Theorem cusgracyclt3v 35178

Description: A complete simple graph is acyclic if and only if it has fewer than three vertices. (Contributed by BTernaryTau, 20-Oct-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
cusgracyclt3v.1	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
cusgracyclt3v	⊢ (𝐺 ∈ ComplUSGraph → (𝐺 ∈ AcyclicGraph ↔ (♯‘𝑉) < 3))

Proof of Theorem cusgracyclt3v

Dummy variables 𝑓 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isacycgr 35167	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ ComplUSGraph → (𝐺 ∈ AcyclicGraph ↔ ¬ ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ 𝑓 ≠ ∅)))
2		3nn0 12519	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℕ0
3		cusgracyclt3v.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
4	3	fvexi 6890	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑉 ∈ V
5		hashxnn0 14357	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑉 ∈ V → (♯‘𝑉) ∈ ℕ0*)
6	4, 5	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (♯‘𝑉) ∈ ℕ0*
7		xnn0lem1lt 13260	. . . . . . 7 ⊢ ((3 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑉) ∈ ℕ0*) → (3 ≤ (♯‘𝑉) ↔ (3 − 1) < (♯‘𝑉)))
8	2, 6, 7	mp2an 692	. . . . . 6 ⊢ (3 ≤ (♯‘𝑉) ↔ (3 − 1) < (♯‘𝑉))
9		3re 12320	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℝ
10	9	rexri 11293	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℝ*
11		xnn0xr 12579	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝑉) ∈ ℕ0* → (♯‘𝑉) ∈ ℝ*)
12	6, 11	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (♯‘𝑉) ∈ ℝ*
13		xrlenlt 11300	. . . . . . 7 ⊢ ((3 ∈ ℝ* ∧ (♯‘𝑉) ∈ ℝ*) → (3 ≤ (♯‘𝑉) ↔ ¬ (♯‘𝑉) < 3))
14	10, 12, 13	mp2an 692	. . . . . 6 ⊢ (3 ≤ (♯‘𝑉) ↔ ¬ (♯‘𝑉) < 3)
15		3m1e2 12368	. . . . . . 7 ⊢ (3 − 1) = 2
16	15	breq1i 5126	. . . . . 6 ⊢ ((3 − 1) < (♯‘𝑉) ↔ 2 < (♯‘𝑉))
17	8, 14, 16	3bitr3i 301	. . . . 5 ⊢ (¬ (♯‘𝑉) < 3 ↔ 2 < (♯‘𝑉))
18	3	cusgr3cyclex 35158	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 2 < (♯‘𝑉)) → ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 3))
19		3ne0 12346	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 3 ≠ 0
20		neeq1 2994	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝑓) = 3 → ((♯‘𝑓) ≠ 0 ↔ 3 ≠ 0))
21	19, 20	mpbiri 258	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝑓) = 3 → (♯‘𝑓) ≠ 0)
22		hasheq0 14381	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓 ∈ V → ((♯‘𝑓) = 0 ↔ 𝑓 = ∅))
23	22	elv 3464	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝑓) = 0 ↔ 𝑓 = ∅)
24	23	necon3bii 2984	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝑓) ≠ 0 ↔ 𝑓 ≠ ∅)
25	21, 24	sylib 218	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝑓) = 3 → 𝑓 ≠ ∅)
26	25	anim2i 617	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 3) → (𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ 𝑓 ≠ ∅))
27	26	2eximi 1836	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 3) → ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ 𝑓 ≠ ∅))
28	18, 27	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 2 < (♯‘𝑉)) → ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ 𝑓 ≠ ∅))
29	28	ex 412	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ ComplUSGraph → (2 < (♯‘𝑉) → ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ 𝑓 ≠ ∅)))
30	17, 29	biimtrid 242	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ ComplUSGraph → (¬ (♯‘𝑉) < 3 → ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ 𝑓 ≠ ∅)))
31	30	con1d 145	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ ComplUSGraph → (¬ ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ 𝑓 ≠ ∅) → (♯‘𝑉) < 3))
32	1, 31	sylbid 240	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ ComplUSGraph → (𝐺 ∈ AcyclicGraph → (♯‘𝑉) < 3))
33		cusgrusgr 29398	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ ComplUSGraph → 𝐺 ∈ USGraph)
34	3	usgrcyclgt2v 35153	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ 𝑓 ≠ ∅) → 2 < (♯‘𝑉))
35	34	3expib 1122	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → ((𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ 𝑓 ≠ ∅) → 2 < (♯‘𝑉)))
36	33, 35	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ((𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ 𝑓 ≠ ∅) → 2 < (♯‘𝑉)))
37	36, 17	imbitrrdi 252	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ((𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ 𝑓 ≠ ∅) → ¬ (♯‘𝑉) < 3))
38	37	exlimdvv 1934	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ ComplUSGraph → (∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ 𝑓 ≠ ∅) → ¬ (♯‘𝑉) < 3))
39	38	con2d 134	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ((♯‘𝑉) < 3 → ¬ ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ 𝑓 ≠ ∅)))
40	39, 1	sylibrd 259	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ((♯‘𝑉) < 3 → 𝐺 ∈ AcyclicGraph))
41	32, 40	impbid 212	1 ⊢ (𝐺 ∈ ComplUSGraph → (𝐺 ∈ AcyclicGraph ↔ (♯‘𝑉) < 3))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540  ∃wex 1779   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2932  Vcvv 3459  ∅c0 4308   class class class wbr 5119  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405  0cc0 11129  1c1 11130  ℝ^*cxr 11268   < clt 11269   ≤ cle 11270   − cmin 11466  2c2 12295  3c3 12296  ℕ₀cn0 12501  ℕ₀^*cxnn0 12574  ♯chash 14348  Vtxcvtx 28975  USGraphcusgr 29128  ComplUSGraphccusgr 29389  Cyclesccycls 29767  AcyclicGraphcacycgr 35164

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-ifp 1063  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-tp 4606  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-oadd 8484  df-er 8719  df-map 8842  df-pm 8843  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-dju 9915  df-card 9953  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-n0 12502  df-xnn0 12575  df-z 12589  df-uz 12853  df-xneg 13128  df-xadd 13129  df-fz 13525  df-fzo 13672  df-hash 14349  df-word 14532  df-concat 14589  df-s1 14614  df-s2 14867  df-s3 14868  df-s4 14869  df-edg 29027  df-uhgr 29037  df-upgr 29061  df-umgr 29062  df-uspgr 29129  df-usgr 29130  df-nbgr 29312  df-uvtx 29365  df-cplgr 29390  df-cusgr 29391  df-wlks 29579  df-trls 29672  df-pths 29696  df-crcts 29768  df-cycls 29769  df-acycgr 35165

This theorem is referenced by: (None)