Theorem pfxccatin12 11260

Description: The subword of a concatenation of two words within both of the concatenated words. (Contributed by Alexander van der Vekens, 5-Apr-2018.) (Revised by AV, 9-May-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
swrdccatin2.l	⊢ 𝐿 = (♯‘𝐴)

Assertion

Ref	Expression
pfxccatin12	⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) → ((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) → ((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) = ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩) ++ (𝐵 prefix (𝑁 − 𝐿)))))

Proof of Theorem pfxccatin12

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		swrdccatin2.l	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = (♯‘𝐴)
2	1	pfxccatin12lem2c 11257	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) → ((𝐴 ++ 𝐵) ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘(𝐴 ++ 𝐵)))))
3		swrdvalfn 11183	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ++ 𝐵) ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘(𝐴 ++ 𝐵)))) → ((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) Fn (0..^(𝑁 − 𝑀)))
4	2, 3	syl 14	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) → ((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) Fn (0..^(𝑁 − 𝑀)))
5		simpll 527	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) → 𝐴 ∈ Word 𝑉)
6		elfzelz 10217	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝐿) → 𝑀 ∈ ℤ)
7	6	ad2antrl 490	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) → 𝑀 ∈ ℤ)
8		elfzel1 10216	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))) → 𝐿 ∈ ℤ)
9	8	ad2antll 491	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) → 𝐿 ∈ ℤ)
10		swrdclg 11177	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩) ∈ Word 𝑉)
11	5, 7, 9, 10	syl3anc 1271	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) → (𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩) ∈ Word 𝑉)
12		simplr 528	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) → 𝐵 ∈ Word 𝑉)
13		elfzle1 10219	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))) → 𝐿 ≤ 𝑁)
14		elfzelz 10217	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))) → 𝑁 ∈ ℤ)
15		znn0sub 9508	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐿 ≤ 𝑁 ↔ (𝑁 − 𝐿) ∈ ℕ0))
16	8, 14, 15	syl2anc 411	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))) → (𝐿 ≤ 𝑁 ↔ (𝑁 − 𝐿) ∈ ℕ0))
17	13, 16	mpbid 147	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))) → (𝑁 − 𝐿) ∈ ℕ0)
18	17	ad2antll 491	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) → (𝑁 − 𝐿) ∈ ℕ0)
19		pfxclg 11205	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑁 − 𝐿) ∈ ℕ0) → (𝐵 prefix (𝑁 − 𝐿)) ∈ Word 𝑉)
20	12, 18, 19	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) → (𝐵 prefix (𝑁 − 𝐿)) ∈ Word 𝑉)
21		ccatvalfn 11131	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐵 prefix (𝑁 − 𝐿)) ∈ Word 𝑉) → ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩) ++ (𝐵 prefix (𝑁 − 𝐿))) Fn (0..^((♯‘(𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩)) + (♯‘(𝐵 prefix (𝑁 − 𝐿))))))
22	11, 20, 21	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) → ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩) ++ (𝐵 prefix (𝑁 − 𝐿))) Fn (0..^((♯‘(𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩)) + (♯‘(𝐵 prefix (𝑁 − 𝐿))))))
23		simprl 529	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) → 𝑀 ∈ (0...𝐿))
24		lencl 11070	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
25		nn0fz0 10311	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ0 ↔ (♯‘𝐴) ∈ (0...(♯‘𝐴)))
26	24, 25	sylib 122	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝐴) ∈ (0...(♯‘𝐴)))
27	1, 26	eqeltrid 2316	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ Word 𝑉 → 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝐴)))
28	27	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) → 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝐴)))
29		swrdlen 11179	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝐴))) → (♯‘(𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩)) = (𝐿 − 𝑀))
30	5, 23, 28, 29	syl3anc 1271	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) → (♯‘(𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩)) = (𝐿 − 𝑀))
31		lencl 11070	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
32	31	nn0zd 9563	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝐵) ∈ ℤ)
33		elfzmlbp 10324	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((♯‘𝐵) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) → (𝑁 − 𝐿) ∈ (0...(♯‘𝐵)))
34	32, 33	sylan 283	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) → (𝑁 − 𝐿) ∈ (0...(♯‘𝐵)))
35		pfxlen 11212	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑁 − 𝐿) ∈ (0...(♯‘𝐵))) → (♯‘(𝐵 prefix (𝑁 − 𝐿))) = (𝑁 − 𝐿))
36	34, 35	syldan 282	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) → (♯‘(𝐵 prefix (𝑁 − 𝐿))) = (𝑁 − 𝐿))
37	36	ad2ant2l 508	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) → (♯‘(𝐵 prefix (𝑁 − 𝐿))) = (𝑁 − 𝐿))
38	30, 37	oveq12d 6018	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) → ((♯‘(𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩)) + (♯‘(𝐵 prefix (𝑁 − 𝐿)))) = ((𝐿 − 𝑀) + (𝑁 − 𝐿)))
39		elfz2nn0 10304	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ↔ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝐿))
40		nn0cn 9375	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐿 ∈ ℕ0 → 𝐿 ∈ ℂ)
41	40	ad2antll 491	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) → 𝐿 ∈ ℂ)
42		nn0cn 9375	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → 𝑀 ∈ ℂ)
43	42	ad2antrl 490	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) → 𝑀 ∈ ℂ)
44		zcn 9447	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
45	44	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) → 𝑁 ∈ ℂ)
46	41, 43, 45	3jca 1201	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) → (𝐿 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ))
47	46	ex 115	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → (𝐿 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ)))
48	47, 14	syl11 31	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))) → (𝐿 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ)))
49	48	3adant3 1041	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝐿) → (𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))) → (𝐿 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ)))
50	39, 49	sylbi 121	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝐿) → (𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))) → (𝐿 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ)))
51	50	imp 124	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) → (𝐿 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ))
52		npncan3 8380	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐿 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → ((𝐿 − 𝑀) + (𝑁 − 𝐿)) = (𝑁 − 𝑀))
53	51, 52	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) → ((𝐿 − 𝑀) + (𝑁 − 𝐿)) = (𝑁 − 𝑀))
54	53	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) → ((𝐿 − 𝑀) + (𝑁 − 𝐿)) = (𝑁 − 𝑀))
55	38, 54	eqtr2d 2263	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) → (𝑁 − 𝑀) = ((♯‘(𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩)) + (♯‘(𝐵 prefix (𝑁 − 𝐿)))))
56	55	oveq2d 6016	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) → (0..^(𝑁 − 𝑀)) = (0..^((♯‘(𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩)) + (♯‘(𝐵 prefix (𝑁 − 𝐿))))))
57	56	fneq2d 5411	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) → (((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩) ++ (𝐵 prefix (𝑁 − 𝐿))) Fn (0..^(𝑁 − 𝑀)) ↔ ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩) ++ (𝐵 prefix (𝑁 − 𝐿))) Fn (0..^((♯‘(𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩)) + (♯‘(𝐵 prefix (𝑁 − 𝐿)))))))
58	22, 57	mpbird 167	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) → ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩) ++ (𝐵 prefix (𝑁 − 𝐿))) Fn (0..^(𝑁 − 𝑀)))
59		elfzoelz 10339	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) → 𝑘 ∈ ℤ)
60	59	adantl 277	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀))) → 𝑘 ∈ ℤ)
61		0zd 9454	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀))) → 0 ∈ ℤ)
62	9, 7	zsubcld 9570	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) → (𝐿 − 𝑀) ∈ ℤ)
63	62	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀))) → (𝐿 − 𝑀) ∈ ℤ)
64		fzodcel 10345	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ (𝐿 − 𝑀) ∈ ℤ) → DECID 𝑘 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)))
65	60, 61, 63, 64	syl3anc 1271	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀))) → DECID 𝑘 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)))
66		exmiddc 841	. . . . 5 ⊢ (DECID 𝑘 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)) → (𝑘 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)) ∨ ¬ 𝑘 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀))))
67		simprl 529	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)) ∧ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)))) → ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))))
68		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀))) → 𝑘 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)))
69	68	anim2i 342	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑘 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)) ∧ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)))) → (𝑘 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀))))
70	69	ancomd 267	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)) ∧ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)))) → (𝑘 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀))))
71	1	pfxccatin12lem3 11259	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) → ((𝑘 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀))) → (((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘𝑘) = ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩)‘𝑘)))
72	67, 70, 71	sylc 62	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)) ∧ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)))) → (((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘𝑘) = ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩)‘𝑘))
73	11, 20	jca 306	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) → ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐵 prefix (𝑁 − 𝐿)) ∈ Word 𝑉))
74	73	ad2antrl 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑘 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)) ∧ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)))) → ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐵 prefix (𝑁 − 𝐿)) ∈ Word 𝑉))
75		simpl 109	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)) ∧ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)))) → 𝑘 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)))
76	30	oveq2d 6016	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) → (0..^(♯‘(𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩))) = (0..^(𝐿 − 𝑀)))
77	76	ad2antrl 490	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)) ∧ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)))) → (0..^(♯‘(𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩))) = (0..^(𝐿 − 𝑀)))
78	75, 77	eleqtrrd 2309	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑘 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)) ∧ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)))) → 𝑘 ∈ (0..^(♯‘(𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩))))
79		df-3an 1004	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐵 prefix (𝑁 − 𝐿)) ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘(𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩)))) ↔ (((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐵 prefix (𝑁 − 𝐿)) ∈ Word 𝑉) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘(𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩)))))
80	74, 78, 79	sylanbrc 417	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)) ∧ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)))) → ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐵 prefix (𝑁 − 𝐿)) ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘(𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩)))))
81		ccatval1 11127	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐵 prefix (𝑁 − 𝐿)) ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘(𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩)))) → (((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩) ++ (𝐵 prefix (𝑁 − 𝐿)))‘𝑘) = ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩)‘𝑘))
82	80, 81	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)) ∧ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)))) → (((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩) ++ (𝐵 prefix (𝑁 − 𝐿)))‘𝑘) = ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩)‘𝑘))
83	72, 82	eqtr4d 2265	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)) ∧ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)))) → (((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘𝑘) = (((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩) ++ (𝐵 prefix (𝑁 − 𝐿)))‘𝑘))
84	83	ex 115	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)) → ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀))) → (((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘𝑘) = (((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩) ++ (𝐵 prefix (𝑁 − 𝐿)))‘𝑘)))
85		simprl 529	. . . . . . . . 9 ⊢ ((¬ 𝑘 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)) ∧ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)))) → ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))))
86	68	anim2i 342	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((¬ 𝑘 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)) ∧ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)))) → (¬ 𝑘 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀))))
87	86	ancomd 267	. . . . . . . . 9 ⊢ ((¬ 𝑘 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)) ∧ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)))) → (𝑘 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ ¬ 𝑘 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀))))
88	1	pfxccatin12lem2 11258	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) → ((𝑘 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ ¬ 𝑘 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀))) → (((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘𝑘) = ((𝐵 prefix (𝑁 − 𝐿))‘(𝑘 − (♯‘(𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩))))))
89	85, 87, 88	sylc 62	. . . . . . . 8 ⊢ ((¬ 𝑘 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)) ∧ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)))) → (((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘𝑘) = ((𝐵 prefix (𝑁 − 𝐿))‘(𝑘 − (♯‘(𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩)))))
90	73	ad2antrl 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((¬ 𝑘 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)) ∧ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)))) → ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐵 prefix (𝑁 − 𝐿)) ∈ Word 𝑉))
91		elfzuz 10213	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐿))
92		eluzelz 9727	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐿) → 𝑁 ∈ ℤ)
93		id 19	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐿 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐿 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
94	93	3expia 1229	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐿 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∈ ℤ → (𝐿 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ)))
95	94	ancoms 268	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∈ ℤ → (𝐿 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ)))
96	95	3adant3 1041	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝐿) → (𝑁 ∈ ℤ → (𝐿 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ)))
97	39, 96	sylbi 121	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝐿) → (𝑁 ∈ ℤ → (𝐿 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ)))
98	92, 97	syl5com 29	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐿) → (𝑀 ∈ (0...𝐿) → (𝐿 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ)))
99	91, 98	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))) → (𝑀 ∈ (0...𝐿) → (𝐿 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ)))
100	99	impcom 125	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) → (𝐿 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
101	100	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) → (𝐿 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
102	101	ad2antrl 490	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((¬ 𝑘 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)) ∧ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)))) → (𝐿 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
103		pfxccatin12lem4 11253	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐿 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑘 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ ¬ 𝑘 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀))) → 𝑘 ∈ ((𝐿 − 𝑀)..^((𝐿 − 𝑀) + (𝑁 − 𝐿)))))
104	102, 87, 103	sylc 62	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((¬ 𝑘 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)) ∧ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)))) → 𝑘 ∈ ((𝐿 − 𝑀)..^((𝐿 − 𝑀) + (𝑁 − 𝐿))))
105	30, 38	oveq12d 6018	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) → ((♯‘(𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩))..^((♯‘(𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩)) + (♯‘(𝐵 prefix (𝑁 − 𝐿))))) = ((𝐿 − 𝑀)..^((𝐿 − 𝑀) + (𝑁 − 𝐿))))
106	105	ad2antrl 490	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((¬ 𝑘 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)) ∧ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)))) → ((♯‘(𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩))..^((♯‘(𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩)) + (♯‘(𝐵 prefix (𝑁 − 𝐿))))) = ((𝐿 − 𝑀)..^((𝐿 − 𝑀) + (𝑁 − 𝐿))))
107	104, 106	eleqtrrd 2309	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((¬ 𝑘 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)) ∧ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)))) → 𝑘 ∈ ((♯‘(𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩))..^((♯‘(𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩)) + (♯‘(𝐵 prefix (𝑁 − 𝐿))))))
108		df-3an 1004	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐵 prefix (𝑁 − 𝐿)) ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑘 ∈ ((♯‘(𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩))..^((♯‘(𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩)) + (♯‘(𝐵 prefix (𝑁 − 𝐿)))))) ↔ (((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐵 prefix (𝑁 − 𝐿)) ∈ Word 𝑉) ∧ 𝑘 ∈ ((♯‘(𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩))..^((♯‘(𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩)) + (♯‘(𝐵 prefix (𝑁 − 𝐿)))))))
109	90, 107, 108	sylanbrc 417	. . . . . . . . 9 ⊢ ((¬ 𝑘 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)) ∧ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)))) → ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐵 prefix (𝑁 − 𝐿)) ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑘 ∈ ((♯‘(𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩))..^((♯‘(𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩)) + (♯‘(𝐵 prefix (𝑁 − 𝐿)))))))
110		ccatval2 11128	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐵 prefix (𝑁 − 𝐿)) ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑘 ∈ ((♯‘(𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩))..^((♯‘(𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩)) + (♯‘(𝐵 prefix (𝑁 − 𝐿)))))) → (((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩) ++ (𝐵 prefix (𝑁 − 𝐿)))‘𝑘) = ((𝐵 prefix (𝑁 − 𝐿))‘(𝑘 − (♯‘(𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩)))))
111	109, 110	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ ((¬ 𝑘 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)) ∧ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)))) → (((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩) ++ (𝐵 prefix (𝑁 − 𝐿)))‘𝑘) = ((𝐵 prefix (𝑁 − 𝐿))‘(𝑘 − (♯‘(𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩)))))
112	89, 111	eqtr4d 2265	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ 𝑘 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)) ∧ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)))) → (((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘𝑘) = (((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩) ++ (𝐵 prefix (𝑁 − 𝐿)))‘𝑘))
113	112	ex 115	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑘 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)) → ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀))) → (((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘𝑘) = (((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩) ++ (𝐵 prefix (𝑁 − 𝐿)))‘𝑘)))
114	84, 113	jaoi 721	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)) ∨ ¬ 𝑘 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀))) → ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀))) → (((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘𝑘) = (((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩) ++ (𝐵 prefix (𝑁 − 𝐿)))‘𝑘)))
115	66, 114	syl 14	. . . 4 ⊢ (DECID 𝑘 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)) → ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀))) → (((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘𝑘) = (((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩) ++ (𝐵 prefix (𝑁 − 𝐿)))‘𝑘)))
116	65, 115	mpcom 36	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀))) → (((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘𝑘) = (((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩) ++ (𝐵 prefix (𝑁 − 𝐿)))‘𝑘))
117	4, 58, 116	eqfnfvd 5734	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) → ((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) = ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩) ++ (𝐵 prefix (𝑁 − 𝐿))))
118	117	ex 115	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) → ((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) → ((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) = ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩) ++ (𝐵 prefix (𝑁 − 𝐿)))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 713  DECID wdc 839   ∧ w3a 1002   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ⟨cop 3669   class class class wbr 4082   Fn wfn 5312  ‘cfv 5317  (class class class)co 6000  ℂcc 7993  0cc0 7995   + caddc 7998   ≤ cle 8178   − cmin 8313  ℕ₀cn0 9365  ℤcz 9442  ℤ_≥cuz 9718  ...cfz 10200  ..^cfzo 10334  ♯chash 10992  Word cword 11066   ++ cconcat 11120   substr csubstr 11172   prefix cpfx 11199

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4198  ax-sep 4201  ax-nul 4209  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-iinf 4679  ax-cnex 8086  ax-resscn 8087  ax-1cn 8088  ax-1re 8089  ax-icn 8090  ax-addcl 8091  ax-addrcl 8092  ax-mulcl 8093  ax-addcom 8095  ax-addass 8097  ax-distr 8099  ax-i2m1 8100  ax-0lt1 8101  ax-0id 8103  ax-rnegex 8104  ax-cnre 8106  ax-pre-ltirr 8107  ax-pre-ltwlin 8108  ax-pre-lttrn 8109  ax-pre-apti 8110  ax-pre-ltadd 8111

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-tr 4182  df-id 4383  df-iord 4456  df-on 4458  df-ilim 4459  df-suc 4461  df-iom 4682  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-ima 4731  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-f 5321  df-f1 5322  df-fo 5323  df-f1o 5324  df-fv 5325  df-riota 5953  df-ov 6003  df-oprab 6004  df-mpo 6005  df-1st 6284  df-2nd 6285  df-recs 6449  df-frec 6535  df-1o 6560  df-er 6678  df-en 6886  df-dom 6887  df-fin 6888  df-pnf 8179  df-mnf 8180  df-xr 8181  df-ltxr 8182  df-le 8183  df-sub 8315  df-neg 8316  df-inn 9107  df-n0 9366  df-z 9443  df-uz 9719  df-fz 10201  df-fzo 10335  df-ihash 10993  df-word 11067  df-concat 11121  df-substr 11173  df-pfx 11200

This theorem is referenced by:  pfxccat3  11261  pfxccatpfx2  11264  pfxccatin12d  11272