Theorem aks4d1p1p4 42393

Description: Technical step for inequality. The hard work is in to prove the final hypothesis. (Contributed by metakunt, 19-Aug-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
aks4d1p1p4.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
aks4d1p1p4.2	⊢ 𝐴 = ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑘) − 1))
aks4d1p1p4.3	⊢ 𝐵 = (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5))
aks4d1p1p4.4	⊢ (𝜑 → 3 ≤ 𝑁)
aks4d1p1p4.5	⊢ 𝐶 = (2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1))
aks4d1p1p4.6	⊢ 𝐷 = ((2 logb 𝑁)↑2)
aks4d1p1p4.7	⊢ 𝐸 = ((2 logb 𝑁)↑4)
aks4d1p1p4.8	⊢ (𝜑 → ((2 · 𝐶) + 𝐷) ≤ 𝐸)

Assertion

Ref	Expression
aks4d1p1p4	⊢ (𝜑 → 𝐴 < (2↑𝐵))

Distinct variable groups:   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)   𝐶(𝑘)   𝐷(𝑘)   𝐸(𝑘)

Proof of Theorem aks4d1p1p4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		aks4d1p1p4.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
2	1	nnred 12164	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
3		2re 12223	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℝ
4	3	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
5		2pos 12252	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 < 2
6	5	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 < 2)
7	1	nngt0d 12198	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑁)
8		1red 11137	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
9		1lt2 12315	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 1 < 2
10	9	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 1 < 2)
11	8, 10	ltned 11273	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 1 ≠ 2)
12	11	necomd 2988	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 2 ≠ 1)
13	4, 6, 2, 7, 12	relogbcld 42295	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (2 logb 𝑁) ∈ ℝ)
14		5nn0 12425	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 5 ∈ ℕ0
15	14	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 5 ∈ ℕ0)
16	13, 15	reexpcld 14090	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑5) ∈ ℝ)
17		ceilcl 13766	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((2 logb 𝑁)↑5) ∈ ℝ → (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)) ∈ ℤ)
18	16, 17	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)) ∈ ℤ)
19	18	zred 12600	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)) ∈ ℝ)
20		aks4d1p1p4.3	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐵 = (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5))
21	20	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)))
22	21	eleq1d 2822	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ℝ ↔ (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)) ∈ ℝ))
23	19, 22	mpbird 257	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
24		0red 11139	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
25		7re 12242	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 7 ∈ ℝ
26	25	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 7 ∈ ℝ)
27		7pos 12260	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 < 7
28	27	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 < 7)
29		aks4d1p1p4.4	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 3 ≤ 𝑁)
30	2, 29	3lexlogpow5ineq3 42379	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 7 < ((2 logb 𝑁)↑5))
31	26, 16, 30	ltled 11285	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 7 ≤ ((2 logb 𝑁)↑5))
32		ceilge 13769	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((2 logb 𝑁)↑5) ∈ ℝ → ((2 logb 𝑁)↑5) ≤ (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)))
33	16, 32	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑5) ≤ (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)))
34	33, 21	breqtrrd 5127	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑5) ≤ 𝐵)
35	26, 16, 23, 31, 34	letrd 11294	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 7 ≤ 𝐵)
36	24, 26, 23, 28, 35	ltletrd 11297	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐵)
37	4, 6, 23, 36, 12	relogbcld 42295	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (2 logb 𝐵) ∈ ℝ)
38	37	flcld 13722	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℤ)
39	24, 8	readdcld 11165	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (0 + 1) ∈ ℝ)
40	38	zred 12600	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℝ)
41	40, 8	readdcld 11165	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘(2 logb 𝐵)) + 1) ∈ ℝ)
42	4, 6, 4, 6, 12	relogbcld 42295	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (2 logb 2) ∈ ℝ)
43	8	leidd 11707	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ 1)
44		1cnd 11131	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
45	44	addlidd 11338	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (0 + 1) = 1)
46	4	recnd 11164	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
47	24, 6	gtned 11272	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 2 ≠ 0)
48		logbid1 26738	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0 ∧ 2 ≠ 1) → (2 logb 2) = 1)
49	46, 47, 12, 48	syl3anc 1374	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (2 logb 2) = 1)
50	49	eqcomd 2743	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 1 = (2 logb 2))
51	50	eqcomd 2743	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (2 logb 2) = 1)
52	45, 51	breq12d 5112	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((0 + 1) ≤ (2 logb 2) ↔ 1 ≤ 1))
53	43, 52	mpbird 257	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (0 + 1) ≤ (2 logb 2))
54		5re 12236	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 5 ∈ ℝ
55	54	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 5 ∈ ℝ)
56	4, 55	readdcld 11165	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (2 + 5) ∈ ℝ)
57	3, 14	nn0addge1i 12453	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ≤ (2 + 5)
58	57	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 2 ≤ (2 + 5))
59	3	recni 11150	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 2 ∈ ℂ
60		5cn 12237	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 5 ∈ ℂ
61	59, 60	addcomi 11328	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (2 + 5) = (5 + 2)
62		5p2e7 12300	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (5 + 2) = 7
63	61, 62	eqtri 2760	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (2 + 5) = 7
64	63	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (2 + 5) = 7)
65	26	leidd 11707	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 7 ≤ 7)
66	64, 65	eqbrtrd 5121	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (2 + 5) ≤ 7)
67	4, 56, 26, 58, 66	letrd 11294	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 2 ≤ 7)
68	4, 26, 23, 67, 35	letrd 11294	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 2 ≤ 𝐵)
69		2z 12527	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ ℤ
70	69	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℤ)
71	70	uzidd 12771	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ (ℤ≥‘2))
72		2rp 12914	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℝ+
73	72	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ+)
74	23, 36	elrpd 12950	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
75		logbleb 26753	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 2 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (2 ≤ 𝐵 ↔ (2 logb 2) ≤ (2 logb 𝐵)))
76	71, 73, 74, 75	syl3anc 1374	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (2 ≤ 𝐵 ↔ (2 logb 2) ≤ (2 logb 𝐵)))
77	68, 76	mpbid 232	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (2 logb 2) ≤ (2 logb 𝐵))
78	39, 42, 37, 53, 77	letrd 11294	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (0 + 1) ≤ (2 logb 𝐵))
79		fllep1 13725	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 logb 𝐵) ∈ ℝ → (2 logb 𝐵) ≤ ((⌊‘(2 logb 𝐵)) + 1))
80	37, 79	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (2 logb 𝐵) ≤ ((⌊‘(2 logb 𝐵)) + 1))
81	39, 37, 41, 78, 80	letrd 11294	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0 + 1) ≤ ((⌊‘(2 logb 𝐵)) + 1))
82	24, 40, 8	leadd1d 11735	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ (⌊‘(2 logb 𝐵)) ↔ (0 + 1) ≤ ((⌊‘(2 logb 𝐵)) + 1)))
83	81, 82	mpbird 257	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (⌊‘(2 logb 𝐵)))
84	38, 83	jca 511	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (⌊‘(2 logb 𝐵))))
85		elnn0z 12505	. . . . . 6 ⊢ ((⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℕ0 ↔ ((⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (⌊‘(2 logb 𝐵))))
86	84, 85	sylibr 234	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℕ0)
87	2, 86	reexpcld 14090	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) ∈ ℝ)
88		fzfid 13900	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ∈ Fin)
89	2	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 𝑁 ∈ ℝ)
90		elfznn 13473	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → 𝑘 ∈ ℕ)
91	90	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 𝑘 ∈ ℕ)
92	91	nnnn0d 12466	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
93	89, 92	reexpcld 14090	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → (𝑁↑𝑘) ∈ ℝ)
94		1red 11137	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 1 ∈ ℝ)
95	93, 94	resubcld 11569	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → ((𝑁↑𝑘) − 1) ∈ ℝ)
96	88, 95	fprodrecl 15880	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑘) − 1) ∈ ℝ)
97	87, 96	remulcld 11166	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑘) − 1)) ∈ ℝ)
98		aks4d1p1p4.2	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑘) − 1))
99	98	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑘) − 1)))
100	99	eleq1d 2822	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ↔ ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑘) − 1)) ∈ ℝ))
101	97, 100	mpbird 257	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
102		aks4d1p1p4.7	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐸 = ((2 logb 𝑁)↑4)
103	102	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐸 = ((2 logb 𝑁)↑4))
104	103	oveq2d 7376	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁↑𝑐𝐸) = (𝑁↑𝑐((2 logb 𝑁)↑4)))
105		2cnd 12227	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
106	73	rpne0d 12958	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 2 ≠ 0)
107	106, 12	nelprd 4615	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ¬ 2 ∈ {0, 1})
108	105, 107	eldifd 3913	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}))
109	2	recnd 11164	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
110	24, 7	ltned 11273	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 0 ≠ 𝑁)
111		necom 2986	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (0 ≠ 𝑁 ↔ 𝑁 ≠ 0)
112	111	imbi2i 336	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 → 0 ≠ 𝑁) ↔ (𝜑 → 𝑁 ≠ 0))
113	110, 112	mpbi 230	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ≠ 0)
114	113	neneqd 2938	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑁 = 0)
115		c0ex 11130	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 ∈ V
116	115	elsn2 4623	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ {0} ↔ 𝑁 = 0)
117	114, 116	sylnibr 329	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑁 ∈ {0})
118	109, 117	eldifd 3913	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℂ ∖ {0}))
119		cxplogb 26756	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}) ∧ 𝑁 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (2↑𝑐(2 logb 𝑁)) = 𝑁)
120	108, 118, 119	syl2anc 585	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (2↑𝑐(2 logb 𝑁)) = 𝑁)
121	120	eqcomd 2743	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 = (2↑𝑐(2 logb 𝑁)))
122	121	oveq1d 7375	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑁↑𝑐((2 logb 𝑁)↑4)) = ((2↑𝑐(2 logb 𝑁))↑𝑐((2 logb 𝑁)↑4)))
123		eqidd 2738	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((2↑𝑐(2 logb 𝑁))↑𝑐((2 logb 𝑁)↑4)) = ((2↑𝑐(2 logb 𝑁))↑𝑐((2 logb 𝑁)↑4)))
124	122, 123	eqtrd 2772	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁↑𝑐((2 logb 𝑁)↑4)) = ((2↑𝑐(2 logb 𝑁))↑𝑐((2 logb 𝑁)↑4)))
125	104, 124	eqtrd 2772	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁↑𝑐𝐸) = ((2↑𝑐(2 logb 𝑁))↑𝑐((2 logb 𝑁)↑4)))
126	103	eqcomd 2743	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑4) = 𝐸)
127		4nn0 12424	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 4 ∈ ℕ0
128	127	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 4 ∈ ℕ0)
129	13, 128	reexpcld 14090	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑4) ∈ ℝ)
130	103	eleq1d 2822	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∈ ℝ ↔ ((2 logb 𝑁)↑4) ∈ ℝ))
131	129, 130	mpbird 257	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ)
132	131	recnd 11164	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℂ)
133	126, 132	eqeltrd 2837	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑4) ∈ ℂ)
134	73, 13, 133	cxpmuld 26706	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (2↑𝑐((2 logb 𝑁) · ((2 logb 𝑁)↑4))) = ((2↑𝑐(2 logb 𝑁))↑𝑐((2 logb 𝑁)↑4)))
135	134	eqcomd 2743	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((2↑𝑐(2 logb 𝑁))↑𝑐((2 logb 𝑁)↑4)) = (2↑𝑐((2 logb 𝑁) · ((2 logb 𝑁)↑4))))
136	125, 135	eqtrd 2772	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁↑𝑐𝐸) = (2↑𝑐((2 logb 𝑁) · ((2 logb 𝑁)↑4))))
137	13	recnd 11164	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (2 logb 𝑁) ∈ ℂ)
138	137	exp1d 14068	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑1) = (2 logb 𝑁))
139	138	eqcomd 2743	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (2 logb 𝑁) = ((2 logb 𝑁)↑1))
140	139	oveq1d 7375	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((2 logb 𝑁) · ((2 logb 𝑁)↑4)) = (((2 logb 𝑁)↑1) · ((2 logb 𝑁)↑4)))
141		1nn0 12421	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℕ0
142	141	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℕ0)
143	137, 128, 142	expaddd 14075	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑(1 + 4)) = (((2 logb 𝑁)↑1) · ((2 logb 𝑁)↑4)))
144	143	eqcomd 2743	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((2 logb 𝑁)↑1) · ((2 logb 𝑁)↑4)) = ((2 logb 𝑁)↑(1 + 4)))
145	140, 144	eqtrd 2772	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((2 logb 𝑁) · ((2 logb 𝑁)↑4)) = ((2 logb 𝑁)↑(1 + 4)))
146	145	oveq2d 7376	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (2↑𝑐((2 logb 𝑁) · ((2 logb 𝑁)↑4))) = (2↑𝑐((2 logb 𝑁)↑(1 + 4))))
147	136, 146	eqtrd 2772	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁↑𝑐𝐸) = (2↑𝑐((2 logb 𝑁)↑(1 + 4))))
148		4cn 12234	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℂ
149		ax-1cn 11088	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℂ
150		4p1e5 12290	. . . . . . . 8 ⊢ (4 + 1) = 5
151	148, 149, 150	addcomli 11329	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 4) = 5
152	151	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1 + 4) = 5)
153	152	oveq2d 7376	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑(1 + 4)) = ((2 logb 𝑁)↑5))
154	153	oveq2d 7376	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (2↑𝑐((2 logb 𝑁)↑(1 + 4))) = (2↑𝑐((2 logb 𝑁)↑5)))
155	147, 154	eqtrd 2772	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁↑𝑐𝐸) = (2↑𝑐((2 logb 𝑁)↑5)))
156		3re 12229	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℝ
157	156	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 3 ∈ ℝ)
158		0le1 11664	. . . . . . 7 ⊢ 0 ≤ 1
159	158	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 1)
160		1lt3 12317	. . . . . . . 8 ⊢ 1 < 3
161	160	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 < 3)
162	8, 157, 161	ltled 11285	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ 3)
163	24, 8, 157, 159, 162	letrd 11294	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 3)
164	24, 157, 2, 163, 29	letrd 11294	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑁)
165	2, 164, 131	recxpcld 26692	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁↑𝑐𝐸) ∈ ℝ)
166	155, 165	eqeltrrd 2838	. 2 ⊢ (𝜑 → (2↑𝑐((2 logb 𝑁)↑5)) ∈ ℝ)
167	21	eleq1d 2822	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ℤ ↔ (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)) ∈ ℤ))
168	18, 167	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
169	24, 23, 36	ltled 11285	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐵)
170	168, 169	jca 511	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐵))
171		elnn0z 12505	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 ↔ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐵))
172	170, 171	sylibr 234	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ0)
173	4, 172	reexpcld 14090	. 2 ⊢ (𝜑 → (2↑𝐵) ∈ ℝ)
174	2, 7	elrpd 12950	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ+)
175	16, 8	readdcld 11165	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((2 logb 𝑁)↑5) + 1) ∈ ℝ)
176	15	nn0zd 12517	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 5 ∈ ℤ)
177		logb1 26739	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0 ∧ 2 ≠ 1) → (2 logb 1) = 0)
178	46, 47, 12, 177	syl3anc 1374	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (2 logb 1) = 0)
179	178, 24	eqeltrd 2837	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (2 logb 1) ∈ ℝ)
180	24	leidd 11707	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 0)
181	178	eqcomd 2743	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 0 = (2 logb 1))
182	180, 181	breqtrd 5125	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (2 logb 1))
183	8, 157, 2, 161, 29	ltletrd 11297	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 1 < 𝑁)
184		1rp 12913	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 1 ∈ ℝ+
185	184	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ+)
186		logblt 26754	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((2 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 1 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → (1 < 𝑁 ↔ (2 logb 1) < (2 logb 𝑁)))
187	71, 185, 174, 186	syl3anc 1374	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (1 < 𝑁 ↔ (2 logb 1) < (2 logb 𝑁)))
188	183, 187	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (2 logb 1) < (2 logb 𝑁))
189	24, 179, 13, 182, 188	lelttrd 11295	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 0 < (2 logb 𝑁))
190	13, 176, 189	3jca 1129	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((2 logb 𝑁) ∈ ℝ ∧ 5 ∈ ℤ ∧ 0 < (2 logb 𝑁)))
191		expgt0 14022	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((2 logb 𝑁) ∈ ℝ ∧ 5 ∈ ℤ ∧ 0 < (2 logb 𝑁)) → 0 < ((2 logb 𝑁)↑5))
192	190, 191	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 < ((2 logb 𝑁)↑5))
193		ltp1 11985	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((2 logb 𝑁)↑5) ∈ ℝ → ((2 logb 𝑁)↑5) < (((2 logb 𝑁)↑5) + 1))
194	16, 193	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑5) < (((2 logb 𝑁)↑5) + 1))
195	24, 16, 175, 192, 194	lttrd 11298	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 < (((2 logb 𝑁)↑5) + 1))
196	4, 6, 175, 195, 12	relogbcld 42295	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)) ∈ ℝ)
197		aks4d1p1p4.5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐶 = (2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1))
198	197	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = (2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)))
199	198	eleq1d 2822	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ ↔ (2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)) ∈ ℝ))
200	196, 199	mpbird 257	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
201	13	resqcld 14052	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑2) ∈ ℝ)
202		aks4d1p1p4.6	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐷 = ((2 logb 𝑁)↑2)
203	202	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = ((2 logb 𝑁)↑2))
204	203	eleq1d 2822	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ ℝ ↔ ((2 logb 𝑁)↑2) ∈ ℝ))
205	201, 204	mpbird 257	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
206	205	rehalfcld 12392	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐷 / 2) ∈ ℝ)
207	200, 206	readdcld 11165	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐶 + (𝐷 / 2)) ∈ ℝ)
208	131, 4, 106	redivcld 11973	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐸 / 2) ∈ ℝ)
209	207, 208	readdcld 11165	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 + (𝐷 / 2)) + (𝐸 / 2)) ∈ ℝ)
210	174, 209	rpcxpcld 26702	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁↑𝑐((𝐶 + (𝐷 / 2)) + (𝐸 / 2))) ∈ ℝ+)
211	210	rpred 12953	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁↑𝑐((𝐶 + (𝐷 / 2)) + (𝐸 / 2))) ∈ ℝ)
212	1, 98, 20, 29	aks4d1p1p2 42392	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < (𝑁↑𝑐(((2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)) + (((2 logb 𝑁)↑2) / 2)) + (((2 logb 𝑁)↑4) / 2))))
213	126	oveq1d 7375	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((2 logb 𝑁)↑4) / 2) = (𝐸 / 2))
214	213	oveq2d 7376	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)) + (((2 logb 𝑁)↑2) / 2)) + (((2 logb 𝑁)↑4) / 2)) = (((2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)) + (((2 logb 𝑁)↑2) / 2)) + (𝐸 / 2)))
215	198	eqcomd 2743	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)) = 𝐶)
216	215	oveq1d 7375	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)) + (((2 logb 𝑁)↑2) / 2)) = (𝐶 + (((2 logb 𝑁)↑2) / 2)))
217	203	eqcomd 2743	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑2) = 𝐷)
218	217	oveq1d 7375	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((2 logb 𝑁)↑2) / 2) = (𝐷 / 2))
219	218	oveq2d 7376	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐶 + (((2 logb 𝑁)↑2) / 2)) = (𝐶 + (𝐷 / 2)))
220	216, 219	eqtrd 2772	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)) + (((2 logb 𝑁)↑2) / 2)) = (𝐶 + (𝐷 / 2)))
221	220	oveq1d 7375	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)) + (((2 logb 𝑁)↑2) / 2)) + (𝐸 / 2)) = ((𝐶 + (𝐷 / 2)) + (𝐸 / 2)))
222	214, 221	eqtrd 2772	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)) + (((2 logb 𝑁)↑2) / 2)) + (((2 logb 𝑁)↑4) / 2)) = ((𝐶 + (𝐷 / 2)) + (𝐸 / 2)))
223	222	oveq2d 7376	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁↑𝑐(((2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)) + (((2 logb 𝑁)↑2) / 2)) + (((2 logb 𝑁)↑4) / 2))) = (𝑁↑𝑐((𝐶 + (𝐷 / 2)) + (𝐸 / 2))))
224	212, 223	breqtrd 5125	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < (𝑁↑𝑐((𝐶 + (𝐷 / 2)) + (𝐸 / 2))))
225	200	recnd 11164	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
226	225, 105, 106	divcan3d 11926	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝐶) / 2) = 𝐶)
227	226	eqcomd 2743	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = ((2 · 𝐶) / 2))
228	227	oveq1d 7375	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐶 + (𝐷 / 2)) = (((2 · 𝐶) / 2) + (𝐷 / 2)))
229	4, 200	remulcld 11166	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝐶) ∈ ℝ)
230	229	recnd 11164	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝐶) ∈ ℂ)
231	205	recnd 11164	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
232	230, 231, 46, 106	divdird 11959	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝐶) + 𝐷) / 2) = (((2 · 𝐶) / 2) + (𝐷 / 2)))
233	232	eqcomd 2743	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝐶) / 2) + (𝐷 / 2)) = (((2 · 𝐶) + 𝐷) / 2))
234	228, 233	eqtrd 2772	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐶 + (𝐷 / 2)) = (((2 · 𝐶) + 𝐷) / 2))
235		aks4d1p1p4.8	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝐶) + 𝐷) ≤ 𝐸)
236	229, 205	readdcld 11165	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝐶) + 𝐷) ∈ ℝ)
237	236, 131, 73	lediv1d 12999	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝐶) + 𝐷) ≤ 𝐸 ↔ (((2 · 𝐶) + 𝐷) / 2) ≤ (𝐸 / 2)))
238	235, 237	mpbid 232	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝐶) + 𝐷) / 2) ≤ (𝐸 / 2))
239	234, 238	eqbrtrd 5121	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐶 + (𝐷 / 2)) ≤ (𝐸 / 2))
240	207, 208, 208, 239	leadd1dd 11755	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 + (𝐷 / 2)) + (𝐸 / 2)) ≤ ((𝐸 / 2) + (𝐸 / 2)))
241	132	2halvesd 12391	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 / 2) + (𝐸 / 2)) = 𝐸)
242	240, 241	breqtrd 5125	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 + (𝐷 / 2)) + (𝐸 / 2)) ≤ 𝐸)
243	2, 183, 209, 131	cxpled 26689	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 + (𝐷 / 2)) + (𝐸 / 2)) ≤ 𝐸 ↔ (𝑁↑𝑐((𝐶 + (𝐷 / 2)) + (𝐸 / 2))) ≤ (𝑁↑𝑐𝐸)))
244	242, 243	mpbid 232	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁↑𝑐((𝐶 + (𝐷 / 2)) + (𝐸 / 2))) ≤ (𝑁↑𝑐𝐸))
245	101, 211, 165, 224, 244	ltletrd 11297	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < (𝑁↑𝑐𝐸))
246	245, 155	breqtrd 5125	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < (2↑𝑐((2 logb 𝑁)↑5)))
247		1le2 12353	. . . . 5 ⊢ 1 ≤ 2
248	247	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ 2)
249	172	nn0red 12467	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
250	21	eqcomd 2743	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)) = 𝐵)
251	33, 250	breqtrd 5125	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑5) ≤ 𝐵)
252	4, 248, 16, 249, 251	cxplead 26690	. . 3 ⊢ (𝜑 → (2↑𝑐((2 logb 𝑁)↑5)) ≤ (2↑𝑐𝐵))
253		cxpexp 26637	. . . 4 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (2↑𝑐𝐵) = (2↑𝐵))
254	105, 172, 253	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (𝜑 → (2↑𝑐𝐵) = (2↑𝐵))
255	252, 254	breqtrd 5125	. 2 ⊢ (𝜑 → (2↑𝑐((2 logb 𝑁)↑5)) ≤ (2↑𝐵))
256	101, 166, 173, 246, 255	ltletrd 11297	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < (2↑𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933   ∖ cdif 3899  {csn 4581  {cpr 4583   class class class wbr 5099  ‘cfv 6493  (class class class)co 7360  ℂcc 11028  ℝcr 11029  0cc0 11030  1c1 11031   + caddc 11033   · cmul 11035   < clt 11170   ≤ cle 11171   − cmin 11368   / cdiv 11798  ℕcn 12149  2c2 12204  3c3 12205  4c4 12206  5c5 12207  7c7 12209  ℕ₀cn0 12405  ℤcz 12492  ℤ_≥cuz 12755  ℝ⁺crp 12909  ...cfz 13427  ⌊cfl 13714  ⌈cceil 13715  ↑cexp 13988  ∏cprod 15830  ↑_𝑐ccxp 26524   log_b clogb 26734

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5225  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-inf2 9554  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107  ax-pre-sup 11108  ax-addf 11109

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-tp 4586  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4904  df-iun 4949  df-iin 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-of 7624  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-supp 8105  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-2o 8400  df-er 8637  df-map 8769  df-pm 8770  df-ixp 8840  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-fsupp 9269  df-fi 9318  df-sup 9349  df-inf 9350  df-oi 9419  df-card 9855  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12150  df-2 12212  df-3 12213  df-4 12214  df-5 12215  df-6 12216  df-7 12217  df-8 12218  df-9 12219  df-n0 12406  df-z 12493  df-dec 12612  df-uz 12756  df-q 12866  df-rp 12910  df-xneg 13030  df-xadd 13031  df-xmul 13032  df-ioo 13269  df-ioc 13270  df-ico 13271  df-icc 13272  df-fz 13428  df-fzo 13575  df-fl 13716  df-ceil 13717  df-mod 13794  df-seq 13929  df-exp 13989  df-fac 14201  df-bc 14230  df-hash 14258  df-shft 14994  df-cj 15026  df-re 15027  df-im 15028  df-sqrt 15162  df-abs 15163  df-limsup 15398  df-clim 15415  df-rlim 15416  df-sum 15614  df-prod 15831  df-ef 15994  df-sin 15996  df-cos 15997  df-pi 15999  df-struct 17078  df-sets 17095  df-slot 17113  df-ndx 17125  df-base 17141  df-ress 17162  df-plusg 17194  df-mulr 17195  df-starv 17196  df-sca 17197  df-vsca 17198  df-ip 17199  df-tset 17200  df-ple 17201  df-ds 17203  df-unif 17204  df-hom 17205  df-cco 17206  df-rest 17346  df-topn 17347  df-0g 17365  df-gsum 17366  df-topgen 17367  df-pt 17368  df-prds 17371  df-xrs 17427  df-qtop 17432  df-imas 17433  df-xps 17435  df-mre 17509  df-mrc 17510  df-acs 17512  df-mgm 18569  df-sgrp 18648  df-mnd 18664  df-submnd 18713  df-mulg 19002  df-cntz 19250  df-cmn 19715  df-psmet 21305  df-xmet 21306  df-met 21307  df-bl 21308  df-mopn 21309  df-fbas 21310  df-fg 21311  df-cnfld 21314  df-top 22842  df-topon 22859  df-topsp 22881  df-bases 22894  df-cld 22967  df-ntr 22968  df-cls 22969  df-nei 23046  df-lp 23084  df-perf 23085  df-cn 23175  df-cnp 23176  df-haus 23263  df-tx 23510  df-hmeo 23703  df-fil 23794  df-fm 23886  df-flim 23887  df-flf 23888  df-xms 24268  df-ms 24269  df-tms 24270  df-cncf 24831  df-limc 25827  df-dv 25828  df-log 26525  df-cxp 26526  df-logb 26735

This theorem is referenced by:  aks4d1p1p5  42397