Theorem abscj 10600

Description: The absolute value of a number and its conjugate are the same. Proposition 10-3.7(b) of [Gleason] p. 133. (Contributed by NM, 28-Apr-2005.)

Assertion

Ref	Expression
abscj	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘(∗‘𝐴)) = (abs‘𝐴))

Proof of Theorem abscj

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cjcl 10397	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘𝐴) ∈ ℂ)
2		absval 10549	. . . 4 ⊢ ((∗‘𝐴) ∈ ℂ → (abs‘(∗‘𝐴)) = (√‘((∗‘𝐴) · (∗‘(∗‘𝐴)))))
3	1, 2	syl 14	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘(∗‘𝐴)) = (√‘((∗‘𝐴) · (∗‘(∗‘𝐴)))))
4		mulcom 7568	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (∗‘𝐴) ∈ ℂ) → (𝐴 · (∗‘𝐴)) = ((∗‘𝐴) · 𝐴))
5	1, 4	mpdan 413	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · (∗‘𝐴)) = ((∗‘𝐴) · 𝐴))
6		cjcj 10432	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘(∗‘𝐴)) = 𝐴)
7	6	oveq2d 5706	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((∗‘𝐴) · (∗‘(∗‘𝐴))) = ((∗‘𝐴) · 𝐴))
8	5, 7	eqtr4d 2130	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · (∗‘𝐴)) = ((∗‘𝐴) · (∗‘(∗‘𝐴))))
9	8	fveq2d 5344	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (√‘(𝐴 · (∗‘𝐴))) = (√‘((∗‘𝐴) · (∗‘(∗‘𝐴)))))
10	3, 9	eqtr4d 2130	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘(∗‘𝐴)) = (√‘(𝐴 · (∗‘𝐴))))
11		absval 10549	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) = (√‘(𝐴 · (∗‘𝐴))))
12	10, 11	eqtr4d 2130	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘(∗‘𝐴)) = (abs‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1296   ∈ wcel 1445  ‘cfv 5049  (class class class)co 5690  ℂcc 7445   · cmul 7452  ∗ccj 10388  √csqrt 10544  abscabs 10545

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 582  ax-in2 583  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-13 1456  ax-14 1457  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077  ax-coll 3975  ax-sep 3978  ax-pow 4030  ax-pr 4060  ax-un 4284  ax-setind 4381  ax-cnex 7533  ax-resscn 7534  ax-1cn 7535  ax-1re 7536  ax-icn 7537  ax-addcl 7538  ax-addrcl 7539  ax-mulcl 7540  ax-mulrcl 7541  ax-addcom 7542  ax-mulcom 7543  ax-addass 7544  ax-mulass 7545  ax-distr 7546  ax-i2m1 7547  ax-0lt1 7548  ax-1rid 7549  ax-0id 7550  ax-rnegex 7551  ax-precex 7552  ax-cnre 7553  ax-pre-ltirr 7554  ax-pre-ltwlin 7555  ax-pre-lttrn 7556  ax-pre-apti 7557  ax-pre-ltadd 7558  ax-pre-mulgt0 7559  ax-pre-mulext 7560

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 929  df-tru 1299  df-fal 1302  df-nf 1402  df-sb 1700  df-eu 1958  df-mo 1959  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-ne 2263  df-nel 2358  df-ral 2375  df-rex 2376  df-reu 2377  df-rmo 2378  df-rab 2379  df-v 2635  df-sbc 2855  df-csb 2948  df-dif 3015  df-un 3017  df-in 3019  df-ss 3026  df-pw 3451  df-sn 3472  df-pr 3473  df-op 3475  df-uni 3676  df-iun 3754  df-br 3868  df-opab 3922  df-mpt 3923  df-id 4144  df-po 4147  df-iso 4148  df-xp 4473  df-rel 4474  df-cnv 4475  df-co 4476  df-dm 4477  df-rn 4478  df-res 4479  df-ima 4480  df-iota 5014  df-fun 5051  df-fn 5052  df-f 5053  df-f1 5054  df-fo 5055  df-f1o 5056  df-fv 5057  df-riota 5646  df-ov 5693  df-oprab 5694  df-mpt2 5695  df-pnf 7621  df-mnf 7622  df-xr 7623  df-ltxr 7624  df-le 7625  df-sub 7752  df-neg 7753  df-reap 8149  df-ap 8156  df-div 8237  df-2 8579  df-cj 10391  df-re 10392  df-im 10393  df-rsqrt 10546  df-abs 10547

This theorem is referenced by:  abstri  10652  abscji  10696  abscjd  10738