Theorem 2p1e3c 6156

Description: Two plus one equals three. (Contributed by SF, 2-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
2p1e3c	⊢ (2c +c 1c) = 3c

Proof of Theorem 2p1e3c

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vvex 4109	. . . . . . . 8 ⊢ V ∈ V
2		vn0 3557	. . . . . . . 8 ⊢ V ≠ ∅
3		eldifsn 3839	. . . . . . . 8 ⊢ (V ∈ (V ∖ {∅}) ↔ (V ∈ V ∧ V ≠ ∅))
4	1, 2, 3	mpbir2an 886	. . . . . . 7 ⊢ V ∈ (V ∖ {∅})
5		n0i 3555	. . . . . . 7 ⊢ (V ∈ (V ∖ {∅}) → ¬ (V ∖ {∅}) = ∅)
6	4, 5	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ¬ (V ∖ {∅}) = ∅
7		0ex 4110	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ∅ ∈ V
8	7	snid 3760	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∅ ∈ {∅}
9	8	notnoti 115	. . . . . . . . 9 ⊢ ¬ ¬ ∅ ∈ {∅}
10	9	intnan 880	. . . . . . . 8 ⊢ ¬ (∅ ∈ V ∧ ¬ ∅ ∈ {∅})
11		eldif 3221	. . . . . . . 8 ⊢ (∅ ∈ (V ∖ {∅}) ↔ (∅ ∈ V ∧ ¬ ∅ ∈ {∅}))
12	10, 11	mtbir 290	. . . . . . 7 ⊢ ¬ ∅ ∈ (V ∖ {∅})
13		eleq2 2414	. . . . . . . 8 ⊢ ((V ∖ {∅}) = V → (∅ ∈ (V ∖ {∅}) ↔ ∅ ∈ V))
14	7, 13	mpbiri 224	. . . . . . 7 ⊢ ((V ∖ {∅}) = V → ∅ ∈ (V ∖ {∅}))
15	12, 14	mto 167	. . . . . 6 ⊢ ¬ (V ∖ {∅}) = V
16	6, 15	pm3.2ni 827	. . . . 5 ⊢ ¬ ((V ∖ {∅}) = ∅ ∨ (V ∖ {∅}) = V)
17		snex 4111	. . . . . . 7 ⊢ {∅} ∈ V
18	1, 17	difex 4107	. . . . . 6 ⊢ (V ∖ {∅}) ∈ V
19	18	elpr 3751	. . . . 5 ⊢ ((V ∖ {∅}) ∈ {∅, V} ↔ ((V ∖ {∅}) = ∅ ∨ (V ∖ {∅}) = V))
20	16, 19	mtbir 290	. . . 4 ⊢ ¬ (V ∖ {∅}) ∈ {∅, V}
21		disjsn 3786	. . . 4 ⊢ (({∅, V} ∩ {(V ∖ {∅})}) = ∅ ↔ ¬ (V ∖ {∅}) ∈ {∅, V})
22	20, 21	mpbir 200	. . 3 ⊢ ({∅, V} ∩ {(V ∖ {∅})}) = ∅
23		prex 4112	. . . 4 ⊢ {∅, V} ∈ V
24		snex 4111	. . . 4 ⊢ {(V ∖ {∅})} ∈ V
25	23, 24	ncdisjun 6136	. . 3 ⊢ (({∅, V} ∩ {(V ∖ {∅})}) = ∅ → Nc ({∅, V} ∪ {(V ∖ {∅})}) = ( Nc {∅, V} +c Nc {(V ∖ {∅})}))
26	22, 25	ax-mp 5	. 2 ⊢ Nc ({∅, V} ∪ {(V ∖ {∅})}) = ( Nc {∅, V} +c Nc {(V ∖ {∅})})
27		df-3c 6105	. . 3 ⊢ 3c = Nc {∅, V, (V ∖ {∅})}
28		df-tp 3743	. . . 4 ⊢ {∅, V, (V ∖ {∅})} = ({∅, V} ∪ {(V ∖ {∅})})
29	28	nceqi 6109	. . 3 ⊢ Nc {∅, V, (V ∖ {∅})} = Nc ({∅, V} ∪ {(V ∖ {∅})})
30	27, 29	eqtri 2373	. 2 ⊢ 3c = Nc ({∅, V} ∪ {(V ∖ {∅})})
31		df-2c 6104	. . 3 ⊢ 2c = Nc {∅, V}
32	18	df1c3 6140	. . 3 ⊢ 1c = Nc {(V ∖ {∅})}
33	31, 32	addceq12i 4388	. 2 ⊢ (2c +c 1c) = ( Nc {∅, V} +c Nc {(V ∖ {∅})})
34	26, 30, 33	3eqtr4ri 2384	1 ⊢ (2c +c 1c) = 3c

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∨ wo 357   ∧ wa 358   = wceq 1642   ∈ wcel 1710   ≠ wne 2516  Vcvv 2859   ∖ cdif 3206   ∪ cun 3207   ∩ cin 3208  ∅c0 3550  {csn 3737  {cpr 3738  {ctp 3739  1_cc1c 4134   +_c cplc 4375   Nc cnc 6091  2_cc2c 6094  3_cc3c 6095

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4078  ax-xp 4079  ax-cnv 4080  ax-1c 4081  ax-sset 4082  ax-si 4083  ax-ins2 4084  ax-ins3 4085  ax-typlower 4086  ax-sn 4087

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2478  df-ne 2518  df-ral 2619  df-rex 2620  df-reu 2621  df-rmo 2622  df-rab 2623  df-v 2861  df-sbc 3047  df-nin 3211  df-compl 3212  df-in 3213  df-un 3214  df-dif 3215  df-symdif 3216  df-ss 3259  df-pss 3261  df-nul 3551  df-if 3663  df-pw 3724  df-sn 3741  df-pr 3742  df-tp 3743  df-uni 3892  df-int 3927  df-opk 4058  df-1c 4136  df-pw1 4137  df-uni1 4138  df-xpk 4185  df-cnvk 4186  df-ins2k 4187  df-ins3k 4188  df-imak 4189  df-cok 4190  df-p6 4191  df-sik 4192  df-ssetk 4193  df-imagek 4194  df-idk 4195  df-iota 4339  df-0c 4377  df-addc 4378  df-nnc 4379  df-fin 4380  df-lefin 4440  df-ltfin 4441  df-ncfin 4442  df-tfin 4443  df-evenfin 4444  df-oddfin 4445  df-sfin 4446  df-spfin 4447  df-phi 4565  df-op 4566  df-proj1 4567  df-proj2 4568  df-opab 4623  df-br 4640  df-1st 4723  df-swap 4724  df-sset 4725  df-co 4726  df-ima 4727  df-si 4728  df-id 4767  df-xp 4784  df-cnv 4785  df-rn 4786  df-dm 4787  df-res 4788  df-fun 4789  df-fn 4790  df-f 4791  df-f1 4792  df-fo 4793  df-f1o 4794  df-fv 4795  df-2nd 4797  df-txp 5736  df-ins2 5750  df-ins3 5752  df-image 5754  df-ins4 5756  df-si3 5758  df-funs 5760  df-fns 5762  df-trans 5899  df-sym 5908  df-er 5909  df-ec 5947  df-qs 5951  df-en 6029  df-ncs 6098  df-nc 6101  df-2c 6104  df-3c 6105

This theorem is referenced by:  nchoicelem9  6297  nchoicelem17  6305