Theorem imi 11483

Description: The imaginary part of i. (Contributed by Scott Fenton, 9-Jun-2006.)

Assertion

Ref	Expression
imi	⊢ (ℑ‘i) = 1

Proof of Theorem imi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-icn 8132	. . . . . 6 ⊢ i ∈ ℂ
2		ax-1cn 8130	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℂ
3	1, 2	mulcli 8189	. . . . 5 ⊢ (i · 1) ∈ ℂ
4	3	addlidi 8327	. . . 4 ⊢ (0 + (i · 1)) = (i · 1)
5	4	eqcomi 2234	. . 3 ⊢ (i · 1) = (0 + (i · 1))
6	5	fveq2i 5645	. 2 ⊢ (ℑ‘(i · 1)) = (ℑ‘(0 + (i · 1)))
7	1	mulridi 8186	. . 3 ⊢ (i · 1) = i
8	7	fveq2i 5645	. 2 ⊢ (ℑ‘(i · 1)) = (ℑ‘i)
9		0re 8184	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ
10		1re 8183	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ
11		crim 11441	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (ℑ‘(0 + (i · 1))) = 1)
12	9, 10, 11	mp2an 426	. 2 ⊢ (ℑ‘(0 + (i · 1))) = 1
13	6, 8, 12	3eqtr3i 2259	1 ⊢ (ℑ‘i) = 1

Syntax hints:   = wceq 1397   ∈ wcel 2201  ‘cfv 5328  (class class class)co 6023  ℝcr 8036  0cc0 8037  1c1 8038  ici 8039   + caddc 8040   · cmul 8042  ℑcim 11424

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2203  ax-14 2204  ax-ext 2212  ax-sep 4208  ax-pow 4266  ax-pr 4301  ax-un 4532  ax-setind 4637  ax-cnex 8128  ax-resscn 8129  ax-1cn 8130  ax-1re 8131  ax-icn 8132  ax-addcl 8133  ax-addrcl 8134  ax-mulcl 8135  ax-mulrcl 8136  ax-addcom 8137  ax-mulcom 8138  ax-addass 8139  ax-mulass 8140  ax-distr 8141  ax-i2m1 8142  ax-0lt1 8143  ax-1rid 8144  ax-0id 8145  ax-rnegex 8146  ax-precex 8147  ax-cnre 8148  ax-pre-ltirr 8149  ax-pre-ltwlin 8150  ax-pre-lttrn 8151  ax-pre-apti 8152  ax-pre-ltadd 8153  ax-pre-mulgt0 8154  ax-pre-mulext 8155

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1810  df-eu 2081  df-mo 2082  df-clab 2217  df-cleq 2223  df-clel 2226  df-nfc 2362  df-ne 2402  df-nel 2497  df-ral 2514  df-rex 2515  df-reu 2516  df-rmo 2517  df-rab 2518  df-v 2803  df-sbc 3031  df-dif 3201  df-un 3203  df-in 3205  df-ss 3212  df-pw 3655  df-sn 3676  df-pr 3677  df-op 3679  df-uni 3895  df-br 4090  df-opab 4152  df-mpt 4153  df-id 4392  df-po 4395  df-iso 4396  df-xp 4733  df-rel 4734  df-cnv 4735  df-co 4736  df-dm 4737  df-rn 4738  df-res 4739  df-ima 4740  df-iota 5288  df-fun 5330  df-fn 5331  df-f 5332  df-fv 5336  df-riota 5976  df-ov 6026  df-oprab 6027  df-mpo 6028  df-pnf 8221  df-mnf 8222  df-xr 8223  df-ltxr 8224  df-le 8225  df-sub 8357  df-neg 8358  df-reap 8760  df-ap 8767  df-div 8858  df-2 9207  df-cj 11425  df-re 11426  df-im 11427

This theorem is referenced by:  cji  11485  igz  12970