Theorem gsumsplit1r 18382

Description: Splitting off the rightmost summand of a group sum. This corresponds to the (inductive) definition of a (finite) product in [Lang] p. 4, first formula. (Contributed by AV, 26-Dec-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumsplit1r.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsumsplit1r.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
gsumsplit1r.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑉)
gsumsplit1r.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
gsumsplit1r.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
gsumsplit1r.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝑀...(𝑁 + 1))⟶𝐵)

Assertion

Ref	Expression
gsumsplit1r	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝑀...𝑁))) + (𝐹‘(𝑁 + 1))))

Proof of Theorem gsumsplit1r

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsumsplit1r.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		gsumsplit1r.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐺)
3		gsumsplit1r.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑉)
4		gsumsplit1r.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
5		peano2uz 12652	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
6	4, 5	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
7		gsumsplit1r.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝑀...(𝑁 + 1))⟶𝐵)
8	1, 2, 3, 6, 7	gsumval2 18381	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + 1)))
9		seqp1 13747	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + 1)) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) + (𝐹‘(𝑁 + 1))))
10	4, 9	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + 1)) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) + (𝐹‘(𝑁 + 1))))
11		fzssp1 13310	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀...𝑁) ⊆ (𝑀...(𝑁 + 1))
12	11	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀...𝑁) ⊆ (𝑀...(𝑁 + 1)))
13	7, 12	fssresd 6639	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝑀...𝑁)):(𝑀...𝑁)⟶𝐵)
14	1, 2, 3, 4, 13	gsumval2 18381	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝑀...𝑁))) = (seq𝑀( + , (𝐹 ↾ (𝑀...𝑁)))‘𝑁))
15		gsumsplit1r.m	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
16	15	uzidd 12609	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
17		seq1 13745	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (seq𝑀( + , (𝐹 ↾ (𝑀...𝑁)))‘𝑀) = ((𝐹 ↾ (𝑀...𝑁))‘𝑀))
18	15, 17	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , (𝐹 ↾ (𝑀...𝑁)))‘𝑀) = ((𝐹 ↾ (𝑀...𝑁))‘𝑀))
19		eluzfz1 13274	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ (𝑀...𝑁))
20	4, 19	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (𝑀...𝑁))
21	20	fvresd 6791	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ (𝑀...𝑁))‘𝑀) = (𝐹‘𝑀))
22	18, 21	eqtrd 2780	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , (𝐹 ↾ (𝑀...𝑁)))‘𝑀) = (𝐹‘𝑀))
23		fzp1ss 13318	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑀 + 1)...𝑁) ⊆ (𝑀...𝑁))
24	15, 23	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 + 1)...𝑁) ⊆ (𝑀...𝑁))
25	24	sselda 3926	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁))
26	25	fvresd 6791	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → ((𝐹 ↾ (𝑀...𝑁))‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
27	16, 22, 4, 26	seqfveq2 13756	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , (𝐹 ↾ (𝑀...𝑁)))‘𝑁) = (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))
28	14, 27	eqtr2d 2781	. . 3 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) = (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝑀...𝑁))))
29	28	oveq1d 7287	. 2 ⊢ (𝜑 → ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) + (𝐹‘(𝑁 + 1))) = ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝑀...𝑁))) + (𝐹‘(𝑁 + 1))))
30	8, 10, 29	3eqtrd 2784	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝑀...𝑁))) + (𝐹‘(𝑁 + 1))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1542   ∈ wcel 2110   ⊆ wss 3892   ↾ cres 5592  ⟶wf 6428  ‘cfv 6432  (class class class)co 7272  1c1 10883   + caddc 10885  ℤcz 12330  ℤ_≥cuz 12593  ...cfz 13250  seqcseq 13732  Basecbs 16923  +_gcplusg 16973   Σ_g cgsu 17162

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7583  ax-cnex 10938  ax-resscn 10939  ax-1cn 10940  ax-icn 10941  ax-addcl 10942  ax-addrcl 10943  ax-mulcl 10944  ax-mulrcl 10945  ax-mulcom 10946  ax-addass 10947  ax-mulass 10948  ax-distr 10949  ax-i2m1 10950  ax-1ne0 10951  ax-1rid 10952  ax-rnegex 10953  ax-rrecex 10954  ax-cnre 10955  ax-pre-lttri 10956  ax-pre-lttrn 10957  ax-pre-ltadd 10958  ax-pre-mulgt0 10959

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rmo 3074  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4846  df-iun 4932  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6201  df-ord 6268  df-on 6269  df-lim 6270  df-suc 6271  df-iota 6390  df-fun 6434  df-fn 6435  df-f 6436  df-f1 6437  df-fo 6438  df-f1o 6439  df-fv 6440  df-riota 7229  df-ov 7275  df-oprab 7276  df-mpo 7277  df-om 7708  df-1st 7825  df-2nd 7826  df-frecs 8089  df-wrecs 8120  df-recs 8194  df-rdg 8233  df-er 8490  df-en 8726  df-dom 8727  df-sdom 8728  df-pnf 11022  df-mnf 11023  df-xr 11024  df-ltxr 11025  df-le 11026  df-sub 11218  df-neg 11219  df-nn 11985  df-n0 12245  df-z 12331  df-uz 12594  df-fz 13251  df-seq 13733  df-0g 17163  df-gsum 17164

This theorem is referenced by: (None)