Theorem aks4d1p6 42370

Description: The maximal prime power exponent is smaller than the binary logarithm floor of 𝐵. (Contributed by metakunt, 30-Oct-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
aks4d1p6.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))
aks4d1p6.2	⊢ 𝐴 = ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑘) − 1))
aks4d1p6.3	⊢ 𝐵 = (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5))
aks4d1p6.4	⊢ 𝑅 = inf({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴}, ℝ, < )
aks4d1p6.5	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
aks4d1p6.6	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ 𝑅)
aks4d1p6.7	⊢ 𝐾 = (𝑃 pCnt 𝑅)

Assertion

Ref	Expression
aks4d1p6	⊢ (𝜑 → 𝐾 ≤ (⌊‘(2 logb 𝐵)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑟   𝐵,𝑟   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘   𝑅,𝑟

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑟)   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)   𝑃(𝑘,𝑟)   𝑅(𝑘)   𝐾(𝑘,𝑟)   𝑁(𝑟)

Proof of Theorem aks4d1p6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		aks4d1p6.7	. . . . . . 7 ⊢ 𝐾 = (𝑃 pCnt 𝑅)
2	1	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = (𝑃 pCnt 𝑅))
3		aks4d1p6.5	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
4		aks4d1p6.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))
5		aks4d1p6.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐴 = ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑘) − 1))
6		aks4d1p6.3	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 = (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5))
7		aks4d1p6.4	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑅 = inf({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴}, ℝ, < )
8	4, 5, 6, 7	aks4d1p4 42368	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ∈ (1...𝐵) ∧ ¬ 𝑅 ∥ 𝐴))
9	8	simpld 494	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (1...𝐵))
10		elfznn 13471	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ (1...𝐵) → 𝑅 ∈ ℕ)
11	9, 10	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℕ)
12	3, 11	pccld 16780	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑃 pCnt 𝑅) ∈ ℕ0)
13	2, 12	eqeltrd 2835	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)
14	13	nn0zd 12515	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
15	14	zred 12598	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℝ)
16		prmnn 16603	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
17	3, 16	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
18	17	nnred 12162	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℝ)
19	17	nngt0d 12196	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑃)
20	6	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)))
21		2re 12221	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℝ
22	21	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
23		2pos 12250	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 < 2
24	23	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 < 2)
25		eluzelz 12763	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑁 ∈ ℤ)
26	4, 25	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
27	26	zred 12598	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
28		0red 11137	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
29		3re 12227	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 3 ∈ ℝ
30	29	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 3 ∈ ℝ)
31		3pos 12252	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 < 3
32	31	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 < 3)
33		eluzle 12766	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 3 ≤ 𝑁)
34	4, 33	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 3 ≤ 𝑁)
35	28, 30, 27, 32, 34	ltletrd 11295	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑁)
36		1red 11135	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
37		1lt2 12313	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 < 2
38	37	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 1 < 2)
39	36, 38	ltned 11271	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 1 ≠ 2)
40	39	necomd 2986	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 2 ≠ 1)
41	22, 24, 27, 35, 40	relogbcld 42262	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (2 logb 𝑁) ∈ ℝ)
42		5nn0 12423	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 5 ∈ ℕ0
43	42	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 5 ∈ ℕ0)
44	41, 43	reexpcld 14088	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑5) ∈ ℝ)
45		ceilcl 13764	. . . . . . . . 9 ⊢ (((2 logb 𝑁)↑5) ∈ ℝ → (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)) ∈ ℤ)
46	44, 45	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)) ∈ ℤ)
47	20, 46	eqeltrd 2835	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
48	47	zred 12598	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
49		9re 12246	. . . . . . . . . 10 ⊢ 9 ∈ ℝ
50	49	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 9 ∈ ℝ)
51		9pos 12260	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 < 9
52	51	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 < 9)
53	27, 34	3lexlogpow5ineq4 42345	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 9 < ((2 logb 𝑁)↑5))
54	28, 50, 44, 52, 53	lttrd 11296	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 < ((2 logb 𝑁)↑5))
55		ceilge 13767	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((2 logb 𝑁)↑5) ∈ ℝ → ((2 logb 𝑁)↑5) ≤ (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)))
56	44, 55	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑5) ≤ (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)))
57	56, 20	breqtrrd 5125	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑5) ≤ 𝐵)
58	28, 44, 48, 54, 57	ltletrd 11295	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐵)
59	47, 58	jca 511	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐵))
60		elnnz 12500	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ ↔ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐵))
61	59, 60	sylibr 234	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
62	61	nnred 12162	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
63	61	nngt0d 12196	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐵)
64		2z 12525	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℤ
65	64	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℤ)
66	65	zred 12598	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
67		prmuz2 16625	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ (ℤ≥‘2))
68	3, 67	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (ℤ≥‘2))
69		eluzle 12766	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → 2 ≤ 𝑃)
70	68, 69	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 2 ≤ 𝑃)
71	36, 66, 18, 38, 70	ltletrd 11295	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 < 𝑃)
72	36, 71	ltned 11271	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ≠ 𝑃)
73	72	necomd 2986	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ≠ 1)
74	18, 19, 62, 63, 73	relogbcld 42262	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑃 logb 𝐵) ∈ ℝ)
75	66, 24, 62, 63, 40	relogbcld 42262	. . 3 ⊢ (𝜑 → (2 logb 𝐵) ∈ ℝ)
76	17	nnrpd 12949	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℝ+)
77	76	rpcnd 12953	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℂ)
78	76	rpne0d 12956	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ≠ 0)
79	77, 78, 14	cxpexpzd 26678	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑𝑐𝐾) = (𝑃↑𝐾))
80	18, 13	reexpcld 14088	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑𝐾) ∈ ℝ)
81	11	nnred 12162	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ)
82	2	oveq2d 7374	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑𝐾) = (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑅)))
83		pcdvds 16794	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℕ) → (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑅)) ∥ 𝑅)
84	3, 11, 83	syl2anc 585	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑅)) ∥ 𝑅)
85	17	nnzd 12516	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℤ)
86		zexpcl 14001	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ (𝑃 pCnt 𝑅) ∈ ℕ0) → (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑅)) ∈ ℤ)
87	85, 12, 86	syl2anc 585	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑅)) ∈ ℤ)
88		dvdsle 16239	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑅)) ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℕ) → ((𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑅)) ∥ 𝑅 → (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑅)) ≤ 𝑅))
89	87, 11, 88	syl2anc 585	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑅)) ∥ 𝑅 → (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑅)) ≤ 𝑅))
90	84, 89	mpd 15	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑅)) ≤ 𝑅)
91	82, 90	eqbrtrd 5119	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑𝐾) ≤ 𝑅)
92		elfzle2 13446	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ (1...𝐵) → 𝑅 ≤ 𝐵)
93	9, 92	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ≤ 𝐵)
94	80, 81, 62, 91, 93	letrd 11292	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑𝐾) ≤ 𝐵)
95	78, 73	nelprd 4613	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑃 ∈ {0, 1})
96	77, 95	eldifd 3911	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}))
97	62	recnd 11162	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
98	28, 63	ltned 11271	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 ≠ 𝐵)
99	98	necomd 2986	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
100	99	neneqd 2936	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 = 0)
101		elsng 4593	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → (𝐵 ∈ {0} ↔ 𝐵 = 0))
102	61, 101	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ {0} ↔ 𝐵 = 0))
103	100, 102	mtbird 325	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 ∈ {0})
104	97, 103	eldifd 3911	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0}))
105		cxplogb 26754	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}) ∧ 𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝑃↑𝑐(𝑃 logb 𝐵)) = 𝐵)
106	96, 104, 105	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑𝑐(𝑃 logb 𝐵)) = 𝐵)
107	94, 106	breqtrrd 5125	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑𝐾) ≤ (𝑃↑𝑐(𝑃 logb 𝐵)))
108	79, 107	eqbrtrd 5119	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑𝑐𝐾) ≤ (𝑃↑𝑐(𝑃 logb 𝐵)))
109	76	rpred 12951	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℝ)
110	36, 66, 109, 38, 70	ltletrd 11295	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 < 𝑃)
111	109, 110, 15, 74	cxpled 26687	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ≤ (𝑃 logb 𝐵) ↔ (𝑃↑𝑐𝐾) ≤ (𝑃↑𝑐(𝑃 logb 𝐵))))
112	108, 111	mpbird 257	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ≤ (𝑃 logb 𝐵))
113	22, 38	rplogcld 26596	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (log‘2) ∈ ℝ+)
114	109, 110	rplogcld 26596	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (log‘𝑃) ∈ ℝ+)
115	61	nnrpd 12949	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
116	115	relogcld 26590	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (log‘𝐵) ∈ ℝ)
117	61	nnge1d 12195	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝐵)
118	62, 117	logge0d 26597	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (log‘𝐵))
119		2rp 12912	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ+
120	119	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ+)
121	120, 76	logled 26594	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2 ≤ 𝑃 ↔ (log‘2) ≤ (log‘𝑃)))
122	70, 121	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (log‘2) ≤ (log‘𝑃))
123	113, 114, 116, 118, 122	lediv2ad 12973	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((log‘𝐵) / (log‘𝑃)) ≤ ((log‘𝐵) / (log‘2)))
124		relogbval 26740	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝑃 logb 𝐵) = ((log‘𝐵) / (log‘𝑃)))
125	68, 115, 124	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑃 logb 𝐵) = ((log‘𝐵) / (log‘𝑃)))
126	125	eqcomd 2741	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((log‘𝐵) / (log‘𝑃)) = (𝑃 logb 𝐵))
127	65	uzidd 12769	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ (ℤ≥‘2))
128		relogbval 26740	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (2 logb 𝐵) = ((log‘𝐵) / (log‘2)))
129	127, 115, 128	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (2 logb 𝐵) = ((log‘𝐵) / (log‘2)))
130	129	eqcomd 2741	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((log‘𝐵) / (log‘2)) = (2 logb 𝐵))
131	123, 126, 130	3brtr3d 5128	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑃 logb 𝐵) ≤ (2 logb 𝐵))
132	15, 74, 75, 112, 131	letrd 11292	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ≤ (2 logb 𝐵))
133		flge 13727	. . 3 ⊢ (((2 logb 𝐵) ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐾 ≤ (2 logb 𝐵) ↔ 𝐾 ≤ (⌊‘(2 logb 𝐵))))
134	75, 14, 133	syl2anc 585	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ≤ (2 logb 𝐵) ↔ 𝐾 ≤ (⌊‘(2 logb 𝐵))))
135	132, 134	mpbid 232	1 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ≤ (⌊‘(2 logb 𝐵)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {crab 3398   ∖ cdif 3897  {csn 4579  {cpr 4581   class class class wbr 5097  ‘cfv 6491  (class class class)co 7358  infcinf 9346  ℂcc 11026  ℝcr 11027  0cc0 11028  1c1 11029   · cmul 11033   < clt 11168   ≤ cle 11169   − cmin 11366   / cdiv 11796  ℕcn 12147  2c2 12202  3c3 12203  5c5 12205  9c9 12209  ℕ₀cn0 12403  ℤcz 12490  ℤ_≥cuz 12753  ℝ⁺crp 12907  ...cfz 13425  ⌊cfl 13712  ⌈cceil 13713  ↑cexp 13986  ∏cprod 15828   ∥ cdvds 16181  ℙcprime 16600   pCnt cpc 16766  logclog 26521  ↑_𝑐ccxp 26522   log_b clogb 26732

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2183  ax-ext 2707  ax-rep 5223  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5309  ax-pr 5376  ax-un 7680  ax-inf2 9552  ax-cc 10347  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-pre-sup 11106  ax-addf 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3399  df-v 3441  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-symdif 4204  df-nul 4285  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-uni 4863  df-int 4902  df-iun 4947  df-iin 4948  df-disj 5065  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-se 5577  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6258  df-ord 6319  df-on 6320  df-lim 6321  df-suc 6322  df-iota 6447  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-f1 6496  df-fo 6497  df-f1o 6498  df-fv 6499  df-isom 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7622  df-ofr 7623  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-supp 8103  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-2o 8398  df-oadd 8401  df-omul 8402  df-er 8635  df-map 8767  df-pm 8768  df-ixp 8838  df-en 8886  df-dom 8887  df-sdom 8888  df-fin 8889  df-fsupp 9267  df-fi 9316  df-sup 9347  df-inf 9348  df-oi 9417  df-dju 9815  df-card 9853  df-acn 9856  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-div 11797  df-nn 12148  df-2 12210  df-3 12211  df-4 12212  df-5 12213  df-6 12214  df-7 12215  df-8 12216  df-9 12217  df-n0 12404  df-z 12491  df-dec 12610  df-uz 12754  df-q 12864  df-rp 12908  df-xneg 13028  df-xadd 13029  df-xmul 13030  df-ioo 13267  df-ioc 13268  df-ico 13269  df-icc 13270  df-fz 13426  df-fzo 13573  df-fl 13714  df-ceil 13715  df-mod 13792  df-seq 13927  df-exp 13987  df-fac 14199  df-bc 14228  df-hash 14256  df-shft 14992  df-cj 15024  df-re 15025  df-im 15026  df-sqrt 15160  df-abs 15161  df-limsup 15396  df-clim 15413  df-rlim 15414  df-sum 15612  df-prod 15829  df-ef 15992  df-e 15993  df-sin 15994  df-cos 15995  df-pi 15997  df-dvds 16182  df-gcd 16424  df-lcm 16519  df-lcmf 16520  df-prm 16601  df-pc 16767  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17139  df-ress 17160  df-plusg 17192  df-mulr 17193  df-starv 17194  df-sca 17195  df-vsca 17196  df-ip 17197  df-tset 17198  df-ple 17199  df-ds 17201  df-unif 17202  df-hom 17203  df-cco 17204  df-rest 17344  df-topn 17345  df-0g 17363  df-gsum 17364  df-topgen 17365  df-pt 17366  df-prds 17369  df-xrs 17425  df-qtop 17430  df-imas 17431  df-xps 17433  df-mre 17507  df-mrc 17508  df-acs 17510  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-submnd 18711  df-mulg 19000  df-cntz 19248  df-cmn 19713  df-psmet 21303  df-xmet 21304  df-met 21305  df-bl 21306  df-mopn 21307  df-fbas 21308  df-fg 21309  df-cnfld 21312  df-top 22840  df-topon 22857  df-topsp 22879  df-bases 22892  df-cld 22965  df-ntr 22966  df-cls 22967  df-nei 23044  df-lp 23082  df-perf 23083  df-cn 23173  df-cnp 23174  df-haus 23261  df-cmp 23333  df-tx 23508  df-hmeo 23701  df-fil 23792  df-fm 23884  df-flim 23885  df-flf 23886  df-xms 24266  df-ms 24267  df-tms 24268  df-cncf 24829  df-ovol 25423  df-vol 25424  df-mbf 25578  df-itg1 25579  df-itg2 25580  df-ibl 25581  df-itg 25582  df-0p 25629  df-limc 25825  df-dv 25826  df-log 26523  df-cxp 26524  df-logb 26733

This theorem is referenced by:  aks4d1p7d1  42371