Theorem xralrple 12939

Description: Show that 𝐴 is less than 𝐵 by showing that there is no positive bound on the difference. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
xralrple	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑥)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem xralrple

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpge0 12743	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 𝑥)
2	1	adantl 482	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 0 ≤ 𝑥)
3		simplr 766	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ)
4		rpre 12738	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → 𝑥 ∈ ℝ)
5	4	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℝ)
6	3, 5	addge01d 11563	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (0 ≤ 𝑥 ↔ 𝐵 ≤ (𝐵 + 𝑥)))
7	2, 6	mpbid 231	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐵 ≤ (𝐵 + 𝑥))
8		simpll 764	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℝ*)
9	3	rexrd 11025	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ*)
10	3, 5	readdcld 11004	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐵 + 𝑥) ∈ ℝ)
11	10	rexrd 11025	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐵 + 𝑥) ∈ ℝ*)
12		xrletr 12892	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 + 𝑥) ∈ ℝ*) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ (𝐵 + 𝑥)) → 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑥)))
13	8, 9, 11, 12	syl3anc 1370	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ (𝐵 + 𝑥)) → 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑥)))
14	7, 13	mpan2d 691	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐴 ≤ 𝐵 → 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑥)))
15	14	ralrimdva 3106	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑥)))
16		rexr 11021	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℝ*)
17	16	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ*)
18		simpl 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ*)
19		qbtwnxr 12934	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 < 𝐴) → ∃𝑦 ∈ ℚ (𝐵 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝐴))
20	19	3expia 1120	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (𝐵 < 𝐴 → ∃𝑦 ∈ ℚ (𝐵 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝐴)))
21	17, 18, 20	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐵 < 𝐴 → ∃𝑦 ∈ ℚ (𝐵 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝐴)))
22		simprrl 778	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ (𝐵 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝐴))) → 𝐵 < 𝑦)
23		simplr 766	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ (𝐵 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝐴))) → 𝐵 ∈ ℝ)
24		qre 12693	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℚ → 𝑦 ∈ ℝ)
25	24	ad2antrl 725	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ (𝐵 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝐴))) → 𝑦 ∈ ℝ)
26		difrp 12768	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐵 < 𝑦 ↔ (𝑦 − 𝐵) ∈ ℝ+))
27	23, 25, 26	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ (𝐵 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝐴))) → (𝐵 < 𝑦 ↔ (𝑦 − 𝐵) ∈ ℝ+))
28	22, 27	mpbid 231	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ (𝐵 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝐴))) → (𝑦 − 𝐵) ∈ ℝ+)
29		simprrr 779	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ (𝐵 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝐴))) → 𝑦 < 𝐴)
30	25	rexrd 11025	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ (𝐵 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝐴))) → 𝑦 ∈ ℝ*)
31		simpll 764	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ (𝐵 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝐴))) → 𝐴 ∈ ℝ*)
32		xrltnle 11042	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (𝑦 < 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≤ 𝑦))
33	30, 31, 32	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ (𝐵 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝐴))) → (𝑦 < 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≤ 𝑦))
34	29, 33	mpbid 231	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ (𝐵 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝐴))) → ¬ 𝐴 ≤ 𝑦)
35	23	recnd 11003	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ (𝐵 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝐴))) → 𝐵 ∈ ℂ)
36	25	recnd 11003	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ (𝐵 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝐴))) → 𝑦 ∈ ℂ)
37	35, 36	pncan3d 11335	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ (𝐵 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝐴))) → (𝐵 + (𝑦 − 𝐵)) = 𝑦)
38	37	breq2d 5086	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ (𝐵 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝐴))) → (𝐴 ≤ (𝐵 + (𝑦 − 𝐵)) ↔ 𝐴 ≤ 𝑦))
39	34, 38	mtbird 325	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ (𝐵 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝐴))) → ¬ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝑦 − 𝐵)))
40		oveq2 7283	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = (𝑦 − 𝐵) → (𝐵 + 𝑥) = (𝐵 + (𝑦 − 𝐵)))
41	40	breq2d 5086	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = (𝑦 − 𝐵) → (𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑥) ↔ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝑦 − 𝐵))))
42	41	notbid 318	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝑦 − 𝐵) → (¬ 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑥) ↔ ¬ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝑦 − 𝐵))))
43	42	rspcev 3561	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑦 − 𝐵) ∈ ℝ+ ∧ ¬ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝑦 − 𝐵))) → ∃𝑥 ∈ ℝ+ ¬ 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑥))
44	28, 39, 43	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ (𝐵 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝐴))) → ∃𝑥 ∈ ℝ+ ¬ 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑥))
45		rexnal 3169	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℝ+ ¬ 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑥) ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑥))
46	44, 45	sylib 217	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ (𝐵 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝐴))) → ¬ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑥))
47	46	rexlimdvaa 3214	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (∃𝑦 ∈ ℚ (𝐵 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝐴) → ¬ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑥)))
48	21, 47	syld 47	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐵 < 𝐴 → ¬ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑥)))
49	48	con2d 134	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑥) → ¬ 𝐵 < 𝐴))
50		xrlenlt 11040	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
51	16, 50	sylan2 593	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
52	49, 51	sylibrd 258	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑥) → 𝐴 ≤ 𝐵))
53	15, 52	impbid 211	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑥)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064  ∃wrex 3065   class class class wbr 5074  (class class class)co 7275  ℝcr 10870  0cc0 10871   + caddc 10874  ℝ^*cxr 11008   < clt 11009   ≤ cle 11010   − cmin 11205  ℚcq 12688  ℝ⁺crp 12730

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-sup 9201  df-inf 9202  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-q 12689  df-rp 12731

This theorem is referenced by:  alrple  12940  ovollb2  24653  ovolun  24663  ovoliun  24669  ovolscalem2  24678  nulmbl2  24700  omssubadd  32267  xrlexaddrp  42891  xralrple2  42893  xralrple4  42912  xralrple3  42913  xrralrecnnle  42922  carageniuncl  44061