Theorem gausslemma2dlem3 15727

Description: Lemma 3 for gausslemma2d 15733. (Contributed by AV, 4-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
gausslemma2d.p	|- ( ph -> P e. ( Prime \ { 2 } ) )
gausslemma2d.h	|- H = ( ( P - 1 ) / 2 )
gausslemma2d.r	|- R = ( x e. ( 1 ... H ) |-> if ( ( x x. 2 ) < ( P / 2 ) , ( x x. 2 ) , ( P - ( x x. 2 ) ) ) )
gausslemma2d.m	|- M = ( |_ ` ( P / 4 ) )

Assertion

Ref	Expression
gausslemma2dlem3	|- ( ph -> A. k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( R ` k ) = ( P - ( k x. 2 ) ) )

Distinct variable groups:   x, H   x, P   ph, x   k, H   R, k   ph, k   x, M   x, k

Allowed substitution hints:   P( k)   R( x)   M( k)

Proof of Theorem gausslemma2dlem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gausslemma2d.r	. . 3 |- R = ( x e. ( 1 ... H ) |-> if ( ( x x. 2 ) < ( P / 2 ) , ( x x. 2 ) , ( P - ( x x. 2 ) ) ) )
2		oveq1 6001	. . . . . . 7 |- ( x = k -> ( x x. 2 ) = ( k x. 2 ) )
3	2	breq1d 4092	. . . . . 6 |- ( x = k -> ( ( x x. 2 ) < ( P / 2 ) <-> ( k x. 2 ) < ( P / 2 ) ) )
4	2	oveq2d 6010	. . . . . 6 |- ( x = k -> ( P - ( x x. 2 ) ) = ( P - ( k x. 2 ) ) )
5	3, 2, 4	ifbieq12d 3629	. . . . 5 |- ( x = k -> if ( ( x x. 2 ) < ( P / 2 ) , ( x x. 2 ) , ( P - ( x x. 2 ) ) ) = if ( ( k x. 2 ) < ( P / 2 ) , ( k x. 2 ) , ( P - ( k x. 2 ) ) ) )
6	5	adantl 277	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ) /\ x = k ) -> if ( ( x x. 2 ) < ( P / 2 ) , ( x x. 2 ) , ( P - ( x x. 2 ) ) ) = if ( ( k x. 2 ) < ( P / 2 ) , ( k x. 2 ) , ( P - ( k x. 2 ) ) ) )
7		gausslemma2d.p	. . . . . . . 8 |- ( ph -> P e. ( Prime \ { 2 } ) )
8	7	gausslemma2dlem0a 15713	. . . . . . 7 |- ( ph -> P e. NN )
9		elfz2 10199	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( ( M + 1 ) ... H ) <-> ( ( ( M + 1 ) e. ZZ /\ H e. ZZ /\ k e. ZZ ) /\ ( ( M + 1 ) <_ k /\ k <_ H ) ) )
10		gausslemma2d.m	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- M = ( |_ ` ( P / 4 ) )
11	10	oveq1i 6004	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( M + 1 ) = ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 )
12	11	breq1i 4089	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( M + 1 ) <_ k <-> ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) <_ k )
13		nnz 9453	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( P e. NN -> P e. ZZ )
14		4nn 9262	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- 4 e. NN
15		znq 9807	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( P e. ZZ /\ 4 e. NN ) -> ( P / 4 ) e. QQ )
16	13, 14, 15	sylancl 413	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( P e. NN -> ( P / 4 ) e. QQ )
17	16	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( k e. ZZ /\ P e. NN ) -> ( P / 4 ) e. QQ )
18		flqlelt 10483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( P / 4 ) e. QQ -> ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) <_ ( P / 4 ) /\ ( P / 4 ) < ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) ) )
19	17, 18	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( k e. ZZ /\ P e. NN ) -> ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) <_ ( P / 4 ) /\ ( P / 4 ) < ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) ) )
20		nnre 9105	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( P e. NN -> P e. RR )
21		4re 9175	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- 4 e. RR
22	21	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( P e. NN -> 4 e. RR )
23		4ap0 9197	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- 4 # 0
24	23	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( P e. NN -> 4 # 0 )
25	20, 22, 24	redivclapd 8970	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( P e. NN -> ( P / 4 ) e. RR )
26	25	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( k e. ZZ /\ P e. NN ) -> ( P / 4 ) e. RR )
27	16	flqcld 10484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( P e. NN -> ( |_ ` ( P / 4 ) ) e. ZZ )
28	27	zred 9557	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( P e. NN -> ( |_ ` ( P / 4 ) ) e. RR )
29		peano2re 8270	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) e. RR -> ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) e. RR )
30	28, 29	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( P e. NN -> ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) e. RR )
31	30	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( k e. ZZ /\ P e. NN ) -> ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) e. RR )
32		zre 9438	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( k e. ZZ -> k e. RR )
33	32	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( k e. ZZ /\ P e. NN ) -> k e. RR )
34		ltleletr 8216	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( P / 4 ) e. RR /\ ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) e. RR /\ k e. RR ) -> ( ( ( P / 4 ) < ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) /\ ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) <_ k ) -> ( P / 4 ) <_ k ) )
35	26, 31, 33, 34	syl3anc 1271	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( k e. ZZ /\ P e. NN ) -> ( ( ( P / 4 ) < ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) /\ ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) <_ k ) -> ( P / 4 ) <_ k ) )
36	35	expd 258	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( k e. ZZ /\ P e. NN ) -> ( ( P / 4 ) < ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) -> ( ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) <_ k -> ( P / 4 ) <_ k ) ) )
37	36	adantld 278	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( k e. ZZ /\ P e. NN ) -> ( ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) <_ ( P / 4 ) /\ ( P / 4 ) < ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) ) -> ( ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) <_ k -> ( P / 4 ) <_ k ) ) )
38	19, 37	mpd 13	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( k e. ZZ /\ P e. NN ) -> ( ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) <_ k -> ( P / 4 ) <_ k ) )
39	38	imp 124	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( k e. ZZ /\ P e. NN ) /\ ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) <_ k ) -> ( P / 4 ) <_ k )
40	20	rehalfcld 9346	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( P e. NN -> ( P / 2 ) e. RR )
41	40	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( k e. ZZ /\ P e. NN ) -> ( P / 2 ) e. RR )
42		2re 9168	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- 2 e. RR
43	42	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( k e. ZZ -> 2 e. RR )
44	32, 43	remulcld 8165	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( k e. ZZ -> ( k x. 2 ) e. RR )
45	44	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( k e. ZZ /\ P e. NN ) -> ( k x. 2 ) e. RR )
46		2pos 9189	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- 0 < 2
47	42, 46	pm3.2i 272	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( 2 e. RR /\ 0 < 2 )
48	47	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( k e. ZZ /\ P e. NN ) -> ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) )
49		lediv1 9004	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( P / 2 ) e. RR /\ ( k x. 2 ) e. RR /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) -> ( ( P / 2 ) <_ ( k x. 2 ) <-> ( ( P / 2 ) / 2 ) <_ ( ( k x. 2 ) / 2 ) ) )
50	41, 45, 48, 49	syl3anc 1271	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( k e. ZZ /\ P e. NN ) -> ( ( P / 2 ) <_ ( k x. 2 ) <-> ( ( P / 2 ) / 2 ) <_ ( ( k x. 2 ) / 2 ) ) )
51		nncn 9106	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( P e. NN -> P e. CC )
52		2cnd 9171	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( P e. NN -> 2 e. CC )
53		2ap0 9191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- 2 # 0
54	53	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( P e. NN -> 2 # 0 )
55	51, 52, 52, 54, 54	divdivap1d 8957	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( P e. NN -> ( ( P / 2 ) / 2 ) = ( P / ( 2 x. 2 ) ) )
56		2t2e4 9253	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( 2 x. 2 ) = 4
57	56	oveq2i 6005	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( P / ( 2 x. 2 ) ) = ( P / 4 )
58	55, 57	eqtrdi 2278	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( P e. NN -> ( ( P / 2 ) / 2 ) = ( P / 4 ) )
59		zcn 9439	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( k e. ZZ -> k e. CC )
60		2cnd 9171	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( k e. ZZ -> 2 e. CC )
61	53	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( k e. ZZ -> 2 # 0 )
62	59, 60, 61	divcanap4d 8931	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( k e. ZZ -> ( ( k x. 2 ) / 2 ) = k )
63	58, 62	breqan12rd 4099	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( k e. ZZ /\ P e. NN ) -> ( ( ( P / 2 ) / 2 ) <_ ( ( k x. 2 ) / 2 ) <-> ( P / 4 ) <_ k ) )
64	50, 63	bitrd 188	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( k e. ZZ /\ P e. NN ) -> ( ( P / 2 ) <_ ( k x. 2 ) <-> ( P / 4 ) <_ k ) )
65	64	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( k e. ZZ /\ P e. NN ) /\ ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) <_ k ) -> ( ( P / 2 ) <_ ( k x. 2 ) <-> ( P / 4 ) <_ k ) )
66	39, 65	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( k e. ZZ /\ P e. NN ) /\ ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) <_ k ) -> ( P / 2 ) <_ ( k x. 2 ) )
67	66	exp31 364	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k e. ZZ -> ( P e. NN -> ( ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) <_ k -> ( P / 2 ) <_ ( k x. 2 ) ) ) )
68	67	com23 78	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. ZZ -> ( ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) <_ k -> ( P e. NN -> ( P / 2 ) <_ ( k x. 2 ) ) ) )
69	12, 68	biimtrid 152	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. ZZ -> ( ( M + 1 ) <_ k -> ( P e. NN -> ( P / 2 ) <_ ( k x. 2 ) ) ) )
70	69	3ad2ant3 1044	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( M + 1 ) e. ZZ /\ H e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( ( M + 1 ) <_ k -> ( P e. NN -> ( P / 2 ) <_ ( k x. 2 ) ) ) )
71	70	com12 30	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( M + 1 ) <_ k -> ( ( ( M + 1 ) e. ZZ /\ H e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( P e. NN -> ( P / 2 ) <_ ( k x. 2 ) ) ) )
72	71	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( M + 1 ) <_ k /\ k <_ H ) -> ( ( ( M + 1 ) e. ZZ /\ H e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( P e. NN -> ( P / 2 ) <_ ( k x. 2 ) ) ) )
73	72	impcom 125	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( M + 1 ) e. ZZ /\ H e. ZZ /\ k e. ZZ ) /\ ( ( M + 1 ) <_ k /\ k <_ H ) ) -> ( P e. NN -> ( P / 2 ) <_ ( k x. 2 ) ) )
74	9, 73	sylbi 121	. . . . . . . . 9 |- ( k e. ( ( M + 1 ) ... H ) -> ( P e. NN -> ( P / 2 ) <_ ( k x. 2 ) ) )
75	74	impcom 125	. . . . . . . 8 |- ( ( P e. NN /\ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ) -> ( P / 2 ) <_ ( k x. 2 ) )
76		elfzelz 10209	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. ( ( M + 1 ) ... H ) -> k e. ZZ )
77	76	zred 9557	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( ( M + 1 ) ... H ) -> k e. RR )
78	42	a1i 9	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( ( M + 1 ) ... H ) -> 2 e. RR )
79	77, 78	remulcld 8165	. . . . . . . . 9 |- ( k e. ( ( M + 1 ) ... H ) -> ( k x. 2 ) e. RR )
80		lenlt 8210	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( P / 2 ) e. RR /\ ( k x. 2 ) e. RR ) -> ( ( P / 2 ) <_ ( k x. 2 ) <-> -. ( k x. 2 ) < ( P / 2 ) ) )
81	40, 79, 80	syl2an 289	. . . . . . . 8 |- ( ( P e. NN /\ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ) -> ( ( P / 2 ) <_ ( k x. 2 ) <-> -. ( k x. 2 ) < ( P / 2 ) ) )
82	75, 81	mpbid 147	. . . . . . 7 |- ( ( P e. NN /\ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ) -> -. ( k x. 2 ) < ( P / 2 ) )
83	8, 82	sylan 283	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ) -> -. ( k x. 2 ) < ( P / 2 ) )
84	83	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ) /\ x = k ) -> -. ( k x. 2 ) < ( P / 2 ) )
85	84	iffalsed 3612	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ) /\ x = k ) -> if ( ( k x. 2 ) < ( P / 2 ) , ( k x. 2 ) , ( P - ( k x. 2 ) ) ) = ( P - ( k x. 2 ) ) )
86	6, 85	eqtrd 2262	. . 3 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ) /\ x = k ) -> if ( ( x x. 2 ) < ( P / 2 ) , ( x x. 2 ) , ( P - ( x x. 2 ) ) ) = ( P - ( k x. 2 ) ) )
87	7, 10	gausslemma2dlem0d 15716	. . . . . 6 |- ( ph -> M e. NN0 )
88		nn0p1nn 9396	. . . . . . 7 |- ( M e. NN0 -> ( M + 1 ) e. NN )
89		nnuz 9746	. . . . . . 7 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
90	88, 89	eleqtrdi 2322	. . . . . 6 |- ( M e. NN0 -> ( M + 1 ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
91	87, 90	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> ( M + 1 ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
92		fzss1 10247	. . . . 5 |- ( ( M + 1 ) e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( ( M + 1 ) ... H ) C_ ( 1 ... H ) )
93	91, 92	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> ( ( M + 1 ) ... H ) C_ ( 1 ... H ) )
94	93	sselda 3224	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ) -> k e. ( 1 ... H ) )
95	8	nnzd 9556	. . . . 5 |- ( ph -> P e. ZZ )
96	95	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ) -> P e. ZZ )
97	76	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ) -> k e. ZZ )
98		2z 9462	. . . . . 6 |- 2 e. ZZ
99	98	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ) -> 2 e. ZZ )
100	97, 99	zmulcld 9563	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ) -> ( k x. 2 ) e. ZZ )
101	96, 100	zsubcld 9562	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ) -> ( P - ( k x. 2 ) ) e. ZZ )
102	1, 86, 94, 101	fvmptd2 5709	. 2 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ) -> ( R ` k ) = ( P - ( k x. 2 ) ) )
103	102	ralrimiva 2603	1 |- ( ph -> A. k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( R ` k ) = ( P - ( k x. 2 ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1002   = wceq 1395   e. wcel 2200   A.wral 2508   \ cdif 3194   C_ wss 3197   ifcif 3602   {csn 3666   class class class wbr 4082   |-> cmpt 4144   ` cfv 5314  (class class class)co 5994   RRcr 7986   0cc0 7987   1c1 7988   + caddc 7990   x. cmul 7992   < clt 8169   <_ cle 8170   - cmin 8305   # cap 8716   / cdiv 8807   NNcn 9098   2c2 9149   4c4 9151   NN0cn0 9357   ZZcz 9434   ZZ>=cuz 9710   QQcq 9802   ...cfz 10192   |_cfl 10475   Primecprime 12615

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4198  ax-sep 4201  ax-nul 4209  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4521  ax-setind 4626  ax-iinf 4677  ax-cnex 8078  ax-resscn 8079  ax-1cn 8080  ax-1re 8081  ax-icn 8082  ax-addcl 8083  ax-addrcl 8084  ax-mulcl 8085  ax-mulrcl 8086  ax-addcom 8087  ax-mulcom 8088  ax-addass 8089  ax-mulass 8090  ax-distr 8091  ax-i2m1 8092  ax-0lt1 8093  ax-1rid 8094  ax-0id 8095  ax-rnegex 8096  ax-precex 8097  ax-cnre 8098  ax-pre-ltirr 8099  ax-pre-ltwlin 8100  ax-pre-lttrn 8101  ax-pre-apti 8102  ax-pre-ltadd 8103  ax-pre-mulgt0 8104  ax-pre-mulext 8105  ax-arch 8106  ax-caucvg 8107

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-xor 1418  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-tr 4182  df-id 4381  df-po 4384  df-iso 4385  df-iord 4454  df-on 4456  df-ilim 4457  df-suc 4459  df-iom 4680  df-xp 4722  df-rel 4723  df-cnv 4724  df-co 4725  df-dm 4726  df-rn 4727  df-res 4728  df-ima 4729  df-iota 5274  df-fun 5316  df-fn 5317  df-f 5318  df-f1 5319  df-fo 5320  df-f1o 5321  df-fv 5322  df-riota 5947  df-ov 5997  df-oprab 5998  df-mpo 5999  df-1st 6276  df-2nd 6277  df-recs 6441  df-frec 6527  df-1o 6552  df-2o 6553  df-er 6670  df-en 6878  df-pnf 8171  df-mnf 8172  df-xr 8173  df-ltxr 8174  df-le 8175  df-sub 8307  df-neg 8308  df-reap 8710  df-ap 8717  df-div 8808  df-inn 9099  df-2 9157  df-3 9158  df-4 9159  df-n0 9358  df-z 9435  df-uz 9711  df-q 9803  df-rp 9838  df-fz 10193  df-fl 10477  df-seqfrec 10657  df-exp 10748  df-cj 11339  df-re 11340  df-im 11341  df-rsqrt 11495  df-abs 11496  df-dvds 12285  df-prm 12616

This theorem is referenced by:  gausslemma2dlem5a  15729  gausslemma2dlem6  15731