Theorem ceclb 6183

Description: Biconditional closure law for cardinal exponentiation. Theorem XI.2.48 of [Rosser] p. 384. (Contributed by SF, 9-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ceclb	⊢ ((M ∈ NC ∧ N ∈ NC ) → (((M ↑c 0c) ≠ ∅ ∧ (N ↑c 0c) ≠ ∅) ↔ (M ↑c N) ∈ NC ))

Proof of Theorem ceclb

Dummy variables a b are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ce0nnul 6177	. . . . 5 ⊢ (M ∈ NC → ((M ↑c 0c) ≠ ∅ ↔ ∃a℘1a ∈ M))
2		ce0nnul 6177	. . . . 5 ⊢ (N ∈ NC → ((N ↑c 0c) ≠ ∅ ↔ ∃b℘1b ∈ N))
3	1, 2	bi2anan9 843	. . . 4 ⊢ ((M ∈ NC ∧ N ∈ NC ) → (((M ↑c 0c) ≠ ∅ ∧ (N ↑c 0c) ≠ ∅) ↔ (∃a℘1a ∈ M ∧ ∃b℘1b ∈ N)))
4		eeanv 1913	. . . 4 ⊢ (∃a∃b(℘1a ∈ M ∧ ℘1b ∈ N) ↔ (∃a℘1a ∈ M ∧ ∃b℘1b ∈ N))
5	3, 4	syl6bbr 254	. . 3 ⊢ ((M ∈ NC ∧ N ∈ NC ) → (((M ↑c 0c) ≠ ∅ ∧ (N ↑c 0c) ≠ ∅) ↔ ∃a∃b(℘1a ∈ M ∧ ℘1b ∈ N)))
6		ncseqnc 6128	. . . . . 6 ⊢ (M ∈ NC → (M = Nc ℘1a ↔ ℘1a ∈ M))
7		ncseqnc 6128	. . . . . 6 ⊢ (N ∈ NC → (N = Nc ℘1b ↔ ℘1b ∈ N))
8	6, 7	bi2anan9 843	. . . . 5 ⊢ ((M ∈ NC ∧ N ∈ NC ) → ((M = Nc ℘1a ∧ N = Nc ℘1b) ↔ (℘1a ∈ M ∧ ℘1b ∈ N)))
9		oveq12 5532	. . . . . 6 ⊢ ((M = Nc ℘1a ∧ N = Nc ℘1b) → (M ↑c N) = ( Nc ℘1a ↑c Nc ℘1b))
10		vex 2862	. . . . . . . 8 ⊢ a ∈ V
11		vex 2862	. . . . . . . 8 ⊢ b ∈ V
12	10, 11	cenc 6181	. . . . . . 7 ⊢ ( Nc ℘1a ↑c Nc ℘1b) = Nc (a ↑m b)
13		ovex 5551	. . . . . . . 8 ⊢ (a ↑m b) ∈ V
14	13	ncelncsi 6121	. . . . . . 7 ⊢ Nc (a ↑m b) ∈ NC
15	12, 14	eqeltri 2423	. . . . . 6 ⊢ ( Nc ℘1a ↑c Nc ℘1b) ∈ NC
16	9, 15	syl6eqel 2441	. . . . 5 ⊢ ((M = Nc ℘1a ∧ N = Nc ℘1b) → (M ↑c N) ∈ NC )
17	8, 16	syl6bir 220	. . . 4 ⊢ ((M ∈ NC ∧ N ∈ NC ) → ((℘1a ∈ M ∧ ℘1b ∈ N) → (M ↑c N) ∈ NC ))
18	17	exlimdvv 1637	. . 3 ⊢ ((M ∈ NC ∧ N ∈ NC ) → (∃a∃b(℘1a ∈ M ∧ ℘1b ∈ N) → (M ↑c N) ∈ NC ))
19	5, 18	sylbid 206	. 2 ⊢ ((M ∈ NC ∧ N ∈ NC ) → (((M ↑c 0c) ≠ ∅ ∧ (N ↑c 0c) ≠ ∅) → (M ↑c N) ∈ NC ))
20		nulnnc 6118	. . . . 5 ⊢ ¬ ∅ ∈ NC
21		eleq1 2413	. . . . 5 ⊢ ((M ↑c N) = ∅ → ((M ↑c N) ∈ NC ↔ ∅ ∈ NC ))
22	20, 21	mtbiri 294	. . . 4 ⊢ ((M ↑c N) = ∅ → ¬ (M ↑c N) ∈ NC )
23	22	necon2ai 2561	. . 3 ⊢ ((M ↑c N) ∈ NC → (M ↑c N) ≠ ∅)
24		ce0nnulb 6182	. . 3 ⊢ ((M ∈ NC ∧ N ∈ NC ) → (((M ↑c 0c) ≠ ∅ ∧ (N ↑c 0c) ≠ ∅) ↔ (M ↑c N) ≠ ∅))
25	23, 24	syl5ibr 212	. 2 ⊢ ((M ∈ NC ∧ N ∈ NC ) → ((M ↑c N) ∈ NC → ((M ↑c 0c) ≠ ∅ ∧ (N ↑c 0c) ≠ ∅)))
26	19, 25	impbid 183	1 ⊢ ((M ∈ NC ∧ N ∈ NC ) → (((M ↑c 0c) ≠ ∅ ∧ (N ↑c 0c) ≠ ∅) ↔ (M ↑c N) ∈ NC ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 176   ∧ wa 358  ∃wex 1541   = wceq 1642   ∈ wcel 1710   ≠ wne 2516  ∅c0 3550  ℘₁cpw1 4135  0_cc0c 4374  (class class class)co 5525   ↑_m cmap 5999   NC cncs 6088   Nc cnc 6091   ↑_c cce 6096

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4078  ax-xp 4079  ax-cnv 4080  ax-1c 4081  ax-sset 4082  ax-si 4083  ax-ins2 4084  ax-ins3 4085  ax-typlower 4086  ax-sn 4087

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2478  df-ne 2518  df-ral 2619  df-rex 2620  df-reu 2621  df-rmo 2622  df-rab 2623  df-v 2861  df-sbc 3047  df-nin 3211  df-compl 3212  df-in 3213  df-un 3214  df-dif 3215  df-symdif 3216  df-ss 3259  df-pss 3261  df-nul 3551  df-if 3663  df-pw 3724  df-sn 3741  df-pr 3742  df-uni 3892  df-int 3927  df-opk 4058  df-1c 4136  df-pw1 4137  df-uni1 4138  df-xpk 4185  df-cnvk 4186  df-ins2k 4187  df-ins3k 4188  df-imak 4189  df-cok 4190  df-p6 4191  df-sik 4192  df-ssetk 4193  df-imagek 4194  df-idk 4195  df-iota 4339  df-0c 4377  df-addc 4378  df-nnc 4379  df-fin 4380  df-lefin 4440  df-ltfin 4441  df-ncfin 4442  df-tfin 4443  df-evenfin 4444  df-oddfin 4445  df-sfin 4446  df-spfin 4447  df-phi 4565  df-op 4566  df-proj1 4567  df-proj2 4568  df-opab 4623  df-br 4640  df-1st 4723  df-swap 4724  df-sset 4725  df-co 4726  df-ima 4727  df-si 4728  df-id 4767  df-xp 4784  df-cnv 4785  df-rn 4786  df-dm 4787  df-res 4788  df-fun 4789  df-fn 4790  df-f 4791  df-f1 4792  df-fo 4793  df-f1o 4794  df-fv 4795  df-2nd 4797  df-ov 5526  df-oprab 5528  df-mpt 5652  df-mpt2 5654  df-txp 5736  df-compose 5748  df-ins2 5750  df-ins3 5752  df-image 5754  df-ins4 5756  df-si3 5758  df-funs 5760  df-fns 5762  df-pw1fn 5766  df-trans 5899  df-sym 5908  df-er 5909  df-ec 5947  df-qs 5951  df-map 6001  df-en 6029  df-ncs 6098  df-nc 6101  df-ce 6106

This theorem is referenced by:  ce0nulnc  6184  cecl  6186  ceclr  6187  fce  6188