Theorem prmz 12913

Description: A prime number is an integer. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.) (Proof shortened by Jonathan Yan, 16-Jul-2017.)

Assertion

Ref	Expression
prmz	⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)

Proof of Theorem prmz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prmnn 12912	. 2 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
2	1	nnzd 9777	1 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2209  ℤcz 9653  ℙcprime 12909

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-addcom 8285  ax-addass 8287  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-ltadd 8301

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4132  df-opab 4194  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-inn 9314  df-n0 9575  df-z 9654  df-prm 12910

This theorem is used by:  dvdsprime  12924  prm2orodd  12928  oddprmge3  12938  exprmfct  12941  prmdvdsfz  12942  isprm5lem  12944  isprm5  12945  coprm  12947  prmrp  12948  euclemma  12949  prmdvdsexpb  12952  prmexpb  12954  prmfac1  12955  rpexp  12956  prmndvdsfaclt  12959  cncongrprm  12960  phiprmpw  13028  phiprm  13029  fermltl  13040  prmdiv  13041  prmdiveq  13042  vfermltl  13058  reumodprminv  13060  modprm0  13061  oddprm  13066  prm23lt5  13070  prm23ge5  13071  pcneg  13132  pcprmpw2  13140  pcprmpw  13141  difsqpwdvds  13145  pcmpt  13150  pcmptdvds  13152  pcprod  13153  prmpwdvds  13162  prmunb  13169  1arithlem4  13173  1arith  13174  4sqlem11  13208  4sqlem12  13209  4sqlem13m  13210  4sqlem14  13211  4sqlem17  13214  4sqlem19  13216  prmlem1a  13249  wilthlem1  16249  ppiqsval  16257  dvdsppwf1o  16300  ppiublem1  16308  ppiublem2  16309  chtublem  16312  perfect1  16315  bposlem3  16330  bposlem6  16333  bpos  16337  lgslem1  16341  lgsval2lem  16351  lgsvalmod  16360  lgsmod  16367  lgsdirprm  16375  lgsdir  16376  lgsdilem2  16377  lgsdi  16378  lgsne0  16379  lgsprme0  16383  gausslemma2dlem1a  16399  gausslemma2dlem1cl  16400  gausslemma2dlem1f1o  16401  gausslemma2dlem4  16405  gausslemma2dlem5a  16406  lgseisenlem1  16411  lgseisenlem2  16412  lgseisenlem3  16413  lgseisenlem4  16414  lgseisen  16415  lgsquadlem2  16419  lgsquadlem3  16420  lgsquad2lem2  16423  m1lgs  16426  2lgslem1a  16429  2lgslem1  16432  2lgslem2  16433  2lgs  16445  2lgsoddprm  16454  2sqlem3  16458  2sqlem4  16459  2sqlem6  16461  2sqlem8  16464