Theorem xlimpnfxnegmnf 45911

Description: A sequence converges to +∞ if and only if its negation converges to -∞. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Apr-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
xlimpnfxnegmnf.1	⊢ Ⅎ𝑗𝐹
xlimpnfxnegmnf.2	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
xlimpnfxnegmnf.3	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)

Assertion

Ref	Expression
xlimpnfxnegmnf	⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)-𝑒(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥))

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹,𝑥   𝑘,𝑍,𝑥   𝑗,𝑘,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑗,𝑘)   𝐹(𝑗)   𝑀(𝑥,𝑗,𝑘)   𝑍(𝑗)

Proof of Theorem xlimpnfxnegmnf

Dummy variables 𝑖 𝑙 𝑤 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 5092	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗) ↔ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑗)))
2	1	rexralbidv 3198	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗) ↔ ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)𝑦 ≤ (𝐹‘𝑗)))
3		fveq2 6822	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (ℤ≥‘𝑘) = (ℤ≥‘𝑖))
4	3	raleqdv 3292	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)𝑦 ≤ (𝐹‘𝑗) ↔ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝑦 ≤ (𝐹‘𝑗)))
5		nfv 1915	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑙 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑗)
6		nfcv 2894	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑗𝑦
7		nfcv 2894	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑗 ≤
8		xlimpnfxnegmnf.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑗𝐹
9		nfcv 2894	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑗𝑙
10	8, 9	nffv 6832	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑗(𝐹‘𝑙)
11	6, 7, 10	nfbr 5136	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑗 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑙)
12		fveq2 6822	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = 𝑙 → (𝐹‘𝑗) = (𝐹‘𝑙))
13	12	breq2d 5101	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = 𝑙 → (𝑦 ≤ (𝐹‘𝑗) ↔ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑙)))
14	5, 11, 13	cbvralw 3274	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝑦 ≤ (𝐹‘𝑗) ↔ ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝑦 ≤ (𝐹‘𝑙))
15	4, 14	bitrdi 287	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)𝑦 ≤ (𝐹‘𝑗) ↔ ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝑦 ≤ (𝐹‘𝑙)))
16	15	cbvrexvw 3211	. . . . 5 ⊢ (∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)𝑦 ≤ (𝐹‘𝑗) ↔ ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝑦 ≤ (𝐹‘𝑙))
17	2, 16	bitrdi 287	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗) ↔ ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝑦 ≤ (𝐹‘𝑙)))
18	17	cbvralvw 3210	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗) ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝑦 ≤ (𝐹‘𝑙))
19	18	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗) ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝑦 ≤ (𝐹‘𝑙)))
20		simpll 766	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝑦 ≤ (𝐹‘𝑙)) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → 𝜑)
21		simpr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝑦 ≤ (𝐹‘𝑙)) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → 𝑤 ∈ ℝ)
22		xnegrecl 45535	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 ∈ ℝ → -𝑒𝑤 ∈ ℝ)
23		simpl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝑦 ≤ (𝐹‘𝑙) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → ∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝑦 ≤ (𝐹‘𝑙))
24		breq1 5092	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = -𝑒𝑤 → (𝑦 ≤ (𝐹‘𝑙) ↔ -𝑒𝑤 ≤ (𝐹‘𝑙)))
25	24	rexralbidv 3198	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = -𝑒𝑤 → (∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝑦 ≤ (𝐹‘𝑙) ↔ ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)-𝑒𝑤 ≤ (𝐹‘𝑙)))
26	25	rspcva 3570	. . . . . . 7 ⊢ ((-𝑒𝑤 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝑦 ≤ (𝐹‘𝑙)) → ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)-𝑒𝑤 ≤ (𝐹‘𝑙))
27	22, 23, 26	syl2an2 686	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝑦 ≤ (𝐹‘𝑙) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)-𝑒𝑤 ≤ (𝐹‘𝑙))
28	27	adantll 714	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝑦 ≤ (𝐹‘𝑙)) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)-𝑒𝑤 ≤ (𝐹‘𝑙))
29		simpll 766	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ 𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)) → (𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ))
30		xlimpnfxnegmnf.2	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
31	30	uztrn2 12751	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑖 ∈ 𝑍 ∧ 𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)) → 𝑙 ∈ 𝑍)
32	31	adantll 714	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ 𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)) → 𝑙 ∈ 𝑍)
33		rexr 11158	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 ∈ ℝ → 𝑤 ∈ ℝ*)
34	33	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑙 ∈ 𝑍) → 𝑤 ∈ ℝ*)
35		xlimpnfxnegmnf.3	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)
36	35	ffvelcdmda 7017	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑙) ∈ ℝ*)
37	36	adantlr 715	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑙 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑙) ∈ ℝ*)
38		xlenegcon1 45583	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ* ∧ (𝐹‘𝑙) ∈ ℝ*) → (-𝑒𝑤 ≤ (𝐹‘𝑙) ↔ -𝑒(𝐹‘𝑙) ≤ 𝑤))
39	34, 37, 38	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑙 ∈ 𝑍) → (-𝑒𝑤 ≤ (𝐹‘𝑙) ↔ -𝑒(𝐹‘𝑙) ≤ 𝑤))
40	39	biimpd 229	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑙 ∈ 𝑍) → (-𝑒𝑤 ≤ (𝐹‘𝑙) → -𝑒(𝐹‘𝑙) ≤ 𝑤))
41	29, 32, 40	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ 𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)) → (-𝑒𝑤 ≤ (𝐹‘𝑙) → -𝑒(𝐹‘𝑙) ≤ 𝑤))
42	41	ralimdva 3144	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) → (∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)-𝑒𝑤 ≤ (𝐹‘𝑙) → ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)-𝑒(𝐹‘𝑙) ≤ 𝑤))
43	42	reximdva 3145	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → (∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)-𝑒𝑤 ≤ (𝐹‘𝑙) → ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)-𝑒(𝐹‘𝑙) ≤ 𝑤))
44	43	imp 406	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)-𝑒𝑤 ≤ (𝐹‘𝑙)) → ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)-𝑒(𝐹‘𝑙) ≤ 𝑤)
45	20, 21, 28, 44	syl21anc 837	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝑦 ≤ (𝐹‘𝑙)) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)-𝑒(𝐹‘𝑙) ≤ 𝑤)
46	45	ralrimiva 3124	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝑦 ≤ (𝐹‘𝑙)) → ∀𝑤 ∈ ℝ ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)-𝑒(𝐹‘𝑙) ≤ 𝑤)
47		simpll 766	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)-𝑒(𝐹‘𝑙) ≤ 𝑤) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝜑)
48		simpr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)-𝑒(𝐹‘𝑙) ≤ 𝑤) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℝ)
49		xnegrecl 45535	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → -𝑒𝑦 ∈ ℝ)
50		simpl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑤 ∈ ℝ ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)-𝑒(𝐹‘𝑙) ≤ 𝑤 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ∀𝑤 ∈ ℝ ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)-𝑒(𝐹‘𝑙) ≤ 𝑤)
51		breq2 5093	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = -𝑒𝑦 → (-𝑒(𝐹‘𝑙) ≤ 𝑤 ↔ -𝑒(𝐹‘𝑙) ≤ -𝑒𝑦))
52	51	rexralbidv 3198	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = -𝑒𝑦 → (∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)-𝑒(𝐹‘𝑙) ≤ 𝑤 ↔ ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)-𝑒(𝐹‘𝑙) ≤ -𝑒𝑦))
53	52	rspcva 3570	. . . . . . 7 ⊢ ((-𝑒𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)-𝑒(𝐹‘𝑙) ≤ 𝑤) → ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)-𝑒(𝐹‘𝑙) ≤ -𝑒𝑦)
54	49, 50, 53	syl2an2 686	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑤 ∈ ℝ ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)-𝑒(𝐹‘𝑙) ≤ 𝑤 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)-𝑒(𝐹‘𝑙) ≤ -𝑒𝑦)
55	54	adantll 714	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)-𝑒(𝐹‘𝑙) ≤ 𝑤) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)-𝑒(𝐹‘𝑙) ≤ -𝑒𝑦)
56		simpll 766	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ 𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)) → (𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ))
57	31	adantll 714	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ 𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)) → 𝑙 ∈ 𝑍)
58		rexr 11158	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℝ*)
59	58	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑙 ∈ 𝑍) → 𝑦 ∈ ℝ*)
60	36	adantlr 715	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑙 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑙) ∈ ℝ*)
61		xleneg 13117	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ* ∧ (𝐹‘𝑙) ∈ ℝ*) → (𝑦 ≤ (𝐹‘𝑙) ↔ -𝑒(𝐹‘𝑙) ≤ -𝑒𝑦))
62	59, 60, 61	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑙 ∈ 𝑍) → (𝑦 ≤ (𝐹‘𝑙) ↔ -𝑒(𝐹‘𝑙) ≤ -𝑒𝑦))
63	62	biimprd 248	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑙 ∈ 𝑍) → (-𝑒(𝐹‘𝑙) ≤ -𝑒𝑦 → 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑙)))
64	56, 57, 63	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ 𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)) → (-𝑒(𝐹‘𝑙) ≤ -𝑒𝑦 → 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑙)))
65	64	ralimdva 3144	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) → (∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)-𝑒(𝐹‘𝑙) ≤ -𝑒𝑦 → ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝑦 ≤ (𝐹‘𝑙)))
66	65	reximdva 3145	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)-𝑒(𝐹‘𝑙) ≤ -𝑒𝑦 → ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝑦 ≤ (𝐹‘𝑙)))
67	66	imp 406	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)-𝑒(𝐹‘𝑙) ≤ -𝑒𝑦) → ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝑦 ≤ (𝐹‘𝑙))
68	47, 48, 55, 67	syl21anc 837	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)-𝑒(𝐹‘𝑙) ≤ 𝑤) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝑦 ≤ (𝐹‘𝑙))
69	68	ralrimiva 3124	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)-𝑒(𝐹‘𝑙) ≤ 𝑤) → ∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝑦 ≤ (𝐹‘𝑙))
70	46, 69	impbida 800	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝑦 ≤ (𝐹‘𝑙) ↔ ∀𝑤 ∈ ℝ ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)-𝑒(𝐹‘𝑙) ≤ 𝑤))
71		breq2 5093	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → (-𝑒(𝐹‘𝑙) ≤ 𝑤 ↔ -𝑒(𝐹‘𝑙) ≤ 𝑥))
72	71	rexralbidv 3198	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → (∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)-𝑒(𝐹‘𝑙) ≤ 𝑤 ↔ ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)-𝑒(𝐹‘𝑙) ≤ 𝑥))
73		fveq2 6822	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → (ℤ≥‘𝑖) = (ℤ≥‘𝑘))
74	73	raleqdv 3292	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → (∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)-𝑒(𝐹‘𝑙) ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑘)-𝑒(𝐹‘𝑙) ≤ 𝑥))
75	10	nfxneg 45558	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑗-𝑒(𝐹‘𝑙)
76		nfcv 2894	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑗𝑥
77	75, 7, 76	nfbr 5136	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑗-𝑒(𝐹‘𝑙) ≤ 𝑥
78		nfv 1915	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑙-𝑒(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥
79		fveq2 6822	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑙 = 𝑗 → (𝐹‘𝑙) = (𝐹‘𝑗))
80	79	xnegeqd 45534	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑙 = 𝑗 → -𝑒(𝐹‘𝑙) = -𝑒(𝐹‘𝑗))
81	80	breq1d 5099	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑙 = 𝑗 → (-𝑒(𝐹‘𝑙) ≤ 𝑥 ↔ -𝑒(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥))
82	77, 78, 81	cbvralw 3274	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑘)-𝑒(𝐹‘𝑙) ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)-𝑒(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)
83	74, 82	bitrdi 287	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → (∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)-𝑒(𝐹‘𝑙) ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)-𝑒(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥))
84	83	cbvrexvw 3211	. . . . 5 ⊢ (∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)-𝑒(𝐹‘𝑙) ≤ 𝑥 ↔ ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)-𝑒(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)
85	72, 84	bitrdi 287	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → (∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)-𝑒(𝐹‘𝑙) ≤ 𝑤 ↔ ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)-𝑒(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥))
86	85	cbvralvw 3210	. . 3 ⊢ (∀𝑤 ∈ ℝ ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)-𝑒(𝐹‘𝑙) ≤ 𝑤 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)-𝑒(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)
87	86	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑤 ∈ ℝ ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)-𝑒(𝐹‘𝑙) ≤ 𝑤 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)-𝑒(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥))
88	19, 70, 87	3bitrd 305	1 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)-𝑒(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  Ⅎwnfc 2879  ∀wral 3047  ∃wrex 3056   class class class wbr 5089  ⟶wf 6477  ‘cfv 6481  ℝcr 11005  ℝ^*cxr 11145   ≤ cle 11147  ℤ_≥cuz 12732  -_𝑒cxne 13008

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-id 5509  df-po 5522  df-so 5523  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-z 12469  df-uz 12733  df-xneg 13011

This theorem is referenced by:  liminfpnfuz  45913  xlimpnfxnegmnf2  45955