Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xrsupssd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrsupssd 32550
Description: Inequality deduction for supremum of an extended real subset. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Mar-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
xrsupssd.1 (𝜑𝐵𝐶)
xrsupssd.2 (𝜑𝐶 ⊆ ℝ*)
Assertion
Ref Expression
xrsupssd (𝜑 → sup(𝐵, ℝ*, < ) ≤ sup(𝐶, ℝ*, < ))

Proof of Theorem xrsupssd
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xrltso 13160 . . . 4 < Or ℝ*
21a1i 11 . . 3 (𝜑 → < Or ℝ*)
3 xrsupssd.1 . . 3 (𝜑𝐵𝐶)
4 xrsupssd.2 . . 3 (𝜑𝐶 ⊆ ℝ*)
53, 4sstrd 3992 . . . 4 (𝜑𝐵 ⊆ ℝ*)
6 xrsupss 13328 . . . 4 (𝐵 ⊆ ℝ* → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑦 < 𝑧)))
75, 6syl 17 . . 3 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑦 < 𝑧)))
8 xrsupss 13328 . . . 4 (𝐶 ⊆ ℝ* → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦𝐶 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐶 𝑦 < 𝑧)))
94, 8syl 17 . . 3 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦𝐶 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐶 𝑦 < 𝑧)))
102, 3, 4, 7, 9supssd 32512 . 2 (𝜑 → ¬ sup(𝐶, ℝ*, < ) < sup(𝐵, ℝ*, < ))
112, 7supcl 9489 . . 3 (𝜑 → sup(𝐵, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
122, 9supcl 9489 . . 3 (𝜑 → sup(𝐶, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
13 xrlenlt 11317 . . 3 ((sup(𝐵, ℝ*, < ) ∈ ℝ* ∧ sup(𝐶, ℝ*, < ) ∈ ℝ*) → (sup(𝐵, ℝ*, < ) ≤ sup(𝐶, ℝ*, < ) ↔ ¬ sup(𝐶, ℝ*, < ) < sup(𝐵, ℝ*, < )))
1411, 12, 13syl2anc 582 . 2 (𝜑 → (sup(𝐵, ℝ*, < ) ≤ sup(𝐶, ℝ*, < ) ↔ ¬ sup(𝐶, ℝ*, < ) < sup(𝐵, ℝ*, < )))
1510, 14mpbird 256 1 (𝜑 → sup(𝐵, ℝ*, < ) ≤ sup(𝐶, ℝ*, < ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 394  wcel 2098  wral 3058  wrex 3067  wss 3949   class class class wbr 5152   Or wor 5593  supcsup 9471  *cxr 11285   < clt 11286  cle 11287
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5580  df-po 5594  df-so 5595  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-sup 9473  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator