Theorem powm2modprm 12446

Description: If an integer minus 1 is divisible by a prime number, then the integer to the power of the prime number minus 2 is 1 modulo the prime number. (Contributed by Alexander van der Vekens, 30-Aug-2018.)

Assertion

Ref	Expression
powm2modprm	⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ (𝐴 − 1) → ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) = 1))

Proof of Theorem powm2modprm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 527	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 ∥ (𝐴 − 1)) → 𝑃 ∈ ℙ)
2		simpr 110	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℤ)
3	2	adantr 276	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 ∥ (𝐴 − 1)) → 𝐴 ∈ ℤ)
4		m1dvdsndvds 12442	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ (𝐴 − 1) → ¬ 𝑃 ∥ 𝐴))
5	4	imp 124	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 ∥ (𝐴 − 1)) → ¬ 𝑃 ∥ 𝐴)
6		eqid 2196	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) = ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)
7	6	modprminv 12443	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → (((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝐴 · ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) mod 𝑃) = 1))
8		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝐴 · ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) mod 𝑃) = 1) → ((𝐴 · ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) mod 𝑃) = 1)
9	8	eqcomd 2202	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝐴 · ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) mod 𝑃) = 1) → 1 = ((𝐴 · ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) mod 𝑃))
10	7, 9	syl 14	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → 1 = ((𝐴 · ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) mod 𝑃))
11	1, 3, 5, 10	syl3anc 1249	. . 3 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 ∥ (𝐴 − 1)) → 1 = ((𝐴 · ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) mod 𝑃))
12		modprm1div 12441	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ((𝐴 mod 𝑃) = 1 ↔ 𝑃 ∥ (𝐴 − 1)))
13	12	biimpar 297	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 ∥ (𝐴 − 1)) → (𝐴 mod 𝑃) = 1)
14	13	oveq1d 5940	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 ∥ (𝐴 − 1)) → ((𝐴 mod 𝑃) · ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) = (1 · ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)))
15	14	oveq1d 5940	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 ∥ (𝐴 − 1)) → (((𝐴 mod 𝑃) · ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) mod 𝑃) = ((1 · ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) mod 𝑃))
16		zq 9717	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℚ)
17	3, 16	syl 14	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 ∥ (𝐴 − 1)) → 𝐴 ∈ ℚ)
18		prmm2nn0 12326	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 − 2) ∈ ℕ0)
19	18	anim1ci 341	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝑃 − 2) ∈ ℕ0))
20	19	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 ∥ (𝐴 − 1)) → (𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝑃 − 2) ∈ ℕ0))
21		zexpcl 10663	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝑃 − 2) ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑃 − 2)) ∈ ℤ)
22	20, 21	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 ∥ (𝐴 − 1)) → (𝐴↑(𝑃 − 2)) ∈ ℤ)
23		prmnn 12303	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
24	23	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → 𝑃 ∈ ℕ)
25	24	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 ∥ (𝐴 − 1)) → 𝑃 ∈ ℕ)
26	22, 25	zmodcld 10454	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 ∥ (𝐴 − 1)) → ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ ℕ0)
27	26	nn0zd 9463	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 ∥ (𝐴 − 1)) → ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ ℤ)
28	25	nnzd 9464	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 ∥ (𝐴 − 1)) → 𝑃 ∈ ℤ)
29		zq 9717	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ ℤ → 𝑃 ∈ ℚ)
30	28, 29	syl 14	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 ∥ (𝐴 − 1)) → 𝑃 ∈ ℚ)
31	25	nngt0d 9051	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 ∥ (𝐴 − 1)) → 0 < 𝑃)
32		modqmulmod 10498	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ ℤ) ∧ (𝑃 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑃)) → (((𝐴 mod 𝑃) · ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) mod 𝑃) = ((𝐴 · ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) mod 𝑃))
33	17, 27, 30, 31, 32	syl22anc 1250	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 ∥ (𝐴 − 1)) → (((𝐴 mod 𝑃) · ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) mod 𝑃) = ((𝐴 · ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) mod 𝑃))
34	19, 21	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝐴↑(𝑃 − 2)) ∈ ℤ)
35	34, 24	zmodcld 10454	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ ℕ0)
36	35	nn0cnd 9321	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ ℂ)
37	36	mulid2d 8062	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (1 · ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) = ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃))
38	37	oveq1d 5940	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ((1 · ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) mod 𝑃) = (((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) mod 𝑃))
39	38	adantr 276	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 ∥ (𝐴 − 1)) → ((1 · ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) mod 𝑃) = (((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) mod 𝑃))
40		zq 9717	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴↑(𝑃 − 2)) ∈ ℤ → (𝐴↑(𝑃 − 2)) ∈ ℚ)
41	22, 40	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 ∥ (𝐴 − 1)) → (𝐴↑(𝑃 − 2)) ∈ ℚ)
42		modqabs2 10467	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴↑(𝑃 − 2)) ∈ ℚ ∧ 𝑃 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑃) → (((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) mod 𝑃) = ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃))
43	41, 30, 31, 42	syl3anc 1249	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 ∥ (𝐴 − 1)) → (((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) mod 𝑃) = ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃))
44	39, 43	eqtrd 2229	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 ∥ (𝐴 − 1)) → ((1 · ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) mod 𝑃) = ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃))
45	15, 33, 44	3eqtr3d 2237	. . 3 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 ∥ (𝐴 − 1)) → ((𝐴 · ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) mod 𝑃) = ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃))
46	11, 45	eqtr2d 2230	. 2 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 ∥ (𝐴 − 1)) → ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) = 1)
47	46	ex 115	1 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ (𝐴 − 1) → ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) = 1))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 980   = wceq 1364   ∈ wcel 2167   class class class wbr 4034  (class class class)co 5925  0cc0 7896  1c1 7897   · cmul 7901   < clt 8078   − cmin 8214  ℕcn 9007  2c2 9058  ℕ₀cn0 9266  ℤcz 9343  ℚcq 9710  ...cfz 10100   mod cmo 10431  ↑cexp 10647   ∥ cdvds 11969  ℙcprime 12300

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-mulrcl 7995  ax-addcom 7996  ax-mulcom 7997  ax-addass 7998  ax-mulass 7999  ax-distr 8000  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-1rid 8003  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-precex 8006  ax-cnre 8007  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-ltwlin 8009  ax-pre-lttrn 8010  ax-pre-apti 8011  ax-pre-ltadd 8012  ax-pre-mulgt0 8013  ax-pre-mulext 8014  ax-arch 8015  ax-caucvg 8016

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-if 3563  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-iord 4402  df-on 4404  df-ilim 4405  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-isom 5268  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-recs 6372  df-irdg 6437  df-frec 6458  df-1o 6483  df-2o 6484  df-oadd 6487  df-er 6601  df-en 6809  df-dom 6810  df-fin 6811  df-sup 7059  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-xr 8082  df-ltxr 8083  df-le 8084  df-sub 8216  df-neg 8217  df-reap 8619  df-ap 8626  df-div 8717  df-inn 9008  df-2 9066  df-3 9067  df-4 9068  df-n0 9267  df-z 9344  df-uz 9619  df-q 9711  df-rp 9746  df-fz 10101  df-fzo 10235  df-fl 10377  df-mod 10432  df-seqfrec 10557  df-exp 10648  df-ihash 10885  df-cj 11024  df-re 11025  df-im 11026  df-rsqrt 11180  df-abs 11181  df-clim 11461  df-proddc 11733  df-dvds 11970  df-gcd 12146  df-prm 12301  df-phi 12404

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