Mathbox for BTernaryTau < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cusgracyclt3v Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cusgracyclt3v 32288
 Description: A complete simple graph is acyclic if and only if it has fewer than three vertices. (Contributed by BTernaryTau, 20-Oct-2023.)
Hypothesis
Ref Expression
cusgracyclt3v.1 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
cusgracyclt3v (𝐺 ∈ ComplUSGraph → (𝐺 ∈ AcyclicGraph ↔ (♯‘𝑉) < 3))

Proof of Theorem cusgracyclt3v
Dummy variables 𝑓 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isacycgr 32277 . . 3 (𝐺 ∈ ComplUSGraph → (𝐺 ∈ AcyclicGraph ↔ ¬ ∃𝑓𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝𝑓 ≠ ∅)))
2 3nn0 11907 . . . . . . 7 3 ∈ ℕ0
3 cusgracyclt3v.1 . . . . . . . . 9 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
43fvexi 6680 . . . . . . . 8 𝑉 ∈ V
5 hashxnn0 13692 . . . . . . . 8 (𝑉 ∈ V → (♯‘𝑉) ∈ ℕ0*)
64, 5ax-mp 5 . . . . . . 7 (♯‘𝑉) ∈ ℕ0*
7 xnn0lem1lt 12630 . . . . . . 7 ((3 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑉) ∈ ℕ0*) → (3 ≤ (♯‘𝑉) ↔ (3 − 1) < (♯‘𝑉)))
82, 6, 7mp2an 688 . . . . . 6 (3 ≤ (♯‘𝑉) ↔ (3 − 1) < (♯‘𝑉))
9 3re 11709 . . . . . . . 8 3 ∈ ℝ
109rexri 10691 . . . . . . 7 3 ∈ ℝ*
11 xnn0xr 11964 . . . . . . . 8 ((♯‘𝑉) ∈ ℕ0* → (♯‘𝑉) ∈ ℝ*)
126, 11ax-mp 5 . . . . . . 7 (♯‘𝑉) ∈ ℝ*
13 xrlenlt 10698 . . . . . . 7 ((3 ∈ ℝ* ∧ (♯‘𝑉) ∈ ℝ*) → (3 ≤ (♯‘𝑉) ↔ ¬ (♯‘𝑉) < 3))
1410, 12, 13mp2an 688 . . . . . 6 (3 ≤ (♯‘𝑉) ↔ ¬ (♯‘𝑉) < 3)
15 3m1e2 11757 . . . . . . 7 (3 − 1) = 2
1615breq1i 5069 . . . . . 6 ((3 − 1) < (♯‘𝑉) ↔ 2 < (♯‘𝑉))
178, 14, 163bitr3i 302 . . . . 5 (¬ (♯‘𝑉) < 3 ↔ 2 < (♯‘𝑉))
183cusgr3cyclex 32268 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 2 < (♯‘𝑉)) → ∃𝑓𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 3))
19 3ne0 11735 . . . . . . . . . . 11 3 ≠ 0
20 neeq1 3082 . . . . . . . . . . 11 ((♯‘𝑓) = 3 → ((♯‘𝑓) ≠ 0 ↔ 3 ≠ 0))
2119, 20mpbiri 259 . . . . . . . . . 10 ((♯‘𝑓) = 3 → (♯‘𝑓) ≠ 0)
22 hasheq0 13717 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 ∈ V → ((♯‘𝑓) = 0 ↔ 𝑓 = ∅))
2322elv 3504 . . . . . . . . . . 11 ((♯‘𝑓) = 0 ↔ 𝑓 = ∅)
2423necon3bii 3072 . . . . . . . . . 10 ((♯‘𝑓) ≠ 0 ↔ 𝑓 ≠ ∅)
2521, 24sylib 219 . . . . . . . . 9 ((♯‘𝑓) = 3 → 𝑓 ≠ ∅)
2625anim2i 616 . . . . . . . 8 ((𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 3) → (𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝𝑓 ≠ ∅))
27262eximi 1829 . . . . . . 7 (∃𝑓𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 3) → ∃𝑓𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝𝑓 ≠ ∅))
2818, 27syl 17 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 2 < (♯‘𝑉)) → ∃𝑓𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝𝑓 ≠ ∅))
2928ex 413 . . . . 5 (𝐺 ∈ ComplUSGraph → (2 < (♯‘𝑉) → ∃𝑓𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝𝑓 ≠ ∅)))
3017, 29syl5bi 243 . . . 4 (𝐺 ∈ ComplUSGraph → (¬ (♯‘𝑉) < 3 → ∃𝑓𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝𝑓 ≠ ∅)))
3130con1d 147 . . 3 (𝐺 ∈ ComplUSGraph → (¬ ∃𝑓𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝𝑓 ≠ ∅) → (♯‘𝑉) < 3))
321, 31sylbid 241 . 2 (𝐺 ∈ ComplUSGraph → (𝐺 ∈ AcyclicGraph → (♯‘𝑉) < 3))
33 cusgrusgr 27116 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ ComplUSGraph → 𝐺 ∈ USGraph)
343usgrcyclgt2v 32263 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝𝑓 ≠ ∅) → 2 < (♯‘𝑉))
35343expib 1116 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ USGraph → ((𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝𝑓 ≠ ∅) → 2 < (♯‘𝑉)))
3633, 35syl 17 . . . . . 6 (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ((𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝𝑓 ≠ ∅) → 2 < (♯‘𝑉)))
3736, 17syl6ibr 253 . . . . 5 (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ((𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝𝑓 ≠ ∅) → ¬ (♯‘𝑉) < 3))
3837exlimdvv 1928 . . . 4 (𝐺 ∈ ComplUSGraph → (∃𝑓𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝𝑓 ≠ ∅) → ¬ (♯‘𝑉) < 3))
3938con2d 136 . . 3 (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ((♯‘𝑉) < 3 → ¬ ∃𝑓𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝𝑓 ≠ ∅)))
4039, 1sylibrd 260 . 2 (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ((♯‘𝑉) < 3 → 𝐺 ∈ AcyclicGraph))
4132, 40impbid 213 1 (𝐺 ∈ ComplUSGraph → (𝐺 ∈ AcyclicGraph ↔ (♯‘𝑉) < 3))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   = wceq 1530  ∃wex 1773   ∈ wcel 2106   ≠ wne 3020  Vcvv 3499  ∅c0 4294   class class class wbr 5062  ‘cfv 6351  (class class class)co 7151  0cc0 10529  1c1 10530  ℝ*cxr 10666   < clt 10667   ≤ cle 10668   − cmin 10862  2c2 11684  3c3 11685  ℕ0cn0 11889  ℕ0*cxnn0 11959  ♯chash 13683  Vtxcvtx 26696  USGraphcusgr 26849  ComplUSGraphccusgr 27107  Cyclesccycls 27481  AcyclicGraphcacycgr 32274 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2152  ax-12 2167  ax-ext 2796  ax-rep 5186  ax-sep 5199  ax-nul 5206  ax-pow 5262  ax-pr 5325  ax-un 7454  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606 This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-ifp 1057  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-fal 1543  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2615  df-eu 2649  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ne 3021  df-nel 3128  df-ral 3147  df-rex 3148  df-reu 3149  df-rmo 3150  df-rab 3151  df-v 3501  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4564  df-pr 4566  df-tp 4568  df-op 4570  df-uni 4837  df-int 4874  df-iun 4918  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5143  df-tr 5169  df-id 5458  df-eprel 5463  df-po 5472  df-so 5473  df-fr 5512  df-we 5514  df-xp 5559  df-rel 5560  df-cnv 5561  df-co 5562  df-dm 5563  df-rn 5564  df-res 5565  df-ima 5566  df-pred 6145  df-ord 6191  df-on 6192  df-lim 6193  df-suc 6194  df-iota 6311  df-fun 6353  df-fn 6354  df-f 6355  df-f1 6356  df-fo 6357  df-f1o 6358  df-fv 6359  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7572  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-2o 8097  df-oadd 8100  df-er 8282  df-map 8401  df-pm 8402  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-dju 9322  df-card 9360  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-n0 11890  df-xnn0 11960  df-z 11974  df-uz 12236  df-xneg 12500  df-xadd 12501  df-fz 12886  df-fzo 13027  df-hash 13684  df-word 13855  df-concat 13916  df-s1 13943  df-s2 14203  df-s3 14204  df-s4 14205  df-edg 26748  df-uhgr 26758  df-upgr 26782  df-umgr 26783  df-uspgr 26850  df-usgr 26851  df-nbgr 27030  df-uvtx 27083  df-cplgr 27108  df-cusgr 27109  df-wlks 27296  df-trls 27389  df-pths 27412  df-crcts 27482  df-cycls 27483  df-acycgr 32275 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator