Theorem igz 13010

Description: i is a gaussian integer. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
igz	⊢ i ∈ ℤ[i]

Proof of Theorem igz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-icn 8170	. 2 ⊢ i ∈ ℂ
2		rei 11522	. . 3 ⊢ (ℜ‘i) = 0
3		0z 9534	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℤ
4	2, 3	eqeltri 2304	. 2 ⊢ (ℜ‘i) ∈ ℤ
5		imi 11523	. . 3 ⊢ (ℑ‘i) = 1
6		1z 9549	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℤ
7	5, 6	eqeltri 2304	. 2 ⊢ (ℑ‘i) ∈ ℤ
8		elgz 13007	. 2 ⊢ (i ∈ ℤ[i] ↔ (i ∈ ℂ ∧ (ℜ‘i) ∈ ℤ ∧ (ℑ‘i) ∈ ℤ))
9	1, 4, 7, 8	mpbir3an 1206	1 ⊢ i ∈ ℤ[i]

Syntax hints:   ∈ wcel 2202  ‘cfv 5333  ℂcc 8073  0cc0 8075  1c1 8076  ici 8077  ℤcz 9523  ℜcre 11463  ℑcim 11464  ℤ[i]cgz 13005

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-mulrcl 8174  ax-addcom 8175  ax-mulcom 8176  ax-addass 8177  ax-mulass 8178  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-1rid 8182  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-precex 8185  ax-cnre 8186  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltwlin 8188  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-apti 8190  ax-pre-ltadd 8191  ax-pre-mulgt0 8192  ax-pre-mulext 8193

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-po 4399  df-iso 4400  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-pnf 8258  df-mnf 8259  df-xr 8260  df-ltxr 8261  df-le 8262  df-sub 8394  df-neg 8395  df-reap 8797  df-ap 8804  df-div 8895  df-inn 9186  df-2 9244  df-z 9524  df-cj 11465  df-re 11466  df-im 11467  df-gz 13006

This theorem is referenced by:  gzreim  13015