Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xlimpnfxnegmnf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xlimpnfxnegmnf 45125
Description: A sequence converges to +∞ if and only if its negation converges to -∞. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Apr-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
xlimpnfxnegmnf.1 Ⅎ𝑗𝐹
xlimpnfxnegmnf.2 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
xlimpnfxnegmnf.3 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆβ„*)
Assertion
Ref Expression
xlimpnfxnegmnf (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝑍 βˆ€π‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝑍 βˆ€π‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)-𝑒(πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯))
Distinct variable groups:   π‘˜,𝐹,π‘₯   π‘˜,𝑍,π‘₯   𝑗,π‘˜,π‘₯
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯,𝑗,π‘˜)   𝐹(𝑗)   𝑀(π‘₯,𝑗,π‘˜)   𝑍(𝑗)

Proof of Theorem xlimpnfxnegmnf
Dummy variables 𝑖 𝑙 𝑀 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq1 5145 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—) ↔ 𝑦 ≀ (πΉβ€˜π‘—)))
21rexralbidv 3215 . . . . 5 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (βˆƒπ‘˜ ∈ 𝑍 βˆ€π‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—) ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝑍 βˆ€π‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)𝑦 ≀ (πΉβ€˜π‘—)))
3 fveq2 6891 . . . . . . . 8 (π‘˜ = 𝑖 β†’ (β„€β‰₯β€˜π‘˜) = (β„€β‰₯β€˜π‘–))
43raleqdv 3320 . . . . . . 7 (π‘˜ = 𝑖 β†’ (βˆ€π‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)𝑦 ≀ (πΉβ€˜π‘—) ↔ βˆ€π‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)𝑦 ≀ (πΉβ€˜π‘—)))
5 nfv 1910 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑙 𝑦 ≀ (πΉβ€˜π‘—)
6 nfcv 2898 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑗𝑦
7 nfcv 2898 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑗 ≀
8 xlimpnfxnegmnf.1 . . . . . . . . . 10 Ⅎ𝑗𝐹
9 nfcv 2898 . . . . . . . . . 10 Ⅎ𝑗𝑙
108, 9nffv 6901 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑗(πΉβ€˜π‘™)
116, 7, 10nfbr 5189 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑗 𝑦 ≀ (πΉβ€˜π‘™)
12 fveq2 6891 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 𝑙 β†’ (πΉβ€˜π‘—) = (πΉβ€˜π‘™))
1312breq2d 5154 . . . . . . . 8 (𝑗 = 𝑙 β†’ (𝑦 ≀ (πΉβ€˜π‘—) ↔ 𝑦 ≀ (πΉβ€˜π‘™)))
145, 11, 13cbvralw 3298 . . . . . . 7 (βˆ€π‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)𝑦 ≀ (πΉβ€˜π‘—) ↔ βˆ€π‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)𝑦 ≀ (πΉβ€˜π‘™))
154, 14bitrdi 287 . . . . . 6 (π‘˜ = 𝑖 β†’ (βˆ€π‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)𝑦 ≀ (πΉβ€˜π‘—) ↔ βˆ€π‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)𝑦 ≀ (πΉβ€˜π‘™)))
1615cbvrexvw 3230 . . . . 5 (βˆƒπ‘˜ ∈ 𝑍 βˆ€π‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)𝑦 ≀ (πΉβ€˜π‘—) ↔ βˆƒπ‘– ∈ 𝑍 βˆ€π‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)𝑦 ≀ (πΉβ€˜π‘™))
172, 16bitrdi 287 . . . 4 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (βˆƒπ‘˜ ∈ 𝑍 βˆ€π‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—) ↔ βˆƒπ‘– ∈ 𝑍 βˆ€π‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)𝑦 ≀ (πΉβ€˜π‘™)))
1817cbvralvw 3229 . . 3 (βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝑍 βˆ€π‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ βˆƒπ‘– ∈ 𝑍 βˆ€π‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)𝑦 ≀ (πΉβ€˜π‘™))
1918a1i 11 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝑍 βˆ€π‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ βˆƒπ‘– ∈ 𝑍 βˆ€π‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)𝑦 ≀ (πΉβ€˜π‘™)))
20 simpll 766 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ βˆƒπ‘– ∈ 𝑍 βˆ€π‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)𝑦 ≀ (πΉβ€˜π‘™)) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) β†’ πœ‘)
21 simpr 484 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ βˆƒπ‘– ∈ 𝑍 βˆ€π‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)𝑦 ≀ (πΉβ€˜π‘™)) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
22 xnegrecl 44743 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℝ β†’ -𝑒𝑀 ∈ ℝ)
23 simpl 482 . . . . . . 7 ((βˆ€π‘¦ ∈ ℝ βˆƒπ‘– ∈ 𝑍 βˆ€π‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)𝑦 ≀ (πΉβ€˜π‘™) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ βˆƒπ‘– ∈ 𝑍 βˆ€π‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)𝑦 ≀ (πΉβ€˜π‘™))
24 breq1 5145 . . . . . . . . 9 (𝑦 = -𝑒𝑀 β†’ (𝑦 ≀ (πΉβ€˜π‘™) ↔ -𝑒𝑀 ≀ (πΉβ€˜π‘™)))
2524rexralbidv 3215 . . . . . . . 8 (𝑦 = -𝑒𝑀 β†’ (βˆƒπ‘– ∈ 𝑍 βˆ€π‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)𝑦 ≀ (πΉβ€˜π‘™) ↔ βˆƒπ‘– ∈ 𝑍 βˆ€π‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)-𝑒𝑀 ≀ (πΉβ€˜π‘™)))
2625rspcva 3605 . . . . . . 7 ((-𝑒𝑀 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ βˆƒπ‘– ∈ 𝑍 βˆ€π‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)𝑦 ≀ (πΉβ€˜π‘™)) β†’ βˆƒπ‘– ∈ 𝑍 βˆ€π‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)-𝑒𝑀 ≀ (πΉβ€˜π‘™))
2722, 23, 26syl2an2 685 . . . . . 6 ((βˆ€π‘¦ ∈ ℝ βˆƒπ‘– ∈ 𝑍 βˆ€π‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)𝑦 ≀ (πΉβ€˜π‘™) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) β†’ βˆƒπ‘– ∈ 𝑍 βˆ€π‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)-𝑒𝑀 ≀ (πΉβ€˜π‘™))
2827adantll 713 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ βˆƒπ‘– ∈ 𝑍 βˆ€π‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)𝑦 ≀ (πΉβ€˜π‘™)) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) β†’ βˆƒπ‘– ∈ 𝑍 βˆ€π‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)-𝑒𝑀 ≀ (πΉβ€˜π‘™))
29 simpll 766 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ 𝑙 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)) β†’ (πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ ℝ))
30 xlimpnfxnegmnf.2 . . . . . . . . . . 11 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
3130uztrn2 12863 . . . . . . . . . 10 ((𝑖 ∈ 𝑍 ∧ 𝑙 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)) β†’ 𝑙 ∈ 𝑍)
3231adantll 713 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ 𝑙 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)) β†’ 𝑙 ∈ 𝑍)
33 rexr 11282 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ ℝ β†’ 𝑀 ∈ ℝ*)
3433ad2antlr 726 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ 𝑙 ∈ 𝑍) β†’ 𝑀 ∈ ℝ*)
35 xlimpnfxnegmnf.3 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆβ„*)
3635ffvelcdmda 7088 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘™) ∈ ℝ*)
3736adantlr 714 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ 𝑙 ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘™) ∈ ℝ*)
38 xlenegcon1 44792 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℝ* ∧ (πΉβ€˜π‘™) ∈ ℝ*) β†’ (-𝑒𝑀 ≀ (πΉβ€˜π‘™) ↔ -𝑒(πΉβ€˜π‘™) ≀ 𝑀))
3934, 37, 38syl2anc 583 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ 𝑙 ∈ 𝑍) β†’ (-𝑒𝑀 ≀ (πΉβ€˜π‘™) ↔ -𝑒(πΉβ€˜π‘™) ≀ 𝑀))
4039biimpd 228 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ 𝑙 ∈ 𝑍) β†’ (-𝑒𝑀 ≀ (πΉβ€˜π‘™) β†’ -𝑒(πΉβ€˜π‘™) ≀ 𝑀))
4129, 32, 40syl2anc 583 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ 𝑙 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)) β†’ (-𝑒𝑀 ≀ (πΉβ€˜π‘™) β†’ -𝑒(πΉβ€˜π‘™) ≀ 𝑀))
4241ralimdva 3162 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) β†’ (βˆ€π‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)-𝑒𝑀 ≀ (πΉβ€˜π‘™) β†’ βˆ€π‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)-𝑒(πΉβ€˜π‘™) ≀ 𝑀))
4342reximdva 3163 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) β†’ (βˆƒπ‘– ∈ 𝑍 βˆ€π‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)-𝑒𝑀 ≀ (πΉβ€˜π‘™) β†’ βˆƒπ‘– ∈ 𝑍 βˆ€π‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)-𝑒(πΉβ€˜π‘™) ≀ 𝑀))
4443imp 406 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ βˆƒπ‘– ∈ 𝑍 βˆ€π‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)-𝑒𝑀 ≀ (πΉβ€˜π‘™)) β†’ βˆƒπ‘– ∈ 𝑍 βˆ€π‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)-𝑒(πΉβ€˜π‘™) ≀ 𝑀)
4520, 21, 28, 44syl21anc 837 . . . 4 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ βˆƒπ‘– ∈ 𝑍 βˆ€π‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)𝑦 ≀ (πΉβ€˜π‘™)) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) β†’ βˆƒπ‘– ∈ 𝑍 βˆ€π‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)-𝑒(πΉβ€˜π‘™) ≀ 𝑀)
4645ralrimiva 3141 . . 3 ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ βˆƒπ‘– ∈ 𝑍 βˆ€π‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)𝑦 ≀ (πΉβ€˜π‘™)) β†’ βˆ€π‘€ ∈ ℝ βˆƒπ‘– ∈ 𝑍 βˆ€π‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)-𝑒(πΉβ€˜π‘™) ≀ 𝑀)
47 simpll 766 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘€ ∈ ℝ βˆƒπ‘– ∈ 𝑍 βˆ€π‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)-𝑒(πΉβ€˜π‘™) ≀ 𝑀) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ πœ‘)
48 simpr 484 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘€ ∈ ℝ βˆƒπ‘– ∈ 𝑍 βˆ€π‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)-𝑒(πΉβ€˜π‘™) ≀ 𝑀) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
49 xnegrecl 44743 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℝ β†’ -𝑒𝑦 ∈ ℝ)
50 simpl 482 . . . . . . 7 ((βˆ€π‘€ ∈ ℝ βˆƒπ‘– ∈ 𝑍 βˆ€π‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)-𝑒(πΉβ€˜π‘™) ≀ 𝑀 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ βˆ€π‘€ ∈ ℝ βˆƒπ‘– ∈ 𝑍 βˆ€π‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)-𝑒(πΉβ€˜π‘™) ≀ 𝑀)
51 breq2 5146 . . . . . . . . 9 (𝑀 = -𝑒𝑦 β†’ (-𝑒(πΉβ€˜π‘™) ≀ 𝑀 ↔ -𝑒(πΉβ€˜π‘™) ≀ -𝑒𝑦))
5251rexralbidv 3215 . . . . . . . 8 (𝑀 = -𝑒𝑦 β†’ (βˆƒπ‘– ∈ 𝑍 βˆ€π‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)-𝑒(πΉβ€˜π‘™) ≀ 𝑀 ↔ βˆƒπ‘– ∈ 𝑍 βˆ€π‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)-𝑒(πΉβ€˜π‘™) ≀ -𝑒𝑦))
5352rspcva 3605 . . . . . . 7 ((-𝑒𝑦 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘€ ∈ ℝ βˆƒπ‘– ∈ 𝑍 βˆ€π‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)-𝑒(πΉβ€˜π‘™) ≀ 𝑀) β†’ βˆƒπ‘– ∈ 𝑍 βˆ€π‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)-𝑒(πΉβ€˜π‘™) ≀ -𝑒𝑦)
5449, 50, 53syl2an2 685 . . . . . 6 ((βˆ€π‘€ ∈ ℝ βˆƒπ‘– ∈ 𝑍 βˆ€π‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)-𝑒(πΉβ€˜π‘™) ≀ 𝑀 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ βˆƒπ‘– ∈ 𝑍 βˆ€π‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)-𝑒(πΉβ€˜π‘™) ≀ -𝑒𝑦)
5554adantll 713 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘€ ∈ ℝ βˆƒπ‘– ∈ 𝑍 βˆ€π‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)-𝑒(πΉβ€˜π‘™) ≀ 𝑀) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ βˆƒπ‘– ∈ 𝑍 βˆ€π‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)-𝑒(πΉβ€˜π‘™) ≀ -𝑒𝑦)
56 simpll 766 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ 𝑙 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)) β†’ (πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ))
5731adantll 713 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ 𝑙 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)) β†’ 𝑙 ∈ 𝑍)
58 rexr 11282 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℝ β†’ 𝑦 ∈ ℝ*)
5958ad2antlr 726 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑙 ∈ 𝑍) β†’ 𝑦 ∈ ℝ*)
6036adantlr 714 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑙 ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘™) ∈ ℝ*)
61 xleneg 13221 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ ℝ* ∧ (πΉβ€˜π‘™) ∈ ℝ*) β†’ (𝑦 ≀ (πΉβ€˜π‘™) ↔ -𝑒(πΉβ€˜π‘™) ≀ -𝑒𝑦))
6259, 60, 61syl2anc 583 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑙 ∈ 𝑍) β†’ (𝑦 ≀ (πΉβ€˜π‘™) ↔ -𝑒(πΉβ€˜π‘™) ≀ -𝑒𝑦))
6362biimprd 247 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑙 ∈ 𝑍) β†’ (-𝑒(πΉβ€˜π‘™) ≀ -𝑒𝑦 β†’ 𝑦 ≀ (πΉβ€˜π‘™)))
6456, 57, 63syl2anc 583 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ 𝑙 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)) β†’ (-𝑒(πΉβ€˜π‘™) ≀ -𝑒𝑦 β†’ 𝑦 ≀ (πΉβ€˜π‘™)))
6564ralimdva 3162 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) β†’ (βˆ€π‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)-𝑒(πΉβ€˜π‘™) ≀ -𝑒𝑦 β†’ βˆ€π‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)𝑦 ≀ (πΉβ€˜π‘™)))
6665reximdva 3163 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (βˆƒπ‘– ∈ 𝑍 βˆ€π‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)-𝑒(πΉβ€˜π‘™) ≀ -𝑒𝑦 β†’ βˆƒπ‘– ∈ 𝑍 βˆ€π‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)𝑦 ≀ (πΉβ€˜π‘™)))
6766imp 406 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ βˆƒπ‘– ∈ 𝑍 βˆ€π‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)-𝑒(πΉβ€˜π‘™) ≀ -𝑒𝑦) β†’ βˆƒπ‘– ∈ 𝑍 βˆ€π‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)𝑦 ≀ (πΉβ€˜π‘™))
6847, 48, 55, 67syl21anc 837 . . . 4 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘€ ∈ ℝ βˆƒπ‘– ∈ 𝑍 βˆ€π‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)-𝑒(πΉβ€˜π‘™) ≀ 𝑀) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ βˆƒπ‘– ∈ 𝑍 βˆ€π‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)𝑦 ≀ (πΉβ€˜π‘™))
6968ralrimiva 3141 . . 3 ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘€ ∈ ℝ βˆƒπ‘– ∈ 𝑍 βˆ€π‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)-𝑒(πΉβ€˜π‘™) ≀ 𝑀) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ βˆƒπ‘– ∈ 𝑍 βˆ€π‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)𝑦 ≀ (πΉβ€˜π‘™))
7046, 69impbida 800 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ ℝ βˆƒπ‘– ∈ 𝑍 βˆ€π‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)𝑦 ≀ (πΉβ€˜π‘™) ↔ βˆ€π‘€ ∈ ℝ βˆƒπ‘– ∈ 𝑍 βˆ€π‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)-𝑒(πΉβ€˜π‘™) ≀ 𝑀))
71 breq2 5146 . . . . . 6 (𝑀 = π‘₯ β†’ (-𝑒(πΉβ€˜π‘™) ≀ 𝑀 ↔ -𝑒(πΉβ€˜π‘™) ≀ π‘₯))
7271rexralbidv 3215 . . . . 5 (𝑀 = π‘₯ β†’ (βˆƒπ‘– ∈ 𝑍 βˆ€π‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)-𝑒(πΉβ€˜π‘™) ≀ 𝑀 ↔ βˆƒπ‘– ∈ 𝑍 βˆ€π‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)-𝑒(πΉβ€˜π‘™) ≀ π‘₯))
73 fveq2 6891 . . . . . . . 8 (𝑖 = π‘˜ β†’ (β„€β‰₯β€˜π‘–) = (β„€β‰₯β€˜π‘˜))
7473raleqdv 3320 . . . . . . 7 (𝑖 = π‘˜ β†’ (βˆ€π‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)-𝑒(πΉβ€˜π‘™) ≀ π‘₯ ↔ βˆ€π‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)-𝑒(πΉβ€˜π‘™) ≀ π‘₯))
7510nfxneg 44766 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑗-𝑒(πΉβ€˜π‘™)
76 nfcv 2898 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑗π‘₯
7775, 7, 76nfbr 5189 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑗-𝑒(πΉβ€˜π‘™) ≀ π‘₯
78 nfv 1910 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑙-𝑒(πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯
79 fveq2 6891 . . . . . . . . . 10 (𝑙 = 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘™) = (πΉβ€˜π‘—))
8079xnegeqd 44742 . . . . . . . . 9 (𝑙 = 𝑗 β†’ -𝑒(πΉβ€˜π‘™) = -𝑒(πΉβ€˜π‘—))
8180breq1d 5152 . . . . . . . 8 (𝑙 = 𝑗 β†’ (-𝑒(πΉβ€˜π‘™) ≀ π‘₯ ↔ -𝑒(πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯))
8277, 78, 81cbvralw 3298 . . . . . . 7 (βˆ€π‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)-𝑒(πΉβ€˜π‘™) ≀ π‘₯ ↔ βˆ€π‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)-𝑒(πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯)
8374, 82bitrdi 287 . . . . . 6 (𝑖 = π‘˜ β†’ (βˆ€π‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)-𝑒(πΉβ€˜π‘™) ≀ π‘₯ ↔ βˆ€π‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)-𝑒(πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯))
8483cbvrexvw 3230 . . . . 5 (βˆƒπ‘– ∈ 𝑍 βˆ€π‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)-𝑒(πΉβ€˜π‘™) ≀ π‘₯ ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝑍 βˆ€π‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)-𝑒(πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯)
8572, 84bitrdi 287 . . . 4 (𝑀 = π‘₯ β†’ (βˆƒπ‘– ∈ 𝑍 βˆ€π‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)-𝑒(πΉβ€˜π‘™) ≀ 𝑀 ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝑍 βˆ€π‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)-𝑒(πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯))
8685cbvralvw 3229 . . 3 (βˆ€π‘€ ∈ ℝ βˆƒπ‘– ∈ 𝑍 βˆ€π‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)-𝑒(πΉβ€˜π‘™) ≀ 𝑀 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝑍 βˆ€π‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)-𝑒(πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯)
8786a1i 11 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘€ ∈ ℝ βˆƒπ‘– ∈ 𝑍 βˆ€π‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘–)-𝑒(πΉβ€˜π‘™) ≀ 𝑀 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝑍 βˆ€π‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)-𝑒(πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯))
8819, 70, 873bitrd 305 1 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝑍 βˆ€π‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝑍 βˆ€π‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)-𝑒(πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  β„²wnfc 2878  βˆ€wral 3056  βˆƒwrex 3065   class class class wbr 5142  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  β„cr 11129  β„*cxr 11269   ≀ cle 11271  β„€β‰₯cuz 12844  -𝑒cxne 13113
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-id 5570  df-po 5584  df-so 5585  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-er 8718  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-z 12581  df-uz 12845  df-xneg 13116
This theorem is referenced by:  liminfpnfuz  45127  xlimpnfxnegmnf2  45169
  Copyright terms: Public domain W3C validator