Theorem isprm5 12053

Description: One need only check prime divisors of 𝑃 up to √𝑃 in order to ensure primality. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)

Assertion

Ref	Expression
isprm5	⊢ (𝑃 ∈ ℙ ↔ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ ℙ ((𝑧↑2) ≤ 𝑃 → ¬ 𝑧 ∥ 𝑃)))

Distinct variable group:   𝑧,𝑃

Proof of Theorem isprm5

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isprm3 12029	. 2 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ ↔ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑥 ∈ (2...(𝑃 − 1)) ¬ 𝑥 ∥ 𝑃))
2		breq1 3979	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 ∥ 𝑃 ↔ 𝑧 ∥ 𝑃))
3	2	notbid 657	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (¬ 𝑥 ∥ 𝑃 ↔ ¬ 𝑧 ∥ 𝑃))
4		simpllr 524	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑥 ∈ (2...(𝑃 − 1)) ¬ 𝑥 ∥ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ ℙ) ∧ (𝑧↑2) ≤ 𝑃) → ∀𝑥 ∈ (2...(𝑃 − 1)) ¬ 𝑥 ∥ 𝑃)
5		2z 9210	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℤ
6	5	a1i 9	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑥 ∈ (2...(𝑃 − 1)) ¬ 𝑥 ∥ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ ℙ) ∧ (𝑧↑2) ≤ 𝑃) → 2 ∈ ℤ)
7		eluzelz 9466	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑃 ∈ ℤ)
8	7	ad3antrrr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑥 ∈ (2...(𝑃 − 1)) ¬ 𝑥 ∥ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ ℙ) ∧ (𝑧↑2) ≤ 𝑃) → 𝑃 ∈ ℤ)
9		peano2zm 9220	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ ℤ → (𝑃 − 1) ∈ ℤ)
10	8, 9	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑥 ∈ (2...(𝑃 − 1)) ¬ 𝑥 ∥ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ ℙ) ∧ (𝑧↑2) ≤ 𝑃) → (𝑃 − 1) ∈ ℤ)
11		prmz 12022	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ℙ → 𝑧 ∈ ℤ)
12	11	ad2antlr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑥 ∈ (2...(𝑃 − 1)) ¬ 𝑥 ∥ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ ℙ) ∧ (𝑧↑2) ≤ 𝑃) → 𝑧 ∈ ℤ)
13	6, 10, 12	3jca 1166	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑥 ∈ (2...(𝑃 − 1)) ¬ 𝑥 ∥ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ ℙ) ∧ (𝑧↑2) ≤ 𝑃) → (2 ∈ ℤ ∧ (𝑃 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ))
14		prmuz2 12042	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ ℙ → 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2))
15		eluzle 9469	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ (ℤ≥‘2) → 2 ≤ 𝑧)
16	14, 15	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ℙ → 2 ≤ 𝑧)
17	16	ad2antlr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑥 ∈ (2...(𝑃 − 1)) ¬ 𝑥 ∥ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ ℙ) ∧ (𝑧↑2) ≤ 𝑃) → 2 ≤ 𝑧)
18		eluzelre 9467	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑧 ∈ ℝ)
19	14, 18	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ ℙ → 𝑧 ∈ ℝ)
20	19	ad2antlr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑥 ∈ (2...(𝑃 − 1)) ¬ 𝑥 ∥ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ ℙ) ∧ (𝑧↑2) ≤ 𝑃) → 𝑧 ∈ ℝ)
21	20	resqcld 10603	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑥 ∈ (2...(𝑃 − 1)) ¬ 𝑥 ∥ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ ℙ) ∧ (𝑧↑2) ≤ 𝑃) → (𝑧↑2) ∈ ℝ)
22		eluzelre 9467	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑃 ∈ ℝ)
23	22	ad3antrrr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑥 ∈ (2...(𝑃 − 1)) ¬ 𝑥 ∥ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ ℙ) ∧ (𝑧↑2) ≤ 𝑃) → 𝑃 ∈ ℝ)
24		prmnn 12021	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 ∈ ℙ → 𝑧 ∈ ℕ)
25	24	nncnd 8862	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 ∈ ℙ → 𝑧 ∈ ℂ)
26	25	exp1d 10572	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 ∈ ℙ → (𝑧↑1) = 𝑧)
27		1lt2 9017	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 < 2
28		1nn0 9121	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 1 ∈ ℕ0
29	28	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 ∈ ℙ → 1 ∈ ℕ0)
30		2nn0 9122	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 2 ∈ ℕ0
31	30	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 ∈ ℙ → 2 ∈ ℕ0)
32		prmgt1 12043	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 ∈ ℙ → 1 < 𝑧)
33		nn0ltexp2 10612	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑧 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℕ0) ∧ 1 < 𝑧) → (1 < 2 ↔ (𝑧↑1) < (𝑧↑2)))
34	19, 29, 31, 32, 33	syl31anc 1230	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 ∈ ℙ → (1 < 2 ↔ (𝑧↑1) < (𝑧↑2)))
35	27, 34	mpbii 147	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 ∈ ℙ → (𝑧↑1) < (𝑧↑2))
36	26, 35	eqbrtrrd 4000	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ ℙ → 𝑧 < (𝑧↑2))
37	36	ad2antlr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑥 ∈ (2...(𝑃 − 1)) ¬ 𝑥 ∥ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ ℙ) ∧ (𝑧↑2) ≤ 𝑃) → 𝑧 < (𝑧↑2))
38		simpr 109	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑥 ∈ (2...(𝑃 − 1)) ¬ 𝑥 ∥ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ ℙ) ∧ (𝑧↑2) ≤ 𝑃) → (𝑧↑2) ≤ 𝑃)
39	20, 21, 23, 37, 38	ltletrd 8312	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑥 ∈ (2...(𝑃 − 1)) ¬ 𝑥 ∥ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ ℙ) ∧ (𝑧↑2) ≤ 𝑃) → 𝑧 < 𝑃)
40		zltlem1 9239	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → (𝑧 < 𝑃 ↔ 𝑧 ≤ (𝑃 − 1)))
41	12, 8, 40	syl2anc 409	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑥 ∈ (2...(𝑃 − 1)) ¬ 𝑥 ∥ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ ℙ) ∧ (𝑧↑2) ≤ 𝑃) → (𝑧 < 𝑃 ↔ 𝑧 ≤ (𝑃 − 1)))
42	39, 41	mpbid 146	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑥 ∈ (2...(𝑃 − 1)) ¬ 𝑥 ∥ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ ℙ) ∧ (𝑧↑2) ≤ 𝑃) → 𝑧 ≤ (𝑃 − 1))
43	17, 42	jca 304	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑥 ∈ (2...(𝑃 − 1)) ¬ 𝑥 ∥ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ ℙ) ∧ (𝑧↑2) ≤ 𝑃) → (2 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ (𝑃 − 1)))
44		elfz2 9942	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ (2...(𝑃 − 1)) ↔ ((2 ∈ ℤ ∧ (𝑃 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ (2 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ (𝑃 − 1))))
45	13, 43, 44	sylanbrc 414	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑥 ∈ (2...(𝑃 − 1)) ¬ 𝑥 ∥ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ ℙ) ∧ (𝑧↑2) ≤ 𝑃) → 𝑧 ∈ (2...(𝑃 − 1)))
46	3, 4, 45	rspcdva 2830	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑥 ∈ (2...(𝑃 − 1)) ¬ 𝑥 ∥ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ ℙ) ∧ (𝑧↑2) ≤ 𝑃) → ¬ 𝑧 ∥ 𝑃)
47	46	ex 114	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑥 ∈ (2...(𝑃 − 1)) ¬ 𝑥 ∥ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ ℙ) → ((𝑧↑2) ≤ 𝑃 → ¬ 𝑧 ∥ 𝑃))
48	47	ralrimiva 2537	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑥 ∈ (2...(𝑃 − 1)) ¬ 𝑥 ∥ 𝑃) → ∀𝑧 ∈ ℙ ((𝑧↑2) ≤ 𝑃 → ¬ 𝑧 ∥ 𝑃))
49		simpll 519	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ ℙ ((𝑧↑2) ≤ 𝑃 → ¬ 𝑧 ∥ 𝑃)) ∧ 𝑥 ∈ (2...(𝑃 − 1))) → 𝑃 ∈ (ℤ≥‘2))
50		simplr 520	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ ℙ ((𝑧↑2) ≤ 𝑃 → ¬ 𝑧 ∥ 𝑃)) ∧ 𝑥 ∈ (2...(𝑃 − 1))) → ∀𝑧 ∈ ℙ ((𝑧↑2) ≤ 𝑃 → ¬ 𝑧 ∥ 𝑃))
51		simpr 109	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ ℙ ((𝑧↑2) ≤ 𝑃 → ¬ 𝑧 ∥ 𝑃)) ∧ 𝑥 ∈ (2...(𝑃 − 1))) → 𝑥 ∈ (2...(𝑃 − 1)))
52	49, 50, 51	isprm5lem 12052	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ ℙ ((𝑧↑2) ≤ 𝑃 → ¬ 𝑧 ∥ 𝑃)) ∧ 𝑥 ∈ (2...(𝑃 − 1))) → ¬ 𝑥 ∥ 𝑃)
53	52	ralrimiva 2537	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ ℙ ((𝑧↑2) ≤ 𝑃 → ¬ 𝑧 ∥ 𝑃)) → ∀𝑥 ∈ (2...(𝑃 − 1)) ¬ 𝑥 ∥ 𝑃)
54	48, 53	impbida 586	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → (∀𝑥 ∈ (2...(𝑃 − 1)) ¬ 𝑥 ∥ 𝑃 ↔ ∀𝑧 ∈ ℙ ((𝑧↑2) ≤ 𝑃 → ¬ 𝑧 ∥ 𝑃)))
55	54	pm5.32i 450	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑥 ∈ (2...(𝑃 − 1)) ¬ 𝑥 ∥ 𝑃) ↔ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ ℙ ((𝑧↑2) ≤ 𝑃 → ¬ 𝑧 ∥ 𝑃)))
56	1, 55	bitri 183	1 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ ↔ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ ℙ ((𝑧↑2) ≤ 𝑃 → ¬ 𝑧 ∥ 𝑃)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∧ w3a 967   ∈ wcel 2135  ∀wral 2442   class class class wbr 3976  ‘cfv 5182  (class class class)co 5836  ℝcr 7743  1c1 7745   < clt 7924   ≤ cle 7925   − cmin 8060  2c2 8899  ℕ₀cn0 9105  ℤcz 9182  ℤ_≥cuz 9457  ...cfz 9935  ↑cexp 10444   ∥ cdvds 11713  ℙcprime 12018

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-13 2137  ax-14 2138  ax-ext 2146  ax-coll 4091  ax-sep 4094  ax-nul 4102  ax-pow 4147  ax-pr 4181  ax-un 4405  ax-setind 4508  ax-iinf 4559  ax-cnex 7835  ax-resscn 7836  ax-1cn 7837  ax-1re 7838  ax-icn 7839  ax-addcl 7840  ax-addrcl 7841  ax-mulcl 7842  ax-mulrcl 7843  ax-addcom 7844  ax-mulcom 7845  ax-addass 7846  ax-mulass 7847  ax-distr 7848  ax-i2m1 7849  ax-0lt1 7850  ax-1rid 7851  ax-0id 7852  ax-rnegex 7853  ax-precex 7854  ax-cnre 7855  ax-pre-ltirr 7856  ax-pre-ltwlin 7857  ax-pre-lttrn 7858  ax-pre-apti 7859  ax-pre-ltadd 7860  ax-pre-mulgt0 7861  ax-pre-mulext 7862  ax-arch 7863  ax-caucvg 7864

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 821  df-dc 825  df-3or 968  df-3an 969  df-tru 1345  df-fal 1348  df-nf 1448  df-sb 1750  df-eu 2016  df-mo 2017  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-ne 2335  df-nel 2430  df-ral 2447  df-rex 2448  df-reu 2449  df-rmo 2450  df-rab 2451  df-v 2723  df-sbc 2947  df-csb 3041  df-dif 3113  df-un 3115  df-in 3117  df-ss 3124  df-nul 3405  df-if 3516  df-pw 3555  df-sn 3576  df-pr 3577  df-op 3579  df-uni 3784  df-int 3819  df-iun 3862  df-br 3977  df-opab 4038  df-mpt 4039  df-tr 4075  df-id 4265  df-po 4268  df-iso 4269  df-iord 4338  df-on 4340  df-ilim 4341  df-suc 4343  df-iom 4562  df-xp 4604  df-rel 4605  df-cnv 4606  df-co 4607  df-dm 4608  df-rn 4609  df-res 4610  df-ima 4611  df-iota 5147  df-fun 5184  df-fn 5185  df-f 5186  df-f1 5187  df-fo 5188  df-f1o 5189  df-fv 5190  df-riota 5792  df-ov 5839  df-oprab 5840  df-mpo 5841  df-1st 6100  df-2nd 6101  df-recs 6264  df-frec 6350  df-1o 6375  df-2o 6376  df-er 6492  df-en 6698  df-pnf 7926  df-mnf 7927  df-xr 7928  df-ltxr 7929  df-le 7930  df-sub 8062  df-neg 8063  df-reap 8464  df-ap 8471  df-div 8560  df-inn 8849  df-2 8907  df-3 8908  df-4 8909  df-n0 9106  df-z 9183  df-uz 9458  df-q 9549  df-rp 9581  df-fz 9936  df-fzo 10068  df-fl 10195  df-mod 10248  df-seqfrec 10371  df-exp 10445  df-cj 10770  df-re 10771  df-im 10772  df-rsqrt 10926  df-abs 10927  df-dvds 11714  df-prm 12019

This theorem is referenced by:  pockthg  12266