gausslemma2dlem3 - Intuitionistic Logic Explorer

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Theorem gausslemma2dlem3 15314

Description: Lemma 3 for gausslemma2d 15320. (Contributed by AV, 4-Jul-2021.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
gausslemma2d.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
gausslemma2d.h	⊢ 𝐻 = ((𝑃 − 1) / 2)
gausslemma2d.r	⊢ 𝑅 = (𝑥 ∈ (1...𝐻) ↦ if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))))
gausslemma2d.m	⊢ 𝑀 = (⌊‘(𝑃 / 4))

**Assertion**
Ref	Expression
gausslemma2dlem3	⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅‘𝑘) = (𝑃 − (𝑘 · 2)))

Distinct variable groups: 𝑥,𝐻 𝑥,𝑃 𝜑,𝑥 𝑘,𝐻 𝑅,𝑘 𝜑,𝑘 𝑥,𝑀 𝑥,𝑘 Allowed substitution hints: 𝑃(𝑘) 𝑅(𝑥) 𝑀(𝑘)

**Proof of Theorem gausslemma2dlem3**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		gausslemma2d.r	. . 3 ⊢ 𝑅 = (𝑥 ∈ (1...𝐻) ↦ if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))))
2		oveq1 5930	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (𝑥 · 2) = (𝑘 · 2))
3	2	breq1d 4044	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → ((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2) ↔ (𝑘 · 2) < (𝑃 / 2)))
4	2	oveq2d 5939	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (𝑃 − (𝑥 · 2)) = (𝑃 − (𝑘 · 2)))
5	3, 2, 4	ifbieq12d 3588	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))) = if((𝑘 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑘 · 2), (𝑃 − (𝑘 · 2))))
6	5	adantl 277	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)) ∧ 𝑥 = 𝑘) → if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))) = if((𝑘 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑘 · 2), (𝑃 − (𝑘 · 2))))
7		gausslemma2d.p	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
8	7	gausslemma2dlem0a 15300	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
9		elfz2 10092	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻) ↔ (((𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝐻 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑀 + 1) ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝐻)))
10		gausslemma2d.m	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 𝑀 = (⌊‘(𝑃 / 4))
11	10	oveq1i 5933	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑀 + 1) = ((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1)
12	11	breq1i 4041	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑀 + 1) ≤ 𝑘 ↔ ((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1) ≤ 𝑘)
13		nnz 9347	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℤ)
14		4nn 9156	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ 4 ∈ ℕ
15		znq 9700	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℕ) → (𝑃 / 4) ∈ ℚ)
16	13, 14, 15	sylancl 413	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → (𝑃 / 4) ∈ ℚ)
17	16	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → (𝑃 / 4) ∈ ℚ)
18		flqlelt 10368	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑃 / 4) ∈ ℚ → ((⌊‘(𝑃 / 4)) ≤ (𝑃 / 4) ∧ (𝑃 / 4) < ((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1)))
19	17, 18	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → ((⌊‘(𝑃 / 4)) ≤ (𝑃 / 4) ∧ (𝑃 / 4) < ((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1)))
20		nnre 8999	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℝ)
21		4re 9069	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ 4 ∈ ℝ
22	21	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → 4 ∈ ℝ)
23		4ap0 9091	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ 4 # 0
24	23	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → 4 # 0)
25	20, 22, 24	redivclapd 8864	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → (𝑃 / 4) ∈ ℝ)
26	25	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → (𝑃 / 4) ∈ ℝ)
27	16	flqcld 10369	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → (⌊‘(𝑃 / 4)) ∈ ℤ)
28	27	zred 9450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → (⌊‘(𝑃 / 4)) ∈ ℝ)
29		peano2re 8164	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((⌊‘(𝑃 / 4)) ∈ ℝ → ((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1) ∈ ℝ)
30	28, 29	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → ((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1) ∈ ℝ)
31	30	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → ((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1) ∈ ℝ)
32		zre 9332	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → 𝑘 ∈ ℝ)
33	32	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℝ)
34		ltleletr 8110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑃 / 4) ∈ ℝ ∧ ((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1) ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (((𝑃 / 4) < ((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1) ∧ ((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1) ≤ 𝑘) → (𝑃 / 4) ≤ 𝑘))
35	26, 31, 33, 34	syl3anc 1249	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → (((𝑃 / 4) < ((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1) ∧ ((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1) ≤ 𝑘) → (𝑃 / 4) ≤ 𝑘))
36	35	expd 258	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → ((𝑃 / 4) < ((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1) → (((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1) ≤ 𝑘 → (𝑃 / 4) ≤ 𝑘)))
37	36	adantld 278	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → (((⌊‘(𝑃 / 4)) ≤ (𝑃 / 4) ∧ (𝑃 / 4) < ((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1)) → (((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1) ≤ 𝑘 → (𝑃 / 4) ≤ 𝑘)))
38	19, 37	mpd 13	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → (((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1) ≤ 𝑘 → (𝑃 / 4) ≤ 𝑘))
39	38	imp 124	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) ∧ ((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1) ≤ 𝑘) → (𝑃 / 4) ≤ 𝑘)
40	20	rehalfcld 9240	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → (𝑃 / 2) ∈ ℝ)
41	40	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → (𝑃 / 2) ∈ ℝ)
42		2re 9062	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ 2 ∈ ℝ
43	42	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → 2 ∈ ℝ)
44	32, 43	remulcld 8059	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → (𝑘 · 2) ∈ ℝ)
45	44	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → (𝑘 · 2) ∈ ℝ)
46		2pos 9083	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ 0 < 2
47	42, 46	pm3.2i 272	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
48	47	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2))
49		lediv1 8898	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑃 / 2) ∈ ℝ ∧ (𝑘 · 2) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((𝑃 / 2) ≤ (𝑘 · 2) ↔ ((𝑃 / 2) / 2) ≤ ((𝑘 · 2) / 2)))
50	41, 45, 48, 49	syl3anc 1249	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → ((𝑃 / 2) ≤ (𝑘 · 2) ↔ ((𝑃 / 2) / 2) ≤ ((𝑘 · 2) / 2)))
51		nncn 9000	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℂ)
52		2cnd 9065	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
53		2ap0 9085	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ 2 # 0
54	53	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → 2 # 0)
55	51, 52, 52, 54, 54	divdivap1d 8851	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → ((𝑃 / 2) / 2) = (𝑃 / (2 · 2)))
56		2t2e4 9147	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (2 · 2) = 4
57	56	oveq2i 5934	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑃 / (2 · 2)) = (𝑃 / 4)
58	55, 57	eqtrdi 2245	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → ((𝑃 / 2) / 2) = (𝑃 / 4))
59		zcn 9333	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → 𝑘 ∈ ℂ)
60		2cnd 9065	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → 2 ∈ ℂ)
61	53	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → 2 # 0)
62	59, 60, 61	divcanap4d 8825	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → ((𝑘 · 2) / 2) = 𝑘)
63	58, 62	breqan12rd 4051	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → (((𝑃 / 2) / 2) ≤ ((𝑘 · 2) / 2) ↔ (𝑃 / 4) ≤ 𝑘))
64	50, 63	bitrd 188	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → ((𝑃 / 2) ≤ (𝑘 · 2) ↔ (𝑃 / 4) ≤ 𝑘))
65	64	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) ∧ ((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1) ≤ 𝑘) → ((𝑃 / 2) ≤ (𝑘 · 2) ↔ (𝑃 / 4) ≤ 𝑘))
66	39, 65	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) ∧ ((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1) ≤ 𝑘) → (𝑃 / 2) ≤ (𝑘 · 2))
67	66	exp31 364	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → (𝑃 ∈ ℕ → (((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1) ≤ 𝑘 → (𝑃 / 2) ≤ (𝑘 · 2))))
68	67	com23 78	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → (((⌊‘(𝑃 / 4)) + 1) ≤ 𝑘 → (𝑃 ∈ ℕ → (𝑃 / 2) ≤ (𝑘 · 2))))
69	12, 68	biimtrid 152	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → ((𝑀 + 1) ≤ 𝑘 → (𝑃 ∈ ℕ → (𝑃 / 2) ≤ (𝑘 · 2))))
70	69	3ad2ant3 1022	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝐻 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑀 + 1) ≤ 𝑘 → (𝑃 ∈ ℕ → (𝑃 / 2) ≤ (𝑘 · 2))))
71	70	com12 30	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 + 1) ≤ 𝑘 → (((𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝐻 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑃 ∈ ℕ → (𝑃 / 2) ≤ (𝑘 · 2))))
72	71	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑀 + 1) ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝐻) → (((𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝐻 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑃 ∈ ℕ → (𝑃 / 2) ≤ (𝑘 · 2))))
73	72	impcom 125	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝐻 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑀 + 1) ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝐻)) → (𝑃 ∈ ℕ → (𝑃 / 2) ≤ (𝑘 · 2)))
74	9, 73	sylbi 121	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻) → (𝑃 ∈ ℕ → (𝑃 / 2) ≤ (𝑘 · 2)))
75	74	impcom 125	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)) → (𝑃 / 2) ≤ (𝑘 · 2))
76		elfzelz 10102	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻) → 𝑘 ∈ ℤ)
77	76	zred 9450	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻) → 𝑘 ∈ ℝ)
78	42	a1i 9	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻) → 2 ∈ ℝ)
79	77, 78	remulcld 8059	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻) → (𝑘 · 2) ∈ ℝ)
80		lenlt 8104	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑃 / 2) ∈ ℝ ∧ (𝑘 · 2) ∈ ℝ) → ((𝑃 / 2) ≤ (𝑘 · 2) ↔ ¬ (𝑘 · 2) < (𝑃 / 2)))
81	40, 79, 80	syl2an 289	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)) → ((𝑃 / 2) ≤ (𝑘 · 2) ↔ ¬ (𝑘 · 2) < (𝑃 / 2)))
82	75, 81	mpbid 147	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)) → ¬ (𝑘 · 2) < (𝑃 / 2))
83	8, 82	sylan 283	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)) → ¬ (𝑘 · 2) < (𝑃 / 2))
84	83	adantr 276	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)) ∧ 𝑥 = 𝑘) → ¬ (𝑘 · 2) < (𝑃 / 2))
85	84	iffalsed 3572	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)) ∧ 𝑥 = 𝑘) → if((𝑘 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑘 · 2), (𝑃 − (𝑘 · 2))) = (𝑃 − (𝑘 · 2)))
86	6, 85	eqtrd 2229	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)) ∧ 𝑥 = 𝑘) → if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))) = (𝑃 − (𝑘 · 2)))
87	7, 10	gausslemma2dlem0d 15303	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ₀)
88		nn0p1nn 9290	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ₀ → (𝑀 + 1) ∈ ℕ)
89		nnuz 9639	. . . . . . 7 ⊢ ℕ = (ℤ_≥‘1)
90	88, 89	eleqtrdi 2289	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ₀ → (𝑀 + 1) ∈ (ℤ_≥‘1))
91	87, 90	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ (ℤ_≥‘1))
92		fzss1 10140	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 + 1) ∈ (ℤ_≥‘1) → ((𝑀 + 1)...𝐻) ⊆ (1...𝐻))
93	91, 92	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 + 1)...𝐻) ⊆ (1...𝐻))
94	93	sselda 3184	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)) → 𝑘 ∈ (1...𝐻))
95	8	nnzd 9449	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℤ)
96	95	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)) → 𝑃 ∈ ℤ)
97	76	adantl 277	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)) → 𝑘 ∈ ℤ)
98		2z 9356	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℤ
99	98	a1i 9	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)) → 2 ∈ ℤ)
100	97, 99	zmulcld 9456	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)) → (𝑘 · 2) ∈ ℤ)
101	96, 100	zsubcld 9455	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)) → (𝑃 − (𝑘 · 2)) ∈ ℤ)
102	1, 86, 94, 101	fvmptd2 5644	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)) → (𝑅‘𝑘) = (𝑃 − (𝑘 · 2)))
103	102	ralrimiva 2570	1 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅‘𝑘) = (𝑃 − (𝑘 · 2)))

Colors of variables: wff set class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ∧ wa 104 ↔ wb 105 ∧ w3a 980 = wceq 1364 ∈ wcel 2167 ∀wral 2475 ∖ cdif 3154 ⊆ wss 3157 ifcif 3562 {csn 3623 class class class wbr 4034 ↦ cmpt 4095 ‘cfv 5259 (class class class)co 5923 ℝcr 7880 0cc0 7881 1c1 7882 + caddc 7884 · cmul 7886 < clt 8063 ≤ cle 8064 − cmin 8199 # cap 8610 / cdiv 8701 ℕcn 8992 2c2 9043 4c4 9045 ℕ₀cn0 9251 ℤcz 9328 ℤ_≥cuz 9603 ℚcq 9695 ...cfz 10085 ⌊cfl 10360 ℙcprime 12285

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 615 ax-in2 616 ax-io 710 ax-5 1461 ax-7 1462 ax-gen 1463 ax-ie1 1507 ax-ie2 1508 ax-8 1518 ax-10 1519 ax-11 1520 ax-i12 1521 ax-bndl 1523 ax-4 1524 ax-17 1540 ax-i9 1544 ax-ial 1548 ax-i5r 1549 ax-13 2169 ax-14 2170 ax-ext 2178 ax-coll 4149 ax-sep 4152 ax-nul 4160 ax-pow 4208 ax-pr 4243 ax-un 4469 ax-setind 4574 ax-iinf 4625 ax-cnex 7972 ax-resscn 7973 ax-1cn 7974 ax-1re 7975 ax-icn 7976 ax-addcl 7977 ax-addrcl 7978 ax-mulcl 7979 ax-mulrcl 7980 ax-addcom 7981 ax-mulcom 7982 ax-addass 7983 ax-mulass 7984 ax-distr 7985 ax-i2m1 7986 ax-0lt1 7987 ax-1rid 7988 ax-0id 7989 ax-rnegex 7990 ax-precex 7991 ax-cnre 7992 ax-pre-ltirr 7993 ax-pre-ltwlin 7994 ax-pre-lttrn 7995 ax-pre-apti 7996 ax-pre-ltadd 7997 ax-pre-mulgt0 7998 ax-pre-mulext 7999 ax-arch 8000 ax-caucvg 8001

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 836 df-3or 981 df-3an 982 df-tru 1367 df-fal 1370 df-xor 1387 df-nf 1475 df-sb 1777 df-eu 2048 df-mo 2049 df-clab 2183 df-cleq 2189 df-clel 2192 df-nfc 2328 df-ne 2368 df-nel 2463 df-ral 2480 df-rex 2481 df-reu 2482 df-rmo 2483 df-rab 2484 df-v 2765 df-sbc 2990 df-csb 3085 df-dif 3159 df-un 3161 df-in 3163 df-ss 3170 df-nul 3452 df-if 3563 df-pw 3608 df-sn 3629 df-pr 3630 df-op 3632 df-uni 3841 df-int 3876 df-iun 3919 df-br 4035 df-opab 4096 df-mpt 4097 df-tr 4133 df-id 4329 df-po 4332 df-iso 4333 df-iord 4402 df-on 4404 df-ilim 4405 df-suc 4407 df-iom 4628 df-xp 4670 df-rel 4671 df-cnv 4672 df-co 4673 df-dm 4674 df-rn 4675 df-res 4676 df-ima 4677 df-iota 5220 df-fun 5261 df-fn 5262 df-f 5263 df-f1 5264 df-fo 5265 df-f1o 5266 df-fv 5267 df-riota 5878 df-ov 5926 df-oprab 5927 df-mpo 5928 df-1st 6199 df-2nd 6200 df-recs 6364 df-frec 6450 df-1o 6475 df-2o 6476 df-er 6593 df-en 6801 df-pnf 8065 df-mnf 8066 df-xr 8067 df-ltxr 8068 df-le 8069 df-sub 8201 df-neg 8202 df-reap 8604 df-ap 8611 df-div 8702 df-inn 8993 df-2 9051 df-3 9052 df-4 9053 df-n0 9252 df-z 9329 df-uz 9604 df-q 9696 df-rp 9731 df-fz 10086 df-fl 10362 df-seqfrec 10542 df-exp 10633 df-cj 11009 df-re 11010 df-im 11011 df-rsqrt 11165 df-abs 11166 df-dvds 11955 df-prm 12286

This theorem is referenced by: gausslemma2dlem5a 15316 gausslemma2dlem6 15318

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