Theorem hashgt0elex 14322

Description: If the size of a set is greater than zero, then the set must contain at least one element. (Contributed by Alexander van der Vekens, 6-Jan-2018.)

Assertion

Ref	Expression
hashgt0elex	⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 0 < (♯‘𝑉)) → ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝑉)

Distinct variable group:   𝑥,𝑉

Allowed substitution hint:   𝑊(𝑥)

Proof of Theorem hashgt0elex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		alnex 1782	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑥 ¬ 𝑥 ∈ 𝑉 ↔ ¬ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝑉)
2		eq0 4300	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑉 = ∅ ↔ ∀𝑥 ¬ 𝑥 ∈ 𝑉)
3	2	biimpri 228	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑥 ¬ 𝑥 ∈ 𝑉 → 𝑉 = ∅)
4	3	a1d 25	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑥 ¬ 𝑥 ∈ 𝑉 → (𝑉 ∈ 𝑊 → 𝑉 = ∅))
5	1, 4	sylbir 235	. . . . . . 7 ⊢ (¬ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝑉 → (𝑉 ∈ 𝑊 → 𝑉 = ∅))
6	5	impcom 407	. . . . . 6 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ ¬ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝑉) → 𝑉 = ∅)
7		hashle00 14321	. . . . . . 7 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → ((♯‘𝑉) ≤ 0 ↔ 𝑉 = ∅))
8	7	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ ¬ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝑉) → ((♯‘𝑉) ≤ 0 ↔ 𝑉 = ∅))
9	6, 8	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ ¬ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝑉) → (♯‘𝑉) ≤ 0)
10		hashxrcl 14278	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → (♯‘𝑉) ∈ ℝ*)
11		0xr 11177	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ*
12		xrlenlt 11195	. . . . . . . 8 ⊢ (((♯‘𝑉) ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) → ((♯‘𝑉) ≤ 0 ↔ ¬ 0 < (♯‘𝑉)))
13	10, 11, 12	sylancl 586	. . . . . . 7 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → ((♯‘𝑉) ≤ 0 ↔ ¬ 0 < (♯‘𝑉)))
14	13	bicomd 223	. . . . . 6 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → (¬ 0 < (♯‘𝑉) ↔ (♯‘𝑉) ≤ 0))
15	14	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ ¬ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝑉) → (¬ 0 < (♯‘𝑉) ↔ (♯‘𝑉) ≤ 0))
16	9, 15	mpbird 257	. . . 4 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ ¬ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝑉) → ¬ 0 < (♯‘𝑉))
17	16	ex 412	. . 3 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → (¬ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝑉 → ¬ 0 < (♯‘𝑉)))
18	17	con4d 115	. 2 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → (0 < (♯‘𝑉) → ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝑉))
19	18	imp 406	1 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 0 < (♯‘𝑉)) → ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝑉)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395  ∀wal 1539   = wceq 1541  ∃wex 1780   ∈ wcel 2113  ∅c0 4283   class class class wbr 5096  ‘cfv 6490  0cc0 11024  ℝ^*cxr 11163   < clt 11164   ≤ cle 11165  ♯chash 14251

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-int 4901  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-oadd 8399  df-er 8633  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-fin 8885  df-card 9849  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-nn 12144  df-n0 12400  df-xnn0 12473  df-z 12487  df-uz 12750  df-fz 13422  df-hash 14252

This theorem is referenced by:  hashgt0elexb  14323  hashgt23el  14345  fi1uzind  14428  brfi1indALT  14431