Theorem eulerpathprum 16337

Description: A graph with an Eulerian path has either zero or two vertices of odd degree. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2015.) (Revised by AV, 26-Feb-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
eulerpathpr.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
eulerpathprum	⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃 ∧ 𝑉 ∈ Fin) → (♯‘{𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)}) ∈ {0, 2})

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝑥,𝑃   𝑥,𝑉

Proof of Theorem eulerpathprum

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eulerpathpr.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		eqid 2231	. . . 4 ⊢ (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
3		simp1 1023	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃 ∧ 𝑉 ∈ Fin) → 𝐺 ∈ UMGraph)
4		umgruhgr 15970	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → 𝐺 ∈ UHGraph)
5	3, 4	syl 14	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃 ∧ 𝑉 ∈ Fin) → 𝐺 ∈ UHGraph)
6	2	uhgrfun 15934	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → Fun (iEdg‘𝐺))
7	5, 6	syl 14	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃 ∧ 𝑉 ∈ Fin) → Fun (iEdg‘𝐺))
8		simp2 1024	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃 ∧ 𝑉 ∈ Fin) → 𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃)
9		simp3 1025	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃 ∧ 𝑉 ∈ Fin) → 𝑉 ∈ Fin)
10	1, 2, 3, 7, 8, 9	eupth2fi 16336	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃 ∧ 𝑉 ∈ Fin) → {𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)} = if((𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘(♯‘𝐹))}))
11	10	fveq2d 5643	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃 ∧ 𝑉 ∈ Fin) → (♯‘{𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)}) = (♯‘if((𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘(♯‘𝐹))})))
12		fveq2 5639	. . . 4 ⊢ (∅ = if((𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘(♯‘𝐹))}) → (♯‘∅) = (♯‘if((𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘(♯‘𝐹))})))
13	12	eleq1d 2300	. . 3 ⊢ (∅ = if((𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘(♯‘𝐹))}) → ((♯‘∅) ∈ {0, 2} ↔ (♯‘if((𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘(♯‘𝐹))})) ∈ {0, 2}))
14		fveq2 5639	. . . 4 ⊢ ({(𝑃‘0), (𝑃‘(♯‘𝐹))} = if((𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘(♯‘𝐹))}) → (♯‘{(𝑃‘0), (𝑃‘(♯‘𝐹))}) = (♯‘if((𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘(♯‘𝐹))})))
15	14	eleq1d 2300	. . 3 ⊢ ({(𝑃‘0), (𝑃‘(♯‘𝐹))} = if((𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘(♯‘𝐹))}) → ((♯‘{(𝑃‘0), (𝑃‘(♯‘𝐹))}) ∈ {0, 2} ↔ (♯‘if((𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘(♯‘𝐹))})) ∈ {0, 2}))
16		hash0 11059	. . . . 5 ⊢ (♯‘∅) = 0
17		c0ex 8173	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ V
18	17	prid1 3777	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ {0, 2}
19	16, 18	eqeltri 2304	. . . 4 ⊢ (♯‘∅) ∈ {0, 2}
20	19	a1i 9	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃 ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹))) → (♯‘∅) ∈ {0, 2})
21		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃 ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ ¬ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹))) → ¬ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)))
22	21	neqned 2409	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃 ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ ¬ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹))) → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(♯‘𝐹)))
23		eupthiswlk 16312	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃 → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
24	8, 23	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃 ∧ 𝑉 ∈ Fin) → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
25	1	wlkepvtx 16232	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → ((𝑃‘0) ∈ 𝑉 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) ∈ 𝑉))
26	24, 25	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃 ∧ 𝑉 ∈ Fin) → ((𝑃‘0) ∈ 𝑉 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) ∈ 𝑉))
27		hashprg 11073	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃‘0) ∈ 𝑉 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) ∈ 𝑉) → ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(♯‘𝐹)) ↔ (♯‘{(𝑃‘0), (𝑃‘(♯‘𝐹))}) = 2))
28	26, 27	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃 ∧ 𝑉 ∈ Fin) → ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(♯‘𝐹)) ↔ (♯‘{(𝑃‘0), (𝑃‘(♯‘𝐹))}) = 2))
29	28	adantr 276	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃 ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ ¬ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹))) → ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(♯‘𝐹)) ↔ (♯‘{(𝑃‘0), (𝑃‘(♯‘𝐹))}) = 2))
30	22, 29	mpbid 147	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃 ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ ¬ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹))) → (♯‘{(𝑃‘0), (𝑃‘(♯‘𝐹))}) = 2)
31		2ex 9215	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ V
32	31	prid2 3778	. . . 4 ⊢ 2 ∈ {0, 2}
33	30, 32	eqeltrdi 2322	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃 ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ ¬ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹))) → (♯‘{(𝑃‘0), (𝑃‘(♯‘𝐹))}) ∈ {0, 2})
34	26	simpld 112	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃 ∧ 𝑉 ∈ Fin) → (𝑃‘0) ∈ 𝑉)
35	26	simprd 114	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃 ∧ 𝑉 ∈ Fin) → (𝑃‘(♯‘𝐹)) ∈ 𝑉)
36		fidceq 7056	. . . 4 ⊢ ((𝑉 ∈ Fin ∧ (𝑃‘0) ∈ 𝑉 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) ∈ 𝑉) → DECID (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)))
37	9, 34, 35, 36	syl3anc 1273	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃 ∧ 𝑉 ∈ Fin) → DECID (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)))
38	13, 15, 20, 33, 37	ifbothdadc 3639	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃 ∧ 𝑉 ∈ Fin) → (♯‘if((𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘(♯‘𝐹))})) ∈ {0, 2})
39	11, 38	eqeltrd 2308	1 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃 ∧ 𝑉 ∈ Fin) → (♯‘{𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)}) ∈ {0, 2})

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105  DECID wdc 841   ∧ w3a 1004   = wceq 1397   ∈ wcel 2202   ≠ wne 2402  {crab 2514  ∅c0 3494  ifcif 3605  {cpr 3670   class class class wbr 4088  Fun wfun 5320  ‘cfv 5326  Fincfn 6909  0cc0 8032  2c2 9194  ♯chash 11038   ∥ cdvds 12353  Vtxcvtx 15869  iEdgciedg 15870  UHGraphcuhgr 15924  UMGraphcumgr 15949  VtxDegcvtxdg 16143  Walkscwlks 16174  EulerPathsceupth 16299

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-mulrcl 8131  ax-addcom 8132  ax-mulcom 8133  ax-addass 8134  ax-mulass 8135  ax-distr 8136  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-1rid 8139  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-precex 8142  ax-cnre 8143  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-ltwlin 8145  ax-pre-lttrn 8146  ax-pre-apti 8147  ax-pre-ltadd 8148  ax-pre-mulgt0 8149  ax-pre-mulext 8150  ax-arch 8151

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 838  df-dc 842  df-ifp 986  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-xor 1420  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-1st 6303  df-2nd 6304  df-recs 6471  df-irdg 6536  df-frec 6557  df-1o 6582  df-2o 6583  df-oadd 6586  df-er 6702  df-map 6819  df-en 6910  df-dom 6911  df-fin 6912  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-xr 8218  df-ltxr 8219  df-le 8220  df-sub 8352  df-neg 8353  df-reap 8755  df-ap 8762  df-div 8853  df-inn 9144  df-2 9202  df-3 9203  df-4 9204  df-5 9205  df-6 9206  df-7 9207  df-8 9208  df-9 9209  df-n0 9403  df-z 9480  df-dec 9612  df-uz 9756  df-q 9854  df-rp 9889  df-xadd 10008  df-fz 10244  df-fzo 10378  df-fl 10531  df-mod 10586  df-seqfrec 10711  df-exp 10802  df-ihash 11039  df-word 11118  df-cj 11407  df-re 11408  df-im 11409  df-rsqrt 11563  df-abs 11564  df-dvds 12354  df-ndx 13090  df-slot 13091  df-base 13093  df-edgf 15862  df-vtx 15871  df-iedg 15872  df-edg 15915  df-uhgrm 15926  df-ushgrm 15927  df-upgren 15950  df-umgren 15951  df-uspgren 16012  df-subgr 16111  df-vtxdg 16144  df-wlks 16175  df-trls 16238  df-eupth 16300

This theorem is referenced by:  eulerpathum  16338