Theorem cusgracyclt3v 35143

Description: A complete simple graph is acyclic if and only if it has fewer than three vertices. (Contributed by BTernaryTau, 20-Oct-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
cusgracyclt3v.1	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
cusgracyclt3v	⊢ (𝐺 ∈ ComplUSGraph → (𝐺 ∈ AcyclicGraph ↔ (♯‘𝑉) < 3))

Proof of Theorem cusgracyclt3v

Dummy variables 𝑓 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isacycgr 35132	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ ComplUSGraph → (𝐺 ∈ AcyclicGraph ↔ ¬ ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ 𝑓 ≠ ∅)))
2		3nn0 12460	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℕ0
3		cusgracyclt3v.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
4	3	fvexi 6872	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑉 ∈ V
5		hashxnn0 14304	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑉 ∈ V → (♯‘𝑉) ∈ ℕ0*)
6	4, 5	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (♯‘𝑉) ∈ ℕ0*
7		xnn0lem1lt 13204	. . . . . . 7 ⊢ ((3 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑉) ∈ ℕ0*) → (3 ≤ (♯‘𝑉) ↔ (3 − 1) < (♯‘𝑉)))
8	2, 6, 7	mp2an 692	. . . . . 6 ⊢ (3 ≤ (♯‘𝑉) ↔ (3 − 1) < (♯‘𝑉))
9		3re 12266	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℝ
10	9	rexri 11232	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℝ*
11		xnn0xr 12520	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝑉) ∈ ℕ0* → (♯‘𝑉) ∈ ℝ*)
12	6, 11	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (♯‘𝑉) ∈ ℝ*
13		xrlenlt 11239	. . . . . . 7 ⊢ ((3 ∈ ℝ* ∧ (♯‘𝑉) ∈ ℝ*) → (3 ≤ (♯‘𝑉) ↔ ¬ (♯‘𝑉) < 3))
14	10, 12, 13	mp2an 692	. . . . . 6 ⊢ (3 ≤ (♯‘𝑉) ↔ ¬ (♯‘𝑉) < 3)
15		3m1e2 12309	. . . . . . 7 ⊢ (3 − 1) = 2
16	15	breq1i 5114	. . . . . 6 ⊢ ((3 − 1) < (♯‘𝑉) ↔ 2 < (♯‘𝑉))
17	8, 14, 16	3bitr3i 301	. . . . 5 ⊢ (¬ (♯‘𝑉) < 3 ↔ 2 < (♯‘𝑉))
18	3	cusgr3cyclex 35123	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 2 < (♯‘𝑉)) → ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 3))
19		3ne0 12292	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 3 ≠ 0
20		neeq1 2987	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝑓) = 3 → ((♯‘𝑓) ≠ 0 ↔ 3 ≠ 0))
21	19, 20	mpbiri 258	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝑓) = 3 → (♯‘𝑓) ≠ 0)
22		hasheq0 14328	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓 ∈ V → ((♯‘𝑓) = 0 ↔ 𝑓 = ∅))
23	22	elv 3452	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝑓) = 0 ↔ 𝑓 = ∅)
24	23	necon3bii 2977	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝑓) ≠ 0 ↔ 𝑓 ≠ ∅)
25	21, 24	sylib 218	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝑓) = 3 → 𝑓 ≠ ∅)
26	25	anim2i 617	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 3) → (𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ 𝑓 ≠ ∅))
27	26	2eximi 1836	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 3) → ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ 𝑓 ≠ ∅))
28	18, 27	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 2 < (♯‘𝑉)) → ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ 𝑓 ≠ ∅))
29	28	ex 412	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ ComplUSGraph → (2 < (♯‘𝑉) → ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ 𝑓 ≠ ∅)))
30	17, 29	biimtrid 242	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ ComplUSGraph → (¬ (♯‘𝑉) < 3 → ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ 𝑓 ≠ ∅)))
31	30	con1d 145	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ ComplUSGraph → (¬ ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ 𝑓 ≠ ∅) → (♯‘𝑉) < 3))
32	1, 31	sylbid 240	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ ComplUSGraph → (𝐺 ∈ AcyclicGraph → (♯‘𝑉) < 3))
33		cusgrusgr 29346	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ ComplUSGraph → 𝐺 ∈ USGraph)
34	3	usgrcyclgt2v 35118	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ 𝑓 ≠ ∅) → 2 < (♯‘𝑉))
35	34	3expib 1122	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → ((𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ 𝑓 ≠ ∅) → 2 < (♯‘𝑉)))
36	33, 35	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ((𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ 𝑓 ≠ ∅) → 2 < (♯‘𝑉)))
37	36, 17	imbitrrdi 252	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ((𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ 𝑓 ≠ ∅) → ¬ (♯‘𝑉) < 3))
38	37	exlimdvv 1934	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ ComplUSGraph → (∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ 𝑓 ≠ ∅) → ¬ (♯‘𝑉) < 3))
39	38	con2d 134	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ((♯‘𝑉) < 3 → ¬ ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ 𝑓 ≠ ∅)))
40	39, 1	sylibrd 259	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ((♯‘𝑉) < 3 → 𝐺 ∈ AcyclicGraph))
41	32, 40	impbid 212	1 ⊢ (𝐺 ∈ ComplUSGraph → (𝐺 ∈ AcyclicGraph ↔ (♯‘𝑉) < 3))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540  ∃wex 1779   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  Vcvv 3447  ∅c0 4296   class class class wbr 5107  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  0cc0 11068  1c1 11069  ℝ^*cxr 11207   < clt 11208   ≤ cle 11209   − cmin 11405  2c2 12241  3c3 12242  ℕ₀cn0 12442  ℕ₀^*cxnn0 12515  ♯chash 14295  Vtxcvtx 28923  USGraphcusgr 29076  ComplUSGraphccusgr 29337  Cyclesccycls 29715  AcyclicGraphcacycgr 35129

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-ifp 1063  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-2o 8435  df-oadd 8438  df-er 8671  df-map 8801  df-pm 8802  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-dju 9854  df-card 9892  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-4 12251  df-n0 12443  df-xnn0 12516  df-z 12530  df-uz 12794  df-xneg 13072  df-xadd 13073  df-fz 13469  df-fzo 13616  df-hash 14296  df-word 14479  df-concat 14536  df-s1 14561  df-s2 14814  df-s3 14815  df-s4 14816  df-edg 28975  df-uhgr 28985  df-upgr 29009  df-umgr 29010  df-uspgr 29077  df-usgr 29078  df-nbgr 29260  df-uvtx 29313  df-cplgr 29338  df-cusgr 29339  df-wlks 29527  df-trls 29620  df-pths 29644  df-crcts 29716  df-cycls 29717  df-acycgr 35130

This theorem is referenced by: (None)