Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xrsupssd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrsupssd 30396
 Description: Inequality deduction for supremum of an extended real subset. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Mar-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
xrsupssd.1 (𝜑𝐵𝐶)
xrsupssd.2 (𝜑𝐶 ⊆ ℝ*)
Assertion
Ref Expression
xrsupssd (𝜑 → sup(𝐵, ℝ*, < ) ≤ sup(𝐶, ℝ*, < ))

Proof of Theorem xrsupssd
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xrltso 12524 . . . 4 < Or ℝ*
21a1i 11 . . 3 (𝜑 → < Or ℝ*)
3 xrsupssd.1 . . 3 (𝜑𝐵𝐶)
4 xrsupssd.2 . . 3 (𝜑𝐶 ⊆ ℝ*)
53, 4sstrd 3981 . . . 4 (𝜑𝐵 ⊆ ℝ*)
6 xrsupss 12692 . . . 4 (𝐵 ⊆ ℝ* → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑦 < 𝑧)))
75, 6syl 17 . . 3 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑦 < 𝑧)))
8 xrsupss 12692 . . . 4 (𝐶 ⊆ ℝ* → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦𝐶 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐶 𝑦 < 𝑧)))
94, 8syl 17 . . 3 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦𝐶 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐶 𝑦 < 𝑧)))
102, 3, 4, 7, 9supssd 30358 . 2 (𝜑 → ¬ sup(𝐶, ℝ*, < ) < sup(𝐵, ℝ*, < ))
112, 7supcl 8911 . . 3 (𝜑 → sup(𝐵, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
122, 9supcl 8911 . . 3 (𝜑 → sup(𝐶, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
13 xrlenlt 10695 . . 3 ((sup(𝐵, ℝ*, < ) ∈ ℝ* ∧ sup(𝐶, ℝ*, < ) ∈ ℝ*) → (sup(𝐵, ℝ*, < ) ≤ sup(𝐶, ℝ*, < ) ↔ ¬ sup(𝐶, ℝ*, < ) < sup(𝐵, ℝ*, < )))
1411, 12, 13syl2anc 584 . 2 (𝜑 → (sup(𝐵, ℝ*, < ) ≤ sup(𝐶, ℝ*, < ) ↔ ¬ sup(𝐶, ℝ*, < ) < sup(𝐵, ℝ*, < )))
1510, 14mpbird 258 1 (𝜑 → sup(𝐵, ℝ*, < ) ≤ sup(𝐶, ℝ*, < ))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∈ wcel 2107  ∀wral 3143  ∃wrex 3144   ⊆ wss 3940   class class class wbr 5063   Or wor 5472  supcsup 8893  ℝ*cxr 10663   < clt 10664   ≤ cle 10665 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7451  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604 This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rmo 3151  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-op 4571  df-uni 4838  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-id 5459  df-po 5473  df-so 5474  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-iota 6312  df-fun 6354  df-fn 6355  df-f 6356  df-f1 6357  df-fo 6358  df-f1o 6359  df-fv 6360  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-er 8279  df-en 8499  df-dom 8500  df-sdom 8501  df-sup 8895  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator