Theorem xlimpnfxnegmnf 46627

Description: A sequence converges to +∞ if and only if its negation converges to -∞. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Apr-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
xlimpnfxnegmnf.1	⊢ Ⅎ𝑗𝐹
xlimpnfxnegmnf.2	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
xlimpnfxnegmnf.3	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)

Assertion

Ref	Expression
xlimpnfxnegmnf	⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)-𝑒(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥))

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹,𝑥   𝑘,𝑍,𝑥   𝑗,𝑘,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥, 𝑗, 𝑘)   𝐹(𝑗)   𝑀(𝑥, 𝑗, 𝑘)   𝑍(𝑗)

Proof of Theorem xlimpnfxnegmnf

Dummy variables 𝑖 𝑙 𝑤 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 5110	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗) ↔ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑗)))
2	1	rexralbidv 3230	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗) ↔ ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)𝑦 ≤ (𝐹‘𝑗)))
3		fveq2 6882	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (ℤ≥‘𝑘) = (ℤ≥‘𝑖))
4	3	raleqdv 3321	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)𝑦 ≤ (𝐹‘𝑗) ↔ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝑦 ≤ (𝐹‘𝑗)))
5		nfv 1947	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑙 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑗)
6		nfcv 2924	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑗𝑦
7		nfcv 2924	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑗 ≤
8		xlimpnfxnegmnf.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑗𝐹
9		nfcv 2924	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑗𝑙
10	8, 9	nffv 6892	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑗(𝐹‘𝑙)
11	6, 7, 10	nfbr 5156	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑗 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑙)
12		fveq2 6882	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = 𝑙 → (𝐹‘𝑗) = (𝐹‘𝑙))
13	12	breq2d 5119	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = 𝑙 → (𝑦 ≤ (𝐹‘𝑗) ↔ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑙)))
14	5, 11, 13	cbvralw 3306	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝑦 ≤ (𝐹‘𝑗) ↔ ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝑦 ≤ (𝐹‘𝑙))
15	4, 14	bitrdi 290	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)𝑦 ≤ (𝐹‘𝑗) ↔ ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝑦 ≤ (𝐹‘𝑙)))
16	15	cbvrexvw 3243	. . . . 5 ⊢ (∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)𝑦 ≤ (𝐹‘𝑗) ↔ ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝑦 ≤ (𝐹‘𝑙))
17	2, 16	bitrdi 290	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗) ↔ ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝑦 ≤ (𝐹‘𝑙)))
18	17	cbvralvw 3242	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗) ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝑦 ≤ (𝐹‘𝑙))
19	18	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗) ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝑦 ≤ (𝐹‘𝑙)))
20		simpll 779	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝑦 ≤ (𝐹‘𝑙)) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → 𝜑)
21		simpr 490	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝑦 ≤ (𝐹‘𝑙)) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → 𝑤 ∈ ℝ)
22		xnegrecl 46251	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 ∈ ℝ → -𝑒𝑤 ∈ ℝ)
23		simpl 488	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝑦 ≤ (𝐹‘𝑙) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → ∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝑦 ≤ (𝐹‘𝑙))
24		breq1 5110	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = -𝑒𝑤 → (𝑦 ≤ (𝐹‘𝑙) ↔ -𝑒𝑤 ≤ (𝐹‘𝑙)))
25	24	rexralbidv 3230	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = -𝑒𝑤 → (∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝑦 ≤ (𝐹‘𝑙) ↔ ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)-𝑒𝑤 ≤ (𝐹‘𝑙)))
26	25	rspcva 3577	. . . . . . 7 ⊢ ((-𝑒𝑤 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝑦 ≤ (𝐹‘𝑙)) → ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)-𝑒𝑤 ≤ (𝐹‘𝑙))
27	22, 23, 26	syl2an2 699	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝑦 ≤ (𝐹‘𝑙) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)-𝑒𝑤 ≤ (𝐹‘𝑙))
28	27	adantll 727	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝑦 ≤ (𝐹‘𝑙)) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)-𝑒𝑤 ≤ (𝐹‘𝑙))
29		simpll 779	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ 𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)) → (𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ))
30		xlimpnfxnegmnf.2	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
31	30	uztrn2 12907	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑖 ∈ 𝑍 ∧ 𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)) → 𝑙 ∈ 𝑍)
32	31	adantll 727	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ 𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)) → 𝑙 ∈ 𝑍)
33		rexr 11280	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 ∈ ℝ → 𝑤 ∈ ℝ*)
34	33	ad2antlr 740	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑙 ∈ 𝑍) → 𝑤 ∈ ℝ*)
35		xlimpnfxnegmnf.3	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)
36	35	ffvelcdmda 7080	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑙) ∈ ℝ*)
37	36	adantlr 728	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑙 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑙) ∈ ℝ*)
38		xlenegcon1 46299	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ* ∧ (𝐹‘𝑙) ∈ ℝ*) → (-𝑒𝑤 ≤ (𝐹‘𝑙) ↔ -𝑒(𝐹‘𝑙) ≤ 𝑤))
39	34, 37, 38	syl2anc 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑙 ∈ 𝑍) → (-𝑒𝑤 ≤ (𝐹‘𝑙) ↔ -𝑒(𝐹‘𝑙) ≤ 𝑤))
40	39	biimpd 232	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑙 ∈ 𝑍) → (-𝑒𝑤 ≤ (𝐹‘𝑙) → -𝑒(𝐹‘𝑙) ≤ 𝑤))
41	29, 32, 40	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ 𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)) → (-𝑒𝑤 ≤ (𝐹‘𝑙) → -𝑒(𝐹‘𝑙) ≤ 𝑤))
42	41	ralimdva 3176	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) → (∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)-𝑒𝑤 ≤ (𝐹‘𝑙) → ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)-𝑒(𝐹‘𝑙) ≤ 𝑤))
43	42	reximdva 3177	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → (∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)-𝑒𝑤 ≤ (𝐹‘𝑙) → ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)-𝑒(𝐹‘𝑙) ≤ 𝑤))
44	43	imp 412	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)-𝑒𝑤 ≤ (𝐹‘𝑙)) → ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)-𝑒(𝐹‘𝑙) ≤ 𝑤)
45	20, 21, 28, 44	syl21anc 851	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝑦 ≤ (𝐹‘𝑙)) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)-𝑒(𝐹‘𝑙) ≤ 𝑤)
46	45	ralrimiva 3156	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝑦 ≤ (𝐹‘𝑙)) → ∀𝑤 ∈ ℝ ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)-𝑒(𝐹‘𝑙) ≤ 𝑤)
47		simpll 779	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)-𝑒(𝐹‘𝑙) ≤ 𝑤) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝜑)
48		simpr 490	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)-𝑒(𝐹‘𝑙) ≤ 𝑤) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℝ)
49		xnegrecl 46251	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → -𝑒𝑦 ∈ ℝ)
50		simpl 488	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑤 ∈ ℝ ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)-𝑒(𝐹‘𝑙) ≤ 𝑤 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ∀𝑤 ∈ ℝ ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)-𝑒(𝐹‘𝑙) ≤ 𝑤)
51		breq2 5111	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = -𝑒𝑦 → (-𝑒(𝐹‘𝑙) ≤ 𝑤 ↔ -𝑒(𝐹‘𝑙) ≤ -𝑒𝑦))
52	51	rexralbidv 3230	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = -𝑒𝑦 → (∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)-𝑒(𝐹‘𝑙) ≤ 𝑤 ↔ ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)-𝑒(𝐹‘𝑙) ≤ -𝑒𝑦))
53	52	rspcva 3577	. . . . . . 7 ⊢ ((-𝑒𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)-𝑒(𝐹‘𝑙) ≤ 𝑤) → ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)-𝑒(𝐹‘𝑙) ≤ -𝑒𝑦)
54	49, 50, 53	syl2an2 699	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑤 ∈ ℝ ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)-𝑒(𝐹‘𝑙) ≤ 𝑤 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)-𝑒(𝐹‘𝑙) ≤ -𝑒𝑦)
55	54	adantll 727	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)-𝑒(𝐹‘𝑙) ≤ 𝑤) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)-𝑒(𝐹‘𝑙) ≤ -𝑒𝑦)
56		simpll 779	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ 𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)) → (𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ))
57	31	adantll 727	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ 𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)) → 𝑙 ∈ 𝑍)
58		rexr 11280	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℝ*)
59	58	ad2antlr 740	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑙 ∈ 𝑍) → 𝑦 ∈ ℝ*)
60	36	adantlr 728	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑙 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑙) ∈ ℝ*)
61		xleneg 13270	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ* ∧ (𝐹‘𝑙) ∈ ℝ*) → (𝑦 ≤ (𝐹‘𝑙) ↔ -𝑒(𝐹‘𝑙) ≤ -𝑒𝑦))
62	59, 60, 61	syl2anc 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑙 ∈ 𝑍) → (𝑦 ≤ (𝐹‘𝑙) ↔ -𝑒(𝐹‘𝑙) ≤ -𝑒𝑦))
63	62	biimprd 251	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑙 ∈ 𝑍) → (-𝑒(𝐹‘𝑙) ≤ -𝑒𝑦 → 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑙)))
64	56, 57, 63	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ 𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)) → (-𝑒(𝐹‘𝑙) ≤ -𝑒𝑦 → 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑙)))
65	64	ralimdva 3176	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) → (∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)-𝑒(𝐹‘𝑙) ≤ -𝑒𝑦 → ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝑦 ≤ (𝐹‘𝑙)))
66	65	reximdva 3177	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)-𝑒(𝐹‘𝑙) ≤ -𝑒𝑦 → ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝑦 ≤ (𝐹‘𝑙)))
67	66	imp 412	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)-𝑒(𝐹‘𝑙) ≤ -𝑒𝑦) → ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝑦 ≤ (𝐹‘𝑙))
68	47, 48, 55, 67	syl21anc 851	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)-𝑒(𝐹‘𝑙) ≤ 𝑤) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝑦 ≤ (𝐹‘𝑙))
69	68	ralrimiva 3156	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)-𝑒(𝐹‘𝑙) ≤ 𝑤) → ∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝑦 ≤ (𝐹‘𝑙))
70	46, 69	impbida 813	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝑦 ≤ (𝐹‘𝑙) ↔ ∀𝑤 ∈ ℝ ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)-𝑒(𝐹‘𝑙) ≤ 𝑤))
71		breq2 5111	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → (-𝑒(𝐹‘𝑙) ≤ 𝑤 ↔ -𝑒(𝐹‘𝑙) ≤ 𝑥))
72	71	rexralbidv 3230	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → (∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)-𝑒(𝐹‘𝑙) ≤ 𝑤 ↔ ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)-𝑒(𝐹‘𝑙) ≤ 𝑥))
73		fveq2 6882	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → (ℤ≥‘𝑖) = (ℤ≥‘𝑘))
74	73	raleqdv 3321	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → (∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)-𝑒(𝐹‘𝑙) ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑘)-𝑒(𝐹‘𝑙) ≤ 𝑥))
75	10	nfxneg 46274	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑗-𝑒(𝐹‘𝑙)
76		nfcv 2924	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑗𝑥
77	75, 7, 76	nfbr 5156	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑗-𝑒(𝐹‘𝑙) ≤ 𝑥
78		nfv 1947	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑙-𝑒(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥
79		fveq2 6882	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑙 = 𝑗 → (𝐹‘𝑙) = (𝐹‘𝑗))
80	79	xnegeqd 46250	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑙 = 𝑗 → -𝑒(𝐹‘𝑙) = -𝑒(𝐹‘𝑗))
81	80	breq1d 5117	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑙 = 𝑗 → (-𝑒(𝐹‘𝑙) ≤ 𝑥 ↔ -𝑒(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥))
82	77, 78, 81	cbvralw 3306	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑘)-𝑒(𝐹‘𝑙) ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)-𝑒(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)
83	74, 82	bitrdi 290	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → (∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)-𝑒(𝐹‘𝑙) ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)-𝑒(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥))
84	83	cbvrexvw 3243	. . . . 5 ⊢ (∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)-𝑒(𝐹‘𝑙) ≤ 𝑥 ↔ ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)-𝑒(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)
85	72, 84	bitrdi 290	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → (∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)-𝑒(𝐹‘𝑙) ≤ 𝑤 ↔ ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)-𝑒(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥))
86	85	cbvralvw 3242	. . 3 ⊢ (∀𝑤 ∈ ℝ ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)-𝑒(𝐹‘𝑙) ≤ 𝑤 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)-𝑒(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)
87	86	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑤 ∈ ℝ ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)-𝑒(𝐹‘𝑙) ≤ 𝑤 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)-𝑒(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥))
88	19, 70, 87	3bitrd 308	1 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)-𝑒(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Ⅎwnfc 2909  ∀wral 3078  ∃wrex 3088   class class class wbr 5107  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  ℝcr 11124  ℝ^*cxr 11267   ≤ cle 11269  ℤ_≥cuz 12888  -_𝑒cxne 13160

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11181  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5554  df-po 5567  df-so 5568  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-sub 11468  df-neg 11469  df-z 12617  df-uz 12889  df-xneg 13163

This theorem is used by:  liminfpnfuz  46629  xlimpnfxnegmnf2  46671