Theorem hashgt0elex 14342

Description: If the size of a set is greater than zero, then the set must contain at least one element. (Contributed by Alexander van der Vekens, 6-Jan-2018.)

Assertion

Ref	Expression
hashgt0elex	⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 0 < (♯‘𝑉)) → ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝑉)

Distinct variable group:   𝑥,𝑉

Allowed substitution hint:   𝑊(𝑥)

Proof of Theorem hashgt0elex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		alnex 1781	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑥 ¬ 𝑥 ∈ 𝑉 ↔ ¬ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝑉)
2		eq0 4309	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑉 = ∅ ↔ ∀𝑥 ¬ 𝑥 ∈ 𝑉)
3	2	biimpri 228	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑥 ¬ 𝑥 ∈ 𝑉 → 𝑉 = ∅)
4	3	a1d 25	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑥 ¬ 𝑥 ∈ 𝑉 → (𝑉 ∈ 𝑊 → 𝑉 = ∅))
5	1, 4	sylbir 235	. . . . . . 7 ⊢ (¬ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝑉 → (𝑉 ∈ 𝑊 → 𝑉 = ∅))
6	5	impcom 407	. . . . . 6 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ ¬ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝑉) → 𝑉 = ∅)
7		hashle00 14341	. . . . . . 7 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → ((♯‘𝑉) ≤ 0 ↔ 𝑉 = ∅))
8	7	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ ¬ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝑉) → ((♯‘𝑉) ≤ 0 ↔ 𝑉 = ∅))
9	6, 8	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ ¬ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝑉) → (♯‘𝑉) ≤ 0)
10		hashxrcl 14298	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → (♯‘𝑉) ∈ ℝ*)
11		0xr 11197	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ*
12		xrlenlt 11215	. . . . . . . 8 ⊢ (((♯‘𝑉) ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) → ((♯‘𝑉) ≤ 0 ↔ ¬ 0 < (♯‘𝑉)))
13	10, 11, 12	sylancl 586	. . . . . . 7 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → ((♯‘𝑉) ≤ 0 ↔ ¬ 0 < (♯‘𝑉)))
14	13	bicomd 223	. . . . . 6 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → (¬ 0 < (♯‘𝑉) ↔ (♯‘𝑉) ≤ 0))
15	14	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ ¬ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝑉) → (¬ 0 < (♯‘𝑉) ↔ (♯‘𝑉) ≤ 0))
16	9, 15	mpbird 257	. . . 4 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ ¬ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝑉) → ¬ 0 < (♯‘𝑉))
17	16	ex 412	. . 3 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → (¬ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝑉 → ¬ 0 < (♯‘𝑉)))
18	17	con4d 115	. 2 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → (0 < (♯‘𝑉) → ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝑉))
19	18	imp 406	1 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 0 < (♯‘𝑉)) → ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝑉)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395  ∀wal 1538   = wceq 1540  ∃wex 1779   ∈ wcel 2109  ∅c0 4292   class class class wbr 5102  ‘cfv 6499  0cc0 11044  ℝ^*cxr 11183   < clt 11184   ≤ cle 11185  ♯chash 14271

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-oadd 8415  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-card 9868  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12163  df-n0 12419  df-xnn0 12492  df-z 12506  df-uz 12770  df-fz 13445  df-hash 14272

This theorem is referenced by:  hashgt0elexb  14343  hashgt23el  14365  fi1uzind  14448  brfi1indALT  14451