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Theorem xlimpnfxnegmnf 44141
Description: A sequence converges to +∞ if and only if its negation converges to -∞. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Apr-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
xlimpnfxnegmnf.1 Ⅎ𝑗𝐹
xlimpnfxnegmnf.2 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
xlimpnfxnegmnf.3 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆβ„*)
Assertion
Ref Expression
xlimpnfxnegmnf (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝑍 βˆ€π‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝑍 βˆ€π‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)-𝑒(πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯))
Distinct variable groups:   π‘˜,𝐹,π‘₯   π‘˜,𝑍,π‘₯   𝑗,π‘˜,π‘₯
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯,𝑗,π‘˜)   𝐹(𝑗)   𝑀(π‘₯,𝑗,π‘˜)   𝑍(𝑗)

Proof of Theorem xlimpnfxnegmnf
Dummy variables 𝑖 𝑙 𝑀 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq1 5109 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—) ↔ 𝑦 ≀ (πΉβ€˜π‘—)))
21rexralbidv 3211 . . . . 5 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (βˆƒπ‘˜ ∈ 𝑍 βˆ€π‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—) ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝑍 βˆ€π‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)𝑦 ≀ (πΉβ€˜π‘—)))
3 fveq2 6843 . . . . . . . 8 (π‘˜ = 𝑖 β†’ (β„€β‰₯β€˜π‘˜) = (β„€β‰₯β€˜π‘–))
43raleqdv 3312 . . . . . . 7 (π‘˜ = 𝑖 β†’ (βˆ€π‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)𝑦 ≀ (πΉβ€˜π‘—) ↔ βˆ€π‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)𝑦 ≀ (πΉβ€˜π‘—)))
5 nfv 1918 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑙 𝑦 ≀ (πΉβ€˜π‘—)
6 nfcv 2904 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑗𝑦
7 nfcv 2904 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑗 ≀
8 xlimpnfxnegmnf.1 . . . . . . . . . 10 Ⅎ𝑗𝐹
9 nfcv 2904 . . . . . . . . . 10 Ⅎ𝑗𝑙
108, 9nffv 6853 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑗(πΉβ€˜π‘™)
116, 7, 10nfbr 5153 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑗 𝑦 ≀ (πΉβ€˜π‘™)
12 fveq2 6843 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 𝑙 β†’ (πΉβ€˜π‘—) = (πΉβ€˜π‘™))
1312breq2d 5118 . . . . . . . 8 (𝑗 = 𝑙 β†’ (𝑦 ≀ (πΉβ€˜π‘—) ↔ 𝑦 ≀ (πΉβ€˜π‘™)))
145, 11, 13cbvralw 3288 . . . . . . 7 (βˆ€π‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)𝑦 ≀ (πΉβ€˜π‘—) ↔ βˆ€π‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)𝑦 ≀ (πΉβ€˜π‘™))
154, 14bitrdi 287 . . . . . 6 (π‘˜ = 𝑖 β†’ (βˆ€π‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)𝑦 ≀ (πΉβ€˜π‘—) ↔ βˆ€π‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)𝑦 ≀ (πΉβ€˜π‘™)))
1615cbvrexvw 3225 . . . . 5 (βˆƒπ‘˜ ∈ 𝑍 βˆ€π‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)𝑦 ≀ (πΉβ€˜π‘—) ↔ βˆƒπ‘– ∈ 𝑍 βˆ€π‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)𝑦 ≀ (πΉβ€˜π‘™))
172, 16bitrdi 287 . . . 4 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (βˆƒπ‘˜ ∈ 𝑍 βˆ€π‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—) ↔ βˆƒπ‘– ∈ 𝑍 βˆ€π‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)𝑦 ≀ (πΉβ€˜π‘™)))
1817cbvralvw 3224 . . 3 (βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝑍 βˆ€π‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ βˆƒπ‘– ∈ 𝑍 βˆ€π‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)𝑦 ≀ (πΉβ€˜π‘™))
1918a1i 11 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝑍 βˆ€π‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ βˆƒπ‘– ∈ 𝑍 βˆ€π‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)𝑦 ≀ (πΉβ€˜π‘™)))
20 simpll 766 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ βˆƒπ‘– ∈ 𝑍 βˆ€π‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)𝑦 ≀ (πΉβ€˜π‘™)) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) β†’ πœ‘)
21 simpr 486 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ βˆƒπ‘– ∈ 𝑍 βˆ€π‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)𝑦 ≀ (πΉβ€˜π‘™)) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
22 xnegrecl 43759 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℝ β†’ -𝑒𝑀 ∈ ℝ)
23 simpl 484 . . . . . . 7 ((βˆ€π‘¦ ∈ ℝ βˆƒπ‘– ∈ 𝑍 βˆ€π‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)𝑦 ≀ (πΉβ€˜π‘™) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ βˆƒπ‘– ∈ 𝑍 βˆ€π‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)𝑦 ≀ (πΉβ€˜π‘™))
24 breq1 5109 . . . . . . . . 9 (𝑦 = -𝑒𝑀 β†’ (𝑦 ≀ (πΉβ€˜π‘™) ↔ -𝑒𝑀 ≀ (πΉβ€˜π‘™)))
2524rexralbidv 3211 . . . . . . . 8 (𝑦 = -𝑒𝑀 β†’ (βˆƒπ‘– ∈ 𝑍 βˆ€π‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)𝑦 ≀ (πΉβ€˜π‘™) ↔ βˆƒπ‘– ∈ 𝑍 βˆ€π‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)-𝑒𝑀 ≀ (πΉβ€˜π‘™)))
2625rspcva 3578 . . . . . . 7 ((-𝑒𝑀 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ βˆƒπ‘– ∈ 𝑍 βˆ€π‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)𝑦 ≀ (πΉβ€˜π‘™)) β†’ βˆƒπ‘– ∈ 𝑍 βˆ€π‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)-𝑒𝑀 ≀ (πΉβ€˜π‘™))
2722, 23, 26syl2an2 685 . . . . . 6 ((βˆ€π‘¦ ∈ ℝ βˆƒπ‘– ∈ 𝑍 βˆ€π‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)𝑦 ≀ (πΉβ€˜π‘™) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) β†’ βˆƒπ‘– ∈ 𝑍 βˆ€π‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)-𝑒𝑀 ≀ (πΉβ€˜π‘™))
2827adantll 713 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ βˆƒπ‘– ∈ 𝑍 βˆ€π‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)𝑦 ≀ (πΉβ€˜π‘™)) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) β†’ βˆƒπ‘– ∈ 𝑍 βˆ€π‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)-𝑒𝑀 ≀ (πΉβ€˜π‘™))
29 simpll 766 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ 𝑙 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)) β†’ (πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ ℝ))
30 xlimpnfxnegmnf.2 . . . . . . . . . . 11 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
3130uztrn2 12787 . . . . . . . . . 10 ((𝑖 ∈ 𝑍 ∧ 𝑙 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)) β†’ 𝑙 ∈ 𝑍)
3231adantll 713 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ 𝑙 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)) β†’ 𝑙 ∈ 𝑍)
33 rexr 11206 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ ℝ β†’ 𝑀 ∈ ℝ*)
3433ad2antlr 726 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ 𝑙 ∈ 𝑍) β†’ 𝑀 ∈ ℝ*)
35 xlimpnfxnegmnf.3 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆβ„*)
3635ffvelcdmda 7036 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘™) ∈ ℝ*)
3736adantlr 714 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ 𝑙 ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘™) ∈ ℝ*)
38 xlenegcon1 43808 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℝ* ∧ (πΉβ€˜π‘™) ∈ ℝ*) β†’ (-𝑒𝑀 ≀ (πΉβ€˜π‘™) ↔ -𝑒(πΉβ€˜π‘™) ≀ 𝑀))
3934, 37, 38syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ 𝑙 ∈ 𝑍) β†’ (-𝑒𝑀 ≀ (πΉβ€˜π‘™) ↔ -𝑒(πΉβ€˜π‘™) ≀ 𝑀))
4039biimpd 228 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ 𝑙 ∈ 𝑍) β†’ (-𝑒𝑀 ≀ (πΉβ€˜π‘™) β†’ -𝑒(πΉβ€˜π‘™) ≀ 𝑀))
4129, 32, 40syl2anc 585 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ 𝑙 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)) β†’ (-𝑒𝑀 ≀ (πΉβ€˜π‘™) β†’ -𝑒(πΉβ€˜π‘™) ≀ 𝑀))
4241ralimdva 3161 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) β†’ (βˆ€π‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)-𝑒𝑀 ≀ (πΉβ€˜π‘™) β†’ βˆ€π‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)-𝑒(πΉβ€˜π‘™) ≀ 𝑀))
4342reximdva 3162 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) β†’ (βˆƒπ‘– ∈ 𝑍 βˆ€π‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)-𝑒𝑀 ≀ (πΉβ€˜π‘™) β†’ βˆƒπ‘– ∈ 𝑍 βˆ€π‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)-𝑒(πΉβ€˜π‘™) ≀ 𝑀))
4443imp 408 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ βˆƒπ‘– ∈ 𝑍 βˆ€π‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)-𝑒𝑀 ≀ (πΉβ€˜π‘™)) β†’ βˆƒπ‘– ∈ 𝑍 βˆ€π‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)-𝑒(πΉβ€˜π‘™) ≀ 𝑀)
4520, 21, 28, 44syl21anc 837 . . . 4 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ βˆƒπ‘– ∈ 𝑍 βˆ€π‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)𝑦 ≀ (πΉβ€˜π‘™)) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) β†’ βˆƒπ‘– ∈ 𝑍 βˆ€π‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)-𝑒(πΉβ€˜π‘™) ≀ 𝑀)
4645ralrimiva 3140 . . 3 ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ βˆƒπ‘– ∈ 𝑍 βˆ€π‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)𝑦 ≀ (πΉβ€˜π‘™)) β†’ βˆ€π‘€ ∈ ℝ βˆƒπ‘– ∈ 𝑍 βˆ€π‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)-𝑒(πΉβ€˜π‘™) ≀ 𝑀)
47 simpll 766 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘€ ∈ ℝ βˆƒπ‘– ∈ 𝑍 βˆ€π‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)-𝑒(πΉβ€˜π‘™) ≀ 𝑀) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ πœ‘)
48 simpr 486 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘€ ∈ ℝ βˆƒπ‘– ∈ 𝑍 βˆ€π‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)-𝑒(πΉβ€˜π‘™) ≀ 𝑀) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
49 xnegrecl 43759 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℝ β†’ -𝑒𝑦 ∈ ℝ)
50 simpl 484 . . . . . . 7 ((βˆ€π‘€ ∈ ℝ βˆƒπ‘– ∈ 𝑍 βˆ€π‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)-𝑒(πΉβ€˜π‘™) ≀ 𝑀 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ βˆ€π‘€ ∈ ℝ βˆƒπ‘– ∈ 𝑍 βˆ€π‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)-𝑒(πΉβ€˜π‘™) ≀ 𝑀)
51 breq2 5110 . . . . . . . . 9 (𝑀 = -𝑒𝑦 β†’ (-𝑒(πΉβ€˜π‘™) ≀ 𝑀 ↔ -𝑒(πΉβ€˜π‘™) ≀ -𝑒𝑦))
5251rexralbidv 3211 . . . . . . . 8 (𝑀 = -𝑒𝑦 β†’ (βˆƒπ‘– ∈ 𝑍 βˆ€π‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)-𝑒(πΉβ€˜π‘™) ≀ 𝑀 ↔ βˆƒπ‘– ∈ 𝑍 βˆ€π‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)-𝑒(πΉβ€˜π‘™) ≀ -𝑒𝑦))
5352rspcva 3578 . . . . . . 7 ((-𝑒𝑦 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘€ ∈ ℝ βˆƒπ‘– ∈ 𝑍 βˆ€π‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)-𝑒(πΉβ€˜π‘™) ≀ 𝑀) β†’ βˆƒπ‘– ∈ 𝑍 βˆ€π‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)-𝑒(πΉβ€˜π‘™) ≀ -𝑒𝑦)
5449, 50, 53syl2an2 685 . . . . . 6 ((βˆ€π‘€ ∈ ℝ βˆƒπ‘– ∈ 𝑍 βˆ€π‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)-𝑒(πΉβ€˜π‘™) ≀ 𝑀 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ βˆƒπ‘– ∈ 𝑍 βˆ€π‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)-𝑒(πΉβ€˜π‘™) ≀ -𝑒𝑦)
5554adantll 713 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘€ ∈ ℝ βˆƒπ‘– ∈ 𝑍 βˆ€π‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)-𝑒(πΉβ€˜π‘™) ≀ 𝑀) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ βˆƒπ‘– ∈ 𝑍 βˆ€π‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)-𝑒(πΉβ€˜π‘™) ≀ -𝑒𝑦)
56 simpll 766 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ 𝑙 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)) β†’ (πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ))
5731adantll 713 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ 𝑙 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)) β†’ 𝑙 ∈ 𝑍)
58 rexr 11206 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℝ β†’ 𝑦 ∈ ℝ*)
5958ad2antlr 726 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑙 ∈ 𝑍) β†’ 𝑦 ∈ ℝ*)
6036adantlr 714 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑙 ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘™) ∈ ℝ*)
61 xleneg 13143 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ ℝ* ∧ (πΉβ€˜π‘™) ∈ ℝ*) β†’ (𝑦 ≀ (πΉβ€˜π‘™) ↔ -𝑒(πΉβ€˜π‘™) ≀ -𝑒𝑦))
6259, 60, 61syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑙 ∈ 𝑍) β†’ (𝑦 ≀ (πΉβ€˜π‘™) ↔ -𝑒(πΉβ€˜π‘™) ≀ -𝑒𝑦))
6362biimprd 248 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑙 ∈ 𝑍) β†’ (-𝑒(πΉβ€˜π‘™) ≀ -𝑒𝑦 β†’ 𝑦 ≀ (πΉβ€˜π‘™)))
6456, 57, 63syl2anc 585 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ 𝑙 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)) β†’ (-𝑒(πΉβ€˜π‘™) ≀ -𝑒𝑦 β†’ 𝑦 ≀ (πΉβ€˜π‘™)))
6564ralimdva 3161 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) β†’ (βˆ€π‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)-𝑒(πΉβ€˜π‘™) ≀ -𝑒𝑦 β†’ βˆ€π‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)𝑦 ≀ (πΉβ€˜π‘™)))
6665reximdva 3162 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (βˆƒπ‘– ∈ 𝑍 βˆ€π‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)-𝑒(πΉβ€˜π‘™) ≀ -𝑒𝑦 β†’ βˆƒπ‘– ∈ 𝑍 βˆ€π‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)𝑦 ≀ (πΉβ€˜π‘™)))
6766imp 408 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ βˆƒπ‘– ∈ 𝑍 βˆ€π‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)-𝑒(πΉβ€˜π‘™) ≀ -𝑒𝑦) β†’ βˆƒπ‘– ∈ 𝑍 βˆ€π‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)𝑦 ≀ (πΉβ€˜π‘™))
6847, 48, 55, 67syl21anc 837 . . . 4 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘€ ∈ ℝ βˆƒπ‘– ∈ 𝑍 βˆ€π‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)-𝑒(πΉβ€˜π‘™) ≀ 𝑀) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ βˆƒπ‘– ∈ 𝑍 βˆ€π‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)𝑦 ≀ (πΉβ€˜π‘™))
6968ralrimiva 3140 . . 3 ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘€ ∈ ℝ βˆƒπ‘– ∈ 𝑍 βˆ€π‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)-𝑒(πΉβ€˜π‘™) ≀ 𝑀) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ βˆƒπ‘– ∈ 𝑍 βˆ€π‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)𝑦 ≀ (πΉβ€˜π‘™))
7046, 69impbida 800 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ ℝ βˆƒπ‘– ∈ 𝑍 βˆ€π‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)𝑦 ≀ (πΉβ€˜π‘™) ↔ βˆ€π‘€ ∈ ℝ βˆƒπ‘– ∈ 𝑍 βˆ€π‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)-𝑒(πΉβ€˜π‘™) ≀ 𝑀))
71 breq2 5110 . . . . . 6 (𝑀 = π‘₯ β†’ (-𝑒(πΉβ€˜π‘™) ≀ 𝑀 ↔ -𝑒(πΉβ€˜π‘™) ≀ π‘₯))
7271rexralbidv 3211 . . . . 5 (𝑀 = π‘₯ β†’ (βˆƒπ‘– ∈ 𝑍 βˆ€π‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)-𝑒(πΉβ€˜π‘™) ≀ 𝑀 ↔ βˆƒπ‘– ∈ 𝑍 βˆ€π‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)-𝑒(πΉβ€˜π‘™) ≀ π‘₯))
73 fveq2 6843 . . . . . . . 8 (𝑖 = π‘˜ β†’ (β„€β‰₯β€˜π‘–) = (β„€β‰₯β€˜π‘˜))
7473raleqdv 3312 . . . . . . 7 (𝑖 = π‘˜ β†’ (βˆ€π‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)-𝑒(πΉβ€˜π‘™) ≀ π‘₯ ↔ βˆ€π‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)-𝑒(πΉβ€˜π‘™) ≀ π‘₯))
7510nfxneg 43782 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑗-𝑒(πΉβ€˜π‘™)
76 nfcv 2904 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑗π‘₯
7775, 7, 76nfbr 5153 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑗-𝑒(πΉβ€˜π‘™) ≀ π‘₯
78 nfv 1918 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑙-𝑒(πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯
79 fveq2 6843 . . . . . . . . . 10 (𝑙 = 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘™) = (πΉβ€˜π‘—))
8079xnegeqd 43758 . . . . . . . . 9 (𝑙 = 𝑗 β†’ -𝑒(πΉβ€˜π‘™) = -𝑒(πΉβ€˜π‘—))
8180breq1d 5116 . . . . . . . 8 (𝑙 = 𝑗 β†’ (-𝑒(πΉβ€˜π‘™) ≀ π‘₯ ↔ -𝑒(πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯))
8277, 78, 81cbvralw 3288 . . . . . . 7 (βˆ€π‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)-𝑒(πΉβ€˜π‘™) ≀ π‘₯ ↔ βˆ€π‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)-𝑒(πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯)
8374, 82bitrdi 287 . . . . . 6 (𝑖 = π‘˜ β†’ (βˆ€π‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)-𝑒(πΉβ€˜π‘™) ≀ π‘₯ ↔ βˆ€π‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)-𝑒(πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯))
8483cbvrexvw 3225 . . . . 5 (βˆƒπ‘– ∈ 𝑍 βˆ€π‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)-𝑒(πΉβ€˜π‘™) ≀ π‘₯ ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝑍 βˆ€π‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)-𝑒(πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯)
8572, 84bitrdi 287 . . . 4 (𝑀 = π‘₯ β†’ (βˆƒπ‘– ∈ 𝑍 βˆ€π‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)-𝑒(πΉβ€˜π‘™) ≀ 𝑀 ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝑍 βˆ€π‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)-𝑒(πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯))
8685cbvralvw 3224 . . 3 (βˆ€π‘€ ∈ ℝ βˆƒπ‘– ∈ 𝑍 βˆ€π‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)-𝑒(πΉβ€˜π‘™) ≀ 𝑀 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝑍 βˆ€π‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)-𝑒(πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯)
8786a1i 11 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘€ ∈ ℝ βˆƒπ‘– ∈ 𝑍 βˆ€π‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)-𝑒(πΉβ€˜π‘™) ≀ 𝑀 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝑍 βˆ€π‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)-𝑒(πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯))
8819, 70, 873bitrd 305 1 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝑍 βˆ€π‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝑍 βˆ€π‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)-𝑒(πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  β„²wnfc 2884  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070   class class class wbr 5106  βŸΆwf 6493  β€˜cfv 6497  β„cr 11055  β„*cxr 11193   ≀ cle 11195  β„€β‰₯cuz 12768  -𝑒cxne 13035
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-z 12505  df-uz 12769  df-xneg 13038
This theorem is referenced by:  liminfpnfuz  44143  xlimpnfxnegmnf2  44185
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