Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  aks4d1p6 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem aks4d1p6 40584
Description: The maximal prime power exponent is smaller than the binary logarithm floor of ๐ต. (Contributed by metakunt, 30-Oct-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
aks4d1p6.1 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3))
aks4d1p6.2 ๐ด = ((๐‘โ†‘(โŒŠโ€˜(2 logb ๐ต))) ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))((๐‘โ†‘๐‘˜) โˆ’ 1))
aks4d1p6.3 ๐ต = (โŒˆโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘5))
aks4d1p6.4 ๐‘… = inf({๐‘Ÿ โˆˆ (1...๐ต) โˆฃ ยฌ ๐‘Ÿ โˆฅ ๐ด}, โ„, < )
aks4d1p6.5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„™)
aks4d1p6.6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘…)
aks4d1p6.7 ๐พ = (๐‘ƒ pCnt ๐‘…)
Assertion
Ref Expression
aks4d1p6 (๐œ‘ โ†’ ๐พ โ‰ค (โŒŠโ€˜(2 logb ๐ต)))
Distinct variable groups:   ๐ด,๐‘Ÿ   ๐ต,๐‘Ÿ   ๐‘˜,๐‘   ๐œ‘,๐‘˜   ๐‘…,๐‘Ÿ
Allowed substitution hints:   ๐œ‘(๐‘Ÿ)   ๐ด(๐‘˜)   ๐ต(๐‘˜)   ๐‘ƒ(๐‘˜,๐‘Ÿ)   ๐‘…(๐‘˜)   ๐พ(๐‘˜,๐‘Ÿ)   ๐‘(๐‘Ÿ)

Proof of Theorem aks4d1p6
StepHypRef Expression
1 aks4d1p6.7 . . . . . . 7 ๐พ = (๐‘ƒ pCnt ๐‘…)
21a1i 11 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐พ = (๐‘ƒ pCnt ๐‘…))
3 aks4d1p6.5 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„™)
4 aks4d1p6.1 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3))
5 aks4d1p6.2 . . . . . . . . . 10 ๐ด = ((๐‘โ†‘(โŒŠโ€˜(2 logb ๐ต))) ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))((๐‘โ†‘๐‘˜) โˆ’ 1))
6 aks4d1p6.3 . . . . . . . . . 10 ๐ต = (โŒˆโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘5))
7 aks4d1p6.4 . . . . . . . . . 10 ๐‘… = inf({๐‘Ÿ โˆˆ (1...๐ต) โˆฃ ยฌ ๐‘Ÿ โˆฅ ๐ด}, โ„, < )
84, 5, 6, 7aks4d1p4 40582 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐‘… โˆˆ (1...๐ต) โˆง ยฌ ๐‘… โˆฅ ๐ด))
98simpld 496 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ (1...๐ต))
10 elfznn 13476 . . . . . . . 8 (๐‘… โˆˆ (1...๐ต) โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„•)
119, 10syl 17 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„•)
123, 11pccld 16727 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒ pCnt ๐‘…) โˆˆ โ„•0)
132, 12eqeltrd 2834 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ โ„•0)
1413nn0zd 12530 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ โ„ค)
1514zred 12612 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ โ„)
16 prmnn 16555 . . . . . 6 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•)
173, 16syl 17 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•)
1817nnred 12173 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„)
1917nngt0d 12207 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ 0 < ๐‘ƒ)
206a1i 11 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ต = (โŒˆโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘5)))
21 2re 12232 . . . . . . . . . . . 12 2 โˆˆ โ„
2221a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ 2 โˆˆ โ„)
23 2pos 12261 . . . . . . . . . . . 12 0 < 2
2423a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ 0 < 2)
25 eluzelz 12778 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
264, 25syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
2726zred 12612 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
28 0red 11163 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ 0 โˆˆ โ„)
29 3re 12238 . . . . . . . . . . . . 13 3 โˆˆ โ„
3029a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ 3 โˆˆ โ„)
31 3pos 12263 . . . . . . . . . . . . 13 0 < 3
3231a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ 0 < 3)
33 eluzle 12781 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3) โ†’ 3 โ‰ค ๐‘)
344, 33syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ 3 โ‰ค ๐‘)
3528, 30, 27, 32, 34ltletrd 11320 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ 0 < ๐‘)
36 1red 11161 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„)
37 1lt2 12329 . . . . . . . . . . . . . 14 1 < 2
3837a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ 1 < 2)
3936, 38ltned 11296 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ 1 โ‰  2)
4039necomd 2996 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ 2 โ‰  1)
4122, 24, 27, 35, 40relogbcld 40476 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (2 logb ๐‘) โˆˆ โ„)
42 5nn0 12438 . . . . . . . . . . 11 5 โˆˆ โ„•0
4342a1i 11 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ 5 โˆˆ โ„•0)
4441, 43reexpcld 14074 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((2 logb ๐‘)โ†‘5) โˆˆ โ„)
45 ceilcl 13753 . . . . . . . . 9 (((2 logb ๐‘)โ†‘5) โˆˆ โ„ โ†’ (โŒˆโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘5)) โˆˆ โ„ค)
4644, 45syl 17 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (โŒˆโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘5)) โˆˆ โ„ค)
4720, 46eqeltrd 2834 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„ค)
4847zred 12612 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
49 9re 12257 . . . . . . . . . 10 9 โˆˆ โ„
5049a1i 11 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ 9 โˆˆ โ„)
51 9pos 12271 . . . . . . . . . 10 0 < 9
5251a1i 11 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ 0 < 9)
5327, 343lexlogpow5ineq4 40559 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ 9 < ((2 logb ๐‘)โ†‘5))
5428, 50, 44, 52, 53lttrd 11321 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ 0 < ((2 logb ๐‘)โ†‘5))
55 ceilge 13756 . . . . . . . . . 10 (((2 logb ๐‘)โ†‘5) โˆˆ โ„ โ†’ ((2 logb ๐‘)โ†‘5) โ‰ค (โŒˆโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘5)))
5644, 55syl 17 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((2 logb ๐‘)โ†‘5) โ‰ค (โŒˆโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘5)))
5756, 20breqtrrd 5134 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((2 logb ๐‘)โ†‘5) โ‰ค ๐ต)
5828, 44, 48, 54, 57ltletrd 11320 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ 0 < ๐ต)
5947, 58jca 513 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง 0 < ๐ต))
60 elnnz 12514 . . . . . 6 (๐ต โˆˆ โ„• โ†” (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง 0 < ๐ต))
6159, 60sylibr 233 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„•)
6261nnred 12173 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
6361nngt0d 12207 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ 0 < ๐ต)
64 2z 12540 . . . . . . . . 9 2 โˆˆ โ„ค
6564a1i 11 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ 2 โˆˆ โ„ค)
6665zred 12612 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ 2 โˆˆ โ„)
67 prmuz2 16577 . . . . . . . . 9 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
683, 67syl 17 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
69 eluzle 12781 . . . . . . . 8 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ 2 โ‰ค ๐‘ƒ)
7068, 69syl 17 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ 2 โ‰ค ๐‘ƒ)
7136, 66, 18, 38, 70ltletrd 11320 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ 1 < ๐‘ƒ)
7236, 71ltned 11296 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ 1 โ‰  ๐‘ƒ)
7372necomd 2996 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โ‰  1)
7418, 19, 62, 63, 73relogbcld 40476 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒ logb ๐ต) โˆˆ โ„)
7566, 24, 62, 63, 40relogbcld 40476 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (2 logb ๐ต) โˆˆ โ„)
7617nnrpd 12960 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„+)
7776rpcnd 12964 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„‚)
7876rpne0d 12967 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โ‰  0)
7977, 78, 14cxpexpzd 26082 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒโ†‘๐‘๐พ) = (๐‘ƒโ†‘๐พ))
8018, 13reexpcld 14074 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒโ†‘๐พ) โˆˆ โ„)
8111nnred 12173 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„)
822oveq2d 7374 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒโ†‘๐พ) = (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘…)))
83 pcdvds 16741 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘… โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘…)) โˆฅ ๐‘…)
843, 11, 83syl2anc 585 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘…)) โˆฅ ๐‘…)
8517nnzd 12531 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„ค)
86 zexpcl 13988 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ƒ pCnt ๐‘…) โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘…)) โˆˆ โ„ค)
8785, 12, 86syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘…)) โˆˆ โ„ค)
88 dvdsle 16197 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘…)) โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘… โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘…)) โˆฅ ๐‘… โ†’ (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘…)) โ‰ค ๐‘…))
8987, 11, 88syl2anc 585 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘…)) โˆฅ ๐‘… โ†’ (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘…)) โ‰ค ๐‘…))
9084, 89mpd 15 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt ๐‘…)) โ‰ค ๐‘…)
9182, 90eqbrtrd 5128 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒโ†‘๐พ) โ‰ค ๐‘…)
92 elfzle2 13451 . . . . . . . 8 (๐‘… โˆˆ (1...๐ต) โ†’ ๐‘… โ‰ค ๐ต)
939, 92syl 17 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โ‰ค ๐ต)
9480, 81, 62, 91, 93letrd 11317 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒโ†‘๐พ) โ‰ค ๐ต)
9578, 73nelprd 4618 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ยฌ ๐‘ƒ โˆˆ {0, 1})
9677, 95eldifd 3922 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0, 1}))
9762recnd 11188 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
9828, 63ltned 11296 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰  ๐ต)
9998necomd 2996 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โ‰  0)
10099neneqd 2945 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ยฌ ๐ต = 0)
101 elsng 4601 . . . . . . . . . 10 (๐ต โˆˆ โ„• โ†’ (๐ต โˆˆ {0} โ†” ๐ต = 0))
10261, 101syl 17 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐ต โˆˆ {0} โ†” ๐ต = 0))
103100, 102mtbird 325 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ยฌ ๐ต โˆˆ {0})
10497, 103eldifd 3922 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}))
105 cxplogb 26152 . . . . . . 7 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0, 1}) โˆง ๐ต โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0})) โ†’ (๐‘ƒโ†‘๐‘(๐‘ƒ logb ๐ต)) = ๐ต)
10696, 104, 105syl2anc 585 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒโ†‘๐‘(๐‘ƒ logb ๐ต)) = ๐ต)
10794, 106breqtrrd 5134 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒโ†‘๐พ) โ‰ค (๐‘ƒโ†‘๐‘(๐‘ƒ logb ๐ต)))
10879, 107eqbrtrd 5128 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒโ†‘๐‘๐พ) โ‰ค (๐‘ƒโ†‘๐‘(๐‘ƒ logb ๐ต)))
10976rpred 12962 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„)
11036, 66, 109, 38, 70ltletrd 11320 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ 1 < ๐‘ƒ)
111109, 110, 15, 74cxpled 26091 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐พ โ‰ค (๐‘ƒ logb ๐ต) โ†” (๐‘ƒโ†‘๐‘๐พ) โ‰ค (๐‘ƒโ†‘๐‘(๐‘ƒ logb ๐ต))))
112108, 111mpbird 257 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐พ โ‰ค (๐‘ƒ logb ๐ต))
11322, 38rplogcld 26000 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (logโ€˜2) โˆˆ โ„+)
114109, 110rplogcld 26000 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (logโ€˜๐‘ƒ) โˆˆ โ„+)
11561nnrpd 12960 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„+)
116115relogcld 25994 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (logโ€˜๐ต) โˆˆ โ„)
11761nnge1d 12206 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ 1 โ‰ค ๐ต)
11862, 117logge0d 26001 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค (logโ€˜๐ต))
119 2rp 12925 . . . . . . . 8 2 โˆˆ โ„+
120119a1i 11 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ 2 โˆˆ โ„+)
121120, 76logled 25998 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (2 โ‰ค ๐‘ƒ โ†” (logโ€˜2) โ‰ค (logโ€˜๐‘ƒ)))
12270, 121mpbid 231 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (logโ€˜2) โ‰ค (logโ€˜๐‘ƒ))
123113, 114, 116, 118, 122lediv2ad 12984 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((logโ€˜๐ต) / (logโ€˜๐‘ƒ)) โ‰ค ((logโ€˜๐ต) / (logโ€˜2)))
124 relogbval 26138 . . . . . 6 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ (๐‘ƒ logb ๐ต) = ((logโ€˜๐ต) / (logโ€˜๐‘ƒ)))
12568, 115, 124syl2anc 585 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒ logb ๐ต) = ((logโ€˜๐ต) / (logโ€˜๐‘ƒ)))
126125eqcomd 2739 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((logโ€˜๐ต) / (logโ€˜๐‘ƒ)) = (๐‘ƒ logb ๐ต))
12765uzidd 12784 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ 2 โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
128 relogbval 26138 . . . . . 6 ((2 โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ (2 logb ๐ต) = ((logโ€˜๐ต) / (logโ€˜2)))
129127, 115, 128syl2anc 585 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (2 logb ๐ต) = ((logโ€˜๐ต) / (logโ€˜2)))
130129eqcomd 2739 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((logโ€˜๐ต) / (logโ€˜2)) = (2 logb ๐ต))
131123, 126, 1303brtr3d 5137 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒ logb ๐ต) โ‰ค (2 logb ๐ต))
13215, 74, 75, 112, 131letrd 11317 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐พ โ‰ค (2 logb ๐ต))
133 flge 13716 . . 3 (((2 logb ๐ต) โˆˆ โ„ โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐พ โ‰ค (2 logb ๐ต) โ†” ๐พ โ‰ค (โŒŠโ€˜(2 logb ๐ต))))
13475, 14, 133syl2anc 585 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐พ โ‰ค (2 logb ๐ต) โ†” ๐พ โ‰ค (โŒŠโ€˜(2 logb ๐ต))))
135132, 134mpbid 231 1 (๐œ‘ โ†’ ๐พ โ‰ค (โŒŠโ€˜(2 logb ๐ต)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  {crab 3406   โˆ– cdif 3908  {csn 4587  {cpr 4589   class class class wbr 5106  โ€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  infcinf 9382  โ„‚cc 11054  โ„cr 11055  0cc0 11056  1c1 11057   ยท cmul 11061   < clt 11194   โ‰ค cle 11195   โˆ’ cmin 11390   / cdiv 11817  โ„•cn 12158  2c2 12213  3c3 12214  5c5 12216  9c9 12220  โ„•0cn0 12418  โ„คcz 12504  โ„คโ‰ฅcuz 12768  โ„+crp 12920  ...cfz 13430  โŒŠcfl 13701  โŒˆcceil 13702  โ†‘cexp 13973  โˆcprod 15793   โˆฅ cdvds 16141  โ„™cprime 16552   pCnt cpc 16713  logclog 25926  โ†‘๐‘ccxp 25927   logb clogb 26130
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-inf2 9582  ax-cc 10376  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134  ax-addf 11135  ax-mulf 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-symdif 4203  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-iin 4958  df-disj 5072  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7618  df-ofr 7619  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-supp 8094  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-2o 8414  df-oadd 8417  df-omul 8418  df-er 8651  df-map 8770  df-pm 8771  df-ixp 8839  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fsupp 9309  df-fi 9352  df-sup 9383  df-inf 9384  df-oi 9451  df-dju 9842  df-card 9880  df-acn 9883  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-4 12223  df-5 12224  df-6 12225  df-7 12226  df-8 12227  df-9 12228  df-n0 12419  df-z 12505  df-dec 12624  df-uz 12769  df-q 12879  df-rp 12921  df-xneg 13038  df-xadd 13039  df-xmul 13040  df-ioo 13274  df-ioc 13275  df-ico 13276  df-icc 13277  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-fl 13703  df-ceil 13704  df-mod 13781  df-seq 13913  df-exp 13974  df-fac 14180  df-bc 14209  df-hash 14237  df-shft 14958  df-cj 14990  df-re 14991  df-im 14992  df-sqrt 15126  df-abs 15127  df-limsup 15359  df-clim 15376  df-rlim 15377  df-sum 15577  df-prod 15794  df-ef 15955  df-e 15956  df-sin 15957  df-cos 15958  df-pi 15960  df-dvds 16142  df-gcd 16380  df-lcm 16471  df-lcmf 16472  df-prm 16553  df-pc 16714  df-struct 17024  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-ress 17118  df-plusg 17151  df-mulr 17152  df-starv 17153  df-sca 17154  df-vsca 17155  df-ip 17156  df-tset 17157  df-ple 17158  df-ds 17160  df-unif 17161  df-hom 17162  df-cco 17163  df-rest 17309  df-topn 17310  df-0g 17328  df-gsum 17329  df-topgen 17330  df-pt 17331  df-prds 17334  df-xrs 17389  df-qtop 17394  df-imas 17395  df-xps 17397  df-mre 17471  df-mrc 17472  df-acs 17474  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562  df-submnd 18607  df-mulg 18878  df-cntz 19102  df-cmn 19569  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-fbas 20809  df-fg 20810  df-cnfld 20813  df-top 22259  df-topon 22276  df-topsp 22298  df-bases 22312  df-cld 22386  df-ntr 22387  df-cls 22388  df-nei 22465  df-lp 22503  df-perf 22504  df-cn 22594  df-cnp 22595  df-haus 22682  df-cmp 22754  df-tx 22929  df-hmeo 23122  df-fil 23213  df-fm 23305  df-flim 23306  df-flf 23307  df-xms 23689  df-ms 23690  df-tms 23691  df-cncf 24257  df-ovol 24844  df-vol 24845  df-mbf 24999  df-itg1 25000  df-itg2 25001  df-ibl 25002  df-itg 25003  df-0p 25050  df-limc 25246  df-dv 25247  df-log 25928  df-cxp 25929  df-logb 26131
This theorem is referenced by:  aks4d1p7d1  40585
  Copyright terms: Public domain W3C validator