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Theorem gausslemma2dlem3 15121
Description: Lemma 3 for gausslemma2d 15127. (Contributed by AV, 4-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
gausslemma2d.p (𝜑𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
gausslemma2d.h 𝐻 = ((𝑃 − 1) / 2)
gausslemma2d.r 𝑅 = (𝑥 ∈ (1...𝐻) ↦ if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))))
gausslemma2d.m 𝑀 = (⌊‘(𝑃 / 4))
Assertion
Ref Expression
gausslemma2dlem3 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅𝑘) = (𝑃 − (𝑘 · 2)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐻   𝑥,𝑃   𝜑,𝑥   𝑘,𝐻   𝑅,𝑘   𝜑,𝑘   𝑥,𝑀   𝑥,𝑘
Allowed substitution hints:   𝑃(𝑘)   𝑅(𝑥)   𝑀(𝑘)

Proof of Theorem gausslemma2dlem3
StepHypRef Expression
1 gausslemma2d.r . . 3 𝑅 = (𝑥 ∈ (1...𝐻) ↦ if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))))
2 oveq1 5917 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑘 → (𝑥 · 2) = (𝑘 · 2))
32breq1d 4039 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑘 → ((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2) ↔ (𝑘 · 2) < (𝑃 / 2)))
42oveq2d 5926 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑘 → (𝑃 − (𝑥 · 2)) = (𝑃 − (𝑘 · 2)))
53, 2, 4ifbieq12d 3583 . . . . 5 (𝑥 = 𝑘 → if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))) = if((𝑘 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑘 · 2), (𝑃 − (𝑘 · 2))))
65adantl 277 . . . 4 (((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)) ∧ 𝑥 = 𝑘) → if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))) = if((𝑘 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑘 · 2), (𝑃 − (𝑘 · 2))))
7 gausslemma2d.p . . . . . . . 8 (𝜑𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
87gausslemma2dlem0a 15107 . . . . . . 7 (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
9 elfz2 10071 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻) ↔ (((𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝐻 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑀 + 1) ≤ 𝑘𝑘𝐻)))
10 gausslemma2d.m . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑀 = (⌊‘(𝑃 / 4))
1110oveq1i 5920 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑀 + 1) = ((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1)
1211breq1i 4036 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑀 + 1) ≤ 𝑘 ↔ ((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1) ≤ 𝑘)
13 nnz 9326 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℤ)
14 4nn 9135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 4 ∈ ℕ
15 znq 9679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℕ) → (𝑃 / 4) ∈ ℚ)
1613, 14, 15sylancl 413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑃 ∈ ℕ → (𝑃 / 4) ∈ ℚ)
1716adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → (𝑃 / 4) ∈ ℚ)
18 flqlelt 10335 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑃 / 4) ∈ ℚ → ((⌊‘(𝑃 / 4)) ≤ (𝑃 / 4) ∧ (𝑃 / 4) < ((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1)))
1917, 18syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → ((⌊‘(𝑃 / 4)) ≤ (𝑃 / 4) ∧ (𝑃 / 4) < ((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1)))
20 nnre 8979 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℝ)
21 4re 9049 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 4 ∈ ℝ
2221a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑃 ∈ ℕ → 4 ∈ ℝ)
23 4ap0 9071 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 4 # 0
2423a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑃 ∈ ℕ → 4 # 0)
2520, 22, 24redivclapd 8844 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑃 ∈ ℕ → (𝑃 / 4) ∈ ℝ)
2625adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → (𝑃 / 4) ∈ ℝ)
2716flqcld 10336 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑃 ∈ ℕ → (⌊‘(𝑃 / 4)) ∈ ℤ)
2827zred 9429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑃 ∈ ℕ → (⌊‘(𝑃 / 4)) ∈ ℝ)
29 peano2re 8145 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((⌊‘(𝑃 / 4)) ∈ ℝ → ((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1) ∈ ℝ)
3028, 29syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑃 ∈ ℕ → ((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1) ∈ ℝ)
3130adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → ((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1) ∈ ℝ)
32 zre 9311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑘 ∈ ℤ → 𝑘 ∈ ℝ)
3332adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℝ)
34 ltleletr 8091 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑃 / 4) ∈ ℝ ∧ ((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1) ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (((𝑃 / 4) < ((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1) ∧ ((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1) ≤ 𝑘) → (𝑃 / 4) ≤ 𝑘))
3526, 31, 33, 34syl3anc 1249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → (((𝑃 / 4) < ((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1) ∧ ((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1) ≤ 𝑘) → (𝑃 / 4) ≤ 𝑘))
3635expd 258 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → ((𝑃 / 4) < ((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1) → (((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1) ≤ 𝑘 → (𝑃 / 4) ≤ 𝑘)))
3736adantld 278 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → (((⌊‘(𝑃 / 4)) ≤ (𝑃 / 4) ∧ (𝑃 / 4) < ((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1)) → (((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1) ≤ 𝑘 → (𝑃 / 4) ≤ 𝑘)))
3819, 37mpd 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → (((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1) ≤ 𝑘 → (𝑃 / 4) ≤ 𝑘))
3938imp 124 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) ∧ ((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1) ≤ 𝑘) → (𝑃 / 4) ≤ 𝑘)
4020rehalfcld 9219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑃 ∈ ℕ → (𝑃 / 2) ∈ ℝ)
4140adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → (𝑃 / 2) ∈ ℝ)
42 2re 9042 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2 ∈ ℝ
4342a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑘 ∈ ℤ → 2 ∈ ℝ)
4432, 43remulcld 8040 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑘 ∈ ℤ → (𝑘 · 2) ∈ ℝ)
4544adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → (𝑘 · 2) ∈ ℝ)
46 2pos 9063 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 0 < 2
4742, 46pm3.2i 272 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
4847a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2))
49 lediv1 8878 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑃 / 2) ∈ ℝ ∧ (𝑘 · 2) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((𝑃 / 2) ≤ (𝑘 · 2) ↔ ((𝑃 / 2) / 2) ≤ ((𝑘 · 2) / 2)))
5041, 45, 48, 49syl3anc 1249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → ((𝑃 / 2) ≤ (𝑘 · 2) ↔ ((𝑃 / 2) / 2) ≤ ((𝑘 · 2) / 2)))
51 nncn 8980 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℂ)
52 2cnd 9045 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑃 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
53 2ap0 9065 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2 # 0
5453a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑃 ∈ ℕ → 2 # 0)
5551, 52, 52, 54, 54divdivap1d 8831 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑃 ∈ ℕ → ((𝑃 / 2) / 2) = (𝑃 / (2 · 2)))
56 2t2e4 9126 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (2 · 2) = 4
5756oveq2i 5921 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑃 / (2 · 2)) = (𝑃 / 4)
5855, 57eqtrdi 2242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑃 ∈ ℕ → ((𝑃 / 2) / 2) = (𝑃 / 4))
59 zcn 9312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑘 ∈ ℤ → 𝑘 ∈ ℂ)
60 2cnd 9045 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑘 ∈ ℤ → 2 ∈ ℂ)
6153a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑘 ∈ ℤ → 2 # 0)
6259, 60, 61divcanap4d 8805 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑘 ∈ ℤ → ((𝑘 · 2) / 2) = 𝑘)
6358, 62breqan12rd 4046 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → (((𝑃 / 2) / 2) ≤ ((𝑘 · 2) / 2) ↔ (𝑃 / 4) ≤ 𝑘))
6450, 63bitrd 188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → ((𝑃 / 2) ≤ (𝑘 · 2) ↔ (𝑃 / 4) ≤ 𝑘))
6564adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) ∧ ((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1) ≤ 𝑘) → ((𝑃 / 2) ≤ (𝑘 · 2) ↔ (𝑃 / 4) ≤ 𝑘))
6639, 65mpbird 167 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) ∧ ((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1) ≤ 𝑘) → (𝑃 / 2) ≤ (𝑘 · 2))
6766exp31 364 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ ℤ → (𝑃 ∈ ℕ → (((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1) ≤ 𝑘 → (𝑃 / 2) ≤ (𝑘 · 2))))
6867com23 78 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ ℤ → (((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1) ≤ 𝑘 → (𝑃 ∈ ℕ → (𝑃 / 2) ≤ (𝑘 · 2))))
6912, 68biimtrid 152 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ℤ → ((𝑀 + 1) ≤ 𝑘 → (𝑃 ∈ ℕ → (𝑃 / 2) ≤ (𝑘 · 2))))
70693ad2ant3 1022 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝐻 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑀 + 1) ≤ 𝑘 → (𝑃 ∈ ℕ → (𝑃 / 2) ≤ (𝑘 · 2))))
7170com12 30 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 + 1) ≤ 𝑘 → (((𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝐻 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑃 ∈ ℕ → (𝑃 / 2) ≤ (𝑘 · 2))))
7271adantr 276 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 + 1) ≤ 𝑘𝑘𝐻) → (((𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝐻 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑃 ∈ ℕ → (𝑃 / 2) ≤ (𝑘 · 2))))
7372impcom 125 . . . . . . . . . 10 ((((𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝐻 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑀 + 1) ≤ 𝑘𝑘𝐻)) → (𝑃 ∈ ℕ → (𝑃 / 2) ≤ (𝑘 · 2)))
749, 73sylbi 121 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻) → (𝑃 ∈ ℕ → (𝑃 / 2) ≤ (𝑘 · 2)))
7574impcom 125 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)) → (𝑃 / 2) ≤ (𝑘 · 2))
76 elfzelz 10081 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻) → 𝑘 ∈ ℤ)
7776zred 9429 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻) → 𝑘 ∈ ℝ)
7842a1i 9 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻) → 2 ∈ ℝ)
7977, 78remulcld 8040 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻) → (𝑘 · 2) ∈ ℝ)
80 lenlt 8085 . . . . . . . . 9 (((𝑃 / 2) ∈ ℝ ∧ (𝑘 · 2) ∈ ℝ) → ((𝑃 / 2) ≤ (𝑘 · 2) ↔ ¬ (𝑘 · 2) < (𝑃 / 2)))
8140, 79, 80syl2an 289 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)) → ((𝑃 / 2) ≤ (𝑘 · 2) ↔ ¬ (𝑘 · 2) < (𝑃 / 2)))
8275, 81mpbid 147 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)) → ¬ (𝑘 · 2) < (𝑃 / 2))
838, 82sylan 283 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)) → ¬ (𝑘 · 2) < (𝑃 / 2))
8483adantr 276 . . . . 5 (((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)) ∧ 𝑥 = 𝑘) → ¬ (𝑘 · 2) < (𝑃 / 2))
8584iffalsed 3567 . . . 4 (((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)) ∧ 𝑥 = 𝑘) → if((𝑘 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑘 · 2), (𝑃 − (𝑘 · 2))) = (𝑃 − (𝑘 · 2)))
866, 85eqtrd 2226 . . 3 (((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)) ∧ 𝑥 = 𝑘) → if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))) = (𝑃 − (𝑘 · 2)))
877, 10gausslemma2dlem0d 15110 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
88 nn0p1nn 9269 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 + 1) ∈ ℕ)
89 nnuz 9618 . . . . . . 7 ℕ = (ℤ‘1)
9088, 89eleqtrdi 2286 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 + 1) ∈ (ℤ‘1))
9187, 90syl 14 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ (ℤ‘1))
92 fzss1 10119 . . . . 5 ((𝑀 + 1) ∈ (ℤ‘1) → ((𝑀 + 1)...𝐻) ⊆ (1...𝐻))
9391, 92syl 14 . . . 4 (𝜑 → ((𝑀 + 1)...𝐻) ⊆ (1...𝐻))
9493sselda 3179 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)) → 𝑘 ∈ (1...𝐻))
958nnzd 9428 . . . . 5 (𝜑𝑃 ∈ ℤ)
9695adantr 276 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)) → 𝑃 ∈ ℤ)
9776adantl 277 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)) → 𝑘 ∈ ℤ)
98 2z 9335 . . . . . 6 2 ∈ ℤ
9998a1i 9 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)) → 2 ∈ ℤ)
10097, 99zmulcld 9435 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)) → (𝑘 · 2) ∈ ℤ)
10196, 100zsubcld 9434 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)) → (𝑃 − (𝑘 · 2)) ∈ ℤ)
1021, 86, 94, 101fvmptd2 5631 . 2 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)) → (𝑅𝑘) = (𝑃 − (𝑘 · 2)))
103102ralrimiva 2567 1 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅𝑘) = (𝑃 − (𝑘 · 2)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 104  wb 105  w3a 980   = wceq 1364  wcel 2164  wral 2472  cdif 3150  wss 3153  ifcif 3557  {csn 3618   class class class wbr 4029  cmpt 4090  cfv 5246  (class class class)co 5910  cr 7861  0cc0 7862  1c1 7863   + caddc 7865   · cmul 7867   < clt 8044  cle 8045  cmin 8180   # cap 8590   / cdiv 8681  cn 8972  2c2 9023  4c4 9025  0cn0 9230  cz 9307  cuz 9582  cq 9674  ...cfz 10064  cfl 10327  cprime 12232
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4462  ax-setind 4565  ax-iinf 4616  ax-cnex 7953  ax-resscn 7954  ax-1cn 7955  ax-1re 7956  ax-icn 7957  ax-addcl 7958  ax-addrcl 7959  ax-mulcl 7960  ax-mulrcl 7961  ax-addcom 7962  ax-mulcom 7963  ax-addass 7964  ax-mulass 7965  ax-distr 7966  ax-i2m1 7967  ax-0lt1 7968  ax-1rid 7969  ax-0id 7970  ax-rnegex 7971  ax-precex 7972  ax-cnre 7973  ax-pre-ltirr 7974  ax-pre-ltwlin 7975  ax-pre-lttrn 7976  ax-pre-apti 7977  ax-pre-ltadd 7978  ax-pre-mulgt0 7979  ax-pre-mulext 7980  ax-arch 7981  ax-caucvg 7982
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-xor 1387  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-if 3558  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-id 4322  df-po 4325  df-iso 4326  df-iord 4395  df-on 4397  df-ilim 4398  df-suc 4400  df-iom 4619  df-xp 4661  df-rel 4662  df-cnv 4663  df-co 4664  df-dm 4665  df-rn 4666  df-res 4667  df-ima 4668  df-iota 5207  df-fun 5248  df-fn 5249  df-f 5250  df-f1 5251  df-fo 5252  df-f1o 5253  df-fv 5254  df-riota 5865  df-ov 5913  df-oprab 5914  df-mpo 5915  df-1st 6184  df-2nd 6185  df-recs 6349  df-frec 6435  df-1o 6460  df-2o 6461  df-er 6578  df-en 6786  df-pnf 8046  df-mnf 8047  df-xr 8048  df-ltxr 8049  df-le 8050  df-sub 8182  df-neg 8183  df-reap 8584  df-ap 8591  df-div 8682  df-inn 8973  df-2 9031  df-3 9032  df-4 9033  df-n0 9231  df-z 9308  df-uz 9583  df-q 9675  df-rp 9710  df-fz 10065  df-fl 10329  df-seqfrec 10509  df-exp 10597  df-cj 10973  df-re 10974  df-im 10975  df-rsqrt 11129  df-abs 11130  df-dvds 11918  df-prm 12233
This theorem is referenced by:  gausslemma2dlem5a  15123  gausslemma2dlem6  15125
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