Theorem xmetgt0 24300

Description: The distance function of an extended metric space is positive for unequal points. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xmetgt0	⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴 ≠ 𝐵 ↔ 0 < (𝐴𝐷𝐵)))

Proof of Theorem xmetgt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xmetge0 24286	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → 0 ≤ (𝐴𝐷𝐵))
2	1	biantrud 531	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝐴𝐷𝐵) ≤ 0 ↔ ((𝐴𝐷𝐵) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (𝐴𝐷𝐵))))
3		xmetcl 24273	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ*)
4		0xr 11177	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ*
5		xrletri3 13066	. . . . 5 ⊢ (((𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) → ((𝐴𝐷𝐵) = 0 ↔ ((𝐴𝐷𝐵) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (𝐴𝐷𝐵))))
6	3, 4, 5	sylancl 586	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝐴𝐷𝐵) = 0 ↔ ((𝐴𝐷𝐵) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (𝐴𝐷𝐵))))
7	2, 6	bitr4d 282	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝐴𝐷𝐵) ≤ 0 ↔ (𝐴𝐷𝐵) = 0))
8		xrlenlt 11195	. . . 4 ⊢ (((𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) → ((𝐴𝐷𝐵) ≤ 0 ↔ ¬ 0 < (𝐴𝐷𝐵)))
9	3, 4, 8	sylancl 586	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝐴𝐷𝐵) ≤ 0 ↔ ¬ 0 < (𝐴𝐷𝐵)))
10		xmeteq0 24280	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝐴𝐷𝐵) = 0 ↔ 𝐴 = 𝐵))
11	7, 9, 10	3bitr3d 309	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (¬ 0 < (𝐴𝐷𝐵) ↔ 𝐴 = 𝐵))
12	11	necon1abid 2968	1 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴 ≠ 𝐵 ↔ 0 < (𝐴𝐷𝐵)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2930   class class class wbr 5096  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356  0cc0 11024  ℝ^*cxr 11163   < clt 11164   ≤ cle 11165  ∞Metcxmet 21292

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-id 5517  df-po 5530  df-so 5531  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-er 8633  df-map 8763  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-div 11793  df-2 12206  df-rp 12904  df-xneg 13024  df-xadd 13025  df-xmul 13026  df-xmet 21300

This theorem is referenced by:  metgt0  24301