Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  aks4d1p1p4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem aks4d1p1p4 39695
Description: Technical step for inequality. The hard work is in to prove the final hypothesis. (Contributed by metakunt, 19-Aug-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
aks4d1p1p4.1 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
aks4d1p1p4.2 𝐴 = ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁𝑘) − 1))
aks4d1p1p4.3 𝐵 = (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5))
aks4d1p1p4.4 (𝜑 → 3 ≤ 𝑁)
aks4d1p1p4.5 𝐶 = (2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1))
aks4d1p1p4.6 𝐷 = ((2 logb 𝑁)↑2)
aks4d1p1p4.7 𝐸 = ((2 logb 𝑁)↑4)
aks4d1p1p4.8 (𝜑 → ((2 · 𝐶) + 𝐷) ≤ 𝐸)
Assertion
Ref Expression
aks4d1p1p4 (𝜑𝐴 < (2↑𝐵))
Distinct variable groups:   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)   𝐶(𝑘)   𝐷(𝑘)   𝐸(𝑘)

Proof of Theorem aks4d1p1p4
StepHypRef Expression
1 aks4d1p1p4.1 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
21nnred 11732 . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
3 2re 11791 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℝ
43a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
5 2pos 11820 . . . . . . . . . 10 0 < 2
65a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 < 2)
71nngt0d 11766 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 0 < 𝑁)
8 1red 10721 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
9 1lt2 11888 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 < 2
109a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → 1 < 2)
118, 10ltned 10855 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 1 ≠ 2)
1211necomd 2989 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 2 ≠ 1)
134, 6, 2, 7, 12relogbcld 39597 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (2 logb 𝑁) ∈ ℝ)
14 5nn0 11997 . . . . . . . . . . . . . 14 5 ∈ ℕ0
1514a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 5 ∈ ℕ0)
1613, 15reexpcld 13620 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑5) ∈ ℝ)
17 ceilcl 13304 . . . . . . . . . . . 12 (((2 logb 𝑁)↑5) ∈ ℝ → (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)) ∈ ℤ)
1816, 17syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)) ∈ ℤ)
1918zred 12169 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)) ∈ ℝ)
20 aks4d1p1p4.3 . . . . . . . . . . . 12 𝐵 = (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5))
2120a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵 = (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)))
2221eleq1d 2817 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐵 ∈ ℝ ↔ (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)) ∈ ℝ))
2319, 22mpbird 260 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
24 0red 10723 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
25 7re 11810 . . . . . . . . . . 11 7 ∈ ℝ
2625a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 7 ∈ ℝ)
27 7pos 11828 . . . . . . . . . . 11 0 < 7
2827a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 < 7)
29 aks4d1p1p4.4 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 3 ≤ 𝑁)
302, 293lexlogpow5ineq3 39682 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 7 < ((2 logb 𝑁)↑5))
3126, 16, 30ltled 10867 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 7 ≤ ((2 logb 𝑁)↑5))
32 ceilge 13306 . . . . . . . . . . . . 13 (((2 logb 𝑁)↑5) ∈ ℝ → ((2 logb 𝑁)↑5) ≤ (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)))
3316, 32syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑5) ≤ (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)))
3433, 21breqtrrd 5059 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑5) ≤ 𝐵)
3526, 16, 23, 31, 34letrd 10876 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 7 ≤ 𝐵)
3624, 26, 23, 28, 35ltletrd 10879 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 < 𝐵)
374, 6, 23, 36, 12relogbcld 39597 . . . . . . . 8 (𝜑 → (2 logb 𝐵) ∈ ℝ)
3837flcld 13260 . . . . . . 7 (𝜑 → (⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℤ)
3924, 8readdcld 10749 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (0 + 1) ∈ ℝ)
4038zred 12169 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℝ)
4140, 8readdcld 10749 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((⌊‘(2 logb 𝐵)) + 1) ∈ ℝ)
424, 6, 4, 6, 12relogbcld 39597 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (2 logb 2) ∈ ℝ)
438leidd 11285 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 1 ≤ 1)
44 1cnd 10715 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
4544addid2d 10920 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (0 + 1) = 1)
464recnd 10748 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
4724, 6gtned 10854 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 2 ≠ 0)
48 logbid1 25506 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0 ∧ 2 ≠ 1) → (2 logb 2) = 1)
4946, 47, 12, 48syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (2 logb 2) = 1)
5049eqcomd 2744 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 1 = (2 logb 2))
5150eqcomd 2744 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (2 logb 2) = 1)
5245, 51breq12d 5044 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((0 + 1) ≤ (2 logb 2) ↔ 1 ≤ 1))
5343, 52mpbird 260 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (0 + 1) ≤ (2 logb 2))
54 5re 11804 . . . . . . . . . . . . . . 15 5 ∈ ℝ
5554a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 5 ∈ ℝ)
564, 55readdcld 10749 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (2 + 5) ∈ ℝ)
573, 14nn0addge1i 12025 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ≤ (2 + 5)
5857a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 2 ≤ (2 + 5))
593recni 10734 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 ∈ ℂ
60 5cn 11805 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 5 ∈ ℂ
6159, 60addcomi 10910 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (2 + 5) = (5 + 2)
62 5p2e7 11873 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (5 + 2) = 7
6361, 62eqtri 2761 . . . . . . . . . . . . . . 15 (2 + 5) = 7
6463a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (2 + 5) = 7)
6526leidd 11285 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 7 ≤ 7)
6664, 65eqbrtrd 5053 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (2 + 5) ≤ 7)
674, 56, 26, 58, 66letrd 10876 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 2 ≤ 7)
684, 26, 23, 67, 35letrd 10876 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 2 ≤ 𝐵)
69 2z 12096 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ ℤ
7069a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 2 ∈ ℤ)
7170uzidd 12341 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 2 ∈ (ℤ‘2))
72 2rp 12478 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℝ+
7372a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 2 ∈ ℝ+)
7423, 36elrpd 12512 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
75 logbleb 25521 . . . . . . . . . . . 12 ((2 ∈ (ℤ‘2) ∧ 2 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+) → (2 ≤ 𝐵 ↔ (2 logb 2) ≤ (2 logb 𝐵)))
7671, 73, 74, 75syl3anc 1372 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (2 ≤ 𝐵 ↔ (2 logb 2) ≤ (2 logb 𝐵)))
7768, 76mpbid 235 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (2 logb 2) ≤ (2 logb 𝐵))
7839, 42, 37, 53, 77letrd 10876 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (0 + 1) ≤ (2 logb 𝐵))
79 fllep1 13263 . . . . . . . . . 10 ((2 logb 𝐵) ∈ ℝ → (2 logb 𝐵) ≤ ((⌊‘(2 logb 𝐵)) + 1))
8037, 79syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (2 logb 𝐵) ≤ ((⌊‘(2 logb 𝐵)) + 1))
8139, 37, 41, 78, 80letrd 10876 . . . . . . . 8 (𝜑 → (0 + 1) ≤ ((⌊‘(2 logb 𝐵)) + 1))
8224, 40, 8leadd1d 11313 . . . . . . . 8 (𝜑 → (0 ≤ (⌊‘(2 logb 𝐵)) ↔ (0 + 1) ≤ ((⌊‘(2 logb 𝐵)) + 1)))
8381, 82mpbird 260 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ≤ (⌊‘(2 logb 𝐵)))
8438, 83jca 515 . . . . . 6 (𝜑 → ((⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (⌊‘(2 logb 𝐵))))
85 elnn0z 12076 . . . . . 6 ((⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℕ0 ↔ ((⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (⌊‘(2 logb 𝐵))))
8684, 85sylibr 237 . . . . 5 (𝜑 → (⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℕ0)
872, 86reexpcld 13620 . . . 4 (𝜑 → (𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) ∈ ℝ)
88 fzfid 13433 . . . . 5 (𝜑 → (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ∈ Fin)
892adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 𝑁 ∈ ℝ)
90 elfznn 13028 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → 𝑘 ∈ ℕ)
9190adantl 485 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 𝑘 ∈ ℕ)
9291nnnn0d 12037 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
9389, 92reexpcld 13620 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → (𝑁𝑘) ∈ ℝ)
94 1red 10721 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 1 ∈ ℝ)
9593, 94resubcld 11147 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → ((𝑁𝑘) − 1) ∈ ℝ)
9688, 95fprodrecl 15400 . . . 4 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁𝑘) − 1) ∈ ℝ)
9787, 96remulcld 10750 . . 3 (𝜑 → ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁𝑘) − 1)) ∈ ℝ)
98 aks4d1p1p4.2 . . . . 5 𝐴 = ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁𝑘) − 1))
9998a1i 11 . . . 4 (𝜑𝐴 = ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁𝑘) − 1)))
10099eleq1d 2817 . . 3 (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ↔ ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁𝑘) − 1)) ∈ ℝ))
10197, 100mpbird 260 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
102 aks4d1p1p4.7 . . . . . . . . 9 𝐸 = ((2 logb 𝑁)↑4)
103102a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑𝐸 = ((2 logb 𝑁)↑4))
104103oveq2d 7187 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁𝑐𝐸) = (𝑁𝑐((2 logb 𝑁)↑4)))
105 2cnd 11795 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
10673rpne0d 12520 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 2 ≠ 0)
107106, 12nelprd 4548 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ¬ 2 ∈ {0, 1})
108105, 107eldifd 3855 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 2 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}))
1092recnd 10748 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
11024, 7ltned 10855 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 0 ≠ 𝑁)
111 necom 2987 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0 ≠ 𝑁𝑁 ≠ 0)
112111imbi2i 339 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 → 0 ≠ 𝑁) ↔ (𝜑𝑁 ≠ 0))
113110, 112mpbi 233 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑁 ≠ 0)
114113neneqd 2939 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ¬ 𝑁 = 0)
115 c0ex 10714 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ∈ V
116115elsn2 4556 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ {0} ↔ 𝑁 = 0)
117114, 116sylnibr 332 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ¬ 𝑁 ∈ {0})
118109, 117eldifd 3855 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑁 ∈ (ℂ ∖ {0}))
119 cxplogb 25524 . . . . . . . . . . 11 ((2 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}) ∧ 𝑁 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (2↑𝑐(2 logb 𝑁)) = 𝑁)
120108, 118, 119syl2anc 587 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (2↑𝑐(2 logb 𝑁)) = 𝑁)
121120eqcomd 2744 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 = (2↑𝑐(2 logb 𝑁)))
122121oveq1d 7186 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑁𝑐((2 logb 𝑁)↑4)) = ((2↑𝑐(2 logb 𝑁))↑𝑐((2 logb 𝑁)↑4)))
123 eqidd 2739 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((2↑𝑐(2 logb 𝑁))↑𝑐((2 logb 𝑁)↑4)) = ((2↑𝑐(2 logb 𝑁))↑𝑐((2 logb 𝑁)↑4)))
124122, 123eqtrd 2773 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁𝑐((2 logb 𝑁)↑4)) = ((2↑𝑐(2 logb 𝑁))↑𝑐((2 logb 𝑁)↑4)))
125104, 124eqtrd 2773 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁𝑐𝐸) = ((2↑𝑐(2 logb 𝑁))↑𝑐((2 logb 𝑁)↑4)))
126103eqcomd 2744 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑4) = 𝐸)
127 4nn0 11996 . . . . . . . . . . . . 13 4 ∈ ℕ0
128127a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 4 ∈ ℕ0)
12913, 128reexpcld 13620 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑4) ∈ ℝ)
130103eleq1d 2817 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐸 ∈ ℝ ↔ ((2 logb 𝑁)↑4) ∈ ℝ))
131129, 130mpbird 260 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐸 ∈ ℝ)
132131recnd 10748 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐸 ∈ ℂ)
133126, 132eqeltrd 2833 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑4) ∈ ℂ)
13473, 13, 133cxpmuld 25479 . . . . . . 7 (𝜑 → (2↑𝑐((2 logb 𝑁) · ((2 logb 𝑁)↑4))) = ((2↑𝑐(2 logb 𝑁))↑𝑐((2 logb 𝑁)↑4)))
135134eqcomd 2744 . . . . . 6 (𝜑 → ((2↑𝑐(2 logb 𝑁))↑𝑐((2 logb 𝑁)↑4)) = (2↑𝑐((2 logb 𝑁) · ((2 logb 𝑁)↑4))))
136125, 135eqtrd 2773 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁𝑐𝐸) = (2↑𝑐((2 logb 𝑁) · ((2 logb 𝑁)↑4))))
13713recnd 10748 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (2 logb 𝑁) ∈ ℂ)
138137exp1d 13598 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑1) = (2 logb 𝑁))
139138eqcomd 2744 . . . . . . . 8 (𝜑 → (2 logb 𝑁) = ((2 logb 𝑁)↑1))
140139oveq1d 7186 . . . . . . 7 (𝜑 → ((2 logb 𝑁) · ((2 logb 𝑁)↑4)) = (((2 logb 𝑁)↑1) · ((2 logb 𝑁)↑4)))
141 1nn0 11993 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℕ0
142141a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 1 ∈ ℕ0)
143137, 128, 142expaddd 13605 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑(1 + 4)) = (((2 logb 𝑁)↑1) · ((2 logb 𝑁)↑4)))
144143eqcomd 2744 . . . . . . 7 (𝜑 → (((2 logb 𝑁)↑1) · ((2 logb 𝑁)↑4)) = ((2 logb 𝑁)↑(1 + 4)))
145140, 144eqtrd 2773 . . . . . 6 (𝜑 → ((2 logb 𝑁) · ((2 logb 𝑁)↑4)) = ((2 logb 𝑁)↑(1 + 4)))
146145oveq2d 7187 . . . . 5 (𝜑 → (2↑𝑐((2 logb 𝑁) · ((2 logb 𝑁)↑4))) = (2↑𝑐((2 logb 𝑁)↑(1 + 4))))
147136, 146eqtrd 2773 . . . 4 (𝜑 → (𝑁𝑐𝐸) = (2↑𝑐((2 logb 𝑁)↑(1 + 4))))
148 4cn 11802 . . . . . . . 8 4 ∈ ℂ
149 ax-1cn 10674 . . . . . . . 8 1 ∈ ℂ
150 4p1e5 11863 . . . . . . . 8 (4 + 1) = 5
151148, 149, 150addcomli 10911 . . . . . . 7 (1 + 4) = 5
152151a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (1 + 4) = 5)
153152oveq2d 7187 . . . . 5 (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑(1 + 4)) = ((2 logb 𝑁)↑5))
154153oveq2d 7187 . . . 4 (𝜑 → (2↑𝑐((2 logb 𝑁)↑(1 + 4))) = (2↑𝑐((2 logb 𝑁)↑5)))
155147, 154eqtrd 2773 . . 3 (𝜑 → (𝑁𝑐𝐸) = (2↑𝑐((2 logb 𝑁)↑5)))
156 3re 11797 . . . . . 6 3 ∈ ℝ
157156a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → 3 ∈ ℝ)
158 0le1 11242 . . . . . . 7 0 ≤ 1
159158a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ≤ 1)
160 1lt3 11890 . . . . . . . 8 1 < 3
161160a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → 1 < 3)
1628, 157, 161ltled 10867 . . . . . 6 (𝜑 → 1 ≤ 3)
16324, 8, 157, 159, 162letrd 10876 . . . . 5 (𝜑 → 0 ≤ 3)
16424, 157, 2, 163, 29letrd 10876 . . . 4 (𝜑 → 0 ≤ 𝑁)
1652, 164, 131recxpcld 25466 . . 3 (𝜑 → (𝑁𝑐𝐸) ∈ ℝ)
166155, 165eqeltrrd 2834 . 2 (𝜑 → (2↑𝑐((2 logb 𝑁)↑5)) ∈ ℝ)
16721eleq1d 2817 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐵 ∈ ℤ ↔ (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)) ∈ ℤ))
16818, 167mpbird 260 . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ ℤ)
16924, 23, 36ltled 10867 . . . . 5 (𝜑 → 0 ≤ 𝐵)
170168, 169jca 515 . . . 4 (𝜑 → (𝐵 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐵))
171 elnn0z 12076 . . . 4 (𝐵 ∈ ℕ0 ↔ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐵))
172170, 171sylibr 237 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℕ0)
1734, 172reexpcld 13620 . 2 (𝜑 → (2↑𝐵) ∈ ℝ)
1742, 7elrpd 12512 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℝ+)
17516, 8readdcld 10749 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((2 logb 𝑁)↑5) + 1) ∈ ℝ)
17615nn0zd 12167 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 5 ∈ ℤ)
177 logb1 25507 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0 ∧ 2 ≠ 1) → (2 logb 1) = 0)
17846, 47, 12, 177syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (2 logb 1) = 0)
179178, 24eqeltrd 2833 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (2 logb 1) ∈ ℝ)
18024leidd 11285 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 0 ≤ 0)
181178eqcomd 2744 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 0 = (2 logb 1))
182180, 181breqtrd 5057 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 0 ≤ (2 logb 1))
1838, 157, 2, 161, 29ltletrd 10879 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 1 < 𝑁)
184 1rp 12477 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 ∈ ℝ+
185184a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → 1 ∈ ℝ+)
186 logblt 25522 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((2 ∈ (ℤ‘2) ∧ 1 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℝ+) → (1 < 𝑁 ↔ (2 logb 1) < (2 logb 𝑁)))
18771, 185, 174, 186syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (1 < 𝑁 ↔ (2 logb 1) < (2 logb 𝑁)))
188183, 187mpbid 235 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (2 logb 1) < (2 logb 𝑁))
18924, 179, 13, 182, 188lelttrd 10877 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 0 < (2 logb 𝑁))
19013, 176, 1893jca 1129 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((2 logb 𝑁) ∈ ℝ ∧ 5 ∈ ℤ ∧ 0 < (2 logb 𝑁)))
191 expgt0 13555 . . . . . . . . . . . 12 (((2 logb 𝑁) ∈ ℝ ∧ 5 ∈ ℤ ∧ 0 < (2 logb 𝑁)) → 0 < ((2 logb 𝑁)↑5))
192190, 191syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 < ((2 logb 𝑁)↑5))
193 ltp1 11559 . . . . . . . . . . . 12 (((2 logb 𝑁)↑5) ∈ ℝ → ((2 logb 𝑁)↑5) < (((2 logb 𝑁)↑5) + 1))
19416, 193syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑5) < (((2 logb 𝑁)↑5) + 1))
19524, 16, 175, 192, 194lttrd 10880 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 < (((2 logb 𝑁)↑5) + 1))
1964, 6, 175, 195, 12relogbcld 39597 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)) ∈ ℝ)
197 aks4d1p1p4.5 . . . . . . . . . . 11 𝐶 = (2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1))
198197a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐶 = (2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)))
199198eleq1d 2817 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ ↔ (2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)) ∈ ℝ))
200196, 199mpbird 260 . . . . . . . 8 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
20113resqcld 13704 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑2) ∈ ℝ)
202 aks4d1p1p4.6 . . . . . . . . . . . 12 𝐷 = ((2 logb 𝑁)↑2)
203202a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐷 = ((2 logb 𝑁)↑2))
204203eleq1d 2817 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐷 ∈ ℝ ↔ ((2 logb 𝑁)↑2) ∈ ℝ))
205201, 204mpbird 260 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐷 ∈ ℝ)
206205rehalfcld 11964 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐷 / 2) ∈ ℝ)
207200, 206readdcld 10749 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐶 + (𝐷 / 2)) ∈ ℝ)
208131, 4, 106redivcld 11547 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐸 / 2) ∈ ℝ)
209207, 208readdcld 10749 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐶 + (𝐷 / 2)) + (𝐸 / 2)) ∈ ℝ)
210174, 209rpcxpcld 25475 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁𝑐((𝐶 + (𝐷 / 2)) + (𝐸 / 2))) ∈ ℝ+)
211210rpred 12515 . . . 4 (𝜑 → (𝑁𝑐((𝐶 + (𝐷 / 2)) + (𝐸 / 2))) ∈ ℝ)
2121, 98, 20, 29aks4d1p1p2 39694 . . . . 5 (𝜑𝐴 < (𝑁𝑐(((2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)) + (((2 logb 𝑁)↑2) / 2)) + (((2 logb 𝑁)↑4) / 2))))
213126oveq1d 7186 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((2 logb 𝑁)↑4) / 2) = (𝐸 / 2))
214213oveq2d 7187 . . . . . . 7 (𝜑 → (((2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)) + (((2 logb 𝑁)↑2) / 2)) + (((2 logb 𝑁)↑4) / 2)) = (((2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)) + (((2 logb 𝑁)↑2) / 2)) + (𝐸 / 2)))
215198eqcomd 2744 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)) = 𝐶)
216215oveq1d 7186 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)) + (((2 logb 𝑁)↑2) / 2)) = (𝐶 + (((2 logb 𝑁)↑2) / 2)))
217203eqcomd 2744 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑2) = 𝐷)
218217oveq1d 7186 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((2 logb 𝑁)↑2) / 2) = (𝐷 / 2))
219218oveq2d 7187 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐶 + (((2 logb 𝑁)↑2) / 2)) = (𝐶 + (𝐷 / 2)))
220216, 219eqtrd 2773 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)) + (((2 logb 𝑁)↑2) / 2)) = (𝐶 + (𝐷 / 2)))
221220oveq1d 7186 . . . . . . 7 (𝜑 → (((2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)) + (((2 logb 𝑁)↑2) / 2)) + (𝐸 / 2)) = ((𝐶 + (𝐷 / 2)) + (𝐸 / 2)))
222214, 221eqtrd 2773 . . . . . 6 (𝜑 → (((2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)) + (((2 logb 𝑁)↑2) / 2)) + (((2 logb 𝑁)↑4) / 2)) = ((𝐶 + (𝐷 / 2)) + (𝐸 / 2)))
223222oveq2d 7187 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁𝑐(((2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)) + (((2 logb 𝑁)↑2) / 2)) + (((2 logb 𝑁)↑4) / 2))) = (𝑁𝑐((𝐶 + (𝐷 / 2)) + (𝐸 / 2))))
224212, 223breqtrd 5057 . . . 4 (𝜑𝐴 < (𝑁𝑐((𝐶 + (𝐷 / 2)) + (𝐸 / 2))))
225200recnd 10748 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
226225, 105, 106divcan3d 11500 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((2 · 𝐶) / 2) = 𝐶)
227226eqcomd 2744 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐶 = ((2 · 𝐶) / 2))
228227oveq1d 7186 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐶 + (𝐷 / 2)) = (((2 · 𝐶) / 2) + (𝐷 / 2)))
2294, 200remulcld 10750 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (2 · 𝐶) ∈ ℝ)
230229recnd 10748 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (2 · 𝐶) ∈ ℂ)
231205recnd 10748 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
232230, 231, 46, 106divdird 11533 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((2 · 𝐶) + 𝐷) / 2) = (((2 · 𝐶) / 2) + (𝐷 / 2)))
233232eqcomd 2744 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((2 · 𝐶) / 2) + (𝐷 / 2)) = (((2 · 𝐶) + 𝐷) / 2))
234228, 233eqtrd 2773 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐶 + (𝐷 / 2)) = (((2 · 𝐶) + 𝐷) / 2))
235 aks4d1p1p4.8 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((2 · 𝐶) + 𝐷) ≤ 𝐸)
236229, 205readdcld 10749 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((2 · 𝐶) + 𝐷) ∈ ℝ)
237236, 131, 73lediv1d 12561 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((2 · 𝐶) + 𝐷) ≤ 𝐸 ↔ (((2 · 𝐶) + 𝐷) / 2) ≤ (𝐸 / 2)))
238235, 237mpbid 235 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((2 · 𝐶) + 𝐷) / 2) ≤ (𝐸 / 2))
239234, 238eqbrtrd 5053 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐶 + (𝐷 / 2)) ≤ (𝐸 / 2))
240207, 208, 208, 239leadd1dd 11333 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐶 + (𝐷 / 2)) + (𝐸 / 2)) ≤ ((𝐸 / 2) + (𝐸 / 2)))
2411322halvesd 11963 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐸 / 2) + (𝐸 / 2)) = 𝐸)
242240, 241breqtrd 5057 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐶 + (𝐷 / 2)) + (𝐸 / 2)) ≤ 𝐸)
2432, 183, 209, 131cxpled 25463 . . . . 5 (𝜑 → (((𝐶 + (𝐷 / 2)) + (𝐸 / 2)) ≤ 𝐸 ↔ (𝑁𝑐((𝐶 + (𝐷 / 2)) + (𝐸 / 2))) ≤ (𝑁𝑐𝐸)))
244242, 243mpbid 235 . . . 4 (𝜑 → (𝑁𝑐((𝐶 + (𝐷 / 2)) + (𝐸 / 2))) ≤ (𝑁𝑐𝐸))
245101, 211, 165, 224, 244ltletrd 10879 . . 3 (𝜑𝐴 < (𝑁𝑐𝐸))
246245, 155breqtrd 5057 . 2 (𝜑𝐴 < (2↑𝑐((2 logb 𝑁)↑5)))
247 1le2 11926 . . . . 5 1 ≤ 2
248247a1i 11 . . . 4 (𝜑 → 1 ≤ 2)
249172nn0red 12038 . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
25021eqcomd 2744 . . . . 5 (𝜑 → (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)) = 𝐵)
25133, 250breqtrd 5057 . . . 4 (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑5) ≤ 𝐵)
2524, 248, 16, 249, 251cxplead 25464 . . 3 (𝜑 → (2↑𝑐((2 logb 𝑁)↑5)) ≤ (2↑𝑐𝐵))
253 cxpexp 25411 . . . 4 ((2 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (2↑𝑐𝐵) = (2↑𝐵))
254105, 172, 253syl2anc 587 . . 3 (𝜑 → (2↑𝑐𝐵) = (2↑𝐵))
255252, 254breqtrd 5057 . 2 (𝜑 → (2↑𝑐((2 logb 𝑁)↑5)) ≤ (2↑𝐵))
256101, 166, 173, 246, 255ltletrd 10879 1 (𝜑𝐴 < (2↑𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2113  wne 2934  cdif 3841  {csn 4517  {cpr 4519   class class class wbr 5031  cfv 6340  (class class class)co 7171  cc 10614  cr 10615  0cc0 10616  1c1 10617   + caddc 10619   · cmul 10621   < clt 10754  cle 10755  cmin 10949   / cdiv 11376  cn 11717  2c2 11772  3c3 11773  4c4 11774  5c5 11775  7c7 11777  0cn0 11977  cz 12063  cuz 12325  +crp 12473  ...cfz 12982  cfl 13252  cceil 13253  cexp 13522  cprod 15352  𝑐ccxp 25299   logb clogb 25502
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2019  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2710  ax-rep 5155  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5233  ax-pr 5297  ax-un 7480  ax-inf2 9178  ax-cnex 10672  ax-resscn 10673  ax-1cn 10674  ax-icn 10675  ax-addcl 10676  ax-addrcl 10677  ax-mulcl 10678  ax-mulrcl 10679  ax-mulcom 10680  ax-addass 10681  ax-mulass 10682  ax-distr 10683  ax-i2m1 10684  ax-1ne0 10685  ax-1rid 10686  ax-rnegex 10687  ax-rrecex 10688  ax-cnre 10689  ax-pre-lttri 10690  ax-pre-lttrn 10691  ax-pre-ltadd 10692  ax-pre-mulgt0 10693  ax-pre-sup 10694  ax-addf 10695  ax-mulf 10696
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3683  df-csb 3792  df-dif 3847  df-un 3849  df-in 3851  df-ss 3861  df-pss 3863  df-nul 4213  df-if 4416  df-pw 4491  df-sn 4518  df-pr 4520  df-tp 4522  df-op 4524  df-uni 4798  df-int 4838  df-iun 4884  df-iin 4885  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-tr 5138  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5484  df-se 5485  df-we 5486  df-xp 5532  df-rel 5533  df-cnv 5534  df-co 5535  df-dm 5536  df-rn 5537  df-res 5538  df-ima 5539  df-pred 6130  df-ord 6176  df-on 6177  df-lim 6178  df-suc 6179  df-iota 6298  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-isom 6349  df-riota 7128  df-ov 7174  df-oprab 7175  df-mpo 7176  df-of 7426  df-om 7601  df-1st 7715  df-2nd 7716  df-supp 7858  df-wrecs 7977  df-recs 8038  df-rdg 8076  df-1o 8132  df-2o 8133  df-er 8321  df-map 8440  df-pm 8441  df-ixp 8509  df-en 8557  df-dom 8558  df-sdom 8559  df-fin 8560  df-fsupp 8908  df-fi 8949  df-sup 8980  df-inf 8981  df-oi 9048  df-card 9442  df-pnf 10756  df-mnf 10757  df-xr 10758  df-ltxr 10759  df-le 10760  df-sub 10951  df-neg 10952  df-div 11377  df-nn 11718  df-2 11780  df-3 11781  df-4 11782  df-5 11783  df-6 11784  df-7 11785  df-8 11786  df-9 11787  df-n0 11978  df-z 12064  df-dec 12181  df-uz 12326  df-q 12432  df-rp 12474  df-xneg 12591  df-xadd 12592  df-xmul 12593  df-ioo 12826  df-ioc 12827  df-ico 12828  df-icc 12829  df-fz 12983  df-fzo 13126  df-fl 13254  df-ceil 13255  df-mod 13330  df-seq 13462  df-exp 13523  df-fac 13727  df-bc 13756  df-hash 13784  df-shft 14517  df-cj 14549  df-re 14550  df-im 14551  df-sqrt 14685  df-abs 14686  df-limsup 14919  df-clim 14936  df-rlim 14937  df-sum 15137  df-prod 15353  df-ef 15514  df-sin 15516  df-cos 15517  df-pi 15519  df-struct 16589  df-ndx 16590  df-slot 16591  df-base 16593  df-sets 16594  df-ress 16595  df-plusg 16682  df-mulr 16683  df-starv 16684  df-sca 16685  df-vsca 16686  df-ip 16687  df-tset 16688  df-ple 16689  df-ds 16691  df-unif 16692  df-hom 16693  df-cco 16694  df-rest 16800  df-topn 16801  df-0g 16819  df-gsum 16820  df-topgen 16821  df-pt 16822  df-prds 16825  df-xrs 16879  df-qtop 16884  df-imas 16885  df-xps 16887  df-mre 16961  df-mrc 16962  df-acs 16964  df-mgm 17969  df-sgrp 18018  df-mnd 18029  df-submnd 18074  df-mulg 18344  df-cntz 18566  df-cmn 19027  df-psmet 20210  df-xmet 20211  df-met 20212  df-bl 20213  df-mopn 20214  df-fbas 20215  df-fg 20216  df-cnfld 20219  df-top 21646  df-topon 21663  df-topsp 21685  df-bases 21698  df-cld 21771  df-ntr 21772  df-cls 21773  df-nei 21850  df-lp 21888  df-perf 21889  df-cn 21979  df-cnp 21980  df-haus 22067  df-tx 22314  df-hmeo 22507  df-fil 22598  df-fm 22690  df-flim 22691  df-flf 22692  df-xms 23074  df-ms 23075  df-tms 23076  df-cncf 23631  df-limc 24618  df-dv 24619  df-log 25300  df-cxp 25301  df-logb 25503
This theorem is referenced by:  aks4d1p1p5  39699
  Copyright terms: Public domain W3C validator