MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  supxrbnd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem supxrbnd 13307
Description: The supremum of a bounded-above nonempty set of reals is real. (Contributed by NM, 19-Jan-2006.)
Assertion
Ref Expression
supxrbnd ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < +∞) → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ)

Proof of Theorem supxrbnd
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ressxr 11258 . . . . 5 ℝ ⊆ ℝ*
2 sstr 3991 . . . . 5 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ℝ ⊆ ℝ*) → 𝐴 ⊆ ℝ*)
31, 2mpan2 690 . . . 4 (𝐴 ⊆ ℝ → 𝐴 ⊆ ℝ*)
4 supxrcl 13294 . . . . . . 7 (𝐴 ⊆ ℝ* → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
5 pnfxr 11268 . . . . . . . . . 10 +∞ ∈ ℝ*
6 xrltne 13142 . . . . . . . . . 10 ((sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < +∞) → +∞ ≠ sup(𝐴, ℝ*, < ))
75, 6mp3an2 1450 . . . . . . . . 9 ((sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ* ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < +∞) → +∞ ≠ sup(𝐴, ℝ*, < ))
87necomd 2997 . . . . . . . 8 ((sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ* ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < +∞) → sup(𝐴, ℝ*, < ) ≠ +∞)
98ex 414 . . . . . . 7 (sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ* → (sup(𝐴, ℝ*, < ) < +∞ → sup(𝐴, ℝ*, < ) ≠ +∞))
104, 9syl 17 . . . . . 6 (𝐴 ⊆ ℝ* → (sup(𝐴, ℝ*, < ) < +∞ → sup(𝐴, ℝ*, < ) ≠ +∞))
11 supxrunb2 13299 . . . . . . . . 9 (𝐴 ⊆ ℝ* → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦 ↔ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞))
12 ssel2 3978 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝑦𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ*)
1312adantlr 714 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ⊆ ℝ*𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ*)
14 rexr 11260 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℝ*)
1514ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ⊆ ℝ*𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ*)
16 xrlenlt 11279 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ ℝ*𝑥 ∈ ℝ*) → (𝑦𝑥 ↔ ¬ 𝑥 < 𝑦))
1716con2bid 355 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ ℝ*𝑥 ∈ ℝ*) → (𝑥 < 𝑦 ↔ ¬ 𝑦𝑥))
1813, 15, 17syl2anc 585 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ⊆ ℝ*𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝐴) → (𝑥 < 𝑦 ↔ ¬ 𝑦𝑥))
1918rexbidva 3177 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝑥 ∈ ℝ) → (∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦 ↔ ∃𝑦𝐴 ¬ 𝑦𝑥))
20 rexnal 3101 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑦𝐴 ¬ 𝑦𝑥 ↔ ¬ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)
2119, 20bitrdi 287 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝑥 ∈ ℝ) → (∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦 ↔ ¬ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥))
2221ralbidva 3176 . . . . . . . . 9 (𝐴 ⊆ ℝ* → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ¬ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥))
2311, 22bitr3d 281 . . . . . . . 8 (𝐴 ⊆ ℝ* → (sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ¬ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥))
24 ralnex 3073 . . . . . . . 8 (∀𝑥 ∈ ℝ ¬ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥 ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)
2523, 24bitrdi 287 . . . . . . 7 (𝐴 ⊆ ℝ* → (sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞ ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥))
2625necon2abid 2984 . . . . . 6 (𝐴 ⊆ ℝ* → (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥 ↔ sup(𝐴, ℝ*, < ) ≠ +∞))
2710, 26sylibrd 259 . . . . 5 (𝐴 ⊆ ℝ* → (sup(𝐴, ℝ*, < ) < +∞ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥))
2827imp 408 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < +∞) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)
293, 28sylan 581 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < +∞) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)
30293adant2 1132 . 2 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < +∞) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)
31 supxrre 13306 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) → sup(𝐴, ℝ*, < ) = sup(𝐴, ℝ, < ))
32 suprcl 12174 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ)
3331, 32eqeltrd 2834 . 2 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ)
3430, 33syld3an3 1410 1 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < +∞) → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 397  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2941  wral 3062  wrex 3071  wss 3949  c0 4323   class class class wbr 5149  supcsup 9435  cr 11109  +∞cpnf 11245  *cxr 11247   < clt 11248  cle 11249
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-po 5589  df-so 5590  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-sup 9437  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447
This theorem is referenced by:  supxrgtmnf  13308  ovolunlem1  25014  uniioombllem1  25098
  Copyright terms: Public domain W3C validator