Theorem gausslemma2dlem3 16165

Description: Lemma 3 for gausslemma2d 16171. (Contributed by AV, 4-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
gausslemma2d.p	|- ( ph -> P e. ( Prime \ { 2 } ) )
gausslemma2d.h	|- H = ( ( P - 1 ) / 2 )
gausslemma2d.r	|- R = ( x e. ( 1 ... H ) |-> if ( ( x x. 2 ) < ( P / 2 ) , ( x x. 2 ) , ( P - ( x x. 2 ) ) ) )
gausslemma2d.m	|- M = ( |_ ` ( P / 4 ) )

Assertion

Ref	Expression
gausslemma2dlem3	|- ( ph -> A. k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( R ` k ) = ( P - ( k x. 2 ) ) )

Distinct variable groups:   x, H   x, P   ph, x   k, H   R, k   ph, k   x, M   x, k

Allowed substitution hints:   P( k)   R( x)   M( k)

Proof of Theorem gausslemma2dlem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gausslemma2d.r	. . 3 |- R = ( x e. ( 1 ... H ) |-> if ( ( x x. 2 ) < ( P / 2 ) , ( x x. 2 ) , ( P - ( x x. 2 ) ) ) )
2		oveq1 6086	. . . . . . 7 |- ( x = k -> ( x x. 2 ) = ( k x. 2 ) )
3	2	breq1d 4138	. . . . . 6 |- ( x = k -> ( ( x x. 2 ) < ( P / 2 ) <-> ( k x. 2 ) < ( P / 2 ) ) )
4	2	oveq2d 6095	. . . . . 6 |- ( x = k -> ( P - ( x x. 2 ) ) = ( P - ( k x. 2 ) ) )
5	3, 2, 4	ifbieq12d 3667	. . . . 5 |- ( x = k -> if ( ( x x. 2 ) < ( P / 2 ) , ( x x. 2 ) , ( P - ( x x. 2 ) ) ) = if ( ( k x. 2 ) < ( P / 2 ) , ( k x. 2 ) , ( P - ( k x. 2 ) ) ) )
6	5	adantl 277	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ) /\ x = k ) -> if ( ( x x. 2 ) < ( P / 2 ) , ( x x. 2 ) , ( P - ( x x. 2 ) ) ) = if ( ( k x. 2 ) < ( P / 2 ) , ( k x. 2 ) , ( P - ( k x. 2 ) ) ) )
7		gausslemma2d.p	. . . . . . . 8 |- ( ph -> P e. ( Prime \ { 2 } ) )
8	7	gausslemma2dlem0a 16151	. . . . . . 7 |- ( ph -> P e. NN )
9		elfz2 10401	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( ( M + 1 ) ... H ) <-> ( ( ( M + 1 ) e. ZZ /\ H e. ZZ /\ k e. ZZ ) /\ ( ( M + 1 ) <_ k /\ k <_ H ) ) )
10		gausslemma2d.m	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- M = ( |_ ` ( P / 4 ) )
11	10	oveq1i 6089	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( M + 1 ) = ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 )
12	11	breq1i 4135	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( M + 1 ) <_ k <-> ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) <_ k )
13		nnz 9646	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( P e. NN -> P e. ZZ )
14		4nn 9451	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- 4 e. NN
15		znq 10007	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( P e. ZZ /\ 4 e. NN ) -> ( P / 4 ) e. QQ )
16	13, 14, 15	sylancl 417	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( P e. NN -> ( P / 4 ) e. QQ )
17	16	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( k e. ZZ /\ P e. NN ) -> ( P / 4 ) e. QQ )
18		flqlelt 10694	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( P / 4 ) e. QQ -> ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) <_ ( P / 4 ) /\ ( P / 4 ) < ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) ) )
19	17, 18	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( k e. ZZ /\ P e. NN ) -> ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) <_ ( P / 4 ) /\ ( P / 4 ) < ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) ) )
20		nnre 9294	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( P e. NN -> P e. RR )
21		4re 9364	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- 4 e. RR
22	21	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( P e. NN -> 4 e. RR )
23		4ap0 9386	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- 4 # 0
24	23	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( P e. NN -> 4 # 0 )
25	20, 22, 24	redivclapd 9159	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( P e. NN -> ( P / 4 ) e. RR )
26	25	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( k e. ZZ /\ P e. NN ) -> ( P / 4 ) e. RR )
27	16	flqcld 10695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( P e. NN -> ( |_ ` ( P / 4 ) ) e. ZZ )
28	27	zred 9751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( P e. NN -> ( |_ ` ( P / 4 ) ) e. RR )
29		peano2re 8456	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) e. RR -> ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) e. RR )
30	28, 29	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( P e. NN -> ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) e. RR )
31	30	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( k e. ZZ /\ P e. NN ) -> ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) e. RR )
32		zre 9631	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( k e. ZZ -> k e. RR )
33	32	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( k e. ZZ /\ P e. NN ) -> k e. RR )
34		ltleletr 8401	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( P / 4 ) e. RR /\ ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) e. RR /\ k e. RR ) -> ( ( ( P / 4 ) < ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) /\ ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) <_ k ) -> ( P / 4 ) <_ k ) )
35	26, 31, 33, 34	syl3anc 1278	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( k e. ZZ /\ P e. NN ) -> ( ( ( P / 4 ) < ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) /\ ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) <_ k ) -> ( P / 4 ) <_ k ) )
36	35	expd 258	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( k e. ZZ /\ P e. NN ) -> ( ( P / 4 ) < ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) -> ( ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) <_ k -> ( P / 4 ) <_ k ) ) )
37	36	adantld 278	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( k e. ZZ /\ P e. NN ) -> ( ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) <_ ( P / 4 ) /\ ( P / 4 ) < ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) ) -> ( ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) <_ k -> ( P / 4 ) <_ k ) ) )
38	19, 37	mpd 13	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( k e. ZZ /\ P e. NN ) -> ( ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) <_ k -> ( P / 4 ) <_ k ) )
39	38	imp 124	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( k e. ZZ /\ P e. NN ) /\ ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) <_ k ) -> ( P / 4 ) <_ k )
40	20	rehalfcld 9535	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( P e. NN -> ( P / 2 ) e. RR )
41	40	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( k e. ZZ /\ P e. NN ) -> ( P / 2 ) e. RR )
42		2re 9357	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- 2 e. RR
43	42	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( k e. ZZ -> 2 e. RR )
44	32, 43	remulcld 8350	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( k e. ZZ -> ( k x. 2 ) e. RR )
45	44	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( k e. ZZ /\ P e. NN ) -> ( k x. 2 ) e. RR )
46		2pos 9378	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- 0 < 2
47	42, 46	pm3.2i 272	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( 2 e. RR /\ 0 < 2 )
48	47	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( k e. ZZ /\ P e. NN ) -> ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) )
49		lediv1 9193	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( P / 2 ) e. RR /\ ( k x. 2 ) e. RR /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) -> ( ( P / 2 ) <_ ( k x. 2 ) <-> ( ( P / 2 ) / 2 ) <_ ( ( k x. 2 ) / 2 ) ) )
50	41, 45, 48, 49	syl3anc 1278	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( k e. ZZ /\ P e. NN ) -> ( ( P / 2 ) <_ ( k x. 2 ) <-> ( ( P / 2 ) / 2 ) <_ ( ( k x. 2 ) / 2 ) ) )
51		nncn 9295	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( P e. NN -> P e. CC )
52		2cnd 9360	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( P e. NN -> 2 e. CC )
53		2ap0 9380	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- 2 # 0
54	53	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( P e. NN -> 2 # 0 )
55	51, 52, 52, 54, 54	divdivap1d 9146	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( P e. NN -> ( ( P / 2 ) / 2 ) = ( P / ( 2 x. 2 ) ) )
56		2t2e4 9442	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( 2 x. 2 ) = 4
57	56	oveq2i 6090	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( P / ( 2 x. 2 ) ) = ( P / 4 )
58	55, 57	eqtrdi 2287	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( P e. NN -> ( ( P / 2 ) / 2 ) = ( P / 4 ) )
59		zcn 9632	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( k e. ZZ -> k e. CC )
60		2cnd 9360	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( k e. ZZ -> 2 e. CC )
61	53	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( k e. ZZ -> 2 # 0 )
62	59, 60, 61	divcanap4d 9120	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( k e. ZZ -> ( ( k x. 2 ) / 2 ) = k )
63	58, 62	breqan12rd 4145	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( k e. ZZ /\ P e. NN ) -> ( ( ( P / 2 ) / 2 ) <_ ( ( k x. 2 ) / 2 ) <-> ( P / 4 ) <_ k ) )
64	50, 63	bitrd 188	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( k e. ZZ /\ P e. NN ) -> ( ( P / 2 ) <_ ( k x. 2 ) <-> ( P / 4 ) <_ k ) )
65	64	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( k e. ZZ /\ P e. NN ) /\ ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) <_ k ) -> ( ( P / 2 ) <_ ( k x. 2 ) <-> ( P / 4 ) <_ k ) )
66	39, 65	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( k e. ZZ /\ P e. NN ) /\ ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) <_ k ) -> ( P / 2 ) <_ ( k x. 2 ) )
67	66	exp31 364	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k e. ZZ -> ( P e. NN -> ( ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) <_ k -> ( P / 2 ) <_ ( k x. 2 ) ) ) )
68	67	com23 78	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. ZZ -> ( ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) + 1 ) <_ k -> ( P e. NN -> ( P / 2 ) <_ ( k x. 2 ) ) ) )
69	12, 68	biimtrid 152	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. ZZ -> ( ( M + 1 ) <_ k -> ( P e. NN -> ( P / 2 ) <_ ( k x. 2 ) ) ) )
70	69	3ad2ant3 1051	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( M + 1 ) e. ZZ /\ H e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( ( M + 1 ) <_ k -> ( P e. NN -> ( P / 2 ) <_ ( k x. 2 ) ) ) )
71	70	com12 30	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( M + 1 ) <_ k -> ( ( ( M + 1 ) e. ZZ /\ H e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( P e. NN -> ( P / 2 ) <_ ( k x. 2 ) ) ) )
72	71	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( M + 1 ) <_ k /\ k <_ H ) -> ( ( ( M + 1 ) e. ZZ /\ H e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( P e. NN -> ( P / 2 ) <_ ( k x. 2 ) ) ) )
73	72	impcom 125	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( M + 1 ) e. ZZ /\ H e. ZZ /\ k e. ZZ ) /\ ( ( M + 1 ) <_ k /\ k <_ H ) ) -> ( P e. NN -> ( P / 2 ) <_ ( k x. 2 ) ) )
74	9, 73	sylbi 121	. . . . . . . . 9 |- ( k e. ( ( M + 1 ) ... H ) -> ( P e. NN -> ( P / 2 ) <_ ( k x. 2 ) ) )
75	74	impcom 125	. . . . . . . 8 |- ( ( P e. NN /\ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ) -> ( P / 2 ) <_ ( k x. 2 ) )
76		elfzelz 10411	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. ( ( M + 1 ) ... H ) -> k e. ZZ )
77	76	zred 9751	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( ( M + 1 ) ... H ) -> k e. RR )
78	42	a1i 9	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( ( M + 1 ) ... H ) -> 2 e. RR )
79	77, 78	remulcld 8350	. . . . . . . . 9 |- ( k e. ( ( M + 1 ) ... H ) -> ( k x. 2 ) e. RR )
80		lenlt 8395	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( P / 2 ) e. RR /\ ( k x. 2 ) e. RR ) -> ( ( P / 2 ) <_ ( k x. 2 ) <-> -. ( k x. 2 ) < ( P / 2 ) ) )
81	40, 79, 80	syl2an 289	. . . . . . . 8 |- ( ( P e. NN /\ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ) -> ( ( P / 2 ) <_ ( k x. 2 ) <-> -. ( k x. 2 ) < ( P / 2 ) ) )
82	75, 81	mpbid 147	. . . . . . 7 |- ( ( P e. NN /\ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ) -> -. ( k x. 2 ) < ( P / 2 ) )
83	8, 82	sylan 283	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ) -> -. ( k x. 2 ) < ( P / 2 ) )
84	83	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ) /\ x = k ) -> -. ( k x. 2 ) < ( P / 2 ) )
85	84	iffalsed 3650	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ) /\ x = k ) -> if ( ( k x. 2 ) < ( P / 2 ) , ( k x. 2 ) , ( P - ( k x. 2 ) ) ) = ( P - ( k x. 2 ) ) )
86	6, 85	eqtrd 2271	. . 3 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ) /\ x = k ) -> if ( ( x x. 2 ) < ( P / 2 ) , ( x x. 2 ) , ( P - ( x x. 2 ) ) ) = ( P - ( k x. 2 ) ) )
87	7, 10	gausslemma2dlem0d 16154	. . . . . 6 |- ( ph -> M e. NN0 )
88		nn0p1nn 9585	. . . . . . 7 |- ( M e. NN0 -> ( M + 1 ) e. NN )
89		nnuz 9941	. . . . . . 7 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
90	88, 89	eleqtrdi 2331	. . . . . 6 |- ( M e. NN0 -> ( M + 1 ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
91	87, 90	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> ( M + 1 ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
92		fzss1 10452	. . . . 5 |- ( ( M + 1 ) e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( ( M + 1 ) ... H ) C_ ( 1 ... H ) )
93	91, 92	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> ( ( M + 1 ) ... H ) C_ ( 1 ... H ) )
94	93	sselda 3248	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ) -> k e. ( 1 ... H ) )
95	8	nnzd 9750	. . . . 5 |- ( ph -> P e. ZZ )
96	95	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ) -> P e. ZZ )
97	76	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ) -> k e. ZZ )
98		2z 9655	. . . . . 6 |- 2 e. ZZ
99	98	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ) -> 2 e. ZZ )
100	97, 99	zmulcld 9757	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ) -> ( k x. 2 ) e. ZZ )
101	96, 100	zsubcld 9756	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ) -> ( P - ( k x. 2 ) ) e. ZZ )
102	1, 86, 94, 101	fvmptd2 5784	. 2 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ) -> ( R ` k ) = ( P - ( k x. 2 ) ) )
103	102	ralrimiva 2623	1 |- ( ph -> A. k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( R ` k ) = ( P - ( k x. 2 ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   A.wral 2528   \ cdif 3217   C_ wss 3220   ifcif 3638   {csn 3708   class class class wbr 4128   |-> cmpt 4190   ` cfv 5375  (class class class)co 6079   RRcr 8172   0cc0 8173   1c1 8174   + caddc 8176   x. cmul 8178   < clt 8354   <_ cle 8355   - cmin 8491   # cap 8903   / cdiv 8996   NNcn 9287   2c2 9338   4c4 9340   NN0cn0 9546   ZZcz 9627   ZZ>=cuz 9904   QQcq 10002   ...cfz 10394   |_cfl 10686   Primecprime 12868

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4244  ax-sep 4247  ax-nul 4257  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-iinf 4733  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-1cn 8266  ax-1re 8267  ax-icn 8268  ax-addcl 8269  ax-addrcl 8270  ax-mulcl 8271  ax-mulrcl 8272  ax-addcom 8273  ax-mulcom 8274  ax-addass 8275  ax-mulass 8276  ax-distr 8277  ax-i2m1 8278  ax-0lt1 8279  ax-1rid 8280  ax-0id 8281  ax-rnegex 8282  ax-precex 8283  ax-cnre 8284  ax-pre-ltirr 8285  ax-pre-ltwlin 8286  ax-pre-lttrn 8287  ax-pre-apti 8288  ax-pre-ltadd 8289  ax-pre-mulgt0 8290  ax-pre-mulext 8291  ax-arch 8292  ax-caucvg 8293

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-xor 1425  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-iun 4012  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-tr 4228  df-id 4436  df-po 4439  df-iso 4440  df-iord 4509  df-on 4511  df-ilim 4512  df-suc 4514  df-iom 4736  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-riota 6032  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-1st 6368  df-2nd 6369  df-recs 6570  df-frec 6656  df-1o 6681  df-2o 6682  df-er 6801  df-en 7017  df-pnf 8356  df-mnf 8357  df-xr 8358  df-ltxr 8359  df-le 8360  df-sub 8493  df-neg 8494  df-reap 8897  df-ap 8904  df-div 8997  df-inn 9288  df-2 9346  df-3 9347  df-4 9348  df-n0 9547  df-z 9628  df-uz 9905  df-q 10003  df-rp 10038  df-fz 10395  df-fl 10688  df-seqfrec 10868  df-exp 10959  df-cj 11590  df-re 11591  df-im 11592  df-rsqrt 11747  df-abs 11748  df-dvds 12538  df-prm 12869

This theorem is referenced by:  gausslemma2dlem5a  16167  gausslemma2dlem6  16169