Theorem efi4p 12396

Description: Separate out the first four terms of the infinite series expansion of the exponential function. (Contributed by Paul Chapman, 19-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
efi4p.1	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))

Assertion

Ref	Expression
efi4p	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝐴)) = (((1 − ((𝐴↑2) / 2)) + (i · (𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)))) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)(𝐹‘𝑘)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘,𝑛   𝑘,𝐹

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑛)

Proof of Theorem efi4p

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-icn 8218	. . . 4 ⊢ i ∈ ℂ
2		mulcl 8250	. . . 4 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
3	1, 2	mpan 424	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
4		efi4p.1	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))
5	4	ef4p 12373	. . 3 ⊢ ((i · 𝐴) ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝐴)) = ((((1 + (i · 𝐴)) + (((i · 𝐴)↑2) / 2)) + (((i · 𝐴)↑3) / 6)) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)(𝐹‘𝑘)))
6	3, 5	syl 14	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝐴)) = ((((1 + (i · 𝐴)) + (((i · 𝐴)↑2) / 2)) + (((i · 𝐴)↑3) / 6)) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)(𝐹‘𝑘)))
7		ax-1cn 8216	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℂ
8		addcl 8248	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℂ) → (1 + (i · 𝐴)) ∈ ℂ)
9	7, 3, 8	sylancr 414	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 + (i · 𝐴)) ∈ ℂ)
10	3	sqcld 11029	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((i · 𝐴)↑2) ∈ ℂ)
11	10	halfcld 9479	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((i · 𝐴)↑2) / 2) ∈ ℂ)
12		3nn0 9510	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℕ0
13		expcl 10915	. . . . . . 7 ⊢ (((i · 𝐴) ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℕ0) → ((i · 𝐴)↑3) ∈ ℂ)
14	3, 12, 13	sylancl 413	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((i · 𝐴)↑3) ∈ ℂ)
15		6cn 9315	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℂ
16		6re 9314	. . . . . . . 8 ⊢ 6 ∈ ℝ
17		6pos 9334	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < 6
18	16, 17	gt0ap0ii 8898	. . . . . . 7 ⊢ 6 # 0
19		divclap 8948	. . . . . . 7 ⊢ ((((i · 𝐴)↑3) ∈ ℂ ∧ 6 ∈ ℂ ∧ 6 # 0) → (((i · 𝐴)↑3) / 6) ∈ ℂ)
20	15, 18, 19	mp3an23 1366	. . . . . 6 ⊢ (((i · 𝐴)↑3) ∈ ℂ → (((i · 𝐴)↑3) / 6) ∈ ℂ)
21	14, 20	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((i · 𝐴)↑3) / 6) ∈ ℂ)
22	9, 11, 21	addassd 8292	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((1 + (i · 𝐴)) + (((i · 𝐴)↑2) / 2)) + (((i · 𝐴)↑3) / 6)) = ((1 + (i · 𝐴)) + ((((i · 𝐴)↑2) / 2) + (((i · 𝐴)↑3) / 6))))
23	7	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 1 ∈ ℂ)
24	23, 3, 11, 21	add4d 8438	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((1 + (i · 𝐴)) + ((((i · 𝐴)↑2) / 2) + (((i · 𝐴)↑3) / 6))) = ((1 + (((i · 𝐴)↑2) / 2)) + ((i · 𝐴) + (((i · 𝐴)↑3) / 6))))
25		2nn0 9509	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℕ0
26		mulexp 10936	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0) → ((i · 𝐴)↑2) = ((i↑2) · (𝐴↑2)))
27	1, 25, 26	mp3an13 1365	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((i · 𝐴)↑2) = ((i↑2) · (𝐴↑2)))
28		i2 10998	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (i↑2) = -1
29	28	oveq1i 6059	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((i↑2) · (𝐴↑2)) = (-1 · (𝐴↑2))
30	29	a1i 9	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((i↑2) · (𝐴↑2)) = (-1 · (𝐴↑2)))
31		sqcl 10958	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
32	31	mulm1d 8679	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-1 · (𝐴↑2)) = -(𝐴↑2))
33	27, 30, 32	3eqtrd 2269	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((i · 𝐴)↑2) = -(𝐴↑2))
34	33	oveq1d 6064	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((i · 𝐴)↑2) / 2) = (-(𝐴↑2) / 2))
35		2cn 9304	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℂ
36		2ap0 9326	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 # 0
37		divnegap 8976	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴↑2) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 # 0) → -((𝐴↑2) / 2) = (-(𝐴↑2) / 2))
38	35, 36, 37	mp3an23 1366	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴↑2) ∈ ℂ → -((𝐴↑2) / 2) = (-(𝐴↑2) / 2))
39	31, 38	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -((𝐴↑2) / 2) = (-(𝐴↑2) / 2))
40	34, 39	eqtr4d 2268	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((i · 𝐴)↑2) / 2) = -((𝐴↑2) / 2))
41	40	oveq2d 6065	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 + (((i · 𝐴)↑2) / 2)) = (1 + -((𝐴↑2) / 2)))
42	31	halfcld 9479	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑2) / 2) ∈ ℂ)
43		negsub 8517	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ ((𝐴↑2) / 2) ∈ ℂ) → (1 + -((𝐴↑2) / 2)) = (1 − ((𝐴↑2) / 2)))
44	7, 42, 43	sylancr 414	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 + -((𝐴↑2) / 2)) = (1 − ((𝐴↑2) / 2)))
45	41, 44	eqtrd 2265	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 + (((i · 𝐴)↑2) / 2)) = (1 − ((𝐴↑2) / 2)))
46		mulexp 10936	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℕ0) → ((i · 𝐴)↑3) = ((i↑3) · (𝐴↑3)))
47	1, 12, 46	mp3an13 1365	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((i · 𝐴)↑3) = ((i↑3) · (𝐴↑3)))
48		i3 10999	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (i↑3) = -i
49	48	oveq1i 6059	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((i↑3) · (𝐴↑3)) = (-i · (𝐴↑3))
50	47, 49	eqtrdi 2281	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((i · 𝐴)↑3) = (-i · (𝐴↑3)))
51	50	oveq1d 6064	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((i · 𝐴)↑3) / 6) = ((-i · (𝐴↑3)) / 6))
52		expcl 10915	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℕ0) → (𝐴↑3) ∈ ℂ)
53	12, 52	mpan2 425	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑3) ∈ ℂ)
54		negicn 8470	. . . . . . . . . 10 ⊢ -i ∈ ℂ
55	15, 18	pm3.2i 272	. . . . . . . . . 10 ⊢ (6 ∈ ℂ ∧ 6 # 0)
56		divassap 8960	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((-i ∈ ℂ ∧ (𝐴↑3) ∈ ℂ ∧ (6 ∈ ℂ ∧ 6 # 0)) → ((-i · (𝐴↑3)) / 6) = (-i · ((𝐴↑3) / 6)))
57	54, 55, 56	mp3an13 1365	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴↑3) ∈ ℂ → ((-i · (𝐴↑3)) / 6) = (-i · ((𝐴↑3) / 6)))
58	53, 57	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((-i · (𝐴↑3)) / 6) = (-i · ((𝐴↑3) / 6)))
59		divclap 8948	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴↑3) ∈ ℂ ∧ 6 ∈ ℂ ∧ 6 # 0) → ((𝐴↑3) / 6) ∈ ℂ)
60	15, 18, 59	mp3an23 1366	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴↑3) ∈ ℂ → ((𝐴↑3) / 6) ∈ ℂ)
61	53, 60	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑3) / 6) ∈ ℂ)
62		mulneg12 8666	. . . . . . . . 9 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ ((𝐴↑3) / 6) ∈ ℂ) → (-i · ((𝐴↑3) / 6)) = (i · -((𝐴↑3) / 6)))
63	1, 61, 62	sylancr 414	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-i · ((𝐴↑3) / 6)) = (i · -((𝐴↑3) / 6)))
64	51, 58, 63	3eqtrd 2269	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((i · 𝐴)↑3) / 6) = (i · -((𝐴↑3) / 6)))
65	64	oveq2d 6065	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((i · 𝐴) + (((i · 𝐴)↑3) / 6)) = ((i · 𝐴) + (i · -((𝐴↑3) / 6))))
66	61	negcld 8567	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -((𝐴↑3) / 6) ∈ ℂ)
67		adddi 8255	. . . . . . . 8 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ -((𝐴↑3) / 6) ∈ ℂ) → (i · (𝐴 + -((𝐴↑3) / 6))) = ((i · 𝐴) + (i · -((𝐴↑3) / 6))))
68	1, 67	mp3an1 1361	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ -((𝐴↑3) / 6) ∈ ℂ) → (i · (𝐴 + -((𝐴↑3) / 6))) = ((i · 𝐴) + (i · -((𝐴↑3) / 6))))
69	66, 68	mpdan 421	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · (𝐴 + -((𝐴↑3) / 6))) = ((i · 𝐴) + (i · -((𝐴↑3) / 6))))
70		negsub 8517	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((𝐴↑3) / 6) ∈ ℂ) → (𝐴 + -((𝐴↑3) / 6)) = (𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)))
71	61, 70	mpdan 421	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 + -((𝐴↑3) / 6)) = (𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)))
72	71	oveq2d 6065	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · (𝐴 + -((𝐴↑3) / 6))) = (i · (𝐴 − ((𝐴↑3) / 6))))
73	65, 69, 72	3eqtr2d 2271	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((i · 𝐴) + (((i · 𝐴)↑3) / 6)) = (i · (𝐴 − ((𝐴↑3) / 6))))
74	45, 73	oveq12d 6067	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((1 + (((i · 𝐴)↑2) / 2)) + ((i · 𝐴) + (((i · 𝐴)↑3) / 6))) = ((1 − ((𝐴↑2) / 2)) + (i · (𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)))))
75	22, 24, 74	3eqtrd 2269	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((1 + (i · 𝐴)) + (((i · 𝐴)↑2) / 2)) + (((i · 𝐴)↑3) / 6)) = ((1 − ((𝐴↑2) / 2)) + (i · (𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)))))
76	75	oveq1d 6064	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((((1 + (i · 𝐴)) + (((i · 𝐴)↑2) / 2)) + (((i · 𝐴)↑3) / 6)) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)(𝐹‘𝑘)) = (((1 − ((𝐴↑2) / 2)) + (i · (𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)))) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)(𝐹‘𝑘)))
77	6, 76	eqtrd 2265	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝐴)) = (((1 − ((𝐴↑2) / 2)) + (i · (𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)))) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)(𝐹‘𝑘)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1398   ∈ wcel 2203   class class class wbr 4108   ↦ cmpt 4170  ‘cfv 5351  (class class class)co 6049  ℂcc 8121  0cc0 8123  1c1 8124  ici 8125   + caddc 8126   · cmul 8128   − cmin 8440  -cneg 8441   # cap 8851   / cdiv 8942  2c2 9284  3c3 9285  4c4 9286  6c6 9288  ℕ₀cn0 9492  ℤ_≥cuz 9849  ↑cexp 10896  !cfa 11083  Σcsu 12031  expce 12321

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4224  ax-sep 4227  ax-nul 4235  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-setind 4658  ax-iinf 4709  ax-cnex 8214  ax-resscn 8215  ax-1cn 8216  ax-1re 8217  ax-icn 8218  ax-addcl 8219  ax-addrcl 8220  ax-mulcl 8221  ax-mulrcl 8222  ax-addcom 8223  ax-mulcom 8224  ax-addass 8225  ax-mulass 8226  ax-distr 8227  ax-i2m1 8228  ax-0lt1 8229  ax-1rid 8230  ax-0id 8231  ax-rnegex 8232  ax-precex 8233  ax-cnre 8234  ax-pre-ltirr 8235  ax-pre-ltwlin 8236  ax-pre-lttrn 8237  ax-pre-apti 8238  ax-pre-ltadd 8239  ax-pre-mulgt0 8240  ax-pre-mulext 8241  ax-arch 8242  ax-caucvg 8243

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-csb 3138  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-nul 3508  df-if 3620  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-int 3949  df-iun 3992  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-tr 4208  df-id 4413  df-po 4416  df-iso 4417  df-iord 4486  df-on 4488  df-ilim 4489  df-suc 4491  df-iom 4712  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-ima 4761  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355  df-f1 5356  df-fo 5357  df-f1o 5358  df-fv 5359  df-isom 5360  df-riota 6002  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-1st 6333  df-2nd 6334  df-recs 6535  df-irdg 6600  df-frec 6621  df-1o 6646  df-oadd 6650  df-er 6766  df-en 6975  df-dom 6976  df-fin 6977  df-pnf 8306  df-mnf 8307  df-xr 8308  df-ltxr 8309  df-le 8310  df-sub 8442  df-neg 8443  df-reap 8845  df-ap 8852  df-div 8943  df-inn 9234  df-2 9292  df-3 9293  df-4 9294  df-5 9295  df-6 9296  df-n0 9493  df-z 9574  df-uz 9850  df-q 9948  df-rp 9983  df-ico 10223  df-fz 10339  df-fzo 10473  df-seqfrec 10806  df-exp 10897  df-fac 11084  df-ihash 11134  df-cj 11520  df-re 11521  df-im 11522  df-rsqrt 11676  df-abs 11677  df-clim 11957  df-sumdc 12032  df-ef 12327

This theorem is referenced by:  resin4p  12397  recos4p  12398