Theorem plyco 15736

Description: The composition of two polynomials is a polynomial. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Jul-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
plyco.1	|- ( ph -> F e. (Poly ` S ) )
plyco.2	|- ( ph -> G e. (Poly ` S ) )
plyco.3	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x + y ) e. S )
plyco.4	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x x. y ) e. S )

Assertion

Ref	Expression
plyco	|- ( ph -> ( F o. G ) e. (Poly ` S ) )

Distinct variable groups:   x, F, y   x, G, y   ph, x, y   x, S, y

Proof of Theorem plyco

Dummy variables a k n z w j are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		plyco.1	. . . 4 |- ( ph -> F e. (Poly ` S ) )
2		elply2 15712	. . . 4 |- ( F e. (Poly ` S ) <-> ( S C_ CC /\ E. n e. NN0 E. a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ( ( a " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( x e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( x ^ k ) ) ) ) ) )
3	1, 2	sylib 122	. . 3 |- ( ph -> ( S C_ CC /\ E. n e. NN0 E. a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ( ( a " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( x e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( x ^ k ) ) ) ) ) )
4	3	simprd 114	. 2 |- ( ph -> E. n e. NN0 E. a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ( ( a " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( x e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( x ^ k ) ) ) ) )
5		plyco.2	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> G e. (Poly ` S ) )
6		plyf 15714	. . . . . . . . 9 |- ( G e. (Poly ` S ) -> G : CC --> CC )
7	5, 6	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ph -> G : CC --> CC )
8	7	ffvelcdmda 5817	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> ( G ` z ) e. CC )
9	8	ad4ant14 514	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ ( ( a " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( x e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( x ^ k ) ) ) ) ) /\ z e. CC ) -> ( G ` z ) e. CC )
10	7	feqmptd 5735	. . . . . . 7 |- ( ph -> G = ( z e. CC |-> ( G ` z ) ) )
11	10	ad2antrr 488	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ ( ( a " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( x e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( x ^ k ) ) ) ) ) -> G = ( z e. CC |-> ( G ` z ) ) )
12		simprr 533	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ ( ( a " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( x e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( x ^ k ) ) ) ) ) -> F = ( x e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( x ^ k ) ) ) )
13		oveq1 6065	. . . . . . . 8 |- ( x = ( G ` z ) -> ( x ^ k ) = ( ( G ` z ) ^ k ) )
14	13	oveq2d 6074	. . . . . . 7 |- ( x = ( G ` z ) -> ( ( a ` k ) x. ( x ^ k ) ) = ( ( a ` k ) x. ( ( G ` z ) ^ k ) ) )
15	14	sumeq2sdv 12080	. . . . . 6 |- ( x = ( G ` z ) -> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( x ^ k ) ) = sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( ( G ` z ) ^ k ) ) )
16	9, 11, 12, 15	fmptco 5848	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ ( ( a " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( x e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( x ^ k ) ) ) ) ) -> ( F o. G ) = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( ( G ` z ) ^ k ) ) ) )
17		oveq1 6065	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = w -> ( x ^ k ) = ( w ^ k ) )
18	17	oveq2d 6074	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = w -> ( ( a ` k ) x. ( x ^ k ) ) = ( ( a ` k ) x. ( w ^ k ) ) )
19	18	sumeq2sdv 12080	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = w -> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( x ^ k ) ) = sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( w ^ k ) ) )
20	19	cbvmptv 4211	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( x ^ k ) ) ) = ( w e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( w ^ k ) ) )
21		fveq2 5675	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = j -> ( a ` k ) = ( a ` j ) )
22		oveq2 6066	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = j -> ( w ^ k ) = ( w ^ j ) )
23	21, 22	oveq12d 6076	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = j -> ( ( a ` k ) x. ( w ^ k ) ) = ( ( a ` j ) x. ( w ^ j ) ) )
24	23	cbvsumv 12071	. . . . . . . . . . 11 |- sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( w ^ k ) ) = sum_ j e. ( 0 ... n ) ( ( a ` j ) x. ( w ^ j ) )
25	24	mpteq2i 4202	. . . . . . . . . 10 |- ( w e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( w ^ k ) ) ) = ( w e. CC |-> sum_ j e. ( 0 ... n ) ( ( a ` j ) x. ( w ^ j ) ) )
26	20, 25	eqtri 2255	. . . . . . . . 9 |- ( x e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( x ^ k ) ) ) = ( w e. CC |-> sum_ j e. ( 0 ... n ) ( ( a ` j ) x. ( w ^ j ) ) )
27	26	eqeq2i 2245	. . . . . . . 8 |- ( F = ( x e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( x ^ k ) ) ) <-> F = ( w e. CC |-> sum_ j e. ( 0 ... n ) ( ( a ` j ) x. ( w ^ j ) ) ) )
28	27	anbi2i 457	. . . . . . 7 |- ( ( ( a " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( x e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( x ^ k ) ) ) ) <-> ( ( a " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( w e. CC |-> sum_ j e. ( 0 ... n ) ( ( a ` j ) x. ( w ^ j ) ) ) ) )
29	28	anbi2i 457	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ ( ( a " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( x e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( x ^ k ) ) ) ) ) <-> ( ( ph /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ ( ( a " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( w e. CC |-> sum_ j e. ( 0 ... n ) ( ( a ` j ) x. ( w ^ j ) ) ) ) ) )
30	1	ad2antrr 488	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ ( ( a " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( w e. CC |-> sum_ j e. ( 0 ... n ) ( ( a ` j ) x. ( w ^ j ) ) ) ) ) -> F e. (Poly ` S ) )
31	5	ad2antrr 488	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ ( ( a " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( w e. CC |-> sum_ j e. ( 0 ... n ) ( ( a ` j ) x. ( w ^ j ) ) ) ) ) -> G e. (Poly ` S ) )
32		plyco.3	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x + y ) e. S )
33	32	ad4ant14 514	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ ( ( a " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( w e. CC |-> sum_ j e. ( 0 ... n ) ( ( a ` j ) x. ( w ^ j ) ) ) ) ) /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x + y ) e. S )
34		plyco.4	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x x. y ) e. S )
35	34	ad4ant14 514	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ ( ( a " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( w e. CC |-> sum_ j e. ( 0 ... n ) ( ( a ` j ) x. ( w ^ j ) ) ) ) ) /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x x. y ) e. S )
36		simplrl 537	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ ( ( a " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( w e. CC |-> sum_ j e. ( 0 ... n ) ( ( a ` j ) x. ( w ^ j ) ) ) ) ) -> n e. NN0 )
37		simplrr 538	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ ( ( a " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( x e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( x ^ k ) ) ) ) ) -> a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) )
38	3	simpld 112	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> S C_ CC )
39	38	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ ( ( a " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( x e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( x ^ k ) ) ) ) ) -> S C_ CC )
40		cnex 8267	. . . . . . . . . . . 12 |- CC e. _V
41		ssexg 4254	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( S C_ CC /\ CC e. _V ) -> S e. _V )
42	39, 40, 41	sylancl 413	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ ( ( a " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( x e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( x ^ k ) ) ) ) ) -> S e. _V )
43		c0ex 8284	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 e. _V
44	43	snex 4303	. . . . . . . . . . 11 |- { 0 } e. _V
45		unexg 4569	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( S e. _V /\ { 0 } e. _V ) -> ( S u. { 0 } ) e. _V )
46	42, 44, 45	sylancl 413	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ ( ( a " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( x e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( x ^ k ) ) ) ) ) -> ( S u. { 0 } ) e. _V )
47		nn0ex 9519	. . . . . . . . . 10 |- NN0 e. _V
48		elmapg 6908	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( S u. { 0 } ) e. _V /\ NN0 e. _V ) -> ( a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) <-> a : NN0 --> ( S u. { 0 } ) ) )
49	46, 47, 48	sylancl 413	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ ( ( a " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( x e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( x ^ k ) ) ) ) ) -> ( a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) <-> a : NN0 --> ( S u. { 0 } ) ) )
50	37, 49	mpbid 147	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ ( ( a " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( x e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( x ^ k ) ) ) ) ) -> a : NN0 --> ( S u. { 0 } ) )
51	29, 50	sylbir 135	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ ( ( a " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( w e. CC |-> sum_ j e. ( 0 ... n ) ( ( a ` j ) x. ( w ^ j ) ) ) ) ) -> a : NN0 --> ( S u. { 0 } ) )
52		simprl 531	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ ( ( a " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( w e. CC |-> sum_ j e. ( 0 ... n ) ( ( a ` j ) x. ( w ^ j ) ) ) ) ) -> ( a " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } )
53	29, 12	sylbir 135	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ ( ( a " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( w e. CC |-> sum_ j e. ( 0 ... n ) ( ( a ` j ) x. ( w ^ j ) ) ) ) ) -> F = ( x e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( x ^ k ) ) ) )
54	30, 31, 33, 35, 36, 51, 52, 53	plycolemc 15735	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ ( ( a " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( w e. CC |-> sum_ j e. ( 0 ... n ) ( ( a ` j ) x. ( w ^ j ) ) ) ) ) -> ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( ( G ` z ) ^ k ) ) ) e. (Poly ` S ) )
55	29, 54	sylbi 121	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ ( ( a " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( x e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( x ^ k ) ) ) ) ) -> ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( ( G ` z ) ^ k ) ) ) e. (Poly ` S ) )
56	16, 55	eqeltrd 2311	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ ( ( a " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( x e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( x ^ k ) ) ) ) ) -> ( F o. G ) e. (Poly ` S ) )
57	56	ex 115	. . 3 |- ( ( ph /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) -> ( ( ( a " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( x e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( x ^ k ) ) ) ) -> ( F o. G ) e. (Poly ` S ) ) )
58	57	rexlimdvva 2670	. 2 |- ( ph -> ( E. n e. NN0 E. a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ( ( a " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( x e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( x ^ k ) ) ) ) -> ( F o. G ) e. (Poly ` S ) ) )
59	4, 58	mpd 13	1 |- ( ph -> ( F o. G ) e. (Poly ` S ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1398   e. wcel 2205   E.wrex 2523   _Vcvv 2815   u. cun 3212   C_ wss 3214   {csn 3694   |-> cmpt 4176   "cima 4757   o. ccom 4758   -->wf 5353   ` cfv 5357  (class class class)co 6058   ^m cmap 6895   CCcc 8141   0cc0 8143   1c1 8144   + caddc 8146   x. cmul 8148   NN0cn0 9513   ZZ>=cuz 9871   ...cfz 10361   ^cexp 10924   sum_csu 12063  Polycply 15705

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-mulrcl 8242  ax-addcom 8243  ax-mulcom 8244  ax-addass 8245  ax-mulass 8246  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-1rid 8250  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-precex 8253  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259  ax-pre-mulgt0 8260  ax-pre-mulext 8261  ax-arch 8262  ax-caucvg 8263

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-disj 4091  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-po 4422  df-iso 4423  df-iord 4492  df-on 4494  df-ilim 4495  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-isom 5366  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-of 6275  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-recs 6549  df-irdg 6614  df-frec 6635  df-1o 6660  df-oadd 6664  df-er 6780  df-map 6897  df-en 6989  df-dom 6990  df-fin 6991  df-sup 7288  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-reap 8866  df-ap 8873  df-div 8964  df-inn 9255  df-2 9313  df-3 9314  df-4 9315  df-n0 9514  df-z 9595  df-uz 9872  df-q 9970  df-rp 10005  df-fz 10362  df-fzo 10499  df-seqfrec 10834  df-exp 10925  df-ihash 11164  df-cj 11552  df-re 11553  df-im 11554  df-rsqrt 11708  df-abs 11709  df-clim 11989  df-sumdc 12064  df-ply 15707

This theorem is referenced by: (None)