Users' Mathboxes Mathbox for BTernaryTau < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cusgracyclt3v Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cusgracyclt3v 35141
Description: A complete simple graph is acyclic if and only if it has fewer than three vertices. (Contributed by BTernaryTau, 20-Oct-2023.)
Hypothesis
Ref Expression
cusgracyclt3v.1 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
cusgracyclt3v (𝐺 ∈ ComplUSGraph → (𝐺 ∈ AcyclicGraph ↔ (♯‘𝑉) < 3))

Proof of Theorem cusgracyclt3v
Dummy variables 𝑓 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isacycgr 35130 . . 3 (𝐺 ∈ ComplUSGraph → (𝐺 ∈ AcyclicGraph ↔ ¬ ∃𝑓𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝𝑓 ≠ ∅)))
2 3nn0 12542 . . . . . . 7 3 ∈ ℕ0
3 cusgracyclt3v.1 . . . . . . . . 9 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
43fvexi 6921 . . . . . . . 8 𝑉 ∈ V
5 hashxnn0 14375 . . . . . . . 8 (𝑉 ∈ V → (♯‘𝑉) ∈ ℕ0*)
64, 5ax-mp 5 . . . . . . 7 (♯‘𝑉) ∈ ℕ0*
7 xnn0lem1lt 13283 . . . . . . 7 ((3 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑉) ∈ ℕ0*) → (3 ≤ (♯‘𝑉) ↔ (3 − 1) < (♯‘𝑉)))
82, 6, 7mp2an 692 . . . . . 6 (3 ≤ (♯‘𝑉) ↔ (3 − 1) < (♯‘𝑉))
9 3re 12344 . . . . . . . 8 3 ∈ ℝ
109rexri 11317 . . . . . . 7 3 ∈ ℝ*
11 xnn0xr 12602 . . . . . . . 8 ((♯‘𝑉) ∈ ℕ0* → (♯‘𝑉) ∈ ℝ*)
126, 11ax-mp 5 . . . . . . 7 (♯‘𝑉) ∈ ℝ*
13 xrlenlt 11324 . . . . . . 7 ((3 ∈ ℝ* ∧ (♯‘𝑉) ∈ ℝ*) → (3 ≤ (♯‘𝑉) ↔ ¬ (♯‘𝑉) < 3))
1410, 12, 13mp2an 692 . . . . . 6 (3 ≤ (♯‘𝑉) ↔ ¬ (♯‘𝑉) < 3)
15 3m1e2 12392 . . . . . . 7 (3 − 1) = 2
1615breq1i 5155 . . . . . 6 ((3 − 1) < (♯‘𝑉) ↔ 2 < (♯‘𝑉))
178, 14, 163bitr3i 301 . . . . 5 (¬ (♯‘𝑉) < 3 ↔ 2 < (♯‘𝑉))
183cusgr3cyclex 35121 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 2 < (♯‘𝑉)) → ∃𝑓𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 3))
19 3ne0 12370 . . . . . . . . . . 11 3 ≠ 0
20 neeq1 3001 . . . . . . . . . . 11 ((♯‘𝑓) = 3 → ((♯‘𝑓) ≠ 0 ↔ 3 ≠ 0))
2119, 20mpbiri 258 . . . . . . . . . 10 ((♯‘𝑓) = 3 → (♯‘𝑓) ≠ 0)
22 hasheq0 14399 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 ∈ V → ((♯‘𝑓) = 0 ↔ 𝑓 = ∅))
2322elv 3483 . . . . . . . . . . 11 ((♯‘𝑓) = 0 ↔ 𝑓 = ∅)
2423necon3bii 2991 . . . . . . . . . 10 ((♯‘𝑓) ≠ 0 ↔ 𝑓 ≠ ∅)
2521, 24sylib 218 . . . . . . . . 9 ((♯‘𝑓) = 3 → 𝑓 ≠ ∅)
2625anim2i 617 . . . . . . . 8 ((𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 3) → (𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝𝑓 ≠ ∅))
27262eximi 1833 . . . . . . 7 (∃𝑓𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 3) → ∃𝑓𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝𝑓 ≠ ∅))
2818, 27syl 17 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 2 < (♯‘𝑉)) → ∃𝑓𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝𝑓 ≠ ∅))
2928ex 412 . . . . 5 (𝐺 ∈ ComplUSGraph → (2 < (♯‘𝑉) → ∃𝑓𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝𝑓 ≠ ∅)))
3017, 29biimtrid 242 . . . 4 (𝐺 ∈ ComplUSGraph → (¬ (♯‘𝑉) < 3 → ∃𝑓𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝𝑓 ≠ ∅)))
3130con1d 145 . . 3 (𝐺 ∈ ComplUSGraph → (¬ ∃𝑓𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝𝑓 ≠ ∅) → (♯‘𝑉) < 3))
321, 31sylbid 240 . 2 (𝐺 ∈ ComplUSGraph → (𝐺 ∈ AcyclicGraph → (♯‘𝑉) < 3))
33 cusgrusgr 29451 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ ComplUSGraph → 𝐺 ∈ USGraph)
343usgrcyclgt2v 35116 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝𝑓 ≠ ∅) → 2 < (♯‘𝑉))
35343expib 1121 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ USGraph → ((𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝𝑓 ≠ ∅) → 2 < (♯‘𝑉)))
3633, 35syl 17 . . . . . 6 (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ((𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝𝑓 ≠ ∅) → 2 < (♯‘𝑉)))
3736, 17imbitrrdi 252 . . . . 5 (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ((𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝𝑓 ≠ ∅) → ¬ (♯‘𝑉) < 3))
3837exlimdvv 1932 . . . 4 (𝐺 ∈ ComplUSGraph → (∃𝑓𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝𝑓 ≠ ∅) → ¬ (♯‘𝑉) < 3))
3938con2d 134 . . 3 (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ((♯‘𝑉) < 3 → ¬ ∃𝑓𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝𝑓 ≠ ∅)))
4039, 1sylibrd 259 . 2 (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ((♯‘𝑉) < 3 → 𝐺 ∈ AcyclicGraph))
4132, 40impbid 212 1 (𝐺 ∈ ComplUSGraph → (𝐺 ∈ AcyclicGraph ↔ (♯‘𝑉) < 3))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wex 1776  wcel 2106  wne 2938  Vcvv 3478  c0 4339   class class class wbr 5148  cfv 6563  (class class class)co 7431  0cc0 11153  1c1 11154  *cxr 11292   < clt 11293  cle 11294  cmin 11490  2c2 12319  3c3 12320  0cn0 12524  0*cxnn0 12597  chash 14366  Vtxcvtx 29028  USGraphcusgr 29181  ComplUSGraphccusgr 29442  Cyclesccycls 29818  AcyclicGraphcacycgr 35127
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-ifp 1063  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-oadd 8509  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-dju 9939  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-n0 12525  df-xnn0 12598  df-z 12612  df-uz 12877  df-xneg 13152  df-xadd 13153  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-hash 14367  df-word 14550  df-concat 14606  df-s1 14631  df-s2 14884  df-s3 14885  df-s4 14886  df-edg 29080  df-uhgr 29090  df-upgr 29114  df-umgr 29115  df-uspgr 29182  df-usgr 29183  df-nbgr 29365  df-uvtx 29418  df-cplgr 29443  df-cusgr 29444  df-wlks 29632  df-trls 29725  df-pths 29749  df-crcts 29819  df-cycls 29820  df-acycgr 35128
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator