Theorem xlimpnfxnegmnf 44516

Description: A sequence converges to +∞ if and only if its negation converges to -∞. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Apr-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
xlimpnfxnegmnf.1	⊢ Ⅎ𝑗𝐹
xlimpnfxnegmnf.2	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
xlimpnfxnegmnf.3	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)

Assertion

Ref	Expression
xlimpnfxnegmnf	⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)-𝑒(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥))

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹,𝑥   𝑘,𝑍,𝑥   𝑗,𝑘,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑗,𝑘)   𝐹(𝑗)   𝑀(𝑥,𝑗,𝑘)   𝑍(𝑗)

Proof of Theorem xlimpnfxnegmnf

Dummy variables 𝑖 𝑙 𝑤 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 5150	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗) ↔ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑗)))
2	1	rexralbidv 3220	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗) ↔ ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)𝑦 ≤ (𝐹‘𝑗)))
3		fveq2 6888	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (ℤ≥‘𝑘) = (ℤ≥‘𝑖))
4	3	raleqdv 3325	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)𝑦 ≤ (𝐹‘𝑗) ↔ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝑦 ≤ (𝐹‘𝑗)))
5		nfv 1917	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑙 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑗)
6		nfcv 2903	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑗𝑦
7		nfcv 2903	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑗 ≤
8		xlimpnfxnegmnf.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑗𝐹
9		nfcv 2903	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑗𝑙
10	8, 9	nffv 6898	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑗(𝐹‘𝑙)
11	6, 7, 10	nfbr 5194	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑗 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑙)
12		fveq2 6888	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = 𝑙 → (𝐹‘𝑗) = (𝐹‘𝑙))
13	12	breq2d 5159	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = 𝑙 → (𝑦 ≤ (𝐹‘𝑗) ↔ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑙)))
14	5, 11, 13	cbvralw 3303	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝑦 ≤ (𝐹‘𝑗) ↔ ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝑦 ≤ (𝐹‘𝑙))
15	4, 14	bitrdi 286	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)𝑦 ≤ (𝐹‘𝑗) ↔ ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝑦 ≤ (𝐹‘𝑙)))
16	15	cbvrexvw 3235	. . . . 5 ⊢ (∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)𝑦 ≤ (𝐹‘𝑗) ↔ ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝑦 ≤ (𝐹‘𝑙))
17	2, 16	bitrdi 286	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗) ↔ ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝑦 ≤ (𝐹‘𝑙)))
18	17	cbvralvw 3234	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗) ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝑦 ≤ (𝐹‘𝑙))
19	18	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗) ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝑦 ≤ (𝐹‘𝑙)))
20		simpll 765	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝑦 ≤ (𝐹‘𝑙)) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → 𝜑)
21		simpr 485	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝑦 ≤ (𝐹‘𝑙)) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → 𝑤 ∈ ℝ)
22		xnegrecl 44134	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 ∈ ℝ → -𝑒𝑤 ∈ ℝ)
23		simpl 483	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝑦 ≤ (𝐹‘𝑙) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → ∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝑦 ≤ (𝐹‘𝑙))
24		breq1 5150	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = -𝑒𝑤 → (𝑦 ≤ (𝐹‘𝑙) ↔ -𝑒𝑤 ≤ (𝐹‘𝑙)))
25	24	rexralbidv 3220	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = -𝑒𝑤 → (∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝑦 ≤ (𝐹‘𝑙) ↔ ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)-𝑒𝑤 ≤ (𝐹‘𝑙)))
26	25	rspcva 3610	. . . . . . 7 ⊢ ((-𝑒𝑤 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝑦 ≤ (𝐹‘𝑙)) → ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)-𝑒𝑤 ≤ (𝐹‘𝑙))
27	22, 23, 26	syl2an2 684	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝑦 ≤ (𝐹‘𝑙) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)-𝑒𝑤 ≤ (𝐹‘𝑙))
28	27	adantll 712	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝑦 ≤ (𝐹‘𝑙)) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)-𝑒𝑤 ≤ (𝐹‘𝑙))
29		simpll 765	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ 𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)) → (𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ))
30		xlimpnfxnegmnf.2	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
31	30	uztrn2 12837	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑖 ∈ 𝑍 ∧ 𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)) → 𝑙 ∈ 𝑍)
32	31	adantll 712	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ 𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)) → 𝑙 ∈ 𝑍)
33		rexr 11256	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 ∈ ℝ → 𝑤 ∈ ℝ*)
34	33	ad2antlr 725	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑙 ∈ 𝑍) → 𝑤 ∈ ℝ*)
35		xlimpnfxnegmnf.3	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)
36	35	ffvelcdmda 7083	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑙) ∈ ℝ*)
37	36	adantlr 713	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑙 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑙) ∈ ℝ*)
38		xlenegcon1 44183	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ* ∧ (𝐹‘𝑙) ∈ ℝ*) → (-𝑒𝑤 ≤ (𝐹‘𝑙) ↔ -𝑒(𝐹‘𝑙) ≤ 𝑤))
39	34, 37, 38	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑙 ∈ 𝑍) → (-𝑒𝑤 ≤ (𝐹‘𝑙) ↔ -𝑒(𝐹‘𝑙) ≤ 𝑤))
40	39	biimpd 228	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑙 ∈ 𝑍) → (-𝑒𝑤 ≤ (𝐹‘𝑙) → -𝑒(𝐹‘𝑙) ≤ 𝑤))
41	29, 32, 40	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ 𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)) → (-𝑒𝑤 ≤ (𝐹‘𝑙) → -𝑒(𝐹‘𝑙) ≤ 𝑤))
42	41	ralimdva 3167	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) → (∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)-𝑒𝑤 ≤ (𝐹‘𝑙) → ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)-𝑒(𝐹‘𝑙) ≤ 𝑤))
43	42	reximdva 3168	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → (∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)-𝑒𝑤 ≤ (𝐹‘𝑙) → ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)-𝑒(𝐹‘𝑙) ≤ 𝑤))
44	43	imp 407	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)-𝑒𝑤 ≤ (𝐹‘𝑙)) → ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)-𝑒(𝐹‘𝑙) ≤ 𝑤)
45	20, 21, 28, 44	syl21anc 836	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝑦 ≤ (𝐹‘𝑙)) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)-𝑒(𝐹‘𝑙) ≤ 𝑤)
46	45	ralrimiva 3146	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝑦 ≤ (𝐹‘𝑙)) → ∀𝑤 ∈ ℝ ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)-𝑒(𝐹‘𝑙) ≤ 𝑤)
47		simpll 765	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)-𝑒(𝐹‘𝑙) ≤ 𝑤) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝜑)
48		simpr 485	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)-𝑒(𝐹‘𝑙) ≤ 𝑤) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℝ)
49		xnegrecl 44134	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → -𝑒𝑦 ∈ ℝ)
50		simpl 483	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑤 ∈ ℝ ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)-𝑒(𝐹‘𝑙) ≤ 𝑤 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ∀𝑤 ∈ ℝ ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)-𝑒(𝐹‘𝑙) ≤ 𝑤)
51		breq2 5151	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = -𝑒𝑦 → (-𝑒(𝐹‘𝑙) ≤ 𝑤 ↔ -𝑒(𝐹‘𝑙) ≤ -𝑒𝑦))
52	51	rexralbidv 3220	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = -𝑒𝑦 → (∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)-𝑒(𝐹‘𝑙) ≤ 𝑤 ↔ ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)-𝑒(𝐹‘𝑙) ≤ -𝑒𝑦))
53	52	rspcva 3610	. . . . . . 7 ⊢ ((-𝑒𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)-𝑒(𝐹‘𝑙) ≤ 𝑤) → ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)-𝑒(𝐹‘𝑙) ≤ -𝑒𝑦)
54	49, 50, 53	syl2an2 684	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑤 ∈ ℝ ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)-𝑒(𝐹‘𝑙) ≤ 𝑤 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)-𝑒(𝐹‘𝑙) ≤ -𝑒𝑦)
55	54	adantll 712	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)-𝑒(𝐹‘𝑙) ≤ 𝑤) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)-𝑒(𝐹‘𝑙) ≤ -𝑒𝑦)
56		simpll 765	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ 𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)) → (𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ))
57	31	adantll 712	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ 𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)) → 𝑙 ∈ 𝑍)
58		rexr 11256	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℝ*)
59	58	ad2antlr 725	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑙 ∈ 𝑍) → 𝑦 ∈ ℝ*)
60	36	adantlr 713	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑙 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑙) ∈ ℝ*)
61		xleneg 13193	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ* ∧ (𝐹‘𝑙) ∈ ℝ*) → (𝑦 ≤ (𝐹‘𝑙) ↔ -𝑒(𝐹‘𝑙) ≤ -𝑒𝑦))
62	59, 60, 61	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑙 ∈ 𝑍) → (𝑦 ≤ (𝐹‘𝑙) ↔ -𝑒(𝐹‘𝑙) ≤ -𝑒𝑦))
63	62	biimprd 247	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑙 ∈ 𝑍) → (-𝑒(𝐹‘𝑙) ≤ -𝑒𝑦 → 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑙)))
64	56, 57, 63	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ 𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)) → (-𝑒(𝐹‘𝑙) ≤ -𝑒𝑦 → 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑙)))
65	64	ralimdva 3167	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) → (∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)-𝑒(𝐹‘𝑙) ≤ -𝑒𝑦 → ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝑦 ≤ (𝐹‘𝑙)))
66	65	reximdva 3168	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)-𝑒(𝐹‘𝑙) ≤ -𝑒𝑦 → ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝑦 ≤ (𝐹‘𝑙)))
67	66	imp 407	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)-𝑒(𝐹‘𝑙) ≤ -𝑒𝑦) → ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝑦 ≤ (𝐹‘𝑙))
68	47, 48, 55, 67	syl21anc 836	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)-𝑒(𝐹‘𝑙) ≤ 𝑤) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝑦 ≤ (𝐹‘𝑙))
69	68	ralrimiva 3146	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)-𝑒(𝐹‘𝑙) ≤ 𝑤) → ∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝑦 ≤ (𝐹‘𝑙))
70	46, 69	impbida 799	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝑦 ≤ (𝐹‘𝑙) ↔ ∀𝑤 ∈ ℝ ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)-𝑒(𝐹‘𝑙) ≤ 𝑤))
71		breq2 5151	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → (-𝑒(𝐹‘𝑙) ≤ 𝑤 ↔ -𝑒(𝐹‘𝑙) ≤ 𝑥))
72	71	rexralbidv 3220	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → (∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)-𝑒(𝐹‘𝑙) ≤ 𝑤 ↔ ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)-𝑒(𝐹‘𝑙) ≤ 𝑥))
73		fveq2 6888	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → (ℤ≥‘𝑖) = (ℤ≥‘𝑘))
74	73	raleqdv 3325	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → (∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)-𝑒(𝐹‘𝑙) ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑘)-𝑒(𝐹‘𝑙) ≤ 𝑥))
75	10	nfxneg 44157	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑗-𝑒(𝐹‘𝑙)
76		nfcv 2903	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑗𝑥
77	75, 7, 76	nfbr 5194	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑗-𝑒(𝐹‘𝑙) ≤ 𝑥
78		nfv 1917	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑙-𝑒(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥
79		fveq2 6888	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑙 = 𝑗 → (𝐹‘𝑙) = (𝐹‘𝑗))
80	79	xnegeqd 44133	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑙 = 𝑗 → -𝑒(𝐹‘𝑙) = -𝑒(𝐹‘𝑗))
81	80	breq1d 5157	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑙 = 𝑗 → (-𝑒(𝐹‘𝑙) ≤ 𝑥 ↔ -𝑒(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥))
82	77, 78, 81	cbvralw 3303	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑘)-𝑒(𝐹‘𝑙) ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)-𝑒(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)
83	74, 82	bitrdi 286	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → (∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)-𝑒(𝐹‘𝑙) ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)-𝑒(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥))
84	83	cbvrexvw 3235	. . . . 5 ⊢ (∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)-𝑒(𝐹‘𝑙) ≤ 𝑥 ↔ ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)-𝑒(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)
85	72, 84	bitrdi 286	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → (∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)-𝑒(𝐹‘𝑙) ≤ 𝑤 ↔ ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)-𝑒(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥))
86	85	cbvralvw 3234	. . 3 ⊢ (∀𝑤 ∈ ℝ ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)-𝑒(𝐹‘𝑙) ≤ 𝑤 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)-𝑒(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)
87	86	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑤 ∈ ℝ ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)-𝑒(𝐹‘𝑙) ≤ 𝑤 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)-𝑒(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥))
88	19, 70, 87	3bitrd 304	1 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)-𝑒(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  Ⅎwnfc 2883  ∀wral 3061  ∃wrex 3070   class class class wbr 5147  ⟶wf 6536  ‘cfv 6540  ℝcr 11105  ℝ^*cxr 11243   ≤ cle 11245  ℤ_≥cuz 12818  -_𝑒cxne 13085

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-po 5587  df-so 5588  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-z 12555  df-uz 12819  df-xneg 13088

This theorem is referenced by:  liminfpnfuz  44518  xlimpnfxnegmnf2  44560