Theorem pcid 12887

Description: The prime count of a prime power. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
pcid	⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑃 pCnt (𝑃↑𝐴)) = 𝐴)

Proof of Theorem pcid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elznn0nn 9483	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ ↔ (𝐴 ∈ ℕ0 ∨ (𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐴 ∈ ℕ)))
2		pcidlem 12886	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝑃 pCnt (𝑃↑𝐴)) = 𝐴)
3		prmnn 12672	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
4	3	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐴 ∈ ℕ)) → 𝑃 ∈ ℕ)
5	4	nncnd 9147	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐴 ∈ ℕ)) → 𝑃 ∈ ℂ)
6	4	nnap0d 9179	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐴 ∈ ℕ)) → 𝑃 # 0)
7		simprl 529	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐴 ∈ ℕ)) → 𝐴 ∈ ℝ)
8	7	recnd 8198	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐴 ∈ ℕ)) → 𝐴 ∈ ℂ)
9		nnnn0 9399	. . . . . . 7 ⊢ (-𝐴 ∈ ℕ → -𝐴 ∈ ℕ0)
10	9	ad2antll 491	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐴 ∈ ℕ)) → -𝐴 ∈ ℕ0)
11		expineg2 10800	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑃 # 0) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ -𝐴 ∈ ℕ0)) → (𝑃↑𝐴) = (1 / (𝑃↑-𝐴)))
12	5, 6, 8, 10, 11	syl22anc 1272	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐴 ∈ ℕ)) → (𝑃↑𝐴) = (1 / (𝑃↑-𝐴)))
13	12	oveq2d 6029	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐴 ∈ ℕ)) → (𝑃 pCnt (𝑃↑𝐴)) = (𝑃 pCnt (1 / (𝑃↑-𝐴))))
14		simpl 109	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐴 ∈ ℕ)) → 𝑃 ∈ ℙ)
15		1zzd 9496	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐴 ∈ ℕ)) → 1 ∈ ℤ)
16		1ne0 9201	. . . . . . 7 ⊢ 1 ≠ 0
17	16	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐴 ∈ ℕ)) → 1 ≠ 0)
18	4, 10	nnexpcld 10947	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐴 ∈ ℕ)) → (𝑃↑-𝐴) ∈ ℕ)
19		pcdiv 12865	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (1 ∈ ℤ ∧ 1 ≠ 0) ∧ (𝑃↑-𝐴) ∈ ℕ) → (𝑃 pCnt (1 / (𝑃↑-𝐴))) = ((𝑃 pCnt 1) − (𝑃 pCnt (𝑃↑-𝐴))))
20	14, 15, 17, 18, 19	syl121anc 1276	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐴 ∈ ℕ)) → (𝑃 pCnt (1 / (𝑃↑-𝐴))) = ((𝑃 pCnt 1) − (𝑃 pCnt (𝑃↑-𝐴))))
21		pc1 12868	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 pCnt 1) = 0)
22	21	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐴 ∈ ℕ)) → (𝑃 pCnt 1) = 0)
23		pcidlem 12886	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ -𝐴 ∈ ℕ0) → (𝑃 pCnt (𝑃↑-𝐴)) = -𝐴)
24	10, 23	syldan 282	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐴 ∈ ℕ)) → (𝑃 pCnt (𝑃↑-𝐴)) = -𝐴)
25	22, 24	oveq12d 6031	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐴 ∈ ℕ)) → ((𝑃 pCnt 1) − (𝑃 pCnt (𝑃↑-𝐴))) = (0 − -𝐴))
26		df-neg 8343	. . . . . . 7 ⊢ --𝐴 = (0 − -𝐴)
27	8	negnegd 8471	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐴 ∈ ℕ)) → --𝐴 = 𝐴)
28	26, 27	eqtr3id 2276	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐴 ∈ ℕ)) → (0 − -𝐴) = 𝐴)
29	25, 28	eqtrd 2262	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐴 ∈ ℕ)) → ((𝑃 pCnt 1) − (𝑃 pCnt (𝑃↑-𝐴))) = 𝐴)
30	20, 29	eqtrd 2262	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐴 ∈ ℕ)) → (𝑃 pCnt (1 / (𝑃↑-𝐴))) = 𝐴)
31	13, 30	eqtrd 2262	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐴 ∈ ℕ)) → (𝑃 pCnt (𝑃↑𝐴)) = 𝐴)
32	2, 31	jaodan 802	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℕ0 ∨ (𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐴 ∈ ℕ))) → (𝑃 pCnt (𝑃↑𝐴)) = 𝐴)
33	1, 32	sylan2b 287	1 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑃 pCnt (𝑃↑𝐴)) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 713   = wceq 1395   ∈ wcel 2200   ≠ wne 2400   class class class wbr 4086  (class class class)co 6013  ℂcc 8020  ℝcr 8021  0cc0 8022  1c1 8023   − cmin 8340  -cneg 8341   # cap 8751   / cdiv 8842  ℕcn 9133  ℕ₀cn0 9392  ℤcz 9469  ↑cexp 10790  ℙcprime 12669   pCnt cpc 12847

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4202  ax-sep 4205  ax-nul 4213  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-iinf 4684  ax-cnex 8113  ax-resscn 8114  ax-1cn 8115  ax-1re 8116  ax-icn 8117  ax-addcl 8118  ax-addrcl 8119  ax-mulcl 8120  ax-mulrcl 8121  ax-addcom 8122  ax-mulcom 8123  ax-addass 8124  ax-mulass 8125  ax-distr 8126  ax-i2m1 8127  ax-0lt1 8128  ax-1rid 8129  ax-0id 8130  ax-rnegex 8131  ax-precex 8132  ax-cnre 8133  ax-pre-ltirr 8134  ax-pre-ltwlin 8135  ax-pre-lttrn 8136  ax-pre-apti 8137  ax-pre-ltadd 8138  ax-pre-mulgt0 8139  ax-pre-mulext 8140  ax-arch 8141  ax-caucvg 8142

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 836  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-if 3604  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-tr 4186  df-id 4388  df-po 4391  df-iso 4392  df-iord 4461  df-on 4463  df-ilim 4464  df-suc 4466  df-iom 4687  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-isom 5333  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-1st 6298  df-2nd 6299  df-recs 6466  df-frec 6552  df-1o 6577  df-2o 6578  df-er 6697  df-en 6905  df-sup 7174  df-inf 7175  df-pnf 8206  df-mnf 8207  df-xr 8208  df-ltxr 8209  df-le 8210  df-sub 8342  df-neg 8343  df-reap 8745  df-ap 8752  df-div 8843  df-inn 9134  df-2 9192  df-3 9193  df-4 9194  df-n0 9393  df-z 9470  df-uz 9746  df-q 9844  df-rp 9879  df-fz 10234  df-fzo 10368  df-fl 10520  df-mod 10575  df-seqfrec 10700  df-exp 10791  df-cj 11393  df-re 11394  df-im 11395  df-rsqrt 11549  df-abs 11550  df-dvds 12339  df-gcd 12515  df-prm 12670  df-pc 12848

This theorem is referenced by:  pcprmpw2  12896  pcaddlem  12902  expnprm  12916  dvdsppwf1o  15703  lgsval2lem  15729