Theorem fprod0diagfz 11771

Description: Two ways to express "the product of 𝐴(𝑗, 𝑘) over the triangular region 𝑀 ≤ 𝑗, 𝑀 ≤ 𝑘, 𝑗 + 𝑘 ≤ 𝑁. Compare fisum0diag 11584. (Contributed by Scott Fenton, 2-Feb-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
fprod0diag.1	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑗)))) → 𝐴 ∈ ℂ)
fprod0diagfz.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
fprod0diagfz	⊢ (𝜑 → ∏𝑗 ∈ (0...𝑁)∏𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑗))𝐴 = ∏𝑘 ∈ (0...𝑁)∏𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 𝑘))𝐴)

Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝜑   𝑗,𝑁,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑗,𝑘)

Proof of Theorem fprod0diagfz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0zd 9329	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
2		fprod0diagfz.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
3	1, 2	fzfigd 10502	. 2 ⊢ (𝜑 → (0...𝑁) ∈ Fin)
4		0zd 9329	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) → 0 ∈ ℤ)
5	2	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℤ)
6		elfzelz 10091	. . . . 5 ⊢ (𝑗 ∈ (0...𝑁) → 𝑗 ∈ ℤ)
7	6	adantl 277	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) → 𝑗 ∈ ℤ)
8	5, 7	zsubcld 9444	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁 − 𝑗) ∈ ℤ)
9	4, 8	fzfigd 10502	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) → (0...(𝑁 − 𝑗)) ∈ Fin)
10		0zd 9329	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 0 ∈ ℤ)
11	2	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℤ)
12		elfzelz 10091	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ ℤ)
13	12	adantl 277	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℤ)
14	11, 13	zsubcld 9444	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁 − 𝑘) ∈ ℤ)
15	10, 14	fzfigd 10502	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (0...(𝑁 − 𝑘)) ∈ Fin)
16		fsum0diaglem 11583	. . . 4 ⊢ ((𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑗))) → (𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 𝑘))))
17		fsum0diaglem 11583	. . . 4 ⊢ ((𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 𝑘))) → (𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑗))))
18	16, 17	impbii 126	. . 3 ⊢ ((𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑗))) ↔ (𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 𝑘))))
19	18	a1i 9	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑗))) ↔ (𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 𝑘)))))
20		fprod0diag.1	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑗)))) → 𝐴 ∈ ℂ)
21	3, 3, 9, 15, 19, 20	fprodcom2fi 11769	1 ⊢ (𝜑 → ∏𝑗 ∈ (0...𝑁)∏𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑗))𝐴 = ∏𝑘 ∈ (0...𝑁)∏𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 𝑘))𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  (class class class)co 5918  ℂcc 7870  0cc0 7872   − cmin 8190  ℤcz 9317  ...cfz 10074  ∏cprod 11693

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-iinf 4620  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-mulrcl 7971  ax-addcom 7972  ax-mulcom 7973  ax-addass 7974  ax-mulass 7975  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-1rid 7979  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-precex 7982  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-apti 7987  ax-pre-ltadd 7988  ax-pre-mulgt0 7989  ax-pre-mulext 7990  ax-arch 7991  ax-caucvg 7992

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-if 3558  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-disj 4007  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-id 4324  df-po 4327  df-iso 4328  df-iord 4397  df-on 4399  df-ilim 4400  df-suc 4402  df-iom 4623  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-isom 5263  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-recs 6358  df-irdg 6423  df-frec 6444  df-1o 6469  df-oadd 6473  df-er 6587  df-en 6795  df-dom 6796  df-fin 6797  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-reap 8594  df-ap 8601  df-div 8692  df-inn 8983  df-2 9041  df-3 9042  df-4 9043  df-n0 9241  df-z 9318  df-uz 9593  df-q 9685  df-rp 9720  df-fz 10075  df-fzo 10209  df-seqfrec 10519  df-exp 10610  df-ihash 10847  df-cj 10986  df-re 10987  df-im 10988  df-rsqrt 11142  df-abs 11143  df-clim 11422  df-proddc 11694

This theorem is referenced by: (None)