Theorem supxr2 13293

Description: The supremum of a set of extended reals. (Contributed by NM, 9-Apr-2006.)

Assertion

Ref	Expression
supxr2	⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑦))) → sup(𝐴, ℝ*, < ) = 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦

Proof of Theorem supxr2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssel2 3978	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ*)
2		xrlenlt 11279	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑥 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝑥))
3	1, 2	sylan 581	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑥 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝑥))
4	3	an32s 651	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑥 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝑥))
5	4	ralbidva 3176	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝐵 < 𝑥))
6	5	anbi1d 631	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ((∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑦)) ↔ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝐵 < 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑦))))
7	6	biimpa 478	. 2 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑦))) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝐵 < 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑦)))
8		supxr 13292	. 2 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝐵 < 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑦))) → sup(𝐴, ℝ*, < ) = 𝐵)
9	7, 8	syldan 592	1 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < 𝐵 → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 < 𝑦))) → sup(𝐴, ℝ*, < ) = 𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  ∀wral 3062  ∃wrex 3071   ⊆ wss 3949   class class class wbr 5149  supcsup 9435  ℝcr 11109  ℝ^*cxr 11247   < clt 11248   ≤ cle 11249

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-po 5589  df-so 5590  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-sup 9437  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447

This theorem is referenced by:  nmopun  31267  branmfn  31358  pjnmopi  31401  xrofsup  31980  esumcst  33061  esumfsup  33068  sge0seq  45162