ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  efi4p GIF version

Theorem efi4p 11431
Description: Separate out the first four terms of the infinite series expansion of the exponential function. (Contributed by Paul Chapman, 19-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
efi4p.1 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))
Assertion
Ref Expression
efi4p (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝐴)) = (((1 − ((𝐴↑2) / 2)) + (i · (𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)))) + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)(𝐹𝑘)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘,𝑛   𝑘,𝐹
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑛)

Proof of Theorem efi4p
StepHypRef Expression
1 ax-icn 7722 . . . 4 i ∈ ℂ
2 mulcl 7754 . . . 4 ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
31, 2mpan 420 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
4 efi4p.1 . . . 4 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))
54ef4p 11407 . . 3 ((i · 𝐴) ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝐴)) = ((((1 + (i · 𝐴)) + (((i · 𝐴)↑2) / 2)) + (((i · 𝐴)↑3) / 6)) + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)(𝐹𝑘)))
63, 5syl 14 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝐴)) = ((((1 + (i · 𝐴)) + (((i · 𝐴)↑2) / 2)) + (((i · 𝐴)↑3) / 6)) + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)(𝐹𝑘)))
7 ax-1cn 7720 . . . . . 6 1 ∈ ℂ
8 addcl 7752 . . . . . 6 ((1 ∈ ℂ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℂ) → (1 + (i · 𝐴)) ∈ ℂ)
97, 3, 8sylancr 410 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (1 + (i · 𝐴)) ∈ ℂ)
103sqcld 10429 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → ((i · 𝐴)↑2) ∈ ℂ)
1110halfcld 8971 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (((i · 𝐴)↑2) / 2) ∈ ℂ)
12 3nn0 9002 . . . . . . 7 3 ∈ ℕ0
13 expcl 10318 . . . . . . 7 (((i · 𝐴) ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℕ0) → ((i · 𝐴)↑3) ∈ ℂ)
143, 12, 13sylancl 409 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → ((i · 𝐴)↑3) ∈ ℂ)
15 6cn 8809 . . . . . . 7 6 ∈ ℂ
16 6re 8808 . . . . . . . 8 6 ∈ ℝ
17 6pos 8828 . . . . . . . 8 0 < 6
1816, 17gt0ap0ii 8397 . . . . . . 7 6 # 0
19 divclap 8445 . . . . . . 7 ((((i · 𝐴)↑3) ∈ ℂ ∧ 6 ∈ ℂ ∧ 6 # 0) → (((i · 𝐴)↑3) / 6) ∈ ℂ)
2015, 18, 19mp3an23 1307 . . . . . 6 (((i · 𝐴)↑3) ∈ ℂ → (((i · 𝐴)↑3) / 6) ∈ ℂ)
2114, 20syl 14 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (((i · 𝐴)↑3) / 6) ∈ ℂ)
229, 11, 21addassd 7795 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (((1 + (i · 𝐴)) + (((i · 𝐴)↑2) / 2)) + (((i · 𝐴)↑3) / 6)) = ((1 + (i · 𝐴)) + ((((i · 𝐴)↑2) / 2) + (((i · 𝐴)↑3) / 6))))
237a1i 9 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → 1 ∈ ℂ)
2423, 3, 11, 21add4d 7938 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → ((1 + (i · 𝐴)) + ((((i · 𝐴)↑2) / 2) + (((i · 𝐴)↑3) / 6))) = ((1 + (((i · 𝐴)↑2) / 2)) + ((i · 𝐴) + (((i · 𝐴)↑3) / 6))))
25 2nn0 9001 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℕ0
26 mulexp 10339 . . . . . . . . . . 11 ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0) → ((i · 𝐴)↑2) = ((i↑2) · (𝐴↑2)))
271, 25, 26mp3an13 1306 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℂ → ((i · 𝐴)↑2) = ((i↑2) · (𝐴↑2)))
28 i2 10400 . . . . . . . . . . . 12 (i↑2) = -1
2928oveq1i 5784 . . . . . . . . . . 11 ((i↑2) · (𝐴↑2)) = (-1 · (𝐴↑2))
3029a1i 9 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℂ → ((i↑2) · (𝐴↑2)) = (-1 · (𝐴↑2)))
31 sqcl 10361 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
3231mulm1d 8179 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℂ → (-1 · (𝐴↑2)) = -(𝐴↑2))
3327, 30, 323eqtrd 2176 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℂ → ((i · 𝐴)↑2) = -(𝐴↑2))
3433oveq1d 5789 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → (((i · 𝐴)↑2) / 2) = (-(𝐴↑2) / 2))
35 2cn 8798 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℂ
36 2ap0 8820 . . . . . . . . . 10 2 # 0
37 divnegap 8473 . . . . . . . . . 10 (((𝐴↑2) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 # 0) → -((𝐴↑2) / 2) = (-(𝐴↑2) / 2))
3835, 36, 37mp3an23 1307 . . . . . . . . 9 ((𝐴↑2) ∈ ℂ → -((𝐴↑2) / 2) = (-(𝐴↑2) / 2))
3931, 38syl 14 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → -((𝐴↑2) / 2) = (-(𝐴↑2) / 2))
4034, 39eqtr4d 2175 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (((i · 𝐴)↑2) / 2) = -((𝐴↑2) / 2))
4140oveq2d 5790 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (1 + (((i · 𝐴)↑2) / 2)) = (1 + -((𝐴↑2) / 2)))
4231halfcld 8971 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑2) / 2) ∈ ℂ)
43 negsub 8017 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℂ ∧ ((𝐴↑2) / 2) ∈ ℂ) → (1 + -((𝐴↑2) / 2)) = (1 − ((𝐴↑2) / 2)))
447, 42, 43sylancr 410 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (1 + -((𝐴↑2) / 2)) = (1 − ((𝐴↑2) / 2)))
4541, 44eqtrd 2172 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (1 + (((i · 𝐴)↑2) / 2)) = (1 − ((𝐴↑2) / 2)))
46 mulexp 10339 . . . . . . . . . . 11 ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℕ0) → ((i · 𝐴)↑3) = ((i↑3) · (𝐴↑3)))
471, 12, 46mp3an13 1306 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℂ → ((i · 𝐴)↑3) = ((i↑3) · (𝐴↑3)))
48 i3 10401 . . . . . . . . . . 11 (i↑3) = -i
4948oveq1i 5784 . . . . . . . . . 10 ((i↑3) · (𝐴↑3)) = (-i · (𝐴↑3))
5047, 49syl6eq 2188 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℂ → ((i · 𝐴)↑3) = (-i · (𝐴↑3)))
5150oveq1d 5789 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → (((i · 𝐴)↑3) / 6) = ((-i · (𝐴↑3)) / 6))
52 expcl 10318 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℕ0) → (𝐴↑3) ∈ ℂ)
5312, 52mpan2 421 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑3) ∈ ℂ)
54 negicn 7970 . . . . . . . . . 10 -i ∈ ℂ
5515, 18pm3.2i 270 . . . . . . . . . 10 (6 ∈ ℂ ∧ 6 # 0)
56 divassap 8457 . . . . . . . . . 10 ((-i ∈ ℂ ∧ (𝐴↑3) ∈ ℂ ∧ (6 ∈ ℂ ∧ 6 # 0)) → ((-i · (𝐴↑3)) / 6) = (-i · ((𝐴↑3) / 6)))
5754, 55, 56mp3an13 1306 . . . . . . . . 9 ((𝐴↑3) ∈ ℂ → ((-i · (𝐴↑3)) / 6) = (-i · ((𝐴↑3) / 6)))
5853, 57syl 14 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → ((-i · (𝐴↑3)) / 6) = (-i · ((𝐴↑3) / 6)))
59 divclap 8445 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴↑3) ∈ ℂ ∧ 6 ∈ ℂ ∧ 6 # 0) → ((𝐴↑3) / 6) ∈ ℂ)
6015, 18, 59mp3an23 1307 . . . . . . . . . 10 ((𝐴↑3) ∈ ℂ → ((𝐴↑3) / 6) ∈ ℂ)
6153, 60syl 14 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑3) / 6) ∈ ℂ)
62 mulneg12 8166 . . . . . . . . 9 ((i ∈ ℂ ∧ ((𝐴↑3) / 6) ∈ ℂ) → (-i · ((𝐴↑3) / 6)) = (i · -((𝐴↑3) / 6)))
631, 61, 62sylancr 410 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → (-i · ((𝐴↑3) / 6)) = (i · -((𝐴↑3) / 6)))
6451, 58, 633eqtrd 2176 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (((i · 𝐴)↑3) / 6) = (i · -((𝐴↑3) / 6)))
6564oveq2d 5790 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → ((i · 𝐴) + (((i · 𝐴)↑3) / 6)) = ((i · 𝐴) + (i · -((𝐴↑3) / 6))))
6661negcld 8067 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → -((𝐴↑3) / 6) ∈ ℂ)
67 adddi 7759 . . . . . . . 8 ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ -((𝐴↑3) / 6) ∈ ℂ) → (i · (𝐴 + -((𝐴↑3) / 6))) = ((i · 𝐴) + (i · -((𝐴↑3) / 6))))
681, 67mp3an1 1302 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ -((𝐴↑3) / 6) ∈ ℂ) → (i · (𝐴 + -((𝐴↑3) / 6))) = ((i · 𝐴) + (i · -((𝐴↑3) / 6))))
6966, 68mpdan 417 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (i · (𝐴 + -((𝐴↑3) / 6))) = ((i · 𝐴) + (i · -((𝐴↑3) / 6))))
70 negsub 8017 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((𝐴↑3) / 6) ∈ ℂ) → (𝐴 + -((𝐴↑3) / 6)) = (𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)))
7161, 70mpdan 417 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 + -((𝐴↑3) / 6)) = (𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)))
7271oveq2d 5790 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (i · (𝐴 + -((𝐴↑3) / 6))) = (i · (𝐴 − ((𝐴↑3) / 6))))
7365, 69, 723eqtr2d 2178 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → ((i · 𝐴) + (((i · 𝐴)↑3) / 6)) = (i · (𝐴 − ((𝐴↑3) / 6))))
7445, 73oveq12d 5792 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → ((1 + (((i · 𝐴)↑2) / 2)) + ((i · 𝐴) + (((i · 𝐴)↑3) / 6))) = ((1 − ((𝐴↑2) / 2)) + (i · (𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)))))
7522, 24, 743eqtrd 2176 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (((1 + (i · 𝐴)) + (((i · 𝐴)↑2) / 2)) + (((i · 𝐴)↑3) / 6)) = ((1 − ((𝐴↑2) / 2)) + (i · (𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)))))
7675oveq1d 5789 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → ((((1 + (i · 𝐴)) + (((i · 𝐴)↑2) / 2)) + (((i · 𝐴)↑3) / 6)) + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)(𝐹𝑘)) = (((1 − ((𝐴↑2) / 2)) + (i · (𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)))) + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)(𝐹𝑘)))
776, 76eqtrd 2172 1 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝐴)) = (((1 − ((𝐴↑2) / 2)) + (i · (𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)))) + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)(𝐹𝑘)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103   = wceq 1331  wcel 1480   class class class wbr 3929  cmpt 3989  cfv 5123  (class class class)co 5774  cc 7625  0cc0 7627  1c1 7628  ici 7629   + caddc 7630   · cmul 7632  cmin 7940  -cneg 7941   # cap 8350   / cdiv 8439  2c2 8778  3c3 8779  4c4 8780  6c6 8782  0cn0 8984  cuz 9333  cexp 10299  !cfa 10478  Σcsu 11129  expce 11355
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7718  ax-resscn 7719  ax-1cn 7720  ax-1re 7721  ax-icn 7722  ax-addcl 7723  ax-addrcl 7724  ax-mulcl 7725  ax-mulrcl 7726  ax-addcom 7727  ax-mulcom 7728  ax-addass 7729  ax-mulass 7730  ax-distr 7731  ax-i2m1 7732  ax-0lt1 7733  ax-1rid 7734  ax-0id 7735  ax-rnegex 7736  ax-precex 7737  ax-cnre 7738  ax-pre-ltirr 7739  ax-pre-ltwlin 7740  ax-pre-lttrn 7741  ax-pre-apti 7742  ax-pre-ltadd 7743  ax-pre-mulgt0 7744  ax-pre-mulext 7745  ax-arch 7746  ax-caucvg 7747
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-isom 5132  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-irdg 6267  df-frec 6288  df-1o 6313  df-oadd 6317  df-er 6429  df-en 6635  df-dom 6636  df-fin 6637  df-pnf 7809  df-mnf 7810  df-xr 7811  df-ltxr 7812  df-le 7813  df-sub 7942  df-neg 7943  df-reap 8344  df-ap 8351  df-div 8440  df-inn 8728  df-2 8786  df-3 8787  df-4 8788  df-5 8789  df-6 8790  df-n0 8985  df-z 9062  df-uz 9334  df-q 9419  df-rp 9449  df-ico 9684  df-fz 9798  df-fzo 9927  df-seqfrec 10226  df-exp 10300  df-fac 10479  df-ihash 10529  df-cj 10621  df-re 10622  df-im 10623  df-rsqrt 10777  df-abs 10778  df-clim 11055  df-sumdc 11130  df-ef 11361
This theorem is referenced by:  resin4p  11432  recos4p  11433
  Copyright terms: Public domain W3C validator