ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fprod0diagfz GIF version

Theorem fprod0diagfz 11536
Description: Two ways to express "the product of 𝐴(𝑗, 𝑘) over the triangular region 𝑀𝑗, 𝑀𝑘, 𝑗 + 𝑘𝑁. Compare fisum0diag 11349. (Contributed by Scott Fenton, 2-Feb-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
fprod0diag.1 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑗)))) → 𝐴 ∈ ℂ)
fprod0diagfz.n (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
Assertion
Ref Expression
fprod0diagfz (𝜑 → ∏𝑗 ∈ (0...𝑁)∏𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑗))𝐴 = ∏𝑘 ∈ (0...𝑁)∏𝑗 ∈ (0...(𝑁𝑘))𝐴)
Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝜑   𝑗,𝑁,𝑘
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑗,𝑘)

Proof of Theorem fprod0diagfz
StepHypRef Expression
1 0zd 9184 . . 3 (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
2 fprod0diagfz.n . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
31, 2fzfigd 10339 . 2 (𝜑 → (0...𝑁) ∈ Fin)
4 0zd 9184 . . 3 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑁)) → 0 ∈ ℤ)
52adantr 274 . . . 4 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℤ)
6 elfzelz 9934 . . . . 5 (𝑗 ∈ (0...𝑁) → 𝑗 ∈ ℤ)
76adantl 275 . . . 4 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑁)) → 𝑗 ∈ ℤ)
85, 7zsubcld 9296 . . 3 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁𝑗) ∈ ℤ)
94, 8fzfigd 10339 . 2 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑁)) → (0...(𝑁𝑗)) ∈ Fin)
10 0zd 9184 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 0 ∈ ℤ)
112adantr 274 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℤ)
12 elfzelz 9934 . . . . 5 (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ ℤ)
1312adantl 275 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℤ)
1411, 13zsubcld 9296 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁𝑘) ∈ ℤ)
1510, 14fzfigd 10339 . 2 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (0...(𝑁𝑘)) ∈ Fin)
16 fsum0diaglem 11348 . . . 4 ((𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑗))) → (𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑁𝑘))))
17 fsum0diaglem 11348 . . . 4 ((𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑁𝑘))) → (𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑗))))
1816, 17impbii 125 . . 3 ((𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑗))) ↔ (𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑁𝑘))))
1918a1i 9 . 2 (𝜑 → ((𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑗))) ↔ (𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑁𝑘)))))
20 fprod0diag.1 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑗)))) → 𝐴 ∈ ℂ)
213, 3, 9, 15, 19, 20fprodcom2fi 11534 1 (𝜑 → ∏𝑗 ∈ (0...𝑁)∏𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑗))𝐴 = ∏𝑘 ∈ (0...𝑁)∏𝑗 ∈ (0...(𝑁𝑘))𝐴)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104   = wceq 1335  wcel 2128  (class class class)co 5826  cc 7732  0cc0 7734  cmin 8050  cz 9172  ...cfz 9918  cprod 11458
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4081  ax-sep 4084  ax-nul 4092  ax-pow 4137  ax-pr 4171  ax-un 4395  ax-setind 4498  ax-iinf 4549  ax-cnex 7825  ax-resscn 7826  ax-1cn 7827  ax-1re 7828  ax-icn 7829  ax-addcl 7830  ax-addrcl 7831  ax-mulcl 7832  ax-mulrcl 7833  ax-addcom 7834  ax-mulcom 7835  ax-addass 7836  ax-mulass 7837  ax-distr 7838  ax-i2m1 7839  ax-0lt1 7840  ax-1rid 7841  ax-0id 7842  ax-rnegex 7843  ax-precex 7844  ax-cnre 7845  ax-pre-ltirr 7846  ax-pre-ltwlin 7847  ax-pre-lttrn 7848  ax-pre-apti 7849  ax-pre-ltadd 7850  ax-pre-mulgt0 7851  ax-pre-mulext 7852  ax-arch 7853  ax-caucvg 7854
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rmo 2443  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3396  df-if 3507  df-pw 3546  df-sn 3567  df-pr 3568  df-op 3570  df-uni 3775  df-int 3810  df-iun 3853  df-disj 3945  df-br 3968  df-opab 4028  df-mpt 4029  df-tr 4065  df-id 4255  df-po 4258  df-iso 4259  df-iord 4328  df-on 4330  df-ilim 4331  df-suc 4333  df-iom 4552  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-iota 5137  df-fun 5174  df-fn 5175  df-f 5176  df-f1 5177  df-fo 5178  df-f1o 5179  df-fv 5180  df-isom 5181  df-riota 5782  df-ov 5829  df-oprab 5830  df-mpo 5831  df-1st 6090  df-2nd 6091  df-recs 6254  df-irdg 6319  df-frec 6340  df-1o 6365  df-oadd 6369  df-er 6482  df-en 6688  df-dom 6689  df-fin 6690  df-pnf 7916  df-mnf 7917  df-xr 7918  df-ltxr 7919  df-le 7920  df-sub 8052  df-neg 8053  df-reap 8454  df-ap 8461  df-div 8550  df-inn 8839  df-2 8897  df-3 8898  df-4 8899  df-n0 9096  df-z 9173  df-uz 9445  df-q 9535  df-rp 9567  df-fz 9919  df-fzo 10051  df-seqfrec 10354  df-exp 10428  df-ihash 10661  df-cj 10753  df-re 10754  df-im 10755  df-rsqrt 10909  df-abs 10910  df-clim 11187  df-proddc 11459
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator