Theorem aks4d1p1p3 42782

Description: Bound of a ceiling of the binary logarithm to the fifth power. (Contributed by metakunt, 19-Aug-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
aks4d1p1p3.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
aks4d1p1p3.2	⊢ 𝐵 = (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5))
aks4d1p1p3.3	⊢ (𝜑 → 3 ≤ 𝑁)

Assertion

Ref	Expression
aks4d1p1p3	⊢ (𝜑 → (𝑁↑𝑐(⌊‘(2 logb 𝐵))) < (𝑁↑𝑐(2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1))))

Proof of Theorem aks4d1p1p3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 12314	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ
2	1	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
3		2pos 12344	. . . . . . 7 ⊢ 0 < 2
4	3	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 < 2)
5		aks4d1p1p3.1	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
6	5	nnred 12247	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
7	5	nngt0d 12284	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑁)
8		1red 11208	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
9		1lt2 12412	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 < 2
10	9	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 1 < 2)
11	8, 10	ltned 11345	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 1 ≠ 2)
12	11	necomd 3011	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 2 ≠ 1)
13	2, 4, 6, 7, 12	relogbcld 42687	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (2 logb 𝑁) ∈ ℝ)
14		5nn0 12523	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 5 ∈ ℕ0
15	14	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 5 ∈ ℕ0)
16	13, 15	reexpcld 14198	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑5) ∈ ℝ)
17		ceilcl 13874	. . . . . . . . 9 ⊢ (((2 logb 𝑁)↑5) ∈ ℝ → (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)) ∈ ℤ)
18	16, 17	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)) ∈ ℤ)
19	18	zred 12699	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)) ∈ ℝ)
20		aks4d1p1p3.2	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5))
21	20	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)))
22	21	eleq1d 2846	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ℝ ↔ (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)) ∈ ℝ))
23	19, 22	mpbird 260	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
24		0red 11210	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
25		7re 12333	. . . . . . . 8 ⊢ 7 ∈ ℝ
26	25	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 7 ∈ ℝ)
27		7pos 12354	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < 7
28	27	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 < 7)
29		aks4d1p1p3.3	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 3 ≤ 𝑁)
30	6, 29	3lexlogpow5ineq3 42770	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 7 < ((2 logb 𝑁)↑5))
31		ceilge 13877	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((2 logb 𝑁)↑5) ∈ ℝ → ((2 logb 𝑁)↑5) ≤ (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)))
32	16, 31	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑5) ≤ (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)))
33	26, 16, 19, 30, 32	ltletrd 11369	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 7 < (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)))
34	21	eqcomd 2767	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)) = 𝐵)
35	33, 34	breqtrd 5136	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 7 < 𝐵)
36	24, 26, 23, 28, 35	lttrd 11370	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐵)
37	2, 4, 23, 36, 12	relogbcld 42687	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (2 logb 𝐵) ∈ ℝ)
38	37	flcld 13830	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℤ)
39	38	zred 12699	. . 3 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℝ)
40	16, 8	readdcld 11237	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((2 logb 𝑁)↑5) + 1) ∈ ℝ)
41	16	ltp1d 12144	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑5) < (((2 logb 𝑁)↑5) + 1))
42	26, 16, 40, 30, 41	lttrd 11370	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 7 < (((2 logb 𝑁)↑5) + 1))
43	24, 26, 40, 28, 42	lttrd 11370	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 < (((2 logb 𝑁)↑5) + 1))
44	2, 4, 40, 43, 12	relogbcld 42687	. . 3 ⊢ (𝜑 → (2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)) ∈ ℝ)
45		flle 13831	. . . 4 ⊢ ((2 logb 𝐵) ∈ ℝ → (⌊‘(2 logb 𝐵)) ≤ (2 logb 𝐵))
46	37, 45	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(2 logb 𝐵)) ≤ (2 logb 𝐵))
47		ceilm1lt 13880	. . . . . . 7 ⊢ (((2 logb 𝑁)↑5) ∈ ℝ → ((⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)) − 1) < ((2 logb 𝑁)↑5))
48	16, 47	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)) − 1) < ((2 logb 𝑁)↑5))
49	19, 8, 16	ltsubaddd 11809	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)) − 1) < ((2 logb 𝑁)↑5) ↔ (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)) < (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)))
50	48, 49	mpbid 235	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)) < (((2 logb 𝑁)↑5) + 1))
51	21, 50	eqbrtrd 5132	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 < (((2 logb 𝑁)↑5) + 1))
52		2z 12625	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℤ
53	52	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℤ)
54	53	uzidd 12877	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ (ℤ≥‘2))
55	23, 36	elrpd 13056	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
56	40, 43	elrpd 13056	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((2 logb 𝑁)↑5) + 1) ∈ ℝ+)
57		logblt 26925	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ∧ (((2 logb 𝑁)↑5) + 1) ∈ ℝ+) → (𝐵 < (((2 logb 𝑁)↑5) + 1) ↔ (2 logb 𝐵) < (2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1))))
58	54, 55, 56, 57	syl3anc 1396	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 < (((2 logb 𝑁)↑5) + 1) ↔ (2 logb 𝐵) < (2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1))))
59	51, 58	mpbid 235	. . 3 ⊢ (𝜑 → (2 logb 𝐵) < (2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)))
60	39, 37, 44, 46, 59	lelttrd 11367	. 2 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(2 logb 𝐵)) < (2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)))
61		3re 12320	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℝ
62	61	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 3 ∈ ℝ)
63		1lt3 12415	. . . . 5 ⊢ 1 < 3
64	63	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 < 3)
65	8, 62, 6, 64, 29	ltletrd 11369	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 < 𝑁)
66	6, 65, 39, 44	cxpltd 26860	. 2 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘(2 logb 𝐵)) < (2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)) ↔ (𝑁↑𝑐(⌊‘(2 logb 𝐵))) < (𝑁↑𝑐(2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)))))
67	60, 66	mpbid 235	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁↑𝑐(⌊‘(2 logb 𝐵))) < (𝑁↑𝑐(2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1568   ∈ wcel 2141   class class class wbr 5108  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  ℝcr 11098  0cc0 11099  1c1 11100   + caddc 11102   < clt 11242   ≤ cle 11243   − cmin 11440  ℕcn 12232  2c2 12294  3c3 12295  5c5 12297  7c7 12299  ℕ₀cn0 12503  ℤcz 12590  ℤ_≥cuz 12861  ℝ⁺crp 13015  ⌊cfl 13822  ⌈cceil 13823  ↑cexp 14096  ↑_𝑐ccxp 26696   log_b clogb 26905

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-inf2 9609  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176  ax-pre-sup 11177  ax-addf 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-se 5615  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-of 7674  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-supp 8156  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8452  df-2o 8453  df-er 8693  df-map 8825  df-pm 8826  df-ixp 8895  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-fsupp 9321  df-fi 9370  df-sup 9401  df-inf 9402  df-oi 9471  df-card 9924  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11871  df-nn 12233  df-2 12302  df-3 12303  df-4 12304  df-5 12305  df-6 12306  df-7 12307  df-8 12308  df-9 12309  df-n0 12504  df-z 12591  df-dec 12711  df-uz 12862  df-q 12972  df-rp 13016  df-xneg 13136  df-xadd 13137  df-xmul 13138  df-ioo 13375  df-ioc 13376  df-ico 13377  df-icc 13378  df-fz 13535  df-fzo 13682  df-fl 13824  df-ceil 13825  df-mod 13902  df-seq 14037  df-exp 14097  df-fac 14309  df-bc 14338  df-hash 14366  df-shft 15103  df-cj 15149  df-re 15150  df-im 15151  df-sqrt 15285  df-abs 15286  df-limsup 15521  df-clim 15538  df-rlim 15539  df-sum 15737  df-ef 16120  df-sin 16122  df-cos 16123  df-pi 16125  df-struct 17206  df-sets 17223  df-slot 17241  df-ndx 17253  df-base 17269  df-ress 17290  df-plusg 17322  df-mulr 17323  df-starv 17324  df-sca 17325  df-vsca 17326  df-ip 17327  df-tset 17328  df-ple 17329  df-ds 17331  df-unif 17332  df-hom 17333  df-cco 17334  df-rest 17474  df-topn 17475  df-0g 17493  df-gsum 17494  df-topgen 17495  df-pt 17496  df-prds 17499  df-xrs 17555  df-qtop 17560  df-imas 17561  df-xps 17563  df-mre 17637  df-mrc 17638  df-acs 17640  df-mgm 18697  df-sgrp 18776  df-mnd 18792  df-submnd 18841  df-mulg 19133  df-cntz 19386  df-cmn 19851  df-psmet 21493  df-xmet 21494  df-met 21495  df-bl 21496  df-mopn 21497  df-fbas 21498  df-fg 21499  df-cnfld 21502  df-top 23030  df-topon 23047  df-topsp 23069  df-bases 23082  df-cld 23155  df-ntr 23156  df-cls 23157  df-nei 23234  df-lp 23272  df-perf 23273  df-cn 23363  df-cnp 23364  df-haus 23451  df-tx 23698  df-hmeo 23891  df-fil 23982  df-fm 24074  df-flim 24075  df-flf 24076  df-xms 24456  df-ms 24457  df-tms 24458  df-cncf 25016  df-limc 26004  df-dv 26005  df-log 26697  df-cxp 26698  df-logb 26906

This theorem is referenced by:  aks4d1p1p2  42783