Theorem cusgracyclt3v 34689

Description: A complete simple graph is acyclic if and only if it has fewer than three vertices. (Contributed by BTernaryTau, 20-Oct-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
cusgracyclt3v.1	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
cusgracyclt3v	⊢ (𝐺 ∈ ComplUSGraph → (𝐺 ∈ AcyclicGraph ↔ (♯‘𝑉) < 3))

Proof of Theorem cusgracyclt3v

Dummy variables 𝑓 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isacycgr 34678	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ ComplUSGraph → (𝐺 ∈ AcyclicGraph ↔ ¬ ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ 𝑓 ≠ ∅)))
2		3nn0 12506	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℕ0
3		cusgracyclt3v.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
4	3	fvexi 6905	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑉 ∈ V
5		hashxnn0 14316	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑉 ∈ V → (♯‘𝑉) ∈ ℕ0*)
6	4, 5	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (♯‘𝑉) ∈ ℕ0*
7		xnn0lem1lt 13241	. . . . . . 7 ⊢ ((3 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑉) ∈ ℕ0*) → (3 ≤ (♯‘𝑉) ↔ (3 − 1) < (♯‘𝑉)))
8	2, 6, 7	mp2an 691	. . . . . 6 ⊢ (3 ≤ (♯‘𝑉) ↔ (3 − 1) < (♯‘𝑉))
9		3re 12308	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℝ
10	9	rexri 11288	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℝ*
11		xnn0xr 12565	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝑉) ∈ ℕ0* → (♯‘𝑉) ∈ ℝ*)
12	6, 11	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (♯‘𝑉) ∈ ℝ*
13		xrlenlt 11295	. . . . . . 7 ⊢ ((3 ∈ ℝ* ∧ (♯‘𝑉) ∈ ℝ*) → (3 ≤ (♯‘𝑉) ↔ ¬ (♯‘𝑉) < 3))
14	10, 12, 13	mp2an 691	. . . . . 6 ⊢ (3 ≤ (♯‘𝑉) ↔ ¬ (♯‘𝑉) < 3)
15		3m1e2 12356	. . . . . . 7 ⊢ (3 − 1) = 2
16	15	breq1i 5149	. . . . . 6 ⊢ ((3 − 1) < (♯‘𝑉) ↔ 2 < (♯‘𝑉))
17	8, 14, 16	3bitr3i 301	. . . . 5 ⊢ (¬ (♯‘𝑉) < 3 ↔ 2 < (♯‘𝑉))
18	3	cusgr3cyclex 34669	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 2 < (♯‘𝑉)) → ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 3))
19		3ne0 12334	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 3 ≠ 0
20		neeq1 2998	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝑓) = 3 → ((♯‘𝑓) ≠ 0 ↔ 3 ≠ 0))
21	19, 20	mpbiri 258	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝑓) = 3 → (♯‘𝑓) ≠ 0)
22		hasheq0 14340	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓 ∈ V → ((♯‘𝑓) = 0 ↔ 𝑓 = ∅))
23	22	elv 3475	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝑓) = 0 ↔ 𝑓 = ∅)
24	23	necon3bii 2988	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝑓) ≠ 0 ↔ 𝑓 ≠ ∅)
25	21, 24	sylib 217	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝑓) = 3 → 𝑓 ≠ ∅)
26	25	anim2i 616	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 3) → (𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ 𝑓 ≠ ∅))
27	26	2eximi 1831	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 3) → ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ 𝑓 ≠ ∅))
28	18, 27	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 2 < (♯‘𝑉)) → ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ 𝑓 ≠ ∅))
29	28	ex 412	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ ComplUSGraph → (2 < (♯‘𝑉) → ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ 𝑓 ≠ ∅)))
30	17, 29	biimtrid 241	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ ComplUSGraph → (¬ (♯‘𝑉) < 3 → ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ 𝑓 ≠ ∅)))
31	30	con1d 145	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ ComplUSGraph → (¬ ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ 𝑓 ≠ ∅) → (♯‘𝑉) < 3))
32	1, 31	sylbid 239	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ ComplUSGraph → (𝐺 ∈ AcyclicGraph → (♯‘𝑉) < 3))
33		cusgrusgr 29206	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ ComplUSGraph → 𝐺 ∈ USGraph)
34	3	usgrcyclgt2v 34664	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ 𝑓 ≠ ∅) → 2 < (♯‘𝑉))
35	34	3expib 1120	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → ((𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ 𝑓 ≠ ∅) → 2 < (♯‘𝑉)))
36	33, 35	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ((𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ 𝑓 ≠ ∅) → 2 < (♯‘𝑉)))
37	36, 17	imbitrrdi 251	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ((𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ 𝑓 ≠ ∅) → ¬ (♯‘𝑉) < 3))
38	37	exlimdvv 1930	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ ComplUSGraph → (∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ 𝑓 ≠ ∅) → ¬ (♯‘𝑉) < 3))
39	38	con2d 134	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ((♯‘𝑉) < 3 → ¬ ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ 𝑓 ≠ ∅)))
40	39, 1	sylibrd 259	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ((♯‘𝑉) < 3 → 𝐺 ∈ AcyclicGraph))
41	32, 40	impbid 211	1 ⊢ (𝐺 ∈ ComplUSGraph → (𝐺 ∈ AcyclicGraph ↔ (♯‘𝑉) < 3))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1534  ∃wex 1774   ∈ wcel 2099   ≠ wne 2935  Vcvv 3469  ∅c0 4318   class class class wbr 5142  ‘cfv 6542  (class class class)co 7414  0cc0 11124  1c1 11125  ℝ^*cxr 11263   < clt 11264   ≤ cle 11265   − cmin 11460  2c2 12283  3c3 12284  ℕ₀cn0 12488  ℕ₀^*cxnn0 12560  ♯chash 14307  Vtxcvtx 28783  USGraphcusgr 28936  ComplUSGraphccusgr 29197  Cyclesccycls 29573  AcyclicGraphcacycgr 34675

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-ifp 1062  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7863  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-2o 8479  df-oadd 8482  df-er 8716  df-map 8836  df-pm 8837  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-dju 9910  df-card 9948  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-nn 12229  df-2 12291  df-3 12292  df-4 12293  df-n0 12489  df-xnn0 12561  df-z 12575  df-uz 12839  df-xneg 13110  df-xadd 13111  df-fz 13503  df-fzo 13646  df-hash 14308  df-word 14483  df-concat 14539  df-s1 14564  df-s2 14817  df-s3 14818  df-s4 14819  df-edg 28835  df-uhgr 28845  df-upgr 28869  df-umgr 28870  df-uspgr 28937  df-usgr 28938  df-nbgr 29120  df-uvtx 29173  df-cplgr 29198  df-cusgr 29199  df-wlks 29387  df-trls 29480  df-pths 29504  df-crcts 29574  df-cycls 29575  df-acycgr 34676

This theorem is referenced by: (None)