Theorem isprm5 12142

Description: One need only check prime divisors of 𝑃 up to √𝑃 in order to ensure primality. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)

Assertion

Ref	Expression
isprm5	⊢ (𝑃 ∈ ℙ ↔ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ ℙ ((𝑧↑2) ≤ 𝑃 → ¬ 𝑧 ∥ 𝑃)))

Distinct variable group:   𝑧,𝑃

Proof of Theorem isprm5

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isprm3 12118	. 2 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ ↔ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑥 ∈ (2...(𝑃 − 1)) ¬ 𝑥 ∥ 𝑃))
2		breq1 4007	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 ∥ 𝑃 ↔ 𝑧 ∥ 𝑃))
3	2	notbid 667	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (¬ 𝑥 ∥ 𝑃 ↔ ¬ 𝑧 ∥ 𝑃))
4		simpllr 534	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑥 ∈ (2...(𝑃 − 1)) ¬ 𝑥 ∥ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ ℙ) ∧ (𝑧↑2) ≤ 𝑃) → ∀𝑥 ∈ (2...(𝑃 − 1)) ¬ 𝑥 ∥ 𝑃)
5		2z 9281	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℤ
6	5	a1i 9	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑥 ∈ (2...(𝑃 − 1)) ¬ 𝑥 ∥ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ ℙ) ∧ (𝑧↑2) ≤ 𝑃) → 2 ∈ ℤ)
7		eluzelz 9537	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑃 ∈ ℤ)
8	7	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑥 ∈ (2...(𝑃 − 1)) ¬ 𝑥 ∥ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ ℙ) ∧ (𝑧↑2) ≤ 𝑃) → 𝑃 ∈ ℤ)
9		peano2zm 9291	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ ℤ → (𝑃 − 1) ∈ ℤ)
10	8, 9	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑥 ∈ (2...(𝑃 − 1)) ¬ 𝑥 ∥ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ ℙ) ∧ (𝑧↑2) ≤ 𝑃) → (𝑃 − 1) ∈ ℤ)
11		prmz 12111	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ℙ → 𝑧 ∈ ℤ)
12	11	ad2antlr 489	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑥 ∈ (2...(𝑃 − 1)) ¬ 𝑥 ∥ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ ℙ) ∧ (𝑧↑2) ≤ 𝑃) → 𝑧 ∈ ℤ)
13	6, 10, 12	3jca 1177	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑥 ∈ (2...(𝑃 − 1)) ¬ 𝑥 ∥ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ ℙ) ∧ (𝑧↑2) ≤ 𝑃) → (2 ∈ ℤ ∧ (𝑃 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ))
14		prmuz2 12131	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ ℙ → 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2))
15		eluzle 9540	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ (ℤ≥‘2) → 2 ≤ 𝑧)
16	14, 15	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ℙ → 2 ≤ 𝑧)
17	16	ad2antlr 489	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑥 ∈ (2...(𝑃 − 1)) ¬ 𝑥 ∥ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ ℙ) ∧ (𝑧↑2) ≤ 𝑃) → 2 ≤ 𝑧)
18		eluzelre 9538	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑧 ∈ ℝ)
19	14, 18	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ ℙ → 𝑧 ∈ ℝ)
20	19	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑥 ∈ (2...(𝑃 − 1)) ¬ 𝑥 ∥ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ ℙ) ∧ (𝑧↑2) ≤ 𝑃) → 𝑧 ∈ ℝ)
21	20	resqcld 10680	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑥 ∈ (2...(𝑃 − 1)) ¬ 𝑥 ∥ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ ℙ) ∧ (𝑧↑2) ≤ 𝑃) → (𝑧↑2) ∈ ℝ)
22		eluzelre 9538	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑃 ∈ ℝ)
23	22	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑥 ∈ (2...(𝑃 − 1)) ¬ 𝑥 ∥ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ ℙ) ∧ (𝑧↑2) ≤ 𝑃) → 𝑃 ∈ ℝ)
24		prmnn 12110	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 ∈ ℙ → 𝑧 ∈ ℕ)
25	24	nncnd 8933	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 ∈ ℙ → 𝑧 ∈ ℂ)
26	25	exp1d 10649	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 ∈ ℙ → (𝑧↑1) = 𝑧)
27		1lt2 9088	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 < 2
28		1nn0 9192	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 1 ∈ ℕ0
29	28	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 ∈ ℙ → 1 ∈ ℕ0)
30		2nn0 9193	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 2 ∈ ℕ0
31	30	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 ∈ ℙ → 2 ∈ ℕ0)
32		prmgt1 12132	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 ∈ ℙ → 1 < 𝑧)
33		nn0ltexp2 10689	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑧 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℕ0) ∧ 1 < 𝑧) → (1 < 2 ↔ (𝑧↑1) < (𝑧↑2)))
34	19, 29, 31, 32, 33	syl31anc 1241	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 ∈ ℙ → (1 < 2 ↔ (𝑧↑1) < (𝑧↑2)))
35	27, 34	mpbii 148	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 ∈ ℙ → (𝑧↑1) < (𝑧↑2))
36	26, 35	eqbrtrrd 4028	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ ℙ → 𝑧 < (𝑧↑2))
37	36	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑥 ∈ (2...(𝑃 − 1)) ¬ 𝑥 ∥ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ ℙ) ∧ (𝑧↑2) ≤ 𝑃) → 𝑧 < (𝑧↑2))
38		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑥 ∈ (2...(𝑃 − 1)) ¬ 𝑥 ∥ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ ℙ) ∧ (𝑧↑2) ≤ 𝑃) → (𝑧↑2) ≤ 𝑃)
39	20, 21, 23, 37, 38	ltletrd 8380	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑥 ∈ (2...(𝑃 − 1)) ¬ 𝑥 ∥ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ ℙ) ∧ (𝑧↑2) ≤ 𝑃) → 𝑧 < 𝑃)
40		zltlem1 9310	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → (𝑧 < 𝑃 ↔ 𝑧 ≤ (𝑃 − 1)))
41	12, 8, 40	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑥 ∈ (2...(𝑃 − 1)) ¬ 𝑥 ∥ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ ℙ) ∧ (𝑧↑2) ≤ 𝑃) → (𝑧 < 𝑃 ↔ 𝑧 ≤ (𝑃 − 1)))
42	39, 41	mpbid 147	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑥 ∈ (2...(𝑃 − 1)) ¬ 𝑥 ∥ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ ℙ) ∧ (𝑧↑2) ≤ 𝑃) → 𝑧 ≤ (𝑃 − 1))
43	17, 42	jca 306	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑥 ∈ (2...(𝑃 − 1)) ¬ 𝑥 ∥ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ ℙ) ∧ (𝑧↑2) ≤ 𝑃) → (2 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ (𝑃 − 1)))
44		elfz2 10015	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ (2...(𝑃 − 1)) ↔ ((2 ∈ ℤ ∧ (𝑃 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ (2 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ (𝑃 − 1))))
45	13, 43, 44	sylanbrc 417	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑥 ∈ (2...(𝑃 − 1)) ¬ 𝑥 ∥ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ ℙ) ∧ (𝑧↑2) ≤ 𝑃) → 𝑧 ∈ (2...(𝑃 − 1)))
46	3, 4, 45	rspcdva 2847	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑥 ∈ (2...(𝑃 − 1)) ¬ 𝑥 ∥ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ ℙ) ∧ (𝑧↑2) ≤ 𝑃) → ¬ 𝑧 ∥ 𝑃)
47	46	ex 115	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑥 ∈ (2...(𝑃 − 1)) ¬ 𝑥 ∥ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ ℙ) → ((𝑧↑2) ≤ 𝑃 → ¬ 𝑧 ∥ 𝑃))
48	47	ralrimiva 2550	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑥 ∈ (2...(𝑃 − 1)) ¬ 𝑥 ∥ 𝑃) → ∀𝑧 ∈ ℙ ((𝑧↑2) ≤ 𝑃 → ¬ 𝑧 ∥ 𝑃))
49		simpll 527	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ ℙ ((𝑧↑2) ≤ 𝑃 → ¬ 𝑧 ∥ 𝑃)) ∧ 𝑥 ∈ (2...(𝑃 − 1))) → 𝑃 ∈ (ℤ≥‘2))
50		simplr 528	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ ℙ ((𝑧↑2) ≤ 𝑃 → ¬ 𝑧 ∥ 𝑃)) ∧ 𝑥 ∈ (2...(𝑃 − 1))) → ∀𝑧 ∈ ℙ ((𝑧↑2) ≤ 𝑃 → ¬ 𝑧 ∥ 𝑃))
51		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ ℙ ((𝑧↑2) ≤ 𝑃 → ¬ 𝑧 ∥ 𝑃)) ∧ 𝑥 ∈ (2...(𝑃 − 1))) → 𝑥 ∈ (2...(𝑃 − 1)))
52	49, 50, 51	isprm5lem 12141	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ ℙ ((𝑧↑2) ≤ 𝑃 → ¬ 𝑧 ∥ 𝑃)) ∧ 𝑥 ∈ (2...(𝑃 − 1))) → ¬ 𝑥 ∥ 𝑃)
53	52	ralrimiva 2550	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ ℙ ((𝑧↑2) ≤ 𝑃 → ¬ 𝑧 ∥ 𝑃)) → ∀𝑥 ∈ (2...(𝑃 − 1)) ¬ 𝑥 ∥ 𝑃)
54	48, 53	impbida 596	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → (∀𝑥 ∈ (2...(𝑃 − 1)) ¬ 𝑥 ∥ 𝑃 ↔ ∀𝑧 ∈ ℙ ((𝑧↑2) ≤ 𝑃 → ¬ 𝑧 ∥ 𝑃)))
55	54	pm5.32i 454	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑥 ∈ (2...(𝑃 − 1)) ¬ 𝑥 ∥ 𝑃) ↔ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ ℙ ((𝑧↑2) ≤ 𝑃 → ¬ 𝑧 ∥ 𝑃)))
56	1, 55	bitri 184	1 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ ↔ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ ℙ ((𝑧↑2) ≤ 𝑃 → ¬ 𝑧 ∥ 𝑃)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 978   ∈ wcel 2148  ∀wral 2455   class class class wbr 4004  ‘cfv 5217  (class class class)co 5875  ℝcr 7810  1c1 7812   < clt 7992   ≤ cle 7993   − cmin 8128  2c2 8970  ℕ₀cn0 9176  ℤcz 9253  ℤ_≥cuz 9528  ...cfz 10008  ↑cexp 10519   ∥ cdvds 11794  ℙcprime 12107

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4119  ax-sep 4122  ax-nul 4130  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-iinf 4588  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-mulrcl 7910  ax-addcom 7911  ax-mulcom 7912  ax-addass 7913  ax-mulass 7914  ax-distr 7915  ax-i2m1 7916  ax-0lt1 7917  ax-1rid 7918  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-precex 7921  ax-cnre 7922  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-ltwlin 7924  ax-pre-lttrn 7925  ax-pre-apti 7926  ax-pre-ltadd 7927  ax-pre-mulgt0 7928  ax-pre-mulext 7929  ax-arch 7930  ax-caucvg 7931

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-if 3536  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-tr 4103  df-id 4294  df-po 4297  df-iso 4298  df-iord 4367  df-on 4369  df-ilim 4370  df-suc 4372  df-iom 4591  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-1st 6141  df-2nd 6142  df-recs 6306  df-frec 6392  df-1o 6417  df-2o 6418  df-er 6535  df-en 6741  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-xr 7996  df-ltxr 7997  df-le 7998  df-sub 8130  df-neg 8131  df-reap 8532  df-ap 8539  df-div 8630  df-inn 8920  df-2 8978  df-3 8979  df-4 8980  df-n0 9177  df-z 9254  df-uz 9529  df-q 9620  df-rp 9654  df-fz 10009  df-fzo 10143  df-fl 10270  df-mod 10323  df-seqfrec 10446  df-exp 10520  df-cj 10851  df-re 10852  df-im 10853  df-rsqrt 11007  df-abs 11008  df-dvds 11795  df-prm 12108

This theorem is referenced by:  pockthg  12355