Theorem cusgracyclt3v 35997

Description: A complete simple graph is acyclic if and only if it has fewer than three vertices. (Contributed by BTernaryTau, 20-Oct-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
cusgracyclt3v.1	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
cusgracyclt3v	⊢ (𝐺 ∈ ComplUSGraph → (𝐺 ∈ AcyclicGraph ↔ (♯‘𝑉) < 3))

Proof of Theorem cusgracyclt3v

Dummy variables 𝑓 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isacycgr 30756	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ ComplUSGraph → (𝐺 ∈ AcyclicGraph ↔ ¬ ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ 𝑓 ≠ ∅)))
2		3nn0 12627	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℕ0
3		cusgracyclt3v.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
4	3	fvexi 6899	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑉 ∈ V
5		hashxnn0 14486	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑉 ∈ V → (♯‘𝑉) ∈ ℕ0*)
6	4, 5	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (♯‘𝑉) ∈ ℕ0*
7		xnn0lem1lt 13377	. . . . . . 7 ⊢ ((3 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑉) ∈ ℕ0*) → (3 ≤ (♯‘𝑉) ↔ (3 − 1) < (♯‘𝑉)))
8	2, 6, 7	mp2an 705	. . . . . 6 ⊢ (3 ≤ (♯‘𝑉) ↔ (3 − 1) < (♯‘𝑉))
9		3re 12426	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℝ
10	9	rexri 11370	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℝ*
11		xnn0xr 12687	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝑉) ∈ ℕ0* → (♯‘𝑉) ∈ ℝ*)
12	6, 11	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (♯‘𝑉) ∈ ℝ*
13		xrlenlt 11377	. . . . . . 7 ⊢ ((3 ∈ ℝ* ∧ (♯‘𝑉) ∈ ℝ*) → (3 ≤ (♯‘𝑉) ↔ ¬ (♯‘𝑉) < 3))
14	10, 12, 13	mp2an 705	. . . . . 6 ⊢ (3 ≤ (♯‘𝑉) ↔ ¬ (♯‘𝑉) < 3)
15		3m1e2 12473	. . . . . . 7 ⊢ (3 − 1) = 2
16	15	breq1i 5109	. . . . . 6 ⊢ ((3 − 1) < (♯‘𝑉) ↔ 2 < (♯‘𝑉))
17	8, 14, 16	3bitr3i 304	. . . . 5 ⊢ (¬ (♯‘𝑉) < 3 ↔ 2 < (♯‘𝑉))
18	3	cusgr3cyclex 35987	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 2 < (♯‘𝑉)) → ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 3))
19		3ne0 12455	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 3 ≠ 0
20		neeq1 3017	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝑓) = 3 → ((♯‘𝑓) ≠ 0 ↔ 3 ≠ 0))
21	19, 20	mpbiri 261	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝑓) = 3 → (♯‘𝑓) ≠ 0)
22		hasheq0 14510	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓 ∈ V → ((♯‘𝑓) = 0 ↔ 𝑓 = ∅))
23	22	elv 3455	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝑓) = 0 ↔ 𝑓 = ∅)
24	23	necon3bii 3007	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝑓) ≠ 0 ↔ 𝑓 ≠ ∅)
25	21, 24	sylib 221	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝑓) = 3 → 𝑓 ≠ ∅)
26	25	anim2i 629	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 3) → (𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ 𝑓 ≠ ∅))
27	26	2eximi 1868	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 3) → ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ 𝑓 ≠ ∅))
28	18, 27	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 2 < (♯‘𝑉)) → ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ 𝑓 ≠ ∅))
29	28	ex 418	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ ComplUSGraph → (2 < (♯‘𝑉) → ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ 𝑓 ≠ ∅)))
30	17, 29	biimtrid 245	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ ComplUSGraph → (¬ (♯‘𝑉) < 3 → ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ 𝑓 ≠ ∅)))
31	30	con1d 146	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ ComplUSGraph → (¬ ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ 𝑓 ≠ ∅) → (♯‘𝑉) < 3))
32	1, 31	sylbid 243	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ ComplUSGraph → (𝐺 ∈ AcyclicGraph → (♯‘𝑉) < 3))
33		cusgrusgr 30005	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ ComplUSGraph → 𝐺 ∈ USGraph)
34	3	usgrcyclgt2v 35986	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ 𝑓 ≠ ∅) → 2 < (♯‘𝑉))
35	34	3expib 1140	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → ((𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ 𝑓 ≠ ∅) → 2 < (♯‘𝑉)))
36	33, 35	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ((𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ 𝑓 ≠ ∅) → 2 < (♯‘𝑉)))
37	36, 17	imbitrrdi 255	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ((𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ 𝑓 ≠ ∅) → ¬ (♯‘𝑉) < 3))
38	37	exlimdvv 1966	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ ComplUSGraph → (∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ 𝑓 ≠ ∅) → ¬ (♯‘𝑉) < 3))
39	38	con2d 135	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ((♯‘𝑉) < 3 → ¬ ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ 𝑓 ≠ ∅)))
40	39, 1	sylibrd 262	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ((♯‘𝑉) < 3 → 𝐺 ∈ AcyclicGraph))
41	32, 40	impbid 215	1 ⊢ (𝐺 ∈ ComplUSGraph → (𝐺 ∈ AcyclicGraph ↔ (♯‘𝑉) < 3))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569  ∃wex 1811   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  Vcvv 3450  ∅c0 4278   class class class wbr 5102  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  0cc0 11203  1c1 11204  ℝ^*cxr 11345   < clt 11346   ≤ cle 11347   − cmin 11544  2c2 12400  3c3 12401  ℕ₀cn0 12609  ℕ₀^*cxnn0 12682  ♯chash 14477  Vtxcvtx 29579  USGraphcusgr 29735  ComplUSGraphccusgr 29996  Cyclesccycls 30377  AcyclicGraphcacycgr 30753

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11259  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279  ax-pre-mulgt0 11280

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-ifp 1079  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-1o 8479  df-2o 8480  df-oadd 8483  df-er 8720  df-map 8852  df-pm 8853  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-fin 8980  df-dju 9985  df-card 10023  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-sub 11546  df-neg 11547  df-nn 12339  df-2 12408  df-3 12409  df-4 12410  df-n0 12610  df-xnn0 12683  df-z 12697  df-uz 12969  df-xneg 13244  df-xadd 13245  df-fz 13643  df-fzo 13792  df-hash 14478  df-word 14662  df-concat 14719  df-s1 14746  df-s2 15003  df-s3 15004  df-s4 15005  df-edg 29631  df-uhgr 29641  df-upgr 29665  df-umgr 29666  df-uspgr 29736  df-usgr 29737  df-nbgr 29919  df-uvtx 29972  df-cplgr 29997  df-cusgr 29998  df-wlks 30185  df-trls 30280  df-pths 30304  df-crcts 30378  df-cycls 30379  df-acycgr 30754

This theorem is used by: (None)