Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xrsupssd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrsupssd 30041
Description: Inequality deduction for supremum of an extended real subset. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Mar-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
xrsupssd.1 (𝜑𝐵𝐶)
xrsupssd.2 (𝜑𝐶 ⊆ ℝ*)
Assertion
Ref Expression
xrsupssd (𝜑 → sup(𝐵, ℝ*, < ) ≤ sup(𝐶, ℝ*, < ))

Proof of Theorem xrsupssd
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xrltso 12220 . . . 4 < Or ℝ*
21a1i 11 . . 3 (𝜑 → < Or ℝ*)
3 xrsupssd.1 . . 3 (𝜑𝐵𝐶)
4 xrsupssd.2 . . 3 (𝜑𝐶 ⊆ ℝ*)
53, 4sstrd 3809 . . . 4 (𝜑𝐵 ⊆ ℝ*)
6 xrsupss 12387 . . . 4 (𝐵 ⊆ ℝ* → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑦 < 𝑧)))
75, 6syl 17 . . 3 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑦 < 𝑧)))
8 xrsupss 12387 . . . 4 (𝐶 ⊆ ℝ* → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦𝐶 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐶 𝑦 < 𝑧)))
94, 8syl 17 . . 3 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦𝐶 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐶 𝑦 < 𝑧)))
102, 3, 4, 7, 9supssd 30004 . 2 (𝜑 → ¬ sup(𝐶, ℝ*, < ) < sup(𝐵, ℝ*, < ))
112, 7supcl 8607 . . 3 (𝜑 → sup(𝐵, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
122, 9supcl 8607 . . 3 (𝜑 → sup(𝐶, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
13 xrlenlt 10394 . . 3 ((sup(𝐵, ℝ*, < ) ∈ ℝ* ∧ sup(𝐶, ℝ*, < ) ∈ ℝ*) → (sup(𝐵, ℝ*, < ) ≤ sup(𝐶, ℝ*, < ) ↔ ¬ sup(𝐶, ℝ*, < ) < sup(𝐵, ℝ*, < )))
1411, 12, 13syl2anc 580 . 2 (𝜑 → (sup(𝐵, ℝ*, < ) ≤ sup(𝐶, ℝ*, < ) ↔ ¬ sup(𝐶, ℝ*, < ) < sup(𝐵, ℝ*, < )))
1510, 14mpbird 249 1 (𝜑 → sup(𝐵, ℝ*, < ) ≤ sup(𝐶, ℝ*, < ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 198  wa 385  wcel 2157  wral 3090  wrex 3091  wss 3770   class class class wbr 4844   Or wor 5233  supcsup 8589  *cxr 10363   < clt 10364  cle 10365
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2378  ax-ext 2778  ax-sep 4976  ax-nul 4984  ax-pow 5036  ax-pr 5098  ax-un 7184  ax-cnex 10281  ax-resscn 10282  ax-1cn 10283  ax-icn 10284  ax-addcl 10285  ax-addrcl 10286  ax-mulcl 10287  ax-mulrcl 10288  ax-mulcom 10289  ax-addass 10290  ax-mulass 10291  ax-distr 10292  ax-i2m1 10293  ax-1ne0 10294  ax-1rid 10295  ax-rnegex 10296  ax-rrecex 10297  ax-cnre 10298  ax-pre-lttri 10299  ax-pre-lttrn 10300  ax-pre-ltadd 10301  ax-pre-mulgt0 10302  ax-pre-sup 10303
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2592  df-eu 2610  df-clab 2787  df-cleq 2793  df-clel 2796  df-nfc 2931  df-ne 2973  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3388  df-sbc 3635  df-csb 3730  df-dif 3773  df-un 3775  df-in 3777  df-ss 3784  df-nul 4117  df-if 4279  df-pw 4352  df-sn 4370  df-pr 4372  df-op 4376  df-uni 4630  df-br 4845  df-opab 4907  df-mpt 4924  df-id 5221  df-po 5234  df-so 5235  df-xp 5319  df-rel 5320  df-cnv 5321  df-co 5322  df-dm 5323  df-rn 5324  df-res 5325  df-ima 5326  df-iota 6065  df-fun 6104  df-fn 6105  df-f 6106  df-f1 6107  df-fo 6108  df-f1o 6109  df-fv 6110  df-riota 6840  df-ov 6882  df-oprab 6883  df-mpt2 6884  df-er 7983  df-en 8197  df-dom 8198  df-sdom 8199  df-sup 8591  df-pnf 10366  df-mnf 10367  df-xr 10368  df-ltxr 10369  df-le 10370  df-sub 10559  df-neg 10560
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator