Theorem 2lgslem4 16444

Description: Lemma 4 for 2lgs 16445: special case of 2lgs 16445 for 𝑃 = 2. (Contributed by AV, 20-Jun-2021.)

Assertion

Ref	Expression
2lgslem4	⊢ ((2 /L 2) = 1 ↔ (2 mod 8) ∈ {1, 7})

Proof of Theorem 2lgslem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2lgs2 16443	. . 3 ⊢ (2 /L 2) = 0
2	1	eqeq1i 2246	. 2 ⊢ ((2 /L 2) = 1 ↔ 0 = 1)
3		0ne1 9380	. . . 4 ⊢ 0 ≠ 1
4	3	neii 2422	. . 3 ⊢ ¬ 0 = 1
5		1ne2 9522	. . . . 5 ⊢ 1 ≠ 2
6	5	nesymi 2466	. . . 4 ⊢ ¬ 2 = 1
7		2re 9383	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
8		2lt7 9504	. . . . . 6 ⊢ 2 < 7
9	7, 8	ltneii 8429	. . . . 5 ⊢ 2 ≠ 7
10	9	neii 2422	. . . 4 ⊢ ¬ 2 = 7
11	6, 10	pm3.2ni 825	. . 3 ⊢ ¬ (2 = 1 ∨ 2 = 7)
12	4, 11	2false 713	. 2 ⊢ (0 = 1 ↔ (2 = 1 ∨ 2 = 7))
13		2nn 9477	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ
14		nnq 10048	. . . . . 6 ⊢ (2 ∈ ℕ → 2 ∈ ℚ)
15	13, 14	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℚ
16		8nn 9483	. . . . . 6 ⊢ 8 ∈ ℕ
17		nnq 10048	. . . . . 6 ⊢ (8 ∈ ℕ → 8 ∈ ℚ)
18	16, 17	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 8 ∈ ℚ
19		0le2 9403	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 2
20		2lt8 9511	. . . . 5 ⊢ 2 < 8
21		modqid 10806	. . . . 5 ⊢ (((2 ∈ ℚ ∧ 8 ∈ ℚ) ∧ (0 ≤ 2 ∧ 2 < 8)) → (2 mod 8) = 2)
22	15, 18, 19, 20, 21	mp4an 431	. . . 4 ⊢ (2 mod 8) = 2
23	22	eleq1i 2304	. . 3 ⊢ ((2 mod 8) ∈ {1, 7} ↔ 2 ∈ {1, 7})
24		2ex 9385	. . . 4 ⊢ 2 ∈ V
25	24	elpr 3730	. . 3 ⊢ (2 ∈ {1, 7} ↔ (2 = 1 ∨ 2 = 7))
26	23, 25	bitr2i 185	. 2 ⊢ ((2 = 1 ∨ 2 = 7) ↔ (2 mod 8) ∈ {1, 7})
27	2, 12, 26	3bitri 206	1 ⊢ ((2 /L 2) = 1 ↔ (2 mod 8) ∈ {1, 7})

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 105   ∨ wo 720   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  {cpr 3710   class class class wbr 4131  (class class class)co 6088  0cc0 8185  1c1 8186   < clt 8366   ≤ cle 8367  ℕcn 9313  2c2 9364  7c7 9369  8c8 9370  ℚcq 10034   mod cmo 10779   /_L clgs 16338

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-mulrcl 8284  ax-addcom 8285  ax-mulcom 8286  ax-addass 8287  ax-mulass 8288  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-1rid 8292  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-precex 8295  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-apti 8300  ax-pre-ltadd 8301  ax-pre-mulgt0 8302  ax-pre-mulext 8303  ax-arch 8304  ax-caucvg 8305

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 843  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-xor 1425  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-isom 5389  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6581  df-irdg 6646  df-frec 6667  df-1o 6692  df-2o 6693  df-oadd 6696  df-er 6812  df-en 7029  df-dom 7030  df-fin 7031  df-sup 7330  df-inf 7331  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-reap 8911  df-ap 8918  df-div 9011  df-inn 9314  df-2 9372  df-3 9373  df-4 9374  df-5 9375  df-6 9376  df-7 9377  df-8 9378  df-n0 9575  df-z 9654  df-uz 9937  df-q 10035  df-rp 10071  df-fz 10428  df-fzo 10566  df-fl 10721  df-mod 10780  df-seqfrec 10905  df-exp 10996  df-ihash 11236  df-cj 11628  df-re 11629  df-im 11630  df-rsqrt 11785  df-abs 11786  df-clim 12069  df-proddc 12342  df-dvds 12579  df-gcd 12755  df-prm 12910  df-phi 13017  df-pc 13092  df-lgs 16339

This theorem is used by:  2lgs  16445