Theorem hashgt0elex 14569

Description: If the size of a set is greater than zero, then the set must contain at least one element. (Contributed by Alexander van der Vekens, 6-Jan-2018.)

Assertion

Ref	Expression
hashgt0elex	⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 0 < (♯‘𝑉)) → ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝑉)

Distinct variable group:   𝑥,𝑉

Allowed substitution hint:   𝑊(𝑥)

Proof of Theorem hashgt0elex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		alnex 1814	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑥 ¬ 𝑥 ∈ 𝑉 ↔ ¬ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝑉)
2		eq0 4300	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑉 = ∅ ↔ ∀𝑥 ¬ 𝑥 ∈ 𝑉)
3	2	biimpri 231	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑥 ¬ 𝑥 ∈ 𝑉 → 𝑉 = ∅)
4	3	a1d 26	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑥 ¬ 𝑥 ∈ 𝑉 → (𝑉 ∈ 𝑊 → 𝑉 = ∅))
5	1, 4	sylbir 238	. . . . . . 7 ⊢ (¬ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝑉 → (𝑉 ∈ 𝑊 → 𝑉 = ∅))
6	5	impcom 413	. . . . . 6 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ ¬ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝑉) → 𝑉 = ∅)
7		hashle00 14568	. . . . . . 7 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → ((♯‘𝑉) ≤ 0 ↔ 𝑉 = ∅))
8	7	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ ¬ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝑉) → ((♯‘𝑉) ≤ 0 ↔ 𝑉 = ∅))
9	6, 8	mpbird 260	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ ¬ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝑉) → (♯‘𝑉) ≤ 0)
10		hashxrcl 14525	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → (♯‘𝑉) ∈ ℝ*)
11		0xr 11380	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ*
12		xrlenlt 11398	. . . . . . . 8 ⊢ (((♯‘𝑉) ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) → ((♯‘𝑉) ≤ 0 ↔ ¬ 0 < (♯‘𝑉)))
13	10, 11, 12	sylancl 598	. . . . . . 7 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → ((♯‘𝑉) ≤ 0 ↔ ¬ 0 < (♯‘𝑉)))
14	13	bicomd 226	. . . . . 6 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → (¬ 0 < (♯‘𝑉) ↔ (♯‘𝑉) ≤ 0))
15	14	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ ¬ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝑉) → (¬ 0 < (♯‘𝑉) ↔ (♯‘𝑉) ≤ 0))
16	9, 15	mpbird 260	. . . 4 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ ¬ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝑉) → ¬ 0 < (♯‘𝑉))
17	16	ex 418	. . 3 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → (¬ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝑉 → ¬ 0 < (♯‘𝑉)))
18	17	con4d 116	. 2 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → (0 < (♯‘𝑉) → ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝑉))
19	18	imp 412	1 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 0 < (♯‘𝑉)) → ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝑉)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401  ∀wal 1568   = wceq 1570  ∃wex 1812   ∈ wcel 2147  ∅c0 4281   class class class wbr 5106  ‘cfv 6555  0cc0 11224  ℝ^*cxr 11366   < clt 11367   ≤ cle 11368  ♯chash 14498

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-cnex 11280  ax-resscn 11281  ax-1cn 11282  ax-icn 11283  ax-addcl 11284  ax-addrcl 11285  ax-mulcl 11286  ax-mulrcl 11287  ax-mulcom 11288  ax-addass 11289  ax-mulass 11290  ax-distr 11291  ax-i2m1 11292  ax-1ne0 11293  ax-1rid 11294  ax-rnegex 11295  ax-rrecex 11296  ax-cnre 11297  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299  ax-pre-ltadd 11300  ax-pre-mulgt0 11301

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6319  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-om 7899  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-1o 8501  df-oadd 8505  df-er 8742  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-fin 9002  df-card 10044  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-xr 11371  df-ltxr 11372  df-le 11373  df-sub 11567  df-neg 11568  df-nn 12360  df-n0 12631  df-xnn0 12704  df-z 12718  df-uz 12990  df-fz 13664  df-hash 14499

This theorem is used by:  hashgt0elexb  14570  hashgt23el  14593  fi1uzind  14676  brfi1indALT  14679