MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashgt0elex Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hashgt0elex 14308
Description: If the size of a set is greater than zero, then the set must contain at least one element. (Contributed by Alexander van der Vekens, 6-Jan-2018.)
Assertion
Ref Expression
hashgt0elex ((𝑉𝑊 ∧ 0 < (♯‘𝑉)) → ∃𝑥 𝑥𝑉)
Distinct variable group:   𝑥,𝑉
Allowed substitution hint:   𝑊(𝑥)

Proof of Theorem hashgt0elex
StepHypRef Expression
1 alnex 1784 . . . . . . . 8 (∀𝑥 ¬ 𝑥𝑉 ↔ ¬ ∃𝑥 𝑥𝑉)
2 eq0 4308 . . . . . . . . . 10 (𝑉 = ∅ ↔ ∀𝑥 ¬ 𝑥𝑉)
32biimpri 227 . . . . . . . . 9 (∀𝑥 ¬ 𝑥𝑉𝑉 = ∅)
43a1d 25 . . . . . . . 8 (∀𝑥 ¬ 𝑥𝑉 → (𝑉𝑊𝑉 = ∅))
51, 4sylbir 234 . . . . . . 7 (¬ ∃𝑥 𝑥𝑉 → (𝑉𝑊𝑉 = ∅))
65impcom 409 . . . . . 6 ((𝑉𝑊 ∧ ¬ ∃𝑥 𝑥𝑉) → 𝑉 = ∅)
7 hashle00 14307 . . . . . . 7 (𝑉𝑊 → ((♯‘𝑉) ≤ 0 ↔ 𝑉 = ∅))
87adantr 482 . . . . . 6 ((𝑉𝑊 ∧ ¬ ∃𝑥 𝑥𝑉) → ((♯‘𝑉) ≤ 0 ↔ 𝑉 = ∅))
96, 8mpbird 257 . . . . 5 ((𝑉𝑊 ∧ ¬ ∃𝑥 𝑥𝑉) → (♯‘𝑉) ≤ 0)
10 hashxrcl 14264 . . . . . . . 8 (𝑉𝑊 → (♯‘𝑉) ∈ ℝ*)
11 0xr 11209 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ*
12 xrlenlt 11227 . . . . . . . 8 (((♯‘𝑉) ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) → ((♯‘𝑉) ≤ 0 ↔ ¬ 0 < (♯‘𝑉)))
1310, 11, 12sylancl 587 . . . . . . 7 (𝑉𝑊 → ((♯‘𝑉) ≤ 0 ↔ ¬ 0 < (♯‘𝑉)))
1413bicomd 222 . . . . . 6 (𝑉𝑊 → (¬ 0 < (♯‘𝑉) ↔ (♯‘𝑉) ≤ 0))
1514adantr 482 . . . . 5 ((𝑉𝑊 ∧ ¬ ∃𝑥 𝑥𝑉) → (¬ 0 < (♯‘𝑉) ↔ (♯‘𝑉) ≤ 0))
169, 15mpbird 257 . . . 4 ((𝑉𝑊 ∧ ¬ ∃𝑥 𝑥𝑉) → ¬ 0 < (♯‘𝑉))
1716ex 414 . . 3 (𝑉𝑊 → (¬ ∃𝑥 𝑥𝑉 → ¬ 0 < (♯‘𝑉)))
1817con4d 115 . 2 (𝑉𝑊 → (0 < (♯‘𝑉) → ∃𝑥 𝑥𝑉))
1918imp 408 1 ((𝑉𝑊 ∧ 0 < (♯‘𝑉)) → ∃𝑥 𝑥𝑉)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 397  wal 1540   = wceq 1542  wex 1782  wcel 2107  c0 4287   class class class wbr 5110  cfv 6501  0cc0 11058  *cxr 11195   < clt 11196  cle 11197  chash 14237
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-oadd 8421  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-n0 12421  df-xnn0 12493  df-z 12507  df-uz 12771  df-fz 13432  df-hash 14238
This theorem is referenced by:  hashgt0elexb  14309  hashgt23el  14331  fi1uzind  14403  brfi1indALT  14406
  Copyright terms: Public domain W3C validator