Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  aks4d1p1p3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem aks4d1p1p3 40526
Description: Bound of a ceiling of the binary logarithm to the fifth power. (Contributed by metakunt, 19-Aug-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
aks4d1p1p3.1 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
aks4d1p1p3.2 𝐵 = (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5))
aks4d1p1p3.3 (𝜑 → 3 ≤ 𝑁)
Assertion
Ref Expression
aks4d1p1p3 (𝜑 → (𝑁𝑐(⌊‘(2 logb 𝐵))) < (𝑁𝑐(2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1))))

Proof of Theorem aks4d1p1p3
StepHypRef Expression
1 2re 12227 . . . . . . 7 2 ∈ ℝ
21a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
3 2pos 12256 . . . . . . 7 0 < 2
43a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → 0 < 2)
5 aks4d1p1p3.1 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
65nnred 12168 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
75nngt0d 12202 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 < 𝑁)
8 1red 11156 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
9 1lt2 12324 . . . . . . . . . . . . . 14 1 < 2
109a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 1 < 2)
118, 10ltned 11291 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 1 ≠ 2)
1211necomd 2999 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 2 ≠ 1)
132, 4, 6, 7, 12relogbcld 40430 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (2 logb 𝑁) ∈ ℝ)
14 5nn0 12433 . . . . . . . . . . 11 5 ∈ ℕ0
1514a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 5 ∈ ℕ0)
1613, 15reexpcld 14068 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑5) ∈ ℝ)
17 ceilcl 13747 . . . . . . . . 9 (((2 logb 𝑁)↑5) ∈ ℝ → (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)) ∈ ℤ)
1816, 17syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)) ∈ ℤ)
1918zred 12607 . . . . . . 7 (𝜑 → (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)) ∈ ℝ)
20 aks4d1p1p3.2 . . . . . . . . 9 𝐵 = (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5))
2120a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 = (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)))
2221eleq1d 2822 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐵 ∈ ℝ ↔ (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)) ∈ ℝ))
2319, 22mpbird 256 . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
24 0red 11158 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
25 7re 12246 . . . . . . . 8 7 ∈ ℝ
2625a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → 7 ∈ ℝ)
27 7pos 12264 . . . . . . . 8 0 < 7
2827a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 < 7)
29 aks4d1p1p3.3 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 3 ≤ 𝑁)
306, 293lexlogpow5ineq3 40514 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 7 < ((2 logb 𝑁)↑5))
31 ceilge 13750 . . . . . . . . . 10 (((2 logb 𝑁)↑5) ∈ ℝ → ((2 logb 𝑁)↑5) ≤ (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)))
3216, 31syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑5) ≤ (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)))
3326, 16, 19, 30, 32ltletrd 11315 . . . . . . . 8 (𝜑 → 7 < (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)))
3421eqcomd 2742 . . . . . . . 8 (𝜑 → (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)) = 𝐵)
3533, 34breqtrd 5131 . . . . . . 7 (𝜑 → 7 < 𝐵)
3624, 26, 23, 28, 35lttrd 11316 . . . . . 6 (𝜑 → 0 < 𝐵)
372, 4, 23, 36, 12relogbcld 40430 . . . . 5 (𝜑 → (2 logb 𝐵) ∈ ℝ)
3837flcld 13703 . . . 4 (𝜑 → (⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℤ)
3938zred 12607 . . 3 (𝜑 → (⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℝ)
4016, 8readdcld 11184 . . . 4 (𝜑 → (((2 logb 𝑁)↑5) + 1) ∈ ℝ)
4116ltp1d 12085 . . . . . 6 (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑5) < (((2 logb 𝑁)↑5) + 1))
4226, 16, 40, 30, 41lttrd 11316 . . . . 5 (𝜑 → 7 < (((2 logb 𝑁)↑5) + 1))
4324, 26, 40, 28, 42lttrd 11316 . . . 4 (𝜑 → 0 < (((2 logb 𝑁)↑5) + 1))
442, 4, 40, 43, 12relogbcld 40430 . . 3 (𝜑 → (2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)) ∈ ℝ)
45 flle 13704 . . . 4 ((2 logb 𝐵) ∈ ℝ → (⌊‘(2 logb 𝐵)) ≤ (2 logb 𝐵))
4637, 45syl 17 . . 3 (𝜑 → (⌊‘(2 logb 𝐵)) ≤ (2 logb 𝐵))
47 ceilm1lt 13753 . . . . . . 7 (((2 logb 𝑁)↑5) ∈ ℝ → ((⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)) − 1) < ((2 logb 𝑁)↑5))
4816, 47syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → ((⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)) − 1) < ((2 logb 𝑁)↑5))
4919, 8, 16ltsubaddd 11751 . . . . . 6 (𝜑 → (((⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)) − 1) < ((2 logb 𝑁)↑5) ↔ (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)) < (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)))
5048, 49mpbid 231 . . . . 5 (𝜑 → (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)) < (((2 logb 𝑁)↑5) + 1))
5121, 50eqbrtrd 5127 . . . 4 (𝜑𝐵 < (((2 logb 𝑁)↑5) + 1))
52 2z 12535 . . . . . . 7 2 ∈ ℤ
5352a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → 2 ∈ ℤ)
5453uzidd 12779 . . . . 5 (𝜑 → 2 ∈ (ℤ‘2))
5523, 36elrpd 12954 . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
5640, 43elrpd 12954 . . . . 5 (𝜑 → (((2 logb 𝑁)↑5) + 1) ∈ ℝ+)
57 logblt 26134 . . . . 5 ((2 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ∧ (((2 logb 𝑁)↑5) + 1) ∈ ℝ+) → (𝐵 < (((2 logb 𝑁)↑5) + 1) ↔ (2 logb 𝐵) < (2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1))))
5854, 55, 56, 57syl3anc 1371 . . . 4 (𝜑 → (𝐵 < (((2 logb 𝑁)↑5) + 1) ↔ (2 logb 𝐵) < (2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1))))
5951, 58mpbid 231 . . 3 (𝜑 → (2 logb 𝐵) < (2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)))
6039, 37, 44, 46, 59lelttrd 11313 . 2 (𝜑 → (⌊‘(2 logb 𝐵)) < (2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)))
61 3re 12233 . . . . 5 3 ∈ ℝ
6261a1i 11 . . . 4 (𝜑 → 3 ∈ ℝ)
63 1lt3 12326 . . . . 5 1 < 3
6463a1i 11 . . . 4 (𝜑 → 1 < 3)
658, 62, 6, 64, 29ltletrd 11315 . . 3 (𝜑 → 1 < 𝑁)
666, 65, 39, 44cxpltd 26074 . 2 (𝜑 → ((⌊‘(2 logb 𝐵)) < (2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)) ↔ (𝑁𝑐(⌊‘(2 logb 𝐵))) < (𝑁𝑐(2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)))))
6760, 66mpbid 231 1 (𝜑 → (𝑁𝑐(⌊‘(2 logb 𝐵))) < (𝑁𝑐(2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205   = wceq 1541  wcel 2106   class class class wbr 5105  cfv 6496  (class class class)co 7357  cr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   < clt 11189  cle 11190  cmin 11385  cn 12153  2c2 12208  3c3 12209  5c5 12211  7c7 12213  0cn0 12413  cz 12499  cuz 12763  +crp 12915  cfl 13695  cceil 13696  cexp 13967  𝑐ccxp 25911   logb clogb 26114
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-addf 11130  ax-mulf 11131
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ioo 13268  df-ioc 13269  df-ico 13270  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-ceil 13698  df-mod 13775  df-seq 13907  df-exp 13968  df-fac 14174  df-bc 14203  df-hash 14231  df-shft 14952  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-limsup 15353  df-clim 15370  df-rlim 15371  df-sum 15571  df-ef 15950  df-sin 15952  df-cos 15953  df-pi 15955  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-hom 17157  df-cco 17158  df-rest 17304  df-topn 17305  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-topgen 17325  df-pt 17326  df-prds 17329  df-xrs 17384  df-qtop 17389  df-imas 17390  df-xps 17392  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-submnd 18602  df-mulg 18873  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-fbas 20793  df-fg 20794  df-cnfld 20797  df-top 22243  df-topon 22260  df-topsp 22282  df-bases 22296  df-cld 22370  df-ntr 22371  df-cls 22372  df-nei 22449  df-lp 22487  df-perf 22488  df-cn 22578  df-cnp 22579  df-haus 22666  df-tx 22913  df-hmeo 23106  df-fil 23197  df-fm 23289  df-flim 23290  df-flf 23291  df-xms 23673  df-ms 23674  df-tms 23675  df-cncf 24241  df-limc 25230  df-dv 25231  df-log 25912  df-cxp 25913  df-logb 26115
This theorem is referenced by:  aks4d1p1p2  40527
  Copyright terms: Public domain W3C validator