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Theorem gausslemma2dlem3 15271
Description: Lemma 3 for gausslemma2d 15277. (Contributed by AV, 4-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
gausslemma2d.p  |-  ( ph  ->  P  e.  ( Prime  \  { 2 } ) )
gausslemma2d.h  |-  H  =  ( ( P  - 
1 )  /  2
)
gausslemma2d.r  |-  R  =  ( x  e.  ( 1 ... H ) 
|->  if ( ( x  x.  2 )  < 
( P  /  2
) ,  ( x  x.  2 ) ,  ( P  -  (
x  x.  2 ) ) ) )
gausslemma2d.m  |-  M  =  ( |_ `  ( P  /  4 ) )
Assertion
Ref Expression
gausslemma2dlem3  |-  ( ph  ->  A. k  e.  ( ( M  +  1 ) ... H ) ( R `  k
)  =  ( P  -  ( k  x.  2 ) ) )
Distinct variable groups:    x, H    x, P    ph, x    k, H    R, k    ph, k    x, M   
x, k
Allowed substitution hints:    P( k)    R( x)    M( k)

Proof of Theorem gausslemma2dlem3
StepHypRef Expression
1 gausslemma2d.r . . 3  |-  R  =  ( x  e.  ( 1 ... H ) 
|->  if ( ( x  x.  2 )  < 
( P  /  2
) ,  ( x  x.  2 ) ,  ( P  -  (
x  x.  2 ) ) ) )
2 oveq1 5929 . . . . . . 7  |-  ( x  =  k  ->  (
x  x.  2 )  =  ( k  x.  2 ) )
32breq1d 4043 . . . . . 6  |-  ( x  =  k  ->  (
( x  x.  2 )  <  ( P  /  2 )  <->  ( k  x.  2 )  <  ( P  /  2 ) ) )
42oveq2d 5938 . . . . . 6  |-  ( x  =  k  ->  ( P  -  ( x  x.  2 ) )  =  ( P  -  (
k  x.  2 ) ) )
53, 2, 4ifbieq12d 3587 . . . . 5  |-  ( x  =  k  ->  if ( ( x  x.  2 )  <  ( P  /  2 ) ,  ( x  x.  2 ) ,  ( P  -  ( x  x.  2 ) ) )  =  if ( ( k  x.  2 )  <  ( P  / 
2 ) ,  ( k  x.  2 ) ,  ( P  -  ( k  x.  2 ) ) ) )
65adantl 277 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 ) ... H
) )  /\  x  =  k )  ->  if ( ( x  x.  2 )  <  ( P  /  2 ) ,  ( x  x.  2 ) ,  ( P  -  ( x  x.  2 ) ) )  =  if ( ( k  x.  2 )  <  ( P  / 
2 ) ,  ( k  x.  2 ) ,  ( P  -  ( k  x.  2 ) ) ) )
7 gausslemma2d.p . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  P  e.  ( Prime  \  { 2 } ) )
87gausslemma2dlem0a 15257 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  P  e.  NN )
9 elfz2 10087 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( ( M  +  1 ) ... H )  <->  ( (
( M  +  1 )  e.  ZZ  /\  H  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ )  /\  (
( M  +  1 )  <_  k  /\  k  <_  H ) ) )
10 gausslemma2d.m . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  M  =  ( |_ `  ( P  /  4 ) )
1110oveq1i 5932 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( M  +  1 )  =  ( ( |_ `  ( P  /  4
) )  +  1 )
1211breq1i 4040 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( M  +  1 )  <_  k  <->  ( ( |_ `  ( P  / 
4 ) )  +  1 )  <_  k
)
13 nnz 9342 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( P  e.  NN  ->  P  e.  ZZ )
14 4nn 9151 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  4  e.  NN
15 znq 9695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( P  e.  ZZ  /\  4  e.  NN )  ->  ( P  /  4
)  e.  QQ )
1613, 14, 15sylancl 413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( P  e.  NN  ->  ( P  /  4 )  e.  QQ )
1716adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  P  e.  NN )  ->  ( P  /  4
)  e.  QQ )
18 flqlelt 10351 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( P  /  4 )  e.  QQ  ->  (
( |_ `  ( P  /  4 ) )  <_  ( P  / 
4 )  /\  ( P  /  4 )  < 
( ( |_ `  ( P  /  4
) )  +  1 ) ) )
1917, 18syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  P  e.  NN )  ->  ( ( |_ `  ( P  /  4
) )  <_  ( P  /  4 )  /\  ( P  /  4
)  <  ( ( |_ `  ( P  / 
4 ) )  +  1 ) ) )
20 nnre 8994 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( P  e.  NN  ->  P  e.  RR )
21 4re 9064 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  4  e.  RR
2221a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( P  e.  NN  ->  4  e.  RR )
23 4ap0 9086 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  4 #  0
2423a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( P  e.  NN  ->  4 #  0 )
2520, 22, 24redivclapd 8859 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( P  e.  NN  ->  ( P  /  4 )  e.  RR )
2625adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  P  e.  NN )  ->  ( P  /  4
)  e.  RR )
2716flqcld 10352 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( P  e.  NN  ->  ( |_ `  ( P  / 
4 ) )  e.  ZZ )
2827zred 9445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( P  e.  NN  ->  ( |_ `  ( P  / 
4 ) )  e.  RR )
29 peano2re 8160 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( |_ `  ( P  /  4 ) )  e.  RR  ->  (
( |_ `  ( P  /  4 ) )  +  1 )  e.  RR )
3028, 29syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( P  e.  NN  ->  (
( |_ `  ( P  /  4 ) )  +  1 )  e.  RR )
3130adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  P  e.  NN )  ->  ( ( |_ `  ( P  /  4
) )  +  1 )  e.  RR )
32 zre 9327 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( k  e.  ZZ  ->  k  e.  RR )
3332adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  P  e.  NN )  ->  k  e.  RR )
34 ltleletr 8106 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( P  /  4
)  e.  RR  /\  ( ( |_ `  ( P  /  4
) )  +  1 )  e.  RR  /\  k  e.  RR )  ->  ( ( ( P  /  4 )  < 
( ( |_ `  ( P  /  4
) )  +  1 )  /\  ( ( |_ `  ( P  /  4 ) )  +  1 )  <_ 
k )  ->  ( P  /  4 )  <_ 
k ) )
3526, 31, 33, 34syl3anc 1249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  P  e.  NN )  ->  ( ( ( P  /  4 )  < 
( ( |_ `  ( P  /  4
) )  +  1 )  /\  ( ( |_ `  ( P  /  4 ) )  +  1 )  <_ 
k )  ->  ( P  /  4 )  <_ 
k ) )
3635expd 258 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  P  e.  NN )  ->  ( ( P  / 
4 )  <  (
( |_ `  ( P  /  4 ) )  +  1 )  -> 
( ( ( |_
`  ( P  / 
4 ) )  +  1 )  <_  k  ->  ( P  /  4
)  <_  k )
) )
3736adantld 278 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  P  e.  NN )  ->  ( ( ( |_
`  ( P  / 
4 ) )  <_ 
( P  /  4
)  /\  ( P  /  4 )  < 
( ( |_ `  ( P  /  4
) )  +  1 ) )  ->  (
( ( |_ `  ( P  /  4
) )  +  1 )  <_  k  ->  ( P  /  4 )  <_  k ) ) )
3819, 37mpd 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  P  e.  NN )  ->  ( ( ( |_
`  ( P  / 
4 ) )  +  1 )  <_  k  ->  ( P  /  4
)  <_  k )
)
3938imp 124 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( k  e.  ZZ  /\  P  e.  NN )  /\  ( ( |_
`  ( P  / 
4 ) )  +  1 )  <_  k
)  ->  ( P  /  4 )  <_ 
k )
4020rehalfcld 9235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( P  e.  NN  ->  ( P  /  2 )  e.  RR )
4140adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  P  e.  NN )  ->  ( P  /  2
)  e.  RR )
42 2re 9057 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  2  e.  RR
4342a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( k  e.  ZZ  ->  2  e.  RR )
4432, 43remulcld 8055 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
k  x.  2 )  e.  RR )
4544adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  P  e.  NN )  ->  ( k  x.  2 )  e.  RR )
46 2pos 9078 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  0  <  2
4742, 46pm3.2i 272 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 )
4847a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  P  e.  NN )  ->  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )
49 lediv1 8893 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( P  /  2
)  e.  RR  /\  ( k  x.  2 )  e.  RR  /\  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( ( P  /  2 )  <_ 
( k  x.  2 )  <->  ( ( P  /  2 )  / 
2 )  <_  (
( k  x.  2 )  /  2 ) ) )
5041, 45, 48, 49syl3anc 1249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  P  e.  NN )  ->  ( ( P  / 
2 )  <_  (
k  x.  2 )  <-> 
( ( P  / 
2 )  /  2
)  <_  ( (
k  x.  2 )  /  2 ) ) )
51 nncn 8995 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( P  e.  NN  ->  P  e.  CC )
52 2cnd 9060 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( P  e.  NN  ->  2  e.  CC )
53 2ap0 9080 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  2 #  0
5453a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( P  e.  NN  ->  2 #  0 )
5551, 52, 52, 54, 54divdivap1d 8846 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( P  e.  NN  ->  (
( P  /  2
)  /  2 )  =  ( P  / 
( 2  x.  2 ) ) )
56 2t2e4 9142 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( 2  x.  2 )  =  4
5756oveq2i 5933 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( P  /  ( 2  x.  2 ) )  =  ( P  /  4
)
5855, 57eqtrdi 2245 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( P  e.  NN  ->  (
( P  /  2
)  /  2 )  =  ( P  / 
4 ) )
59 zcn 9328 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( k  e.  ZZ  ->  k  e.  CC )
60 2cnd 9060 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( k  e.  ZZ  ->  2  e.  CC )
6153a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( k  e.  ZZ  ->  2 #  0 )
6259, 60, 61divcanap4d 8820 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
( k  x.  2 )  /  2 )  =  k )
6358, 62breqan12rd 4050 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  P  e.  NN )  ->  ( ( ( P  /  2 )  / 
2 )  <_  (
( k  x.  2 )  /  2 )  <-> 
( P  /  4
)  <_  k )
)
6450, 63bitrd 188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  P  e.  NN )  ->  ( ( P  / 
2 )  <_  (
k  x.  2 )  <-> 
( P  /  4
)  <_  k )
)
6564adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( k  e.  ZZ  /\  P  e.  NN )  /\  ( ( |_
`  ( P  / 
4 ) )  +  1 )  <_  k
)  ->  ( ( P  /  2 )  <_ 
( k  x.  2 )  <->  ( P  / 
4 )  <_  k
) )
6639, 65mpbird 167 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( k  e.  ZZ  /\  P  e.  NN )  /\  ( ( |_
`  ( P  / 
4 ) )  +  1 )  <_  k
)  ->  ( P  /  2 )  <_ 
( k  x.  2 ) )
6766exp31 364 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  ZZ  ->  ( P  e.  NN  ->  ( ( ( |_ `  ( P  /  4
) )  +  1 )  <_  k  ->  ( P  /  2 )  <_  ( k  x.  2 ) ) ) )
6867com23 78 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
( ( |_ `  ( P  /  4
) )  +  1 )  <_  k  ->  ( P  e.  NN  ->  ( P  /  2 )  <_  ( k  x.  2 ) ) ) )
6912, 68biimtrid 152 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
( M  +  1 )  <_  k  ->  ( P  e.  NN  ->  ( P  /  2 )  <_  ( k  x.  2 ) ) ) )
70693ad2ant3 1022 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( M  +  1 )  e.  ZZ  /\  H  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ )  ->  (
( M  +  1 )  <_  k  ->  ( P  e.  NN  ->  ( P  /  2 )  <_  ( k  x.  2 ) ) ) )
7170com12 30 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  +  1 )  <_  k  ->  (
( ( M  + 
1 )  e.  ZZ  /\  H  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( P  e.  NN  ->  ( P  /  2
)  <_  ( k  x.  2 ) ) ) )
7271adantr 276 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  +  1 )  <_  k  /\  k  <_  H )  -> 
( ( ( M  +  1 )  e.  ZZ  /\  H  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( P  e.  NN  ->  ( P  /  2 )  <_  ( k  x.  2 ) ) ) )
7372impcom 125 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( M  + 
1 )  e.  ZZ  /\  H  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( ( M  + 
1 )  <_  k  /\  k  <_  H ) )  ->  ( P  e.  NN  ->  ( P  /  2 )  <_ 
( k  x.  2 ) ) )
749, 73sylbi 121 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( ( M  +  1 ) ... H )  ->  ( P  e.  NN  ->  ( P  /  2 )  <_  ( k  x.  2 ) ) )
7574impcom 125 . . . . . . . 8  |-  ( ( P  e.  NN  /\  k  e.  ( ( M  +  1 ) ... H ) )  ->  ( P  / 
2 )  <_  (
k  x.  2 ) )
76 elfzelz 10097 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  ( ( M  +  1 ) ... H )  ->  k  e.  ZZ )
7776zred 9445 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( ( M  +  1 ) ... H )  ->  k  e.  RR )
7842a1i 9 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( ( M  +  1 ) ... H )  ->  2  e.  RR )
7977, 78remulcld 8055 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( ( M  +  1 ) ... H )  ->  (
k  x.  2 )  e.  RR )
80 lenlt 8100 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( P  /  2
)  e.  RR  /\  ( k  x.  2 )  e.  RR )  ->  ( ( P  /  2 )  <_ 
( k  x.  2 )  <->  -.  ( k  x.  2 )  <  ( P  /  2 ) ) )
8140, 79, 80syl2an 289 . . . . . . . 8  |-  ( ( P  e.  NN  /\  k  e.  ( ( M  +  1 ) ... H ) )  ->  ( ( P  /  2 )  <_ 
( k  x.  2 )  <->  -.  ( k  x.  2 )  <  ( P  /  2 ) ) )
8275, 81mpbid 147 . . . . . . 7  |-  ( ( P  e.  NN  /\  k  e.  ( ( M  +  1 ) ... H ) )  ->  -.  ( k  x.  2 )  <  ( P  /  2 ) )
838, 82sylan 283 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 ) ... H
) )  ->  -.  ( k  x.  2 )  <  ( P  /  2 ) )
8483adantr 276 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 ) ... H
) )  /\  x  =  k )  ->  -.  ( k  x.  2 )  <  ( P  /  2 ) )
8584iffalsed 3571 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 ) ... H
) )  /\  x  =  k )  ->  if ( ( k  x.  2 )  <  ( P  /  2 ) ,  ( k  x.  2 ) ,  ( P  -  ( k  x.  2 ) ) )  =  ( P  -  ( k  x.  2 ) ) )
866, 85eqtrd 2229 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 ) ... H
) )  /\  x  =  k )  ->  if ( ( x  x.  2 )  <  ( P  /  2 ) ,  ( x  x.  2 ) ,  ( P  -  ( x  x.  2 ) ) )  =  ( P  -  ( k  x.  2 ) ) )
877, 10gausslemma2dlem0d 15260 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  M  e.  NN0 )
88 nn0p1nn 9285 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( M  +  1 )  e.  NN )
89 nnuz 9634 . . . . . . 7  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
9088, 89eleqtrdi 2289 . . . . . 6  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( M  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
9187, 90syl 14 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( M  +  1 )  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )
92 fzss1 10135 . . . . 5  |-  ( ( M  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  ( ( M  +  1 ) ... H )  C_  ( 1 ... H
) )
9391, 92syl 14 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( M  + 
1 ) ... H
)  C_  ( 1 ... H ) )
9493sselda 3183 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 ) ... H
) )  ->  k  e.  ( 1 ... H
) )
958nnzd 9444 . . . . 5  |-  ( ph  ->  P  e.  ZZ )
9695adantr 276 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 ) ... H
) )  ->  P  e.  ZZ )
9776adantl 277 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 ) ... H
) )  ->  k  e.  ZZ )
98 2z 9351 . . . . . 6  |-  2  e.  ZZ
9998a1i 9 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 ) ... H
) )  ->  2  e.  ZZ )
10097, 99zmulcld 9451 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 ) ... H
) )  ->  (
k  x.  2 )  e.  ZZ )
10196, 100zsubcld 9450 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 ) ... H
) )  ->  ( P  -  ( k  x.  2 ) )  e.  ZZ )
1021, 86, 94, 101fvmptd2 5643 . 2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 ) ... H
) )  ->  ( R `  k )  =  ( P  -  ( k  x.  2 ) ) )
103102ralrimiva 2570 1  |-  ( ph  ->  A. k  e.  ( ( M  +  1 ) ... H ) ( R `  k
)  =  ( P  -  ( k  x.  2 ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    /\ w3a 980    = wceq 1364    e. wcel 2167   A.wral 2475    \ cdif 3154    C_ wss 3157   ifcif 3561   {csn 3622   class class class wbr 4033    |-> cmpt 4094   ` cfv 5258  (class class class)co 5922   RRcr 7876   0cc0 7877   1c1 7878    + caddc 7880    x. cmul 7882    < clt 8059    <_ cle 8060    - cmin 8195   # cap 8605    / cdiv 8696   NNcn 8987   2c2 9038   4c4 9040   NN0cn0 9246   ZZcz 9323   ZZ>=cuz 9598   QQcq 9690   ...cfz 10080   |_cfl 10343   Primecprime 12251
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624  ax-cnex 7968  ax-resscn 7969  ax-1cn 7970  ax-1re 7971  ax-icn 7972  ax-addcl 7973  ax-addrcl 7974  ax-mulcl 7975  ax-mulrcl 7976  ax-addcom 7977  ax-mulcom 7978  ax-addass 7979  ax-mulass 7980  ax-distr 7981  ax-i2m1 7982  ax-0lt1 7983  ax-1rid 7984  ax-0id 7985  ax-rnegex 7986  ax-precex 7987  ax-cnre 7988  ax-pre-ltirr 7989  ax-pre-ltwlin 7990  ax-pre-lttrn 7991  ax-pre-apti 7992  ax-pre-ltadd 7993  ax-pre-mulgt0 7994  ax-pre-mulext 7995  ax-arch 7996  ax-caucvg 7997
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-xor 1387  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-if 3562  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-id 4328  df-po 4331  df-iso 4332  df-iord 4401  df-on 4403  df-ilim 4404  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-recs 6363  df-frec 6449  df-1o 6474  df-2o 6475  df-er 6592  df-en 6800  df-pnf 8061  df-mnf 8062  df-xr 8063  df-ltxr 8064  df-le 8065  df-sub 8197  df-neg 8198  df-reap 8599  df-ap 8606  df-div 8697  df-inn 8988  df-2 9046  df-3 9047  df-4 9048  df-n0 9247  df-z 9324  df-uz 9599  df-q 9691  df-rp 9726  df-fz 10081  df-fl 10345  df-seqfrec 10525  df-exp 10616  df-cj 10992  df-re 10993  df-im 10994  df-rsqrt 11148  df-abs 11149  df-dvds 11937  df-prm 12252
This theorem is referenced by:  gausslemma2dlem5a  15273  gausslemma2dlem6  15275
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