Theorem pcid 12288

Description: The prime count of a prime power. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
pcid	⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑃 pCnt (𝑃↑𝐴)) = 𝐴)

Proof of Theorem pcid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elznn0nn 9238	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ ↔ (𝐴 ∈ ℕ0 ∨ (𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐴 ∈ ℕ)))
2		pcidlem 12287	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝑃 pCnt (𝑃↑𝐴)) = 𝐴)
3		prmnn 12075	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
4	3	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐴 ∈ ℕ)) → 𝑃 ∈ ℕ)
5	4	nncnd 8904	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐴 ∈ ℕ)) → 𝑃 ∈ ℂ)
6	4	nnap0d 8936	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐴 ∈ ℕ)) → 𝑃 # 0)
7		simprl 529	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐴 ∈ ℕ)) → 𝐴 ∈ ℝ)
8	7	recnd 7960	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐴 ∈ ℕ)) → 𝐴 ∈ ℂ)
9		nnnn0 9154	. . . . . . 7 ⊢ (-𝐴 ∈ ℕ → -𝐴 ∈ ℕ0)
10	9	ad2antll 491	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐴 ∈ ℕ)) → -𝐴 ∈ ℕ0)
11		expineg2 10497	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑃 # 0) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ -𝐴 ∈ ℕ0)) → (𝑃↑𝐴) = (1 / (𝑃↑-𝐴)))
12	5, 6, 8, 10, 11	syl22anc 1239	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐴 ∈ ℕ)) → (𝑃↑𝐴) = (1 / (𝑃↑-𝐴)))
13	12	oveq2d 5881	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐴 ∈ ℕ)) → (𝑃 pCnt (𝑃↑𝐴)) = (𝑃 pCnt (1 / (𝑃↑-𝐴))))
14		simpl 109	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐴 ∈ ℕ)) → 𝑃 ∈ ℙ)
15		1zzd 9251	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐴 ∈ ℕ)) → 1 ∈ ℤ)
16		1ne0 8958	. . . . . . 7 ⊢ 1 ≠ 0
17	16	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐴 ∈ ℕ)) → 1 ≠ 0)
18	4, 10	nnexpcld 10643	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐴 ∈ ℕ)) → (𝑃↑-𝐴) ∈ ℕ)
19		pcdiv 12267	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (1 ∈ ℤ ∧ 1 ≠ 0) ∧ (𝑃↑-𝐴) ∈ ℕ) → (𝑃 pCnt (1 / (𝑃↑-𝐴))) = ((𝑃 pCnt 1) − (𝑃 pCnt (𝑃↑-𝐴))))
20	14, 15, 17, 18, 19	syl121anc 1243	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐴 ∈ ℕ)) → (𝑃 pCnt (1 / (𝑃↑-𝐴))) = ((𝑃 pCnt 1) − (𝑃 pCnt (𝑃↑-𝐴))))
21		pc1 12270	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 pCnt 1) = 0)
22	21	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐴 ∈ ℕ)) → (𝑃 pCnt 1) = 0)
23		pcidlem 12287	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ -𝐴 ∈ ℕ0) → (𝑃 pCnt (𝑃↑-𝐴)) = -𝐴)
24	10, 23	syldan 282	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐴 ∈ ℕ)) → (𝑃 pCnt (𝑃↑-𝐴)) = -𝐴)
25	22, 24	oveq12d 5883	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐴 ∈ ℕ)) → ((𝑃 pCnt 1) − (𝑃 pCnt (𝑃↑-𝐴))) = (0 − -𝐴))
26		df-neg 8105	. . . . . . 7 ⊢ --𝐴 = (0 − -𝐴)
27	8	negnegd 8233	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐴 ∈ ℕ)) → --𝐴 = 𝐴)
28	26, 27	eqtr3id 2222	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐴 ∈ ℕ)) → (0 − -𝐴) = 𝐴)
29	25, 28	eqtrd 2208	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐴 ∈ ℕ)) → ((𝑃 pCnt 1) − (𝑃 pCnt (𝑃↑-𝐴))) = 𝐴)
30	20, 29	eqtrd 2208	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐴 ∈ ℕ)) → (𝑃 pCnt (1 / (𝑃↑-𝐴))) = 𝐴)
31	13, 30	eqtrd 2208	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐴 ∈ ℕ)) → (𝑃 pCnt (𝑃↑𝐴)) = 𝐴)
32	2, 31	jaodan 797	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℕ0 ∨ (𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐴 ∈ ℕ))) → (𝑃 pCnt (𝑃↑𝐴)) = 𝐴)
33	1, 32	sylan2b 287	1 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑃 pCnt (𝑃↑𝐴)) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 708   = wceq 1353   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2345   class class class wbr 3998  (class class class)co 5865  ℂcc 7784  ℝcr 7785  0cc0 7786  1c1 7787   − cmin 8102  -cneg 8103   # cap 8512   / cdiv 8601  ℕcn 8890  ℕ₀cn0 9147  ℤcz 9224  ↑cexp 10487  ℙcprime 12072   pCnt cpc 12249

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-coll 4113  ax-sep 4116  ax-nul 4124  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427  ax-setind 4530  ax-iinf 4581  ax-cnex 7877  ax-resscn 7878  ax-1cn 7879  ax-1re 7880  ax-icn 7881  ax-addcl 7882  ax-addrcl 7883  ax-mulcl 7884  ax-mulrcl 7885  ax-addcom 7886  ax-mulcom 7887  ax-addass 7888  ax-mulass 7889  ax-distr 7890  ax-i2m1 7891  ax-0lt1 7892  ax-1rid 7893  ax-0id 7894  ax-rnegex 7895  ax-precex 7896  ax-cnre 7897  ax-pre-ltirr 7898  ax-pre-ltwlin 7899  ax-pre-lttrn 7900  ax-pre-apti 7901  ax-pre-ltadd 7902  ax-pre-mulgt0 7903  ax-pre-mulext 7904  ax-arch 7905  ax-caucvg 7906

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-nel 2441  df-ral 2458  df-rex 2459  df-reu 2460  df-rmo 2461  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-csb 3056  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-nul 3421  df-if 3533  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-int 3841  df-iun 3884  df-br 3999  df-opab 4060  df-mpt 4061  df-tr 4097  df-id 4287  df-po 4290  df-iso 4291  df-iord 4360  df-on 4362  df-ilim 4363  df-suc 4365  df-iom 4584  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-rn 4631  df-res 4632  df-ima 4633  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fn 5211  df-f 5212  df-f1 5213  df-fo 5214  df-f1o 5215  df-fv 5216  df-isom 5217  df-riota 5821  df-ov 5868  df-oprab 5869  df-mpo 5870  df-1st 6131  df-2nd 6132  df-recs 6296  df-frec 6382  df-1o 6407  df-2o 6408  df-er 6525  df-en 6731  df-sup 6973  df-inf 6974  df-pnf 7968  df-mnf 7969  df-xr 7970  df-ltxr 7971  df-le 7972  df-sub 8104  df-neg 8105  df-reap 8506  df-ap 8513  df-div 8602  df-inn 8891  df-2 8949  df-3 8950  df-4 8951  df-n0 9148  df-z 9225  df-uz 9500  df-q 9591  df-rp 9623  df-fz 9978  df-fzo 10111  df-fl 10238  df-mod 10291  df-seqfrec 10414  df-exp 10488  df-cj 10817  df-re 10818  df-im 10819  df-rsqrt 10973  df-abs 10974  df-dvds 11761  df-gcd 11909  df-prm 12073  df-pc 12250

This theorem is referenced by:  pcprmpw2  12297  pcaddlem  12303  expnprm  12316  lgsval2lem  13980