MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ioo0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ioo0 12766
Description: An empty open interval of extended reals. (Contributed by NM, 6-Feb-2007.)
Assertion
Ref Expression
ioo0 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴(,)𝐵) = ∅ ↔ 𝐵𝐴))

Proof of Theorem ioo0
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iooval 12765 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴(,)𝐵) = {𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)})
21eqeq1d 2826 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴(,)𝐵) = ∅ ↔ {𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)} = ∅))
3 df-ne 3020 . . . . . 6 ({𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)} ≠ ∅ ↔ ¬ {𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)} = ∅)
4 rabn0 4342 . . . . . 6 ({𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)} ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ* (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵))
53, 4bitr3i 279 . . . . 5 (¬ {𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)} = ∅ ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ* (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵))
6 xrlttr 12536 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ*𝑥 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵) → 𝐴 < 𝐵))
763com23 1122 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝑥 ∈ ℝ*) → ((𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵) → 𝐴 < 𝐵))
873expa 1114 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → ((𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵) → 𝐴 < 𝐵))
98rexlimdva 3287 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (∃𝑥 ∈ ℝ* (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵) → 𝐴 < 𝐵))
10 qbtwnxr 12596 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) → ∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵))
11 qre 12356 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℚ → 𝑥 ∈ ℝ)
1211rexrd 10694 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℚ → 𝑥 ∈ ℝ*)
1312anim1i 616 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)) → (𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)))
1413reximi2 3247 . . . . . . . 8 (∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵) → ∃𝑥 ∈ ℝ* (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵))
1510, 14syl 17 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) → ∃𝑥 ∈ ℝ* (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵))
16153expia 1117 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵 → ∃𝑥 ∈ ℝ* (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)))
179, 16impbid 214 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (∃𝑥 ∈ ℝ* (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵) ↔ 𝐴 < 𝐵))
185, 17syl5bb 285 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (¬ {𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)} = ∅ ↔ 𝐴 < 𝐵))
19 xrltnle 10711 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵 ↔ ¬ 𝐵𝐴))
2018, 19bitrd 281 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (¬ {𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)} = ∅ ↔ ¬ 𝐵𝐴))
2120con4bid 319 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ({𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)} = ∅ ↔ 𝐵𝐴))
222, 21bitrd 281 1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴(,)𝐵) = ∅ ↔ 𝐵𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 208  wa 398  w3a 1083   = wceq 1536  wcel 2113  wne 3019  wrex 3142  {crab 3145  c0 4294   class class class wbr 5069  (class class class)co 7159  *cxr 10677   < clt 10678  cle 10679  cq 12351  (,)cioo 12741
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5269  ax-pr 5333  ax-un 7464  ax-cnex 10596  ax-resscn 10597  ax-1cn 10598  ax-icn 10599  ax-addcl 10600  ax-addrcl 10601  ax-mulcl 10602  ax-mulrcl 10603  ax-mulcom 10604  ax-addass 10605  ax-mulass 10606  ax-distr 10607  ax-i2m1 10608  ax-1ne0 10609  ax-1rid 10610  ax-rnegex 10611  ax-rrecex 10612  ax-cnre 10613  ax-pre-lttri 10614  ax-pre-lttrn 10615  ax-pre-ltadd 10616  ax-pre-mulgt0 10617  ax-pre-sup 10618
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ne 3020  df-nel 3127  df-ral 3146  df-rex 3147  df-reu 3148  df-rmo 3149  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4571  df-pr 4573  df-tp 4575  df-op 4577  df-uni 4842  df-iun 4924  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5150  df-tr 5176  df-id 5463  df-eprel 5468  df-po 5477  df-so 5478  df-fr 5517  df-we 5519  df-xp 5564  df-rel 5565  df-cnv 5566  df-co 5567  df-dm 5568  df-rn 5569  df-res 5570  df-ima 5571  df-pred 6151  df-ord 6197  df-on 6198  df-lim 6199  df-suc 6200  df-iota 6317  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-riota 7117  df-ov 7162  df-oprab 7163  df-mpo 7164  df-om 7584  df-1st 7692  df-2nd 7693  df-wrecs 7950  df-recs 8011  df-rdg 8049  df-er 8292  df-en 8513  df-dom 8514  df-sdom 8515  df-sup 8909  df-inf 8910  df-pnf 10680  df-mnf 10681  df-xr 10682  df-ltxr 10683  df-le 10684  df-sub 10875  df-neg 10876  df-div 11301  df-nn 11642  df-n0 11901  df-z 11985  df-uz 12247  df-q 12352  df-ioo 12745
This theorem is referenced by:  ioon0  12767  iooid  12769  bndth  23565  ioombl  24169  ioovolcl  24174  itgsubstlem  24648  iccdifprioo  41798  qinioo  41817  ioodvbdlimc1  42224  ioodvbdlimc2  42226  volioore  42282  voliooico  42284  ovolval4lem1  42938  vonioo  42971
  Copyright terms: Public domain W3C validator