Theorem aks4d1p6 40089

Description: The maximal prime power exponent is smaller than the binary logarithm floor of 𝐵. (Contributed by metakunt, 30-Oct-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
aks4d1p6.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))
aks4d1p6.2	⊢ 𝐴 = ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑘) − 1))
aks4d1p6.3	⊢ 𝐵 = (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5))
aks4d1p6.4	⊢ 𝑅 = inf({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴}, ℝ, < )
aks4d1p6.5	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
aks4d1p6.6	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ 𝑅)
aks4d1p6.7	⊢ 𝐾 = (𝑃 pCnt 𝑅)

Assertion

Ref	Expression
aks4d1p6	⊢ (𝜑 → 𝐾 ≤ (⌊‘(2 logb 𝐵)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑟   𝐵,𝑟   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘   𝑅,𝑟

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑟)   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)   𝑃(𝑘,𝑟)   𝑅(𝑘)   𝐾(𝑘,𝑟)   𝑁(𝑟)

Proof of Theorem aks4d1p6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		aks4d1p6.7	. . . . . . 7 ⊢ 𝐾 = (𝑃 pCnt 𝑅)
2	1	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = (𝑃 pCnt 𝑅))
3		aks4d1p6.5	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
4		aks4d1p6.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))
5		aks4d1p6.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐴 = ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑘) − 1))
6		aks4d1p6.3	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 = (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5))
7		aks4d1p6.4	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑅 = inf({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴}, ℝ, < )
8	4, 5, 6, 7	aks4d1p4 40087	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ∈ (1...𝐵) ∧ ¬ 𝑅 ∥ 𝐴))
9	8	simpld 495	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (1...𝐵))
10		elfznn 13285	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ (1...𝐵) → 𝑅 ∈ ℕ)
11	9, 10	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℕ)
12	3, 11	pccld 16551	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑃 pCnt 𝑅) ∈ ℕ0)
13	2, 12	eqeltrd 2839	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)
14	13	nn0zd 12424	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
15	14	zred 12426	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℝ)
16		prmnn 16379	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
17	3, 16	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
18	17	nnred 11988	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℝ)
19	17	nngt0d 12022	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑃)
20	6	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)))
21		2re 12047	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℝ
22	21	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
23		2pos 12076	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 < 2
24	23	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 < 2)
25		eluzelz 12592	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑁 ∈ ℤ)
26	4, 25	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
27	26	zred 12426	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
28		0red 10978	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
29		3re 12053	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 3 ∈ ℝ
30	29	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 3 ∈ ℝ)
31		3pos 12078	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 < 3
32	31	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 < 3)
33		eluzle 12595	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 3 ≤ 𝑁)
34	4, 33	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 3 ≤ 𝑁)
35	28, 30, 27, 32, 34	ltletrd 11135	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑁)
36		1red 10976	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
37		1lt2 12144	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 < 2
38	37	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 1 < 2)
39	36, 38	ltned 11111	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 1 ≠ 2)
40	39	necomd 2999	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 2 ≠ 1)
41	22, 24, 27, 35, 40	relogbcld 39981	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (2 logb 𝑁) ∈ ℝ)
42		5nn0 12253	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 5 ∈ ℕ0
43	42	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 5 ∈ ℕ0)
44	41, 43	reexpcld 13881	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑5) ∈ ℝ)
45		ceilcl 13562	. . . . . . . . 9 ⊢ (((2 logb 𝑁)↑5) ∈ ℝ → (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)) ∈ ℤ)
46	44, 45	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)) ∈ ℤ)
47	20, 46	eqeltrd 2839	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
48	47	zred 12426	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
49		9re 12072	. . . . . . . . . 10 ⊢ 9 ∈ ℝ
50	49	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 9 ∈ ℝ)
51		9pos 12086	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 < 9
52	51	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 < 9)
53	27, 34	3lexlogpow5ineq4 40064	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 9 < ((2 logb 𝑁)↑5))
54	28, 50, 44, 52, 53	lttrd 11136	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 < ((2 logb 𝑁)↑5))
55		ceilge 13565	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((2 logb 𝑁)↑5) ∈ ℝ → ((2 logb 𝑁)↑5) ≤ (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)))
56	44, 55	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑5) ≤ (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)))
57	56, 20	breqtrrd 5102	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑5) ≤ 𝐵)
58	28, 44, 48, 54, 57	ltletrd 11135	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐵)
59	47, 58	jca 512	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐵))
60		elnnz 12329	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ ↔ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐵))
61	59, 60	sylibr 233	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
62	61	nnred 11988	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
63	61	nngt0d 12022	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐵)
64		2z 12352	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℤ
65	64	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℤ)
66	65	zred 12426	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
67		prmuz2 16401	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ (ℤ≥‘2))
68	3, 67	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (ℤ≥‘2))
69		eluzle 12595	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → 2 ≤ 𝑃)
70	68, 69	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 2 ≤ 𝑃)
71	36, 66, 18, 38, 70	ltletrd 11135	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 < 𝑃)
72	36, 71	ltned 11111	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ≠ 𝑃)
73	72	necomd 2999	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ≠ 1)
74	18, 19, 62, 63, 73	relogbcld 39981	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑃 logb 𝐵) ∈ ℝ)
75	66, 24, 62, 63, 40	relogbcld 39981	. . 3 ⊢ (𝜑 → (2 logb 𝐵) ∈ ℝ)
76	17	nnrpd 12770	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℝ+)
77	76	rpcnd 12774	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℂ)
78	76	rpne0d 12777	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ≠ 0)
79	77, 78, 14	cxpexpzd 25866	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑𝑐𝐾) = (𝑃↑𝐾))
80	18, 13	reexpcld 13881	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑𝐾) ∈ ℝ)
81	11	nnred 11988	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ)
82	2	oveq2d 7291	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑𝐾) = (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑅)))
83		pcdvds 16565	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℕ) → (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑅)) ∥ 𝑅)
84	3, 11, 83	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑅)) ∥ 𝑅)
85	17	nnzd 12425	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℤ)
86		zexpcl 13797	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ (𝑃 pCnt 𝑅) ∈ ℕ0) → (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑅)) ∈ ℤ)
87	85, 12, 86	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑅)) ∈ ℤ)
88		dvdsle 16019	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑅)) ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℕ) → ((𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑅)) ∥ 𝑅 → (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑅)) ≤ 𝑅))
89	87, 11, 88	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑅)) ∥ 𝑅 → (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑅)) ≤ 𝑅))
90	84, 89	mpd 15	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑅)) ≤ 𝑅)
91	82, 90	eqbrtrd 5096	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑𝐾) ≤ 𝑅)
92		elfzle2 13260	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ (1...𝐵) → 𝑅 ≤ 𝐵)
93	9, 92	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ≤ 𝐵)
94	80, 81, 62, 91, 93	letrd 11132	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑𝐾) ≤ 𝐵)
95	78, 73	nelprd 4592	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑃 ∈ {0, 1})
96	77, 95	eldifd 3898	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}))
97	62	recnd 11003	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
98	28, 63	ltned 11111	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 ≠ 𝐵)
99	98	necomd 2999	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
100	99	neneqd 2948	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 = 0)
101		elsng 4575	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → (𝐵 ∈ {0} ↔ 𝐵 = 0))
102	61, 101	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ {0} ↔ 𝐵 = 0))
103	100, 102	mtbird 325	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 ∈ {0})
104	97, 103	eldifd 3898	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0}))
105		cxplogb 25936	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}) ∧ 𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝑃↑𝑐(𝑃 logb 𝐵)) = 𝐵)
106	96, 104, 105	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑𝑐(𝑃 logb 𝐵)) = 𝐵)
107	94, 106	breqtrrd 5102	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑𝐾) ≤ (𝑃↑𝑐(𝑃 logb 𝐵)))
108	79, 107	eqbrtrd 5096	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑃↑𝑐𝐾) ≤ (𝑃↑𝑐(𝑃 logb 𝐵)))
109	76	rpred 12772	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℝ)
110	36, 66, 109, 38, 70	ltletrd 11135	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 < 𝑃)
111	109, 110, 15, 74	cxpled 25875	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ≤ (𝑃 logb 𝐵) ↔ (𝑃↑𝑐𝐾) ≤ (𝑃↑𝑐(𝑃 logb 𝐵))))
112	108, 111	mpbird 256	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ≤ (𝑃 logb 𝐵))
113	22, 38	rplogcld 25784	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (log‘2) ∈ ℝ+)
114	109, 110	rplogcld 25784	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (log‘𝑃) ∈ ℝ+)
115	61	nnrpd 12770	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
116	115	relogcld 25778	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (log‘𝐵) ∈ ℝ)
117	61	nnge1d 12021	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝐵)
118	62, 117	logge0d 25785	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (log‘𝐵))
119		2rp 12735	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ+
120	119	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ+)
121	120, 76	logled 25782	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2 ≤ 𝑃 ↔ (log‘2) ≤ (log‘𝑃)))
122	70, 121	mpbid 231	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (log‘2) ≤ (log‘𝑃))
123	113, 114, 116, 118, 122	lediv2ad 12794	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((log‘𝐵) / (log‘𝑃)) ≤ ((log‘𝐵) / (log‘2)))
124		relogbval 25922	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝑃 logb 𝐵) = ((log‘𝐵) / (log‘𝑃)))
125	68, 115, 124	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑃 logb 𝐵) = ((log‘𝐵) / (log‘𝑃)))
126	125	eqcomd 2744	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((log‘𝐵) / (log‘𝑃)) = (𝑃 logb 𝐵))
127	65	uzidd 12598	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ (ℤ≥‘2))
128		relogbval 25922	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (2 logb 𝐵) = ((log‘𝐵) / (log‘2)))
129	127, 115, 128	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (2 logb 𝐵) = ((log‘𝐵) / (log‘2)))
130	129	eqcomd 2744	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((log‘𝐵) / (log‘2)) = (2 logb 𝐵))
131	123, 126, 130	3brtr3d 5105	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑃 logb 𝐵) ≤ (2 logb 𝐵))
132	15, 74, 75, 112, 131	letrd 11132	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ≤ (2 logb 𝐵))
133		flge 13525	. . 3 ⊢ (((2 logb 𝐵) ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐾 ≤ (2 logb 𝐵) ↔ 𝐾 ≤ (⌊‘(2 logb 𝐵))))
134	75, 14, 133	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ≤ (2 logb 𝐵) ↔ 𝐾 ≤ (⌊‘(2 logb 𝐵))))
135	132, 134	mpbid 231	1 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ≤ (⌊‘(2 logb 𝐵)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  {crab 3068   ∖ cdif 3884  {csn 4561  {cpr 4563   class class class wbr 5074  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  infcinf 9200  ℂcc 10869  ℝcr 10870  0cc0 10871  1c1 10872   · cmul 10876   < clt 11009   ≤ cle 11010   − cmin 11205   / cdiv 11632  ℕcn 11973  2c2 12028  3c3 12029  5c5 12031  9c9 12035  ℕ₀cn0 12233  ℤcz 12319  ℤ_≥cuz 12582  ℝ⁺crp 12730  ...cfz 13239  ⌊cfl 13510  ⌈cceil 13511  ↑cexp 13782  ∏cprod 15615   ∥ cdvds 15963  ℙcprime 16376   pCnt cpc 16537  logclog 25710  ↑_𝑐ccxp 25711   log_b clogb 25914

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-inf2 9399  ax-cc 10191  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949  ax-addf 10950  ax-mulf 10951

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-symdif 4176  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-iin 4927  df-disj 5040  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-of 7533  df-ofr 7534  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-supp 7978  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-2o 8298  df-oadd 8301  df-omul 8302  df-er 8498  df-map 8617  df-pm 8618  df-ixp 8686  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-fsupp 9129  df-fi 9170  df-sup 9201  df-inf 9202  df-oi 9269  df-dju 9659  df-card 9697  df-acn 9700  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12438  df-uz 12583  df-q 12689  df-rp 12731  df-xneg 12848  df-xadd 12849  df-xmul 12850  df-ioo 13083  df-ioc 13084  df-ico 13085  df-icc 13086  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-fl 13512  df-ceil 13513  df-mod 13590  df-seq 13722  df-exp 13783  df-fac 13988  df-bc 14017  df-hash 14045  df-shft 14778  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-limsup 15180  df-clim 15197  df-rlim 15198  df-sum 15398  df-prod 15616  df-ef 15777  df-e 15778  df-sin 15779  df-cos 15780  df-pi 15782  df-dvds 15964  df-gcd 16202  df-lcm 16295  df-lcmf 16296  df-prm 16377  df-pc 16538  df-struct 16848  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-starv 16977  df-sca 16978  df-vsca 16979  df-ip 16980  df-tset 16981  df-ple 16982  df-ds 16984  df-unif 16985  df-hom 16986  df-cco 16987  df-rest 17133  df-topn 17134  df-0g 17152  df-gsum 17153  df-topgen 17154  df-pt 17155  df-prds 17158  df-xrs 17213  df-qtop 17218  df-imas 17219  df-xps 17221  df-mre 17295  df-mrc 17296  df-acs 17298  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-submnd 18431  df-mulg 18701  df-cntz 18923  df-cmn 19388  df-psmet 20589  df-xmet 20590  df-met 20591  df-bl 20592  df-mopn 20593  df-fbas 20594  df-fg 20595  df-cnfld 20598  df-top 22043  df-topon 22060  df-topsp 22082  df-bases 22096  df-cld 22170  df-ntr 22171  df-cls 22172  df-nei 22249  df-lp 22287  df-perf 22288  df-cn 22378  df-cnp 22379  df-haus 22466  df-cmp 22538  df-tx 22713  df-hmeo 22906  df-fil 22997  df-fm 23089  df-flim 23090  df-flf 23091  df-xms 23473  df-ms 23474  df-tms 23475  df-cncf 24041  df-ovol 24628  df-vol 24629  df-mbf 24783  df-itg1 24784  df-itg2 24785  df-ibl 24786  df-itg 24787  df-0p 24834  df-limc 25030  df-dv 25031  df-log 25712  df-cxp 25713  df-logb 25915

This theorem is referenced by:  aks4d1p7d1  40090