MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  supxrbnd2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem supxrbnd2 12703
Description: The supremum of a bounded-above set of extended reals is less than infinity. (Contributed by NM, 30-Jan-2006.)
Assertion
Ref Expression
supxrbnd2 (𝐴 ⊆ ℝ* → (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥 ↔ sup(𝐴, ℝ*, < ) < +∞))
Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝐴

Proof of Theorem supxrbnd2
StepHypRef Expression
1 ralnex 3224 . . . 4 (∀𝑥 ∈ ℝ ¬ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥 ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)
2 ssel2 3937 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝑦𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ*)
3 rexr 10676 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℝ*)
4 xrlenlt 10695 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ ℝ*𝑥 ∈ ℝ*) → (𝑦𝑥 ↔ ¬ 𝑥 < 𝑦))
54con2bid 358 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ ℝ*𝑥 ∈ ℝ*) → (𝑥 < 𝑦 ↔ ¬ 𝑦𝑥))
62, 3, 5syl2an 598 . . . . . . . 8 (((𝐴 ⊆ ℝ*𝑦𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 < 𝑦 ↔ ¬ 𝑦𝑥))
76an32s 651 . . . . . . 7 (((𝐴 ⊆ ℝ*𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝐴) → (𝑥 < 𝑦 ↔ ¬ 𝑦𝑥))
87rexbidva 3282 . . . . . 6 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝑥 ∈ ℝ) → (∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦 ↔ ∃𝑦𝐴 ¬ 𝑦𝑥))
9 rexnal 3226 . . . . . 6 (∃𝑦𝐴 ¬ 𝑦𝑥 ↔ ¬ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)
108, 9syl6rbb 291 . . . . 5 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝑥 ∈ ℝ) → (¬ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥 ↔ ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦))
1110ralbidva 3186 . . . 4 (𝐴 ⊆ ℝ* → (∀𝑥 ∈ ℝ ¬ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦))
121, 11bitr3id 288 . . 3 (𝐴 ⊆ ℝ* → (¬ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦))
13 supxrunb2 12701 . . 3 (𝐴 ⊆ ℝ* → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦 ↔ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞))
14 supxrcl 12696 . . . 4 (𝐴 ⊆ ℝ* → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
15 nltpnft 12545 . . . 4 (sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ* → (sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞ ↔ ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) < +∞))
1614, 15syl 17 . . 3 (𝐴 ⊆ ℝ* → (sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞ ↔ ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) < +∞))
1712, 13, 163bitrd 308 . 2 (𝐴 ⊆ ℝ* → (¬ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥 ↔ ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) < +∞))
1817con4bid 320 1 (𝐴 ⊆ ℝ* → (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥 ↔ sup(𝐴, ℝ*, < ) < +∞))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1538  wcel 2114  wral 3130  wrex 3131  wss 3908   class class class wbr 5042  supcsup 8892  cr 10525  +∞cpnf 10661  *cxr 10663   < clt 10664  cle 10665
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rmo 3138  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-op 4546  df-uni 4814  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-id 5437  df-po 5451  df-so 5452  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-sup 8894  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862
This theorem is referenced by:  ovolunlem1  24099  supxrre3  41897
  Copyright terms: Public domain W3C validator