Theorem aks4d1p6 43051

Description: The maximal prime power exponent is smaller than the binary logarithm floor of 𝐵. (Contributed by metakunt, 30-Oct-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
aks4d1p6.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))
aks4d1p6.2	⊢ 𝐴 = ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑘) − 1))
aks4d1p6.3	⊢ 𝐵 = (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5))
aks4d1p6.4	⊢ 𝑅 = inf({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴}, ℝ, < )
aks4d1p6.5	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
aks4d1p6.6	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ 𝑅)
aks4d1p6.7	⊢ 𝐾 = (𝑃 pCnt 𝑅)

Assertion

Ref	Expression
aks4d1p6	⊢ (𝜑 → 𝐾 ≤ (⌊‘(2 logb 𝐵)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑟   𝐵,𝑟   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘   𝑅,𝑟

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑟)   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)   𝑃(𝑘, 𝑟)   𝑅(𝑘)   𝐾(𝑘, 𝑟)   𝑁(𝑟)

Proof of Theorem aks4d1p6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		aks4d1p6.7	. . . . . . 7 ⊢ 𝐾 = (𝑃 pCnt 𝑅)
2	1	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = (𝑃 pCnt 𝑅))
3		aks4d1p6.5	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
4		aks4d1p6.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))
5		aks4d1p6.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐴 = ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑘) − 1))
6		aks4d1p6.3	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 = (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5))
7		aks4d1p6.4	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑅 = inf({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴}, ℝ, < )
8	4, 5, 6, 7	aks4d1p4 43049	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ∈ (1...𝐵) ∧ ¬ 𝑅 ∥ 𝐴))
9	8	simpld 500	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (1...𝐵))
10		elfznn 13655	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ (1...𝐵) → 𝑅 ∈ ℕ)
11	9, 10	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℕ)
12	3, 11	pccld 16989	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑃 pCnt 𝑅) ∈ ℕ0)
13	2, 12	eqeltrd 2860	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)
14	13	nn0zd 12687	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
15	14	zred 12772	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℝ)
16		prmnn 16811	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
17	3, 16	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
18	17	nnred 12319	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℝ)
19	17	nngt0d 12356	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑃)
20	6	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)))
21		2re 12386	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℝ
22	21	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
23		2pos 12416	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 < 2
24	23	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 < 2)
25		eluzelz 12944	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑁 ∈ ℤ)
26	4, 25	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
27	26	zred 12772	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
28		0red 11282	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
29		3re 12392	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 3 ∈ ℝ
30	29	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 3 ∈ ℝ)
31		3pos 12420	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 < 3
32	31	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 < 3)
33		eluzle 12947	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 3 ≤ 𝑁)
34	4, 33	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 3 ≤ 𝑁)
35	28, 30, 27, 32, 34	ltletrd 11441	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑁)
36		1red 11280	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
37		1lt2 12484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 < 2
38	37	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 1 < 2)
39	36, 38	ltned 11417	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 1 ≠ 2)
40	39	necomd 3010	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 2 ≠ 1)
41	22, 24, 27, 35, 40	relogbcld 42944	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (2 logb 𝑁) ∈ ℝ)
42		5nn0 12595	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 5 ∈ ℕ0
43	42	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 5 ∈ ℕ0)
44	41, 43	reexpcld 14274	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑5) ∈ ℝ)
45		ceilcl 13950	. . . . . . . . 9 ⊢ (((2 logb 𝑁)↑5) ∈ ℝ → (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)) ∈ ℤ)
46	44, 45	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)) ∈ ℤ)
47	20, 46	eqeltrd 2860	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
48	47	zred 12772	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
49		9re 12411	. . . . . . . . . 10 ⊢ 9 ∈ ℝ
50	49	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 9 ∈ ℝ)
51		9pos 12428	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 < 9
52	51	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 < 9)
53	27, 34	3lexlogpow5ineq4 43026	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 9 < ((2 logb 𝑁)↑5))
54	28, 50, 44, 52, 53	lttrd 11442	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 < ((2 logb 𝑁)↑5))
55		ceilge 13953	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((2 logb 𝑁)↑5) ∈ ℝ → ((2 logb 𝑁)↑5) ≤ (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)))
56	44, 55	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑5) ≤ (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)))
57	56, 20	breqtrrd 5132	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑5) ≤ 𝐵)
58	28, 44, 48, 54, 57	ltletrd 11441	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐵)
59	47, 58	jca 521	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐵))
60		elnnz 12672	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ ↔ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐵))
61	59, 60	sylibr 237	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
62	61	nnred 12319	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
63	61	nngt0d 12356	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐵)
64		2z 12697	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℤ
65	64	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℤ)
66	65	zred 12772	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
67		prmuz2 16833	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ (ℤ≥‘2))
68	3, 67	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (ℤ≥‘2))
69		eluzle 12947	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → 2 ≤ 𝑃)
70	68, 69	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 2 ≤ 𝑃)
71	36, 66, 18, 38, 70	ltletrd 11441	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 < 𝑃)
72	36, 71	ltned 11417	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ≠ 𝑃)
73	72	necomd 3010	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ≠ 1)
74	18, 19, 62, 63, 73	relogbcld 42944	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑃 logb 𝐵) ∈ ℝ)
75	66, 24, 62, 63, 40	relogbcld 42944	. . 3 ⊢ (𝜑 → (2 logb 𝐵) ∈ ℝ)
76	17	nnrpd 13131	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℝ+)
77	76	rpcnd 13135	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℂ)
78	76	rpne0d 13138	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ≠ 0)
79	77, 78, 14	cxpexpzd 27002	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑𝑐𝐾) = (𝑃↑𝐾))
80	18, 13	reexpcld 14274	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑𝐾) ∈ ℝ)
81	11	nnred 12319	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ)
82	2	oveq2d 7424	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑𝐾) = (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑅)))
83		pcdvds 17003	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℕ) → (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑅)) ∥ 𝑅)
84	3, 11, 83	syl2anc 596	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑅)) ∥ 𝑅)
85	17	nnzd 12688	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℤ)
86		zexpcl 14187	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ (𝑃 pCnt 𝑅) ∈ ℕ0) → (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑅)) ∈ ℤ)
87	85, 12, 86	syl2anc 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑅)) ∈ ℤ)
88		dvdsle 16447	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑅)) ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℕ) → ((𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑅)) ∥ 𝑅 → (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑅)) ≤ 𝑅))
89	87, 11, 88	syl2anc 596	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑅)) ∥ 𝑅 → (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑅)) ≤ 𝑅))
90	84, 89	mpd 16	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑅)) ≤ 𝑅)
91	82, 90	eqbrtrd 5126	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑𝐾) ≤ 𝑅)
92		elfzle2 13629	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ (1...𝐵) → 𝑅 ≤ 𝐵)
93	9, 92	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ≤ 𝐵)
94	80, 81, 62, 91, 93	letrd 11438	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑𝐾) ≤ 𝐵)
95	78, 73	nelprd 4617	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑃 ∈ {0, 1})
96	77, 95	eldifd 3909	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}))
97	62	recnd 11308	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
98	28, 63	ltned 11417	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 ≠ 𝐵)
99	98	necomd 3010	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
100	99	neneqd 2960	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 = 0)
101		elsng 4597	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → (𝐵 ∈ {0} ↔ 𝐵 = 0))
102	61, 101	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ {0} ↔ 𝐵 = 0))
103	100, 102	mtbird 328	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 ∈ {0})
104	97, 103	eldifd 3909	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0}))
105		cxplogb 27077	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}) ∧ 𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝑃↑𝑐(𝑃 logb 𝐵)) = 𝐵)
106	96, 104, 105	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑𝑐(𝑃 logb 𝐵)) = 𝐵)
107	94, 106	breqtrrd 5132	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑𝐾) ≤ (𝑃↑𝑐(𝑃 logb 𝐵)))
108	79, 107	eqbrtrd 5126	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑𝑐𝐾) ≤ (𝑃↑𝑐(𝑃 logb 𝐵)))
109	76	rpred 13133	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℝ)
110	36, 66, 109, 38, 70	ltletrd 11441	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 < 𝑃)
111	109, 110, 15, 74	cxpled 27011	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ≤ (𝑃 logb 𝐵) ↔ (𝑃↑𝑐𝐾) ≤ (𝑃↑𝑐(𝑃 logb 𝐵))))
112	108, 111	mpbird 260	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ≤ (𝑃 logb 𝐵))
113	22, 38	rplogcld 26920	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (log‘2) ∈ ℝ+)
114	109, 110	rplogcld 26920	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (log‘𝑃) ∈ ℝ+)
115	61	nnrpd 13131	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
116	115	relogcld 26914	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (log‘𝐵) ∈ ℝ)
117	61	nnge1d 12355	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝐵)
118	62, 117	logge0d 26921	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (log‘𝐵))
119		2rp 13094	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ+
120	119	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ+)
121	120, 76	logled 26918	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2 ≤ 𝑃 ↔ (log‘2) ≤ (log‘𝑃)))
122	70, 121	mpbid 235	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (log‘2) ≤ (log‘𝑃))
123	113, 114, 116, 118, 122	lediv2ad 13155	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((log‘𝐵) / (log‘𝑃)) ≤ ((log‘𝐵) / (log‘2)))
124		relogbval 27063	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝑃 logb 𝐵) = ((log‘𝐵) / (log‘𝑃)))
125	68, 115, 124	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑃 logb 𝐵) = ((log‘𝐵) / (log‘𝑃)))
126	125	eqcomd 2766	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((log‘𝐵) / (log‘𝑃)) = (𝑃 logb 𝐵))
127	65	uzidd 12950	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ (ℤ≥‘2))
128		relogbval 27063	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (2 logb 𝐵) = ((log‘𝐵) / (log‘2)))
129	127, 115, 128	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (2 logb 𝐵) = ((log‘𝐵) / (log‘2)))
130	129	eqcomd 2766	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((log‘𝐵) / (log‘2)) = (2 logb 𝐵))
131	123, 126, 130	3brtr3d 5135	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑃 logb 𝐵) ≤ (2 logb 𝐵))
132	15, 74, 75, 112, 131	letrd 11438	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ≤ (2 logb 𝐵))
133		flge 13913	. . 3 ⊢ (((2 logb 𝐵) ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐾 ≤ (2 logb 𝐵) ↔ 𝐾 ≤ (⌊‘(2 logb 𝐵))))
134	75, 14, 133	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ≤ (2 logb 𝐵) ↔ 𝐾 ≤ (⌊‘(2 logb 𝐵))))
135	132, 134	mpbid 235	1 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ≤ (⌊‘(2 logb 𝐵)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  {crab 3412   ∖ cdif 3895  {csn 4583  {cpr 4585   class class class wbr 5102  ‘cfv 6527  (class class class)co 7408  infcinf 9411  ℂcc 11169  ℝcr 11170  0cc0 11171  1c1 11172   · cmul 11176   < clt 11314   ≤ cle 11315   − cmin 11512   / cdiv 11942  ℕcn 12304  2c2 12366  3c3 12367  5c5 12369  9c9 12373  ℕ₀cn0 12575  ℤcz 12662  ℤ_≥cuz 12934  ℝ⁺crp 13089  ...cfz 13608  ⌊cfl 13898  ⌈cceil 13899  ↑cexp 14172  ∏cprod 16039   ∥ cdvds 16389  ℙcprime 16808   pCnt cpc 16975  logclog 26845  ↑_𝑐ccxp 26846   log_b clogb 27055

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-inf2 9620  ax-cc 10484  ax-cnex 11227  ax-resscn 11228  ax-1cn 11229  ax-icn 11230  ax-addcl 11231  ax-addrcl 11232  ax-mulcl 11233  ax-mulrcl 11234  ax-mulcom 11235  ax-addass 11236  ax-mulass 11237  ax-distr 11238  ax-i2m1 11239  ax-1ne0 11240  ax-1rid 11241  ax-rnegex 11242  ax-rrecex 11243  ax-cnre 11244  ax-pre-lttri 11245  ax-pre-lttrn 11246  ax-pre-ltadd 11247  ax-pre-mulgt0 11248  ax-pre-sup 11249  ax-addf 11250

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-symdif 4198  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-disj 5070  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-se 5601  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6293  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-isom 6536  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7676  df-ofr 7677  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-supp 8156  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8454  df-2o 8455  df-oadd 8458  df-omul 8459  df-er 8695  df-map 8827  df-pm 8828  df-ixp 8904  df-en 8952  df-dom 8953  df-sdom 8954  df-fin 8955  df-fsupp 9332  df-fi 9381  df-sup 9412  df-inf 9413  df-oi 9482  df-dju 9953  df-card 9991  df-acn 9994  df-pnf 11316  df-mnf 11317  df-xr 11318  df-ltxr 11319  df-le 11320  df-sub 11514  df-neg 11515  df-div 11943  df-nn 12305  df-2 12374  df-3 12375  df-4 12376  df-5 12377  df-6 12378  df-7 12379  df-8 12380  df-9 12381  df-n0 12576  df-z 12663  df-dec 12784  df-uz 12935  df-q 13045  df-rp 13090  df-xneg 13210  df-xadd 13211  df-xmul 13212  df-ioo 13449  df-ioc 13450  df-ico 13451  df-icc 13452  df-fz 13609  df-fzo 13757  df-fl 13900  df-ceil 13901  df-mod 13978  df-seq 14113  df-exp 14173  df-fac 14385  df-bc 14414  df-hash 14442  df-shft 15187  df-cj 15233  df-re 15234  df-im 15235  df-sqrt 15369  df-abs 15370  df-limsup 15605  df-clim 15622  df-rlim 15623  df-sum 15821  df-prod 16040  df-ef 16200  df-e 16201  df-sin 16202  df-cos 16203  df-pi 16205  df-dvds 16390  df-gcd 16632  df-lcm 16727  df-lcmf 16728  df-prm 16809  df-pc 16976  df-struct 17286  df-sets 17303  df-slot 17321  df-ndx 17333  df-base 17349  df-ress 17370  df-plusg 17402  df-mulr 17403  df-starv 17404  df-sca 17405  df-vsca 17406  df-ip 17407  df-tset 17408  df-ple 17409  df-ds 17411  df-unif 17412  df-hom 17413  df-cco 17414  df-rest 17554  df-topn 17555  df-0g 17573  df-gsum 17574  df-topgen 17575  df-pt 17576  df-prds 17579  df-xrs 17635  df-qtop 17640  df-imas 17641  df-xps 17643  df-mre 17717  df-mrc 17718  df-acs 17720  df-mgm 18777  df-sgrp 18869  df-mnd 18885  df-submnd 18940  df-mulg 19239  df-cntz 19492  df-cmn 19957  df-psmet 21631  df-xmet 21632  df-met 21633  df-bl 21634  df-mopn 21635  df-fbas 21636  df-fg 21637  df-cnfld 21640  df-top 23173  df-topon 23190  df-topsp 23212  df-bases 23225  df-cld 23298  df-ntr 23299  df-cls 23300  df-nei 23377  df-lp 23415  df-perf 23416  df-cn 23506  df-cnp 23507  df-haus 23594  df-cmp 23666  df-tx 23842  df-hmeo 24035  df-fil 24126  df-fm 24218  df-flim 24219  df-flf 24220  df-xms 24600  df-ms 24601  df-tms 24602  df-cncf 25160  df-ovol 25746  df-vol 25747  df-mbf 25901  df-itg1 25902  df-itg2 25903  df-ibl 25904  df-itg 25905  df-0p 25952  df-limc 26147  df-dv 26148  df-log 26847  df-cxp 26848  df-logb 27056

This theorem is used by:  aks4d1p7d1  43052