Theorem isprm5 12083

Description: One need only check prime divisors of 𝑃 up to √𝑃 in order to ensure primality. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)

Assertion

Ref	Expression
isprm5	⊢ (𝑃 ∈ ℙ ↔ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ ℙ ((𝑧↑2) ≤ 𝑃 → ¬ 𝑧 ∥ 𝑃)))

Distinct variable group:   𝑧,𝑃

Proof of Theorem isprm5

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isprm3 12059	. 2 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ ↔ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑥 ∈ (2...(𝑃 − 1)) ¬ 𝑥 ∥ 𝑃))
2		breq1 3990	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 ∥ 𝑃 ↔ 𝑧 ∥ 𝑃))
3	2	notbid 662	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (¬ 𝑥 ∥ 𝑃 ↔ ¬ 𝑧 ∥ 𝑃))
4		simpllr 529	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑥 ∈ (2...(𝑃 − 1)) ¬ 𝑥 ∥ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ ℙ) ∧ (𝑧↑2) ≤ 𝑃) → ∀𝑥 ∈ (2...(𝑃 − 1)) ¬ 𝑥 ∥ 𝑃)
5		2z 9227	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℤ
6	5	a1i 9	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑥 ∈ (2...(𝑃 − 1)) ¬ 𝑥 ∥ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ ℙ) ∧ (𝑧↑2) ≤ 𝑃) → 2 ∈ ℤ)
7		eluzelz 9483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑃 ∈ ℤ)
8	7	ad3antrrr 489	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑥 ∈ (2...(𝑃 − 1)) ¬ 𝑥 ∥ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ ℙ) ∧ (𝑧↑2) ≤ 𝑃) → 𝑃 ∈ ℤ)
9		peano2zm 9237	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ ℤ → (𝑃 − 1) ∈ ℤ)
10	8, 9	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑥 ∈ (2...(𝑃 − 1)) ¬ 𝑥 ∥ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ ℙ) ∧ (𝑧↑2) ≤ 𝑃) → (𝑃 − 1) ∈ ℤ)
11		prmz 12052	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ℙ → 𝑧 ∈ ℤ)
12	11	ad2antlr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑥 ∈ (2...(𝑃 − 1)) ¬ 𝑥 ∥ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ ℙ) ∧ (𝑧↑2) ≤ 𝑃) → 𝑧 ∈ ℤ)
13	6, 10, 12	3jca 1172	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑥 ∈ (2...(𝑃 − 1)) ¬ 𝑥 ∥ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ ℙ) ∧ (𝑧↑2) ≤ 𝑃) → (2 ∈ ℤ ∧ (𝑃 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ))
14		prmuz2 12072	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ ℙ → 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2))
15		eluzle 9486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ (ℤ≥‘2) → 2 ≤ 𝑧)
16	14, 15	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ℙ → 2 ≤ 𝑧)
17	16	ad2antlr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑥 ∈ (2...(𝑃 − 1)) ¬ 𝑥 ∥ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ ℙ) ∧ (𝑧↑2) ≤ 𝑃) → 2 ≤ 𝑧)
18		eluzelre 9484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑧 ∈ ℝ)
19	14, 18	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ ℙ → 𝑧 ∈ ℝ)
20	19	ad2antlr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑥 ∈ (2...(𝑃 − 1)) ¬ 𝑥 ∥ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ ℙ) ∧ (𝑧↑2) ≤ 𝑃) → 𝑧 ∈ ℝ)
21	20	resqcld 10622	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑥 ∈ (2...(𝑃 − 1)) ¬ 𝑥 ∥ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ ℙ) ∧ (𝑧↑2) ≤ 𝑃) → (𝑧↑2) ∈ ℝ)
22		eluzelre 9484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑃 ∈ ℝ)
23	22	ad3antrrr 489	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑥 ∈ (2...(𝑃 − 1)) ¬ 𝑥 ∥ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ ℙ) ∧ (𝑧↑2) ≤ 𝑃) → 𝑃 ∈ ℝ)
24		prmnn 12051	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 ∈ ℙ → 𝑧 ∈ ℕ)
25	24	nncnd 8879	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 ∈ ℙ → 𝑧 ∈ ℂ)
26	25	exp1d 10591	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 ∈ ℙ → (𝑧↑1) = 𝑧)
27		1lt2 9034	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 < 2
28		1nn0 9138	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 1 ∈ ℕ0
29	28	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 ∈ ℙ → 1 ∈ ℕ0)
30		2nn0 9139	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 2 ∈ ℕ0
31	30	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 ∈ ℙ → 2 ∈ ℕ0)
32		prmgt1 12073	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 ∈ ℙ → 1 < 𝑧)
33		nn0ltexp2 10631	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑧 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℕ0) ∧ 1 < 𝑧) → (1 < 2 ↔ (𝑧↑1) < (𝑧↑2)))
34	19, 29, 31, 32, 33	syl31anc 1236	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 ∈ ℙ → (1 < 2 ↔ (𝑧↑1) < (𝑧↑2)))
35	27, 34	mpbii 147	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 ∈ ℙ → (𝑧↑1) < (𝑧↑2))
36	26, 35	eqbrtrrd 4011	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ ℙ → 𝑧 < (𝑧↑2))
37	36	ad2antlr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑥 ∈ (2...(𝑃 − 1)) ¬ 𝑥 ∥ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ ℙ) ∧ (𝑧↑2) ≤ 𝑃) → 𝑧 < (𝑧↑2))
38		simpr 109	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑥 ∈ (2...(𝑃 − 1)) ¬ 𝑥 ∥ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ ℙ) ∧ (𝑧↑2) ≤ 𝑃) → (𝑧↑2) ≤ 𝑃)
39	20, 21, 23, 37, 38	ltletrd 8329	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑥 ∈ (2...(𝑃 − 1)) ¬ 𝑥 ∥ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ ℙ) ∧ (𝑧↑2) ≤ 𝑃) → 𝑧 < 𝑃)
40		zltlem1 9256	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → (𝑧 < 𝑃 ↔ 𝑧 ≤ (𝑃 − 1)))
41	12, 8, 40	syl2anc 409	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑥 ∈ (2...(𝑃 − 1)) ¬ 𝑥 ∥ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ ℙ) ∧ (𝑧↑2) ≤ 𝑃) → (𝑧 < 𝑃 ↔ 𝑧 ≤ (𝑃 − 1)))
42	39, 41	mpbid 146	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑥 ∈ (2...(𝑃 − 1)) ¬ 𝑥 ∥ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ ℙ) ∧ (𝑧↑2) ≤ 𝑃) → 𝑧 ≤ (𝑃 − 1))
43	17, 42	jca 304	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑥 ∈ (2...(𝑃 − 1)) ¬ 𝑥 ∥ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ ℙ) ∧ (𝑧↑2) ≤ 𝑃) → (2 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ (𝑃 − 1)))
44		elfz2 9959	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ (2...(𝑃 − 1)) ↔ ((2 ∈ ℤ ∧ (𝑃 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ (2 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ (𝑃 − 1))))
45	13, 43, 44	sylanbrc 415	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑥 ∈ (2...(𝑃 − 1)) ¬ 𝑥 ∥ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ ℙ) ∧ (𝑧↑2) ≤ 𝑃) → 𝑧 ∈ (2...(𝑃 − 1)))
46	3, 4, 45	rspcdva 2839	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑥 ∈ (2...(𝑃 − 1)) ¬ 𝑥 ∥ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ ℙ) ∧ (𝑧↑2) ≤ 𝑃) → ¬ 𝑧 ∥ 𝑃)
47	46	ex 114	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑥 ∈ (2...(𝑃 − 1)) ¬ 𝑥 ∥ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ ℙ) → ((𝑧↑2) ≤ 𝑃 → ¬ 𝑧 ∥ 𝑃))
48	47	ralrimiva 2543	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑥 ∈ (2...(𝑃 − 1)) ¬ 𝑥 ∥ 𝑃) → ∀𝑧 ∈ ℙ ((𝑧↑2) ≤ 𝑃 → ¬ 𝑧 ∥ 𝑃))
49		simpll 524	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ ℙ ((𝑧↑2) ≤ 𝑃 → ¬ 𝑧 ∥ 𝑃)) ∧ 𝑥 ∈ (2...(𝑃 − 1))) → 𝑃 ∈ (ℤ≥‘2))
50		simplr 525	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ ℙ ((𝑧↑2) ≤ 𝑃 → ¬ 𝑧 ∥ 𝑃)) ∧ 𝑥 ∈ (2...(𝑃 − 1))) → ∀𝑧 ∈ ℙ ((𝑧↑2) ≤ 𝑃 → ¬ 𝑧 ∥ 𝑃))
51		simpr 109	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ ℙ ((𝑧↑2) ≤ 𝑃 → ¬ 𝑧 ∥ 𝑃)) ∧ 𝑥 ∈ (2...(𝑃 − 1))) → 𝑥 ∈ (2...(𝑃 − 1)))
52	49, 50, 51	isprm5lem 12082	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ ℙ ((𝑧↑2) ≤ 𝑃 → ¬ 𝑧 ∥ 𝑃)) ∧ 𝑥 ∈ (2...(𝑃 − 1))) → ¬ 𝑥 ∥ 𝑃)
53	52	ralrimiva 2543	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ ℙ ((𝑧↑2) ≤ 𝑃 → ¬ 𝑧 ∥ 𝑃)) → ∀𝑥 ∈ (2...(𝑃 − 1)) ¬ 𝑥 ∥ 𝑃)
54	48, 53	impbida 591	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → (∀𝑥 ∈ (2...(𝑃 − 1)) ¬ 𝑥 ∥ 𝑃 ↔ ∀𝑧 ∈ ℙ ((𝑧↑2) ≤ 𝑃 → ¬ 𝑧 ∥ 𝑃)))
55	54	pm5.32i 451	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑥 ∈ (2...(𝑃 − 1)) ¬ 𝑥 ∥ 𝑃) ↔ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ ℙ ((𝑧↑2) ≤ 𝑃 → ¬ 𝑧 ∥ 𝑃)))
56	1, 55	bitri 183	1 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ ↔ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ ℙ ((𝑧↑2) ≤ 𝑃 → ¬ 𝑧 ∥ 𝑃)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∧ w3a 973   ∈ wcel 2141  ∀wral 2448   class class class wbr 3987  ‘cfv 5196  (class class class)co 5850  ℝcr 7760  1c1 7762   < clt 7941   ≤ cle 7942   − cmin 8077  2c2 8916  ℕ₀cn0 9122  ℤcz 9199  ℤ_≥cuz 9474  ...cfz 9952  ↑cexp 10462   ∥ cdvds 11736  ℙcprime 12048

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4102  ax-sep 4105  ax-nul 4113  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-iinf 4570  ax-cnex 7852  ax-resscn 7853  ax-1cn 7854  ax-1re 7855  ax-icn 7856  ax-addcl 7857  ax-addrcl 7858  ax-mulcl 7859  ax-mulrcl 7860  ax-addcom 7861  ax-mulcom 7862  ax-addass 7863  ax-mulass 7864  ax-distr 7865  ax-i2m1 7866  ax-0lt1 7867  ax-1rid 7868  ax-0id 7869  ax-rnegex 7870  ax-precex 7871  ax-cnre 7872  ax-pre-ltirr 7873  ax-pre-ltwlin 7874  ax-pre-lttrn 7875  ax-pre-apti 7876  ax-pre-ltadd 7877  ax-pre-mulgt0 7878  ax-pre-mulext 7879  ax-arch 7880  ax-caucvg 7881

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 826  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3526  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-int 3830  df-iun 3873  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-tr 4086  df-id 4276  df-po 4279  df-iso 4280  df-iord 4349  df-on 4351  df-ilim 4352  df-suc 4354  df-iom 4573  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-res 4621  df-ima 4622  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-f1 5201  df-fo 5202  df-f1o 5203  df-fv 5204  df-riota 5806  df-ov 5853  df-oprab 5854  df-mpo 5855  df-1st 6116  df-2nd 6117  df-recs 6281  df-frec 6367  df-1o 6392  df-2o 6393  df-er 6509  df-en 6715  df-pnf 7943  df-mnf 7944  df-xr 7945  df-ltxr 7946  df-le 7947  df-sub 8079  df-neg 8080  df-reap 8481  df-ap 8488  df-div 8577  df-inn 8866  df-2 8924  df-3 8925  df-4 8926  df-n0 9123  df-z 9200  df-uz 9475  df-q 9566  df-rp 9598  df-fz 9953  df-fzo 10086  df-fl 10213  df-mod 10266  df-seqfrec 10389  df-exp 10463  df-cj 10793  df-re 10794  df-im 10795  df-rsqrt 10949  df-abs 10950  df-dvds 11737  df-prm 12049

This theorem is referenced by:  pockthg  12296