Theorem aks4d1p1p3 43310

Description: Bound of a ceiling of the binary logarithm to the fifth power. (Contributed by metakunt, 19-Aug-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
aks4d1p1p3.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
aks4d1p1p3.2	⊢ 𝐵 = (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5))
aks4d1p1p3.3	⊢ (𝜑 → 3 ≤ 𝑁)

Assertion

Ref	Expression
aks4d1p1p3	⊢ (𝜑 → (𝑁↑𝑐(⌊‘(2 logb 𝐵))) < (𝑁↑𝑐(2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1))))

Proof of Theorem aks4d1p1p3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 12441	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ
2	1	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
3		2pos 12471	. . . . . . 7 ⊢ 0 < 2
4	3	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 < 2)
5		aks4d1p1p3.1	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
6	5	nnred 12374	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
7	5	nngt0d 12411	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑁)
8		1red 11333	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
9		1lt2 12539	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 < 2
10	9	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 1 < 2)
11	8, 10	ltned 11470	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 1 ≠ 2)
12	11	necomd 3014	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 2 ≠ 1)
13	2, 4, 6, 7, 12	relogbcld 43215	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (2 logb 𝑁) ∈ ℝ)
14		5nn0 12650	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 5 ∈ ℕ0
15	14	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 5 ∈ ℕ0)
16	13, 15	reexpcld 14330	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑5) ∈ ℝ)
17		ceilcl 14006	. . . . . . . . 9 ⊢ (((2 logb 𝑁)↑5) ∈ ℝ → (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)) ∈ ℤ)
18	16, 17	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)) ∈ ℤ)
19	18	zred 12827	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)) ∈ ℝ)
20		aks4d1p1p3.2	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5))
21	20	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)))
22	21	eleq1d 2849	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ℝ ↔ (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)) ∈ ℝ))
23	19, 22	mpbird 260	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
24		0red 11335	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
25		7re 12460	. . . . . . . 8 ⊢ 7 ∈ ℝ
26	25	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 7 ∈ ℝ)
27		7pos 12481	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < 7
28	27	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 < 7)
29		aks4d1p1p3.3	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 3 ≤ 𝑁)
30	6, 29	3lexlogpow5ineq3 43298	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 7 < ((2 logb 𝑁)↑5))
31		ceilge 14009	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((2 logb 𝑁)↑5) ∈ ℝ → ((2 logb 𝑁)↑5) ≤ (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)))
32	16, 31	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑5) ≤ (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)))
33	26, 16, 19, 30, 32	ltletrd 11494	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 7 < (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)))
34	21	eqcomd 2769	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)) = 𝐵)
35	33, 34	breqtrd 5134	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 7 < 𝐵)
36	24, 26, 23, 28, 35	lttrd 11495	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐵)
37	2, 4, 23, 36, 12	relogbcld 43215	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (2 logb 𝐵) ∈ ℝ)
38	37	flcld 13962	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℤ)
39	38	zred 12827	. . 3 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℝ)
40	16, 8	readdcld 11362	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((2 logb 𝑁)↑5) + 1) ∈ ℝ)
41	16	ltp1d 12271	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑5) < (((2 logb 𝑁)↑5) + 1))
42	26, 16, 40, 30, 41	lttrd 11495	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 7 < (((2 logb 𝑁)↑5) + 1))
43	24, 26, 40, 28, 42	lttrd 11495	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 < (((2 logb 𝑁)↑5) + 1))
44	2, 4, 40, 43, 12	relogbcld 43215	. . 3 ⊢ (𝜑 → (2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)) ∈ ℝ)
45		flle 13963	. . . 4 ⊢ ((2 logb 𝐵) ∈ ℝ → (⌊‘(2 logb 𝐵)) ≤ (2 logb 𝐵))
46	37, 45	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(2 logb 𝐵)) ≤ (2 logb 𝐵))
47		ceilm1lt 14012	. . . . . . 7 ⊢ (((2 logb 𝑁)↑5) ∈ ℝ → ((⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)) − 1) < ((2 logb 𝑁)↑5))
48	16, 47	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)) − 1) < ((2 logb 𝑁)↑5))
49	19, 8, 16	ltsubaddd 11936	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)) − 1) < ((2 logb 𝑁)↑5) ↔ (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)) < (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)))
50	48, 49	mpbid 235	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)) < (((2 logb 𝑁)↑5) + 1))
51	21, 50	eqbrtrd 5130	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 < (((2 logb 𝑁)↑5) + 1))
52		2z 12752	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℤ
53	52	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℤ)
54	53	uzidd 13005	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ (ℤ≥‘2))
55	23, 36	elrpd 13185	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
56	40, 43	elrpd 13185	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((2 logb 𝑁)↑5) + 1) ∈ ℝ+)
57		logblt 27139	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ∧ (((2 logb 𝑁)↑5) + 1) ∈ ℝ+) → (𝐵 < (((2 logb 𝑁)↑5) + 1) ↔ (2 logb 𝐵) < (2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1))))
58	54, 55, 56, 57	syl3anc 1399	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 < (((2 logb 𝑁)↑5) + 1) ↔ (2 logb 𝐵) < (2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1))))
59	51, 58	mpbid 235	. . 3 ⊢ (𝜑 → (2 logb 𝐵) < (2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)))
60	39, 37, 44, 46, 59	lelttrd 11492	. 2 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(2 logb 𝐵)) < (2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)))
61		3re 12447	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℝ
62	61	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 3 ∈ ℝ)
63		1lt3 12542	. . . . 5 ⊢ 1 < 3
64	63	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 < 3)
65	8, 62, 6, 64, 29	ltletrd 11494	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 < 𝑁)
66	6, 65, 39, 44	cxpltd 27074	. 2 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘(2 logb 𝐵)) < (2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)) ↔ (𝑁↑𝑐(⌊‘(2 logb 𝐵))) < (𝑁↑𝑐(2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)))))
67	60, 66	mpbid 235	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁↑𝑐(⌊‘(2 logb 𝐵))) < (𝑁↑𝑐(2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   class class class wbr 5106  ‘cfv 6555  (class class class)co 7440  ℝcr 11223  0cc0 11224  1c1 11225   + caddc 11227   < clt 11367   ≤ cle 11368   − cmin 11565  ℕcn 12359  2c2 12421  3c3 12422  5c5 12424  7c7 12426  ℕ₀cn0 12630  ℤcz 12717  ℤ_≥cuz 12989  ℝ⁺crp 13144  ⌊cfl 13954  ⌈cceil 13955  ↑cexp 14228  ↑_𝑐ccxp 26910   log_b clogb 27119

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-inf2 9666  ax-cnex 11280  ax-resscn 11281  ax-1cn 11282  ax-icn 11283  ax-addcl 11284  ax-addrcl 11285  ax-mulcl 11286  ax-mulrcl 11287  ax-mulcom 11288  ax-addass 11289  ax-mulass 11290  ax-distr 11291  ax-i2m1 11292  ax-1ne0 11293  ax-1rid 11294  ax-rnegex 11295  ax-rrecex 11296  ax-cnre 11297  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299  ax-pre-ltadd 11300  ax-pre-mulgt0 11301  ax-pre-sup 11302  ax-addf 11303

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6319  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-isom 6564  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-of 7714  df-om 7899  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-supp 8202  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-1o 8501  df-2o 8502  df-er 8742  df-map 8874  df-pm 8875  df-ixp 8951  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-fin 9002  df-fsupp 9379  df-fi 9427  df-sup 9458  df-inf 9459  df-oi 9528  df-card 10044  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-xr 11371  df-ltxr 11372  df-le 11373  df-sub 11567  df-neg 11568  df-div 11998  df-nn 12360  df-2 12429  df-3 12430  df-4 12431  df-5 12432  df-6 12433  df-7 12434  df-8 12435  df-9 12436  df-n0 12631  df-z 12718  df-dec 12839  df-uz 12990  df-q 13100  df-rp 13145  df-xneg 13265  df-xadd 13266  df-xmul 13267  df-ioo 13504  df-ioc 13505  df-ico 13506  df-icc 13507  df-fz 13664  df-fzo 13813  df-fl 13956  df-ceil 13957  df-mod 14034  df-seq 14169  df-exp 14229  df-fac 14442  df-bc 14471  df-hash 14499  df-shft 15246  df-cj 15292  df-re 15293  df-im 15294  df-sqrt 15428  df-abs 15429  df-limsup 15664  df-clim 15681  df-rlim 15682  df-sum 15880  df-ef 16259  df-sin 16261  df-cos 16262  df-pi 16264  df-struct 17351  df-sets 17368  df-slot 17386  df-ndx 17398  df-base 17414  df-ress 17435  df-plusg 17467  df-mulr 17468  df-starv 17469  df-sca 17470  df-vsca 17471  df-ip 17472  df-tset 17473  df-ple 17474  df-ds 17476  df-unif 17477  df-hom 17478  df-cco 17479  df-rest 17619  df-topn 17620  df-0g 17638  df-gsum 17639  df-topgen 17640  df-pt 17641  df-prds 17644  df-xrs 17700  df-qtop 17705  df-imas 17706  df-xps 17708  df-mre 17782  df-mrc 17783  df-acs 17785  df-mgm 18842  df-sgrp 18934  df-mnd 18950  df-submnd 19005  df-mulg 19304  df-cntz 19558  df-cmn 20023  df-psmet 21697  df-xmet 21698  df-met 21699  df-bl 21700  df-mopn 21701  df-fbas 21702  df-fg 21703  df-cnfld 21706  df-top 23239  df-topon 23256  df-topsp 23278  df-bases 23291  df-cld 23364  df-ntr 23365  df-cls 23366  df-nei 23443  df-lp 23481  df-perf 23482  df-cn 23572  df-cnp 23573  df-haus 23660  df-tx 23908  df-hmeo 24101  df-fil 24192  df-fm 24284  df-flim 24285  df-flf 24286  df-xms 24666  df-ms 24667  df-tms 24668  df-cncf 25226  df-limc 26213  df-dv 26214  df-log 26911  df-cxp 26912  df-logb 27120

This theorem is used by:  aks4d1p1p2  43311