MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  splval2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem splval2 14805
Description: Value of a splice, assuming the input word 𝑆 has already been decomposed into its pieces. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Oct-2015.) (Proof shortened by AV, 15-Oct-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
splval2.a (𝜑𝐴 ∈ Word 𝑋)
splval2.b (𝜑𝐵 ∈ Word 𝑋)
splval2.c (𝜑𝐶 ∈ Word 𝑋)
splval2.r (𝜑𝑅 ∈ Word 𝑋)
splval2.s (𝜑𝑆 = ((𝐴 ++ 𝐵) ++ 𝐶))
splval2.f (𝜑𝐹 = (♯‘𝐴))
splval2.t (𝜑𝑇 = (𝐹 + (♯‘𝐵)))
Assertion
Ref Expression
splval2 (𝜑 → (𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑅⟩) = ((𝐴 ++ 𝑅) ++ 𝐶))

Proof of Theorem splval2
StepHypRef Expression
1 splval2.s . . . 4 (𝜑𝑆 = ((𝐴 ++ 𝐵) ++ 𝐶))
2 splval2.a . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ Word 𝑋)
3 splval2.b . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ Word 𝑋)
4 ccatcl 14622 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Word 𝑋𝐵 ∈ Word 𝑋) → (𝐴 ++ 𝐵) ∈ Word 𝑋)
52, 3, 4syl2anc 583 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 ++ 𝐵) ∈ Word 𝑋)
6 splval2.c . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ Word 𝑋)
7 ccatcl 14622 . . . . 5 (((𝐴 ++ 𝐵) ∈ Word 𝑋𝐶 ∈ Word 𝑋) → ((𝐴 ++ 𝐵) ++ 𝐶) ∈ Word 𝑋)
85, 6, 7syl2anc 583 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴 ++ 𝐵) ++ 𝐶) ∈ Word 𝑋)
91, 8eqeltrd 2844 . . 3 (𝜑𝑆 ∈ Word 𝑋)
10 splval2.f . . . 4 (𝜑𝐹 = (♯‘𝐴))
11 lencl 14581 . . . . 5 (𝐴 ∈ Word 𝑋 → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
122, 11syl 17 . . . 4 (𝜑 → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
1310, 12eqeltrd 2844 . . 3 (𝜑𝐹 ∈ ℕ0)
14 splval2.t . . . 4 (𝜑𝑇 = (𝐹 + (♯‘𝐵)))
15 lencl 14581 . . . . . 6 (𝐵 ∈ Word 𝑋 → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
163, 15syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
1713, 16nn0addcld 12617 . . . 4 (𝜑 → (𝐹 + (♯‘𝐵)) ∈ ℕ0)
1814, 17eqeltrd 2844 . . 3 (𝜑𝑇 ∈ ℕ0)
19 splval2.r . . 3 (𝜑𝑅 ∈ Word 𝑋)
20 splval 14799 . . 3 ((𝑆 ∈ Word 𝑋 ∧ (𝐹 ∈ ℕ0𝑇 ∈ ℕ0𝑅 ∈ Word 𝑋)) → (𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑅⟩) = (((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩)))
219, 13, 18, 19, 20syl13anc 1372 . 2 (𝜑 → (𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑅⟩) = (((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩)))
22 nn0uz 12945 . . . . . . . . . 10 0 = (ℤ‘0)
2313, 22eleqtrdi 2854 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹 ∈ (ℤ‘0))
2413nn0zd 12665 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐹 ∈ ℤ)
2524uzidd 12919 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹 ∈ (ℤ𝐹))
26 uzaddcl 12969 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ (ℤ𝐹) ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℕ0) → (𝐹 + (♯‘𝐵)) ∈ (ℤ𝐹))
2725, 16, 26syl2anc 583 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐹 + (♯‘𝐵)) ∈ (ℤ𝐹))
2814, 27eqeltrd 2844 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑇 ∈ (ℤ𝐹))
29 elfzuzb 13578 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (0...𝑇) ↔ (𝐹 ∈ (ℤ‘0) ∧ 𝑇 ∈ (ℤ𝐹)))
3023, 28, 29sylanbrc 582 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹 ∈ (0...𝑇))
3118, 22eleqtrdi 2854 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑇 ∈ (ℤ‘0))
32 ccatlen 14623 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ++ 𝐵) ∈ Word 𝑋𝐶 ∈ Word 𝑋) → (♯‘((𝐴 ++ 𝐵) ++ 𝐶)) = ((♯‘(𝐴 ++ 𝐵)) + (♯‘𝐶)))
335, 6, 32syl2anc 583 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (♯‘((𝐴 ++ 𝐵) ++ 𝐶)) = ((♯‘(𝐴 ++ 𝐵)) + (♯‘𝐶)))
341fveq2d 6924 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (♯‘𝑆) = (♯‘((𝐴 ++ 𝐵) ++ 𝐶)))
3510oveq1d 7463 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐹 + (♯‘𝐵)) = ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))
36 ccatlen 14623 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ Word 𝑋𝐵 ∈ Word 𝑋) → (♯‘(𝐴 ++ 𝐵)) = ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))
372, 3, 36syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (♯‘(𝐴 ++ 𝐵)) = ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))
3835, 14, 373eqtr4d 2790 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑇 = (♯‘(𝐴 ++ 𝐵)))
3938oveq1d 7463 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑇 + (♯‘𝐶)) = ((♯‘(𝐴 ++ 𝐵)) + (♯‘𝐶)))
4033, 34, 393eqtr4d 2790 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (♯‘𝑆) = (𝑇 + (♯‘𝐶)))
4118nn0zd 12665 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑇 ∈ ℤ)
4241uzidd 12919 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑇 ∈ (ℤ𝑇))
43 lencl 14581 . . . . . . . . . . . 12 (𝐶 ∈ Word 𝑋 → (♯‘𝐶) ∈ ℕ0)
446, 43syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (♯‘𝐶) ∈ ℕ0)
45 uzaddcl 12969 . . . . . . . . . . 11 ((𝑇 ∈ (ℤ𝑇) ∧ (♯‘𝐶) ∈ ℕ0) → (𝑇 + (♯‘𝐶)) ∈ (ℤ𝑇))
4642, 44, 45syl2anc 583 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑇 + (♯‘𝐶)) ∈ (ℤ𝑇))
4740, 46eqeltrd 2844 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (♯‘𝑆) ∈ (ℤ𝑇))
48 elfzuzb 13578 . . . . . . . . 9 (𝑇 ∈ (0...(♯‘𝑆)) ↔ (𝑇 ∈ (ℤ‘0) ∧ (♯‘𝑆) ∈ (ℤ𝑇)))
4931, 47, 48sylanbrc 582 . . . . . . . 8 (𝜑𝑇 ∈ (0...(♯‘𝑆)))
50 ccatpfx 14749 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ Word 𝑋𝐹 ∈ (0...𝑇) ∧ 𝑇 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → ((𝑆 prefix 𝐹) ++ (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝑇⟩)) = (𝑆 prefix 𝑇))
519, 30, 49, 50syl3anc 1371 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑆 prefix 𝐹) ++ (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝑇⟩)) = (𝑆 prefix 𝑇))
52 lencl 14581 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑆 ∈ Word 𝑋 → (♯‘𝑆) ∈ ℕ0)
539, 52syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (♯‘𝑆) ∈ ℕ0)
5453, 22eleqtrdi 2854 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (♯‘𝑆) ∈ (ℤ‘0))
55 eluzfz2 13592 . . . . . . . . . . . 12 ((♯‘𝑆) ∈ (ℤ‘0) → (♯‘𝑆) ∈ (0...(♯‘𝑆)))
5654, 55syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (♯‘𝑆) ∈ (0...(♯‘𝑆)))
57 ccatpfx 14749 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 ∈ Word 𝑋𝑇 ∈ (0...(♯‘𝑆)) ∧ (♯‘𝑆) ∈ (0...(♯‘𝑆))) → ((𝑆 prefix 𝑇) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩)) = (𝑆 prefix (♯‘𝑆)))
589, 49, 56, 57syl3anc 1371 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑆 prefix 𝑇) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩)) = (𝑆 prefix (♯‘𝑆)))
59 pfxid 14732 . . . . . . . . . . 11 (𝑆 ∈ Word 𝑋 → (𝑆 prefix (♯‘𝑆)) = 𝑆)
609, 59syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑆 prefix (♯‘𝑆)) = 𝑆)
6158, 60, 13eqtrd 2784 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑆 prefix 𝑇) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩)) = ((𝐴 ++ 𝐵) ++ 𝐶))
62 pfxcl 14725 . . . . . . . . . . 11 (𝑆 ∈ Word 𝑋 → (𝑆 prefix 𝑇) ∈ Word 𝑋)
639, 62syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑆 prefix 𝑇) ∈ Word 𝑋)
64 swrdcl 14693 . . . . . . . . . . 11 (𝑆 ∈ Word 𝑋 → (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩) ∈ Word 𝑋)
659, 64syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩) ∈ Word 𝑋)
66 pfxlen 14731 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑆 ∈ Word 𝑋𝑇 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → (♯‘(𝑆 prefix 𝑇)) = 𝑇)
679, 49, 66syl2anc 583 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (♯‘(𝑆 prefix 𝑇)) = 𝑇)
6867, 38eqtrd 2780 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (♯‘(𝑆 prefix 𝑇)) = (♯‘(𝐴 ++ 𝐵)))
69 ccatopth 14764 . . . . . . . . . 10 ((((𝑆 prefix 𝑇) ∈ Word 𝑋 ∧ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩) ∈ Word 𝑋) ∧ ((𝐴 ++ 𝐵) ∈ Word 𝑋𝐶 ∈ Word 𝑋) ∧ (♯‘(𝑆 prefix 𝑇)) = (♯‘(𝐴 ++ 𝐵))) → (((𝑆 prefix 𝑇) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩)) = ((𝐴 ++ 𝐵) ++ 𝐶) ↔ ((𝑆 prefix 𝑇) = (𝐴 ++ 𝐵) ∧ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩) = 𝐶)))
7063, 65, 5, 6, 68, 69syl221anc 1381 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝑆 prefix 𝑇) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩)) = ((𝐴 ++ 𝐵) ++ 𝐶) ↔ ((𝑆 prefix 𝑇) = (𝐴 ++ 𝐵) ∧ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩) = 𝐶)))
7161, 70mpbid 232 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑆 prefix 𝑇) = (𝐴 ++ 𝐵) ∧ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩) = 𝐶))
7271simpld 494 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑆 prefix 𝑇) = (𝐴 ++ 𝐵))
7351, 72eqtrd 2780 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑆 prefix 𝐹) ++ (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝑇⟩)) = (𝐴 ++ 𝐵))
74 pfxcl 14725 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ Word 𝑋 → (𝑆 prefix 𝐹) ∈ Word 𝑋)
759, 74syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑆 prefix 𝐹) ∈ Word 𝑋)
76 swrdcl 14693 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ Word 𝑋 → (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝑇⟩) ∈ Word 𝑋)
779, 76syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝑇⟩) ∈ Word 𝑋)
78 uztrn 12921 . . . . . . . . . . 11 (((♯‘𝑆) ∈ (ℤ𝑇) ∧ 𝑇 ∈ (ℤ𝐹)) → (♯‘𝑆) ∈ (ℤ𝐹))
7947, 28, 78syl2anc 583 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (♯‘𝑆) ∈ (ℤ𝐹))
80 elfzuzb 13578 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ (0...(♯‘𝑆)) ↔ (𝐹 ∈ (ℤ‘0) ∧ (♯‘𝑆) ∈ (ℤ𝐹)))
8123, 79, 80sylanbrc 582 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹 ∈ (0...(♯‘𝑆)))
82 pfxlen 14731 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ∈ Word 𝑋𝐹 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → (♯‘(𝑆 prefix 𝐹)) = 𝐹)
839, 81, 82syl2anc 583 . . . . . . . 8 (𝜑 → (♯‘(𝑆 prefix 𝐹)) = 𝐹)
8483, 10eqtrd 2780 . . . . . . 7 (𝜑 → (♯‘(𝑆 prefix 𝐹)) = (♯‘𝐴))
85 ccatopth 14764 . . . . . . 7 ((((𝑆 prefix 𝐹) ∈ Word 𝑋 ∧ (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝑇⟩) ∈ Word 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ Word 𝑋𝐵 ∈ Word 𝑋) ∧ (♯‘(𝑆 prefix 𝐹)) = (♯‘𝐴)) → (((𝑆 prefix 𝐹) ++ (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝑇⟩)) = (𝐴 ++ 𝐵) ↔ ((𝑆 prefix 𝐹) = 𝐴 ∧ (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝑇⟩) = 𝐵)))
8675, 77, 2, 3, 84, 85syl221anc 1381 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝑆 prefix 𝐹) ++ (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝑇⟩)) = (𝐴 ++ 𝐵) ↔ ((𝑆 prefix 𝐹) = 𝐴 ∧ (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝑇⟩) = 𝐵)))
8773, 86mpbid 232 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑆 prefix 𝐹) = 𝐴 ∧ (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝑇⟩) = 𝐵))
8887simpld 494 . . . 4 (𝜑 → (𝑆 prefix 𝐹) = 𝐴)
8988oveq1d 7463 . . 3 (𝜑 → ((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅) = (𝐴 ++ 𝑅))
9071simprd 495 . . 3 (𝜑 → (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩) = 𝐶)
9189, 90oveq12d 7466 . 2 (𝜑 → (((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩)) = ((𝐴 ++ 𝑅) ++ 𝐶))
9221, 91eqtrd 2780 1 (𝜑 → (𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑅⟩) = ((𝐴 ++ 𝑅) ++ 𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2108  cop 4654  cotp 4656  cfv 6573  (class class class)co 7448  0cc0 11184   + caddc 11187  0cn0 12553  cuz 12903  ...cfz 13567  chash 14379  Word cword 14562   ++ cconcat 14618   substr csubstr 14688   prefix cpfx 14718   splice csplice 14797
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-ot 4657  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-card 10008  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-hash 14380  df-word 14563  df-concat 14619  df-substr 14689  df-pfx 14719  df-splice 14798
This theorem is referenced by:  efginvrel2  19769  efgredleme  19785  efgcpbllemb  19797  frgpnabllem1  19915
  Copyright terms: Public domain W3C validator