Theorem isprm5 12832

Description: One need only check prime divisors of 𝑃 up to √𝑃 in order to ensure primality. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)

Assertion

Ref	Expression
isprm5	⊢ (𝑃 ∈ ℙ ↔ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ ℙ ((𝑧↑2) ≤ 𝑃 → ¬ 𝑧 ∥ 𝑃)))

Distinct variable group:   𝑧,𝑃

Proof of Theorem isprm5

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isprm3 12808	. 2 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ ↔ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑥 ∈ (2...(𝑃 − 1)) ¬ 𝑥 ∥ 𝑃))
2		breq1 4111	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 ∥ 𝑃 ↔ 𝑧 ∥ 𝑃))
3	2	notbid 673	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (¬ 𝑥 ∥ 𝑃 ↔ ¬ 𝑧 ∥ 𝑃))
4		simpllr 536	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑥 ∈ (2...(𝑃 − 1)) ¬ 𝑥 ∥ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ ℙ) ∧ (𝑧↑2) ≤ 𝑃) → ∀𝑥 ∈ (2...(𝑃 − 1)) ¬ 𝑥 ∥ 𝑃)
5		2z 9601	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℤ
6	5	a1i 9	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑥 ∈ (2...(𝑃 − 1)) ¬ 𝑥 ∥ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ ℙ) ∧ (𝑧↑2) ≤ 𝑃) → 2 ∈ ℤ)
7		eluzelz 9859	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑃 ∈ ℤ)
8	7	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑥 ∈ (2...(𝑃 − 1)) ¬ 𝑥 ∥ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ ℙ) ∧ (𝑧↑2) ≤ 𝑃) → 𝑃 ∈ ℤ)
9		peano2zm 9611	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ ℤ → (𝑃 − 1) ∈ ℤ)
10	8, 9	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑥 ∈ (2...(𝑃 − 1)) ¬ 𝑥 ∥ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ ℙ) ∧ (𝑧↑2) ≤ 𝑃) → (𝑃 − 1) ∈ ℤ)
11		prmz 12801	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ℙ → 𝑧 ∈ ℤ)
12	11	ad2antlr 489	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑥 ∈ (2...(𝑃 − 1)) ¬ 𝑥 ∥ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ ℙ) ∧ (𝑧↑2) ≤ 𝑃) → 𝑧 ∈ ℤ)
13	6, 10, 12	3jca 1204	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑥 ∈ (2...(𝑃 − 1)) ¬ 𝑥 ∥ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ ℙ) ∧ (𝑧↑2) ≤ 𝑃) → (2 ∈ ℤ ∧ (𝑃 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ))
14		prmuz2 12821	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ ℙ → 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2))
15		eluzle 9862	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ (ℤ≥‘2) → 2 ≤ 𝑧)
16	14, 15	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ℙ → 2 ≤ 𝑧)
17	16	ad2antlr 489	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑥 ∈ (2...(𝑃 − 1)) ¬ 𝑥 ∥ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ ℙ) ∧ (𝑧↑2) ≤ 𝑃) → 2 ≤ 𝑧)
18		eluzelre 9860	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑧 ∈ ℝ)
19	14, 18	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ ℙ → 𝑧 ∈ ℝ)
20	19	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑥 ∈ (2...(𝑃 − 1)) ¬ 𝑥 ∥ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ ℙ) ∧ (𝑧↑2) ≤ 𝑃) → 𝑧 ∈ ℝ)
21	20	resqcld 11057	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑥 ∈ (2...(𝑃 − 1)) ¬ 𝑥 ∥ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ ℙ) ∧ (𝑧↑2) ≤ 𝑃) → (𝑧↑2) ∈ ℝ)
22		eluzelre 9860	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑃 ∈ ℝ)
23	22	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑥 ∈ (2...(𝑃 − 1)) ¬ 𝑥 ∥ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ ℙ) ∧ (𝑧↑2) ≤ 𝑃) → 𝑃 ∈ ℝ)
24		prmnn 12800	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 ∈ ℙ → 𝑧 ∈ ℕ)
25	24	nncnd 9247	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 ∈ ℙ → 𝑧 ∈ ℂ)
26	25	exp1d 11026	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 ∈ ℙ → (𝑧↑1) = 𝑧)
27		1lt2 9403	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 < 2
28		1nn0 9508	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 1 ∈ ℕ0
29	28	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 ∈ ℙ → 1 ∈ ℕ0)
30		2nn0 9509	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 2 ∈ ℕ0
31	30	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 ∈ ℙ → 2 ∈ ℕ0)
32		prmgt1 12822	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 ∈ ℙ → 1 < 𝑧)
33		nn0ltexp2 11067	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑧 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℕ0) ∧ 1 < 𝑧) → (1 < 2 ↔ (𝑧↑1) < (𝑧↑2)))
34	19, 29, 31, 32, 33	syl31anc 1277	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 ∈ ℙ → (1 < 2 ↔ (𝑧↑1) < (𝑧↑2)))
35	27, 34	mpbii 148	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 ∈ ℙ → (𝑧↑1) < (𝑧↑2))
36	26, 35	eqbrtrrd 4132	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ ℙ → 𝑧 < (𝑧↑2))
37	36	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑥 ∈ (2...(𝑃 − 1)) ¬ 𝑥 ∥ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ ℙ) ∧ (𝑧↑2) ≤ 𝑃) → 𝑧 < (𝑧↑2))
38		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑥 ∈ (2...(𝑃 − 1)) ¬ 𝑥 ∥ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ ℙ) ∧ (𝑧↑2) ≤ 𝑃) → (𝑧↑2) ≤ 𝑃)
39	20, 21, 23, 37, 38	ltletrd 8693	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑥 ∈ (2...(𝑃 − 1)) ¬ 𝑥 ∥ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ ℙ) ∧ (𝑧↑2) ≤ 𝑃) → 𝑧 < 𝑃)
40		zltlem1 9631	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → (𝑧 < 𝑃 ↔ 𝑧 ≤ (𝑃 − 1)))
41	12, 8, 40	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑥 ∈ (2...(𝑃 − 1)) ¬ 𝑥 ∥ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ ℙ) ∧ (𝑧↑2) ≤ 𝑃) → (𝑧 < 𝑃 ↔ 𝑧 ≤ (𝑃 − 1)))
42	39, 41	mpbid 147	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑥 ∈ (2...(𝑃 − 1)) ¬ 𝑥 ∥ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ ℙ) ∧ (𝑧↑2) ≤ 𝑃) → 𝑧 ≤ (𝑃 − 1))
43	17, 42	jca 306	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑥 ∈ (2...(𝑃 − 1)) ¬ 𝑥 ∥ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ ℙ) ∧ (𝑧↑2) ≤ 𝑃) → (2 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ (𝑃 − 1)))
44		elfz2 10345	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ (2...(𝑃 − 1)) ↔ ((2 ∈ ℤ ∧ (𝑃 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ (2 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ (𝑃 − 1))))
45	13, 43, 44	sylanbrc 417	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑥 ∈ (2...(𝑃 − 1)) ¬ 𝑥 ∥ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ ℙ) ∧ (𝑧↑2) ≤ 𝑃) → 𝑧 ∈ (2...(𝑃 − 1)))
46	3, 4, 45	rspcdva 2925	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑥 ∈ (2...(𝑃 − 1)) ¬ 𝑥 ∥ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ ℙ) ∧ (𝑧↑2) ≤ 𝑃) → ¬ 𝑧 ∥ 𝑃)
47	46	ex 115	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑥 ∈ (2...(𝑃 − 1)) ¬ 𝑥 ∥ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ ℙ) → ((𝑧↑2) ≤ 𝑃 → ¬ 𝑧 ∥ 𝑃))
48	47	ralrimiva 2615	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑥 ∈ (2...(𝑃 − 1)) ¬ 𝑥 ∥ 𝑃) → ∀𝑧 ∈ ℙ ((𝑧↑2) ≤ 𝑃 → ¬ 𝑧 ∥ 𝑃))
49		simpll 527	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ ℙ ((𝑧↑2) ≤ 𝑃 → ¬ 𝑧 ∥ 𝑃)) ∧ 𝑥 ∈ (2...(𝑃 − 1))) → 𝑃 ∈ (ℤ≥‘2))
50		simplr 529	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ ℙ ((𝑧↑2) ≤ 𝑃 → ¬ 𝑧 ∥ 𝑃)) ∧ 𝑥 ∈ (2...(𝑃 − 1))) → ∀𝑧 ∈ ℙ ((𝑧↑2) ≤ 𝑃 → ¬ 𝑧 ∥ 𝑃))
51		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ ℙ ((𝑧↑2) ≤ 𝑃 → ¬ 𝑧 ∥ 𝑃)) ∧ 𝑥 ∈ (2...(𝑃 − 1))) → 𝑥 ∈ (2...(𝑃 − 1)))
52	49, 50, 51	isprm5lem 12831	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ ℙ ((𝑧↑2) ≤ 𝑃 → ¬ 𝑧 ∥ 𝑃)) ∧ 𝑥 ∈ (2...(𝑃 − 1))) → ¬ 𝑥 ∥ 𝑃)
53	52	ralrimiva 2615	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ ℙ ((𝑧↑2) ≤ 𝑃 → ¬ 𝑧 ∥ 𝑃)) → ∀𝑥 ∈ (2...(𝑃 − 1)) ¬ 𝑥 ∥ 𝑃)
54	48, 53	impbida 600	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → (∀𝑥 ∈ (2...(𝑃 − 1)) ¬ 𝑥 ∥ 𝑃 ↔ ∀𝑧 ∈ ℙ ((𝑧↑2) ≤ 𝑃 → ¬ 𝑧 ∥ 𝑃)))
55	54	pm5.32i 454	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑥 ∈ (2...(𝑃 − 1)) ¬ 𝑥 ∥ 𝑃) ↔ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ ℙ ((𝑧↑2) ≤ 𝑃 → ¬ 𝑧 ∥ 𝑃)))
56	1, 55	bitri 184	1 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ ↔ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ ℙ ((𝑧↑2) ≤ 𝑃 → ¬ 𝑧 ∥ 𝑃)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1005   ∈ wcel 2203  ∀wral 2520   class class class wbr 4108  ‘cfv 5351  (class class class)co 6049  ℝcr 8122  1c1 8124   < clt 8304   ≤ cle 8305   − cmin 8440  2c2 9284  ℕ₀cn0 9492  ℤcz 9573  ℤ_≥cuz 9849  ...cfz 10338  ↑cexp 10896   ∥ cdvds 12466  ℙcprime 12797

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4224  ax-sep 4227  ax-nul 4235  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-setind 4658  ax-iinf 4709  ax-cnex 8214  ax-resscn 8215  ax-1cn 8216  ax-1re 8217  ax-icn 8218  ax-addcl 8219  ax-addrcl 8220  ax-mulcl 8221  ax-mulrcl 8222  ax-addcom 8223  ax-mulcom 8224  ax-addass 8225  ax-mulass 8226  ax-distr 8227  ax-i2m1 8228  ax-0lt1 8229  ax-1rid 8230  ax-0id 8231  ax-rnegex 8232  ax-precex 8233  ax-cnre 8234  ax-pre-ltirr 8235  ax-pre-ltwlin 8236  ax-pre-lttrn 8237  ax-pre-apti 8238  ax-pre-ltadd 8239  ax-pre-mulgt0 8240  ax-pre-mulext 8241  ax-arch 8242  ax-caucvg 8243

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 839  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-csb 3138  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-nul 3508  df-if 3620  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-int 3949  df-iun 3992  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-tr 4208  df-id 4413  df-po 4416  df-iso 4417  df-iord 4486  df-on 4488  df-ilim 4489  df-suc 4491  df-iom 4712  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-ima 4761  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355  df-f1 5356  df-fo 5357  df-f1o 5358  df-fv 5359  df-riota 6002  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-1st 6333  df-2nd 6334  df-recs 6535  df-frec 6621  df-1o 6646  df-2o 6647  df-er 6766  df-en 6975  df-pnf 8306  df-mnf 8307  df-xr 8308  df-ltxr 8309  df-le 8310  df-sub 8442  df-neg 8443  df-reap 8845  df-ap 8852  df-div 8943  df-inn 9234  df-2 9292  df-3 9293  df-4 9294  df-n0 9493  df-z 9574  df-uz 9850  df-q 9948  df-rp 9983  df-fz 10339  df-fzo 10473  df-fl 10626  df-mod 10681  df-seqfrec 10806  df-exp 10897  df-cj 11520  df-re 11521  df-im 11522  df-rsqrt 11676  df-abs 11677  df-dvds 12467  df-prm 12798

This theorem is referenced by:  pockthg  13048