Theorem gausslemma2dlem3 16048

Description: Lemma 3 for gausslemma2d 16054. (Contributed by AV, 4-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
gausslemma2d.p	|- ( ph -> P e. ( Prime \ { 2 } ) )
gausslemma2d.h	|- H = ( ( P - 1 ) / 2 )
gausslemma2d.r	|- R = ( x e. ( 1 ... H ) |-> if ( ( x x. 2 ) < ( P / 2 ) , ( x x. 2 ) , ( P - ( x x. 2 ) ) ) )
gausslemma2d.m	|- M = ( |_ ` ( P / 4 ) )

Assertion

Ref	Expression
gausslemma2dlem3	|- ( ph -> A. k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( R ` k ) = ( P - ( k x. 2 ) ) )

Distinct variable groups:   x, H   x, P   ph, x   k, H   R, k   ph, k   x, M   x, k

Allowed substitution hints:   P( k)   R( x)   M( k)

Proof of Theorem gausslemma2dlem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gausslemma2d.r	. . 3 |- R = ( x e. ( 1 ... H ) |-> if ( ( x x. 2 ) < ( P / 2 ) , ( x x. 2 ) , ( P - ( x x. 2 ) ) ) )
2		oveq1 6065	. . . . . . 7 |- ( x = k -> ( x x. 2 ) = ( k x. 2 ) )
3	2	breq1d 4124	. . . . . 6 |- ( x = k -> ( ( x x. 2 ) < ( P / 2 ) <-> ( k x. 2 ) < ( P / 2 ) ) )
4	2	oveq2d 6074	. . . . . 6 |- ( x = k -> ( P - ( x x. 2 ) ) = ( P - ( k x. 2 ) ) )
5	3, 2, 4	ifbieq12d 3653	. . . . 5 |- ( x = k -> if ( ( x x. 2 ) < ( P / 2 ) , ( x x. 2 ) , ( P - ( x x. 2 ) ) ) = if ( ( k x. 2 ) < ( P / 2 ) , ( k x. 2 ) , ( P - ( k x. 2 ) ) ) )
6	5	adantl 277	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ) /\ x = k ) -> if ( ( x x. 2 ) < ( P / 2 ) , ( x x. 2 ) , ( P - ( x x. 2 ) ) ) = if ( ( k x. 2 ) < ( P / 2 ) , ( k x. 2 ) , ( P - ( k x. 2 ) ) ) )
7		gausslemma2d.p	. . . . . . . 8 |- ( ph -> P e. ( Prime \ { 2 } ) )
8	7	gausslemma2dlem0a 16034	. . . . . . 7 |- ( ph -> P e. NN )
9		elfz2 10368	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( ( M + 1 ) ... H ) <-> ( ( ( M + 1 ) e. ZZ /\ H e. ZZ /\ k e. ZZ ) /\ ( ( M + 1 ) <_ k /\ k <_ H ) ) )
10		gausslemma2d.m	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- M = ( |_ ` ( P / 4 ) )
11	10	oveq1i 6068	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( M + 1 ) = ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 )
12	11	breq1i 4121	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( M + 1 ) <_ k <-> ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) <_ k )
13		nnz 9613	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( P e. NN -> P e. ZZ )
14		4nn 9418	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- 4 e. NN
15		znq 9974	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( P e. ZZ /\ 4 e. NN ) -> ( P / 4 ) e. QQ )
16	13, 14, 15	sylancl 413	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( P e. NN -> ( P / 4 ) e. QQ )
17	16	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( k e. ZZ /\ P e. NN ) -> ( P / 4 ) e. QQ )
18		flqlelt 10660	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( P / 4 ) e. QQ -> ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) <_ ( P / 4 ) /\ ( P / 4 ) < ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) ) )
19	17, 18	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( k e. ZZ /\ P e. NN ) -> ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) <_ ( P / 4 ) /\ ( P / 4 ) < ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) ) )
20		nnre 9261	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( P e. NN -> P e. RR )
21		4re 9331	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- 4 e. RR
22	21	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( P e. NN -> 4 e. RR )
23		4ap0 9353	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- 4 # 0
24	23	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( P e. NN -> 4 # 0 )
25	20, 22, 24	redivclapd 9126	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( P e. NN -> ( P / 4 ) e. RR )
26	25	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( k e. ZZ /\ P e. NN ) -> ( P / 4 ) e. RR )
27	16	flqcld 10661	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( P e. NN -> ( |_ ` ( P / 4 ) ) e. ZZ )
28	27	zred 9718	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( P e. NN -> ( |_ ` ( P / 4 ) ) e. RR )
29		peano2re 8425	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) e. RR -> ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) e. RR )
30	28, 29	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( P e. NN -> ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) e. RR )
31	30	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( k e. ZZ /\ P e. NN ) -> ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) e. RR )
32		zre 9598	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( k e. ZZ -> k e. RR )
33	32	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( k e. ZZ /\ P e. NN ) -> k e. RR )
34		ltleletr 8371	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( P / 4 ) e. RR /\ ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) e. RR /\ k e. RR ) -> ( ( ( P / 4 ) < ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) /\ ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) <_ k ) -> ( P / 4 ) <_ k ) )
35	26, 31, 33, 34	syl3anc 1274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( k e. ZZ /\ P e. NN ) -> ( ( ( P / 4 ) < ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) /\ ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) <_ k ) -> ( P / 4 ) <_ k ) )
36	35	expd 258	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( k e. ZZ /\ P e. NN ) -> ( ( P / 4 ) < ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) -> ( ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) <_ k -> ( P / 4 ) <_ k ) ) )
37	36	adantld 278	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( k e. ZZ /\ P e. NN ) -> ( ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) <_ ( P / 4 ) /\ ( P / 4 ) < ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) ) -> ( ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) <_ k -> ( P / 4 ) <_ k ) ) )
38	19, 37	mpd 13	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( k e. ZZ /\ P e. NN ) -> ( ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) <_ k -> ( P / 4 ) <_ k ) )
39	38	imp 124	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( k e. ZZ /\ P e. NN ) /\ ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) <_ k ) -> ( P / 4 ) <_ k )
40	20	rehalfcld 9502	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( P e. NN -> ( P / 2 ) e. RR )
41	40	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( k e. ZZ /\ P e. NN ) -> ( P / 2 ) e. RR )
42		2re 9324	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- 2 e. RR
43	42	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( k e. ZZ -> 2 e. RR )
44	32, 43	remulcld 8320	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( k e. ZZ -> ( k x. 2 ) e. RR )
45	44	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( k e. ZZ /\ P e. NN ) -> ( k x. 2 ) e. RR )
46		2pos 9345	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- 0 < 2
47	42, 46	pm3.2i 272	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( 2 e. RR /\ 0 < 2 )
48	47	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( k e. ZZ /\ P e. NN ) -> ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) )
49		lediv1 9160	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( P / 2 ) e. RR /\ ( k x. 2 ) e. RR /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) -> ( ( P / 2 ) <_ ( k x. 2 ) <-> ( ( P / 2 ) / 2 ) <_ ( ( k x. 2 ) / 2 ) ) )
50	41, 45, 48, 49	syl3anc 1274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( k e. ZZ /\ P e. NN ) -> ( ( P / 2 ) <_ ( k x. 2 ) <-> ( ( P / 2 ) / 2 ) <_ ( ( k x. 2 ) / 2 ) ) )
51		nncn 9262	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( P e. NN -> P e. CC )
52		2cnd 9327	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( P e. NN -> 2 e. CC )
53		2ap0 9347	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- 2 # 0
54	53	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( P e. NN -> 2 # 0 )
55	51, 52, 52, 54, 54	divdivap1d 9113	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( P e. NN -> ( ( P / 2 ) / 2 ) = ( P / ( 2 x. 2 ) ) )
56		2t2e4 9409	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( 2 x. 2 ) = 4
57	56	oveq2i 6069	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( P / ( 2 x. 2 ) ) = ( P / 4 )
58	55, 57	eqtrdi 2283	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( P e. NN -> ( ( P / 2 ) / 2 ) = ( P / 4 ) )
59		zcn 9599	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( k e. ZZ -> k e. CC )
60		2cnd 9327	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( k e. ZZ -> 2 e. CC )
61	53	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( k e. ZZ -> 2 # 0 )
62	59, 60, 61	divcanap4d 9087	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( k e. ZZ -> ( ( k x. 2 ) / 2 ) = k )
63	58, 62	breqan12rd 4131	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( k e. ZZ /\ P e. NN ) -> ( ( ( P / 2 ) / 2 ) <_ ( ( k x. 2 ) / 2 ) <-> ( P / 4 ) <_ k ) )
64	50, 63	bitrd 188	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( k e. ZZ /\ P e. NN ) -> ( ( P / 2 ) <_ ( k x. 2 ) <-> ( P / 4 ) <_ k ) )
65	64	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( k e. ZZ /\ P e. NN ) /\ ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) <_ k ) -> ( ( P / 2 ) <_ ( k x. 2 ) <-> ( P / 4 ) <_ k ) )
66	39, 65	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( k e. ZZ /\ P e. NN ) /\ ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) <_ k ) -> ( P / 2 ) <_ ( k x. 2 ) )
67	66	exp31 364	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k e. ZZ -> ( P e. NN -> ( ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) <_ k -> ( P / 2 ) <_ ( k x. 2 ) ) ) )
68	67	com23 78	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. ZZ -> ( ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) <_ k -> ( P e. NN -> ( P / 2 ) <_ ( k x. 2 ) ) ) )
69	12, 68	biimtrid 152	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. ZZ -> ( ( M + 1 ) <_ k -> ( P e. NN -> ( P / 2 ) <_ ( k x. 2 ) ) ) )
70	69	3ad2ant3 1047	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( M + 1 ) e. ZZ /\ H e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( ( M + 1 ) <_ k -> ( P e. NN -> ( P / 2 ) <_ ( k x. 2 ) ) ) )
71	70	com12 30	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( M + 1 ) <_ k -> ( ( ( M + 1 ) e. ZZ /\ H e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( P e. NN -> ( P / 2 ) <_ ( k x. 2 ) ) ) )
72	71	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( M + 1 ) <_ k /\ k <_ H ) -> ( ( ( M + 1 ) e. ZZ /\ H e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( P e. NN -> ( P / 2 ) <_ ( k x. 2 ) ) ) )
73	72	impcom 125	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( M + 1 ) e. ZZ /\ H e. ZZ /\ k e. ZZ ) /\ ( ( M + 1 ) <_ k /\ k <_ H ) ) -> ( P e. NN -> ( P / 2 ) <_ ( k x. 2 ) ) )
74	9, 73	sylbi 121	. . . . . . . . 9 |- ( k e. ( ( M + 1 ) ... H ) -> ( P e. NN -> ( P / 2 ) <_ ( k x. 2 ) ) )
75	74	impcom 125	. . . . . . . 8 |- ( ( P e. NN /\ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ) -> ( P / 2 ) <_ ( k x. 2 ) )
76		elfzelz 10378	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. ( ( M + 1 ) ... H ) -> k e. ZZ )
77	76	zred 9718	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( ( M + 1 ) ... H ) -> k e. RR )
78	42	a1i 9	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( ( M + 1 ) ... H ) -> 2 e. RR )
79	77, 78	remulcld 8320	. . . . . . . . 9 |- ( k e. ( ( M + 1 ) ... H ) -> ( k x. 2 ) e. RR )
80		lenlt 8365	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( P / 2 ) e. RR /\ ( k x. 2 ) e. RR ) -> ( ( P / 2 ) <_ ( k x. 2 ) <-> -. ( k x. 2 ) < ( P / 2 ) ) )
81	40, 79, 80	syl2an 289	. . . . . . . 8 |- ( ( P e. NN /\ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ) -> ( ( P / 2 ) <_ ( k x. 2 ) <-> -. ( k x. 2 ) < ( P / 2 ) ) )
82	75, 81	mpbid 147	. . . . . . 7 |- ( ( P e. NN /\ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ) -> -. ( k x. 2 ) < ( P / 2 ) )
83	8, 82	sylan 283	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ) -> -. ( k x. 2 ) < ( P / 2 ) )
84	83	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ) /\ x = k ) -> -. ( k x. 2 ) < ( P / 2 ) )
85	84	iffalsed 3636	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ) /\ x = k ) -> if ( ( k x. 2 ) < ( P / 2 ) , ( k x. 2 ) , ( P - ( k x. 2 ) ) ) = ( P - ( k x. 2 ) ) )
86	6, 85	eqtrd 2267	. . 3 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ) /\ x = k ) -> if ( ( x x. 2 ) < ( P / 2 ) , ( x x. 2 ) , ( P - ( x x. 2 ) ) ) = ( P - ( k x. 2 ) ) )
87	7, 10	gausslemma2dlem0d 16037	. . . . . 6 |- ( ph -> M e. NN0 )
88		nn0p1nn 9552	. . . . . . 7 |- ( M e. NN0 -> ( M + 1 ) e. NN )
89		nnuz 9908	. . . . . . 7 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
90	88, 89	eleqtrdi 2327	. . . . . 6 |- ( M e. NN0 -> ( M + 1 ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
91	87, 90	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> ( M + 1 ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
92		fzss1 10418	. . . . 5 |- ( ( M + 1 ) e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( ( M + 1 ) ... H ) C_ ( 1 ... H ) )
93	91, 92	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> ( ( M + 1 ) ... H ) C_ ( 1 ... H ) )
94	93	sselda 3242	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ) -> k e. ( 1 ... H ) )
95	8	nnzd 9717	. . . . 5 |- ( ph -> P e. ZZ )
96	95	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ) -> P e. ZZ )
97	76	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ) -> k e. ZZ )
98		2z 9622	. . . . . 6 |- 2 e. ZZ
99	98	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ) -> 2 e. ZZ )
100	97, 99	zmulcld 9724	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ) -> ( k x. 2 ) e. ZZ )
101	96, 100	zsubcld 9723	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ) -> ( P - ( k x. 2 ) ) e. ZZ )
102	1, 86, 94, 101	fvmptd2 5764	. 2 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ) -> ( R ` k ) = ( P - ( k x. 2 ) ) )
103	102	ralrimiva 2617	1 |- ( ph -> A. k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( R ` k ) = ( P - ( k x. 2 ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1005   = wceq 1398   e. wcel 2205   A.wral 2522   \ cdif 3211   C_ wss 3214   ifcif 3624   {csn 3694   class class class wbr 4114   |-> cmpt 4176   ` cfv 5357  (class class class)co 6058   RRcr 8142   0cc0 8143   1c1 8144   + caddc 8146   x. cmul 8148   < clt 8324   <_ cle 8325   - cmin 8460   # cap 8872   / cdiv 8963   NNcn 9254   2c2 9305   4c4 9307   NN0cn0 9513   ZZcz 9594   ZZ>=cuz 9871   QQcq 9969   ...cfz 10361   |_cfl 10652   Primecprime 12829

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-mulrcl 8242  ax-addcom 8243  ax-mulcom 8244  ax-addass 8245  ax-mulass 8246  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-1rid 8250  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-precex 8253  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259  ax-pre-mulgt0 8260  ax-pre-mulext 8261  ax-arch 8262  ax-caucvg 8263

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-xor 1421  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-po 4422  df-iso 4423  df-iord 4492  df-on 4494  df-ilim 4495  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-recs 6549  df-frec 6635  df-1o 6660  df-2o 6661  df-er 6780  df-en 6989  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-reap 8866  df-ap 8873  df-div 8964  df-inn 9255  df-2 9313  df-3 9314  df-4 9315  df-n0 9514  df-z 9595  df-uz 9872  df-q 9970  df-rp 10005  df-fz 10362  df-fl 10654  df-seqfrec 10834  df-exp 10925  df-cj 11552  df-re 11553  df-im 11554  df-rsqrt 11708  df-abs 11709  df-dvds 12499  df-prm 12830

This theorem is referenced by:  gausslemma2dlem5a  16050  gausslemma2dlem6  16052