Theorem xlimpnfxnegmnf 43245

Description: A sequence converges to +∞ if and only if its negation converges to -∞. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Apr-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
xlimpnfxnegmnf.1	⊢ Ⅎ𝑗𝐹
xlimpnfxnegmnf.2	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
xlimpnfxnegmnf.3	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)

Assertion

Ref	Expression
xlimpnfxnegmnf	⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)-𝑒(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥))

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹,𝑥   𝑘,𝑍,𝑥   𝑗,𝑘,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑗,𝑘)   𝐹(𝑗)   𝑀(𝑥,𝑗,𝑘)   𝑍(𝑗)

Proof of Theorem xlimpnfxnegmnf

Dummy variables 𝑖 𝑙 𝑤 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 5073	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗) ↔ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑗)))
2	1	rexralbidv 3229	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗) ↔ ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)𝑦 ≤ (𝐹‘𝑗)))
3		fveq2 6756	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (ℤ≥‘𝑘) = (ℤ≥‘𝑖))
4	3	raleqdv 3339	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)𝑦 ≤ (𝐹‘𝑗) ↔ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝑦 ≤ (𝐹‘𝑗)))
5		nfv 1918	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑙 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑗)
6		nfcv 2906	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑗𝑦
7		nfcv 2906	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑗 ≤
8		xlimpnfxnegmnf.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑗𝐹
9		nfcv 2906	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑗𝑙
10	8, 9	nffv 6766	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑗(𝐹‘𝑙)
11	6, 7, 10	nfbr 5117	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑗 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑙)
12		fveq2 6756	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = 𝑙 → (𝐹‘𝑗) = (𝐹‘𝑙))
13	12	breq2d 5082	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = 𝑙 → (𝑦 ≤ (𝐹‘𝑗) ↔ 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑙)))
14	5, 11, 13	cbvralw 3363	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝑦 ≤ (𝐹‘𝑗) ↔ ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝑦 ≤ (𝐹‘𝑙))
15	4, 14	bitrdi 286	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)𝑦 ≤ (𝐹‘𝑗) ↔ ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝑦 ≤ (𝐹‘𝑙)))
16	15	cbvrexvw 3373	. . . . 5 ⊢ (∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)𝑦 ≤ (𝐹‘𝑗) ↔ ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝑦 ≤ (𝐹‘𝑙))
17	2, 16	bitrdi 286	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗) ↔ ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝑦 ≤ (𝐹‘𝑙)))
18	17	cbvralvw 3372	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗) ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝑦 ≤ (𝐹‘𝑙))
19	18	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗) ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝑦 ≤ (𝐹‘𝑙)))
20		simpll 763	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝑦 ≤ (𝐹‘𝑙)) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → 𝜑)
21		simpr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝑦 ≤ (𝐹‘𝑙)) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → 𝑤 ∈ ℝ)
22		xnegrecl 42868	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 ∈ ℝ → -𝑒𝑤 ∈ ℝ)
23		simpl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝑦 ≤ (𝐹‘𝑙) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → ∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝑦 ≤ (𝐹‘𝑙))
24		breq1 5073	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = -𝑒𝑤 → (𝑦 ≤ (𝐹‘𝑙) ↔ -𝑒𝑤 ≤ (𝐹‘𝑙)))
25	24	rexralbidv 3229	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = -𝑒𝑤 → (∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝑦 ≤ (𝐹‘𝑙) ↔ ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)-𝑒𝑤 ≤ (𝐹‘𝑙)))
26	25	rspcva 3550	. . . . . . 7 ⊢ ((-𝑒𝑤 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝑦 ≤ (𝐹‘𝑙)) → ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)-𝑒𝑤 ≤ (𝐹‘𝑙))
27	22, 23, 26	syl2an2 682	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝑦 ≤ (𝐹‘𝑙) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)-𝑒𝑤 ≤ (𝐹‘𝑙))
28	27	adantll 710	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝑦 ≤ (𝐹‘𝑙)) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)-𝑒𝑤 ≤ (𝐹‘𝑙))
29		simpll 763	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ 𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)) → (𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ))
30		xlimpnfxnegmnf.2	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
31	30	uztrn2 12530	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑖 ∈ 𝑍 ∧ 𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)) → 𝑙 ∈ 𝑍)
32	31	adantll 710	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ 𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)) → 𝑙 ∈ 𝑍)
33		rexr 10952	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 ∈ ℝ → 𝑤 ∈ ℝ*)
34	33	ad2antlr 723	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑙 ∈ 𝑍) → 𝑤 ∈ ℝ*)
35		xlimpnfxnegmnf.3	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)
36	35	ffvelrnda 6943	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑙) ∈ ℝ*)
37	36	adantlr 711	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑙 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑙) ∈ ℝ*)
38		xlenegcon1 42917	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ* ∧ (𝐹‘𝑙) ∈ ℝ*) → (-𝑒𝑤 ≤ (𝐹‘𝑙) ↔ -𝑒(𝐹‘𝑙) ≤ 𝑤))
39	34, 37, 38	syl2anc 583	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑙 ∈ 𝑍) → (-𝑒𝑤 ≤ (𝐹‘𝑙) ↔ -𝑒(𝐹‘𝑙) ≤ 𝑤))
40	39	biimpd 228	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑙 ∈ 𝑍) → (-𝑒𝑤 ≤ (𝐹‘𝑙) → -𝑒(𝐹‘𝑙) ≤ 𝑤))
41	29, 32, 40	syl2anc 583	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ 𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)) → (-𝑒𝑤 ≤ (𝐹‘𝑙) → -𝑒(𝐹‘𝑙) ≤ 𝑤))
42	41	ralimdva 3102	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) → (∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)-𝑒𝑤 ≤ (𝐹‘𝑙) → ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)-𝑒(𝐹‘𝑙) ≤ 𝑤))
43	42	reximdva 3202	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → (∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)-𝑒𝑤 ≤ (𝐹‘𝑙) → ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)-𝑒(𝐹‘𝑙) ≤ 𝑤))
44	43	imp 406	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)-𝑒𝑤 ≤ (𝐹‘𝑙)) → ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)-𝑒(𝐹‘𝑙) ≤ 𝑤)
45	20, 21, 28, 44	syl21anc 834	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝑦 ≤ (𝐹‘𝑙)) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)-𝑒(𝐹‘𝑙) ≤ 𝑤)
46	45	ralrimiva 3107	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝑦 ≤ (𝐹‘𝑙)) → ∀𝑤 ∈ ℝ ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)-𝑒(𝐹‘𝑙) ≤ 𝑤)
47		simpll 763	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)-𝑒(𝐹‘𝑙) ≤ 𝑤) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝜑)
48		simpr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)-𝑒(𝐹‘𝑙) ≤ 𝑤) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℝ)
49		xnegrecl 42868	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → -𝑒𝑦 ∈ ℝ)
50		simpl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑤 ∈ ℝ ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)-𝑒(𝐹‘𝑙) ≤ 𝑤 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ∀𝑤 ∈ ℝ ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)-𝑒(𝐹‘𝑙) ≤ 𝑤)
51		breq2 5074	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = -𝑒𝑦 → (-𝑒(𝐹‘𝑙) ≤ 𝑤 ↔ -𝑒(𝐹‘𝑙) ≤ -𝑒𝑦))
52	51	rexralbidv 3229	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = -𝑒𝑦 → (∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)-𝑒(𝐹‘𝑙) ≤ 𝑤 ↔ ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)-𝑒(𝐹‘𝑙) ≤ -𝑒𝑦))
53	52	rspcva 3550	. . . . . . 7 ⊢ ((-𝑒𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)-𝑒(𝐹‘𝑙) ≤ 𝑤) → ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)-𝑒(𝐹‘𝑙) ≤ -𝑒𝑦)
54	49, 50, 53	syl2an2 682	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑤 ∈ ℝ ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)-𝑒(𝐹‘𝑙) ≤ 𝑤 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)-𝑒(𝐹‘𝑙) ≤ -𝑒𝑦)
55	54	adantll 710	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)-𝑒(𝐹‘𝑙) ≤ 𝑤) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)-𝑒(𝐹‘𝑙) ≤ -𝑒𝑦)
56		simpll 763	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ 𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)) → (𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ))
57	31	adantll 710	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ 𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)) → 𝑙 ∈ 𝑍)
58		rexr 10952	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℝ*)
59	58	ad2antlr 723	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑙 ∈ 𝑍) → 𝑦 ∈ ℝ*)
60	36	adantlr 711	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑙 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑙) ∈ ℝ*)
61		xleneg 12881	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ* ∧ (𝐹‘𝑙) ∈ ℝ*) → (𝑦 ≤ (𝐹‘𝑙) ↔ -𝑒(𝐹‘𝑙) ≤ -𝑒𝑦))
62	59, 60, 61	syl2anc 583	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑙 ∈ 𝑍) → (𝑦 ≤ (𝐹‘𝑙) ↔ -𝑒(𝐹‘𝑙) ≤ -𝑒𝑦))
63	62	biimprd 247	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑙 ∈ 𝑍) → (-𝑒(𝐹‘𝑙) ≤ -𝑒𝑦 → 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑙)))
64	56, 57, 63	syl2anc 583	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ 𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)) → (-𝑒(𝐹‘𝑙) ≤ -𝑒𝑦 → 𝑦 ≤ (𝐹‘𝑙)))
65	64	ralimdva 3102	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) → (∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)-𝑒(𝐹‘𝑙) ≤ -𝑒𝑦 → ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝑦 ≤ (𝐹‘𝑙)))
66	65	reximdva 3202	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)-𝑒(𝐹‘𝑙) ≤ -𝑒𝑦 → ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝑦 ≤ (𝐹‘𝑙)))
67	66	imp 406	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)-𝑒(𝐹‘𝑙) ≤ -𝑒𝑦) → ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝑦 ≤ (𝐹‘𝑙))
68	47, 48, 55, 67	syl21anc 834	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)-𝑒(𝐹‘𝑙) ≤ 𝑤) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝑦 ≤ (𝐹‘𝑙))
69	68	ralrimiva 3107	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)-𝑒(𝐹‘𝑙) ≤ 𝑤) → ∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝑦 ≤ (𝐹‘𝑙))
70	46, 69	impbida 797	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)𝑦 ≤ (𝐹‘𝑙) ↔ ∀𝑤 ∈ ℝ ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)-𝑒(𝐹‘𝑙) ≤ 𝑤))
71		breq2 5074	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → (-𝑒(𝐹‘𝑙) ≤ 𝑤 ↔ -𝑒(𝐹‘𝑙) ≤ 𝑥))
72	71	rexralbidv 3229	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → (∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)-𝑒(𝐹‘𝑙) ≤ 𝑤 ↔ ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)-𝑒(𝐹‘𝑙) ≤ 𝑥))
73		fveq2 6756	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → (ℤ≥‘𝑖) = (ℤ≥‘𝑘))
74	73	raleqdv 3339	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → (∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)-𝑒(𝐹‘𝑙) ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑘)-𝑒(𝐹‘𝑙) ≤ 𝑥))
75	10	nfxneg 42891	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑗-𝑒(𝐹‘𝑙)
76		nfcv 2906	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑗𝑥
77	75, 7, 76	nfbr 5117	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑗-𝑒(𝐹‘𝑙) ≤ 𝑥
78		nfv 1918	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑙-𝑒(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥
79		fveq2 6756	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑙 = 𝑗 → (𝐹‘𝑙) = (𝐹‘𝑗))
80	79	xnegeqd 42867	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑙 = 𝑗 → -𝑒(𝐹‘𝑙) = -𝑒(𝐹‘𝑗))
81	80	breq1d 5080	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑙 = 𝑗 → (-𝑒(𝐹‘𝑙) ≤ 𝑥 ↔ -𝑒(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥))
82	77, 78, 81	cbvralw 3363	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑘)-𝑒(𝐹‘𝑙) ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)-𝑒(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)
83	74, 82	bitrdi 286	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → (∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)-𝑒(𝐹‘𝑙) ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)-𝑒(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥))
84	83	cbvrexvw 3373	. . . . 5 ⊢ (∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)-𝑒(𝐹‘𝑙) ≤ 𝑥 ↔ ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)-𝑒(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)
85	72, 84	bitrdi 286	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → (∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)-𝑒(𝐹‘𝑙) ≤ 𝑤 ↔ ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)-𝑒(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥))
86	85	cbvralvw 3372	. . 3 ⊢ (∀𝑤 ∈ ℝ ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)-𝑒(𝐹‘𝑙) ≤ 𝑤 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)-𝑒(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)
87	86	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑤 ∈ ℝ ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)-𝑒(𝐹‘𝑙) ≤ 𝑤 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)-𝑒(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥))
88	19, 70, 87	3bitrd 304	1 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)-𝑒(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  Ⅎwnfc 2886  ∀wral 3063  ∃wrex 3064   class class class wbr 5070  ⟶wf 6414  ‘cfv 6418  ℝcr 10801  ℝ^*cxr 10939   ≤ cle 10941  ℤ_≥cuz 12511  -_𝑒cxne 12774

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-po 5494  df-so 5495  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-z 12250  df-uz 12512  df-xneg 12777

This theorem is referenced by:  liminfpnfuz  43247  xlimpnfxnegmnf2  43289