Theorem gsumsplit1r 18665

Description: Splitting off the rightmost summand of a group sum. This corresponds to the (inductive) definition of a (finite) product in [Lang] p. 4, first formula. (Contributed by AV, 26-Dec-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumsplit1r.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsumsplit1r.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
gsumsplit1r.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑉)
gsumsplit1r.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
gsumsplit1r.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
gsumsplit1r.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝑀...(𝑁 + 1))⟶𝐵)

Assertion

Ref	Expression
gsumsplit1r	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝑀...𝑁))) + (𝐹‘(𝑁 + 1))))

Proof of Theorem gsumsplit1r

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsumsplit1r.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		gsumsplit1r.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐺)
3		gsumsplit1r.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑉)
4		gsumsplit1r.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
5		peano2uz 12917	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
6	4, 5	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
7		gsumsplit1r.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝑀...(𝑁 + 1))⟶𝐵)
8	1, 2, 3, 6, 7	gsumval2 18664	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + 1)))
9		seqp1 14034	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + 1)) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) + (𝐹‘(𝑁 + 1))))
10	4, 9	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + 1)) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) + (𝐹‘(𝑁 + 1))))
11		fzssp1 13584	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀...𝑁) ⊆ (𝑀...(𝑁 + 1))
12	11	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀...𝑁) ⊆ (𝑀...(𝑁 + 1)))
13	7, 12	fssresd 6745	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝑀...𝑁)):(𝑀...𝑁)⟶𝐵)
14	1, 2, 3, 4, 13	gsumval2 18664	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝑀...𝑁))) = (seq𝑀( + , (𝐹 ↾ (𝑀...𝑁)))‘𝑁))
15		gsumsplit1r.m	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
16	15	uzidd 12868	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
17		seq1 14032	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (seq𝑀( + , (𝐹 ↾ (𝑀...𝑁)))‘𝑀) = ((𝐹 ↾ (𝑀...𝑁))‘𝑀))
18	15, 17	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , (𝐹 ↾ (𝑀...𝑁)))‘𝑀) = ((𝐹 ↾ (𝑀...𝑁))‘𝑀))
19		eluzfz1 13548	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ (𝑀...𝑁))
20	4, 19	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (𝑀...𝑁))
21	20	fvresd 6896	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ (𝑀...𝑁))‘𝑀) = (𝐹‘𝑀))
22	18, 21	eqtrd 2770	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , (𝐹 ↾ (𝑀...𝑁)))‘𝑀) = (𝐹‘𝑀))
23		fzp1ss 13592	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑀 + 1)...𝑁) ⊆ (𝑀...𝑁))
24	15, 23	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 + 1)...𝑁) ⊆ (𝑀...𝑁))
25	24	sselda 3958	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁))
26	25	fvresd 6896	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → ((𝐹 ↾ (𝑀...𝑁))‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
27	16, 22, 4, 26	seqfveq2 14042	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , (𝐹 ↾ (𝑀...𝑁)))‘𝑁) = (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))
28	14, 27	eqtr2d 2771	. . 3 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) = (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝑀...𝑁))))
29	28	oveq1d 7420	. 2 ⊢ (𝜑 → ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) + (𝐹‘(𝑁 + 1))) = ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝑀...𝑁))) + (𝐹‘(𝑁 + 1))))
30	8, 10, 29	3eqtrd 2774	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝑀...𝑁))) + (𝐹‘(𝑁 + 1))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ⊆ wss 3926   ↾ cres 5656  ⟶wf 6527  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405  1c1 11130   + caddc 11132  ℤcz 12588  ℤ_≥cuz 12852  ...cfz 13524  seqcseq 14019  Basecbs 17228  +_gcplusg 17271   Σ_g cgsu 17454

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12241  df-n0 12502  df-z 12589  df-uz 12853  df-fz 13525  df-seq 14020  df-0g 17455  df-gsum 17456

This theorem is referenced by: (None)