝐶) / 2) + (𝐷 / 2)) = (((2 · 𝐶) + 𝐷) / 2))
234228, 233eqtrd 2779 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐶 + (𝐷 / 2)) = (((2 · 𝐶) + 𝐷) / 2))
235 aks4d1p1p4.8 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((2 · 𝐶) + 𝐷) ≤ 𝐸)
236229, 205readdcld 11013 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((2 · 𝐶) + 𝐷) ∈ ℝ)
237236, 131, 73lediv1d 12827 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((2 · 𝐶) + 𝐷) ≤ 𝐸 ↔ (((2 · 𝐶) + 𝐷) / 2) ≤ (𝐸 / 2)))
238235, 237mpbid 231 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((2 · 𝐶) + 𝐷) / 2) ≤ (𝐸 / 2))
239234, 238eqbrtrd 5097 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐶 + (𝐷 / 2)) ≤ (𝐸 / 2))
240207, 208, 208, 239leadd1dd 11598 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐶 + (𝐷 / 2)) + (𝐸 / 2)) ≤ ((𝐸 / 2) + (𝐸 / 2)))
2411322halvesd 12228 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐸 / 2) + (𝐸 / 2)) = 𝐸)
242240, 241breqtrd 5101 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐶 + (𝐷 / 2)) + (𝐸 / 2)) ≤ 𝐸)
2432, 183, 209, 131cxpled 25884 . . . . 5 (𝜑 → (((𝐶 + (𝐷 / 2)) + (𝐸 / 2)) ≤ 𝐸 ↔ (𝑁𝑐((𝐶 + (𝐷 / 2)) + (𝐸 / 2))) ≤ (𝑁𝑐𝐸)))
244242, 243mpbid 231 . . . 4 (𝜑 → (𝑁𝑐((𝐶 + (𝐷 / 2)) + (𝐸 / 2))) ≤ (𝑁𝑐𝐸))
245101, 211, 165, 224, 244ltletrd 11144 . . 3 (𝜑𝐴 < (𝑁𝑐𝐸))
246245, 155breqtrd 5101 . 2 (𝜑𝐴 < (2↑𝑐((2 logb 𝑁)↑5)))
247 1le2 12191 . . . . 5 1 ≤ 2
248247a1i 11 . . . 4 (𝜑 → 1 ≤ 2)
249172nn0red 12303 . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
25021eqcomd 2745 . . . . 5 (𝜑 → (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)) = 𝐵)
25133, 250breqtrd 5101 . . . 4 (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑5) ≤ 𝐵)
2524, 248, 16, 249, 251cxplead 25885 . . 3 (𝜑 → (2↑𝑐((2 logb 𝑁)↑5)) ≤ (2↑𝑐𝐵))
253 cxpexp 25832 . . . 4 ((2 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (2↑𝑐𝐵) = (2↑𝐵))
254105, 172, 253syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → (2↑𝑐𝐵) = (2↑𝐵))
255252, 254breqtrd 5101 . 2 (𝜑 → (2↑𝑐((2 logb 𝑁)↑5)) ≤ (2↑𝐵))
256101, 166, 173, 246, 255ltletrd 11144 1 (𝜑𝐴 < (2↑𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1086   = wceq 1539  wcel 2107  wne 2944  cdif 3885  {csn 4562  {cpr 4564   class class class wbr 5075  cfv 6437  (class class class)co 7284  cc 10878  cr 10879  0cc0 10880  1c1 10881   + caddc 10883   · cmul 10885   < clt 11018  cle 11019  cmin 11214   / cdiv 11641  cn 11982  2c2 12037  3c3 12038  4c4 12039  5c5 12040  7c7 12042  0cn0 12242  cz 12328  cuz 12591  +crp 12739  ...cfz 13248  cfl 13519  cceil 13520  cexp 13791  cprod 15624  𝑐ccxp 25720   logb clogb 25923
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2710  ax-rep 5210  ax-sep 5224  ax-nul 5231  ax-pow 5289  ax-pr 5353  ax-un 7597  ax-inf2 9408  ax-cnex 10936  ax-resscn 10937  ax-1cn 10938  ax-icn 10939  ax-addcl 10940  ax-addrcl 10941  ax-mulcl 10942  ax-mulrcl 10943  ax-mulcom 10944  ax-addass 10945  ax-mulass 10946  ax-distr 10947  ax-i2m1 10948  ax-1ne0 10949  ax-1rid 10950  ax-rnegex 10951  ax-rrecex 10952  ax-cnre 10953  ax-pre-lttri 10954  ax-pre-lttrn 10955  ax-pre-ltadd 10956  ax-pre-mulgt0 10957  ax-pre-sup 10958  ax-addf 10959  ax-mulf 10960
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-rmo 3072  df-reu 3073  df-rab 3074  df-v 3435  df-sbc 3718  df-csb 3834  df-dif 3891  df-un 3893  df-in 3895  df-ss 3905  df-pss 3907  df-nul 4258  df-if 4461  df-pw 4536  df-sn 4563  df-pr 4565  df-tp 4567  df-op 4569  df-uni 4841  df-int 4881  df-iun 4927  df-iin 4928  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5159  df-tr 5193  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-se 5546  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6206  df-ord 6273  df-on 6274  df-lim 6275  df-suc 6276  df-iota 6395  df-fun 6439  df-fn 6440  df-f 6441  df-f1 6442  df-fo 6443  df-f1o 6444  df-fv 6445  df-isom 6446  df-riota 7241  df-ov 7287  df-oprab 7288  df-mpo 7289  df-of 7542  df-om 7722  df-1st 7840  df-2nd 7841  df-supp 7987  df-frecs 8106  df-wrecs 8137  df-recs 8211  df-rdg 8250  df-1o 8306  df-2o 8307  df-er 8507  df-map 8626  df-pm 8627  df-ixp 8695  df-en 8743  df-dom 8744  df-sdom 8745  df-fin 8746  df-fsupp 9138  df-fi 9179  df-sup 9210  df-inf 9211  df-oi 9278  df-card 9706  df-pnf 11020  df-mnf 11021  df-xr 11022  df-ltxr 11023  df-le 11024  df-sub 11216  df-neg 11217  df-div 11642  df-nn 11983  df-2 12045  df-3 12046  df-4 12047  df-5 12048  df-6 12049  df-7 12050  df-8 12051  df-9 12052  df-n0 12243  df-z 12329  df-dec 12447  df-uz 12592  df-q 12698  df-rp 12740  df-xneg 12857  df-xadd 12858  df-xmul 12859  df-ioo 13092  df-ioc 13093  df-ico 13094  df-icc 13095  df-fz 13249  df-fzo 13392  df-fl 13521  df-ceil 13522  df-mod 13599  df-seq 13731  df-exp 13792  df-fac 13997  df-bc 14026  df-hash 14054  df-shft 14787  df-cj 14819  df-re 14820  df-im 14821  df-sqrt 14955  df-abs 14956  df-limsup 15189  df-clim 15206  df-rlim 15207  df-sum 15407  df-prod 15625  df-ef 15786  df-sin 15788  df-cos 15789  df-pi 15791  df-struct 16857  df-sets 16874  df-slot 16892  df-ndx 16904  df-base 16922  df-ress 16951  df-plusg 16984  df-mulr 16985  df-starv 16986  df-sca 16987  df-vsca 16988  df-ip 16989  df-tset 16990  df-ple 16991  df-ds 16993  df-unif 16994  df-hom 16995  df-cco 16996  df-rest 17142  df-topn 17143  df-0g 17161  df-gsum 17162  df-topgen 17163  df-pt 17164  df-prds 17167  df-xrs 17222  df-qtop 17227  df-imas 17228  df-xps 17230  df-mre 17304  df-mrc 17305  df-acs 17307  df-mgm 18335  df-sgrp 18384  df-mnd 18395  df-submnd 18440  df-mulg 18710  df-cntz 18932  df-cmn 19397  df-psmet 20598  df-xmet 20599  df-met 20600  df-bl 20601  df-mopn 20602  df-fbas 20603  df-fg 20604  df-cnfld 20607  df-top 22052  df-topon 22069  df-topsp 22091  df-bases 22105  df-cld 22179  df-ntr 22180  df-cls 22181  df-nei 22258  df-lp 22296  df-perf 22297  df-cn 22387  df-cnp 22388  df-haus 22475  df-tx 22722  df-hmeo 22915  df-fil 23006  df-fm 23098  df-flim 23099  df-flf 23100  df-xms 23482  df-ms 23483  df-tms 23484  df-cncf 24050  df-limc 25039  df-dv 25040  df-log 25721  df-cxp 25722  df-logb 25924
This theorem is referenced by:  aks4d1p1p5  40090
  Copyright terms: Public domain W3C validator