Theorem powm2modprm 13033

Description: If an integer minus 1 is divisible by a prime number, then the integer to the power of the prime number minus 2 is 1 modulo the prime number. (Contributed by Alexander van der Vekens, 30-Aug-2018.)

Assertion

Ref	Expression
powm2modprm	⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ (𝐴 − 1) → ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) = 1))

Proof of Theorem powm2modprm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 531	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 ∥ (𝐴 − 1)) → 𝑃 ∈ ℙ)
2		simpr 110	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℤ)
3	2	adantr 276	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 ∥ (𝐴 − 1)) → 𝐴 ∈ ℤ)
4		m1dvdsndvds 13029	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ (𝐴 − 1) → ¬ 𝑃 ∥ 𝐴))
5	4	imp 124	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 ∥ (𝐴 − 1)) → ¬ 𝑃 ∥ 𝐴)
6		eqid 2238	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) = ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)
7	6	modprminv 13030	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → (((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝐴 · ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) mod 𝑃) = 1))
8		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝐴 · ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) mod 𝑃) = 1) → ((𝐴 · ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) mod 𝑃) = 1)
9	8	eqcomd 2244	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝐴 · ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) mod 𝑃) = 1) → 1 = ((𝐴 · ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) mod 𝑃))
10	7, 9	syl 14	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → 1 = ((𝐴 · ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) mod 𝑃))
11	1, 3, 5, 10	syl3anc 1278	. . 3 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 ∥ (𝐴 − 1)) → 1 = ((𝐴 · ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) mod 𝑃))
12		modprm1div 13028	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ((𝐴 mod 𝑃) = 1 ↔ 𝑃 ∥ (𝐴 − 1)))
13	12	biimpar 297	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 ∥ (𝐴 − 1)) → (𝐴 mod 𝑃) = 1)
14	13	oveq1d 6100	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 ∥ (𝐴 − 1)) → ((𝐴 mod 𝑃) · ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) = (1 · ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)))
15	14	oveq1d 6100	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 ∥ (𝐴 − 1)) → (((𝐴 mod 𝑃) · ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) mod 𝑃) = ((1 · ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) mod 𝑃))
16		zq 10028	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℚ)
17	3, 16	syl 14	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 ∥ (𝐴 − 1)) → 𝐴 ∈ ℚ)
18		prmm2nn0 12913	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 − 2) ∈ ℕ0)
19	18	anim1ci 341	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝑃 − 2) ∈ ℕ0))
20	19	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 ∥ (𝐴 − 1)) → (𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝑃 − 2) ∈ ℕ0))
21		zexpcl 10993	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝑃 − 2) ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑃 − 2)) ∈ ℤ)
22	20, 21	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 ∥ (𝐴 − 1)) → (𝐴↑(𝑃 − 2)) ∈ ℤ)
23		prmnn 12890	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
24	23	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → 𝑃 ∈ ℕ)
25	24	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 ∥ (𝐴 − 1)) → 𝑃 ∈ ℕ)
26	22, 25	zmodcld 10784	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 ∥ (𝐴 − 1)) → ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ ℕ0)
27	26	nn0zd 9768	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 ∥ (𝐴 − 1)) → ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ ℤ)
28	25	nnzd 9769	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 ∥ (𝐴 − 1)) → 𝑃 ∈ ℤ)
29		zq 10028	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ ℤ → 𝑃 ∈ ℚ)
30	28, 29	syl 14	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 ∥ (𝐴 − 1)) → 𝑃 ∈ ℚ)
31	25	nngt0d 9349	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 ∥ (𝐴 − 1)) → 0 < 𝑃)
32		modqmulmod 10828	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ ℤ) ∧ (𝑃 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑃)) → (((𝐴 mod 𝑃) · ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) mod 𝑃) = ((𝐴 · ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) mod 𝑃))
33	17, 27, 30, 31, 32	syl22anc 1279	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 ∥ (𝐴 − 1)) → (((𝐴 mod 𝑃) · ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) mod 𝑃) = ((𝐴 · ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) mod 𝑃))
34	19, 21	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝐴↑(𝑃 − 2)) ∈ ℤ)
35	34, 24	zmodcld 10784	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ ℕ0)
36	35	nn0cnd 9624	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ ℂ)
37	36	mullidd 8344	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (1 · ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) = ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃))
38	37	oveq1d 6100	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ((1 · ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) mod 𝑃) = (((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) mod 𝑃))
39	38	adantr 276	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 ∥ (𝐴 − 1)) → ((1 · ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) mod 𝑃) = (((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) mod 𝑃))
40		zq 10028	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴↑(𝑃 − 2)) ∈ ℤ → (𝐴↑(𝑃 − 2)) ∈ ℚ)
41	22, 40	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 ∥ (𝐴 − 1)) → (𝐴↑(𝑃 − 2)) ∈ ℚ)
42		modqabs2 10797	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴↑(𝑃 − 2)) ∈ ℚ ∧ 𝑃 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑃) → (((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) mod 𝑃) = ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃))
43	41, 30, 31, 42	syl3anc 1278	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 ∥ (𝐴 − 1)) → (((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) mod 𝑃) = ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃))
44	39, 43	eqtrd 2271	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 ∥ (𝐴 − 1)) → ((1 · ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) mod 𝑃) = ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃))
45	15, 33, 44	3eqtr3d 2279	. . 3 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 ∥ (𝐴 − 1)) → ((𝐴 · ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) mod 𝑃) = ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃))
46	11, 45	eqtr2d 2272	. 2 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 ∥ (𝐴 − 1)) → ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) = 1)
47	46	ex 115	1 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ (𝐴 − 1) → ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) = 1))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 1009   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4130  (class class class)co 6085  0cc0 8179  1c1 8180   · cmul 8184   < clt 8360   − cmin 8497  ℕcn 9305  2c2 9356  ℕ₀cn0 9565  ℤcz 9646  ℚcq 10021  ...cfz 10413   mod cmo 10761  ↑cexp 10977   ∥ cdvds 12556  ℙcprime 12887

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-mulrcl 8278  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-precex 8289  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295  ax-pre-mulgt0 8296  ax-pre-mulext 8297  ax-arch 8298  ax-caucvg 8299

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 843  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-isom 5386  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-irdg 6641  df-frec 6662  df-1o 6687  df-2o 6688  df-oadd 6691  df-er 6807  df-en 7023  df-dom 7024  df-fin 7025  df-sup 7324  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-reap 8904  df-ap 8911  df-div 9004  df-inn 9306  df-2 9364  df-3 9365  df-4 9366  df-n0 9566  df-z 9647  df-uz 9924  df-q 10022  df-rp 10057  df-fz 10414  df-fzo 10552  df-fl 10707  df-mod 10762  df-seqfrec 10887  df-exp 10978  df-ihash 11217  df-cj 11609  df-re 11610  df-im 11611  df-rsqrt 11766  df-abs 11767  df-clim 12047  df-proddc 12320  df-dvds 12557  df-gcd 12733  df-prm 12888  df-phi 12991

This theorem is used by: (None)