MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xralrple Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xralrple 13247
Description: Show that 𝐴 is less than 𝐵 by showing that there is no positive bound on the difference. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
xralrple ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑥)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem xralrple
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rpge0 13048 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 𝑥)
21adantl 481 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 0 ≤ 𝑥)
3 simplr 769 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ)
4 rpre 13043 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ)
54adantl 481 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℝ)
63, 5addge01d 11851 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (0 ≤ 𝑥𝐵 ≤ (𝐵 + 𝑥)))
72, 6mpbid 232 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐵 ≤ (𝐵 + 𝑥))
8 simpll 767 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℝ*)
93rexrd 11311 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ*)
103, 5readdcld 11290 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐵 + 𝑥) ∈ ℝ)
1110rexrd 11311 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐵 + 𝑥) ∈ ℝ*)
12 xrletr 13200 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 + 𝑥) ∈ ℝ*) → ((𝐴𝐵𝐵 ≤ (𝐵 + 𝑥)) → 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑥)))
138, 9, 11, 12syl3anc 1373 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((𝐴𝐵𝐵 ≤ (𝐵 + 𝑥)) → 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑥)))
147, 13mpan2d 694 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐴𝐵𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑥)))
1514ralrimdva 3154 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴𝐵 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑥)))
16 rexr 11307 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℝ*)
1716adantl 481 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ*)
18 simpl 482 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ*)
19 qbtwnxr 13242 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*𝐵 < 𝐴) → ∃𝑦 ∈ ℚ (𝐵 < 𝑦𝑦 < 𝐴))
20193expia 1122 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) → (𝐵 < 𝐴 → ∃𝑦 ∈ ℚ (𝐵 < 𝑦𝑦 < 𝐴)))
2117, 18, 20syl2anc 584 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → (𝐵 < 𝐴 → ∃𝑦 ∈ ℚ (𝐵 < 𝑦𝑦 < 𝐴)))
22 simprrl 781 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ (𝐵 < 𝑦𝑦 < 𝐴))) → 𝐵 < 𝑦)
23 simplr 769 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ (𝐵 < 𝑦𝑦 < 𝐴))) → 𝐵 ∈ ℝ)
24 qre 12995 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℚ → 𝑦 ∈ ℝ)
2524ad2antrl 728 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ (𝐵 < 𝑦𝑦 < 𝐴))) → 𝑦 ∈ ℝ)
26 difrp 13073 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐵 < 𝑦 ↔ (𝑦𝐵) ∈ ℝ+))
2723, 25, 26syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ (𝐵 < 𝑦𝑦 < 𝐴))) → (𝐵 < 𝑦 ↔ (𝑦𝐵) ∈ ℝ+))
2822, 27mpbid 232 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ (𝐵 < 𝑦𝑦 < 𝐴))) → (𝑦𝐵) ∈ ℝ+)
29 simprrr 782 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ (𝐵 < 𝑦𝑦 < 𝐴))) → 𝑦 < 𝐴)
3025rexrd 11311 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ (𝐵 < 𝑦𝑦 < 𝐴))) → 𝑦 ∈ ℝ*)
31 simpll 767 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ (𝐵 < 𝑦𝑦 < 𝐴))) → 𝐴 ∈ ℝ*)
32 xrltnle 11328 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) → (𝑦 < 𝐴 ↔ ¬ 𝐴𝑦))
3330, 31, 32syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ (𝐵 < 𝑦𝑦 < 𝐴))) → (𝑦 < 𝐴 ↔ ¬ 𝐴𝑦))
3429, 33mpbid 232 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ (𝐵 < 𝑦𝑦 < 𝐴))) → ¬ 𝐴𝑦)
3523recnd 11289 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ (𝐵 < 𝑦𝑦 < 𝐴))) → 𝐵 ∈ ℂ)
3625recnd 11289 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ (𝐵 < 𝑦𝑦 < 𝐴))) → 𝑦 ∈ ℂ)
3735, 36pncan3d 11623 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ (𝐵 < 𝑦𝑦 < 𝐴))) → (𝐵 + (𝑦𝐵)) = 𝑦)
3837breq2d 5155 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ (𝐵 < 𝑦𝑦 < 𝐴))) → (𝐴 ≤ (𝐵 + (𝑦𝐵)) ↔ 𝐴𝑦))
3934, 38mtbird 325 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ (𝐵 < 𝑦𝑦 < 𝐴))) → ¬ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝑦𝐵)))
40 oveq2 7439 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (𝑦𝐵) → (𝐵 + 𝑥) = (𝐵 + (𝑦𝐵)))
4140breq2d 5155 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (𝑦𝐵) → (𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑥) ↔ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝑦𝐵))))
4241notbid 318 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝑦𝐵) → (¬ 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑥) ↔ ¬ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝑦𝐵))))
4342rspcev 3622 . . . . . . . 8 (((𝑦𝐵) ∈ ℝ+ ∧ ¬ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝑦𝐵))) → ∃𝑥 ∈ ℝ+ ¬ 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑥))
4428, 39, 43syl2anc 584 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ (𝐵 < 𝑦𝑦 < 𝐴))) → ∃𝑥 ∈ ℝ+ ¬ 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑥))
45 rexnal 3100 . . . . . . 7 (∃𝑥 ∈ ℝ+ ¬ 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑥) ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑥))
4644, 45sylib 218 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ (𝐵 < 𝑦𝑦 < 𝐴))) → ¬ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑥))
4746rexlimdvaa 3156 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → (∃𝑦 ∈ ℚ (𝐵 < 𝑦𝑦 < 𝐴) → ¬ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑥)))
4821, 47syld 47 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → (𝐵 < 𝐴 → ¬ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑥)))
4948con2d 134 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → (∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑥) → ¬ 𝐵 < 𝐴))
50 xrlenlt 11326 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
5116, 50sylan2 593 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
5249, 51sylibrd 259 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → (∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑥) → 𝐴𝐵))
5315, 52impbid 212 1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑥)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wral 3061  wrex 3070   class class class wbr 5143  (class class class)co 7431  cr 11154  0cc0 11155   + caddc 11158  *cxr 11294   < clt 11295  cle 11296  cmin 11492  cq 12990  +crp 13034
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035
This theorem is referenced by:  alrple  13248  ovollb2  25524  ovolun  25534  ovoliun  25540  ovolscalem2  25549  nulmbl2  25571  omssubadd  34302  xrlexaddrp  45363  xralrple2  45365  xralrple4  45384  xralrple3  45385  xrralrecnnle  45394  carageniuncl  46538
  Copyright terms: Public domain W3C validator