Theorem 2lgslem4 16205

Description: Lemma 4 for 2lgs 16206: special case of 2lgs 16206 for 𝑃 = 2. (Contributed by AV, 20-Jun-2021.)

Assertion

Ref	Expression
2lgslem4	⊢ ((2 /L 2) = 1 ↔ (2 mod 8) ∈ {1, 7})

Proof of Theorem 2lgslem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2lgs2 16204	. . 3 ⊢ (2 /L 2) = 0
2	1	eqeq1i 2246	. 2 ⊢ ((2 /L 2) = 1 ↔ 0 = 1)
3		0ne1 9354	. . . 4 ⊢ 0 ≠ 1
4	3	neii 2422	. . 3 ⊢ ¬ 0 = 1
5		1ne2 9494	. . . . 5 ⊢ 1 ≠ 2
6	5	nesymi 2466	. . . 4 ⊢ ¬ 2 = 1
7		2re 9357	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
8		2lt7 9476	. . . . . 6 ⊢ 2 < 7
9	7, 8	ltneii 8416	. . . . 5 ⊢ 2 ≠ 7
10	9	neii 2422	. . . 4 ⊢ ¬ 2 = 7
11	6, 10	pm3.2ni 825	. . 3 ⊢ ¬ (2 = 1 ∨ 2 = 7)
12	4, 11	2false 713	. 2 ⊢ (0 = 1 ↔ (2 = 1 ∨ 2 = 7))
13		2nn 9449	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ
14		nnq 10016	. . . . . 6 ⊢ (2 ∈ ℕ → 2 ∈ ℚ)
15	13, 14	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℚ
16		8nn 9455	. . . . . 6 ⊢ 8 ∈ ℕ
17		nnq 10016	. . . . . 6 ⊢ (8 ∈ ℕ → 8 ∈ ℚ)
18	16, 17	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 8 ∈ ℚ
19		0le2 9377	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 2
20		2lt8 9483	. . . . 5 ⊢ 2 < 8
21		modqid 10769	. . . . 5 ⊢ (((2 ∈ ℚ ∧ 8 ∈ ℚ) ∧ (0 ≤ 2 ∧ 2 < 8)) → (2 mod 8) = 2)
22	15, 18, 19, 20, 21	mp4an 431	. . . 4 ⊢ (2 mod 8) = 2
23	22	eleq1i 2304	. . 3 ⊢ ((2 mod 8) ∈ {1, 7} ↔ 2 ∈ {1, 7})
24		2ex 9359	. . . 4 ⊢ 2 ∈ V
25	24	elpr 3729	. . 3 ⊢ (2 ∈ {1, 7} ↔ (2 = 1 ∨ 2 = 7))
26	23, 25	bitr2i 185	. 2 ⊢ ((2 = 1 ∨ 2 = 7) ↔ (2 mod 8) ∈ {1, 7})
27	2, 12, 26	3bitri 206	1 ⊢ ((2 /L 2) = 1 ↔ (2 mod 8) ∈ {1, 7})

Syntax hints:   ↔ wb 105   ∨ wo 720   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  {cpr 3709   class class class wbr 4128  (class class class)co 6079  0cc0 8173  1c1 8174   < clt 8354   ≤ cle 8355  ℕcn 9287  2c2 9338  7c7 9343  8c8 9344  ℚcq 10002   mod cmo 10742   /_L clgs 16099

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4244  ax-sep 4247  ax-nul 4257  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-iinf 4733  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-1cn 8266  ax-1re 8267  ax-icn 8268  ax-addcl 8269  ax-addrcl 8270  ax-mulcl 8271  ax-mulrcl 8272  ax-addcom 8273  ax-mulcom 8274  ax-addass 8275  ax-mulass 8276  ax-distr 8277  ax-i2m1 8278  ax-0lt1 8279  ax-1rid 8280  ax-0id 8281  ax-rnegex 8282  ax-precex 8283  ax-cnre 8284  ax-pre-ltirr 8285  ax-pre-ltwlin 8286  ax-pre-lttrn 8287  ax-pre-apti 8288  ax-pre-ltadd 8289  ax-pre-mulgt0 8290  ax-pre-mulext 8291  ax-arch 8292  ax-caucvg 8293

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 843  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-xor 1425  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-iun 4012  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-tr 4228  df-id 4436  df-po 4439  df-iso 4440  df-iord 4509  df-on 4511  df-ilim 4512  df-suc 4514  df-iom 4736  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-isom 5384  df-riota 6032  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-1st 6368  df-2nd 6369  df-recs 6570  df-irdg 6635  df-frec 6656  df-1o 6681  df-2o 6682  df-oadd 6685  df-er 6801  df-en 7017  df-dom 7018  df-fin 7019  df-sup 7318  df-inf 7319  df-pnf 8356  df-mnf 8357  df-xr 8358  df-ltxr 8359  df-le 8360  df-sub 8493  df-neg 8494  df-reap 8897  df-ap 8904  df-div 8997  df-inn 9288  df-2 9346  df-3 9347  df-4 9348  df-5 9349  df-6 9350  df-7 9351  df-8 9352  df-n0 9547  df-z 9628  df-uz 9905  df-q 10003  df-rp 10038  df-fz 10395  df-fzo 10533  df-fl 10688  df-mod 10743  df-seqfrec 10868  df-exp 10959  df-ihash 11198  df-cj 11590  df-re 11591  df-im 11592  df-rsqrt 11747  df-abs 11748  df-clim 12028  df-proddc 12301  df-dvds 12538  df-gcd 12714  df-prm 12869  df-phi 12972  df-pc 13047  df-lgs 16100

This theorem is referenced by:  2lgs  16206