Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  supxrbnd1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem supxrbnd1 12692
 Description: The supremum of a bounded-above set of extended reals is less than infinity. (Contributed by NM, 30-Jan-2006.)
Assertion
Ref Expression
supxrbnd1 (𝐴 ⊆ ℝ* → (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥 ↔ sup(𝐴, ℝ*, < ) < +∞))
Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝐴

Proof of Theorem supxrbnd1
StepHypRef Expression
1 ralnex 3224 . . . 4 (∀𝑥 ∈ ℝ ¬ ∀𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥 ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥)
2 rexr 10664 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℝ*)
3 ssel2 3938 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝑦𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ*)
4 xrlenlt 10683 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥𝑦 ↔ ¬ 𝑦 < 𝑥))
52, 3, 4syl2anr 599 . . . . . . . 8 (((𝐴 ⊆ ℝ*𝑦𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥𝑦 ↔ ¬ 𝑦 < 𝑥))
65an32s 651 . . . . . . 7 (((𝐴 ⊆ ℝ*𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝐴) → (𝑥𝑦 ↔ ¬ 𝑦 < 𝑥))
76rexbidva 3282 . . . . . 6 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝑥 ∈ ℝ) → (∃𝑦𝐴 𝑥𝑦 ↔ ∃𝑦𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥))
8 rexnal 3226 . . . . . 6 (∃𝑦𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥 ↔ ¬ ∀𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥)
97, 8syl6rbb 291 . . . . 5 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝑥 ∈ ℝ) → (¬ ∀𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥 ↔ ∃𝑦𝐴 𝑥𝑦))
109ralbidva 3184 . . . 4 (𝐴 ⊆ ℝ* → (∀𝑥 ∈ ℝ ¬ ∀𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑥𝑦))
111, 10syl5bbr 288 . . 3 (𝐴 ⊆ ℝ* → (¬ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑥𝑦))
12 supxrunb1 12690 . . 3 (𝐴 ⊆ ℝ* → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑥𝑦 ↔ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞))
13 supxrcl 12686 . . . 4 (𝐴 ⊆ ℝ* → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
14 nltpnft 12535 . . . 4 (sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ* → (sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞ ↔ ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) < +∞))
1513, 14syl 17 . . 3 (𝐴 ⊆ ℝ* → (sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞ ↔ ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) < +∞))
1611, 12, 153bitrd 308 . 2 (𝐴 ⊆ ℝ* → (¬ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥 ↔ ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) < +∞))
1716con4bid 320 1 (𝐴 ⊆ ℝ* → (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥 ↔ sup(𝐴, ℝ*, < ) < +∞))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2115  ∀wral 3126  ∃wrex 3127   ⊆ wss 3910   class class class wbr 5039  supcsup 8880  ℝcr 10513  +∞cpnf 10649  ℝ*cxr 10651   < clt 10652   ≤ cle 10653 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2178  ax-ext 2793  ax-sep 5176  ax-nul 5183  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7436  ax-cnex 10570  ax-resscn 10571  ax-1cn 10572  ax-icn 10573  ax-addcl 10574  ax-addrcl 10575  ax-mulcl 10576  ax-mulrcl 10577  ax-mulcom 10578  ax-addass 10579  ax-mulass 10580  ax-distr 10581  ax-i2m1 10582  ax-1ne0 10583  ax-1rid 10584  ax-rnegex 10585  ax-rrecex 10586  ax-cnre 10587  ax-pre-lttri 10588  ax-pre-lttrn 10589  ax-pre-ltadd 10590  ax-pre-mulgt0 10591  ax-pre-sup 10592 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2623  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2892  df-nfc 2960  df-ne 3008  df-nel 3112  df-ral 3131  df-rex 3132  df-reu 3133  df-rmo 3134  df-rab 3135  df-v 3473  df-sbc 3750  df-csb 3858  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4267  df-if 4441  df-pw 4514  df-sn 4541  df-pr 4543  df-op 4547  df-uni 4812  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5120  df-id 5433  df-po 5447  df-so 5448  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7088  df-ov 7133  df-oprab 7134  df-mpo 7135  df-er 8264  df-en 8485  df-dom 8486  df-sdom 8487  df-sup 8882  df-pnf 10654  df-mnf 10655  df-xr 10656  df-ltxr 10657  df-le 10658  df-sub 10849  df-neg 10850 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator