Theorem prmz 12915

Description: A prime number is an integer. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.) (Proof shortened by Jonathan Yan, 16-Jul-2017.)

Assertion

Ref	Expression
prmz	⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)

Proof of Theorem prmz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prmnn 12914	. 2 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
2	1	nnzd 9779	1 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2209  ℤcz 9656  ℙcprime 12911

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8277  ax-resscn 8278  ax-1cn 8279  ax-1re 8280  ax-icn 8281  ax-addcl 8282  ax-addrcl 8283  ax-mulcl 8284  ax-addcom 8286  ax-addass 8288  ax-distr 8290  ax-i2m1 8291  ax-0lt1 8292  ax-0id 8294  ax-rnegex 8295  ax-cnre 8297  ax-pre-ltirr 8298  ax-pre-ltwlin 8299  ax-pre-lttrn 8300  ax-pre-ltadd 8302

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4132  df-opab 4194  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-pnf 8369  df-mnf 8370  df-xr 8371  df-ltxr 8372  df-le 8373  df-sub 8507  df-neg 8508  df-inn 9315  df-n0 9576  df-z 9657  df-prm 12912

This theorem is used by:  dvdsprime  12926  prm2orodd  12930  oddprmge3  12940  exprmfct  12943  prmdvdsfz  12944  isprm5lem  12946  isprm5  12947  coprm  12949  prmrp  12950  euclemma  12951  prmdvdsexpb  12954  prmexpb  12956  prmfac1  12957  rpexp  12958  prmndvdsfaclt  12961  cncongrprm  12962  phiprmpw  13030  phiprm  13031  fermltl  13042  prmdiv  13043  prmdiveq  13044  vfermltl  13060  reumodprminv  13062  modprm0  13063  oddprm  13068  prm23lt5  13072  prm23ge5  13073  pcneg  13134  pcprmpw2  13142  pcprmpw  13143  difsqpwdvds  13147  pcmpt  13152  pcmptdvds  13154  pcprod  13155  prmpwdvds  13164  prmunb  13171  1arithlem4  13175  1arith  13176  4sqlem11  13210  4sqlem12  13211  4sqlem13m  13212  4sqlem14  13213  4sqlem17  13216  4sqlem19  13218  prmlem1a  13251  wilthlem1  16244  ppiqsval  16252  dvdsppwf1o  16295  ppiublem1  16303  ppiublem2  16304  chtublem  16307  perfect1  16310  bposlem3  16325  bposlem6  16328  bpos  16332  lgslem1  16336  lgsval2lem  16346  lgsvalmod  16355  lgsmod  16362  lgsdirprm  16370  lgsdir  16371  lgsdilem2  16372  lgsdi  16373  lgsne0  16374  lgsprme0  16378  gausslemma2dlem1a  16394  gausslemma2dlem1cl  16395  gausslemma2dlem1f1o  16396  gausslemma2dlem4  16400  gausslemma2dlem5a  16401  lgseisenlem1  16406  lgseisenlem2  16407  lgseisenlem3  16408  lgseisenlem4  16409  lgseisen  16410  lgsquadlem2  16414  lgsquadlem3  16415  lgsquad2lem2  16418  m1lgs  16421  2lgslem1a  16424  2lgslem1  16427  2lgslem2  16428  2lgs  16440  2lgsoddprm  16449  2sqlem3  16453  2sqlem4  16454  2sqlem6  16456  2sqlem8  16459