Users' Mathboxes Mathbox for BTernaryTau < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cusgracyclt3v Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cusgracyclt3v 33814
Description: A complete simple graph is acyclic if and only if it has fewer than three vertices. (Contributed by BTernaryTau, 20-Oct-2023.)
Hypothesis
Ref Expression
cusgracyclt3v.1 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
cusgracyclt3v (𝐺 ∈ ComplUSGraph β†’ (𝐺 ∈ AcyclicGraph ↔ (β™―β€˜π‘‰) < 3))

Proof of Theorem cusgracyclt3v
Dummy variables 𝑓 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isacycgr 33803 . . 3 (𝐺 ∈ ComplUSGraph β†’ (𝐺 ∈ AcyclicGraph ↔ Β¬ βˆƒπ‘“βˆƒπ‘(𝑓(Cyclesβ€˜πΊ)𝑝 ∧ 𝑓 β‰  βˆ…)))
2 3nn0 12439 . . . . . . 7 3 ∈ β„•0
3 cusgracyclt3v.1 . . . . . . . . 9 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
43fvexi 6860 . . . . . . . 8 𝑉 ∈ V
5 hashxnn0 14248 . . . . . . . 8 (𝑉 ∈ V β†’ (β™―β€˜π‘‰) ∈ β„•0*)
64, 5ax-mp 5 . . . . . . 7 (β™―β€˜π‘‰) ∈ β„•0*
7 xnn0lem1lt 13172 . . . . . . 7 ((3 ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜π‘‰) ∈ β„•0*) β†’ (3 ≀ (β™―β€˜π‘‰) ↔ (3 βˆ’ 1) < (β™―β€˜π‘‰)))
82, 6, 7mp2an 691 . . . . . 6 (3 ≀ (β™―β€˜π‘‰) ↔ (3 βˆ’ 1) < (β™―β€˜π‘‰))
9 3re 12241 . . . . . . . 8 3 ∈ ℝ
109rexri 11221 . . . . . . 7 3 ∈ ℝ*
11 xnn0xr 12498 . . . . . . . 8 ((β™―β€˜π‘‰) ∈ β„•0* β†’ (β™―β€˜π‘‰) ∈ ℝ*)
126, 11ax-mp 5 . . . . . . 7 (β™―β€˜π‘‰) ∈ ℝ*
13 xrlenlt 11228 . . . . . . 7 ((3 ∈ ℝ* ∧ (β™―β€˜π‘‰) ∈ ℝ*) β†’ (3 ≀ (β™―β€˜π‘‰) ↔ Β¬ (β™―β€˜π‘‰) < 3))
1410, 12, 13mp2an 691 . . . . . 6 (3 ≀ (β™―β€˜π‘‰) ↔ Β¬ (β™―β€˜π‘‰) < 3)
15 3m1e2 12289 . . . . . . 7 (3 βˆ’ 1) = 2
1615breq1i 5116 . . . . . 6 ((3 βˆ’ 1) < (β™―β€˜π‘‰) ↔ 2 < (β™―β€˜π‘‰))
178, 14, 163bitr3i 301 . . . . 5 (Β¬ (β™―β€˜π‘‰) < 3 ↔ 2 < (β™―β€˜π‘‰))
183cusgr3cyclex 33794 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 2 < (β™―β€˜π‘‰)) β†’ βˆƒπ‘“βˆƒπ‘(𝑓(Cyclesβ€˜πΊ)𝑝 ∧ (β™―β€˜π‘“) = 3))
19 3ne0 12267 . . . . . . . . . . 11 3 β‰  0
20 neeq1 3003 . . . . . . . . . . 11 ((β™―β€˜π‘“) = 3 β†’ ((β™―β€˜π‘“) β‰  0 ↔ 3 β‰  0))
2119, 20mpbiri 258 . . . . . . . . . 10 ((β™―β€˜π‘“) = 3 β†’ (β™―β€˜π‘“) β‰  0)
22 hasheq0 14272 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 ∈ V β†’ ((β™―β€˜π‘“) = 0 ↔ 𝑓 = βˆ…))
2322elv 3453 . . . . . . . . . . 11 ((β™―β€˜π‘“) = 0 ↔ 𝑓 = βˆ…)
2423necon3bii 2993 . . . . . . . . . 10 ((β™―β€˜π‘“) β‰  0 ↔ 𝑓 β‰  βˆ…)
2521, 24sylib 217 . . . . . . . . 9 ((β™―β€˜π‘“) = 3 β†’ 𝑓 β‰  βˆ…)
2625anim2i 618 . . . . . . . 8 ((𝑓(Cyclesβ€˜πΊ)𝑝 ∧ (β™―β€˜π‘“) = 3) β†’ (𝑓(Cyclesβ€˜πΊ)𝑝 ∧ 𝑓 β‰  βˆ…))
27262eximi 1839 . . . . . . 7 (βˆƒπ‘“βˆƒπ‘(𝑓(Cyclesβ€˜πΊ)𝑝 ∧ (β™―β€˜π‘“) = 3) β†’ βˆƒπ‘“βˆƒπ‘(𝑓(Cyclesβ€˜πΊ)𝑝 ∧ 𝑓 β‰  βˆ…))
2818, 27syl 17 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 2 < (β™―β€˜π‘‰)) β†’ βˆƒπ‘“βˆƒπ‘(𝑓(Cyclesβ€˜πΊ)𝑝 ∧ 𝑓 β‰  βˆ…))
2928ex 414 . . . . 5 (𝐺 ∈ ComplUSGraph β†’ (2 < (β™―β€˜π‘‰) β†’ βˆƒπ‘“βˆƒπ‘(𝑓(Cyclesβ€˜πΊ)𝑝 ∧ 𝑓 β‰  βˆ…)))
3017, 29biimtrid 241 . . . 4 (𝐺 ∈ ComplUSGraph β†’ (Β¬ (β™―β€˜π‘‰) < 3 β†’ βˆƒπ‘“βˆƒπ‘(𝑓(Cyclesβ€˜πΊ)𝑝 ∧ 𝑓 β‰  βˆ…)))
3130con1d 145 . . 3 (𝐺 ∈ ComplUSGraph β†’ (Β¬ βˆƒπ‘“βˆƒπ‘(𝑓(Cyclesβ€˜πΊ)𝑝 ∧ 𝑓 β‰  βˆ…) β†’ (β™―β€˜π‘‰) < 3))
321, 31sylbid 239 . 2 (𝐺 ∈ ComplUSGraph β†’ (𝐺 ∈ AcyclicGraph β†’ (β™―β€˜π‘‰) < 3))
33 cusgrusgr 28416 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ ComplUSGraph β†’ 𝐺 ∈ USGraph)
343usgrcyclgt2v 33789 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑓(Cyclesβ€˜πΊ)𝑝 ∧ 𝑓 β‰  βˆ…) β†’ 2 < (β™―β€˜π‘‰))
35343expib 1123 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ USGraph β†’ ((𝑓(Cyclesβ€˜πΊ)𝑝 ∧ 𝑓 β‰  βˆ…) β†’ 2 < (β™―β€˜π‘‰)))
3633, 35syl 17 . . . . . 6 (𝐺 ∈ ComplUSGraph β†’ ((𝑓(Cyclesβ€˜πΊ)𝑝 ∧ 𝑓 β‰  βˆ…) β†’ 2 < (β™―β€˜π‘‰)))
3736, 17syl6ibr 252 . . . . 5 (𝐺 ∈ ComplUSGraph β†’ ((𝑓(Cyclesβ€˜πΊ)𝑝 ∧ 𝑓 β‰  βˆ…) β†’ Β¬ (β™―β€˜π‘‰) < 3))
3837exlimdvv 1938 . . . 4 (𝐺 ∈ ComplUSGraph β†’ (βˆƒπ‘“βˆƒπ‘(𝑓(Cyclesβ€˜πΊ)𝑝 ∧ 𝑓 β‰  βˆ…) β†’ Β¬ (β™―β€˜π‘‰) < 3))
3938con2d 134 . . 3 (𝐺 ∈ ComplUSGraph β†’ ((β™―β€˜π‘‰) < 3 β†’ Β¬ βˆƒπ‘“βˆƒπ‘(𝑓(Cyclesβ€˜πΊ)𝑝 ∧ 𝑓 β‰  βˆ…)))
4039, 1sylibrd 259 . 2 (𝐺 ∈ ComplUSGraph β†’ ((β™―β€˜π‘‰) < 3 β†’ 𝐺 ∈ AcyclicGraph))
4132, 40impbid 211 1 (𝐺 ∈ ComplUSGraph β†’ (𝐺 ∈ AcyclicGraph ↔ (β™―β€˜π‘‰) < 3))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542  βˆƒwex 1782   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940  Vcvv 3447  βˆ…c0 4286   class class class wbr 5109  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  0cc0 11059  1c1 11060  β„*cxr 11196   < clt 11197   ≀ cle 11198   βˆ’ cmin 11393  2c2 12216  3c3 12217  β„•0cn0 12421  β„•0*cxnn0 12493  β™―chash 14239  Vtxcvtx 27996  USGraphcusgr 28149  ComplUSGraphccusgr 28407  Cyclesccycls 28782  AcyclicGraphcacycgr 33800
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-ifp 1063  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-2o 8417  df-oadd 8420  df-er 8654  df-map 8773  df-pm 8774  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-dju 9845  df-card 9883  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-n0 12422  df-xnn0 12494  df-z 12508  df-uz 12772  df-xneg 13041  df-xadd 13042  df-fz 13434  df-fzo 13577  df-hash 14240  df-word 14412  df-concat 14468  df-s1 14493  df-s2 14746  df-s3 14747  df-s4 14748  df-edg 28048  df-uhgr 28058  df-upgr 28082  df-umgr 28083  df-uspgr 28150  df-usgr 28151  df-nbgr 28330  df-uvtx 28383  df-cplgr 28408  df-cusgr 28409  df-wlks 28596  df-trls 28689  df-pths 28713  df-crcts 28783  df-cycls 28784  df-acycgr 33801
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator