Theorem prmz 12905

Description: A prime number is an integer. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.) (Proof shortened by Jonathan Yan, 16-Jul-2017.)

Assertion

Ref	Expression
prmz	⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)

Proof of Theorem prmz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prmnn 12904	. 2 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
2	1	nnzd 9771	1 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2209  ℤcz 9648  ℙcprime 12901

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-addass 8281  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-ltadd 8295

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-opab 4193  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8500  df-neg 8501  df-inn 9307  df-n0 9568  df-z 9649  df-prm 12902

This theorem is used by:  dvdsprime  12916  prm2orodd  12920  oddprmge3  12930  exprmfct  12933  prmdvdsfz  12934  isprm5lem  12936  isprm5  12937  coprm  12939  prmrp  12940  euclemma  12941  prmdvdsexpb  12944  prmexpb  12946  prmfac1  12947  rpexp  12948  prmndvdsfaclt  12951  cncongrprm  12952  phiprmpw  13020  phiprm  13021  fermltl  13032  prmdiv  13033  prmdiveq  13034  vfermltl  13050  reumodprminv  13052  modprm0  13053  oddprm  13058  prm23lt5  13062  prm23ge5  13063  pcneg  13124  pcprmpw2  13132  pcprmpw  13133  difsqpwdvds  13137  pcmpt  13142  pcmptdvds  13144  pcprod  13145  prmpwdvds  13154  prmunb  13161  1arithlem4  13165  1arith  13166  4sqlem11  13200  4sqlem12  13201  4sqlem13m  13202  4sqlem14  13203  4sqlem17  13206  4sqlem19  13208  prmlem1a  13241  wilthlem1  16151  ppiqsval  16159  dvdsppwf1o  16202  ppiublem1  16210  ppiublem2  16211  chtublem  16214  perfect1  16217  bposlem3  16232  lgslem1  16238  lgsval2lem  16248  lgsvalmod  16257  lgsmod  16264  lgsdirprm  16272  lgsdir  16273  lgsdilem2  16274  lgsdi  16275  lgsne0  16276  lgsprme0  16280  gausslemma2dlem1a  16296  gausslemma2dlem1cl  16297  gausslemma2dlem1f1o  16298  gausslemma2dlem4  16302  gausslemma2dlem5a  16303  lgseisenlem1  16308  lgseisenlem2  16309  lgseisenlem3  16310  lgseisenlem4  16311  lgseisen  16312  lgsquadlem2  16316  lgsquadlem3  16317  lgsquad2lem2  16320  m1lgs  16323  2lgslem1a  16326  2lgslem1  16329  2lgslem2  16330  2lgs  16342  2lgsoddprm  16351  2sqlem3  16355  2sqlem4  16356  2sqlem6  16358  2sqlem8  16361