Theorem gausslemma2dlem3 16194

Description: Lemma 3 for gausslemma2d 16200. (Contributed by AV, 4-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
gausslemma2d.p	|- ( ph -> P e. ( Prime \ { 2 } ) )
gausslemma2d.h	|- H = ( ( P - 1 ) / 2 )
gausslemma2d.r	|- R = ( x e. ( 1 ... H ) |-> if ( ( x x. 2 ) < ( P / 2 ) , ( x x. 2 ) , ( P - ( x x. 2 ) ) ) )
gausslemma2d.m	|- M = ( |_ ` ( P / 4 ) )

Assertion

Ref	Expression
gausslemma2dlem3	|- ( ph -> A. k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( R ` k ) = ( P - ( k x. 2 ) ) )

Distinct variable groups:   x, H   x, P   ph, x   k, H   R, k   ph, k   x, M   x, k

Allowed substitution hints:   P( k)   R( x)   M( k)

Proof of Theorem gausslemma2dlem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gausslemma2d.r	. . 3 |- R = ( x e. ( 1 ... H ) |-> if ( ( x x. 2 ) < ( P / 2 ) , ( x x. 2 ) , ( P - ( x x. 2 ) ) ) )
2		oveq1 6092	. . . . . . 7 |- ( x = k -> ( x x. 2 ) = ( k x. 2 ) )
3	2	breq1d 4140	. . . . . 6 |- ( x = k -> ( ( x x. 2 ) < ( P / 2 ) <-> ( k x. 2 ) < ( P / 2 ) ) )
4	2	oveq2d 6101	. . . . . 6 |- ( x = k -> ( P - ( x x. 2 ) ) = ( P - ( k x. 2 ) ) )
5	3, 2, 4	ifbieq12d 3667	. . . . 5 |- ( x = k -> if ( ( x x. 2 ) < ( P / 2 ) , ( x x. 2 ) , ( P - ( x x. 2 ) ) ) = if ( ( k x. 2 ) < ( P / 2 ) , ( k x. 2 ) , ( P - ( k x. 2 ) ) ) )
6	5	adantl 277	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ) /\ x = k ) -> if ( ( x x. 2 ) < ( P / 2 ) , ( x x. 2 ) , ( P - ( x x. 2 ) ) ) = if ( ( k x. 2 ) < ( P / 2 ) , ( k x. 2 ) , ( P - ( k x. 2 ) ) ) )
7		gausslemma2d.p	. . . . . . . 8 |- ( ph -> P e. ( Prime \ { 2 } ) )
8	7	gausslemma2dlem0a 16180	. . . . . . 7 |- ( ph -> P e. NN )
9		elfz2 10420	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( ( M + 1 ) ... H ) <-> ( ( ( M + 1 ) e. ZZ /\ H e. ZZ /\ k e. ZZ ) /\ ( ( M + 1 ) <_ k /\ k <_ H ) ) )
10		gausslemma2d.m	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- M = ( |_ ` ( P / 4 ) )
11	10	oveq1i 6095	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( M + 1 ) = ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 )
12	11	breq1i 4137	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( M + 1 ) <_ k <-> ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) <_ k )
13		nnz 9665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( P e. NN -> P e. ZZ )
14		4nn 9470	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- 4 e. NN
15		znq 10026	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( P e. ZZ /\ 4 e. NN ) -> ( P / 4 ) e. QQ )
16	13, 14, 15	sylancl 417	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( P e. NN -> ( P / 4 ) e. QQ )
17	16	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( k e. ZZ /\ P e. NN ) -> ( P / 4 ) e. QQ )
18		flqlelt 10713	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( P / 4 ) e. QQ -> ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) <_ ( P / 4 ) /\ ( P / 4 ) < ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) ) )
19	17, 18	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( k e. ZZ /\ P e. NN ) -> ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) <_ ( P / 4 ) /\ ( P / 4 ) < ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) ) )
20		nnre 9312	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( P e. NN -> P e. RR )
21		4re 9382	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- 4 e. RR
22	21	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( P e. NN -> 4 e. RR )
23		4ap0 9404	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- 4 # 0
24	23	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( P e. NN -> 4 # 0 )
25	20, 22, 24	redivclapd 9166	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( P e. NN -> ( P / 4 ) e. RR )
26	25	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( k e. ZZ /\ P e. NN ) -> ( P / 4 ) e. RR )
27	16	flqcld 10714	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( P e. NN -> ( |_ ` ( P / 4 ) ) e. ZZ )
28	27	zred 9770	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( P e. NN -> ( |_ ` ( P / 4 ) ) e. RR )
29		peano2re 8462	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) e. RR -> ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) e. RR )
30	28, 29	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( P e. NN -> ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) e. RR )
31	30	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( k e. ZZ /\ P e. NN ) -> ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) e. RR )
32		zre 9650	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( k e. ZZ -> k e. RR )
33	32	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( k e. ZZ /\ P e. NN ) -> k e. RR )
34		ltleletr 8407	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( P / 4 ) e. RR /\ ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) e. RR /\ k e. RR ) -> ( ( ( P / 4 ) < ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) /\ ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) <_ k ) -> ( P / 4 ) <_ k ) )
35	26, 31, 33, 34	syl3anc 1278	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( k e. ZZ /\ P e. NN ) -> ( ( ( P / 4 ) < ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) /\ ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) <_ k ) -> ( P / 4 ) <_ k ) )
36	35	expd 258	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( k e. ZZ /\ P e. NN ) -> ( ( P / 4 ) < ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) -> ( ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) <_ k -> ( P / 4 ) <_ k ) ) )
37	36	adantld 278	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( k e. ZZ /\ P e. NN ) -> ( ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) <_ ( P / 4 ) /\ ( P / 4 ) < ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) ) -> ( ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) <_ k -> ( P / 4 ) <_ k ) ) )
38	19, 37	mpd 13	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( k e. ZZ /\ P e. NN ) -> ( ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) <_ k -> ( P / 4 ) <_ k ) )
39	38	imp 124	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( k e. ZZ /\ P e. NN ) /\ ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) <_ k ) -> ( P / 4 ) <_ k )
40	20	rehalfcld 9554	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( P e. NN -> ( P / 2 ) e. RR )
41	40	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( k e. ZZ /\ P e. NN ) -> ( P / 2 ) e. RR )
42		2re 9375	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- 2 e. RR
43	42	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( k e. ZZ -> 2 e. RR )
44	32, 43	remulcld 8356	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( k e. ZZ -> ( k x. 2 ) e. RR )
45	44	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( k e. ZZ /\ P e. NN ) -> ( k x. 2 ) e. RR )
46		2pos 9396	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- 0 < 2
47	42, 46	pm3.2i 272	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( 2 e. RR /\ 0 < 2 )
48	47	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( k e. ZZ /\ P e. NN ) -> ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) )
49		lediv1 9200	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( P / 2 ) e. RR /\ ( k x. 2 ) e. RR /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) -> ( ( P / 2 ) <_ ( k x. 2 ) <-> ( ( P / 2 ) / 2 ) <_ ( ( k x. 2 ) / 2 ) ) )
50	41, 45, 48, 49	syl3anc 1278	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( k e. ZZ /\ P e. NN ) -> ( ( P / 2 ) <_ ( k x. 2 ) <-> ( ( P / 2 ) / 2 ) <_ ( ( k x. 2 ) / 2 ) ) )
51		nncn 9313	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( P e. NN -> P e. CC )
52		2cnd 9378	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( P e. NN -> 2 e. CC )
53		2ap0 9398	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- 2 # 0
54	53	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( P e. NN -> 2 # 0 )
55	51, 52, 52, 54, 54	divdivap1d 9153	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( P e. NN -> ( ( P / 2 ) / 2 ) = ( P / ( 2 x. 2 ) ) )
56		2t2e4 9460	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( 2 x. 2 ) = 4
57	56	oveq2i 6096	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( P / ( 2 x. 2 ) ) = ( P / 4 )
58	55, 57	eqtrdi 2287	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( P e. NN -> ( ( P / 2 ) / 2 ) = ( P / 4 ) )
59		zcn 9651	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( k e. ZZ -> k e. CC )
60		2cnd 9378	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( k e. ZZ -> 2 e. CC )
61	53	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( k e. ZZ -> 2 # 0 )
62	59, 60, 61	divcanap4d 9127	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( k e. ZZ -> ( ( k x. 2 ) / 2 ) = k )
63	58, 62	breqan12rd 4147	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( k e. ZZ /\ P e. NN ) -> ( ( ( P / 2 ) / 2 ) <_ ( ( k x. 2 ) / 2 ) <-> ( P / 4 ) <_ k ) )
64	50, 63	bitrd 188	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( k e. ZZ /\ P e. NN ) -> ( ( P / 2 ) <_ ( k x. 2 ) <-> ( P / 4 ) <_ k ) )
65	64	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( k e. ZZ /\ P e. NN ) /\ ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) <_ k ) -> ( ( P / 2 ) <_ ( k x. 2 ) <-> ( P / 4 ) <_ k ) )
66	39, 65	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( k e. ZZ /\ P e. NN ) /\ ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) <_ k ) -> ( P / 2 ) <_ ( k x. 2 ) )
67	66	exp31 364	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k e. ZZ -> ( P e. NN -> ( ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) <_ k -> ( P / 2 ) <_ ( k x. 2 ) ) ) )
68	67	com23 78	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. ZZ -> ( ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) <_ k -> ( P e. NN -> ( P / 2 ) <_ ( k x. 2 ) ) ) )
69	12, 68	biimtrid 152	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. ZZ -> ( ( M + 1 ) <_ k -> ( P e. NN -> ( P / 2 ) <_ ( k x. 2 ) ) ) )
70	69	3ad2ant3 1051	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( M + 1 ) e. ZZ /\ H e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( ( M + 1 ) <_ k -> ( P e. NN -> ( P / 2 ) <_ ( k x. 2 ) ) ) )
71	70	com12 30	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( M + 1 ) <_ k -> ( ( ( M + 1 ) e. ZZ /\ H e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( P e. NN -> ( P / 2 ) <_ ( k x. 2 ) ) ) )
72	71	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( M + 1 ) <_ k /\ k <_ H ) -> ( ( ( M + 1 ) e. ZZ /\ H e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( P e. NN -> ( P / 2 ) <_ ( k x. 2 ) ) ) )
73	72	impcom 125	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( M + 1 ) e. ZZ /\ H e. ZZ /\ k e. ZZ ) /\ ( ( M + 1 ) <_ k /\ k <_ H ) ) -> ( P e. NN -> ( P / 2 ) <_ ( k x. 2 ) ) )
74	9, 73	sylbi 121	. . . . . . . . 9 |- ( k e. ( ( M + 1 ) ... H ) -> ( P e. NN -> ( P / 2 ) <_ ( k x. 2 ) ) )
75	74	impcom 125	. . . . . . . 8 |- ( ( P e. NN /\ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ) -> ( P / 2 ) <_ ( k x. 2 ) )
76		elfzelz 10430	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. ( ( M + 1 ) ... H ) -> k e. ZZ )
77	76	zred 9770	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( ( M + 1 ) ... H ) -> k e. RR )
78	42	a1i 9	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( ( M + 1 ) ... H ) -> 2 e. RR )
79	77, 78	remulcld 8356	. . . . . . . . 9 |- ( k e. ( ( M + 1 ) ... H ) -> ( k x. 2 ) e. RR )
80		lenlt 8401	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( P / 2 ) e. RR /\ ( k x. 2 ) e. RR ) -> ( ( P / 2 ) <_ ( k x. 2 ) <-> -. ( k x. 2 ) < ( P / 2 ) ) )
81	40, 79, 80	syl2an 289	. . . . . . . 8 |- ( ( P e. NN /\ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ) -> ( ( P / 2 ) <_ ( k x. 2 ) <-> -. ( k x. 2 ) < ( P / 2 ) ) )
82	75, 81	mpbid 147	. . . . . . 7 |- ( ( P e. NN /\ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ) -> -. ( k x. 2 ) < ( P / 2 ) )
83	8, 82	sylan 283	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ) -> -. ( k x. 2 ) < ( P / 2 ) )
84	83	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ) /\ x = k ) -> -. ( k x. 2 ) < ( P / 2 ) )
85	84	iffalsed 3650	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ) /\ x = k ) -> if ( ( k x. 2 ) < ( P / 2 ) , ( k x. 2 ) , ( P - ( k x. 2 ) ) ) = ( P - ( k x. 2 ) ) )
86	6, 85	eqtrd 2271	. . 3 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ) /\ x = k ) -> if ( ( x x. 2 ) < ( P / 2 ) , ( x x. 2 ) , ( P - ( x x. 2 ) ) ) = ( P - ( k x. 2 ) ) )
87	7, 10	gausslemma2dlem0d 16183	. . . . . 6 |- ( ph -> M e. NN0 )
88		nn0p1nn 9604	. . . . . . 7 |- ( M e. NN0 -> ( M + 1 ) e. NN )
89		nnuz 9960	. . . . . . 7 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
90	88, 89	eleqtrdi 2331	. . . . . 6 |- ( M e. NN0 -> ( M + 1 ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
91	87, 90	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> ( M + 1 ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
92		fzss1 10471	. . . . 5 |- ( ( M + 1 ) e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( ( M + 1 ) ... H ) C_ ( 1 ... H ) )
93	91, 92	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> ( ( M + 1 ) ... H ) C_ ( 1 ... H ) )
94	93	sselda 3248	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ) -> k e. ( 1 ... H ) )
95	8	nnzd 9769	. . . . 5 |- ( ph -> P e. ZZ )
96	95	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ) -> P e. ZZ )
97	76	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ) -> k e. ZZ )
98		2z 9674	. . . . . 6 |- 2 e. ZZ
99	98	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ) -> 2 e. ZZ )
100	97, 99	zmulcld 9776	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ) -> ( k x. 2 ) e. ZZ )
101	96, 100	zsubcld 9775	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ) -> ( P - ( k x. 2 ) ) e. ZZ )
102	1, 86, 94, 101	fvmptd2 5787	. 2 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ) -> ( R ` k ) = ( P - ( k x. 2 ) ) )
103	102	ralrimiva 2623	1 |- ( ph -> A. k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( R ` k ) = ( P - ( k x. 2 ) ) )

This proof depends on syntax axioms:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   A.wral 2528   \ cdif 3217   C_ wss 3220   ifcif 3638   {csn 3709   class class class wbr 4130   |-> cmpt 4192   ` cfv 5377  (class class class)co 6085   RRcr 8178   0cc0 8179   1c1 8180   + caddc 8182   x. cmul 8184   < clt 8360   <_ cle 8361   - cmin 8497   # cap 8910   / cdiv 9003   NNcn 9305   2c2 9356   4c4 9358   NN0cn0 9565   ZZcz 9646   ZZ>=cuz 9923   QQcq 10021   ...cfz 10413   |_cfl 10705   Primecprime 12887

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-mulrcl 8278  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-precex 8289  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295  ax-pre-mulgt0 8296  ax-pre-mulext 8297  ax-arch 8298  ax-caucvg 8299

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-xor 1425  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-frec 6662  df-1o 6687  df-2o 6688  df-er 6807  df-en 7023  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-reap 8904  df-ap 8911  df-div 9004  df-inn 9306  df-2 9364  df-3 9365  df-4 9366  df-n0 9566  df-z 9647  df-uz 9924  df-q 10022  df-rp 10057  df-fz 10414  df-fl 10707  df-seqfrec 10887  df-exp 10978  df-cj 11609  df-re 11610  df-im 11611  df-rsqrt 11766  df-abs 11767  df-dvds 12557  df-prm 12888

This theorem is used by:  gausslemma2dlem5a  16196  gausslemma2dlem6  16198