Theorem pcid 12896

Description: The prime count of a prime power. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
pcid	⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑃 pCnt (𝑃↑𝐴)) = 𝐴)

Proof of Theorem pcid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elznn0nn 9492	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ ↔ (𝐴 ∈ ℕ0 ∨ (𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐴 ∈ ℕ)))
2		pcidlem 12895	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝑃 pCnt (𝑃↑𝐴)) = 𝐴)
3		prmnn 12681	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
4	3	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐴 ∈ ℕ)) → 𝑃 ∈ ℕ)
5	4	nncnd 9156	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐴 ∈ ℕ)) → 𝑃 ∈ ℂ)
6	4	nnap0d 9188	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐴 ∈ ℕ)) → 𝑃 # 0)
7		simprl 531	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐴 ∈ ℕ)) → 𝐴 ∈ ℝ)
8	7	recnd 8207	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐴 ∈ ℕ)) → 𝐴 ∈ ℂ)
9		nnnn0 9408	. . . . . . 7 ⊢ (-𝐴 ∈ ℕ → -𝐴 ∈ ℕ0)
10	9	ad2antll 491	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐴 ∈ ℕ)) → -𝐴 ∈ ℕ0)
11		expineg2 10809	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑃 # 0) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ -𝐴 ∈ ℕ0)) → (𝑃↑𝐴) = (1 / (𝑃↑-𝐴)))
12	5, 6, 8, 10, 11	syl22anc 1274	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐴 ∈ ℕ)) → (𝑃↑𝐴) = (1 / (𝑃↑-𝐴)))
13	12	oveq2d 6033	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐴 ∈ ℕ)) → (𝑃 pCnt (𝑃↑𝐴)) = (𝑃 pCnt (1 / (𝑃↑-𝐴))))
14		simpl 109	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐴 ∈ ℕ)) → 𝑃 ∈ ℙ)
15		1zzd 9505	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐴 ∈ ℕ)) → 1 ∈ ℤ)
16		1ne0 9210	. . . . . . 7 ⊢ 1 ≠ 0
17	16	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐴 ∈ ℕ)) → 1 ≠ 0)
18	4, 10	nnexpcld 10956	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐴 ∈ ℕ)) → (𝑃↑-𝐴) ∈ ℕ)
19		pcdiv 12874	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (1 ∈ ℤ ∧ 1 ≠ 0) ∧ (𝑃↑-𝐴) ∈ ℕ) → (𝑃 pCnt (1 / (𝑃↑-𝐴))) = ((𝑃 pCnt 1) − (𝑃 pCnt (𝑃↑-𝐴))))
20	14, 15, 17, 18, 19	syl121anc 1278	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐴 ∈ ℕ)) → (𝑃 pCnt (1 / (𝑃↑-𝐴))) = ((𝑃 pCnt 1) − (𝑃 pCnt (𝑃↑-𝐴))))
21		pc1 12877	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 pCnt 1) = 0)
22	21	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐴 ∈ ℕ)) → (𝑃 pCnt 1) = 0)
23		pcidlem 12895	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ -𝐴 ∈ ℕ0) → (𝑃 pCnt (𝑃↑-𝐴)) = -𝐴)
24	10, 23	syldan 282	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐴 ∈ ℕ)) → (𝑃 pCnt (𝑃↑-𝐴)) = -𝐴)
25	22, 24	oveq12d 6035	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐴 ∈ ℕ)) → ((𝑃 pCnt 1) − (𝑃 pCnt (𝑃↑-𝐴))) = (0 − -𝐴))
26		df-neg 8352	. . . . . . 7 ⊢ --𝐴 = (0 − -𝐴)
27	8	negnegd 8480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐴 ∈ ℕ)) → --𝐴 = 𝐴)
28	26, 27	eqtr3id 2278	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐴 ∈ ℕ)) → (0 − -𝐴) = 𝐴)
29	25, 28	eqtrd 2264	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐴 ∈ ℕ)) → ((𝑃 pCnt 1) − (𝑃 pCnt (𝑃↑-𝐴))) = 𝐴)
30	20, 29	eqtrd 2264	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐴 ∈ ℕ)) → (𝑃 pCnt (1 / (𝑃↑-𝐴))) = 𝐴)
31	13, 30	eqtrd 2264	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐴 ∈ ℕ)) → (𝑃 pCnt (𝑃↑𝐴)) = 𝐴)
32	2, 31	jaodan 804	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℕ0 ∨ (𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐴 ∈ ℕ))) → (𝑃 pCnt (𝑃↑𝐴)) = 𝐴)
33	1, 32	sylan2b 287	1 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑃 pCnt (𝑃↑𝐴)) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 715   = wceq 1397   ∈ wcel 2202   ≠ wne 2402   class class class wbr 4088  (class class class)co 6017  ℂcc 8029  ℝcr 8030  0cc0 8031  1c1 8032   − cmin 8349  -cneg 8350   # cap 8760   / cdiv 8851  ℕcn 9142  ℕ₀cn0 9401  ℤcz 9478  ↑cexp 10799  ℙcprime 12678   pCnt cpc 12856

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-mulrcl 8130  ax-addcom 8131  ax-mulcom 8132  ax-addass 8133  ax-mulass 8134  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-1rid 8138  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-precex 8141  ax-cnre 8142  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-ltwlin 8144  ax-pre-lttrn 8145  ax-pre-apti 8146  ax-pre-ltadd 8147  ax-pre-mulgt0 8148  ax-pre-mulext 8149  ax-arch 8150  ax-caucvg 8151

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 838  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-isom 5335  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-1st 6302  df-2nd 6303  df-recs 6470  df-frec 6556  df-1o 6581  df-2o 6582  df-er 6701  df-en 6909  df-sup 7182  df-inf 7183  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-xr 8217  df-ltxr 8218  df-le 8219  df-sub 8351  df-neg 8352  df-reap 8754  df-ap 8761  df-div 8852  df-inn 9143  df-2 9201  df-3 9202  df-4 9203  df-n0 9402  df-z 9479  df-uz 9755  df-q 9853  df-rp 9888  df-fz 10243  df-fzo 10377  df-fl 10529  df-mod 10584  df-seqfrec 10709  df-exp 10800  df-cj 11402  df-re 11403  df-im 11404  df-rsqrt 11558  df-abs 11559  df-dvds 12348  df-gcd 12524  df-prm 12679  df-pc 12857

This theorem is referenced by:  pcprmpw2  12905  pcaddlem  12911  expnprm  12925  dvdsppwf1o  15712  lgsval2lem  15738