New Foundations Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  NFE Home  >  Th. List  >  2p1e3c GIF version

Theorem 2p1e3c 6156
 Description: Two plus one equals three. (Contributed by SF, 2-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
2p1e3c (2c +c 1c) = 3c

Proof of Theorem 2p1e3c
StepHypRef Expression
1 vvex 4109 . . . . . . . 8 V V
2 vn0 3557 . . . . . . . 8 V ≠
3 eldifsn 3839 . . . . . . . 8 (V (V {}) ↔ (V V V ≠ ))
41, 2, 3mpbir2an 886 . . . . . . 7 V (V {})
5 n0i 3555 . . . . . . 7 (V (V {}) → ¬ (V {}) = )
64, 5ax-mp 5 . . . . . 6 ¬ (V {}) =
7 0ex 4110 . . . . . . . . . . 11 V
87snid 3760 . . . . . . . . . 10 {}
98notnoti 115 . . . . . . . . 9 ¬ ¬ {}
109intnan 880 . . . . . . . 8 ¬ ( V ¬ {})
11 eldif 3221 . . . . . . . 8 ( (V {}) ↔ ( V ¬ {}))
1210, 11mtbir 290 . . . . . . 7 ¬ (V {})
13 eleq2 2414 . . . . . . . 8 ((V {}) = V → ( (V {}) ↔ V))
147, 13mpbiri 224 . . . . . . 7 ((V {}) = V → (V {}))
1512, 14mto 167 . . . . . 6 ¬ (V {}) = V
166, 15pm3.2ni 827 . . . . 5 ¬ ((V {}) = (V {}) = V)
17 snex 4111 . . . . . . 7 {} V
181, 17difex 4107 . . . . . 6 (V {}) V
1918elpr 3751 . . . . 5 ((V {}) {, V} ↔ ((V {}) = (V {}) = V))
2016, 19mtbir 290 . . . 4 ¬ (V {}) {, V}
21 disjsn 3786 . . . 4 (({, V} ∩ {(V {})}) = ↔ ¬ (V {}) {, V})
2220, 21mpbir 200 . . 3 ({, V} ∩ {(V {})}) =
23 prex 4112 . . . 4 {, V} V
24 snex 4111 . . . 4 {(V {})} V
2523, 24ncdisjun 6136 . . 3 (({, V} ∩ {(V {})}) = Nc ({, V} ∪ {(V {})}) = ( Nc {, V} +c Nc {(V {})}))
2622, 25ax-mp 5 . 2 Nc ({, V} ∪ {(V {})}) = ( Nc {, V} +c Nc {(V {})})
27 df-3c 6105 . . 3 3c = Nc {, V, (V {})}
28 df-tp 3743 . . . 4 {, V, (V {})} = ({, V} ∪ {(V {})})
2928nceqi 6109 . . 3 Nc {, V, (V {})} = Nc ({, V} ∪ {(V {})})
3027, 29eqtri 2373 . 2 3c = Nc ({, V} ∪ {(V {})})
31 df-2c 6104 . . 3 2c = Nc {, V}
3218df1c3 6140 . . 3 1c = Nc {(V {})}
3331, 32addceq12i 4388 . 2 (2c +c 1c) = ( Nc {, V} +c Nc {(V {})})
3426, 30, 333eqtr4ri 2384 1 (2c +c 1c) = 3c
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   ∨ wo 357   ∧ wa 358   = wceq 1642   ∈ wcel 1710   ≠ wne 2516  Vcvv 2859   ∖ cdif 3206   ∪ cun 3207   ∩ cin 3208  ∅c0 3550  {csn 3737  {cpr 3738  {ctp 3739  1cc1c 4134   +c cplc 4375   Nc cnc 6091  2cc2c 6094  3cc3c 6095 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4078  ax-xp 4079  ax-cnv 4080  ax-1c 4081  ax-sset 4082  ax-si 4083  ax-ins2 4084  ax-ins3 4085  ax-typlower 4086  ax-sn 4087 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2478  df-ne 2518  df-ral 2619  df-rex 2620  df-reu 2621  df-rmo 2622  df-rab 2623  df-v 2861  df-sbc 3047  df-nin 3211  df-compl 3212  df-in 3213  df-un 3214  df-dif 3215  df-symdif 3216  df-ss 3259  df-pss 3261  df-nul 3551  df-if 3663  df-pw 3724  df-sn 3741  df-pr 3742  df-tp 3743  df-uni 3892  df-int 3927  df-opk 4058  df-1c 4136  df-pw1 4137  df-uni1 4138  df-xpk 4185  df-cnvk 4186  df-ins2k 4187  df-ins3k 4188  df-imak 4189  df-cok 4190  df-p6 4191  df-sik 4192  df-ssetk 4193  df-imagek 4194  df-idk 4195  df-iota 4339  df-0c 4377  df-addc 4378  df-nnc 4379  df-fin 4380  df-lefin 4440  df-ltfin 4441  df-ncfin 4442  df-tfin 4443  df-evenfin 4444  df-oddfin 4445  df-sfin 4446  df-spfin 4447  df-phi 4565  df-op 4566  df-proj1 4567  df-proj2 4568  df-opab 4623  df-br 4640  df-1st 4723  df-swap 4724  df-sset 4725  df-co 4726  df-ima 4727  df-si 4728  df-id 4767  df-xp 4784  df-cnv 4785  df-rn 4786  df-dm 4787  df-res 4788  df-fun 4789  df-fn 4790  df-f 4791  df-f1 4792  df-fo 4793  df-f1o 4794  df-fv 4795  df-2nd 4797  df-txp 5736  df-ins2 5750  df-ins3 5752  df-image 5754  df-ins4 5756  df-si3 5758  df-funs 5760  df-fns 5762  df-trans 5899  df-sym 5908  df-er 5909  df-ec 5947  df-qs 5951  df-en 6029  df-ncs 6098  df-nc 6101  df-2c 6104  df-3c 6105 This theorem is referenced by:  nchoicelem9  6297  nchoicelem17  6305
 Copyright terms: Public domain W3C validator