Theorem supxrbnd1 13342

Description: The supremum of a bounded-above set of extended reals is less than infinity. (Contributed by NM, 30-Jan-2006.)

Assertion

Ref	Expression
supxrbnd1	⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑥 ↔ sup(𝐴, ℝ*, < ) < +∞))

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝐴

Proof of Theorem supxrbnd1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ralnex 3091	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ ¬ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑥 ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑥)
2		rexr 11250	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℝ*)
3		ssel2 3932	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ*)
4		xrlenlt 11269	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥 ≤ 𝑦 ↔ ¬ 𝑦 < 𝑥))
5	2, 3, 4	syl2anr 608	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 ≤ 𝑦 ↔ ¬ 𝑦 < 𝑥))
6	5	an32s 664	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑥 ≤ 𝑦 ↔ ¬ 𝑦 < 𝑥))
7	6	rexbidva 3187	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥))
8		rexnal 3117	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥 ↔ ¬ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑥)
9	7, 8	bitr2di 291	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (¬ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑥 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦))
10	9	ralbidva 3186	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → (∀𝑥 ∈ ℝ ¬ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑥 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦))
11	1, 10	bitr3id 288	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → (¬ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑥 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦))
12		supxrunb1 13340	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦 ↔ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞))
13		supxrcl 13336	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
14		nltpnft 13185	. . . 4 ⊢ (sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ* → (sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞ ↔ ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) < +∞))
15	13, 14	syl 18	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → (sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞ ↔ ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) < +∞))
16	11, 12, 15	3bitrd 308	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → (¬ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑥 ↔ ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) < +∞))
17	16	con4bid 320	1 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑥 ↔ sup(𝐴, ℝ*, < ) < +∞))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ∀wral 3079  ∃wrex 3089   ⊆ wss 3905   class class class wbr 5109  supcsup 9396  ℝcr 11094  +∞cpnf 11235  ℝ^*cxr 11237   < clt 11238   ≤ cle 11239

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172  ax-pre-sup 11173

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5556  df-po 5569  df-so 5570  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-sup 9398  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439

This theorem is referenced by: (None)