Theorem aks4d1p6 42934

Description: The maximal prime power exponent is smaller than the binary logarithm floor of 𝐵. (Contributed by metakunt, 30-Oct-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
aks4d1p6.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))
aks4d1p6.2	⊢ 𝐴 = ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑘) − 1))
aks4d1p6.3	⊢ 𝐵 = (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5))
aks4d1p6.4	⊢ 𝑅 = inf({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴}, ℝ, < )
aks4d1p6.5	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
aks4d1p6.6	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ 𝑅)
aks4d1p6.7	⊢ 𝐾 = (𝑃 pCnt 𝑅)

Assertion

Ref	Expression
aks4d1p6	⊢ (𝜑 → 𝐾 ≤ (⌊‘(2 logb 𝐵)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑟   𝐵,𝑟   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘   𝑅,𝑟

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑟)   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)   𝑃(𝑘, 𝑟)   𝑅(𝑘)   𝐾(𝑘, 𝑟)   𝑁(𝑟)

Proof of Theorem aks4d1p6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		aks4d1p6.7	. . . . . . 7 ⊢ 𝐾 = (𝑃 pCnt 𝑅)
2	1	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = (𝑃 pCnt 𝑅))
3		aks4d1p6.5	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
4		aks4d1p6.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))
5		aks4d1p6.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐴 = ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑘) − 1))
6		aks4d1p6.3	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 = (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5))
7		aks4d1p6.4	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑅 = inf({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴}, ℝ, < )
8	4, 5, 6, 7	aks4d1p4 42932	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ∈ (1...𝐵) ∧ ¬ 𝑅 ∥ 𝐴))
9	8	simpld 500	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (1...𝐵))
10		elfznn 13610	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ (1...𝐵) → 𝑅 ∈ ℕ)
11	9, 10	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℕ)
12	3, 11	pccld 16946	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑃 pCnt 𝑅) ∈ ℕ0)
13	2, 12	eqeltrd 2862	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)
14	13	nn0zd 12643	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
15	14	zred 12728	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℝ)
16		prmnn 16768	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
17	3, 16	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
18	17	nnred 12275	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℝ)
19	17	nngt0d 12312	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑃)
20	6	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)))
21		2re 12342	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℝ
22	21	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
23		2pos 12372	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 < 2
24	23	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 < 2)
25		eluzelz 12900	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑁 ∈ ℤ)
26	4, 25	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
27	26	zred 12728	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
28		0red 11238	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
29		3re 12348	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 3 ∈ ℝ
30	29	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 3 ∈ ℝ)
31		3pos 12376	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 < 3
32	31	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 < 3)
33		eluzle 12903	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 3 ≤ 𝑁)
34	4, 33	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 3 ≤ 𝑁)
35	28, 30, 27, 32, 34	ltletrd 11397	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑁)
36		1red 11236	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
37		1lt2 12440	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 < 2
38	37	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 1 < 2)
39	36, 38	ltned 11373	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 1 ≠ 2)
40	39	necomd 3012	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 2 ≠ 1)
41	22, 24, 27, 35, 40	relogbcld 42827	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (2 logb 𝑁) ∈ ℝ)
42		5nn0 12551	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 5 ∈ ℕ0
43	42	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 5 ∈ ℕ0)
44	41, 43	reexpcld 14229	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑5) ∈ ℝ)
45		ceilcl 13905	. . . . . . . . 9 ⊢ (((2 logb 𝑁)↑5) ∈ ℝ → (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)) ∈ ℤ)
46	44, 45	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)) ∈ ℤ)
47	20, 46	eqeltrd 2862	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
48	47	zred 12728	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
49		9re 12367	. . . . . . . . . 10 ⊢ 9 ∈ ℝ
50	49	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 9 ∈ ℝ)
51		9pos 12384	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 < 9
52	51	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 < 9)
53	27, 34	3lexlogpow5ineq4 42909	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 9 < ((2 logb 𝑁)↑5))
54	28, 50, 44, 52, 53	lttrd 11398	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 < ((2 logb 𝑁)↑5))
55		ceilge 13908	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((2 logb 𝑁)↑5) ∈ ℝ → ((2 logb 𝑁)↑5) ≤ (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)))
56	44, 55	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑5) ≤ (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)))
57	56, 20	breqtrrd 5137	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑5) ≤ 𝐵)
58	28, 44, 48, 54, 57	ltletrd 11397	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐵)
59	47, 58	jca 521	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐵))
60		elnnz 12628	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ ↔ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐵))
61	59, 60	sylibr 237	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
62	61	nnred 12275	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
63	61	nngt0d 12312	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐵)
64		2z 12653	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℤ
65	64	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℤ)
66	65	zred 12728	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
67		prmuz2 16790	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ (ℤ≥‘2))
68	3, 67	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (ℤ≥‘2))
69		eluzle 12903	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → 2 ≤ 𝑃)
70	68, 69	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 2 ≤ 𝑃)
71	36, 66, 18, 38, 70	ltletrd 11397	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 < 𝑃)
72	36, 71	ltned 11373	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ≠ 𝑃)
73	72	necomd 3012	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ≠ 1)
74	18, 19, 62, 63, 73	relogbcld 42827	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑃 logb 𝐵) ∈ ℝ)
75	66, 24, 62, 63, 40	relogbcld 42827	. . 3 ⊢ (𝜑 → (2 logb 𝐵) ∈ ℝ)
76	17	nnrpd 13086	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℝ+)
77	76	rpcnd 13090	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℂ)
78	76	rpne0d 13093	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ≠ 0)
79	77, 78, 14	cxpexpzd 26946	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑𝑐𝐾) = (𝑃↑𝐾))
80	18, 13	reexpcld 14229	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑𝐾) ∈ ℝ)
81	11	nnred 12275	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ)
82	2	oveq2d 7432	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑𝐾) = (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑅)))
83		pcdvds 16960	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℕ) → (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑅)) ∥ 𝑅)
84	3, 11, 83	syl2anc 596	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑅)) ∥ 𝑅)
85	17	nnzd 12644	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℤ)
86		zexpcl 14142	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ (𝑃 pCnt 𝑅) ∈ ℕ0) → (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑅)) ∈ ℤ)
87	85, 12, 86	syl2anc 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑅)) ∈ ℤ)
88		dvdsle 16404	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑅)) ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℕ) → ((𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑅)) ∥ 𝑅 → (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑅)) ≤ 𝑅))
89	87, 11, 88	syl2anc 596	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑅)) ∥ 𝑅 → (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑅)) ≤ 𝑅))
90	84, 89	mpd 16	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑅)) ≤ 𝑅)
91	82, 90	eqbrtrd 5131	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑𝐾) ≤ 𝑅)
92		elfzle2 13584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ (1...𝐵) → 𝑅 ≤ 𝐵)
93	9, 92	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ≤ 𝐵)
94	80, 81, 62, 91, 93	letrd 11394	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑𝐾) ≤ 𝐵)
95	78, 73	nelprd 4621	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑃 ∈ {0, 1})
96	77, 95	eldifd 3913	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}))
97	62	recnd 11264	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
98	28, 63	ltned 11373	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 ≠ 𝐵)
99	98	necomd 3012	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
100	99	neneqd 2962	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 = 0)
101		elsng 4601	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → (𝐵 ∈ {0} ↔ 𝐵 = 0))
102	61, 101	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ {0} ↔ 𝐵 = 0))
103	100, 102	mtbird 328	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 ∈ {0})
104	97, 103	eldifd 3913	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0}))
105		cxplogb 27021	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}) ∧ 𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝑃↑𝑐(𝑃 logb 𝐵)) = 𝐵)
106	96, 104, 105	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑𝑐(𝑃 logb 𝐵)) = 𝐵)
107	94, 106	breqtrrd 5137	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑𝐾) ≤ (𝑃↑𝑐(𝑃 logb 𝐵)))
108	79, 107	eqbrtrd 5131	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑𝑐𝐾) ≤ (𝑃↑𝑐(𝑃 logb 𝐵)))
109	76	rpred 13088	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℝ)
110	36, 66, 109, 38, 70	ltletrd 11397	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 < 𝑃)
111	109, 110, 15, 74	cxpled 26955	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ≤ (𝑃 logb 𝐵) ↔ (𝑃↑𝑐𝐾) ≤ (𝑃↑𝑐(𝑃 logb 𝐵))))
112	108, 111	mpbird 260	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ≤ (𝑃 logb 𝐵))
113	22, 38	rplogcld 26864	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (log‘2) ∈ ℝ+)
114	109, 110	rplogcld 26864	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (log‘𝑃) ∈ ℝ+)
115	61	nnrpd 13086	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
116	115	relogcld 26858	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (log‘𝐵) ∈ ℝ)
117	61	nnge1d 12311	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝐵)
118	62, 117	logge0d 26865	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (log‘𝐵))
119		2rp 13049	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ+
120	119	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ+)
121	120, 76	logled 26862	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2 ≤ 𝑃 ↔ (log‘2) ≤ (log‘𝑃)))
122	70, 121	mpbid 235	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (log‘2) ≤ (log‘𝑃))
123	113, 114, 116, 118, 122	lediv2ad 13110	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((log‘𝐵) / (log‘𝑃)) ≤ ((log‘𝐵) / (log‘2)))
124		relogbval 27007	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝑃 logb 𝐵) = ((log‘𝐵) / (log‘𝑃)))
125	68, 115, 124	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑃 logb 𝐵) = ((log‘𝐵) / (log‘𝑃)))
126	125	eqcomd 2768	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((log‘𝐵) / (log‘𝑃)) = (𝑃 logb 𝐵))
127	65	uzidd 12906	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ (ℤ≥‘2))
128		relogbval 27007	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (2 logb 𝐵) = ((log‘𝐵) / (log‘2)))
129	127, 115, 128	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (2 logb 𝐵) = ((log‘𝐵) / (log‘2)))
130	129	eqcomd 2768	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((log‘𝐵) / (log‘2)) = (2 logb 𝐵))
131	123, 126, 130	3brtr3d 5140	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑃 logb 𝐵) ≤ (2 logb 𝐵))
132	15, 74, 75, 112, 131	letrd 11394	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ≤ (2 logb 𝐵))
133		flge 13868	. . 3 ⊢ (((2 logb 𝐵) ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐾 ≤ (2 logb 𝐵) ↔ 𝐾 ≤ (⌊‘(2 logb 𝐵))))
134	75, 14, 133	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ≤ (2 logb 𝐵) ↔ 𝐾 ≤ (⌊‘(2 logb 𝐵))))
135	132, 134	mpbid 235	1 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ≤ (⌊‘(2 logb 𝐵)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  {crab 3414   ∖ cdif 3899  {csn 4587  {cpr 4589   class class class wbr 5107  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416  infcinf 9414  ℂcc 11125  ℝcr 11126  0cc0 11127  1c1 11128   · cmul 11132   < clt 11270   ≤ cle 11271   − cmin 11468   / cdiv 11898  ℕcn 12260  2c2 12322  3c3 12323  5c5 12325  9c9 12329  ℕ₀cn0 12531  ℤcz 12618  ℤ_≥cuz 12890  ℝ⁺crp 13044  ...cfz 13563  ⌊cfl 13853  ⌈cceil 13854  ↑cexp 14127  ∏cprod 15994   ∥ cdvds 16346  ℙcprime 16765   pCnt cpc 16932  logclog 26789  ↑_𝑐ccxp 26790   log_b clogb 26999

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-inf2 9623  ax-cc 10440  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-pre-sup 11205  ax-addf 11206

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-symdif 4202  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-disj 5075  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7681  df-ofr 7682  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-supp 8162  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8458  df-2o 8459  df-oadd 8462  df-omul 8463  df-er 8699  df-map 8831  df-pm 8832  df-ixp 8908  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-fsupp 9335  df-fi 9384  df-sup 9415  df-inf 9416  df-oi 9485  df-dju 9909  df-card 9947  df-acn 9950  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11899  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12532  df-z 12619  df-dec 12740  df-uz 12891  df-q 13001  df-rp 13045  df-xneg 13165  df-xadd 13166  df-xmul 13167  df-ioo 13404  df-ioc 13405  df-ico 13406  df-icc 13407  df-fz 13564  df-fzo 13712  df-fl 13855  df-ceil 13856  df-mod 13933  df-seq 14068  df-exp 14128  df-fac 14340  df-bc 14369  df-hash 14397  df-shft 15142  df-cj 15188  df-re 15189  df-im 15190  df-sqrt 15324  df-abs 15325  df-limsup 15560  df-clim 15577  df-rlim 15578  df-sum 15776  df-prod 15995  df-ef 16157  df-e 16158  df-sin 16159  df-cos 16160  df-pi 16162  df-dvds 16347  df-gcd 16589  df-lcm 16684  df-lcmf 16685  df-prm 16766  df-pc 16933  df-struct 17243  df-sets 17260  df-slot 17278  df-ndx 17290  df-base 17306  df-ress 17327  df-plusg 17359  df-mulr 17360  df-starv 17361  df-sca 17362  df-vsca 17363  df-ip 17364  df-tset 17365  df-ple 17366  df-ds 17368  df-unif 17369  df-hom 17370  df-cco 17371  df-rest 17511  df-topn 17512  df-0g 17530  df-gsum 17531  df-topgen 17532  df-pt 17533  df-prds 17536  df-xrs 17592  df-qtop 17597  df-imas 17598  df-xps 17600  df-mre 17674  df-mrc 17675  df-acs 17677  df-mgm 18734  df-sgrp 18823  df-mnd 18839  df-submnd 18893  df-mulg 19192  df-cntz 19445  df-cmn 19910  df-psmet 21578  df-xmet 21579  df-met 21580  df-bl 21581  df-mopn 21582  df-fbas 21583  df-fg 21584  df-cnfld 21587  df-top 23120  df-topon 23137  df-topsp 23159  df-bases 23172  df-cld 23245  df-ntr 23246  df-cls 23247  df-nei 23324  df-lp 23362  df-perf 23363  df-cn 23453  df-cnp 23454  df-haus 23541  df-cmp 23613  df-tx 23789  df-hmeo 23982  df-fil 24073  df-fm 24165  df-flim 24166  df-flf 24167  df-xms 24547  df-ms 24548  df-tms 24549  df-cncf 25107  df-ovol 25693  df-vol 25694  df-mbf 25848  df-itg1 25849  df-itg2 25850  df-ibl 25851  df-itg 25852  df-0p 25899  df-limc 26095  df-dv 26096  df-log 26791  df-cxp 26792  df-logb 27000

This theorem is used by:  aks4d1p7d1  42935