MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsumsplit1r Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsumsplit1r 18713
Description: Splitting off the rightmost summand of a group sum. This corresponds to the (inductive) definition of a (finite) product in [Lang] p. 4, first formula. (Contributed by AV, 26-Dec-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumsplit1r.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsumsplit1r.p + = (+g𝐺)
gsumsplit1r.g (𝜑𝐺𝑉)
gsumsplit1r.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
gsumsplit1r.n (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
gsumsplit1r.f (𝜑𝐹:(𝑀...(𝑁 + 1))⟶𝐵)
Assertion
Ref Expression
gsumsplit1r (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝑀...𝑁))) + (𝐹‘(𝑁 + 1))))

Proof of Theorem gsumsplit1r
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gsumsplit1r.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐺)
2 gsumsplit1r.p . . 3 + = (+g𝐺)
3 gsumsplit1r.g . . 3 (𝜑𝐺𝑉)
4 gsumsplit1r.n . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
5 peano2uz 12941 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ𝑀))
64, 5syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ𝑀))
7 gsumsplit1r.f . . 3 (𝜑𝐹:(𝑀...(𝑁 + 1))⟶𝐵)
81, 2, 3, 6, 7gsumval2 18712 . 2 (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + 1)))
9 seqp1 14054 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + 1)) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) + (𝐹‘(𝑁 + 1))))
104, 9syl 17 . 2 (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + 1)) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) + (𝐹‘(𝑁 + 1))))
11 fzssp1 13604 . . . . . . 7 (𝑀...𝑁) ⊆ (𝑀...(𝑁 + 1))
1211a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀...𝑁) ⊆ (𝑀...(𝑁 + 1)))
137, 12fssresd 6776 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝑀...𝑁)):(𝑀...𝑁)⟶𝐵)
141, 2, 3, 4, 13gsumval2 18712 . . . 4 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝑀...𝑁))) = (seq𝑀( + , (𝐹 ↾ (𝑀...𝑁)))‘𝑁))
15 gsumsplit1r.m . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
1615uzidd 12892 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ𝑀))
17 seq1 14052 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℤ → (seq𝑀( + , (𝐹 ↾ (𝑀...𝑁)))‘𝑀) = ((𝐹 ↾ (𝑀...𝑁))‘𝑀))
1815, 17syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (seq𝑀( + , (𝐹 ↾ (𝑀...𝑁)))‘𝑀) = ((𝐹 ↾ (𝑀...𝑁))‘𝑀))
19 eluzfz1 13568 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ (𝑀...𝑁))
204, 19syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ (𝑀...𝑁))
2120fvresd 6927 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐹 ↾ (𝑀...𝑁))‘𝑀) = (𝐹𝑀))
2218, 21eqtrd 2775 . . . . 5 (𝜑 → (seq𝑀( + , (𝐹 ↾ (𝑀...𝑁)))‘𝑀) = (𝐹𝑀))
23 fzp1ss 13612 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑀 + 1)...𝑁) ⊆ (𝑀...𝑁))
2415, 23syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑀 + 1)...𝑁) ⊆ (𝑀...𝑁))
2524sselda 3995 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁))
2625fvresd 6927 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → ((𝐹 ↾ (𝑀...𝑁))‘𝑥) = (𝐹𝑥))
2716, 22, 4, 26seqfveq2 14062 . . . 4 (𝜑 → (seq𝑀( + , (𝐹 ↾ (𝑀...𝑁)))‘𝑁) = (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))
2814, 27eqtr2d 2776 . . 3 (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) = (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝑀...𝑁))))
2928oveq1d 7446 . 2 (𝜑 → ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) + (𝐹‘(𝑁 + 1))) = ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝑀...𝑁))) + (𝐹‘(𝑁 + 1))))
308, 10, 293eqtrd 2779 1 (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝑀...𝑁))) + (𝐹‘(𝑁 + 1))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wss 3963  cres 5691  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  1c1 11154   + caddc 11156  cz 12611  cuz 12876  ...cfz 13544  seqcseq 14039  Basecbs 17245  +gcplusg 17298   Σg cgsu 17487
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-seq 14040  df-0g 17488  df-gsum 17489
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator