Theorem isprm5 12737

Description: One need only check prime divisors of 𝑃 up to √𝑃 in order to ensure primality. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)

Assertion

Ref	Expression
isprm5	⊢ (𝑃 ∈ ℙ ↔ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ ℙ ((𝑧↑2) ≤ 𝑃 → ¬ 𝑧 ∥ 𝑃)))

Distinct variable group:   𝑧,𝑃

Proof of Theorem isprm5

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isprm3 12713	. 2 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ ↔ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑥 ∈ (2...(𝑃 − 1)) ¬ 𝑥 ∥ 𝑃))
2		breq1 4092	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 ∥ 𝑃 ↔ 𝑧 ∥ 𝑃))
3	2	notbid 673	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (¬ 𝑥 ∥ 𝑃 ↔ ¬ 𝑧 ∥ 𝑃))
4		simpllr 536	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑥 ∈ (2...(𝑃 − 1)) ¬ 𝑥 ∥ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ ℙ) ∧ (𝑧↑2) ≤ 𝑃) → ∀𝑥 ∈ (2...(𝑃 − 1)) ¬ 𝑥 ∥ 𝑃)
5		2z 9512	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℤ
6	5	a1i 9	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑥 ∈ (2...(𝑃 − 1)) ¬ 𝑥 ∥ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ ℙ) ∧ (𝑧↑2) ≤ 𝑃) → 2 ∈ ℤ)
7		eluzelz 9770	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑃 ∈ ℤ)
8	7	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑥 ∈ (2...(𝑃 − 1)) ¬ 𝑥 ∥ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ ℙ) ∧ (𝑧↑2) ≤ 𝑃) → 𝑃 ∈ ℤ)
9		peano2zm 9522	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ ℤ → (𝑃 − 1) ∈ ℤ)
10	8, 9	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑥 ∈ (2...(𝑃 − 1)) ¬ 𝑥 ∥ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ ℙ) ∧ (𝑧↑2) ≤ 𝑃) → (𝑃 − 1) ∈ ℤ)
11		prmz 12706	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ℙ → 𝑧 ∈ ℤ)
12	11	ad2antlr 489	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑥 ∈ (2...(𝑃 − 1)) ¬ 𝑥 ∥ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ ℙ) ∧ (𝑧↑2) ≤ 𝑃) → 𝑧 ∈ ℤ)
13	6, 10, 12	3jca 1203	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑥 ∈ (2...(𝑃 − 1)) ¬ 𝑥 ∥ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ ℙ) ∧ (𝑧↑2) ≤ 𝑃) → (2 ∈ ℤ ∧ (𝑃 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ))
14		prmuz2 12726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ ℙ → 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2))
15		eluzle 9773	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ (ℤ≥‘2) → 2 ≤ 𝑧)
16	14, 15	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ℙ → 2 ≤ 𝑧)
17	16	ad2antlr 489	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑥 ∈ (2...(𝑃 − 1)) ¬ 𝑥 ∥ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ ℙ) ∧ (𝑧↑2) ≤ 𝑃) → 2 ≤ 𝑧)
18		eluzelre 9771	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑧 ∈ ℝ)
19	14, 18	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ ℙ → 𝑧 ∈ ℝ)
20	19	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑥 ∈ (2...(𝑃 − 1)) ¬ 𝑥 ∥ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ ℙ) ∧ (𝑧↑2) ≤ 𝑃) → 𝑧 ∈ ℝ)
21	20	resqcld 10967	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑥 ∈ (2...(𝑃 − 1)) ¬ 𝑥 ∥ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ ℙ) ∧ (𝑧↑2) ≤ 𝑃) → (𝑧↑2) ∈ ℝ)
22		eluzelre 9771	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑃 ∈ ℝ)
23	22	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑥 ∈ (2...(𝑃 − 1)) ¬ 𝑥 ∥ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ ℙ) ∧ (𝑧↑2) ≤ 𝑃) → 𝑃 ∈ ℝ)
24		prmnn 12705	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 ∈ ℙ → 𝑧 ∈ ℕ)
25	24	nncnd 9162	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 ∈ ℙ → 𝑧 ∈ ℂ)
26	25	exp1d 10936	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 ∈ ℙ → (𝑧↑1) = 𝑧)
27		1lt2 9318	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 < 2
28		1nn0 9423	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 1 ∈ ℕ0
29	28	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 ∈ ℙ → 1 ∈ ℕ0)
30		2nn0 9424	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 2 ∈ ℕ0
31	30	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 ∈ ℙ → 2 ∈ ℕ0)
32		prmgt1 12727	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 ∈ ℙ → 1 < 𝑧)
33		nn0ltexp2 10977	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑧 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℕ0) ∧ 1 < 𝑧) → (1 < 2 ↔ (𝑧↑1) < (𝑧↑2)))
34	19, 29, 31, 32, 33	syl31anc 1276	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 ∈ ℙ → (1 < 2 ↔ (𝑧↑1) < (𝑧↑2)))
35	27, 34	mpbii 148	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 ∈ ℙ → (𝑧↑1) < (𝑧↑2))
36	26, 35	eqbrtrrd 4113	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ ℙ → 𝑧 < (𝑧↑2))
37	36	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑥 ∈ (2...(𝑃 − 1)) ¬ 𝑥 ∥ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ ℙ) ∧ (𝑧↑2) ≤ 𝑃) → 𝑧 < (𝑧↑2))
38		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑥 ∈ (2...(𝑃 − 1)) ¬ 𝑥 ∥ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ ℙ) ∧ (𝑧↑2) ≤ 𝑃) → (𝑧↑2) ≤ 𝑃)
39	20, 21, 23, 37, 38	ltletrd 8608	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑥 ∈ (2...(𝑃 − 1)) ¬ 𝑥 ∥ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ ℙ) ∧ (𝑧↑2) ≤ 𝑃) → 𝑧 < 𝑃)
40		zltlem1 9542	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → (𝑧 < 𝑃 ↔ 𝑧 ≤ (𝑃 − 1)))
41	12, 8, 40	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑥 ∈ (2...(𝑃 − 1)) ¬ 𝑥 ∥ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ ℙ) ∧ (𝑧↑2) ≤ 𝑃) → (𝑧 < 𝑃 ↔ 𝑧 ≤ (𝑃 − 1)))
42	39, 41	mpbid 147	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑥 ∈ (2...(𝑃 − 1)) ¬ 𝑥 ∥ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ ℙ) ∧ (𝑧↑2) ≤ 𝑃) → 𝑧 ≤ (𝑃 − 1))
43	17, 42	jca 306	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑥 ∈ (2...(𝑃 − 1)) ¬ 𝑥 ∥ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ ℙ) ∧ (𝑧↑2) ≤ 𝑃) → (2 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ (𝑃 − 1)))
44		elfz2 10255	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ (2...(𝑃 − 1)) ↔ ((2 ∈ ℤ ∧ (𝑃 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ (2 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ (𝑃 − 1))))
45	13, 43, 44	sylanbrc 417	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑥 ∈ (2...(𝑃 − 1)) ¬ 𝑥 ∥ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ ℙ) ∧ (𝑧↑2) ≤ 𝑃) → 𝑧 ∈ (2...(𝑃 − 1)))
46	3, 4, 45	rspcdva 2914	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑥 ∈ (2...(𝑃 − 1)) ¬ 𝑥 ∥ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ ℙ) ∧ (𝑧↑2) ≤ 𝑃) → ¬ 𝑧 ∥ 𝑃)
47	46	ex 115	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑥 ∈ (2...(𝑃 − 1)) ¬ 𝑥 ∥ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ ℙ) → ((𝑧↑2) ≤ 𝑃 → ¬ 𝑧 ∥ 𝑃))
48	47	ralrimiva 2604	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑥 ∈ (2...(𝑃 − 1)) ¬ 𝑥 ∥ 𝑃) → ∀𝑧 ∈ ℙ ((𝑧↑2) ≤ 𝑃 → ¬ 𝑧 ∥ 𝑃))
49		simpll 527	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ ℙ ((𝑧↑2) ≤ 𝑃 → ¬ 𝑧 ∥ 𝑃)) ∧ 𝑥 ∈ (2...(𝑃 − 1))) → 𝑃 ∈ (ℤ≥‘2))
50		simplr 529	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ ℙ ((𝑧↑2) ≤ 𝑃 → ¬ 𝑧 ∥ 𝑃)) ∧ 𝑥 ∈ (2...(𝑃 − 1))) → ∀𝑧 ∈ ℙ ((𝑧↑2) ≤ 𝑃 → ¬ 𝑧 ∥ 𝑃))
51		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ ℙ ((𝑧↑2) ≤ 𝑃 → ¬ 𝑧 ∥ 𝑃)) ∧ 𝑥 ∈ (2...(𝑃 − 1))) → 𝑥 ∈ (2...(𝑃 − 1)))
52	49, 50, 51	isprm5lem 12736	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ ℙ ((𝑧↑2) ≤ 𝑃 → ¬ 𝑧 ∥ 𝑃)) ∧ 𝑥 ∈ (2...(𝑃 − 1))) → ¬ 𝑥 ∥ 𝑃)
53	52	ralrimiva 2604	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ ℙ ((𝑧↑2) ≤ 𝑃 → ¬ 𝑧 ∥ 𝑃)) → ∀𝑥 ∈ (2...(𝑃 − 1)) ¬ 𝑥 ∥ 𝑃)
54	48, 53	impbida 600	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → (∀𝑥 ∈ (2...(𝑃 − 1)) ¬ 𝑥 ∥ 𝑃 ↔ ∀𝑧 ∈ ℙ ((𝑧↑2) ≤ 𝑃 → ¬ 𝑧 ∥ 𝑃)))
55	54	pm5.32i 454	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑥 ∈ (2...(𝑃 − 1)) ¬ 𝑥 ∥ 𝑃) ↔ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ ℙ ((𝑧↑2) ≤ 𝑃 → ¬ 𝑧 ∥ 𝑃)))
56	1, 55	bitri 184	1 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ ↔ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ ℙ ((𝑧↑2) ≤ 𝑃 → ¬ 𝑧 ∥ 𝑃)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1004   ∈ wcel 2201  ∀wral 2509   class class class wbr 4089  ‘cfv 5328  (class class class)co 6023  ℝcr 8036  1c1 8038   < clt 8219   ≤ cle 8220   − cmin 8355  2c2 9199  ℕ₀cn0 9407  ℤcz 9484  ℤ_≥cuz 9760  ...cfz 10248  ↑cexp 10806   ∥ cdvds 12371  ℙcprime 12702

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2203  ax-14 2204  ax-ext 2212  ax-coll 4205  ax-sep 4208  ax-nul 4216  ax-pow 4266  ax-pr 4301  ax-un 4532  ax-setind 4637  ax-iinf 4688  ax-cnex 8128  ax-resscn 8129  ax-1cn 8130  ax-1re 8131  ax-icn 8132  ax-addcl 8133  ax-addrcl 8134  ax-mulcl 8135  ax-mulrcl 8136  ax-addcom 8137  ax-mulcom 8138  ax-addass 8139  ax-mulass 8140  ax-distr 8141  ax-i2m1 8142  ax-0lt1 8143  ax-1rid 8144  ax-0id 8145  ax-rnegex 8146  ax-precex 8147  ax-cnre 8148  ax-pre-ltirr 8149  ax-pre-ltwlin 8150  ax-pre-lttrn 8151  ax-pre-apti 8152  ax-pre-ltadd 8153  ax-pre-mulgt0 8154  ax-pre-mulext 8155  ax-arch 8156  ax-caucvg 8157

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 838  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1810  df-eu 2081  df-mo 2082  df-clab 2217  df-cleq 2223  df-clel 2226  df-nfc 2362  df-ne 2402  df-nel 2497  df-ral 2514  df-rex 2515  df-reu 2516  df-rmo 2517  df-rab 2518  df-v 2803  df-sbc 3031  df-csb 3127  df-dif 3201  df-un 3203  df-in 3205  df-ss 3212  df-nul 3494  df-if 3605  df-pw 3655  df-sn 3676  df-pr 3677  df-op 3679  df-uni 3895  df-int 3930  df-iun 3973  df-br 4090  df-opab 4152  df-mpt 4153  df-tr 4189  df-id 4392  df-po 4395  df-iso 4396  df-iord 4465  df-on 4467  df-ilim 4468  df-suc 4470  df-iom 4691  df-xp 4733  df-rel 4734  df-cnv 4735  df-co 4736  df-dm 4737  df-rn 4738  df-res 4739  df-ima 4740  df-iota 5288  df-fun 5330  df-fn 5331  df-f 5332  df-f1 5333  df-fo 5334  df-f1o 5335  df-fv 5336  df-riota 5976  df-ov 6026  df-oprab 6027  df-mpo 6028  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-recs 6476  df-frec 6562  df-1o 6587  df-2o 6588  df-er 6707  df-en 6915  df-pnf 8221  df-mnf 8222  df-xr 8223  df-ltxr 8224  df-le 8225  df-sub 8357  df-neg 8358  df-reap 8760  df-ap 8767  df-div 8858  df-inn 9149  df-2 9207  df-3 9208  df-4 9209  df-n0 9408  df-z 9485  df-uz 9761  df-q 9859  df-rp 9894  df-fz 10249  df-fzo 10383  df-fl 10536  df-mod 10591  df-seqfrec 10716  df-exp 10807  df-cj 11425  df-re 11426  df-im 11427  df-rsqrt 11581  df-abs 11582  df-dvds 12372  df-prm 12703

This theorem is referenced by:  pockthg  12953