Theorem cusgracyclt3v 35743

Description: A complete simple graph is acyclic if and only if it has fewer than three vertices. (Contributed by BTernaryTau, 20-Oct-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
cusgracyclt3v.1	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
cusgracyclt3v	⊢ (𝐺 ∈ ComplUSGraph → (𝐺 ∈ AcyclicGraph ↔ (♯‘𝑉) < 3))

Proof of Theorem cusgracyclt3v

Dummy variables 𝑓 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isacycgr 30638	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ ComplUSGraph → (𝐺 ∈ AcyclicGraph ↔ ¬ ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ 𝑓 ≠ ∅)))
2		3nn0 12550	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℕ0
3		cusgracyclt3v.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
4	3	fvexi 6896	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑉 ∈ V
5		hashxnn0 14407	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑉 ∈ V → (♯‘𝑉) ∈ ℕ0*)
6	4, 5	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (♯‘𝑉) ∈ ℕ0*
7		xnn0lem1lt 13300	. . . . . . 7 ⊢ ((3 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑉) ∈ ℕ0*) → (3 ≤ (♯‘𝑉) ↔ (3 − 1) < (♯‘𝑉)))
8	2, 6, 7	mp2an 705	. . . . . 6 ⊢ (3 ≤ (♯‘𝑉) ↔ (3 − 1) < (♯‘𝑉))
9		3re 12349	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℝ
10	9	rexri 11295	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℝ*
11		xnn0xr 12610	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝑉) ∈ ℕ0* → (♯‘𝑉) ∈ ℝ*)
12	6, 11	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (♯‘𝑉) ∈ ℝ*
13		xrlenlt 11302	. . . . . . 7 ⊢ ((3 ∈ ℝ* ∧ (♯‘𝑉) ∈ ℝ*) → (3 ≤ (♯‘𝑉) ↔ ¬ (♯‘𝑉) < 3))
14	10, 12, 13	mp2an 705	. . . . . 6 ⊢ (3 ≤ (♯‘𝑉) ↔ ¬ (♯‘𝑉) < 3)
15		3m1e2 12396	. . . . . . 7 ⊢ (3 − 1) = 2
16	15	breq1i 5114	. . . . . 6 ⊢ ((3 − 1) < (♯‘𝑉) ↔ 2 < (♯‘𝑉))
17	8, 14, 16	3bitr3i 304	. . . . 5 ⊢ (¬ (♯‘𝑉) < 3 ↔ 2 < (♯‘𝑉))
18	3	cusgr3cyclex 35733	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 2 < (♯‘𝑉)) → ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 3))
19		3ne0 12378	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 3 ≠ 0
20		neeq1 3019	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝑓) = 3 → ((♯‘𝑓) ≠ 0 ↔ 3 ≠ 0))
21	19, 20	mpbiri 261	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝑓) = 3 → (♯‘𝑓) ≠ 0)
22		hasheq0 14431	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓 ∈ V → ((♯‘𝑓) = 0 ↔ 𝑓 = ∅))
23	22	elv 3458	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝑓) = 0 ↔ 𝑓 = ∅)
24	23	necon3bii 3009	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝑓) ≠ 0 ↔ 𝑓 ≠ ∅)
25	21, 24	sylib 221	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝑓) = 3 → 𝑓 ≠ ∅)
26	25	anim2i 629	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 3) → (𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ 𝑓 ≠ ∅))
27	26	2eximi 1869	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 3) → ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ 𝑓 ≠ ∅))
28	18, 27	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 2 < (♯‘𝑉)) → ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ 𝑓 ≠ ∅))
29	28	ex 418	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ ComplUSGraph → (2 < (♯‘𝑉) → ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ 𝑓 ≠ ∅)))
30	17, 29	biimtrid 245	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ ComplUSGraph → (¬ (♯‘𝑉) < 3 → ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ 𝑓 ≠ ∅)))
31	30	con1d 146	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ ComplUSGraph → (¬ ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ 𝑓 ≠ ∅) → (♯‘𝑉) < 3))
32	1, 31	sylbid 243	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ ComplUSGraph → (𝐺 ∈ AcyclicGraph → (♯‘𝑉) < 3))
33		cusgrusgr 29887	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ ComplUSGraph → 𝐺 ∈ USGraph)
34	3	usgrcyclgt2v 35732	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ 𝑓 ≠ ∅) → 2 < (♯‘𝑉))
35	34	3expib 1140	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → ((𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ 𝑓 ≠ ∅) → 2 < (♯‘𝑉)))
36	33, 35	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ((𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ 𝑓 ≠ ∅) → 2 < (♯‘𝑉)))
37	36, 17	imbitrrdi 255	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ((𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ 𝑓 ≠ ∅) → ¬ (♯‘𝑉) < 3))
38	37	exlimdvv 1967	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ ComplUSGraph → (∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ 𝑓 ≠ ∅) → ¬ (♯‘𝑉) < 3))
39	38	con2d 135	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ((♯‘𝑉) < 3 → ¬ ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ 𝑓 ≠ ∅)))
40	39, 1	sylibrd 262	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ((♯‘𝑉) < 3 → 𝐺 ∈ AcyclicGraph))
41	32, 40	impbid 215	1 ⊢ (𝐺 ∈ ComplUSGraph → (𝐺 ∈ AcyclicGraph ↔ (♯‘𝑉) < 3))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570  ∃wex 1812   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2957  Vcvv 3453  ∅c0 4282   class class class wbr 5107  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417  0cc0 11128  1c1 11129  ℝ^*cxr 11270   < clt 11271   ≤ cle 11272   − cmin 11469  2c2 12323  3c3 12324  ℕ₀cn0 12532  ℕ₀^*cxnn0 12605  ♯chash 14398  Vtxcvtx 29461  USGraphcusgr 29617  ComplUSGraphccusgr 29878  Cyclesccycls 30259  AcyclicGraphcacycgr 30635

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-ifp 1079  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-2o 8460  df-oadd 8463  df-er 8700  df-map 8832  df-pm 8833  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-fin 8960  df-dju 9910  df-card 9948  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12262  df-2 12331  df-3 12332  df-4 12333  df-n0 12533  df-xnn0 12606  df-z 12620  df-uz 12892  df-xneg 13167  df-xadd 13168  df-fz 13566  df-fzo 13714  df-hash 14399  df-word 14583  df-concat 14640  df-s1 14667  df-s2 14923  df-s3 14924  df-s4 14925  df-edg 29513  df-uhgr 29523  df-upgr 29547  df-umgr 29548  df-uspgr 29618  df-usgr 29619  df-nbgr 29801  df-uvtx 29854  df-cplgr 29879  df-cusgr 29880  df-wlks 30067  df-trls 30162  df-pths 30186  df-crcts 30260  df-cycls 30261  df-acycgr 30636

This theorem is used by: (None)