Theorem powm2modprm 12180

Description: If an integer minus 1 is divisible by a prime number, then the integer to the power of the prime number minus 2 is 1 modulo the prime number. (Contributed by Alexander van der Vekens, 30-Aug-2018.)

Assertion

Ref	Expression
powm2modprm	⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ (𝐴 − 1) → ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) = 1))

Proof of Theorem powm2modprm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 519	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 ∥ (𝐴 − 1)) → 𝑃 ∈ ℙ)
2		simpr 109	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℤ)
3	2	adantr 274	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 ∥ (𝐴 − 1)) → 𝐴 ∈ ℤ)
4		m1dvdsndvds 12176	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ (𝐴 − 1) → ¬ 𝑃 ∥ 𝐴))
5	4	imp 123	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 ∥ (𝐴 − 1)) → ¬ 𝑃 ∥ 𝐴)
6		eqid 2165	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) = ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)
7	6	modprminv 12177	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → (((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝐴 · ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) mod 𝑃) = 1))
8		simpr 109	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝐴 · ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) mod 𝑃) = 1) → ((𝐴 · ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) mod 𝑃) = 1)
9	8	eqcomd 2171	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝐴 · ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) mod 𝑃) = 1) → 1 = ((𝐴 · ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) mod 𝑃))
10	7, 9	syl 14	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → 1 = ((𝐴 · ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) mod 𝑃))
11	1, 3, 5, 10	syl3anc 1228	. . 3 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 ∥ (𝐴 − 1)) → 1 = ((𝐴 · ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) mod 𝑃))
12		modprm1div 12175	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ((𝐴 mod 𝑃) = 1 ↔ 𝑃 ∥ (𝐴 − 1)))
13	12	biimpar 295	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 ∥ (𝐴 − 1)) → (𝐴 mod 𝑃) = 1)
14	13	oveq1d 5856	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 ∥ (𝐴 − 1)) → ((𝐴 mod 𝑃) · ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) = (1 · ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)))
15	14	oveq1d 5856	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 ∥ (𝐴 − 1)) → (((𝐴 mod 𝑃) · ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) mod 𝑃) = ((1 · ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) mod 𝑃))
16		zq 9560	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℚ)
17	3, 16	syl 14	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 ∥ (𝐴 − 1)) → 𝐴 ∈ ℚ)
18		prmm2nn0 12061	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 − 2) ∈ ℕ0)
19	18	anim1ci 339	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝑃 − 2) ∈ ℕ0))
20	19	adantr 274	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 ∥ (𝐴 − 1)) → (𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝑃 − 2) ∈ ℕ0))
21		zexpcl 10466	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝑃 − 2) ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑃 − 2)) ∈ ℤ)
22	20, 21	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 ∥ (𝐴 − 1)) → (𝐴↑(𝑃 − 2)) ∈ ℤ)
23		prmnn 12038	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
24	23	adantr 274	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → 𝑃 ∈ ℕ)
25	24	adantr 274	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 ∥ (𝐴 − 1)) → 𝑃 ∈ ℕ)
26	22, 25	zmodcld 10276	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 ∥ (𝐴 − 1)) → ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ ℕ0)
27	26	nn0zd 9307	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 ∥ (𝐴 − 1)) → ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ ℤ)
28	25	nnzd 9308	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 ∥ (𝐴 − 1)) → 𝑃 ∈ ℤ)
29		zq 9560	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ ℤ → 𝑃 ∈ ℚ)
30	28, 29	syl 14	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 ∥ (𝐴 − 1)) → 𝑃 ∈ ℚ)
31	25	nngt0d 8897	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 ∥ (𝐴 − 1)) → 0 < 𝑃)
32		modqmulmod 10320	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ ℤ) ∧ (𝑃 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑃)) → (((𝐴 mod 𝑃) · ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) mod 𝑃) = ((𝐴 · ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) mod 𝑃))
33	17, 27, 30, 31, 32	syl22anc 1229	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 ∥ (𝐴 − 1)) → (((𝐴 mod 𝑃) · ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) mod 𝑃) = ((𝐴 · ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) mod 𝑃))
34	19, 21	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝐴↑(𝑃 − 2)) ∈ ℤ)
35	34, 24	zmodcld 10276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ ℕ0)
36	35	nn0cnd 9165	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ ℂ)
37	36	mulid2d 7913	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (1 · ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) = ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃))
38	37	oveq1d 5856	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ((1 · ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) mod 𝑃) = (((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) mod 𝑃))
39	38	adantr 274	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 ∥ (𝐴 − 1)) → ((1 · ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) mod 𝑃) = (((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) mod 𝑃))
40		zq 9560	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴↑(𝑃 − 2)) ∈ ℤ → (𝐴↑(𝑃 − 2)) ∈ ℚ)
41	22, 40	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 ∥ (𝐴 − 1)) → (𝐴↑(𝑃 − 2)) ∈ ℚ)
42		modqabs2 10289	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴↑(𝑃 − 2)) ∈ ℚ ∧ 𝑃 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑃) → (((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) mod 𝑃) = ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃))
43	41, 30, 31, 42	syl3anc 1228	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 ∥ (𝐴 − 1)) → (((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) mod 𝑃) = ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃))
44	39, 43	eqtrd 2198	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 ∥ (𝐴 − 1)) → ((1 · ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) mod 𝑃) = ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃))
45	15, 33, 44	3eqtr3d 2206	. . 3 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 ∥ (𝐴 − 1)) → ((𝐴 · ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) mod 𝑃) = ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃))
46	11, 45	eqtr2d 2199	. 2 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 ∥ (𝐴 − 1)) → ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) = 1)
47	46	ex 114	1 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ (𝐴 − 1) → ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) = 1))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ∧ w3a 968   = wceq 1343   ∈ wcel 2136   class class class wbr 3981  (class class class)co 5841  0cc0 7749  1c1 7750   · cmul 7754   < clt 7929   − cmin 8065  ℕcn 8853  2c2 8904  ℕ₀cn0 9110  ℤcz 9187  ℚcq 9553  ...cfz 9940   mod cmo 10253  ↑cexp 10450   ∥ cdvds 11723  ℙcprime 12035

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4096  ax-sep 4099  ax-nul 4107  ax-pow 4152  ax-pr 4186  ax-un 4410  ax-setind 4513  ax-iinf 4564  ax-cnex 7840  ax-resscn 7841  ax-1cn 7842  ax-1re 7843  ax-icn 7844  ax-addcl 7845  ax-addrcl 7846  ax-mulcl 7847  ax-mulrcl 7848  ax-addcom 7849  ax-mulcom 7850  ax-addass 7851  ax-mulass 7852  ax-distr 7853  ax-i2m1 7854  ax-0lt1 7855  ax-1rid 7856  ax-0id 7857  ax-rnegex 7858  ax-precex 7859  ax-cnre 7860  ax-pre-ltirr 7861  ax-pre-ltwlin 7862  ax-pre-lttrn 7863  ax-pre-apti 7864  ax-pre-ltadd 7865  ax-pre-mulgt0 7866  ax-pre-mulext 7867  ax-arch 7868  ax-caucvg 7869

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 821  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2296  df-ne 2336  df-nel 2431  df-ral 2448  df-rex 2449  df-reu 2450  df-rmo 2451  df-rab 2452  df-v 2727  df-sbc 2951  df-csb 3045  df-dif 3117  df-un 3119  df-in 3121  df-ss 3128  df-nul 3409  df-if 3520  df-pw 3560  df-sn 3581  df-pr 3582  df-op 3584  df-uni 3789  df-int 3824  df-iun 3867  df-br 3982  df-opab 4043  df-mpt 4044  df-tr 4080  df-id 4270  df-po 4273  df-iso 4274  df-iord 4343  df-on 4345  df-ilim 4346  df-suc 4348  df-iom 4567  df-xp 4609  df-rel 4610  df-cnv 4611  df-co 4612  df-dm 4613  df-rn 4614  df-res 4615  df-ima 4616  df-iota 5152  df-fun 5189  df-fn 5190  df-f 5191  df-f1 5192  df-fo 5193  df-f1o 5194  df-fv 5195  df-isom 5196  df-riota 5797  df-ov 5844  df-oprab 5845  df-mpo 5846  df-1st 6105  df-2nd 6106  df-recs 6269  df-irdg 6334  df-frec 6355  df-1o 6380  df-2o 6381  df-oadd 6384  df-er 6497  df-en 6703  df-dom 6704  df-fin 6705  df-sup 6945  df-pnf 7931  df-mnf 7932  df-xr 7933  df-ltxr 7934  df-le 7935  df-sub 8067  df-neg 8068  df-reap 8469  df-ap 8476  df-div 8565  df-inn 8854  df-2 8912  df-3 8913  df-4 8914  df-n0 9111  df-z 9188  df-uz 9463  df-q 9554  df-rp 9586  df-fz 9941  df-fzo 10074  df-fl 10201  df-mod 10254  df-seqfrec 10377  df-exp 10451  df-ihash 10685  df-cj 10780  df-re 10781  df-im 10782  df-rsqrt 10936  df-abs 10937  df-clim 11216  df-proddc 11488  df-dvds 11724  df-gcd 11872  df-prm 12036  df-phi 12139

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