Theorem 2lgslem4 15354

Description: Lemma 4 for 2lgs 15355: special case of 2lgs 15355 for 𝑃 = 2. (Contributed by AV, 20-Jun-2021.)

Assertion

Ref	Expression
2lgslem4	⊢ ((2 /L 2) = 1 ↔ (2 mod 8) ∈ {1, 7})

Proof of Theorem 2lgslem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2lgs2 15353	. . 3 ⊢ (2 /L 2) = 0
2	1	eqeq1i 2204	. 2 ⊢ ((2 /L 2) = 1 ↔ 0 = 1)
3		0ne1 9059	. . . 4 ⊢ 0 ≠ 1
4	3	neii 2369	. . 3 ⊢ ¬ 0 = 1
5		1ne2 9199	. . . . 5 ⊢ 1 ≠ 2
6	5	nesymi 2413	. . . 4 ⊢ ¬ 2 = 1
7		2re 9062	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
8		2lt7 9181	. . . . . 6 ⊢ 2 < 7
9	7, 8	ltneii 8125	. . . . 5 ⊢ 2 ≠ 7
10	9	neii 2369	. . . 4 ⊢ ¬ 2 = 7
11	6, 10	pm3.2ni 814	. . 3 ⊢ ¬ (2 = 1 ∨ 2 = 7)
12	4, 11	2false 702	. 2 ⊢ (0 = 1 ↔ (2 = 1 ∨ 2 = 7))
13		2nn 9154	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ
14		nnq 9709	. . . . . 6 ⊢ (2 ∈ ℕ → 2 ∈ ℚ)
15	13, 14	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℚ
16		8nn 9160	. . . . . 6 ⊢ 8 ∈ ℕ
17		nnq 9709	. . . . . 6 ⊢ (8 ∈ ℕ → 8 ∈ ℚ)
18	16, 17	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 8 ∈ ℚ
19		0le2 9082	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 2
20		2lt8 9188	. . . . 5 ⊢ 2 < 8
21		modqid 10443	. . . . 5 ⊢ (((2 ∈ ℚ ∧ 8 ∈ ℚ) ∧ (0 ≤ 2 ∧ 2 < 8)) → (2 mod 8) = 2)
22	15, 18, 19, 20, 21	mp4an 427	. . . 4 ⊢ (2 mod 8) = 2
23	22	eleq1i 2262	. . 3 ⊢ ((2 mod 8) ∈ {1, 7} ↔ 2 ∈ {1, 7})
24		2ex 9064	. . . 4 ⊢ 2 ∈ V
25	24	elpr 3644	. . 3 ⊢ (2 ∈ {1, 7} ↔ (2 = 1 ∨ 2 = 7))
26	23, 25	bitr2i 185	. 2 ⊢ ((2 = 1 ∨ 2 = 7) ↔ (2 mod 8) ∈ {1, 7})
27	2, 12, 26	3bitri 206	1 ⊢ ((2 /L 2) = 1 ↔ (2 mod 8) ∈ {1, 7})

Syntax hints:   ↔ wb 105   ∨ wo 709   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  {cpr 3624   class class class wbr 4034  (class class class)co 5923  0cc0 7881  1c1 7882   < clt 8063   ≤ cle 8064  ℕcn 8992  2c2 9043  7c7 9048  8c8 9049  ℚcq 9695   mod cmo 10416   /_L clgs 15248

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625  ax-cnex 7972  ax-resscn 7973  ax-1cn 7974  ax-1re 7975  ax-icn 7976  ax-addcl 7977  ax-addrcl 7978  ax-mulcl 7979  ax-mulrcl 7980  ax-addcom 7981  ax-mulcom 7982  ax-addass 7983  ax-mulass 7984  ax-distr 7985  ax-i2m1 7986  ax-0lt1 7987  ax-1rid 7988  ax-0id 7989  ax-rnegex 7990  ax-precex 7991  ax-cnre 7992  ax-pre-ltirr 7993  ax-pre-ltwlin 7994  ax-pre-lttrn 7995  ax-pre-apti 7996  ax-pre-ltadd 7997  ax-pre-mulgt0 7998  ax-pre-mulext 7999  ax-arch 8000  ax-caucvg 8001

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-xor 1387  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-if 3563  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-iord 4402  df-on 4404  df-ilim 4405  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-isom 5268  df-riota 5878  df-ov 5926  df-oprab 5927  df-mpo 5928  df-1st 6199  df-2nd 6200  df-recs 6364  df-irdg 6429  df-frec 6450  df-1o 6475  df-2o 6476  df-oadd 6479  df-er 6593  df-en 6801  df-dom 6802  df-fin 6803  df-sup 7051  df-inf 7052  df-pnf 8065  df-mnf 8066  df-xr 8067  df-ltxr 8068  df-le 8069  df-sub 8201  df-neg 8202  df-reap 8604  df-ap 8611  df-div 8702  df-inn 8993  df-2 9051  df-3 9052  df-4 9053  df-5 9054  df-6 9055  df-7 9056  df-8 9057  df-n0 9252  df-z 9329  df-uz 9604  df-q 9696  df-rp 9731  df-fz 10086  df-fzo 10220  df-fl 10362  df-mod 10417  df-seqfrec 10542  df-exp 10633  df-ihash 10870  df-cj 11009  df-re 11010  df-im 11011  df-rsqrt 11165  df-abs 11166  df-clim 11446  df-proddc 11718  df-dvds 11955  df-gcd 12131  df-prm 12286  df-phi 12389  df-pc 12464  df-lgs 15249

This theorem is referenced by:  2lgs  15355