Theorem xralrple 12868

Description: Show that 𝐴 is less than 𝐵 by showing that there is no positive bound on the difference. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
xralrple	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑥)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem xralrple

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpge0 12672	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 𝑥)
2	1	adantl 481	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 0 ≤ 𝑥)
3		simplr 765	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ)
4		rpre 12667	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → 𝑥 ∈ ℝ)
5	4	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℝ)
6	3, 5	addge01d 11493	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (0 ≤ 𝑥 ↔ 𝐵 ≤ (𝐵 + 𝑥)))
7	2, 6	mpbid 231	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐵 ≤ (𝐵 + 𝑥))
8		simpll 763	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℝ*)
9	3	rexrd 10956	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ*)
10	3, 5	readdcld 10935	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐵 + 𝑥) ∈ ℝ)
11	10	rexrd 10956	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐵 + 𝑥) ∈ ℝ*)
12		xrletr 12821	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 + 𝑥) ∈ ℝ*) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ (𝐵 + 𝑥)) → 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑥)))
13	8, 9, 11, 12	syl3anc 1369	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ (𝐵 + 𝑥)) → 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑥)))
14	7, 13	mpan2d 690	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐴 ≤ 𝐵 → 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑥)))
15	14	ralrimdva 3112	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑥)))
16		rexr 10952	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℝ*)
17	16	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ*)
18		simpl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ*)
19		qbtwnxr 12863	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 < 𝐴) → ∃𝑦 ∈ ℚ (𝐵 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝐴))
20	19	3expia 1119	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (𝐵 < 𝐴 → ∃𝑦 ∈ ℚ (𝐵 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝐴)))
21	17, 18, 20	syl2anc 583	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐵 < 𝐴 → ∃𝑦 ∈ ℚ (𝐵 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝐴)))
22		simprrl 777	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ (𝐵 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝐴))) → 𝐵 < 𝑦)
23		simplr 765	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ (𝐵 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝐴))) → 𝐵 ∈ ℝ)
24		qre 12622	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℚ → 𝑦 ∈ ℝ)
25	24	ad2antrl 724	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ (𝐵 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝐴))) → 𝑦 ∈ ℝ)
26		difrp 12697	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐵 < 𝑦 ↔ (𝑦 − 𝐵) ∈ ℝ+))
27	23, 25, 26	syl2anc 583	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ (𝐵 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝐴))) → (𝐵 < 𝑦 ↔ (𝑦 − 𝐵) ∈ ℝ+))
28	22, 27	mpbid 231	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ (𝐵 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝐴))) → (𝑦 − 𝐵) ∈ ℝ+)
29		simprrr 778	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ (𝐵 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝐴))) → 𝑦 < 𝐴)
30	25	rexrd 10956	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ (𝐵 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝐴))) → 𝑦 ∈ ℝ*)
31		simpll 763	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ (𝐵 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝐴))) → 𝐴 ∈ ℝ*)
32		xrltnle 10973	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (𝑦 < 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≤ 𝑦))
33	30, 31, 32	syl2anc 583	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ (𝐵 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝐴))) → (𝑦 < 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≤ 𝑦))
34	29, 33	mpbid 231	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ (𝐵 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝐴))) → ¬ 𝐴 ≤ 𝑦)
35	23	recnd 10934	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ (𝐵 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝐴))) → 𝐵 ∈ ℂ)
36	25	recnd 10934	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ (𝐵 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝐴))) → 𝑦 ∈ ℂ)
37	35, 36	pncan3d 11265	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ (𝐵 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝐴))) → (𝐵 + (𝑦 − 𝐵)) = 𝑦)
38	37	breq2d 5082	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ (𝐵 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝐴))) → (𝐴 ≤ (𝐵 + (𝑦 − 𝐵)) ↔ 𝐴 ≤ 𝑦))
39	34, 38	mtbird 324	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ (𝐵 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝐴))) → ¬ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝑦 − 𝐵)))
40		oveq2 7263	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = (𝑦 − 𝐵) → (𝐵 + 𝑥) = (𝐵 + (𝑦 − 𝐵)))
41	40	breq2d 5082	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = (𝑦 − 𝐵) → (𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑥) ↔ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝑦 − 𝐵))))
42	41	notbid 317	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝑦 − 𝐵) → (¬ 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑥) ↔ ¬ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝑦 − 𝐵))))
43	42	rspcev 3552	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑦 − 𝐵) ∈ ℝ+ ∧ ¬ 𝐴 ≤ (𝐵 + (𝑦 − 𝐵))) → ∃𝑥 ∈ ℝ+ ¬ 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑥))
44	28, 39, 43	syl2anc 583	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ (𝐵 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝐴))) → ∃𝑥 ∈ ℝ+ ¬ 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑥))
45		rexnal 3165	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℝ+ ¬ 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑥) ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑥))
46	44, 45	sylib 217	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ (𝐵 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝐴))) → ¬ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑥))
47	46	rexlimdvaa 3213	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (∃𝑦 ∈ ℚ (𝐵 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝐴) → ¬ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑥)))
48	21, 47	syld 47	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐵 < 𝐴 → ¬ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑥)))
49	48	con2d 134	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑥) → ¬ 𝐵 < 𝐴))
50		xrlenlt 10971	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
51	16, 50	sylan2 592	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
52	49, 51	sylibrd 258	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑥) → 𝐴 ≤ 𝐵))
53	15, 52	impbid 211	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑥)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ∀wral 3063  ∃wrex 3064   class class class wbr 5070  (class class class)co 7255  ℝcr 10801  0cc0 10802   + caddc 10805  ℝ^*cxr 10939   < clt 10940   ≤ cle 10941   − cmin 11135  ℚcq 12617  ℝ⁺crp 12659

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-sup 9131  df-inf 9132  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-q 12618  df-rp 12660

This theorem is referenced by:  alrple  12869  ovollb2  24558  ovolun  24568  ovoliun  24574  ovolscalem2  24583  nulmbl2  24605  omssubadd  32167  xrlexaddrp  42781  xralrple2  42783  xralrple4  42802  xralrple3  42803  xrralrecnnle  42812  carageniuncl  43951