Theorem splval2 14899

Description: Value of a splice, assuming the input word 𝑆 has already been decomposed into its pieces. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Oct-2015.) (Proof shortened by AV, 15-Oct-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
splval2.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Word 𝑋)
splval2.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Word 𝑋)
splval2.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Word 𝑋)
splval2.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Word 𝑋)
splval2.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 = ((𝐴 ++ 𝐵) ++ 𝐶))
splval2.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 = (♯‘𝐴))
splval2.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 = (𝐹 + (♯‘𝐵)))

Assertion

Ref	Expression
splval2	⊢ (𝜑 → (𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑅⟩) = ((𝐴 ++ 𝑅) ++ 𝐶))

Proof of Theorem splval2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		splval2.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = ((𝐴 ++ 𝐵) ++ 𝐶))
2		splval2.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Word 𝑋)
3		splval2.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Word 𝑋)
4		ccatcl 14712	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑋) → (𝐴 ++ 𝐵) ∈ Word 𝑋)
5	2, 3, 4	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ++ 𝐵) ∈ Word 𝑋)
6		splval2.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Word 𝑋)
7		ccatcl 14712	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ++ 𝐵) ∈ Word 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ Word 𝑋) → ((𝐴 ++ 𝐵) ++ 𝐶) ∈ Word 𝑋)
8	5, 6, 7	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ++ 𝐵) ++ 𝐶) ∈ Word 𝑋)
9	1, 8	eqeltrd 2861	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Word 𝑋)
10		splval2.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (♯‘𝐴))
11		lencl 14671	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Word 𝑋 → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
12	2, 11	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
13	10, 12	eqeltrd 2861	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ℕ0)
14		splval2.t	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 = (𝐹 + (♯‘𝐵)))
15		lencl 14671	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ Word 𝑋 → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
16	3, 15	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
17	13, 16	nn0addcld 12664	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 + (♯‘𝐵)) ∈ ℕ0)
18	14, 17	eqeltrd 2861	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℕ0)
19		splval2.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Word 𝑋)
20		splval 14893	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝑋 ∧ (𝐹 ∈ ℕ0 ∧ 𝑇 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ Word 𝑋)) → (𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑅⟩) = (((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩)))
21	9, 13, 18, 19, 20	syl13anc 1399	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑅⟩) = (((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩)))
22		nn0uz 12996	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
23	13, 22	eleqtrdi 2871	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (ℤ≥‘0))
24	13	nn0zd 12711	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ℤ)
25	24	uzidd 12974	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (ℤ≥‘𝐹))
26		uzaddcl 13024	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹 ∈ (ℤ≥‘𝐹) ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℕ0) → (𝐹 + (♯‘𝐵)) ∈ (ℤ≥‘𝐹))
27	25, 16, 26	syl2anc 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐹 + (♯‘𝐵)) ∈ (ℤ≥‘𝐹))
28	14, 27	eqeltrd 2861	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (ℤ≥‘𝐹))
29		elfzuzb 13643	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ (0...𝑇) ↔ (𝐹 ∈ (ℤ≥‘0) ∧ 𝑇 ∈ (ℤ≥‘𝐹)))
30	23, 28, 29	sylanbrc 595	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (0...𝑇))
31	18, 22	eleqtrdi 2871	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (ℤ≥‘0))
32		ccatlen 14713	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ++ 𝐵) ∈ Word 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ Word 𝑋) → (♯‘((𝐴 ++ 𝐵) ++ 𝐶)) = ((♯‘(𝐴 ++ 𝐵)) + (♯‘𝐶)))
33	5, 6, 32	syl2anc 596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (♯‘((𝐴 ++ 𝐵) ++ 𝐶)) = ((♯‘(𝐴 ++ 𝐵)) + (♯‘𝐶)))
34	1	fveq2d 6887	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑆) = (♯‘((𝐴 ++ 𝐵) ++ 𝐶)))
35	10	oveq1d 7433	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐹 + (♯‘𝐵)) = ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))
36		ccatlen 14713	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑋) → (♯‘(𝐴 ++ 𝐵)) = ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))
37	2, 3, 36	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝐴 ++ 𝐵)) = ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))
38	35, 14, 37	3eqtr4d 2806	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑇 = (♯‘(𝐴 ++ 𝐵)))
39	38	oveq1d 7433	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑇 + (♯‘𝐶)) = ((♯‘(𝐴 ++ 𝐵)) + (♯‘𝐶)))
40	33, 34, 39	3eqtr4d 2806	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑆) = (𝑇 + (♯‘𝐶)))
41	18	nn0zd 12711	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℤ)
42	41	uzidd 12974	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (ℤ≥‘𝑇))
43		lencl 14671	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐶 ∈ Word 𝑋 → (♯‘𝐶) ∈ ℕ0)
44	6, 43	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐶) ∈ ℕ0)
45		uzaddcl 13024	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑇 ∈ (ℤ≥‘𝑇) ∧ (♯‘𝐶) ∈ ℕ0) → (𝑇 + (♯‘𝐶)) ∈ (ℤ≥‘𝑇))
46	42, 44, 45	syl2anc 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑇 + (♯‘𝐶)) ∈ (ℤ≥‘𝑇))
47	40, 46	eqeltrd 2861	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑆) ∈ (ℤ≥‘𝑇))
48		elfzuzb 13643	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑇 ∈ (0...(♯‘𝑆)) ↔ (𝑇 ∈ (ℤ≥‘0) ∧ (♯‘𝑆) ∈ (ℤ≥‘𝑇)))
49	31, 47, 48	sylanbrc 595	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (0...(♯‘𝑆)))
50		ccatpfx 14843	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝑋 ∧ 𝐹 ∈ (0...𝑇) ∧ 𝑇 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → ((𝑆 prefix 𝐹) ++ (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝑇⟩)) = (𝑆 prefix 𝑇))
51	9, 30, 49, 50	syl3anc 1398	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 prefix 𝐹) ++ (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝑇⟩)) = (𝑆 prefix 𝑇))
52		lencl 14671	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝑋 → (♯‘𝑆) ∈ ℕ0)
53	9, 52	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑆) ∈ ℕ0)
54	53, 22	eleqtrdi 2871	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑆) ∈ (ℤ≥‘0))
55		eluzfz2 13658	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((♯‘𝑆) ∈ (ℤ≥‘0) → (♯‘𝑆) ∈ (0...(♯‘𝑆)))
56	54, 55	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑆) ∈ (0...(♯‘𝑆)))
57		ccatpfx 14843	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝑋 ∧ 𝑇 ∈ (0...(♯‘𝑆)) ∧ (♯‘𝑆) ∈ (0...(♯‘𝑆))) → ((𝑆 prefix 𝑇) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩)) = (𝑆 prefix (♯‘𝑆)))
58	9, 49, 56, 57	syl3anc 1398	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 prefix 𝑇) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩)) = (𝑆 prefix (♯‘𝑆)))
59		pfxid 14827	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝑋 → (𝑆 prefix (♯‘𝑆)) = 𝑆)
60	9, 59	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑆 prefix (♯‘𝑆)) = 𝑆)
61	58, 60, 1	3eqtrd 2800	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 prefix 𝑇) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩)) = ((𝐴 ++ 𝐵) ++ 𝐶))
62		pfxcl 14820	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝑋 → (𝑆 prefix 𝑇) ∈ Word 𝑋)
63	9, 62	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑆 prefix 𝑇) ∈ Word 𝑋)
64		swrdcl 14786	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝑋 → (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩) ∈ Word 𝑋)
65	9, 64	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩) ∈ Word 𝑋)
66		pfxlen 14826	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝑋 ∧ 𝑇 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → (♯‘(𝑆 prefix 𝑇)) = 𝑇)
67	9, 49, 66	syl2anc 596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝑆 prefix 𝑇)) = 𝑇)
68	67, 38	eqtrd 2796	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝑆 prefix 𝑇)) = (♯‘(𝐴 ++ 𝐵)))
69		ccatopth 14858	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑆 prefix 𝑇) ∈ Word 𝑋 ∧ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩) ∈ Word 𝑋) ∧ ((𝐴 ++ 𝐵) ∈ Word 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ Word 𝑋) ∧ (♯‘(𝑆 prefix 𝑇)) = (♯‘(𝐴 ++ 𝐵))) → (((𝑆 prefix 𝑇) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩)) = ((𝐴 ++ 𝐵) ++ 𝐶) ↔ ((𝑆 prefix 𝑇) = (𝐴 ++ 𝐵) ∧ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩) = 𝐶)))
70	63, 65, 5, 6, 68, 69	syl221anc 1408	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝑆 prefix 𝑇) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩)) = ((𝐴 ++ 𝐵) ++ 𝐶) ↔ ((𝑆 prefix 𝑇) = (𝐴 ++ 𝐵) ∧ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩) = 𝐶)))
71	61, 70	mpbid 235	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 prefix 𝑇) = (𝐴 ++ 𝐵) ∧ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩) = 𝐶))
72	71	simpld 500	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑆 prefix 𝑇) = (𝐴 ++ 𝐵))
73	51, 72	eqtrd 2796	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 prefix 𝐹) ++ (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝑇⟩)) = (𝐴 ++ 𝐵))
74		pfxcl 14820	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝑋 → (𝑆 prefix 𝐹) ∈ Word 𝑋)
75	9, 74	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑆 prefix 𝐹) ∈ Word 𝑋)
76		swrdcl 14786	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝑋 → (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝑇⟩) ∈ Word 𝑋)
77	9, 76	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝑇⟩) ∈ Word 𝑋)
78		uztrn 12976	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((♯‘𝑆) ∈ (ℤ≥‘𝑇) ∧ 𝑇 ∈ (ℤ≥‘𝐹)) → (♯‘𝑆) ∈ (ℤ≥‘𝐹))
79	47, 28, 78	syl2anc 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑆) ∈ (ℤ≥‘𝐹))
80		elfzuzb 13643	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ (0...(♯‘𝑆)) ↔ (𝐹 ∈ (ℤ≥‘0) ∧ (♯‘𝑆) ∈ (ℤ≥‘𝐹)))
81	23, 79, 80	sylanbrc 595	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (0...(♯‘𝑆)))
82		pfxlen 14826	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝑋 ∧ 𝐹 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → (♯‘(𝑆 prefix 𝐹)) = 𝐹)
83	9, 81, 82	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝑆 prefix 𝐹)) = 𝐹)
84	83, 10	eqtrd 2796	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝑆 prefix 𝐹)) = (♯‘𝐴))
85		ccatopth 14858	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑆 prefix 𝐹) ∈ Word 𝑋 ∧ (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝑇⟩) ∈ Word 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ Word 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑋) ∧ (♯‘(𝑆 prefix 𝐹)) = (♯‘𝐴)) → (((𝑆 prefix 𝐹) ++ (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝑇⟩)) = (𝐴 ++ 𝐵) ↔ ((𝑆 prefix 𝐹) = 𝐴 ∧ (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝑇⟩) = 𝐵)))
86	75, 77, 2, 3, 84, 85	syl221anc 1408	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝑆 prefix 𝐹) ++ (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝑇⟩)) = (𝐴 ++ 𝐵) ↔ ((𝑆 prefix 𝐹) = 𝐴 ∧ (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝑇⟩) = 𝐵)))
87	73, 86	mpbid 235	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 prefix 𝐹) = 𝐴 ∧ (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝑇⟩) = 𝐵))
88	87	simpld 500	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 prefix 𝐹) = 𝐴)
89	88	oveq1d 7433	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅) = (𝐴 ++ 𝑅))
90	71	simprd 501	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩) = 𝐶)
91	89, 90	oveq12d 7436	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩)) = ((𝐴 ++ 𝑅) ++ 𝐶))
92	21, 91	eqtrd 2796	1 ⊢ (𝜑 → (𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑅⟩) = ((𝐴 ++ 𝑅) ++ 𝐶))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ⟨cop 4590  ⟨cotp 4592  ‘cfv 6537  (class class class)co 7418  0cc0 11193   + caddc 11196  ℕ₀cn0 12599  ℤ_≥cuz 12958  ...cfz 13632  ♯chash 14467  Word cword 14651   ++ cconcat 14708   substr csubstr 14781   prefix cpfx 14813   splice csplice 14891

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-ot 4593  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-om 7876  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8469  df-er 8710  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970  df-card 10013  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-nn 12329  df-n0 12600  df-z 12687  df-uz 12959  df-fz 13633  df-fzo 13782  df-hash 14468  df-word 14652  df-concat 14709  df-substr 14782  df-pfx 14814  df-splice 14892

This theorem is used by:  efginvrel2  19934  efgredleme  19950  efgcpbllemb  19962  frgpnabllem1  20080