Theorem 2lgslem4 15624

Description: Lemma 4 for 2lgs 15625: special case of 2lgs 15625 for 𝑃 = 2. (Contributed by AV, 20-Jun-2021.)

Assertion

Ref	Expression
2lgslem4	⊢ ((2 /L 2) = 1 ↔ (2 mod 8) ∈ {1, 7})

Proof of Theorem 2lgslem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2lgs2 15623	. . 3 ⊢ (2 /L 2) = 0
2	1	eqeq1i 2214	. 2 ⊢ ((2 /L 2) = 1 ↔ 0 = 1)
3		0ne1 9110	. . . 4 ⊢ 0 ≠ 1
4	3	neii 2379	. . 3 ⊢ ¬ 0 = 1
5		1ne2 9250	. . . . 5 ⊢ 1 ≠ 2
6	5	nesymi 2423	. . . 4 ⊢ ¬ 2 = 1
7		2re 9113	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
8		2lt7 9232	. . . . . 6 ⊢ 2 < 7
9	7, 8	ltneii 8176	. . . . 5 ⊢ 2 ≠ 7
10	9	neii 2379	. . . 4 ⊢ ¬ 2 = 7
11	6, 10	pm3.2ni 815	. . 3 ⊢ ¬ (2 = 1 ∨ 2 = 7)
12	4, 11	2false 703	. 2 ⊢ (0 = 1 ↔ (2 = 1 ∨ 2 = 7))
13		2nn 9205	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ
14		nnq 9761	. . . . . 6 ⊢ (2 ∈ ℕ → 2 ∈ ℚ)
15	13, 14	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℚ
16		8nn 9211	. . . . . 6 ⊢ 8 ∈ ℕ
17		nnq 9761	. . . . . 6 ⊢ (8 ∈ ℕ → 8 ∈ ℚ)
18	16, 17	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 8 ∈ ℚ
19		0le2 9133	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 2
20		2lt8 9239	. . . . 5 ⊢ 2 < 8
21		modqid 10501	. . . . 5 ⊢ (((2 ∈ ℚ ∧ 8 ∈ ℚ) ∧ (0 ≤ 2 ∧ 2 < 8)) → (2 mod 8) = 2)
22	15, 18, 19, 20, 21	mp4an 427	. . . 4 ⊢ (2 mod 8) = 2
23	22	eleq1i 2272	. . 3 ⊢ ((2 mod 8) ∈ {1, 7} ↔ 2 ∈ {1, 7})
24		2ex 9115	. . . 4 ⊢ 2 ∈ V
25	24	elpr 3655	. . 3 ⊢ (2 ∈ {1, 7} ↔ (2 = 1 ∨ 2 = 7))
26	23, 25	bitr2i 185	. 2 ⊢ ((2 = 1 ∨ 2 = 7) ↔ (2 mod 8) ∈ {1, 7})
27	2, 12, 26	3bitri 206	1 ⊢ ((2 /L 2) = 1 ↔ (2 mod 8) ∈ {1, 7})

Syntax hints:   ↔ wb 105   ∨ wo 710   = wceq 1373   ∈ wcel 2177  {cpr 3635   class class class wbr 4047  (class class class)co 5951  0cc0 7932  1c1 7933   < clt 8114   ≤ cle 8115  ℕcn 9043  2c2 9094  7c7 9099  8c8 9100  ℚcq 9747   mod cmo 10474   /_L clgs 15518

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4163  ax-sep 4166  ax-nul 4174  ax-pow 4222  ax-pr 4257  ax-un 4484  ax-setind 4589  ax-iinf 4640  ax-cnex 8023  ax-resscn 8024  ax-1cn 8025  ax-1re 8026  ax-icn 8027  ax-addcl 8028  ax-addrcl 8029  ax-mulcl 8030  ax-mulrcl 8031  ax-addcom 8032  ax-mulcom 8033  ax-addass 8034  ax-mulass 8035  ax-distr 8036  ax-i2m1 8037  ax-0lt1 8038  ax-1rid 8039  ax-0id 8040  ax-rnegex 8041  ax-precex 8042  ax-cnre 8043  ax-pre-ltirr 8044  ax-pre-ltwlin 8045  ax-pre-lttrn 8046  ax-pre-apti 8047  ax-pre-ltadd 8048  ax-pre-mulgt0 8049  ax-pre-mulext 8050  ax-arch 8051  ax-caucvg 8052

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 833  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-xor 1396  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rmo 2493  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3000  df-csb 3095  df-dif 3169  df-un 3171  df-in 3173  df-ss 3180  df-nul 3462  df-if 3573  df-pw 3619  df-sn 3640  df-pr 3641  df-op 3643  df-uni 3853  df-int 3888  df-iun 3931  df-br 4048  df-opab 4110  df-mpt 4111  df-tr 4147  df-id 4344  df-po 4347  df-iso 4348  df-iord 4417  df-on 4419  df-ilim 4420  df-suc 4422  df-iom 4643  df-xp 4685  df-rel 4686  df-cnv 4687  df-co 4688  df-dm 4689  df-rn 4690  df-res 4691  df-ima 4692  df-iota 5237  df-fun 5278  df-fn 5279  df-f 5280  df-f1 5281  df-fo 5282  df-f1o 5283  df-fv 5284  df-isom 5285  df-riota 5906  df-ov 5954  df-oprab 5955  df-mpo 5956  df-1st 6233  df-2nd 6234  df-recs 6398  df-irdg 6463  df-frec 6484  df-1o 6509  df-2o 6510  df-oadd 6513  df-er 6627  df-en 6835  df-dom 6836  df-fin 6837  df-sup 7093  df-inf 7094  df-pnf 8116  df-mnf 8117  df-xr 8118  df-ltxr 8119  df-le 8120  df-sub 8252  df-neg 8253  df-reap 8655  df-ap 8662  df-div 8753  df-inn 9044  df-2 9102  df-3 9103  df-4 9104  df-5 9105  df-6 9106  df-7 9107  df-8 9108  df-n0 9303  df-z 9380  df-uz 9656  df-q 9748  df-rp 9783  df-fz 10138  df-fzo 10272  df-fl 10420  df-mod 10475  df-seqfrec 10600  df-exp 10691  df-ihash 10928  df-cj 11197  df-re 11198  df-im 11199  df-rsqrt 11353  df-abs 11354  df-clim 11634  df-proddc 11906  df-dvds 12143  df-gcd 12319  df-prm 12474  df-phi 12577  df-pc 12652  df-lgs 15519

This theorem is referenced by:  2lgs  15625