Theorem aks4d1p6 41684

Description: The maximal prime power exponent is smaller than the binary logarithm floor of 𝐵. (Contributed by metakunt, 30-Oct-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
aks4d1p6.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))
aks4d1p6.2	⊢ 𝐴 = ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑘) − 1))
aks4d1p6.3	⊢ 𝐵 = (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5))
aks4d1p6.4	⊢ 𝑅 = inf({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴}, ℝ, < )
aks4d1p6.5	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
aks4d1p6.6	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ 𝑅)
aks4d1p6.7	⊢ 𝐾 = (𝑃 pCnt 𝑅)

Assertion

Ref	Expression
aks4d1p6	⊢ (𝜑 → 𝐾 ≤ (⌊‘(2 logb 𝐵)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑟   𝐵,𝑟   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘   𝑅,𝑟

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑟)   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)   𝑃(𝑘,𝑟)   𝑅(𝑘)   𝐾(𝑘,𝑟)   𝑁(𝑟)

Proof of Theorem aks4d1p6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		aks4d1p6.7	. . . . . . 7 ⊢ 𝐾 = (𝑃 pCnt 𝑅)
2	1	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = (𝑃 pCnt 𝑅))
3		aks4d1p6.5	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
4		aks4d1p6.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))
5		aks4d1p6.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐴 = ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑘) − 1))
6		aks4d1p6.3	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 = (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5))
7		aks4d1p6.4	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑅 = inf({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴}, ℝ, < )
8	4, 5, 6, 7	aks4d1p4 41682	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ∈ (1...𝐵) ∧ ¬ 𝑅 ∥ 𝐴))
9	8	simpld 493	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (1...𝐵))
10		elfznn 13565	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ (1...𝐵) → 𝑅 ∈ ℕ)
11	9, 10	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℕ)
12	3, 11	pccld 16822	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑃 pCnt 𝑅) ∈ ℕ0)
13	2, 12	eqeltrd 2825	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)
14	13	nn0zd 12617	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
15	14	zred 12699	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℝ)
16		prmnn 16648	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
17	3, 16	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
18	17	nnred 12260	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℝ)
19	17	nngt0d 12294	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑃)
20	6	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)))
21		2re 12319	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℝ
22	21	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
23		2pos 12348	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 < 2
24	23	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 < 2)
25		eluzelz 12865	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑁 ∈ ℤ)
26	4, 25	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
27	26	zred 12699	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
28		0red 11249	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
29		3re 12325	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 3 ∈ ℝ
30	29	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 3 ∈ ℝ)
31		3pos 12350	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 < 3
32	31	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 < 3)
33		eluzle 12868	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 3 ≤ 𝑁)
34	4, 33	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 3 ≤ 𝑁)
35	28, 30, 27, 32, 34	ltletrd 11406	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑁)
36		1red 11247	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
37		1lt2 12416	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 < 2
38	37	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 1 < 2)
39	36, 38	ltned 11382	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 1 ≠ 2)
40	39	necomd 2985	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 2 ≠ 1)
41	22, 24, 27, 35, 40	relogbcld 41575	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (2 logb 𝑁) ∈ ℝ)
42		5nn0 12525	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 5 ∈ ℕ0
43	42	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 5 ∈ ℕ0)
44	41, 43	reexpcld 14163	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑5) ∈ ℝ)
45		ceilcl 13843	. . . . . . . . 9 ⊢ (((2 logb 𝑁)↑5) ∈ ℝ → (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)) ∈ ℤ)
46	44, 45	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)) ∈ ℤ)
47	20, 46	eqeltrd 2825	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
48	47	zred 12699	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
49		9re 12344	. . . . . . . . . 10 ⊢ 9 ∈ ℝ
50	49	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 9 ∈ ℝ)
51		9pos 12358	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 < 9
52	51	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 < 9)
53	27, 34	3lexlogpow5ineq4 41659	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 9 < ((2 logb 𝑁)↑5))
54	28, 50, 44, 52, 53	lttrd 11407	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 < ((2 logb 𝑁)↑5))
55		ceilge 13846	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((2 logb 𝑁)↑5) ∈ ℝ → ((2 logb 𝑁)↑5) ≤ (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)))
56	44, 55	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑5) ≤ (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)))
57	56, 20	breqtrrd 5177	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑5) ≤ 𝐵)
58	28, 44, 48, 54, 57	ltletrd 11406	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐵)
59	47, 58	jca 510	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐵))
60		elnnz 12601	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ ↔ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐵))
61	59, 60	sylibr 233	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
62	61	nnred 12260	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
63	61	nngt0d 12294	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐵)
64		2z 12627	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℤ
65	64	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℤ)
66	65	zred 12699	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
67		prmuz2 16670	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ (ℤ≥‘2))
68	3, 67	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (ℤ≥‘2))
69		eluzle 12868	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → 2 ≤ 𝑃)
70	68, 69	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 2 ≤ 𝑃)
71	36, 66, 18, 38, 70	ltletrd 11406	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 < 𝑃)
72	36, 71	ltned 11382	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ≠ 𝑃)
73	72	necomd 2985	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ≠ 1)
74	18, 19, 62, 63, 73	relogbcld 41575	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑃 logb 𝐵) ∈ ℝ)
75	66, 24, 62, 63, 40	relogbcld 41575	. . 3 ⊢ (𝜑 → (2 logb 𝐵) ∈ ℝ)
76	17	nnrpd 13049	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℝ+)
77	76	rpcnd 13053	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℂ)
78	76	rpne0d 13056	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ≠ 0)
79	77, 78, 14	cxpexpzd 26690	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑𝑐𝐾) = (𝑃↑𝐾))
80	18, 13	reexpcld 14163	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑𝐾) ∈ ℝ)
81	11	nnred 12260	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ)
82	2	oveq2d 7435	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑𝐾) = (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑅)))
83		pcdvds 16836	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℕ) → (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑅)) ∥ 𝑅)
84	3, 11, 83	syl2anc 582	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑅)) ∥ 𝑅)
85	17	nnzd 12618	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℤ)
86		zexpcl 14077	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ (𝑃 pCnt 𝑅) ∈ ℕ0) → (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑅)) ∈ ℤ)
87	85, 12, 86	syl2anc 582	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑅)) ∈ ℤ)
88		dvdsle 16290	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑅)) ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℕ) → ((𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑅)) ∥ 𝑅 → (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑅)) ≤ 𝑅))
89	87, 11, 88	syl2anc 582	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑅)) ∥ 𝑅 → (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑅)) ≤ 𝑅))
90	84, 89	mpd 15	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑅)) ≤ 𝑅)
91	82, 90	eqbrtrd 5171	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑𝐾) ≤ 𝑅)
92		elfzle2 13540	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ (1...𝐵) → 𝑅 ≤ 𝐵)
93	9, 92	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ≤ 𝐵)
94	80, 81, 62, 91, 93	letrd 11403	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑𝐾) ≤ 𝐵)
95	78, 73	nelprd 4661	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑃 ∈ {0, 1})
96	77, 95	eldifd 3955	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}))
97	62	recnd 11274	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
98	28, 63	ltned 11382	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 ≠ 𝐵)
99	98	necomd 2985	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
100	99	neneqd 2934	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 = 0)
101		elsng 4644	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → (𝐵 ∈ {0} ↔ 𝐵 = 0))
102	61, 101	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ {0} ↔ 𝐵 = 0))
103	100, 102	mtbird 324	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 ∈ {0})
104	97, 103	eldifd 3955	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0}))
105		cxplogb 26763	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}) ∧ 𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝑃↑𝑐(𝑃 logb 𝐵)) = 𝐵)
106	96, 104, 105	syl2anc 582	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑𝑐(𝑃 logb 𝐵)) = 𝐵)
107	94, 106	breqtrrd 5177	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑𝐾) ≤ (𝑃↑𝑐(𝑃 logb 𝐵)))
108	79, 107	eqbrtrd 5171	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑𝑐𝐾) ≤ (𝑃↑𝑐(𝑃 logb 𝐵)))
109	76	rpred 13051	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℝ)
110	36, 66, 109, 38, 70	ltletrd 11406	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 < 𝑃)
111	109, 110, 15, 74	cxpled 26699	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ≤ (𝑃 logb 𝐵) ↔ (𝑃↑𝑐𝐾) ≤ (𝑃↑𝑐(𝑃 logb 𝐵))))
112	108, 111	mpbird 256	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ≤ (𝑃 logb 𝐵))
113	22, 38	rplogcld 26608	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (log‘2) ∈ ℝ+)
114	109, 110	rplogcld 26608	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (log‘𝑃) ∈ ℝ+)
115	61	nnrpd 13049	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
116	115	relogcld 26602	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (log‘𝐵) ∈ ℝ)
117	61	nnge1d 12293	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝐵)
118	62, 117	logge0d 26609	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (log‘𝐵))
119		2rp 13014	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ+
120	119	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ+)
121	120, 76	logled 26606	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2 ≤ 𝑃 ↔ (log‘2) ≤ (log‘𝑃)))
122	70, 121	mpbid 231	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (log‘2) ≤ (log‘𝑃))
123	113, 114, 116, 118, 122	lediv2ad 13073	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((log‘𝐵) / (log‘𝑃)) ≤ ((log‘𝐵) / (log‘2)))
124		relogbval 26749	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝑃 logb 𝐵) = ((log‘𝐵) / (log‘𝑃)))
125	68, 115, 124	syl2anc 582	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑃 logb 𝐵) = ((log‘𝐵) / (log‘𝑃)))
126	125	eqcomd 2731	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((log‘𝐵) / (log‘𝑃)) = (𝑃 logb 𝐵))
127	65	uzidd 12871	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ (ℤ≥‘2))
128		relogbval 26749	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (2 logb 𝐵) = ((log‘𝐵) / (log‘2)))
129	127, 115, 128	syl2anc 582	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (2 logb 𝐵) = ((log‘𝐵) / (log‘2)))
130	129	eqcomd 2731	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((log‘𝐵) / (log‘2)) = (2 logb 𝐵))
131	123, 126, 130	3brtr3d 5180	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑃 logb 𝐵) ≤ (2 logb 𝐵))
132	15, 74, 75, 112, 131	letrd 11403	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ≤ (2 logb 𝐵))
133		flge 13806	. . 3 ⊢ (((2 logb 𝐵) ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐾 ≤ (2 logb 𝐵) ↔ 𝐾 ≤ (⌊‘(2 logb 𝐵))))
134	75, 14, 133	syl2anc 582	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ≤ (2 logb 𝐵) ↔ 𝐾 ≤ (⌊‘(2 logb 𝐵))))
135	132, 134	mpbid 231	1 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ≤ (⌊‘(2 logb 𝐵)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {crab 3418   ∖ cdif 3941  {csn 4630  {cpr 4632   class class class wbr 5149  ‘cfv 6549  (class class class)co 7419  infcinf 9466  ℂcc 11138  ℝcr 11139  0cc0 11140  1c1 11141   · cmul 11145   < clt 11280   ≤ cle 11281   − cmin 11476   / cdiv 11903  ℕcn 12245  2c2 12300  3c3 12301  5c5 12303  9c9 12307  ℕ₀cn0 12505  ℤcz 12591  ℤ_≥cuz 12855  ℝ⁺crp 13009  ...cfz 13519  ⌊cfl 13791  ⌈cceil 13792  ↑cexp 14062  ∏cprod 15885   ∥ cdvds 16234  ℙcprime 16645   pCnt cpc 16808  logclog 26533  ↑_𝑐ccxp 26534   log_b clogb 26741

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-inf2 9666  ax-cc 10460  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217  ax-pre-sup 11218  ax-addf 11219

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-symdif 4241  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-disj 5115  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-isom 6558  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-of 7685  df-ofr 7686  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-supp 8166  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-2o 8488  df-oadd 8491  df-omul 8492  df-er 8725  df-map 8847  df-pm 8848  df-ixp 8917  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fsupp 9388  df-fi 9436  df-sup 9467  df-inf 9468  df-oi 9535  df-dju 9926  df-card 9964  df-acn 9967  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-div 11904  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-7 12313  df-8 12314  df-9 12315  df-n0 12506  df-z 12592  df-dec 12711  df-uz 12856  df-q 12966  df-rp 13010  df-xneg 13127  df-xadd 13128  df-xmul 13129  df-ioo 13363  df-ioc 13364  df-ico 13365  df-icc 13366  df-fz 13520  df-fzo 13663  df-fl 13793  df-ceil 13794  df-mod 13871  df-seq 14003  df-exp 14063  df-fac 14269  df-bc 14298  df-hash 14326  df-shft 15050  df-cj 15082  df-re 15083  df-im 15084  df-sqrt 15218  df-abs 15219  df-limsup 15451  df-clim 15468  df-rlim 15469  df-sum 15669  df-prod 15886  df-ef 16047  df-e 16048  df-sin 16049  df-cos 16050  df-pi 16052  df-dvds 16235  df-gcd 16473  df-lcm 16564  df-lcmf 16565  df-prm 16646  df-pc 16809  df-struct 17119  df-sets 17136  df-slot 17154  df-ndx 17166  df-base 17184  df-ress 17213  df-plusg 17249  df-mulr 17250  df-starv 17251  df-sca 17252  df-vsca 17253  df-ip 17254  df-tset 17255  df-ple 17256  df-ds 17258  df-unif 17259  df-hom 17260  df-cco 17261  df-rest 17407  df-topn 17408  df-0g 17426  df-gsum 17427  df-topgen 17428  df-pt 17429  df-prds 17432  df-xrs 17487  df-qtop 17492  df-imas 17493  df-xps 17495  df-mre 17569  df-mrc 17570  df-acs 17572  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-submnd 18744  df-mulg 19032  df-cntz 19280  df-cmn 19749  df-psmet 21288  df-xmet 21289  df-met 21290  df-bl 21291  df-mopn 21292  df-fbas 21293  df-fg 21294  df-cnfld 21297  df-top 22840  df-topon 22857  df-topsp 22879  df-bases 22893  df-cld 22967  df-ntr 22968  df-cls 22969  df-nei 23046  df-lp 23084  df-perf 23085  df-cn 23175  df-cnp 23176  df-haus 23263  df-cmp 23335  df-tx 23510  df-hmeo 23703  df-fil 23794  df-fm 23886  df-flim 23887  df-flf 23888  df-xms 24270  df-ms 24271  df-tms 24272  df-cncf 24842  df-ovol 25437  df-vol 25438  df-mbf 25592  df-itg1 25593  df-itg2 25594  df-ibl 25595  df-itg 25596  df-0p 25643  df-limc 25839  df-dv 25840  df-log 26535  df-cxp 26536  df-logb 26742

This theorem is referenced by:  aks4d1p7d1  41685