Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  aks4d1p1p3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem aks4d1p1p3 40555
Description: Bound of a ceiling of the binary logarithm to the fifth power. (Contributed by metakunt, 19-Aug-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
aks4d1p1p3.1 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
aks4d1p1p3.2 𝐵 = (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5))
aks4d1p1p3.3 (𝜑 → 3 ≤ 𝑁)
Assertion
Ref Expression
aks4d1p1p3 (𝜑 → (𝑁𝑐(⌊‘(2 logb 𝐵))) < (𝑁𝑐(2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1))))

Proof of Theorem aks4d1p1p3
StepHypRef Expression
1 2re 12234 . . . . . . 7 2 ∈ ℝ
21a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
3 2pos 12263 . . . . . . 7 0 < 2
43a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → 0 < 2)
5 aks4d1p1p3.1 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
65nnred 12175 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
75nngt0d 12209 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 < 𝑁)
8 1red 11163 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
9 1lt2 12331 . . . . . . . . . . . . . 14 1 < 2
109a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 1 < 2)
118, 10ltned 11298 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 1 ≠ 2)
1211necomd 3000 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 2 ≠ 1)
132, 4, 6, 7, 12relogbcld 40459 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (2 logb 𝑁) ∈ ℝ)
14 5nn0 12440 . . . . . . . . . . 11 5 ∈ ℕ0
1514a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 5 ∈ ℕ0)
1613, 15reexpcld 14075 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑5) ∈ ℝ)
17 ceilcl 13754 . . . . . . . . 9 (((2 logb 𝑁)↑5) ∈ ℝ → (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)) ∈ ℤ)
1816, 17syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)) ∈ ℤ)
1918zred 12614 . . . . . . 7 (𝜑 → (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)) ∈ ℝ)
20 aks4d1p1p3.2 . . . . . . . . 9 𝐵 = (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5))
2120a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 = (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)))
2221eleq1d 2823 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐵 ∈ ℝ ↔ (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)) ∈ ℝ))
2319, 22mpbird 257 . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
24 0red 11165 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
25 7re 12253 . . . . . . . 8 7 ∈ ℝ
2625a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → 7 ∈ ℝ)
27 7pos 12271 . . . . . . . 8 0 < 7
2827a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 < 7)
29 aks4d1p1p3.3 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 3 ≤ 𝑁)
306, 293lexlogpow5ineq3 40543 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 7 < ((2 logb 𝑁)↑5))
31 ceilge 13757 . . . . . . . . . 10 (((2 logb 𝑁)↑5) ∈ ℝ → ((2 logb 𝑁)↑5) ≤ (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)))
3216, 31syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑5) ≤ (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)))
3326, 16, 19, 30, 32ltletrd 11322 . . . . . . . 8 (𝜑 → 7 < (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)))
3421eqcomd 2743 . . . . . . . 8 (𝜑 → (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)) = 𝐵)
3533, 34breqtrd 5136 . . . . . . 7 (𝜑 → 7 < 𝐵)
3624, 26, 23, 28, 35lttrd 11323 . . . . . 6 (𝜑 → 0 < 𝐵)
372, 4, 23, 36, 12relogbcld 40459 . . . . 5 (𝜑 → (2 logb 𝐵) ∈ ℝ)
3837flcld 13710 . . . 4 (𝜑 → (⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℤ)
3938zred 12614 . . 3 (𝜑 → (⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℝ)
4016, 8readdcld 11191 . . . 4 (𝜑 → (((2 logb 𝑁)↑5) + 1) ∈ ℝ)
4116ltp1d 12092 . . . . . 6 (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑5) < (((2 logb 𝑁)↑5) + 1))
4226, 16, 40, 30, 41lttrd 11323 . . . . 5 (𝜑 → 7 < (((2 logb 𝑁)↑5) + 1))
4324, 26, 40, 28, 42lttrd 11323 . . . 4 (𝜑 → 0 < (((2 logb 𝑁)↑5) + 1))
442, 4, 40, 43, 12relogbcld 40459 . . 3 (𝜑 → (2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)) ∈ ℝ)
45 flle 13711 . . . 4 ((2 logb 𝐵) ∈ ℝ → (⌊‘(2 logb 𝐵)) ≤ (2 logb 𝐵))
4637, 45syl 17 . . 3 (𝜑 → (⌊‘(2 logb 𝐵)) ≤ (2 logb 𝐵))
47 ceilm1lt 13760 . . . . . . 7 (((2 logb 𝑁)↑5) ∈ ℝ → ((⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)) − 1) < ((2 logb 𝑁)↑5))
4816, 47syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → ((⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)) − 1) < ((2 logb 𝑁)↑5))
4919, 8, 16ltsubaddd 11758 . . . . . 6 (𝜑 → (((⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)) − 1) < ((2 logb 𝑁)↑5) ↔ (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)) < (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)))
5048, 49mpbid 231 . . . . 5 (𝜑 → (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)) < (((2 logb 𝑁)↑5) + 1))
5121, 50eqbrtrd 5132 . . . 4 (𝜑𝐵 < (((2 logb 𝑁)↑5) + 1))
52 2z 12542 . . . . . . 7 2 ∈ ℤ
5352a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → 2 ∈ ℤ)
5453uzidd 12786 . . . . 5 (𝜑 → 2 ∈ (ℤ‘2))
5523, 36elrpd 12961 . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
5640, 43elrpd 12961 . . . . 5 (𝜑 → (((2 logb 𝑁)↑5) + 1) ∈ ℝ+)
57 logblt 26150 . . . . 5 ((2 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ∧ (((2 logb 𝑁)↑5) + 1) ∈ ℝ+) → (𝐵 < (((2 logb 𝑁)↑5) + 1) ↔ (2 logb 𝐵) < (2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1))))
5854, 55, 56, 57syl3anc 1372 . . . 4 (𝜑 → (𝐵 < (((2 logb 𝑁)↑5) + 1) ↔ (2 logb 𝐵) < (2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1))))
5951, 58mpbid 231 . . 3 (𝜑 → (2 logb 𝐵) < (2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)))
6039, 37, 44, 46, 59lelttrd 11320 . 2 (𝜑 → (⌊‘(2 logb 𝐵)) < (2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)))
61 3re 12240 . . . . 5 3 ∈ ℝ
6261a1i 11 . . . 4 (𝜑 → 3 ∈ ℝ)
63 1lt3 12333 . . . . 5 1 < 3
6463a1i 11 . . . 4 (𝜑 → 1 < 3)
658, 62, 6, 64, 29ltletrd 11322 . . 3 (𝜑 → 1 < 𝑁)
666, 65, 39, 44cxpltd 26090 . 2 (𝜑 → ((⌊‘(2 logb 𝐵)) < (2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)) ↔ (𝑁𝑐(⌊‘(2 logb 𝐵))) < (𝑁𝑐(2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)))))
6760, 66mpbid 231 1 (𝜑 → (𝑁𝑐(⌊‘(2 logb 𝐵))) < (𝑁𝑐(2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205   = wceq 1542  wcel 2107   class class class wbr 5110  cfv 6501  (class class class)co 7362  cr 11057  0cc0 11058  1c1 11059   + caddc 11061   < clt 11196  cle 11197  cmin 11392  cn 12160  2c2 12215  3c3 12216  5c5 12218  7c7 12220  0cn0 12420  cz 12506  cuz 12770  +crp 12922  cfl 13702  cceil 13703  cexp 13974  𝑐ccxp 25927   logb clogb 26130
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136  ax-addf 11137  ax-mulf 11138
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-iin 4962  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-supp 8098  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-er 8655  df-map 8774  df-pm 8775  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9313  df-fi 9354  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9453  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-z 12507  df-dec 12626  df-uz 12771  df-q 12881  df-rp 12923  df-xneg 13040  df-xadd 13041  df-xmul 13042  df-ioo 13275  df-ioc 13276  df-ico 13277  df-icc 13278  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-fl 13704  df-ceil 13705  df-mod 13782  df-seq 13914  df-exp 13975  df-fac 14181  df-bc 14210  df-hash 14238  df-shft 14959  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-limsup 15360  df-clim 15377  df-rlim 15378  df-sum 15578  df-ef 15957  df-sin 15959  df-cos 15960  df-pi 15962  df-struct 17026  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-plusg 17153  df-mulr 17154  df-starv 17155  df-sca 17156  df-vsca 17157  df-ip 17158  df-tset 17159  df-ple 17160  df-ds 17162  df-unif 17163  df-hom 17164  df-cco 17165  df-rest 17311  df-topn 17312  df-0g 17330  df-gsum 17331  df-topgen 17332  df-pt 17333  df-prds 17336  df-xrs 17391  df-qtop 17396  df-imas 17397  df-xps 17399  df-mre 17473  df-mrc 17474  df-acs 17476  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-submnd 18609  df-mulg 18880  df-cntz 19104  df-cmn 19571  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-fbas 20809  df-fg 20810  df-cnfld 20813  df-top 22259  df-topon 22276  df-topsp 22298  df-bases 22312  df-cld 22386  df-ntr 22387  df-cls 22388  df-nei 22465  df-lp 22503  df-perf 22504  df-cn 22594  df-cnp 22595  df-haus 22682  df-tx 22929  df-hmeo 23122  df-fil 23213  df-fm 23305  df-flim 23306  df-flf 23307  df-xms 23689  df-ms 23690  df-tms 23691  df-cncf 24257  df-limc 25246  df-dv 25247  df-log 25928  df-cxp 25929  df-logb 26131
This theorem is referenced by:  aks4d1p1p2  40556
  Copyright terms: Public domain W3C validator