Theorem plyco 15486

Description: The composition of two polynomials is a polynomial. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Jul-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
plyco.1	|- ( ph -> F e. (Poly ` S ) )
plyco.2	|- ( ph -> G e. (Poly ` S ) )
plyco.3	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x + y ) e. S )
plyco.4	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x x. y ) e. S )

Assertion

Ref	Expression
plyco	|- ( ph -> ( F o. G ) e. (Poly ` S ) )

Distinct variable groups:   x, F, y   x, G, y   ph, x, y   x, S, y

Proof of Theorem plyco

Dummy variables a k n z w j are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		plyco.1	. . . 4 |- ( ph -> F e. (Poly ` S ) )
2		elply2 15462	. . . 4 |- ( F e. (Poly ` S ) <-> ( S C_ CC /\ E. n e. NN0 E. a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ( ( a " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( x e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( x ^ k ) ) ) ) ) )
3	1, 2	sylib 122	. . 3 |- ( ph -> ( S C_ CC /\ E. n e. NN0 E. a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ( ( a " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( x e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( x ^ k ) ) ) ) ) )
4	3	simprd 114	. 2 |- ( ph -> E. n e. NN0 E. a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ( ( a " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( x e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( x ^ k ) ) ) ) )
5		plyco.2	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> G e. (Poly ` S ) )
6		plyf 15464	. . . . . . . . 9 |- ( G e. (Poly ` S ) -> G : CC --> CC )
7	5, 6	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ph -> G : CC --> CC )
8	7	ffvelcdmda 5782	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> ( G ` z ) e. CC )
9	8	ad4ant14 514	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ ( ( a " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( x e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( x ^ k ) ) ) ) ) /\ z e. CC ) -> ( G ` z ) e. CC )
10	7	feqmptd 5699	. . . . . . 7 |- ( ph -> G = ( z e. CC |-> ( G ` z ) ) )
11	10	ad2antrr 488	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ ( ( a " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( x e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( x ^ k ) ) ) ) ) -> G = ( z e. CC |-> ( G ` z ) ) )
12		simprr 533	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ ( ( a " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( x e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( x ^ k ) ) ) ) ) -> F = ( x e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( x ^ k ) ) ) )
13		oveq1 6025	. . . . . . . 8 |- ( x = ( G ` z ) -> ( x ^ k ) = ( ( G ` z ) ^ k ) )
14	13	oveq2d 6034	. . . . . . 7 |- ( x = ( G ` z ) -> ( ( a ` k ) x. ( x ^ k ) ) = ( ( a ` k ) x. ( ( G ` z ) ^ k ) ) )
15	14	sumeq2sdv 11932	. . . . . 6 |- ( x = ( G ` z ) -> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( x ^ k ) ) = sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( ( G ` z ) ^ k ) ) )
16	9, 11, 12, 15	fmptco 5813	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ ( ( a " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( x e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( x ^ k ) ) ) ) ) -> ( F o. G ) = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( ( G ` z ) ^ k ) ) ) )
17		oveq1 6025	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = w -> ( x ^ k ) = ( w ^ k ) )
18	17	oveq2d 6034	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = w -> ( ( a ` k ) x. ( x ^ k ) ) = ( ( a ` k ) x. ( w ^ k ) ) )
19	18	sumeq2sdv 11932	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = w -> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( x ^ k ) ) = sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( w ^ k ) ) )
20	19	cbvmptv 4185	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( x ^ k ) ) ) = ( w e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( w ^ k ) ) )
21		fveq2 5639	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = j -> ( a ` k ) = ( a ` j ) )
22		oveq2 6026	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = j -> ( w ^ k ) = ( w ^ j ) )
23	21, 22	oveq12d 6036	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = j -> ( ( a ` k ) x. ( w ^ k ) ) = ( ( a ` j ) x. ( w ^ j ) ) )
24	23	cbvsumv 11923	. . . . . . . . . . 11 |- sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( w ^ k ) ) = sum_ j e. ( 0 ... n ) ( ( a ` j ) x. ( w ^ j ) )
25	24	mpteq2i 4176	. . . . . . . . . 10 |- ( w e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( w ^ k ) ) ) = ( w e. CC |-> sum_ j e. ( 0 ... n ) ( ( a ` j ) x. ( w ^ j ) ) )
26	20, 25	eqtri 2252	. . . . . . . . 9 |- ( x e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( x ^ k ) ) ) = ( w e. CC |-> sum_ j e. ( 0 ... n ) ( ( a ` j ) x. ( w ^ j ) ) )
27	26	eqeq2i 2242	. . . . . . . 8 |- ( F = ( x e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( x ^ k ) ) ) <-> F = ( w e. CC |-> sum_ j e. ( 0 ... n ) ( ( a ` j ) x. ( w ^ j ) ) ) )
28	27	anbi2i 457	. . . . . . 7 |- ( ( ( a " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( x e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( x ^ k ) ) ) ) <-> ( ( a " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( w e. CC |-> sum_ j e. ( 0 ... n ) ( ( a ` j ) x. ( w ^ j ) ) ) ) )
29	28	anbi2i 457	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ ( ( a " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( x e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( x ^ k ) ) ) ) ) <-> ( ( ph /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ ( ( a " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( w e. CC |-> sum_ j e. ( 0 ... n ) ( ( a ` j ) x. ( w ^ j ) ) ) ) ) )
30	1	ad2antrr 488	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ ( ( a " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( w e. CC |-> sum_ j e. ( 0 ... n ) ( ( a ` j ) x. ( w ^ j ) ) ) ) ) -> F e. (Poly ` S ) )
31	5	ad2antrr 488	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ ( ( a " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( w e. CC |-> sum_ j e. ( 0 ... n ) ( ( a ` j ) x. ( w ^ j ) ) ) ) ) -> G e. (Poly ` S ) )
32		plyco.3	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x + y ) e. S )
33	32	ad4ant14 514	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ ( ( a " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( w e. CC |-> sum_ j e. ( 0 ... n ) ( ( a ` j ) x. ( w ^ j ) ) ) ) ) /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x + y ) e. S )
34		plyco.4	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x x. y ) e. S )
35	34	ad4ant14 514	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ ( ( a " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( w e. CC |-> sum_ j e. ( 0 ... n ) ( ( a ` j ) x. ( w ^ j ) ) ) ) ) /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x x. y ) e. S )
36		simplrl 537	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ ( ( a " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( w e. CC |-> sum_ j e. ( 0 ... n ) ( ( a ` j ) x. ( w ^ j ) ) ) ) ) -> n e. NN0 )
37		simplrr 538	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ ( ( a " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( x e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( x ^ k ) ) ) ) ) -> a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) )
38	3	simpld 112	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> S C_ CC )
39	38	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ ( ( a " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( x e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( x ^ k ) ) ) ) ) -> S C_ CC )
40		cnex 8156	. . . . . . . . . . . 12 |- CC e. _V
41		ssexg 4228	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( S C_ CC /\ CC e. _V ) -> S e. _V )
42	39, 40, 41	sylancl 413	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ ( ( a " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( x e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( x ^ k ) ) ) ) ) -> S e. _V )
43		c0ex 8173	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 e. _V
44	43	snex 4275	. . . . . . . . . . 11 |- { 0 } e. _V
45		unexg 4540	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( S e. _V /\ { 0 } e. _V ) -> ( S u. { 0 } ) e. _V )
46	42, 44, 45	sylancl 413	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ ( ( a " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( x e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( x ^ k ) ) ) ) ) -> ( S u. { 0 } ) e. _V )
47		nn0ex 9408	. . . . . . . . . 10 |- NN0 e. _V
48		elmapg 6830	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( S u. { 0 } ) e. _V /\ NN0 e. _V ) -> ( a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) <-> a : NN0 --> ( S u. { 0 } ) ) )
49	46, 47, 48	sylancl 413	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ ( ( a " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( x e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( x ^ k ) ) ) ) ) -> ( a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) <-> a : NN0 --> ( S u. { 0 } ) ) )
50	37, 49	mpbid 147	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ ( ( a " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( x e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( x ^ k ) ) ) ) ) -> a : NN0 --> ( S u. { 0 } ) )
51	29, 50	sylbir 135	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ ( ( a " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( w e. CC |-> sum_ j e. ( 0 ... n ) ( ( a ` j ) x. ( w ^ j ) ) ) ) ) -> a : NN0 --> ( S u. { 0 } ) )
52		simprl 531	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ ( ( a " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( w e. CC |-> sum_ j e. ( 0 ... n ) ( ( a ` j ) x. ( w ^ j ) ) ) ) ) -> ( a " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } )
53	29, 12	sylbir 135	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ ( ( a " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( w e. CC |-> sum_ j e. ( 0 ... n ) ( ( a ` j ) x. ( w ^ j ) ) ) ) ) -> F = ( x e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( x ^ k ) ) ) )
54	30, 31, 33, 35, 36, 51, 52, 53	plycolemc 15485	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ ( ( a " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( w e. CC |-> sum_ j e. ( 0 ... n ) ( ( a ` j ) x. ( w ^ j ) ) ) ) ) -> ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( ( G ` z ) ^ k ) ) ) e. (Poly ` S ) )
55	29, 54	sylbi 121	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ ( ( a " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( x e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( x ^ k ) ) ) ) ) -> ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( ( G ` z ) ^ k ) ) ) e. (Poly ` S ) )
56	16, 55	eqeltrd 2308	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ ( ( a " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( x e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( x ^ k ) ) ) ) ) -> ( F o. G ) e. (Poly ` S ) )
57	56	ex 115	. . 3 |- ( ( ph /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) -> ( ( ( a " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( x e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( x ^ k ) ) ) ) -> ( F o. G ) e. (Poly ` S ) ) )
58	57	rexlimdvva 2658	. 2 |- ( ph -> ( E. n e. NN0 E. a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ( ( a " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( x e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( x ^ k ) ) ) ) -> ( F o. G ) e. (Poly ` S ) ) )
59	4, 58	mpd 13	1 |- ( ph -> ( F o. G ) e. (Poly ` S ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1397   e. wcel 2202   E.wrex 2511   _Vcvv 2802   u. cun 3198   C_ wss 3200   {csn 3669   |-> cmpt 4150   "cima 4728   o. ccom 4729   -->wf 5322   ` cfv 5326  (class class class)co 6018   ^m cmap 6817   CCcc 8030   0cc0 8032   1c1 8033   + caddc 8035   x. cmul 8037   NN0cn0 9402   ZZ>=cuz 9755   ...cfz 10243   ^cexp 10801   sum_csu 11915  Polycply 15455

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-mulrcl 8131  ax-addcom 8132  ax-mulcom 8133  ax-addass 8134  ax-mulass 8135  ax-distr 8136  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-1rid 8139  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-precex 8142  ax-cnre 8143  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-ltwlin 8145  ax-pre-lttrn 8146  ax-pre-apti 8147  ax-pre-ltadd 8148  ax-pre-mulgt0 8149  ax-pre-mulext 8150  ax-arch 8151  ax-caucvg 8152

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-disj 4065  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-isom 5335  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-of 6235  df-1st 6303  df-2nd 6304  df-recs 6471  df-irdg 6536  df-frec 6557  df-1o 6582  df-oadd 6586  df-er 6702  df-map 6819  df-en 6910  df-dom 6911  df-fin 6912  df-sup 7183  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-xr 8218  df-ltxr 8219  df-le 8220  df-sub 8352  df-neg 8353  df-reap 8755  df-ap 8762  df-div 8853  df-inn 9144  df-2 9202  df-3 9203  df-4 9204  df-n0 9403  df-z 9480  df-uz 9756  df-q 9854  df-rp 9889  df-fz 10244  df-fzo 10378  df-seqfrec 10711  df-exp 10802  df-ihash 11039  df-cj 11404  df-re 11405  df-im 11406  df-rsqrt 11560  df-abs 11561  df-clim 11841  df-sumdc 11916  df-ply 15457

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