Users' Mathboxes Mathbox for BTernaryTau < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cusgracyclt3v Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cusgracyclt3v 34819
Description: A complete simple graph is acyclic if and only if it has fewer than three vertices. (Contributed by BTernaryTau, 20-Oct-2023.)
Hypothesis
Ref Expression
cusgracyclt3v.1 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
cusgracyclt3v (𝐺 ∈ ComplUSGraph β†’ (𝐺 ∈ AcyclicGraph ↔ (β™―β€˜π‘‰) < 3))

Proof of Theorem cusgracyclt3v
Dummy variables 𝑓 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isacycgr 34808 . . 3 (𝐺 ∈ ComplUSGraph β†’ (𝐺 ∈ AcyclicGraph ↔ Β¬ βˆƒπ‘“βˆƒπ‘(𝑓(Cyclesβ€˜πΊ)𝑝 ∧ 𝑓 β‰  βˆ…)))
2 3nn0 12515 . . . . . . 7 3 ∈ β„•0
3 cusgracyclt3v.1 . . . . . . . . 9 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
43fvexi 6904 . . . . . . . 8 𝑉 ∈ V
5 hashxnn0 14325 . . . . . . . 8 (𝑉 ∈ V β†’ (β™―β€˜π‘‰) ∈ β„•0*)
64, 5ax-mp 5 . . . . . . 7 (β™―β€˜π‘‰) ∈ β„•0*
7 xnn0lem1lt 13250 . . . . . . 7 ((3 ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜π‘‰) ∈ β„•0*) β†’ (3 ≀ (β™―β€˜π‘‰) ↔ (3 βˆ’ 1) < (β™―β€˜π‘‰)))
82, 6, 7mp2an 690 . . . . . 6 (3 ≀ (β™―β€˜π‘‰) ↔ (3 βˆ’ 1) < (β™―β€˜π‘‰))
9 3re 12317 . . . . . . . 8 3 ∈ ℝ
109rexri 11297 . . . . . . 7 3 ∈ ℝ*
11 xnn0xr 12574 . . . . . . . 8 ((β™―β€˜π‘‰) ∈ β„•0* β†’ (β™―β€˜π‘‰) ∈ ℝ*)
126, 11ax-mp 5 . . . . . . 7 (β™―β€˜π‘‰) ∈ ℝ*
13 xrlenlt 11304 . . . . . . 7 ((3 ∈ ℝ* ∧ (β™―β€˜π‘‰) ∈ ℝ*) β†’ (3 ≀ (β™―β€˜π‘‰) ↔ Β¬ (β™―β€˜π‘‰) < 3))
1410, 12, 13mp2an 690 . . . . . 6 (3 ≀ (β™―β€˜π‘‰) ↔ Β¬ (β™―β€˜π‘‰) < 3)
15 3m1e2 12365 . . . . . . 7 (3 βˆ’ 1) = 2
1615breq1i 5151 . . . . . 6 ((3 βˆ’ 1) < (β™―β€˜π‘‰) ↔ 2 < (β™―β€˜π‘‰))
178, 14, 163bitr3i 300 . . . . 5 (Β¬ (β™―β€˜π‘‰) < 3 ↔ 2 < (β™―β€˜π‘‰))
183cusgr3cyclex 34799 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 2 < (β™―β€˜π‘‰)) β†’ βˆƒπ‘“βˆƒπ‘(𝑓(Cyclesβ€˜πΊ)𝑝 ∧ (β™―β€˜π‘“) = 3))
19 3ne0 12343 . . . . . . . . . . 11 3 β‰  0
20 neeq1 2993 . . . . . . . . . . 11 ((β™―β€˜π‘“) = 3 β†’ ((β™―β€˜π‘“) β‰  0 ↔ 3 β‰  0))
2119, 20mpbiri 257 . . . . . . . . . 10 ((β™―β€˜π‘“) = 3 β†’ (β™―β€˜π‘“) β‰  0)
22 hasheq0 14349 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 ∈ V β†’ ((β™―β€˜π‘“) = 0 ↔ 𝑓 = βˆ…))
2322elv 3469 . . . . . . . . . . 11 ((β™―β€˜π‘“) = 0 ↔ 𝑓 = βˆ…)
2423necon3bii 2983 . . . . . . . . . 10 ((β™―β€˜π‘“) β‰  0 ↔ 𝑓 β‰  βˆ…)
2521, 24sylib 217 . . . . . . . . 9 ((β™―β€˜π‘“) = 3 β†’ 𝑓 β‰  βˆ…)
2625anim2i 615 . . . . . . . 8 ((𝑓(Cyclesβ€˜πΊ)𝑝 ∧ (β™―β€˜π‘“) = 3) β†’ (𝑓(Cyclesβ€˜πΊ)𝑝 ∧ 𝑓 β‰  βˆ…))
27262eximi 1830 . . . . . . 7 (βˆƒπ‘“βˆƒπ‘(𝑓(Cyclesβ€˜πΊ)𝑝 ∧ (β™―β€˜π‘“) = 3) β†’ βˆƒπ‘“βˆƒπ‘(𝑓(Cyclesβ€˜πΊ)𝑝 ∧ 𝑓 β‰  βˆ…))
2818, 27syl 17 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 2 < (β™―β€˜π‘‰)) β†’ βˆƒπ‘“βˆƒπ‘(𝑓(Cyclesβ€˜πΊ)𝑝 ∧ 𝑓 β‰  βˆ…))
2928ex 411 . . . . 5 (𝐺 ∈ ComplUSGraph β†’ (2 < (β™―β€˜π‘‰) β†’ βˆƒπ‘“βˆƒπ‘(𝑓(Cyclesβ€˜πΊ)𝑝 ∧ 𝑓 β‰  βˆ…)))
3017, 29biimtrid 241 . . . 4 (𝐺 ∈ ComplUSGraph β†’ (Β¬ (β™―β€˜π‘‰) < 3 β†’ βˆƒπ‘“βˆƒπ‘(𝑓(Cyclesβ€˜πΊ)𝑝 ∧ 𝑓 β‰  βˆ…)))
3130con1d 145 . . 3 (𝐺 ∈ ComplUSGraph β†’ (Β¬ βˆƒπ‘“βˆƒπ‘(𝑓(Cyclesβ€˜πΊ)𝑝 ∧ 𝑓 β‰  βˆ…) β†’ (β™―β€˜π‘‰) < 3))
321, 31sylbid 239 . 2 (𝐺 ∈ ComplUSGraph β†’ (𝐺 ∈ AcyclicGraph β†’ (β™―β€˜π‘‰) < 3))
33 cusgrusgr 29271 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ ComplUSGraph β†’ 𝐺 ∈ USGraph)
343usgrcyclgt2v 34794 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑓(Cyclesβ€˜πΊ)𝑝 ∧ 𝑓 β‰  βˆ…) β†’ 2 < (β™―β€˜π‘‰))
35343expib 1119 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ USGraph β†’ ((𝑓(Cyclesβ€˜πΊ)𝑝 ∧ 𝑓 β‰  βˆ…) β†’ 2 < (β™―β€˜π‘‰)))
3633, 35syl 17 . . . . . 6 (𝐺 ∈ ComplUSGraph β†’ ((𝑓(Cyclesβ€˜πΊ)𝑝 ∧ 𝑓 β‰  βˆ…) β†’ 2 < (β™―β€˜π‘‰)))
3736, 17imbitrrdi 251 . . . . 5 (𝐺 ∈ ComplUSGraph β†’ ((𝑓(Cyclesβ€˜πΊ)𝑝 ∧ 𝑓 β‰  βˆ…) β†’ Β¬ (β™―β€˜π‘‰) < 3))
3837exlimdvv 1929 . . . 4 (𝐺 ∈ ComplUSGraph β†’ (βˆƒπ‘“βˆƒπ‘(𝑓(Cyclesβ€˜πΊ)𝑝 ∧ 𝑓 β‰  βˆ…) β†’ Β¬ (β™―β€˜π‘‰) < 3))
3938con2d 134 . . 3 (𝐺 ∈ ComplUSGraph β†’ ((β™―β€˜π‘‰) < 3 β†’ Β¬ βˆƒπ‘“βˆƒπ‘(𝑓(Cyclesβ€˜πΊ)𝑝 ∧ 𝑓 β‰  βˆ…)))
4039, 1sylibrd 258 . 2 (𝐺 ∈ ComplUSGraph β†’ ((β™―β€˜π‘‰) < 3 β†’ 𝐺 ∈ AcyclicGraph))
4132, 40impbid 211 1 (𝐺 ∈ ComplUSGraph β†’ (𝐺 ∈ AcyclicGraph ↔ (β™―β€˜π‘‰) < 3))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533  βˆƒwex 1773   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2930  Vcvv 3463  βˆ…c0 4319   class class class wbr 5144  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7413  0cc0 11133  1c1 11134  β„*cxr 11272   < clt 11273   ≀ cle 11274   βˆ’ cmin 11469  2c2 12292  3c3 12293  β„•0cn0 12497  β„•0*cxnn0 12569  β™―chash 14316  Vtxcvtx 28848  USGraphcusgr 29001  ComplUSGraphccusgr 29262  Cyclesccycls 29638  AcyclicGraphcacycgr 34805
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-ifp 1061  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3961  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4905  df-int 4946  df-iun 4994  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7866  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-oadd 8484  df-er 8718  df-map 8840  df-pm 8841  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-dju 9919  df-card 9957  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12238  df-2 12300  df-3 12301  df-4 12302  df-n0 12498  df-xnn0 12570  df-z 12584  df-uz 12848  df-xneg 13119  df-xadd 13120  df-fz 13512  df-fzo 13655  df-hash 14317  df-word 14492  df-concat 14548  df-s1 14573  df-s2 14826  df-s3 14827  df-s4 14828  df-edg 28900  df-uhgr 28910  df-upgr 28934  df-umgr 28935  df-uspgr 29002  df-usgr 29003  df-nbgr 29185  df-uvtx 29238  df-cplgr 29263  df-cusgr 29264  df-wlks 29452  df-trls 29545  df-pths 29569  df-crcts 29639  df-cycls 29640  df-acycgr 34806
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator