MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  supxrbnd2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem supxrbnd2 12357
Description: The supremum of a bounded-above set of extended reals is less than infinity. (Contributed by NM, 30-Jan-2006.)
Assertion
Ref Expression
supxrbnd2 (𝐴 ⊆ ℝ* → (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥 ↔ sup(𝐴, ℝ*, < ) < +∞))
Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝐴

Proof of Theorem supxrbnd2
StepHypRef Expression
1 ralnex 3141 . . . 4 (∀𝑥 ∈ ℝ ¬ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥 ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)
2 ssel2 3747 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝑦𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ*)
3 rexr 10287 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℝ*)
4 xrlenlt 10305 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ ℝ*𝑥 ∈ ℝ*) → (𝑦𝑥 ↔ ¬ 𝑥 < 𝑦))
54con2bid 343 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ ℝ*𝑥 ∈ ℝ*) → (𝑥 < 𝑦 ↔ ¬ 𝑦𝑥))
62, 3, 5syl2an 583 . . . . . . . 8 (((𝐴 ⊆ ℝ*𝑦𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 < 𝑦 ↔ ¬ 𝑦𝑥))
76an32s 631 . . . . . . 7 (((𝐴 ⊆ ℝ*𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝐴) → (𝑥 < 𝑦 ↔ ¬ 𝑦𝑥))
87rexbidva 3197 . . . . . 6 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝑥 ∈ ℝ) → (∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦 ↔ ∃𝑦𝐴 ¬ 𝑦𝑥))
9 rexnal 3143 . . . . . 6 (∃𝑦𝐴 ¬ 𝑦𝑥 ↔ ¬ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)
108, 9syl6rbb 277 . . . . 5 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝑥 ∈ ℝ) → (¬ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥 ↔ ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦))
1110ralbidva 3134 . . . 4 (𝐴 ⊆ ℝ* → (∀𝑥 ∈ ℝ ¬ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦))
121, 11syl5bbr 274 . . 3 (𝐴 ⊆ ℝ* → (¬ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦))
13 supxrunb2 12355 . . 3 (𝐴 ⊆ ℝ* → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦 ↔ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞))
14 supxrcl 12350 . . . 4 (𝐴 ⊆ ℝ* → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
15 nltpnft 12200 . . . 4 (sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ* → (sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞ ↔ ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) < +∞))
1614, 15syl 17 . . 3 (𝐴 ⊆ ℝ* → (sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞ ↔ ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) < +∞))
1712, 13, 163bitrd 294 . 2 (𝐴 ⊆ ℝ* → (¬ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥 ↔ ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) < +∞))
1817con4bid 306 1 (𝐴 ⊆ ℝ* → (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥 ↔ sup(𝐴, ℝ*, < ) < +∞))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  wral 3061  wrex 3062  wss 3723   class class class wbr 4786  supcsup 8502  cr 10137  +∞cpnf 10273  *cxr 10275   < clt 10276  cle 10277
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215  ax-pre-sup 10216
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-op 4323  df-uni 4575  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-id 5157  df-po 5170  df-so 5171  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-sup 8504  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471
This theorem is referenced by:  ovolunlem1  23485  supxrre3  40057
  Copyright terms: Public domain W3C validator