Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  aks4d1p1p3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem aks4d1p1p3 42051
Description: Bound of a ceiling of the binary logarithm to the fifth power. (Contributed by metakunt, 19-Aug-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
aks4d1p1p3.1 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
aks4d1p1p3.2 𝐵 = (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5))
aks4d1p1p3.3 (𝜑 → 3 ≤ 𝑁)
Assertion
Ref Expression
aks4d1p1p3 (𝜑 → (𝑁𝑐(⌊‘(2 logb 𝐵))) < (𝑁𝑐(2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1))))

Proof of Theorem aks4d1p1p3
StepHypRef Expression
1 2re 12338 . . . . . . 7 2 ∈ ℝ
21a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
3 2pos 12367 . . . . . . 7 0 < 2
43a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → 0 < 2)
5 aks4d1p1p3.1 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
65nnred 12279 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
75nngt0d 12313 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 < 𝑁)
8 1red 11260 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
9 1lt2 12435 . . . . . . . . . . . . . 14 1 < 2
109a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 1 < 2)
118, 10ltned 11395 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 1 ≠ 2)
1211necomd 2994 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 2 ≠ 1)
132, 4, 6, 7, 12relogbcld 41955 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (2 logb 𝑁) ∈ ℝ)
14 5nn0 12544 . . . . . . . . . . 11 5 ∈ ℕ0
1514a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 5 ∈ ℕ0)
1613, 15reexpcld 14200 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑5) ∈ ℝ)
17 ceilcl 13879 . . . . . . . . 9 (((2 logb 𝑁)↑5) ∈ ℝ → (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)) ∈ ℤ)
1816, 17syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)) ∈ ℤ)
1918zred 12720 . . . . . . 7 (𝜑 → (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)) ∈ ℝ)
20 aks4d1p1p3.2 . . . . . . . . 9 𝐵 = (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5))
2120a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 = (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)))
2221eleq1d 2824 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐵 ∈ ℝ ↔ (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)) ∈ ℝ))
2319, 22mpbird 257 . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
24 0red 11262 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
25 7re 12357 . . . . . . . 8 7 ∈ ℝ
2625a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → 7 ∈ ℝ)
27 7pos 12375 . . . . . . . 8 0 < 7
2827a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 < 7)
29 aks4d1p1p3.3 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 3 ≤ 𝑁)
306, 293lexlogpow5ineq3 42039 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 7 < ((2 logb 𝑁)↑5))
31 ceilge 13882 . . . . . . . . . 10 (((2 logb 𝑁)↑5) ∈ ℝ → ((2 logb 𝑁)↑5) ≤ (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)))
3216, 31syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑5) ≤ (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)))
3326, 16, 19, 30, 32ltletrd 11419 . . . . . . . 8 (𝜑 → 7 < (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)))
3421eqcomd 2741 . . . . . . . 8 (𝜑 → (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)) = 𝐵)
3533, 34breqtrd 5174 . . . . . . 7 (𝜑 → 7 < 𝐵)
3624, 26, 23, 28, 35lttrd 11420 . . . . . 6 (𝜑 → 0 < 𝐵)
372, 4, 23, 36, 12relogbcld 41955 . . . . 5 (𝜑 → (2 logb 𝐵) ∈ ℝ)
3837flcld 13835 . . . 4 (𝜑 → (⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℤ)
3938zred 12720 . . 3 (𝜑 → (⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℝ)
4016, 8readdcld 11288 . . . 4 (𝜑 → (((2 logb 𝑁)↑5) + 1) ∈ ℝ)
4116ltp1d 12196 . . . . . 6 (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑5) < (((2 logb 𝑁)↑5) + 1))
4226, 16, 40, 30, 41lttrd 11420 . . . . 5 (𝜑 → 7 < (((2 logb 𝑁)↑5) + 1))
4324, 26, 40, 28, 42lttrd 11420 . . . 4 (𝜑 → 0 < (((2 logb 𝑁)↑5) + 1))
442, 4, 40, 43, 12relogbcld 41955 . . 3 (𝜑 → (2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)) ∈ ℝ)
45 flle 13836 . . . 4 ((2 logb 𝐵) ∈ ℝ → (⌊‘(2 logb 𝐵)) ≤ (2 logb 𝐵))
4637, 45syl 17 . . 3 (𝜑 → (⌊‘(2 logb 𝐵)) ≤ (2 logb 𝐵))
47 ceilm1lt 13885 . . . . . . 7 (((2 logb 𝑁)↑5) ∈ ℝ → ((⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)) − 1) < ((2 logb 𝑁)↑5))
4816, 47syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → ((⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)) − 1) < ((2 logb 𝑁)↑5))
4919, 8, 16ltsubaddd 11857 . . . . . 6 (𝜑 → (((⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)) − 1) < ((2 logb 𝑁)↑5) ↔ (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)) < (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)))
5048, 49mpbid 232 . . . . 5 (𝜑 → (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)) < (((2 logb 𝑁)↑5) + 1))
5121, 50eqbrtrd 5170 . . . 4 (𝜑𝐵 < (((2 logb 𝑁)↑5) + 1))
52 2z 12647 . . . . . . 7 2 ∈ ℤ
5352a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → 2 ∈ ℤ)
5453uzidd 12892 . . . . 5 (𝜑 → 2 ∈ (ℤ‘2))
5523, 36elrpd 13072 . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
5640, 43elrpd 13072 . . . . 5 (𝜑 → (((2 logb 𝑁)↑5) + 1) ∈ ℝ+)
57 logblt 26842 . . . . 5 ((2 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ∧ (((2 logb 𝑁)↑5) + 1) ∈ ℝ+) → (𝐵 < (((2 logb 𝑁)↑5) + 1) ↔ (2 logb 𝐵) < (2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1))))
5854, 55, 56, 57syl3anc 1370 . . . 4 (𝜑 → (𝐵 < (((2 logb 𝑁)↑5) + 1) ↔ (2 logb 𝐵) < (2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1))))
5951, 58mpbid 232 . . 3 (𝜑 → (2 logb 𝐵) < (2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)))
6039, 37, 44, 46, 59lelttrd 11417 . 2 (𝜑 → (⌊‘(2 logb 𝐵)) < (2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)))
61 3re 12344 . . . . 5 3 ∈ ℝ
6261a1i 11 . . . 4 (𝜑 → 3 ∈ ℝ)
63 1lt3 12437 . . . . 5 1 < 3
6463a1i 11 . . . 4 (𝜑 → 1 < 3)
658, 62, 6, 64, 29ltletrd 11419 . . 3 (𝜑 → 1 < 𝑁)
666, 65, 39, 44cxpltd 26776 . 2 (𝜑 → ((⌊‘(2 logb 𝐵)) < (2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)) ↔ (𝑁𝑐(⌊‘(2 logb 𝐵))) < (𝑁𝑐(2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)))))
6760, 66mpbid 232 1 (𝜑 → (𝑁𝑐(⌊‘(2 logb 𝐵))) < (𝑁𝑐(2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206   = wceq 1537  wcel 2106   class class class wbr 5148  cfv 6563  (class class class)co 7431  cr 11152  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156   < clt 11293  cle 11294  cmin 11490  cn 12264  2c2 12319  3c3 12320  5c5 12322  7c7 12324  0cn0 12524  cz 12611  cuz 12876  +crp 13032  cfl 13827  cceil 13828  cexp 14099  𝑐ccxp 26612   logb clogb 26822
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231  ax-addf 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-fi 9449  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-xneg 13152  df-xadd 13153  df-xmul 13154  df-ioo 13388  df-ioc 13389  df-ico 13390  df-icc 13391  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-fl 13829  df-ceil 13830  df-mod 13907  df-seq 14040  df-exp 14100  df-fac 14310  df-bc 14339  df-hash 14367  df-shft 15103  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-limsup 15504  df-clim 15521  df-rlim 15522  df-sum 15720  df-ef 16100  df-sin 16102  df-cos 16103  df-pi 16105  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-rest 17469  df-topn 17470  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-topgen 17490  df-pt 17491  df-prds 17494  df-xrs 17549  df-qtop 17554  df-imas 17555  df-xps 17557  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-acs 17634  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-submnd 18810  df-mulg 19099  df-cntz 19348  df-cmn 19815  df-psmet 21374  df-xmet 21375  df-met 21376  df-bl 21377  df-mopn 21378  df-fbas 21379  df-fg 21380  df-cnfld 21383  df-top 22916  df-topon 22933  df-topsp 22955  df-bases 22969  df-cld 23043  df-ntr 23044  df-cls 23045  df-nei 23122  df-lp 23160  df-perf 23161  df-cn 23251  df-cnp 23252  df-haus 23339  df-tx 23586  df-hmeo 23779  df-fil 23870  df-fm 23962  df-flim 23963  df-flf 23964  df-xms 24346  df-ms 24347  df-tms 24348  df-cncf 24918  df-limc 25916  df-dv 25917  df-log 26613  df-cxp 26614  df-logb 26823
This theorem is referenced by:  aks4d1p1p2  42052
  Copyright terms: Public domain W3C validator