Users' Mathboxes Mathbox for BTernaryTau < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cusgracyclt3v Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cusgracyclt3v 35161
Description: A complete simple graph is acyclic if and only if it has fewer than three vertices. (Contributed by BTernaryTau, 20-Oct-2023.)
Hypothesis
Ref Expression
cusgracyclt3v.1 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
cusgracyclt3v (𝐺 ∈ ComplUSGraph → (𝐺 ∈ AcyclicGraph ↔ (♯‘𝑉) < 3))

Proof of Theorem cusgracyclt3v
Dummy variables 𝑓 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isacycgr 35150 . . 3 (𝐺 ∈ ComplUSGraph → (𝐺 ∈ AcyclicGraph ↔ ¬ ∃𝑓𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝𝑓 ≠ ∅)))
2 3nn0 12544 . . . . . . 7 3 ∈ ℕ0
3 cusgracyclt3v.1 . . . . . . . . 9 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
43fvexi 6920 . . . . . . . 8 𝑉 ∈ V
5 hashxnn0 14378 . . . . . . . 8 (𝑉 ∈ V → (♯‘𝑉) ∈ ℕ0*)
64, 5ax-mp 5 . . . . . . 7 (♯‘𝑉) ∈ ℕ0*
7 xnn0lem1lt 13286 . . . . . . 7 ((3 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑉) ∈ ℕ0*) → (3 ≤ (♯‘𝑉) ↔ (3 − 1) < (♯‘𝑉)))
82, 6, 7mp2an 692 . . . . . 6 (3 ≤ (♯‘𝑉) ↔ (3 − 1) < (♯‘𝑉))
9 3re 12346 . . . . . . . 8 3 ∈ ℝ
109rexri 11319 . . . . . . 7 3 ∈ ℝ*
11 xnn0xr 12604 . . . . . . . 8 ((♯‘𝑉) ∈ ℕ0* → (♯‘𝑉) ∈ ℝ*)
126, 11ax-mp 5 . . . . . . 7 (♯‘𝑉) ∈ ℝ*
13 xrlenlt 11326 . . . . . . 7 ((3 ∈ ℝ* ∧ (♯‘𝑉) ∈ ℝ*) → (3 ≤ (♯‘𝑉) ↔ ¬ (♯‘𝑉) < 3))
1410, 12, 13mp2an 692 . . . . . 6 (3 ≤ (♯‘𝑉) ↔ ¬ (♯‘𝑉) < 3)
15 3m1e2 12394 . . . . . . 7 (3 − 1) = 2
1615breq1i 5150 . . . . . 6 ((3 − 1) < (♯‘𝑉) ↔ 2 < (♯‘𝑉))
178, 14, 163bitr3i 301 . . . . 5 (¬ (♯‘𝑉) < 3 ↔ 2 < (♯‘𝑉))
183cusgr3cyclex 35141 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 2 < (♯‘𝑉)) → ∃𝑓𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 3))
19 3ne0 12372 . . . . . . . . . . 11 3 ≠ 0
20 neeq1 3003 . . . . . . . . . . 11 ((♯‘𝑓) = 3 → ((♯‘𝑓) ≠ 0 ↔ 3 ≠ 0))
2119, 20mpbiri 258 . . . . . . . . . 10 ((♯‘𝑓) = 3 → (♯‘𝑓) ≠ 0)
22 hasheq0 14402 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 ∈ V → ((♯‘𝑓) = 0 ↔ 𝑓 = ∅))
2322elv 3485 . . . . . . . . . . 11 ((♯‘𝑓) = 0 ↔ 𝑓 = ∅)
2423necon3bii 2993 . . . . . . . . . 10 ((♯‘𝑓) ≠ 0 ↔ 𝑓 ≠ ∅)
2521, 24sylib 218 . . . . . . . . 9 ((♯‘𝑓) = 3 → 𝑓 ≠ ∅)
2625anim2i 617 . . . . . . . 8 ((𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 3) → (𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝𝑓 ≠ ∅))
27262eximi 1836 . . . . . . 7 (∃𝑓𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 3) → ∃𝑓𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝𝑓 ≠ ∅))
2818, 27syl 17 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 2 < (♯‘𝑉)) → ∃𝑓𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝𝑓 ≠ ∅))
2928ex 412 . . . . 5 (𝐺 ∈ ComplUSGraph → (2 < (♯‘𝑉) → ∃𝑓𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝𝑓 ≠ ∅)))
3017, 29biimtrid 242 . . . 4 (𝐺 ∈ ComplUSGraph → (¬ (♯‘𝑉) < 3 → ∃𝑓𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝𝑓 ≠ ∅)))
3130con1d 145 . . 3 (𝐺 ∈ ComplUSGraph → (¬ ∃𝑓𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝𝑓 ≠ ∅) → (♯‘𝑉) < 3))
321, 31sylbid 240 . 2 (𝐺 ∈ ComplUSGraph → (𝐺 ∈ AcyclicGraph → (♯‘𝑉) < 3))
33 cusgrusgr 29436 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ ComplUSGraph → 𝐺 ∈ USGraph)
343usgrcyclgt2v 35136 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝𝑓 ≠ ∅) → 2 < (♯‘𝑉))
35343expib 1123 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ USGraph → ((𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝𝑓 ≠ ∅) → 2 < (♯‘𝑉)))
3633, 35syl 17 . . . . . 6 (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ((𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝𝑓 ≠ ∅) → 2 < (♯‘𝑉)))
3736, 17imbitrrdi 252 . . . . 5 (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ((𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝𝑓 ≠ ∅) → ¬ (♯‘𝑉) < 3))
3837exlimdvv 1934 . . . 4 (𝐺 ∈ ComplUSGraph → (∃𝑓𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝𝑓 ≠ ∅) → ¬ (♯‘𝑉) < 3))
3938con2d 134 . . 3 (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ((♯‘𝑉) < 3 → ¬ ∃𝑓𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝𝑓 ≠ ∅)))
4039, 1sylibrd 259 . 2 (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ((♯‘𝑉) < 3 → 𝐺 ∈ AcyclicGraph))
4132, 40impbid 212 1 (𝐺 ∈ ComplUSGraph → (𝐺 ∈ AcyclicGraph ↔ (♯‘𝑉) < 3))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wex 1779  wcel 2108  wne 2940  Vcvv 3480  c0 4333   class class class wbr 5143  cfv 6561  (class class class)co 7431  0cc0 11155  1c1 11156  *cxr 11294   < clt 11295  cle 11296  cmin 11492  2c2 12321  3c3 12322  0cn0 12526  0*cxnn0 12599  chash 14369  Vtxcvtx 29013  USGraphcusgr 29166  ComplUSGraphccusgr 29427  Cyclesccycls 29805  AcyclicGraphcacycgr 35147
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-ifp 1064  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-oadd 8510  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-dju 9941  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-n0 12527  df-xnn0 12600  df-z 12614  df-uz 12879  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-hash 14370  df-word 14553  df-concat 14609  df-s1 14634  df-s2 14887  df-s3 14888  df-s4 14889  df-edg 29065  df-uhgr 29075  df-upgr 29099  df-umgr 29100  df-uspgr 29167  df-usgr 29168  df-nbgr 29350  df-uvtx 29403  df-cplgr 29428  df-cusgr 29429  df-wlks 29617  df-trls 29710  df-pths 29734  df-crcts 29806  df-cycls 29807  df-acycgr 35148
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator