Theorem plyco 15550

Description: The composition of two polynomials is a polynomial. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Jul-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
plyco.1	|- ( ph -> F e. (Poly ` S ) )
plyco.2	|- ( ph -> G e. (Poly ` S ) )
plyco.3	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x + y ) e. S )
plyco.4	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x x. y ) e. S )

Assertion

Ref	Expression
plyco	|- ( ph -> ( F o. G ) e. (Poly ` S ) )

Distinct variable groups:   x, F, y   x, G, y   ph, x, y   x, S, y

Proof of Theorem plyco

Dummy variables a k n z w j are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		plyco.1	. . . 4 |- ( ph -> F e. (Poly ` S ) )
2		elply2 15526	. . . 4 |- ( F e. (Poly ` S ) <-> ( S C_ CC /\ E. n e. NN0 E. a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ( ( a " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( x e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( x ^ k ) ) ) ) ) )
3	1, 2	sylib 122	. . 3 |- ( ph -> ( S C_ CC /\ E. n e. NN0 E. a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ( ( a " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( x e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( x ^ k ) ) ) ) ) )
4	3	simprd 114	. 2 |- ( ph -> E. n e. NN0 E. a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ( ( a " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( x e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( x ^ k ) ) ) ) )
5		plyco.2	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> G e. (Poly ` S ) )
6		plyf 15528	. . . . . . . . 9 |- ( G e. (Poly ` S ) -> G : CC --> CC )
7	5, 6	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ph -> G : CC --> CC )
8	7	ffvelcdmda 5790	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> ( G ` z ) e. CC )
9	8	ad4ant14 514	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ ( ( a " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( x e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( x ^ k ) ) ) ) ) /\ z e. CC ) -> ( G ` z ) e. CC )
10	7	feqmptd 5708	. . . . . . 7 |- ( ph -> G = ( z e. CC |-> ( G ` z ) ) )
11	10	ad2antrr 488	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ ( ( a " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( x e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( x ^ k ) ) ) ) ) -> G = ( z e. CC |-> ( G ` z ) ) )
12		simprr 533	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ ( ( a " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( x e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( x ^ k ) ) ) ) ) -> F = ( x e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( x ^ k ) ) ) )
13		oveq1 6035	. . . . . . . 8 |- ( x = ( G ` z ) -> ( x ^ k ) = ( ( G ` z ) ^ k ) )
14	13	oveq2d 6044	. . . . . . 7 |- ( x = ( G ` z ) -> ( ( a ` k ) x. ( x ^ k ) ) = ( ( a ` k ) x. ( ( G ` z ) ^ k ) ) )
15	14	sumeq2sdv 11991	. . . . . 6 |- ( x = ( G ` z ) -> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( x ^ k ) ) = sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( ( G ` z ) ^ k ) ) )
16	9, 11, 12, 15	fmptco 5821	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ ( ( a " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( x e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( x ^ k ) ) ) ) ) -> ( F o. G ) = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( ( G ` z ) ^ k ) ) ) )
17		oveq1 6035	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = w -> ( x ^ k ) = ( w ^ k ) )
18	17	oveq2d 6044	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = w -> ( ( a ` k ) x. ( x ^ k ) ) = ( ( a ` k ) x. ( w ^ k ) ) )
19	18	sumeq2sdv 11991	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = w -> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( x ^ k ) ) = sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( w ^ k ) ) )
20	19	cbvmptv 4190	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( x ^ k ) ) ) = ( w e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( w ^ k ) ) )
21		fveq2 5648	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = j -> ( a ` k ) = ( a ` j ) )
22		oveq2 6036	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = j -> ( w ^ k ) = ( w ^ j ) )
23	21, 22	oveq12d 6046	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = j -> ( ( a ` k ) x. ( w ^ k ) ) = ( ( a ` j ) x. ( w ^ j ) ) )
24	23	cbvsumv 11982	. . . . . . . . . . 11 |- sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( w ^ k ) ) = sum_ j e. ( 0 ... n ) ( ( a ` j ) x. ( w ^ j ) )
25	24	mpteq2i 4181	. . . . . . . . . 10 |- ( w e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( w ^ k ) ) ) = ( w e. CC |-> sum_ j e. ( 0 ... n ) ( ( a ` j ) x. ( w ^ j ) ) )
26	20, 25	eqtri 2252	. . . . . . . . 9 |- ( x e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( x ^ k ) ) ) = ( w e. CC |-> sum_ j e. ( 0 ... n ) ( ( a ` j ) x. ( w ^ j ) ) )
27	26	eqeq2i 2242	. . . . . . . 8 |- ( F = ( x e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( x ^ k ) ) ) <-> F = ( w e. CC |-> sum_ j e. ( 0 ... n ) ( ( a ` j ) x. ( w ^ j ) ) ) )
28	27	anbi2i 457	. . . . . . 7 |- ( ( ( a " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( x e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( x ^ k ) ) ) ) <-> ( ( a " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( w e. CC |-> sum_ j e. ( 0 ... n ) ( ( a ` j ) x. ( w ^ j ) ) ) ) )
29	28	anbi2i 457	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ ( ( a " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( x e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( x ^ k ) ) ) ) ) <-> ( ( ph /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ ( ( a " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( w e. CC |-> sum_ j e. ( 0 ... n ) ( ( a ` j ) x. ( w ^ j ) ) ) ) ) )
30	1	ad2antrr 488	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ ( ( a " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( w e. CC |-> sum_ j e. ( 0 ... n ) ( ( a ` j ) x. ( w ^ j ) ) ) ) ) -> F e. (Poly ` S ) )
31	5	ad2antrr 488	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ ( ( a " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( w e. CC |-> sum_ j e. ( 0 ... n ) ( ( a ` j ) x. ( w ^ j ) ) ) ) ) -> G e. (Poly ` S ) )
32		plyco.3	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x + y ) e. S )
33	32	ad4ant14 514	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ ( ( a " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( w e. CC |-> sum_ j e. ( 0 ... n ) ( ( a ` j ) x. ( w ^ j ) ) ) ) ) /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x + y ) e. S )
34		plyco.4	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x x. y ) e. S )
35	34	ad4ant14 514	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ ( ( a " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( w e. CC |-> sum_ j e. ( 0 ... n ) ( ( a ` j ) x. ( w ^ j ) ) ) ) ) /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x x. y ) e. S )
36		simplrl 537	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ ( ( a " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( w e. CC |-> sum_ j e. ( 0 ... n ) ( ( a ` j ) x. ( w ^ j ) ) ) ) ) -> n e. NN0 )
37		simplrr 538	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ ( ( a " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( x e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( x ^ k ) ) ) ) ) -> a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) )
38	3	simpld 112	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> S C_ CC )
39	38	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ ( ( a " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( x e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( x ^ k ) ) ) ) ) -> S C_ CC )
40		cnex 8199	. . . . . . . . . . . 12 |- CC e. _V
41		ssexg 4233	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( S C_ CC /\ CC e. _V ) -> S e. _V )
42	39, 40, 41	sylancl 413	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ ( ( a " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( x e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( x ^ k ) ) ) ) ) -> S e. _V )
43		c0ex 8216	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 e. _V
44	43	snex 4281	. . . . . . . . . . 11 |- { 0 } e. _V
45		unexg 4546	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( S e. _V /\ { 0 } e. _V ) -> ( S u. { 0 } ) e. _V )
46	42, 44, 45	sylancl 413	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ ( ( a " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( x e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( x ^ k ) ) ) ) ) -> ( S u. { 0 } ) e. _V )
47		nn0ex 9451	. . . . . . . . . 10 |- NN0 e. _V
48		elmapg 6873	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( S u. { 0 } ) e. _V /\ NN0 e. _V ) -> ( a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) <-> a : NN0 --> ( S u. { 0 } ) ) )
49	46, 47, 48	sylancl 413	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ ( ( a " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( x e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( x ^ k ) ) ) ) ) -> ( a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) <-> a : NN0 --> ( S u. { 0 } ) ) )
50	37, 49	mpbid 147	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ ( ( a " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( x e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( x ^ k ) ) ) ) ) -> a : NN0 --> ( S u. { 0 } ) )
51	29, 50	sylbir 135	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ ( ( a " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( w e. CC |-> sum_ j e. ( 0 ... n ) ( ( a ` j ) x. ( w ^ j ) ) ) ) ) -> a : NN0 --> ( S u. { 0 } ) )
52		simprl 531	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ ( ( a " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( w e. CC |-> sum_ j e. ( 0 ... n ) ( ( a ` j ) x. ( w ^ j ) ) ) ) ) -> ( a " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } )
53	29, 12	sylbir 135	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ ( ( a " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( w e. CC |-> sum_ j e. ( 0 ... n ) ( ( a ` j ) x. ( w ^ j ) ) ) ) ) -> F = ( x e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( x ^ k ) ) ) )
54	30, 31, 33, 35, 36, 51, 52, 53	plycolemc 15549	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ ( ( a " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( w e. CC |-> sum_ j e. ( 0 ... n ) ( ( a ` j ) x. ( w ^ j ) ) ) ) ) -> ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( ( G ` z ) ^ k ) ) ) e. (Poly ` S ) )
55	29, 54	sylbi 121	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ ( ( a " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( x e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( x ^ k ) ) ) ) ) -> ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( ( G ` z ) ^ k ) ) ) e. (Poly ` S ) )
56	16, 55	eqeltrd 2308	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ ( ( a " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( x e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( x ^ k ) ) ) ) ) -> ( F o. G ) e. (Poly ` S ) )
57	56	ex 115	. . 3 |- ( ( ph /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) -> ( ( ( a " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( x e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( x ^ k ) ) ) ) -> ( F o. G ) e. (Poly ` S ) ) )
58	57	rexlimdvva 2659	. 2 |- ( ph -> ( E. n e. NN0 E. a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ( ( a " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( x e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( x ^ k ) ) ) ) -> ( F o. G ) e. (Poly ` S ) ) )
59	4, 58	mpd 13	1 |- ( ph -> ( F o. G ) e. (Poly ` S ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1398   e. wcel 2202   E.wrex 2512   _Vcvv 2803   u. cun 3199   C_ wss 3201   {csn 3673   |-> cmpt 4155   "cima 4734   o. ccom 4735   -->wf 5329   ` cfv 5333  (class class class)co 6028   ^m cmap 6860   CCcc 8073   0cc0 8075   1c1 8076   + caddc 8078   x. cmul 8080   NN0cn0 9445   ZZ>=cuz 9798   ...cfz 10286   ^cexp 10844   sum_csu 11974  Polycply 15519

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-mulrcl 8174  ax-addcom 8175  ax-mulcom 8176  ax-addass 8177  ax-mulass 8178  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-1rid 8182  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-precex 8185  ax-cnre 8186  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltwlin 8188  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-apti 8190  ax-pre-ltadd 8191  ax-pre-mulgt0 8192  ax-pre-mulext 8193  ax-arch 8194  ax-caucvg 8195

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-disj 4070  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-po 4399  df-iso 4400  df-iord 4469  df-on 4471  df-ilim 4472  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-isom 5342  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-of 6244  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6514  df-irdg 6579  df-frec 6600  df-1o 6625  df-oadd 6629  df-er 6745  df-map 6862  df-en 6953  df-dom 6954  df-fin 6955  df-sup 7226  df-pnf 8259  df-mnf 8260  df-xr 8261  df-ltxr 8262  df-le 8263  df-sub 8395  df-neg 8396  df-reap 8798  df-ap 8805  df-div 8896  df-inn 9187  df-2 9245  df-3 9246  df-4 9247  df-n0 9446  df-z 9523  df-uz 9799  df-q 9897  df-rp 9932  df-fz 10287  df-fzo 10421  df-seqfrec 10754  df-exp 10845  df-ihash 11082  df-cj 11463  df-re 11464  df-im 11465  df-rsqrt 11619  df-abs 11620  df-clim 11900  df-sumdc 11975  df-ply 15521

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