Users' Mathboxes Mathbox for BTernaryTau < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cusgracyclt3v Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cusgracyclt3v 32854
Description: A complete simple graph is acyclic if and only if it has fewer than three vertices. (Contributed by BTernaryTau, 20-Oct-2023.)
Hypothesis
Ref Expression
cusgracyclt3v.1 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
cusgracyclt3v (𝐺 ∈ ComplUSGraph → (𝐺 ∈ AcyclicGraph ↔ (♯‘𝑉) < 3))

Proof of Theorem cusgracyclt3v
Dummy variables 𝑓 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isacycgr 32843 . . 3 (𝐺 ∈ ComplUSGraph → (𝐺 ∈ AcyclicGraph ↔ ¬ ∃𝑓𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝𝑓 ≠ ∅)))
2 3nn0 12132 . . . . . . 7 3 ∈ ℕ0
3 cusgracyclt3v.1 . . . . . . . . 9 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
43fvexi 6749 . . . . . . . 8 𝑉 ∈ V
5 hashxnn0 13929 . . . . . . . 8 (𝑉 ∈ V → (♯‘𝑉) ∈ ℕ0*)
64, 5ax-mp 5 . . . . . . 7 (♯‘𝑉) ∈ ℕ0*
7 xnn0lem1lt 12858 . . . . . . 7 ((3 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑉) ∈ ℕ0*) → (3 ≤ (♯‘𝑉) ↔ (3 − 1) < (♯‘𝑉)))
82, 6, 7mp2an 692 . . . . . 6 (3 ≤ (♯‘𝑉) ↔ (3 − 1) < (♯‘𝑉))
9 3re 11934 . . . . . . . 8 3 ∈ ℝ
109rexri 10915 . . . . . . 7 3 ∈ ℝ*
11 xnn0xr 12191 . . . . . . . 8 ((♯‘𝑉) ∈ ℕ0* → (♯‘𝑉) ∈ ℝ*)
126, 11ax-mp 5 . . . . . . 7 (♯‘𝑉) ∈ ℝ*
13 xrlenlt 10922 . . . . . . 7 ((3 ∈ ℝ* ∧ (♯‘𝑉) ∈ ℝ*) → (3 ≤ (♯‘𝑉) ↔ ¬ (♯‘𝑉) < 3))
1410, 12, 13mp2an 692 . . . . . 6 (3 ≤ (♯‘𝑉) ↔ ¬ (♯‘𝑉) < 3)
15 3m1e2 11982 . . . . . . 7 (3 − 1) = 2
1615breq1i 5074 . . . . . 6 ((3 − 1) < (♯‘𝑉) ↔ 2 < (♯‘𝑉))
178, 14, 163bitr3i 304 . . . . 5 (¬ (♯‘𝑉) < 3 ↔ 2 < (♯‘𝑉))
183cusgr3cyclex 32834 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 2 < (♯‘𝑉)) → ∃𝑓𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 3))
19 3ne0 11960 . . . . . . . . . . 11 3 ≠ 0
20 neeq1 3004 . . . . . . . . . . 11 ((♯‘𝑓) = 3 → ((♯‘𝑓) ≠ 0 ↔ 3 ≠ 0))
2119, 20mpbiri 261 . . . . . . . . . 10 ((♯‘𝑓) = 3 → (♯‘𝑓) ≠ 0)
22 hasheq0 13954 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 ∈ V → ((♯‘𝑓) = 0 ↔ 𝑓 = ∅))
2322elv 3426 . . . . . . . . . . 11 ((♯‘𝑓) = 0 ↔ 𝑓 = ∅)
2423necon3bii 2994 . . . . . . . . . 10 ((♯‘𝑓) ≠ 0 ↔ 𝑓 ≠ ∅)
2521, 24sylib 221 . . . . . . . . 9 ((♯‘𝑓) = 3 → 𝑓 ≠ ∅)
2625anim2i 620 . . . . . . . 8 ((𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 3) → (𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝𝑓 ≠ ∅))
27262eximi 1843 . . . . . . 7 (∃𝑓𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 3) → ∃𝑓𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝𝑓 ≠ ∅))
2818, 27syl 17 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 2 < (♯‘𝑉)) → ∃𝑓𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝𝑓 ≠ ∅))
2928ex 416 . . . . 5 (𝐺 ∈ ComplUSGraph → (2 < (♯‘𝑉) → ∃𝑓𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝𝑓 ≠ ∅)))
3017, 29syl5bi 245 . . . 4 (𝐺 ∈ ComplUSGraph → (¬ (♯‘𝑉) < 3 → ∃𝑓𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝𝑓 ≠ ∅)))
3130con1d 147 . . 3 (𝐺 ∈ ComplUSGraph → (¬ ∃𝑓𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝𝑓 ≠ ∅) → (♯‘𝑉) < 3))
321, 31sylbid 243 . 2 (𝐺 ∈ ComplUSGraph → (𝐺 ∈ AcyclicGraph → (♯‘𝑉) < 3))
33 cusgrusgr 27531 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ ComplUSGraph → 𝐺 ∈ USGraph)
343usgrcyclgt2v 32829 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝𝑓 ≠ ∅) → 2 < (♯‘𝑉))
35343expib 1124 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ USGraph → ((𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝𝑓 ≠ ∅) → 2 < (♯‘𝑉)))
3633, 35syl 17 . . . . . 6 (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ((𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝𝑓 ≠ ∅) → 2 < (♯‘𝑉)))
3736, 17syl6ibr 255 . . . . 5 (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ((𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝𝑓 ≠ ∅) → ¬ (♯‘𝑉) < 3))
3837exlimdvv 1942 . . . 4 (𝐺 ∈ ComplUSGraph → (∃𝑓𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝𝑓 ≠ ∅) → ¬ (♯‘𝑉) < 3))
3938con2d 136 . . 3 (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ((♯‘𝑉) < 3 → ¬ ∃𝑓𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝𝑓 ≠ ∅)))
4039, 1sylibrd 262 . 2 (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ((♯‘𝑉) < 3 → 𝐺 ∈ AcyclicGraph))
4132, 40impbid 215 1 (𝐺 ∈ ComplUSGraph → (𝐺 ∈ AcyclicGraph ↔ (♯‘𝑉) < 3))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1543  wex 1787  wcel 2111  wne 2941  Vcvv 3420  c0 4251   class class class wbr 5067  cfv 6397  (class class class)co 7231  0cc0 10753  1c1 10754  *cxr 10890   < clt 10891  cle 10892  cmin 11086  2c2 11909  3c3 11910  0cn0 12114  0*cxnn0 12186  chash 13920  Vtxcvtx 27111  USGraphcusgr 27264  ComplUSGraphccusgr 27522  Cyclesccycls 27896  AcyclicGraphcacycgr 32840
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2709  ax-rep 5193  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5272  ax-pr 5336  ax-un 7541  ax-cnex 10809  ax-resscn 10810  ax-1cn 10811  ax-icn 10812  ax-addcl 10813  ax-addrcl 10814  ax-mulcl 10815  ax-mulrcl 10816  ax-mulcom 10817  ax-addass 10818  ax-mulass 10819  ax-distr 10820  ax-i2m1 10821  ax-1ne0 10822  ax-1rid 10823  ax-rnegex 10824  ax-rrecex 10825  ax-cnre 10826  ax-pre-lttri 10827  ax-pre-lttrn 10828  ax-pre-ltadd 10829  ax-pre-mulgt0 10830
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-ifp 1064  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2072  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3067  df-rex 3068  df-reu 3069  df-rab 3071  df-v 3422  df-sbc 3709  df-csb 3826  df-dif 3883  df-un 3885  df-in 3887  df-ss 3897  df-pss 3899  df-nul 4252  df-if 4454  df-pw 4529  df-sn 4556  df-pr 4558  df-tp 4560  df-op 4562  df-uni 4834  df-int 4874  df-iun 4920  df-br 5068  df-opab 5130  df-mpt 5150  df-tr 5176  df-id 5469  df-eprel 5474  df-po 5482  df-so 5483  df-fr 5523  df-we 5525  df-xp 5571  df-rel 5572  df-cnv 5573  df-co 5574  df-dm 5575  df-rn 5576  df-res 5577  df-ima 5578  df-pred 6175  df-ord 6233  df-on 6234  df-lim 6235  df-suc 6236  df-iota 6355  df-fun 6399  df-fn 6400  df-f 6401  df-f1 6402  df-fo 6403  df-f1o 6404  df-fv 6405  df-riota 7188  df-ov 7234  df-oprab 7235  df-mpo 7236  df-om 7663  df-1st 7779  df-2nd 7780  df-wrecs 8067  df-recs 8128  df-rdg 8166  df-1o 8222  df-2o 8223  df-oadd 8226  df-er 8411  df-map 8530  df-pm 8531  df-en 8647  df-dom 8648  df-sdom 8649  df-fin 8650  df-dju 9541  df-card 9579  df-pnf 10893  df-mnf 10894  df-xr 10895  df-ltxr 10896  df-le 10897  df-sub 11088  df-neg 11089  df-nn 11855  df-2 11917  df-3 11918  df-4 11919  df-n0 12115  df-xnn0 12187  df-z 12201  df-uz 12463  df-xneg 12728  df-xadd 12729  df-fz 13120  df-fzo 13263  df-hash 13921  df-word 14094  df-concat 14150  df-s1 14177  df-s2 14437  df-s3 14438  df-s4 14439  df-edg 27163  df-uhgr 27173  df-upgr 27197  df-umgr 27198  df-uspgr 27265  df-usgr 27266  df-nbgr 27445  df-uvtx 27498  df-cplgr 27523  df-cusgr 27524  df-wlks 27711  df-trls 27804  df-pths 27827  df-crcts 27897  df-cycls 27898  df-acycgr 32841
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator