Theorem gsumsplit1r 18779

Description: Splitting off the rightmost summand of a group sum. This corresponds to the (inductive) definition of a (finite) product in [Lang] p. 4, first formula. (Contributed by AV, 26-Dec-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumsplit1r.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsumsplit1r.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
gsumsplit1r.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑉)
gsumsplit1r.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
gsumsplit1r.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
gsumsplit1r.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝑀...(𝑁 + 1))⟶𝐵)

Assertion

Ref	Expression
gsumsplit1r	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝑀...𝑁))) + (𝐹‘(𝑁 + 1))))

Proof of Theorem gsumsplit1r

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsumsplit1r.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		gsumsplit1r.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐺)
3		gsumsplit1r.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑉)
4		gsumsplit1r.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
5		peano2uz 12943	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
6	4, 5	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
7		gsumsplit1r.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝑀...(𝑁 + 1))⟶𝐵)
8	1, 2, 3, 6, 7	gsumval2 18778	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + 1)))
9		seqp1 14072	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + 1)) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) + (𝐹‘(𝑁 + 1))))
10	4, 9	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + 1)) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) + (𝐹‘(𝑁 + 1))))
11		fzssp1 13614	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀...𝑁) ⊆ (𝑀...(𝑁 + 1))
12	11	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀...𝑁) ⊆ (𝑀...(𝑁 + 1)))
13	7, 12	fssresd 6749	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝑀...𝑁)):(𝑀...𝑁)⟶𝐵)
14	1, 2, 3, 4, 13	gsumval2 18778	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝑀...𝑁))) = (seq𝑀( + , (𝐹 ↾ (𝑀...𝑁)))‘𝑁))
15		gsumsplit1r.m	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
16	15	uzidd 12896	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
17		seq1 14070	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (seq𝑀( + , (𝐹 ↾ (𝑀...𝑁)))‘𝑀) = ((𝐹 ↾ (𝑀...𝑁))‘𝑀))
18	15, 17	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , (𝐹 ↾ (𝑀...𝑁)))‘𝑀) = ((𝐹 ↾ (𝑀...𝑁))‘𝑀))
19		eluzfz1 13577	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ (𝑀...𝑁))
20	4, 19	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (𝑀...𝑁))
21	20	fvresd 6905	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ (𝑀...𝑁))‘𝑀) = (𝐹‘𝑀))
22	18, 21	eqtrd 2800	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , (𝐹 ↾ (𝑀...𝑁)))‘𝑀) = (𝐹‘𝑀))
23		fzp1ss 13622	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑀 + 1)...𝑁) ⊆ (𝑀...𝑁))
24	15, 23	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 + 1)...𝑁) ⊆ (𝑀...𝑁))
25	24	sselda 3938	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁))
26	25	fvresd 6905	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → ((𝐹 ↾ (𝑀...𝑁))‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
27	16, 22, 4, 26	seqfveq2 14080	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , (𝐹 ↾ (𝑀...𝑁)))‘𝑁) = (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))
28	14, 27	eqtr2d 2801	. . 3 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) = (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝑀...𝑁))))
29	28	oveq1d 7434	. 2 ⊢ (𝜑 → ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) + (𝐹‘(𝑁 + 1))) = ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝑀...𝑁))) + (𝐹‘(𝑁 + 1))))
30	8, 10, 29	3eqtrd 2804	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝑀...𝑁))) + (𝐹‘(𝑁 + 1))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ⊆ wss 3906   ↾ cres 5665  ⟶wf 6536  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  1c1 11118   + caddc 11120  ℤcz 12608  ℤ_≥cuz 12880  ...cfz 13553  seqcseq 14057  Basecbs 17293  +_gcplusg 17334   Σ_g cgsu 17517

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11173  ax-resscn 11174  ax-1cn 11175  ax-icn 11176  ax-addcl 11177  ax-addrcl 11178  ax-mulcl 11179  ax-mulrcl 11180  ax-mulcom 11181  ax-addass 11182  ax-mulass 11183  ax-distr 11184  ax-i2m1 11185  ax-1ne0 11186  ax-1rid 11187  ax-rnegex 11188  ax-rrecex 11189  ax-cnre 11190  ax-pre-lttri 11191  ax-pre-lttrn 11192  ax-pre-ltadd 11193  ax-pre-mulgt0 11194

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-pnf 11262  df-mnf 11263  df-xr 11264  df-ltxr 11265  df-le 11266  df-sub 11460  df-neg 11461  df-nn 12251  df-n0 12522  df-z 12609  df-uz 12881  df-fz 13554  df-seq 14058  df-0g 17518  df-gsum 17519

This theorem is used by: (None)