Theorem 2p1e3c 6157

Description: Two plus one equals three. (Contributed by SF, 2-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
2p1e3c	⊢ (2c +c 1c) = 3c

Proof of Theorem 2p1e3c

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vvex 4110	. . . . . . . 8 ⊢ V ∈ V
2		vn0 3558	. . . . . . . 8 ⊢ V ≠ ∅
3		eldifsn 3840	. . . . . . . 8 ⊢ (V ∈ (V ∖ {∅}) ↔ (V ∈ V ∧ V ≠ ∅))
4	1, 2, 3	mpbir2an 886	. . . . . . 7 ⊢ V ∈ (V ∖ {∅})
5		n0i 3556	. . . . . . 7 ⊢ (V ∈ (V ∖ {∅}) → ¬ (V ∖ {∅}) = ∅)
6	4, 5	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ¬ (V ∖ {∅}) = ∅
7		0ex 4111	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ∅ ∈ V
8	7	snid 3761	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∅ ∈ {∅}
9	8	notnoti 115	. . . . . . . . 9 ⊢ ¬ ¬ ∅ ∈ {∅}
10	9	intnan 880	. . . . . . . 8 ⊢ ¬ (∅ ∈ V ∧ ¬ ∅ ∈ {∅})
11		eldif 3222	. . . . . . . 8 ⊢ (∅ ∈ (V ∖ {∅}) ↔ (∅ ∈ V ∧ ¬ ∅ ∈ {∅}))
12	10, 11	mtbir 290	. . . . . . 7 ⊢ ¬ ∅ ∈ (V ∖ {∅})
13		eleq2 2414	. . . . . . . 8 ⊢ ((V ∖ {∅}) = V → (∅ ∈ (V ∖ {∅}) ↔ ∅ ∈ V))
14	7, 13	mpbiri 224	. . . . . . 7 ⊢ ((V ∖ {∅}) = V → ∅ ∈ (V ∖ {∅}))
15	12, 14	mto 167	. . . . . 6 ⊢ ¬ (V ∖ {∅}) = V
16	6, 15	pm3.2ni 827	. . . . 5 ⊢ ¬ ((V ∖ {∅}) = ∅ ∨ (V ∖ {∅}) = V)
17		snex 4112	. . . . . . 7 ⊢ {∅} ∈ V
18	1, 17	difex 4108	. . . . . 6 ⊢ (V ∖ {∅}) ∈ V
19	18	elpr 3752	. . . . 5 ⊢ ((V ∖ {∅}) ∈ {∅, V} ↔ ((V ∖ {∅}) = ∅ ∨ (V ∖ {∅}) = V))
20	16, 19	mtbir 290	. . . 4 ⊢ ¬ (V ∖ {∅}) ∈ {∅, V}
21		disjsn 3787	. . . 4 ⊢ (({∅, V} ∩ {(V ∖ {∅})}) = ∅ ↔ ¬ (V ∖ {∅}) ∈ {∅, V})
22	20, 21	mpbir 200	. . 3 ⊢ ({∅, V} ∩ {(V ∖ {∅})}) = ∅
23		prex 4113	. . . 4 ⊢ {∅, V} ∈ V
24		snex 4112	. . . 4 ⊢ {(V ∖ {∅})} ∈ V
25	23, 24	ncdisjun 6137	. . 3 ⊢ (({∅, V} ∩ {(V ∖ {∅})}) = ∅ → Nc ({∅, V} ∪ {(V ∖ {∅})}) = ( Nc {∅, V} +c Nc {(V ∖ {∅})}))
26	22, 25	ax-mp 5	. 2 ⊢ Nc ({∅, V} ∪ {(V ∖ {∅})}) = ( Nc {∅, V} +c Nc {(V ∖ {∅})})
27		df-3c 6106	. . 3 ⊢ 3c = Nc {∅, V, (V ∖ {∅})}
28		df-tp 3744	. . . 4 ⊢ {∅, V, (V ∖ {∅})} = ({∅, V} ∪ {(V ∖ {∅})})
29	28	nceqi 6110	. . 3 ⊢ Nc {∅, V, (V ∖ {∅})} = Nc ({∅, V} ∪ {(V ∖ {∅})})
30	27, 29	eqtri 2373	. 2 ⊢ 3c = Nc ({∅, V} ∪ {(V ∖ {∅})})
31		df-2c 6105	. . 3 ⊢ 2c = Nc {∅, V}
32	18	df1c3 6141	. . 3 ⊢ 1c = Nc {(V ∖ {∅})}
33	31, 32	addceq12i 4389	. 2 ⊢ (2c +c 1c) = ( Nc {∅, V} +c Nc {(V ∖ {∅})})
34	26, 30, 33	3eqtr4ri 2384	1 ⊢ (2c +c 1c) = 3c

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∨ wo 357   ∧ wa 358   = wceq 1642   ∈ wcel 1710   ≠ wne 2517  Vcvv 2860   ∖ cdif 3207   ∪ cun 3208   ∩ cin 3209  ∅c0 3551  {csn 3738  {cpr 3739  {ctp 3740  1_cc1c 4135   +_c cplc 4376   Nc cnc 6092  2_cc2c 6095  3_cc3c 6096

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4079  ax-xp 4080  ax-cnv 4081  ax-1c 4082  ax-sset 4083  ax-si 4084  ax-ins2 4085  ax-ins3 4086  ax-typlower 4087  ax-sn 4088

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2479  df-ne 2519  df-ral 2620  df-rex 2621  df-reu 2622  df-rmo 2623  df-rab 2624  df-v 2862  df-sbc 3048  df-nin 3212  df-compl 3213  df-in 3214  df-un 3215  df-dif 3216  df-symdif 3217  df-ss 3260  df-pss 3262  df-nul 3552  df-if 3664  df-pw 3725  df-sn 3742  df-pr 3743  df-tp 3744  df-uni 3893  df-int 3928  df-opk 4059  df-1c 4137  df-pw1 4138  df-uni1 4139  df-xpk 4186  df-cnvk 4187  df-ins2k 4188  df-ins3k 4189  df-imak 4190  df-cok 4191  df-p6 4192  df-sik 4193  df-ssetk 4194  df-imagek 4195  df-idk 4196  df-iota 4340  df-0c 4378  df-addc 4379  df-nnc 4380  df-fin 4381  df-lefin 4441  df-ltfin 4442  df-ncfin 4443  df-tfin 4444  df-evenfin 4445  df-oddfin 4446  df-sfin 4447  df-spfin 4448  df-phi 4566  df-op 4567  df-proj1 4568  df-proj2 4569  df-opab 4624  df-br 4641  df-1st 4724  df-swap 4725  df-sset 4726  df-co 4727  df-ima 4728  df-si 4729  df-id 4768  df-xp 4785  df-cnv 4786  df-rn 4787  df-dm 4788  df-res 4789  df-fun 4790  df-fn 4791  df-f 4792  df-f1 4793  df-fo 4794  df-f1o 4795  df-fv 4796  df-2nd 4798  df-txp 5737  df-ins2 5751  df-ins3 5753  df-image 5755  df-ins4 5757  df-si3 5759  df-funs 5761  df-fns 5763  df-trans 5900  df-sym 5909  df-er 5910  df-ec 5948  df-qs 5952  df-en 6030  df-ncs 6099  df-nc 6102  df-2c 6105  df-3c 6106

This theorem is referenced by:  nchoicelem9  6298  nchoicelem17  6306