Theorem eulerpathprum 16959

Description: A graph with an Eulerian path has either zero or two vertices of odd degree. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2015.) (Revised by AV, 26-Feb-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
eulerpathpr.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
eulerpathprum	⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃 ∧ 𝑉 ∈ Fin) → (♯‘{𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)}) ∈ {0, 2})

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝑥,𝑃   𝑥,𝑉

Proof of Theorem eulerpathprum

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eulerpathpr.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		eqid 2238	. . . 4 ⊢ (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
3		simp1 1028	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃 ∧ 𝑉 ∈ Fin) → 𝐺 ∈ UMGraph)
4		umgruhgr 16592	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → 𝐺 ∈ UHGraph)
5	3, 4	syl 14	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃 ∧ 𝑉 ∈ Fin) → 𝐺 ∈ UHGraph)
6	2	uhgrfun 16556	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → Fun (iEdg‘𝐺))
7	5, 6	syl 14	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃 ∧ 𝑉 ∈ Fin) → Fun (iEdg‘𝐺))
8		simp2 1029	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃 ∧ 𝑉 ∈ Fin) → 𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃)
9		simp3 1030	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃 ∧ 𝑉 ∈ Fin) → 𝑉 ∈ Fin)
10	1, 2, 3, 7, 8, 9	eupth2fi 16958	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃 ∧ 𝑉 ∈ Fin) → {𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)} = if((𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘(♯‘𝐹))}))
11	10	fveq2d 5702	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃 ∧ 𝑉 ∈ Fin) → (♯‘{𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)}) = (♯‘if((𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘(♯‘𝐹))})))
12		fveq2 5698	. . . 4 ⊢ (∅ = if((𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘(♯‘𝐹))}) → (♯‘∅) = (♯‘if((𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘(♯‘𝐹))})))
13	12	eleq1d 2307	. . 3 ⊢ (∅ = if((𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘(♯‘𝐹))}) → ((♯‘∅) ∈ {0, 2} ↔ (♯‘if((𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘(♯‘𝐹))})) ∈ {0, 2}))
14		fveq2 5698	. . . 4 ⊢ ({(𝑃‘0), (𝑃‘(♯‘𝐹))} = if((𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘(♯‘𝐹))}) → (♯‘{(𝑃‘0), (𝑃‘(♯‘𝐹))}) = (♯‘if((𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘(♯‘𝐹))})))
15	14	eleq1d 2307	. . 3 ⊢ ({(𝑃‘0), (𝑃‘(♯‘𝐹))} = if((𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘(♯‘𝐹))}) → ((♯‘{(𝑃‘0), (𝑃‘(♯‘𝐹))}) ∈ {0, 2} ↔ (♯‘if((𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘(♯‘𝐹))})) ∈ {0, 2}))
16		hash0 11257	. . . . 5 ⊢ (♯‘∅) = 0
17		c0ex 8327	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ V
18	17	prid1 3817	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ {0, 2}
19	16, 18	eqeltri 2311	. . . 4 ⊢ (♯‘∅) ∈ {0, 2}
20	19	a1i 9	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃 ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹))) → (♯‘∅) ∈ {0, 2})
21		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃 ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ ¬ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹))) → ¬ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)))
22	21	neqned 2427	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃 ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ ¬ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹))) → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(♯‘𝐹)))
23		eupthiswlk 16934	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃 → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
24	8, 23	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃 ∧ 𝑉 ∈ Fin) → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
25	1	wlkepvtx 16854	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → ((𝑃‘0) ∈ 𝑉 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) ∈ 𝑉))
26	24, 25	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃 ∧ 𝑉 ∈ Fin) → ((𝑃‘0) ∈ 𝑉 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) ∈ 𝑉))
27		hashprg 11271	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃‘0) ∈ 𝑉 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) ∈ 𝑉) → ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(♯‘𝐹)) ↔ (♯‘{(𝑃‘0), (𝑃‘(♯‘𝐹))}) = 2))
28	26, 27	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃 ∧ 𝑉 ∈ Fin) → ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(♯‘𝐹)) ↔ (♯‘{(𝑃‘0), (𝑃‘(♯‘𝐹))}) = 2))
29	28	adantr 276	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃 ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ ¬ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹))) → ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(♯‘𝐹)) ↔ (♯‘{(𝑃‘0), (𝑃‘(♯‘𝐹))}) = 2))
30	22, 29	mpbid 147	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃 ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ ¬ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹))) → (♯‘{(𝑃‘0), (𝑃‘(♯‘𝐹))}) = 2)
31		2ex 9386	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ V
32	31	prid2 3818	. . . 4 ⊢ 2 ∈ {0, 2}
33	30, 32	eqeltrdi 2329	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃 ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ ¬ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹))) → (♯‘{(𝑃‘0), (𝑃‘(♯‘𝐹))}) ∈ {0, 2})
34	26	simpld 112	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃 ∧ 𝑉 ∈ Fin) → (𝑃‘0) ∈ 𝑉)
35	26	simprd 114	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃 ∧ 𝑉 ∈ Fin) → (𝑃‘(♯‘𝐹)) ∈ 𝑉)
36		fidceq 7177	. . . 4 ⊢ ((𝑉 ∈ Fin ∧ (𝑃‘0) ∈ 𝑉 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) ∈ 𝑉) → DECID (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)))
37	9, 34, 35, 36	syl3anc 1278	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃 ∧ 𝑉 ∈ Fin) → DECID (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)))
38	13, 15, 20, 33, 37	ifbothdadc 3674	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃 ∧ 𝑉 ∈ Fin) → (♯‘if((𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘(♯‘𝐹))})) ∈ {0, 2})
39	11, 38	eqeltrd 2315	1 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃 ∧ 𝑉 ∈ Fin) → (♯‘{𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)}) ∈ {0, 2})

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105  DECID wdc 846   ∧ w3a 1009   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   ≠ wne 2420  {crab 2532  ∅c0 3520  ifcif 3638  {cpr 3710   class class class wbr 4131  Fun wfun 5374  ‘cfv 5380  Fincfn 7028  0cc0 8186  2c2 9365  ♯chash 11236   ∥ cdvds 12579  Vtxcvtx 16491  iEdgciedg 16492  UHGraphcuhgr 16546  UMGraphcumgr 16571  VtxDegcvtxdg 16765  Walkscwlks 16796  EulerPathsceupth 16921

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8277  ax-resscn 8278  ax-1cn 8279  ax-1re 8280  ax-icn 8281  ax-addcl 8282  ax-addrcl 8283  ax-mulcl 8284  ax-mulrcl 8285  ax-addcom 8286  ax-mulcom 8287  ax-addass 8288  ax-mulass 8289  ax-distr 8290  ax-i2m1 8291  ax-0lt1 8292  ax-1rid 8293  ax-0id 8294  ax-rnegex 8295  ax-precex 8296  ax-cnre 8297  ax-pre-ltirr 8298  ax-pre-ltwlin 8299  ax-pre-lttrn 8300  ax-pre-apti 8301  ax-pre-ltadd 8302  ax-pre-mulgt0 8303  ax-pre-mulext 8304  ax-arch 8305

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 843  df-dc 847  df-ifp 991  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-xor 1425  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6581  df-irdg 6646  df-frec 6667  df-1o 6692  df-2o 6693  df-oadd 6696  df-er 6812  df-map 6929  df-en 7029  df-dom 7030  df-fin 7031  df-pnf 8369  df-mnf 8370  df-xr 8371  df-ltxr 8372  df-le 8373  df-sub 8507  df-neg 8508  df-reap 8912  df-ap 8919  df-div 9012  df-inn 9315  df-2 9373  df-3 9374  df-4 9375  df-5 9376  df-6 9377  df-7 9378  df-8 9379  df-9 9380  df-n0 9576  df-z 9655  df-dec 9789  df-uz 9938  df-q 10036  df-rp 10072  df-xadd 10192  df-fz 10429  df-fzo 10567  df-fl 10722  df-mod 10781  df-seqfrec 10906  df-exp 10997  df-ihash 11237  df-word 11327  df-cj 11629  df-re 11630  df-im 11631  df-rsqrt 11786  df-abs 11787  df-dvds 12580  df-ndx 13413  df-slot 13414  df-base 13416  df-edgf 16484  df-vtx 16493  df-iedg 16494  df-edg 16537  df-uhgrm 16548  df-ushgrm 16549  df-upgren 16572  df-umgren 16573  df-uspgren 16634  df-subgr 16733  df-vtxdg 16766  df-wlks 16797  df-trls 16860  df-eupth 16922

This theorem is used by:  eulerpathum  16960