Theorem 2lgslem4 15344

Description: Lemma 4 for 2lgs 15345: special case of 2lgs 15345 for 𝑃 = 2. (Contributed by AV, 20-Jun-2021.)

Assertion

Ref	Expression
2lgslem4	⊢ ((2 /L 2) = 1 ↔ (2 mod 8) ∈ {1, 7})

Proof of Theorem 2lgslem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2lgs2 15343	. . 3 ⊢ (2 /L 2) = 0
2	1	eqeq1i 2204	. 2 ⊢ ((2 /L 2) = 1 ↔ 0 = 1)
3		0ne1 9057	. . . 4 ⊢ 0 ≠ 1
4	3	neii 2369	. . 3 ⊢ ¬ 0 = 1
5		1ne2 9197	. . . . 5 ⊢ 1 ≠ 2
6	5	nesymi 2413	. . . 4 ⊢ ¬ 2 = 1
7		2re 9060	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
8		2lt7 9179	. . . . . 6 ⊢ 2 < 7
9	7, 8	ltneii 8123	. . . . 5 ⊢ 2 ≠ 7
10	9	neii 2369	. . . 4 ⊢ ¬ 2 = 7
11	6, 10	pm3.2ni 814	. . 3 ⊢ ¬ (2 = 1 ∨ 2 = 7)
12	4, 11	2false 702	. 2 ⊢ (0 = 1 ↔ (2 = 1 ∨ 2 = 7))
13		2nn 9152	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ
14		nnq 9707	. . . . . 6 ⊢ (2 ∈ ℕ → 2 ∈ ℚ)
15	13, 14	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℚ
16		8nn 9158	. . . . . 6 ⊢ 8 ∈ ℕ
17		nnq 9707	. . . . . 6 ⊢ (8 ∈ ℕ → 8 ∈ ℚ)
18	16, 17	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 8 ∈ ℚ
19		0le2 9080	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 2
20		2lt8 9186	. . . . 5 ⊢ 2 < 8
21		modqid 10441	. . . . 5 ⊢ (((2 ∈ ℚ ∧ 8 ∈ ℚ) ∧ (0 ≤ 2 ∧ 2 < 8)) → (2 mod 8) = 2)
22	15, 18, 19, 20, 21	mp4an 427	. . . 4 ⊢ (2 mod 8) = 2
23	22	eleq1i 2262	. . 3 ⊢ ((2 mod 8) ∈ {1, 7} ↔ 2 ∈ {1, 7})
24		2ex 9062	. . . 4 ⊢ 2 ∈ V
25	24	elpr 3643	. . 3 ⊢ (2 ∈ {1, 7} ↔ (2 = 1 ∨ 2 = 7))
26	23, 25	bitr2i 185	. 2 ⊢ ((2 = 1 ∨ 2 = 7) ↔ (2 mod 8) ∈ {1, 7})
27	2, 12, 26	3bitri 206	1 ⊢ ((2 /L 2) = 1 ↔ (2 mod 8) ∈ {1, 7})

Syntax hints:   ↔ wb 105   ∨ wo 709   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  {cpr 3623   class class class wbr 4033  (class class class)co 5922  0cc0 7879  1c1 7880   < clt 8061   ≤ cle 8062  ℕcn 8990  2c2 9041  7c7 9046  8c8 9047  ℚcq 9693   mod cmo 10414   /_L clgs 15238

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-mulrcl 7978  ax-addcom 7979  ax-mulcom 7980  ax-addass 7981  ax-mulass 7982  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-1rid 7986  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-precex 7989  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-apti 7994  ax-pre-ltadd 7995  ax-pre-mulgt0 7996  ax-pre-mulext 7997  ax-arch 7998  ax-caucvg 7999

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-xor 1387  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-if 3562  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-id 4328  df-po 4331  df-iso 4332  df-iord 4401  df-on 4403  df-ilim 4404  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-isom 5267  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-recs 6363  df-irdg 6428  df-frec 6449  df-1o 6474  df-2o 6475  df-oadd 6478  df-er 6592  df-en 6800  df-dom 6801  df-fin 6802  df-sup 7050  df-inf 7051  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-sub 8199  df-neg 8200  df-reap 8602  df-ap 8609  df-div 8700  df-inn 8991  df-2 9049  df-3 9050  df-4 9051  df-5 9052  df-6 9053  df-7 9054  df-8 9055  df-n0 9250  df-z 9327  df-uz 9602  df-q 9694  df-rp 9729  df-fz 10084  df-fzo 10218  df-fl 10360  df-mod 10415  df-seqfrec 10540  df-exp 10631  df-ihash 10868  df-cj 11007  df-re 11008  df-im 11009  df-rsqrt 11163  df-abs 11164  df-clim 11444  df-proddc 11716  df-dvds 11953  df-gcd 12121  df-prm 12276  df-phi 12379  df-pc 12454  df-lgs 15239

This theorem is referenced by:  2lgs  15345