Theorem aks4d1p1p3 42864

Description: Bound of a ceiling of the binary logarithm to the fifth power. (Contributed by metakunt, 19-Aug-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
aks4d1p1p3.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
aks4d1p1p3.2	⊢ 𝐵 = (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5))
aks4d1p1p3.3	⊢ (𝜑 → 3 ≤ 𝑁)

Assertion

Ref	Expression
aks4d1p1p3	⊢ (𝜑 → (𝑁↑𝑐(⌊‘(2 logb 𝐵))) < (𝑁↑𝑐(2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1))))

Proof of Theorem aks4d1p1p3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 12321	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ
2	1	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
3		2pos 12351	. . . . . . 7 ⊢ 0 < 2
4	3	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 < 2)
5		aks4d1p1p3.1	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
6	5	nnred 12254	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
7	5	nngt0d 12291	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑁)
8		1red 11215	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
9		1lt2 12419	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 < 2
10	9	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 1 < 2)
11	8, 10	ltned 11352	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 1 ≠ 2)
12	11	necomd 3012	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 2 ≠ 1)
13	2, 4, 6, 7, 12	relogbcld 42769	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (2 logb 𝑁) ∈ ℝ)
14		5nn0 12530	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 5 ∈ ℕ0
15	14	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 5 ∈ ℕ0)
16	13, 15	reexpcld 14206	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑5) ∈ ℝ)
17		ceilcl 13882	. . . . . . . . 9 ⊢ (((2 logb 𝑁)↑5) ∈ ℝ → (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)) ∈ ℤ)
18	16, 17	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)) ∈ ℤ)
19	18	zred 12706	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)) ∈ ℝ)
20		aks4d1p1p3.2	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5))
21	20	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)))
22	21	eleq1d 2847	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ℝ ↔ (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)) ∈ ℝ))
23	19, 22	mpbird 260	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
24		0red 11217	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
25		7re 12340	. . . . . . . 8 ⊢ 7 ∈ ℝ
26	25	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 7 ∈ ℝ)
27		7pos 12361	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < 7
28	27	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 < 7)
29		aks4d1p1p3.3	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 3 ≤ 𝑁)
30	6, 29	3lexlogpow5ineq3 42852	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 7 < ((2 logb 𝑁)↑5))
31		ceilge 13885	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((2 logb 𝑁)↑5) ∈ ℝ → ((2 logb 𝑁)↑5) ≤ (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)))
32	16, 31	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑5) ≤ (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)))
33	26, 16, 19, 30, 32	ltletrd 11376	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 7 < (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)))
34	21	eqcomd 2768	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)) = 𝐵)
35	33, 34	breqtrd 5136	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 7 < 𝐵)
36	24, 26, 23, 28, 35	lttrd 11377	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐵)
37	2, 4, 23, 36, 12	relogbcld 42769	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (2 logb 𝐵) ∈ ℝ)
38	37	flcld 13838	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℤ)
39	38	zred 12706	. . 3 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℝ)
40	16, 8	readdcld 11244	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((2 logb 𝑁)↑5) + 1) ∈ ℝ)
41	16	ltp1d 12151	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑5) < (((2 logb 𝑁)↑5) + 1))
42	26, 16, 40, 30, 41	lttrd 11377	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 7 < (((2 logb 𝑁)↑5) + 1))
43	24, 26, 40, 28, 42	lttrd 11377	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 < (((2 logb 𝑁)↑5) + 1))
44	2, 4, 40, 43, 12	relogbcld 42769	. . 3 ⊢ (𝜑 → (2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)) ∈ ℝ)
45		flle 13839	. . . 4 ⊢ ((2 logb 𝐵) ∈ ℝ → (⌊‘(2 logb 𝐵)) ≤ (2 logb 𝐵))
46	37, 45	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(2 logb 𝐵)) ≤ (2 logb 𝐵))
47		ceilm1lt 13888	. . . . . . 7 ⊢ (((2 logb 𝑁)↑5) ∈ ℝ → ((⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)) − 1) < ((2 logb 𝑁)↑5))
48	16, 47	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)) − 1) < ((2 logb 𝑁)↑5))
49	19, 8, 16	ltsubaddd 11816	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)) − 1) < ((2 logb 𝑁)↑5) ↔ (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)) < (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)))
50	48, 49	mpbid 235	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)) < (((2 logb 𝑁)↑5) + 1))
51	21, 50	eqbrtrd 5132	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 < (((2 logb 𝑁)↑5) + 1))
52		2z 12632	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℤ
53	52	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℤ)
54	53	uzidd 12884	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ (ℤ≥‘2))
55	23, 36	elrpd 13063	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
56	40, 43	elrpd 13063	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((2 logb 𝑁)↑5) + 1) ∈ ℝ+)
57		logblt 26960	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ∧ (((2 logb 𝑁)↑5) + 1) ∈ ℝ+) → (𝐵 < (((2 logb 𝑁)↑5) + 1) ↔ (2 logb 𝐵) < (2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1))))
58	54, 55, 56, 57	syl3anc 1397	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 < (((2 logb 𝑁)↑5) + 1) ↔ (2 logb 𝐵) < (2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1))))
59	51, 58	mpbid 235	. . 3 ⊢ (𝜑 → (2 logb 𝐵) < (2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)))
60	39, 37, 44, 46, 59	lelttrd 11374	. 2 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(2 logb 𝐵)) < (2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)))
61		3re 12327	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℝ
62	61	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 3 ∈ ℝ)
63		1lt3 12422	. . . . 5 ⊢ 1 < 3
64	63	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 < 3)
65	8, 62, 6, 64, 29	ltletrd 11376	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 < 𝑁)
66	6, 65, 39, 44	cxpltd 26895	. 2 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘(2 logb 𝐵)) < (2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)) ↔ (𝑁↑𝑐(⌊‘(2 logb 𝐵))) < (𝑁↑𝑐(2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)))))
67	60, 66	mpbid 235	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁↑𝑐(⌊‘(2 logb 𝐵))) < (𝑁↑𝑐(2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1569   ∈ wcel 2142   class class class wbr 5108  ‘cfv 6536  (class class class)co 7412  ℝcr 11105  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109   < clt 11249   ≤ cle 11250   − cmin 11447  ℕcn 12239  2c2 12301  3c3 12302  5c5 12304  7c7 12306  ℕ₀cn0 12510  ℤcz 12597  ℤ_≥cuz 12868  ℝ⁺crp 13022  ⌊cfl 13830  ⌈cceil 13831  ↑cexp 14104  ↑_𝑐ccxp 26731   log_b clogb 26940

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-inf2 9608  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-se 5614  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7676  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-supp 8155  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-1o 8451  df-2o 8452  df-er 8692  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9320  df-fi 9369  df-sup 9400  df-inf 9401  df-oi 9470  df-card 9932  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450  df-div 11878  df-nn 12240  df-2 12309  df-3 12310  df-4 12311  df-5 12312  df-6 12313  df-7 12314  df-8 12315  df-9 12316  df-n0 12511  df-z 12598  df-dec 12718  df-uz 12869  df-q 12979  df-rp 13023  df-xneg 13143  df-xadd 13144  df-xmul 13145  df-ioo 13382  df-ioc 13383  df-ico 13384  df-icc 13385  df-fz 13542  df-fzo 13690  df-fl 13832  df-ceil 13833  df-mod 13910  df-seq 14045  df-exp 14105  df-fac 14317  df-bc 14346  df-hash 14374  df-shft 15111  df-cj 15157  df-re 15158  df-im 15159  df-sqrt 15293  df-abs 15294  df-limsup 15529  df-clim 15546  df-rlim 15547  df-sum 15745  df-ef 16127  df-sin 16129  df-cos 16130  df-pi 16132  df-struct 17213  df-sets 17230  df-slot 17248  df-ndx 17260  df-base 17276  df-ress 17297  df-plusg 17329  df-mulr 17330  df-starv 17331  df-sca 17332  df-vsca 17333  df-ip 17334  df-tset 17335  df-ple 17336  df-ds 17338  df-unif 17339  df-hom 17340  df-cco 17341  df-rest 17481  df-topn 17482  df-0g 17500  df-gsum 17501  df-topgen 17502  df-pt 17503  df-prds 17506  df-xrs 17562  df-qtop 17567  df-imas 17568  df-xps 17570  df-mre 17644  df-mrc 17645  df-acs 17647  df-mgm 18704  df-sgrp 18783  df-mnd 18799  df-submnd 18848  df-mulg 19140  df-cntz 19393  df-cmn 19858  df-psmet 21525  df-xmet 21526  df-met 21527  df-bl 21528  df-mopn 21529  df-fbas 21530  df-fg 21531  df-cnfld 21534  df-top 23062  df-topon 23079  df-topsp 23101  df-bases 23114  df-cld 23187  df-ntr 23188  df-cls 23189  df-nei 23266  df-lp 23304  df-perf 23305  df-cn 23395  df-cnp 23396  df-haus 23483  df-tx 23730  df-hmeo 23923  df-fil 24014  df-fm 24106  df-flim 24107  df-flf 24108  df-xms 24488  df-ms 24489  df-tms 24490  df-cncf 25048  df-limc 26036  df-dv 26037  df-log 26732  df-cxp 26733  df-logb 26941

This theorem is used by:  aks4d1p1p2  42865