MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  supxrbnd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem supxrbnd 13104
Description: The supremum of a bounded-above nonempty set of reals is real. (Contributed by NM, 19-Jan-2006.)
Assertion
Ref Expression
supxrbnd ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < +∞) → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ)

Proof of Theorem supxrbnd
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ressxr 11061 . . . . 5 ℝ ⊆ ℝ*
2 sstr 3934 . . . . 5 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ℝ ⊆ ℝ*) → 𝐴 ⊆ ℝ*)
31, 2mpan2 689 . . . 4 (𝐴 ⊆ ℝ → 𝐴 ⊆ ℝ*)
4 supxrcl 13091 . . . . . . 7 (𝐴 ⊆ ℝ* → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
5 pnfxr 11071 . . . . . . . . . 10 +∞ ∈ ℝ*
6 xrltne 12939 . . . . . . . . . 10 ((sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < +∞) → +∞ ≠ sup(𝐴, ℝ*, < ))
75, 6mp3an2 1449 . . . . . . . . 9 ((sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ* ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < +∞) → +∞ ≠ sup(𝐴, ℝ*, < ))
87necomd 2997 . . . . . . . 8 ((sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ* ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < +∞) → sup(𝐴, ℝ*, < ) ≠ +∞)
98ex 414 . . . . . . 7 (sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ* → (sup(𝐴, ℝ*, < ) < +∞ → sup(𝐴, ℝ*, < ) ≠ +∞))
104, 9syl 17 . . . . . 6 (𝐴 ⊆ ℝ* → (sup(𝐴, ℝ*, < ) < +∞ → sup(𝐴, ℝ*, < ) ≠ +∞))
11 supxrunb2 13096 . . . . . . . . 9 (𝐴 ⊆ ℝ* → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦 ↔ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞))
12 ssel2 3921 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝑦𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ*)
1312adantlr 713 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ⊆ ℝ*𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ*)
14 rexr 11063 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℝ*)
1514ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ⊆ ℝ*𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ*)
16 xrlenlt 11082 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ ℝ*𝑥 ∈ ℝ*) → (𝑦𝑥 ↔ ¬ 𝑥 < 𝑦))
1716con2bid 356 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ ℝ*𝑥 ∈ ℝ*) → (𝑥 < 𝑦 ↔ ¬ 𝑦𝑥))
1813, 15, 17syl2anc 585 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ⊆ ℝ*𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝐴) → (𝑥 < 𝑦 ↔ ¬ 𝑦𝑥))
1918rexbidva 3170 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝑥 ∈ ℝ) → (∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦 ↔ ∃𝑦𝐴 ¬ 𝑦𝑥))
20 rexnal 3100 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑦𝐴 ¬ 𝑦𝑥 ↔ ¬ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)
2119, 20bitrdi 288 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝑥 ∈ ℝ) → (∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦 ↔ ¬ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥))
2221ralbidva 3169 . . . . . . . . 9 (𝐴 ⊆ ℝ* → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ¬ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥))
2311, 22bitr3d 282 . . . . . . . 8 (𝐴 ⊆ ℝ* → (sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ¬ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥))
24 ralnex 3073 . . . . . . . 8 (∀𝑥 ∈ ℝ ¬ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥 ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)
2523, 24bitrdi 288 . . . . . . 7 (𝐴 ⊆ ℝ* → (sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞ ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥))
2625necon2abid 2984 . . . . . 6 (𝐴 ⊆ ℝ* → (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥 ↔ sup(𝐴, ℝ*, < ) ≠ +∞))
2710, 26sylibrd 260 . . . . 5 (𝐴 ⊆ ℝ* → (sup(𝐴, ℝ*, < ) < +∞ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥))
2827imp 408 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < +∞) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)
293, 28sylan 581 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < +∞) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)
30293adant2 1131 . 2 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < +∞) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)
31 supxrre 13103 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) → sup(𝐴, ℝ*, < ) = sup(𝐴, ℝ, < ))
32 suprcl 11977 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ)
3331, 32eqeltrd 2837 . 2 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ)
3430, 33syld3an3 1409 1 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < +∞) → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 397  w3a 1087   = wceq 1539  wcel 2104  wne 2941  wral 3062  wrex 3071  wss 3892  c0 4262   class class class wbr 5081  supcsup 9239  cr 10912  +∞cpnf 11048  *cxr 11050   < clt 11051  cle 11052
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pow 5297  ax-pr 5361  ax-un 7616  ax-cnex 10969  ax-resscn 10970  ax-1cn 10971  ax-icn 10972  ax-addcl 10973  ax-addrcl 10974  ax-mulcl 10975  ax-mulrcl 10976  ax-mulcom 10977  ax-addass 10978  ax-mulass 10979  ax-distr 10980  ax-i2m1 10981  ax-1ne0 10982  ax-1rid 10983  ax-rnegex 10984  ax-rrecex 10985  ax-cnre 10986  ax-pre-lttri 10987  ax-pre-lttrn 10988  ax-pre-ltadd 10989  ax-pre-mulgt0 10990  ax-pre-sup 10991
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3285  df-reu 3286  df-rab 3287  df-v 3439  df-sbc 3722  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4566  df-pr 4568  df-op 4572  df-uni 4845  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-id 5496  df-po 5510  df-so 5511  df-xp 5602  df-rel 5603  df-cnv 5604  df-co 5605  df-dm 5606  df-rn 5607  df-res 5608  df-ima 5609  df-iota 6406  df-fun 6456  df-fn 6457  df-f 6458  df-f1 6459  df-fo 6460  df-f1o 6461  df-fv 6462  df-riota 7260  df-ov 7306  df-oprab 7307  df-mpo 7308  df-er 8525  df-en 8761  df-dom 8762  df-sdom 8763  df-sup 9241  df-pnf 11053  df-mnf 11054  df-xr 11055  df-ltxr 11056  df-le 11057  df-sub 11249  df-neg 11250
This theorem is referenced by:  supxrgtmnf  13105  ovolunlem1  24702  uniioombllem1  24786
  Copyright terms: Public domain W3C validator