Theorem hashgt0elex 14308

Description: If the size of a set is greater than zero, then the set must contain at least one element. (Contributed by Alexander van der Vekens, 6-Jan-2018.)

Assertion

Ref	Expression
hashgt0elex	⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 0 < (♯‘𝑉)) → ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝑉)

Distinct variable group:   𝑥,𝑉

Allowed substitution hint:   𝑊(𝑥)

Proof of Theorem hashgt0elex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		alnex 1782	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑥 ¬ 𝑥 ∈ 𝑉 ↔ ¬ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝑉)
2		eq0 4297	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑉 = ∅ ↔ ∀𝑥 ¬ 𝑥 ∈ 𝑉)
3	2	biimpri 228	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑥 ¬ 𝑥 ∈ 𝑉 → 𝑉 = ∅)
4	3	a1d 25	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑥 ¬ 𝑥 ∈ 𝑉 → (𝑉 ∈ 𝑊 → 𝑉 = ∅))
5	1, 4	sylbir 235	. . . . . . 7 ⊢ (¬ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝑉 → (𝑉 ∈ 𝑊 → 𝑉 = ∅))
6	5	impcom 407	. . . . . 6 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ ¬ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝑉) → 𝑉 = ∅)
7		hashle00 14307	. . . . . . 7 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → ((♯‘𝑉) ≤ 0 ↔ 𝑉 = ∅))
8	7	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ ¬ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝑉) → ((♯‘𝑉) ≤ 0 ↔ 𝑉 = ∅))
9	6, 8	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ ¬ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝑉) → (♯‘𝑉) ≤ 0)
10		hashxrcl 14264	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → (♯‘𝑉) ∈ ℝ*)
11		0xr 11159	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ*
12		xrlenlt 11177	. . . . . . . 8 ⊢ (((♯‘𝑉) ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) → ((♯‘𝑉) ≤ 0 ↔ ¬ 0 < (♯‘𝑉)))
13	10, 11, 12	sylancl 586	. . . . . . 7 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → ((♯‘𝑉) ≤ 0 ↔ ¬ 0 < (♯‘𝑉)))
14	13	bicomd 223	. . . . . 6 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → (¬ 0 < (♯‘𝑉) ↔ (♯‘𝑉) ≤ 0))
15	14	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ ¬ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝑉) → (¬ 0 < (♯‘𝑉) ↔ (♯‘𝑉) ≤ 0))
16	9, 15	mpbird 257	. . . 4 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ ¬ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝑉) → ¬ 0 < (♯‘𝑉))
17	16	ex 412	. . 3 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → (¬ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝑉 → ¬ 0 < (♯‘𝑉)))
18	17	con4d 115	. 2 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → (0 < (♯‘𝑉) → ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝑉))
19	18	imp 406	1 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 0 < (♯‘𝑉)) → ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝑉)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395  ∀wal 1539   = wceq 1541  ∃wex 1780   ∈ wcel 2111  ∅c0 4280   class class class wbr 5089  ‘cfv 6481  0cc0 11006  ℝ^*cxr 11145   < clt 11146   ≤ cle 11147  ♯chash 14237

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-int 4896  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-oadd 8389  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-card 9832  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-n0 12382  df-xnn0 12455  df-z 12469  df-uz 12733  df-fz 13408  df-hash 14238

This theorem is referenced by:  hashgt0elexb  14309  hashgt23el  14331  fi1uzind  14414  brfi1indALT  14417