Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sumcubes Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sumcubes 41766
Description: The sum of the first ๐‘ perfect cubes is the sum of the first ๐‘ nonnegative integers, squared. This is the Proof by Nicomachus from https://proofwiki.org/wiki/Sum_of_Sequence_of_Cubes using induction and index shifting to collect all the odd numbers. (Contributed by SN, 22-Mar-2025.)
Assertion
Ref Expression
sumcubes (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)(๐‘˜โ†‘3) = (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)๐‘˜โ†‘2))
Distinct variable group:   ๐‘˜,๐‘

Proof of Theorem sumcubes
Dummy variables ๐‘™ ๐‘š ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 7413 . . . . 5 (๐‘ฅ = 0 โ†’ (1...๐‘ฅ) = (1...0))
21sumeq1d 15653 . . . 4 (๐‘ฅ = 0 โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘ฅ)ฮฃ๐‘™ โˆˆ (1...๐‘˜)(((๐‘˜โ†‘2) โˆ’ ๐‘˜) + ((2 ยท ๐‘™) โˆ’ 1)) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...0)ฮฃ๐‘™ โˆˆ (1...๐‘˜)(((๐‘˜โ†‘2) โˆ’ ๐‘˜) + ((2 ยท ๐‘™) โˆ’ 1)))
31sumeq1d 15653 . . . . . 6 (๐‘ฅ = 0 โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘ฅ)๐‘˜ = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...0)๐‘˜)
43oveq2d 7421 . . . . 5 (๐‘ฅ = 0 โ†’ (1...ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘ฅ)๐‘˜) = (1...ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...0)๐‘˜))
54sumeq1d 15653 . . . 4 (๐‘ฅ = 0 โ†’ ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘ฅ)๐‘˜)((2 ยท ๐‘š) โˆ’ 1) = ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...0)๐‘˜)((2 ยท ๐‘š) โˆ’ 1))
62, 5eqeq12d 2742 . . 3 (๐‘ฅ = 0 โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘ฅ)ฮฃ๐‘™ โˆˆ (1...๐‘˜)(((๐‘˜โ†‘2) โˆ’ ๐‘˜) + ((2 ยท ๐‘™) โˆ’ 1)) = ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘ฅ)๐‘˜)((2 ยท ๐‘š) โˆ’ 1) โ†” ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...0)ฮฃ๐‘™ โˆˆ (1...๐‘˜)(((๐‘˜โ†‘2) โˆ’ ๐‘˜) + ((2 ยท ๐‘™) โˆ’ 1)) = ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...0)๐‘˜)((2 ยท ๐‘š) โˆ’ 1)))
7 oveq2 7413 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (1...๐‘ฅ) = (1...๐‘ฆ))
87sumeq1d 15653 . . . 4 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘ฅ)ฮฃ๐‘™ โˆˆ (1...๐‘˜)(((๐‘˜โ†‘2) โˆ’ ๐‘˜) + ((2 ยท ๐‘™) โˆ’ 1)) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘ฆ)ฮฃ๐‘™ โˆˆ (1...๐‘˜)(((๐‘˜โ†‘2) โˆ’ ๐‘˜) + ((2 ยท ๐‘™) โˆ’ 1)))
97sumeq1d 15653 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘ฅ)๐‘˜ = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘ฆ)๐‘˜)
109oveq2d 7421 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (1...ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘ฅ)๐‘˜) = (1...ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘ฆ)๐‘˜))
1110sumeq1d 15653 . . . 4 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘ฅ)๐‘˜)((2 ยท ๐‘š) โˆ’ 1) = ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘ฆ)๐‘˜)((2 ยท ๐‘š) โˆ’ 1))
128, 11eqeq12d 2742 . . 3 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘ฅ)ฮฃ๐‘™ โˆˆ (1...๐‘˜)(((๐‘˜โ†‘2) โˆ’ ๐‘˜) + ((2 ยท ๐‘™) โˆ’ 1)) = ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘ฅ)๐‘˜)((2 ยท ๐‘š) โˆ’ 1) โ†” ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘ฆ)ฮฃ๐‘™ โˆˆ (1...๐‘˜)(((๐‘˜โ†‘2) โˆ’ ๐‘˜) + ((2 ยท ๐‘™) โˆ’ 1)) = ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘ฆ)๐‘˜)((2 ยท ๐‘š) โˆ’ 1)))
13 oveq2 7413 . . . . 5 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ + 1) โ†’ (1...๐‘ฅ) = (1...(๐‘ฆ + 1)))
1413sumeq1d 15653 . . . 4 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ + 1) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘ฅ)ฮฃ๐‘™ โˆˆ (1...๐‘˜)(((๐‘˜โ†‘2) โˆ’ ๐‘˜) + ((2 ยท ๐‘™) โˆ’ 1)) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ฆ + 1))ฮฃ๐‘™ โˆˆ (1...๐‘˜)(((๐‘˜โ†‘2) โˆ’ ๐‘˜) + ((2 ยท ๐‘™) โˆ’ 1)))
1513sumeq1d 15653 . . . . . 6 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ + 1) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘ฅ)๐‘˜ = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ฆ + 1))๐‘˜)
1615oveq2d 7421 . . . . 5 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ + 1) โ†’ (1...ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘ฅ)๐‘˜) = (1...ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ฆ + 1))๐‘˜))
1716sumeq1d 15653 . . . 4 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ + 1) โ†’ ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘ฅ)๐‘˜)((2 ยท ๐‘š) โˆ’ 1) = ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ฆ + 1))๐‘˜)((2 ยท ๐‘š) โˆ’ 1))
1814, 17eqeq12d 2742 . . 3 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ + 1) โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘ฅ)ฮฃ๐‘™ โˆˆ (1...๐‘˜)(((๐‘˜โ†‘2) โˆ’ ๐‘˜) + ((2 ยท ๐‘™) โˆ’ 1)) = ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘ฅ)๐‘˜)((2 ยท ๐‘š) โˆ’ 1) โ†” ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ฆ + 1))ฮฃ๐‘™ โˆˆ (1...๐‘˜)(((๐‘˜โ†‘2) โˆ’ ๐‘˜) + ((2 ยท ๐‘™) โˆ’ 1)) = ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ฆ + 1))๐‘˜)((2 ยท ๐‘š) โˆ’ 1)))
19 oveq2 7413 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐‘ โ†’ (1...๐‘ฅ) = (1...๐‘))
2019sumeq1d 15653 . . . 4 (๐‘ฅ = ๐‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘ฅ)ฮฃ๐‘™ โˆˆ (1...๐‘˜)(((๐‘˜โ†‘2) โˆ’ ๐‘˜) + ((2 ยท ๐‘™) โˆ’ 1)) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)ฮฃ๐‘™ โˆˆ (1...๐‘˜)(((๐‘˜โ†‘2) โˆ’ ๐‘˜) + ((2 ยท ๐‘™) โˆ’ 1)))
2119sumeq1d 15653 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘ฅ)๐‘˜ = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)๐‘˜)
2221oveq2d 7421 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐‘ โ†’ (1...ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘ฅ)๐‘˜) = (1...ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)๐‘˜))
2322sumeq1d 15653 . . . 4 (๐‘ฅ = ๐‘ โ†’ ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘ฅ)๐‘˜)((2 ยท ๐‘š) โˆ’ 1) = ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)๐‘˜)((2 ยท ๐‘š) โˆ’ 1))
2420, 23eqeq12d 2742 . . 3 (๐‘ฅ = ๐‘ โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘ฅ)ฮฃ๐‘™ โˆˆ (1...๐‘˜)(((๐‘˜โ†‘2) โˆ’ ๐‘˜) + ((2 ยท ๐‘™) โˆ’ 1)) = ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘ฅ)๐‘˜)((2 ยท ๐‘š) โˆ’ 1) โ†” ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)ฮฃ๐‘™ โˆˆ (1...๐‘˜)(((๐‘˜โ†‘2) โˆ’ ๐‘˜) + ((2 ยท ๐‘™) โˆ’ 1)) = ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)๐‘˜)((2 ยท ๐‘š) โˆ’ 1)))
25 sum0 15673 . . . . 5 ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โˆ… ฮฃ๐‘™ โˆˆ (1...๐‘˜)(((๐‘˜โ†‘2) โˆ’ ๐‘˜) + ((2 ยท ๐‘™) โˆ’ 1)) = 0
26 sum0 15673 . . . . 5 ฮฃ๐‘š โˆˆ โˆ… ((2 ยท ๐‘š) โˆ’ 1) = 0
2725, 26eqtr4i 2757 . . . 4 ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โˆ… ฮฃ๐‘™ โˆˆ (1...๐‘˜)(((๐‘˜โ†‘2) โˆ’ ๐‘˜) + ((2 ยท ๐‘™) โˆ’ 1)) = ฮฃ๐‘š โˆˆ โˆ… ((2 ยท ๐‘š) โˆ’ 1)
28 fz10 13528 . . . . 5 (1...0) = โˆ…
2928sumeq1i 15650 . . . 4 ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...0)ฮฃ๐‘™ โˆˆ (1...๐‘˜)(((๐‘˜โ†‘2) โˆ’ ๐‘˜) + ((2 ยท ๐‘™) โˆ’ 1)) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โˆ… ฮฃ๐‘™ โˆˆ (1...๐‘˜)(((๐‘˜โ†‘2) โˆ’ ๐‘˜) + ((2 ยท ๐‘™) โˆ’ 1))
3028sumeq1i 15650 . . . . . . . 8 ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...0)๐‘˜ = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โˆ… ๐‘˜
31 sum0 15673 . . . . . . . 8 ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โˆ… ๐‘˜ = 0
3230, 31eqtri 2754 . . . . . . 7 ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...0)๐‘˜ = 0
3332oveq2i 7416 . . . . . 6 (1...ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...0)๐‘˜) = (1...0)
3433, 28eqtri 2754 . . . . 5 (1...ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...0)๐‘˜) = โˆ…
3534sumeq1i 15650 . . . 4 ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...0)๐‘˜)((2 ยท ๐‘š) โˆ’ 1) = ฮฃ๐‘š โˆˆ โˆ… ((2 ยท ๐‘š) โˆ’ 1)
3627, 29, 353eqtr4i 2764 . . 3 ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...0)ฮฃ๐‘™ โˆˆ (1...๐‘˜)(((๐‘˜โ†‘2) โˆ’ ๐‘˜) + ((2 ยท ๐‘™) โˆ’ 1)) = ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...0)๐‘˜)((2 ยท ๐‘š) โˆ’ 1)
37 simpr 484 . . . . . 6 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โˆง ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘ฆ)ฮฃ๐‘™ โˆˆ (1...๐‘˜)(((๐‘˜โ†‘2) โˆ’ ๐‘˜) + ((2 ยท ๐‘™) โˆ’ 1)) = ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘ฆ)๐‘˜)((2 ยท ๐‘š) โˆ’ 1)) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘ฆ)ฮฃ๐‘™ โˆˆ (1...๐‘˜)(((๐‘˜โ†‘2) โˆ’ ๐‘˜) + ((2 ยท ๐‘™) โˆ’ 1)) = ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘ฆ)๐‘˜)((2 ยท ๐‘š) โˆ’ 1))
38 fzfid 13944 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โ†’ (1...๐‘ฆ) โˆˆ Fin)
39 elfznn 13536 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘ฆ) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•)
4039adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘ฆ)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•)
4140nnnn0d 12536 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘ฆ)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
4238, 41fsumnn0cl 15688 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘ฆ)๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
4342nn0zd 12588 . . . . . . . . 9 (๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘ฆ)๐‘˜ โˆˆ โ„ค)
44 nn0p1nn 12515 . . . . . . . . . . 11 (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘ฆ)๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘ฆ)๐‘˜ + 1) โˆˆ โ„•)
4542, 44syl 17 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘ฆ)๐‘˜ + 1) โˆˆ โ„•)
4645nnzd 12589 . . . . . . . . 9 (๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘ฆ)๐‘˜ + 1) โˆˆ โ„ค)
47 peano2nn0 12516 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘ฆ + 1) โˆˆ โ„•0)
4847nn0zd 12588 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘ฆ + 1) โˆˆ โ„ค)
4943, 48zaddcld 12674 . . . . . . . . 9 (๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘ฆ)๐‘˜ + (๐‘ฆ + 1)) โˆˆ โ„ค)
50 2cnd 12294 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘š โˆˆ ((ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘ฆ)๐‘˜ + 1)...(ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘ฆ)๐‘˜ + (๐‘ฆ + 1)))) โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
51 elfzelz 13507 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘š โˆˆ ((ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘ฆ)๐‘˜ + 1)...(ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘ฆ)๐‘˜ + (๐‘ฆ + 1))) โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„ค)
5251zcnd 12671 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘š โˆˆ ((ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘ฆ)๐‘˜ + 1)...(ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘ฆ)๐‘˜ + (๐‘ฆ + 1))) โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„‚)
5352adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘š โˆˆ ((ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘ฆ)๐‘˜ + 1)...(ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘ฆ)๐‘˜ + (๐‘ฆ + 1)))) โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„‚)
5450, 53mulcld 11238 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘š โˆˆ ((ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘ฆ)๐‘˜ + 1)...(ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘ฆ)๐‘˜ + (๐‘ฆ + 1)))) โ†’ (2 ยท ๐‘š) โˆˆ โ„‚)
55 1cnd 11213 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘š โˆˆ ((ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘ฆ)๐‘˜ + 1)...(ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘ฆ)๐‘˜ + (๐‘ฆ + 1)))) โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
5654, 55subcld 11575 . . . . . . . . 9 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘š โˆˆ ((ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘ฆ)๐‘˜ + 1)...(ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘ฆ)๐‘˜ + (๐‘ฆ + 1)))) โ†’ ((2 ยท ๐‘š) โˆ’ 1) โˆˆ โ„‚)
57 oveq2 7413 . . . . . . . . . 10 (๐‘š = (๐‘™ + ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘ฆ)๐‘˜) โ†’ (2 ยท ๐‘š) = (2 ยท (๐‘™ + ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘ฆ)๐‘˜)))
5857oveq1d 7420 . . . . . . . . 9 (๐‘š = (๐‘™ + ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘ฆ)๐‘˜) โ†’ ((2 ยท ๐‘š) โˆ’ 1) = ((2 ยท (๐‘™ + ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘ฆ)๐‘˜)) โˆ’ 1))
5943, 46, 49, 56, 58fsumshftm 15733 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โ†’ ฮฃ๐‘š โˆˆ ((ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘ฆ)๐‘˜ + 1)...(ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘ฆ)๐‘˜ + (๐‘ฆ + 1)))((2 ยท ๐‘š) โˆ’ 1) = ฮฃ๐‘™ โˆˆ (((ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘ฆ)๐‘˜ + 1) โˆ’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘ฆ)๐‘˜)...((ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘ฆ)๐‘˜ + (๐‘ฆ + 1)) โˆ’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘ฆ)๐‘˜))((2 ยท (๐‘™ + ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘ฆ)๐‘˜)) โˆ’ 1))
60 elfzelz 13507 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘ฆ) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„ค)
6160adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘ฆ)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„ค)
6261zred 12670 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘ฆ)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„)
6338, 62fsumrecl 15686 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘ฆ)๐‘˜ โˆˆ โ„)
6463recnd 11246 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘ฆ)๐‘˜ โˆˆ โ„‚)
65 1cnd 11213 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
6664, 65pncan2d 11577 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘ฆ)๐‘˜ + 1) โˆ’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘ฆ)๐‘˜) = 1)
6747nn0cnd 12538 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘ฆ + 1) โˆˆ โ„‚)
6864, 67pncan2d 11577 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘ฆ)๐‘˜ + (๐‘ฆ + 1)) โˆ’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘ฆ)๐‘˜) = (๐‘ฆ + 1))
6966, 68oveq12d 7423 . . . . . . . . 9 (๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โ†’ (((ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘ฆ)๐‘˜ + 1) โˆ’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘ฆ)๐‘˜)...((ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘ฆ)๐‘˜ + (๐‘ฆ + 1)) โˆ’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘ฆ)๐‘˜)) = (1...(๐‘ฆ + 1)))
70 elfzelz 13507 . . . . . . . . . . 11 (๐‘™ โˆˆ (((ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘ฆ)๐‘˜ + 1) โˆ’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘ฆ)๐‘˜)...((ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘ฆ)๐‘˜ + (๐‘ฆ + 1)) โˆ’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘ฆ)๐‘˜)) โ†’ ๐‘™ โˆˆ โ„ค)
7170zcnd 12671 . . . . . . . . . 10 (๐‘™ โˆˆ (((ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘ฆ)๐‘˜ + 1) โˆ’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘ฆ)๐‘˜)...((ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘ฆ)๐‘˜ + (๐‘ฆ + 1)) โˆ’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘ฆ)๐‘˜)) โ†’ ๐‘™ โˆˆ โ„‚)
72 2cnd 12294 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘™ โˆˆ โ„‚) โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
73 simpr 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘™ โˆˆ โ„‚) โ†’ ๐‘™ โˆˆ โ„‚)
7464adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘™ โˆˆ โ„‚) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘ฆ)๐‘˜ โˆˆ โ„‚)
7572, 73, 74adddid 11242 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘™ โˆˆ โ„‚) โ†’ (2 ยท (๐‘™ + ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘ฆ)๐‘˜)) = ((2 ยท ๐‘™) + (2 ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘ฆ)๐‘˜)))
7675oveq1d 7420 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘™ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((2 ยท (๐‘™ + ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘ฆ)๐‘˜)) โˆ’ 1) = (((2 ยท ๐‘™) + (2 ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘ฆ)๐‘˜)) โˆ’ 1))
7772, 73mulcld 11238 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘™ โˆˆ โ„‚) โ†’ (2 ยท ๐‘™) โˆˆ โ„‚)
7872, 74mulcld 11238 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘™ โˆˆ โ„‚) โ†’ (2 ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘ฆ)๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
79 1cnd 11213 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘™ โˆˆ โ„‚) โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
8077, 78, 79addsubassd 11595 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘™ โˆˆ โ„‚) โ†’ (((2 ยท ๐‘™) + (2 ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘ฆ)๐‘˜)) โˆ’ 1) = ((2 ยท ๐‘™) + ((2 ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘ฆ)๐‘˜) โˆ’ 1)))
8177, 78, 79addsub12d 11598 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘™ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((2 ยท ๐‘™) + ((2 ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘ฆ)๐‘˜) โˆ’ 1)) = ((2 ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘ฆ)๐‘˜) + ((2 ยท ๐‘™) โˆ’ 1)))
82 arisum 15812 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘ฆ)๐‘˜ = (((๐‘ฆโ†‘2) + ๐‘ฆ) / 2))
8382oveq2d 7421 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โ†’ (2 ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘ฆ)๐‘˜) = (2 ยท (((๐‘ฆโ†‘2) + ๐‘ฆ) / 2)))
84 nn0cn 12486 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚)
8584sqcld 14114 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘ฆโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
8685, 84addcld 11237 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((๐‘ฆโ†‘2) + ๐‘ฆ) โˆˆ โ„‚)
87 2cnd 12294 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
88 2ne0 12320 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 โ‰  0
8988a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โ†’ 2 โ‰  0)
9086, 87, 89divcan2d 11996 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โ†’ (2 ยท (((๐‘ฆโ†‘2) + ๐‘ฆ) / 2)) = ((๐‘ฆโ†‘2) + ๐‘ฆ))
91 binom21 14187 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โ†’ ((๐‘ฆ + 1)โ†‘2) = (((๐‘ฆโ†‘2) + (2 ยท ๐‘ฆ)) + 1))
9284, 91syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((๐‘ฆ + 1)โ†‘2) = (((๐‘ฆโ†‘2) + (2 ยท ๐‘ฆ)) + 1))
9392oveq1d 7420 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โ†’ (((๐‘ฆ + 1)โ†‘2) โˆ’ (๐‘ฆ + 1)) = ((((๐‘ฆโ†‘2) + (2 ยท ๐‘ฆ)) + 1) โˆ’ (๐‘ฆ + 1)))
9487, 84mulcld 11238 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โ†’ (2 ยท ๐‘ฆ) โˆˆ โ„‚)
9585, 94addcld 11237 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((๐‘ฆโ†‘2) + (2 ยท ๐‘ฆ)) โˆˆ โ„‚)
9695, 84, 65pnpcan2d 11613 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((((๐‘ฆโ†‘2) + (2 ยท ๐‘ฆ)) + 1) โˆ’ (๐‘ฆ + 1)) = (((๐‘ฆโ†‘2) + (2 ยท ๐‘ฆ)) โˆ’ ๐‘ฆ))
9785, 94, 84addsubassd 11595 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โ†’ (((๐‘ฆโ†‘2) + (2 ยท ๐‘ฆ)) โˆ’ ๐‘ฆ) = ((๐‘ฆโ†‘2) + ((2 ยท ๐‘ฆ) โˆ’ ๐‘ฆ)))
98842timesd 12459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โ†’ (2 ยท ๐‘ฆ) = (๐‘ฆ + ๐‘ฆ))
9984, 84, 98mvrladdd 11631 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((2 ยท ๐‘ฆ) โˆ’ ๐‘ฆ) = ๐‘ฆ)
10099oveq2d 7421 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((๐‘ฆโ†‘2) + ((2 ยท ๐‘ฆ) โˆ’ ๐‘ฆ)) = ((๐‘ฆโ†‘2) + ๐‘ฆ))
10197, 100eqtrd 2766 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โ†’ (((๐‘ฆโ†‘2) + (2 ยท ๐‘ฆ)) โˆ’ ๐‘ฆ) = ((๐‘ฆโ†‘2) + ๐‘ฆ))
10293, 96, 1013eqtrrd 2771 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((๐‘ฆโ†‘2) + ๐‘ฆ) = (((๐‘ฆ + 1)โ†‘2) โˆ’ (๐‘ฆ + 1)))
10383, 90, 1023eqtrd 2770 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โ†’ (2 ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘ฆ)๐‘˜) = (((๐‘ฆ + 1)โ†‘2) โˆ’ (๐‘ฆ + 1)))
104103adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘™ โˆˆ โ„‚) โ†’ (2 ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘ฆ)๐‘˜) = (((๐‘ฆ + 1)โ†‘2) โˆ’ (๐‘ฆ + 1)))
105104oveq1d 7420 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘™ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((2 ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘ฆ)๐‘˜) + ((2 ยท ๐‘™) โˆ’ 1)) = ((((๐‘ฆ + 1)โ†‘2) โˆ’ (๐‘ฆ + 1)) + ((2 ยท ๐‘™) โˆ’ 1)))
10681, 105eqtrd 2766 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘™ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((2 ยท ๐‘™) + ((2 ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘ฆ)๐‘˜) โˆ’ 1)) = ((((๐‘ฆ + 1)โ†‘2) โˆ’ (๐‘ฆ + 1)) + ((2 ยท ๐‘™) โˆ’ 1)))
10776, 80, 1063eqtrd 2770 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘™ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((2 ยท (๐‘™ + ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘ฆ)๐‘˜)) โˆ’ 1) = ((((๐‘ฆ + 1)โ†‘2) โˆ’ (๐‘ฆ + 1)) + ((2 ยท ๐‘™) โˆ’ 1)))
10871, 107sylan2 592 . . . . . . . . 9 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘™ โˆˆ (((ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘ฆ)๐‘˜ + 1) โˆ’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘ฆ)๐‘˜)...((ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘ฆ)๐‘˜ + (๐‘ฆ + 1)) โˆ’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘ฆ)๐‘˜))) โ†’ ((2 ยท (๐‘™ + ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘ฆ)๐‘˜)) โˆ’ 1) = ((((๐‘ฆ + 1)โ†‘2) โˆ’ (๐‘ฆ + 1)) + ((2 ยท ๐‘™) โˆ’ 1)))
10969, 108sumeq12dv 15658 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โ†’ ฮฃ๐‘™ โˆˆ (((ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘ฆ)๐‘˜ + 1) โˆ’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘ฆ)๐‘˜)...((ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘ฆ)๐‘˜ + (๐‘ฆ + 1)) โˆ’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘ฆ)๐‘˜))((2 ยท (๐‘™ + ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘ฆ)๐‘˜)) โˆ’ 1) = ฮฃ๐‘™ โˆˆ (1...(๐‘ฆ + 1))((((๐‘ฆ + 1)โ†‘2) โˆ’ (๐‘ฆ + 1)) + ((2 ยท ๐‘™) โˆ’ 1)))
11059, 109eqtr2d 2767 . . . . . . 7 (๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โ†’ ฮฃ๐‘™ โˆˆ (1...(๐‘ฆ + 1))((((๐‘ฆ + 1)โ†‘2) โˆ’ (๐‘ฆ + 1)) + ((2 ยท ๐‘™) โˆ’ 1)) = ฮฃ๐‘š โˆˆ ((ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘ฆ)๐‘˜ + 1)...(ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘ฆ)๐‘˜ + (๐‘ฆ + 1)))((2 ยท ๐‘š) โˆ’ 1))
111110adantr 480 . . . . . 6 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โˆง ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘ฆ)ฮฃ๐‘™ โˆˆ (1...๐‘˜)(((๐‘˜โ†‘2) โˆ’ ๐‘˜) + ((2 ยท ๐‘™) โˆ’ 1)) = ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘ฆ)๐‘˜)((2 ยท ๐‘š) โˆ’ 1)) โ†’ ฮฃ๐‘™ โˆˆ (1...(๐‘ฆ + 1))((((๐‘ฆ + 1)โ†‘2) โˆ’ (๐‘ฆ + 1)) + ((2 ยท ๐‘™) โˆ’ 1)) = ฮฃ๐‘š โˆˆ ((ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘ฆ)๐‘˜ + 1)...(ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘ฆ)๐‘˜ + (๐‘ฆ + 1)))((2 ยท ๐‘š) โˆ’ 1))
11237, 111oveq12d 7423 . . . . 5 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โˆง ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘ฆ)ฮฃ๐‘™ โˆˆ (1...๐‘˜)(((๐‘˜โ†‘2) โˆ’ ๐‘˜) + ((2 ยท ๐‘™) โˆ’ 1)) = ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘ฆ)๐‘˜)((2 ยท ๐‘š) โˆ’ 1)) โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘ฆ)ฮฃ๐‘™ โˆˆ (1...๐‘˜)(((๐‘˜โ†‘2) โˆ’ ๐‘˜) + ((2 ยท ๐‘™) โˆ’ 1)) + ฮฃ๐‘™ โˆˆ (1...(๐‘ฆ + 1))((((๐‘ฆ + 1)โ†‘2) โˆ’ (๐‘ฆ + 1)) + ((2 ยท ๐‘™) โˆ’ 1))) = (ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘ฆ)๐‘˜)((2 ยท ๐‘š) โˆ’ 1) + ฮฃ๐‘š โˆˆ ((ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘ฆ)๐‘˜ + 1)...(ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘ฆ)๐‘˜ + (๐‘ฆ + 1)))((2 ยท ๐‘š) โˆ’ 1)))
113 id 22 . . . . . . 7 (๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„•0)
114 fzfid 13944 . . . . . . . 8 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ฆ + 1))) โ†’ (1...๐‘˜) โˆˆ Fin)
115 elfzelz 13507 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ฆ + 1)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„ค)
116115zcnd 12671 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ฆ + 1)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„‚)
117116sqcld 14114 . . . . . . . . . . 11 (๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ฆ + 1)) โ†’ (๐‘˜โ†‘2) โˆˆ โ„‚)
118117, 116subcld 11575 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ฆ + 1)) โ†’ ((๐‘˜โ†‘2) โˆ’ ๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
119 2cnd 12294 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘™ โˆˆ (1...๐‘˜) โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
120 elfzelz 13507 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘™ โˆˆ (1...๐‘˜) โ†’ ๐‘™ โˆˆ โ„ค)
121120zcnd 12671 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘™ โˆˆ (1...๐‘˜) โ†’ ๐‘™ โˆˆ โ„‚)
122119, 121mulcld 11238 . . . . . . . . . . 11 (๐‘™ โˆˆ (1...๐‘˜) โ†’ (2 ยท ๐‘™) โˆˆ โ„‚)
123 1cnd 11213 . . . . . . . . . . 11 (๐‘™ โˆˆ (1...๐‘˜) โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
124122, 123subcld 11575 . . . . . . . . . 10 (๐‘™ โˆˆ (1...๐‘˜) โ†’ ((2 ยท ๐‘™) โˆ’ 1) โˆˆ โ„‚)
125 addcl 11194 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘˜โ†‘2) โˆ’ ๐‘˜) โˆˆ โ„‚ โˆง ((2 ยท ๐‘™) โˆ’ 1) โˆˆ โ„‚) โ†’ (((๐‘˜โ†‘2) โˆ’ ๐‘˜) + ((2 ยท ๐‘™) โˆ’ 1)) โˆˆ โ„‚)
126118, 124, 125syl2an 595 . . . . . . . . 9 ((๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ฆ + 1)) โˆง ๐‘™ โˆˆ (1...๐‘˜)) โ†’ (((๐‘˜โ†‘2) โˆ’ ๐‘˜) + ((2 ยท ๐‘™) โˆ’ 1)) โˆˆ โ„‚)
127126adantll 711 . . . . . . . 8 (((๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ฆ + 1))) โˆง ๐‘™ โˆˆ (1...๐‘˜)) โ†’ (((๐‘˜โ†‘2) โˆ’ ๐‘˜) + ((2 ยท ๐‘™) โˆ’ 1)) โˆˆ โ„‚)
128114, 127fsumcl 15685 . . . . . . 7 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ฆ + 1))) โ†’ ฮฃ๐‘™ โˆˆ (1...๐‘˜)(((๐‘˜โ†‘2) โˆ’ ๐‘˜) + ((2 ยท ๐‘™) โˆ’ 1)) โˆˆ โ„‚)
129 oveq2 7413 . . . . . . . 8 (๐‘˜ = (๐‘ฆ + 1) โ†’ (1...๐‘˜) = (1...(๐‘ฆ + 1)))
130 oveq1 7412 . . . . . . . . . . 11 (๐‘˜ = (๐‘ฆ + 1) โ†’ (๐‘˜โ†‘2) = ((๐‘ฆ + 1)โ†‘2))
131 id 22 . . . . . . . . . . 11 (๐‘˜ = (๐‘ฆ + 1) โ†’ ๐‘˜ = (๐‘ฆ + 1))
132130, 131oveq12d 7423 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ = (๐‘ฆ + 1) โ†’ ((๐‘˜โ†‘2) โˆ’ ๐‘˜) = (((๐‘ฆ + 1)โ†‘2) โˆ’ (๐‘ฆ + 1)))
133132oveq1d 7420 . . . . . . . . 9 (๐‘˜ = (๐‘ฆ + 1) โ†’ (((๐‘˜โ†‘2) โˆ’ ๐‘˜) + ((2 ยท ๐‘™) โˆ’ 1)) = ((((๐‘ฆ + 1)โ†‘2) โˆ’ (๐‘ฆ + 1)) + ((2 ยท ๐‘™) โˆ’ 1)))
134133adantr 480 . . . . . . . 8 ((๐‘˜ = (๐‘ฆ + 1) โˆง ๐‘™ โˆˆ (1...๐‘˜)) โ†’ (((๐‘˜โ†‘2) โˆ’ ๐‘˜) + ((2 ยท ๐‘™) โˆ’ 1)) = ((((๐‘ฆ + 1)โ†‘2) โˆ’ (๐‘ฆ + 1)) + ((2 ยท ๐‘™) โˆ’ 1)))
135129, 134sumeq12dv 15658 . . . . . . 7 (๐‘˜ = (๐‘ฆ + 1) โ†’ ฮฃ๐‘™ โˆˆ (1...๐‘˜)(((๐‘˜โ†‘2) โˆ’ ๐‘˜) + ((2 ยท ๐‘™) โˆ’ 1)) = ฮฃ๐‘™ โˆˆ (1...(๐‘ฆ + 1))((((๐‘ฆ + 1)โ†‘2) โˆ’ (๐‘ฆ + 1)) + ((2 ยท ๐‘™) โˆ’ 1)))
136113, 128, 135fz1sump1 41763 . . . . . 6 (๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ฆ + 1))ฮฃ๐‘™ โˆˆ (1...๐‘˜)(((๐‘˜โ†‘2) โˆ’ ๐‘˜) + ((2 ยท ๐‘™) โˆ’ 1)) = (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘ฆ)ฮฃ๐‘™ โˆˆ (1...๐‘˜)(((๐‘˜โ†‘2) โˆ’ ๐‘˜) + ((2 ยท ๐‘™) โˆ’ 1)) + ฮฃ๐‘™ โˆˆ (1...(๐‘ฆ + 1))((((๐‘ฆ + 1)โ†‘2) โˆ’ (๐‘ฆ + 1)) + ((2 ยท ๐‘™) โˆ’ 1))))
137136adantr 480 . . . . 5 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โˆง ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘ฆ)ฮฃ๐‘™ โˆˆ (1...๐‘˜)(((๐‘˜โ†‘2) โˆ’ ๐‘˜) + ((2 ยท ๐‘™) โˆ’ 1)) = ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘ฆ)๐‘˜)((2 ยท ๐‘š) โˆ’ 1)) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ฆ + 1))ฮฃ๐‘™ โˆˆ (1...๐‘˜)(((๐‘˜โ†‘2) โˆ’ ๐‘˜) + ((2 ยท ๐‘™) โˆ’ 1)) = (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘ฆ)ฮฃ๐‘™ โˆˆ (1...๐‘˜)(((๐‘˜โ†‘2) โˆ’ ๐‘˜) + ((2 ยท ๐‘™) โˆ’ 1)) + ฮฃ๐‘™ โˆˆ (1...(๐‘ฆ + 1))((((๐‘ฆ + 1)โ†‘2) โˆ’ (๐‘ฆ + 1)) + ((2 ยท ๐‘™) โˆ’ 1))))
138116adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ฆ + 1))) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„‚)
139113, 138, 131fz1sump1 41763 . . . . . . . . 9 (๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ฆ + 1))๐‘˜ = (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘ฆ)๐‘˜ + (๐‘ฆ + 1)))
140139adantr 480 . . . . . . . 8 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โˆง ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘ฆ)ฮฃ๐‘™ โˆˆ (1...๐‘˜)(((๐‘˜โ†‘2) โˆ’ ๐‘˜) + ((2 ยท ๐‘™) โˆ’ 1)) = ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘ฆ)๐‘˜)((2 ยท ๐‘š) โˆ’ 1)) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ฆ + 1))๐‘˜ = (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘ฆ)๐‘˜ + (๐‘ฆ + 1)))
141140oveq2d 7421 . . . . . . 7 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โˆง ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘ฆ)ฮฃ๐‘™ โˆˆ (1...๐‘˜)(((๐‘˜โ†‘2) โˆ’ ๐‘˜) + ((2 ยท ๐‘™) โˆ’ 1)) = ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘ฆ)๐‘˜)((2 ยท ๐‘š) โˆ’ 1)) โ†’ (1...ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ฆ + 1))๐‘˜) = (1...(ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘ฆ)๐‘˜ + (๐‘ฆ + 1))))
142141sumeq1d 15653 . . . . . 6 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โˆง ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘ฆ)ฮฃ๐‘™ โˆˆ (1...๐‘˜)(((๐‘˜โ†‘2) โˆ’ ๐‘˜) + ((2 ยท ๐‘™) โˆ’ 1)) = ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘ฆ)๐‘˜)((2 ยท ๐‘š) โˆ’ 1)) โ†’ ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ฆ + 1))๐‘˜)((2 ยท ๐‘š) โˆ’ 1) = ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘ฆ)๐‘˜ + (๐‘ฆ + 1)))((2 ยท ๐‘š) โˆ’ 1))
14363ltp1d 12148 . . . . . . . . 9 (๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘ฆ)๐‘˜ < (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘ฆ)๐‘˜ + 1))
144 fzdisj 13534 . . . . . . . . 9 (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘ฆ)๐‘˜ < (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘ฆ)๐‘˜ + 1) โ†’ ((1...ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘ฆ)๐‘˜) โˆฉ ((ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘ฆ)๐‘˜ + 1)...(ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘ฆ)๐‘˜ + (๐‘ฆ + 1)))) = โˆ…)
145143, 144syl 17 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((1...ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘ฆ)๐‘˜) โˆฉ ((ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘ฆ)๐‘˜ + 1)...(ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘ฆ)๐‘˜ + (๐‘ฆ + 1)))) = โˆ…)
146 nnuz 12869 . . . . . . . . . 10 โ„• = (โ„คโ‰ฅโ€˜1)
14745, 146eleqtrdi 2837 . . . . . . . . 9 (๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘ฆ)๐‘˜ + 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1))
14843uzidd 12842 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘ฆ)๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘ฆ)๐‘˜))
149 uzaddcl 12892 . . . . . . . . . 10 ((ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘ฆ)๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘ฆ)๐‘˜) โˆง (๐‘ฆ + 1) โˆˆ โ„•0) โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘ฆ)๐‘˜ + (๐‘ฆ + 1)) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘ฆ)๐‘˜))
150148, 47, 149syl2anc 583 . . . . . . . . 9 (๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘ฆ)๐‘˜ + (๐‘ฆ + 1)) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘ฆ)๐‘˜))
151 fzsplit2 13532 . . . . . . . . 9 (((ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘ฆ)๐‘˜ + 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1) โˆง (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘ฆ)๐‘˜ + (๐‘ฆ + 1)) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘ฆ)๐‘˜)) โ†’ (1...(ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘ฆ)๐‘˜ + (๐‘ฆ + 1))) = ((1...ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘ฆ)๐‘˜) โˆช ((ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘ฆ)๐‘˜ + 1)...(ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘ฆ)๐‘˜ + (๐‘ฆ + 1)))))
152147, 150, 151syl2anc 583 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โ†’ (1...(ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘ฆ)๐‘˜ + (๐‘ฆ + 1))) = ((1...ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘ฆ)๐‘˜) โˆช ((ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘ฆ)๐‘˜ + 1)...(ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘ฆ)๐‘˜ + (๐‘ฆ + 1)))))
153 fzfid 13944 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โ†’ (1...(ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘ฆ)๐‘˜ + (๐‘ฆ + 1))) โˆˆ Fin)
154 2cnd 12294 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘š โˆˆ (1...(ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘ฆ)๐‘˜ + (๐‘ฆ + 1)))) โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
155 elfzelz 13507 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘š โˆˆ (1...(ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘ฆ)๐‘˜ + (๐‘ฆ + 1))) โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„ค)
156155zcnd 12671 . . . . . . . . . . 11 (๐‘š โˆˆ (1...(ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘ฆ)๐‘˜ + (๐‘ฆ + 1))) โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„‚)
157156adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘š โˆˆ (1...(ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘ฆ)๐‘˜ + (๐‘ฆ + 1)))) โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„‚)
158154, 157mulcld 11238 . . . . . . . . 9 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘š โˆˆ (1...(ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘ฆ)๐‘˜ + (๐‘ฆ + 1)))) โ†’ (2 ยท ๐‘š) โˆˆ โ„‚)
159 1cnd 11213 . . . . . . . . 9 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘š โˆˆ (1...(ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘ฆ)๐‘˜ + (๐‘ฆ + 1)))) โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
160158, 159subcld 11575 . . . . . . . 8 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘š โˆˆ (1...(ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘ฆ)๐‘˜ + (๐‘ฆ + 1)))) โ†’ ((2 ยท ๐‘š) โˆ’ 1) โˆˆ โ„‚)
161145, 152, 153, 160fsumsplit 15693 . . . . . . 7 (๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โ†’ ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘ฆ)๐‘˜ + (๐‘ฆ + 1)))((2 ยท ๐‘š) โˆ’ 1) = (ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘ฆ)๐‘˜)((2 ยท ๐‘š) โˆ’ 1) + ฮฃ๐‘š โˆˆ ((ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘ฆ)๐‘˜ + 1)...(ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘ฆ)๐‘˜ + (๐‘ฆ + 1)))((2 ยท ๐‘š) โˆ’ 1)))
162161adantr 480 . . . . . 6 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โˆง ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘ฆ)ฮฃ๐‘™ โˆˆ (1...๐‘˜)(((๐‘˜โ†‘2) โˆ’ ๐‘˜) + ((2 ยท ๐‘™) โˆ’ 1)) = ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘ฆ)๐‘˜)((2 ยท ๐‘š) โˆ’ 1)) โ†’ ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘ฆ)๐‘˜ + (๐‘ฆ + 1)))((2 ยท ๐‘š) โˆ’ 1) = (ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘ฆ)๐‘˜)((2 ยท ๐‘š) โˆ’ 1) + ฮฃ๐‘š โˆˆ ((ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘ฆ)๐‘˜ + 1)...(ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘ฆ)๐‘˜ + (๐‘ฆ + 1)))((2 ยท ๐‘š) โˆ’ 1)))
163142, 162eqtrd 2766 . . . . 5 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โˆง ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘ฆ)ฮฃ๐‘™ โˆˆ (1...๐‘˜)(((๐‘˜โ†‘2) โˆ’ ๐‘˜) + ((2 ยท ๐‘™) โˆ’ 1)) = ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘ฆ)๐‘˜)((2 ยท ๐‘š) โˆ’ 1)) โ†’ ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ฆ + 1))๐‘˜)((2 ยท ๐‘š) โˆ’ 1) = (ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘ฆ)๐‘˜)((2 ยท ๐‘š) โˆ’ 1) + ฮฃ๐‘š โˆˆ ((ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘ฆ)๐‘˜ + 1)...(ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘ฆ)๐‘˜ + (๐‘ฆ + 1)))((2 ยท ๐‘š) โˆ’ 1)))
164112, 137, 1633eqtr4d 2776 . . . 4 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โˆง ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘ฆ)ฮฃ๐‘™ โˆˆ (1...๐‘˜)(((๐‘˜โ†‘2) โˆ’ ๐‘˜) + ((2 ยท ๐‘™) โˆ’ 1)) = ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘ฆ)๐‘˜)((2 ยท ๐‘š) โˆ’ 1)) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ฆ + 1))ฮฃ๐‘™ โˆˆ (1...๐‘˜)(((๐‘˜โ†‘2) โˆ’ ๐‘˜) + ((2 ยท ๐‘™) โˆ’ 1)) = ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ฆ + 1))๐‘˜)((2 ยท ๐‘š) โˆ’ 1))
165164ex 412 . . 3 (๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘ฆ)ฮฃ๐‘™ โˆˆ (1...๐‘˜)(((๐‘˜โ†‘2) โˆ’ ๐‘˜) + ((2 ยท ๐‘™) โˆ’ 1)) = ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘ฆ)๐‘˜)((2 ยท ๐‘š) โˆ’ 1) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ฆ + 1))ฮฃ๐‘™ โˆˆ (1...๐‘˜)(((๐‘˜โ†‘2) โˆ’ ๐‘˜) + ((2 ยท ๐‘™) โˆ’ 1)) = ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ฆ + 1))๐‘˜)((2 ยท ๐‘š) โˆ’ 1)))
1666, 12, 18, 24, 36, 165nn0ind 12661 . 2 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)ฮฃ๐‘™ โˆˆ (1...๐‘˜)(((๐‘˜โ†‘2) โˆ’ ๐‘˜) + ((2 ยท ๐‘™) โˆ’ 1)) = ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)๐‘˜)((2 ยท ๐‘š) โˆ’ 1))
167 fz1ssnn 13538 . . . . . . 7 (1...๐‘) โІ โ„•
168 nnssnn0 12479 . . . . . . 7 โ„• โІ โ„•0
169167, 168sstri 3986 . . . . . 6 (1...๐‘) โІ โ„•0
170169a1i 11 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (1...๐‘) โІ โ„•0)
171170sselda 3977 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
172 nicomachus 41765 . . . 4 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ ฮฃ๐‘™ โˆˆ (1...๐‘˜)(((๐‘˜โ†‘2) โˆ’ ๐‘˜) + ((2 ยท ๐‘™) โˆ’ 1)) = (๐‘˜โ†‘3))
173171, 172syl 17 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ ฮฃ๐‘™ โˆˆ (1...๐‘˜)(((๐‘˜โ†‘2) โˆ’ ๐‘˜) + ((2 ยท ๐‘™) โˆ’ 1)) = (๐‘˜โ†‘3))
174173sumeq2dv 15655 . 2 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)ฮฃ๐‘™ โˆˆ (1...๐‘˜)(((๐‘˜โ†‘2) โˆ’ ๐‘˜) + ((2 ยท ๐‘™) โˆ’ 1)) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)(๐‘˜โ†‘3))
175 fzfid 13944 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (1...๐‘) โˆˆ Fin)
176175, 171fsumnn0cl 15688 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
177 oddnumth 41764 . . 3 (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)๐‘˜)((2 ยท ๐‘š) โˆ’ 1) = (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)๐‘˜โ†‘2))
178176, 177syl 17 . 2 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)๐‘˜)((2 ยท ๐‘š) โˆ’ 1) = (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)๐‘˜โ†‘2))
179166, 174, 1783eqtr3d 2774 1 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)(๐‘˜โ†‘3) = (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)๐‘˜โ†‘2))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2934   โˆช cun 3941   โˆฉ cin 3942   โІ wss 3943  โˆ…c0 4317   class class class wbr 5141  โ€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  โ„‚cc 11110  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   ยท cmul 11117   < clt 11252   โˆ’ cmin 11448   / cdiv 11875  โ„•cn 12216  2c2 12271  3c3 12272  โ„•0cn0 12476  โ„คcz 12562  โ„คโ‰ฅcuz 12826  ...cfz 13490  โ†‘cexp 14032  ฮฃcsu 15638
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12981  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-seq 13973  df-exp 14033  df-fac 14239  df-bc 14268  df-hash 14296  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15438  df-sum 15639
This theorem is referenced by:  sum9cubes  41989
  Copyright terms: Public domain W3C validator