Theorem prmz 12891

Description: A prime number is an integer. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.) (Proof shortened by Jonathan Yan, 16-Jul-2017.)

Assertion

Ref	Expression
prmz	⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)

Proof of Theorem prmz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prmnn 12890	. 2 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
2	1	nnzd 9769	1 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2209  ℤcz 9646  ℙcprime 12887

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-addass 8281  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-ltadd 8295

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-opab 4193  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-inn 9306  df-n0 9566  df-z 9647  df-prm 12888

This theorem is used by:  dvdsprime  12902  prm2orodd  12906  oddprmge3  12915  exprmfct  12918  prmdvdsfz  12919  isprm5lem  12921  isprm5  12922  coprm  12924  prmrp  12925  euclemma  12926  prmdvdsexpb  12929  prmexpb  12931  prmfac1  12932  rpexp  12933  prmndvdsfaclt  12936  cncongrprm  12937  phiprmpw  13002  phiprm  13003  fermltl  13014  prmdiv  13015  prmdiveq  13016  vfermltl  13032  reumodprminv  13034  modprm0  13035  oddprm  13040  prm23lt5  13044  prm23ge5  13045  pcneg  13106  pcprmpw2  13114  pcprmpw  13115  difsqpwdvds  13119  pcmpt  13124  pcmptdvds  13126  pcprod  13127  prmpwdvds  13136  prmunb  13143  1arithlem4  13147  1arith  13148  4sqlem11  13182  4sqlem12  13183  4sqlem13m  13184  4sqlem14  13185  4sqlem17  13188  4sqlem19  13190  wilthlem1  16100  dvdsppwf1o  16109  perfect1  16118  lgslem1  16131  lgsval2lem  16141  lgsvalmod  16150  lgsmod  16157  lgsdirprm  16165  lgsdir  16166  lgsdilem2  16167  lgsdi  16168  lgsne0  16169  lgsprme0  16173  gausslemma2dlem1a  16189  gausslemma2dlem1cl  16190  gausslemma2dlem1f1o  16191  gausslemma2dlem4  16195  gausslemma2dlem5a  16196  lgseisenlem1  16201  lgseisenlem2  16202  lgseisenlem3  16203  lgseisenlem4  16204  lgseisen  16205  lgsquadlem2  16209  lgsquadlem3  16210  lgsquad2lem2  16213  m1lgs  16216  2lgslem1a  16219  2lgslem1  16222  2lgslem2  16223  2lgs  16235  2lgsoddprm  16244  2sqlem3  16248  2sqlem4  16249  2sqlem6  16251  2sqlem8  16254