Theorem fermltl 12927

Description: Fermat's little theorem. When 𝑃 is prime, 𝐴↑𝑃≡𝐴 (mod 𝑃) for any 𝐴, see theorem 5.19 in [ApostolNT] p. 114. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Feb-2014.) (Proof shortened by AV, 19-Mar-2022.)

Assertion

Ref	Expression
fermltl	⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ((𝐴↑𝑃) mod 𝑃) = (𝐴 mod 𝑃))

Proof of Theorem fermltl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prmnn 12803	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
2		dvdsmodexp 12477	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∥ 𝐴) → ((𝐴↑𝑃) mod 𝑃) = (𝐴 mod 𝑃))
3	2	3exp 1229	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → (𝑃 ∈ ℕ → (𝑃 ∥ 𝐴 → ((𝐴↑𝑃) mod 𝑃) = (𝐴 mod 𝑃))))
4	1, 1, 3	sylc 62	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 ∥ 𝐴 → ((𝐴↑𝑃) mod 𝑃) = (𝐴 mod 𝑃)))
5	4	adantr 276	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ 𝐴 → ((𝐴↑𝑃) mod 𝑃) = (𝐴 mod 𝑃)))
6		coprm 12837	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (¬ 𝑃 ∥ 𝐴 ↔ (𝑃 gcd 𝐴) = 1))
7		prmz 12804	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
8		gcdcom 12665	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑃 gcd 𝐴) = (𝐴 gcd 𝑃))
9	7, 8	sylan 283	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑃 gcd 𝐴) = (𝐴 gcd 𝑃))
10	9	eqeq1d 2241	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ((𝑃 gcd 𝐴) = 1 ↔ (𝐴 gcd 𝑃) = 1))
11	6, 10	bitrd 188	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (¬ 𝑃 ∥ 𝐴 ↔ (𝐴 gcd 𝑃) = 1))
12		simp2 1025	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑃) = 1) → 𝐴 ∈ ℤ)
13	1	3ad2ant1 1045	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑃) = 1) → 𝑃 ∈ ℕ)
14	13	phicld 12911	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑃) = 1) → (ϕ‘𝑃) ∈ ℕ)
15	14	nnnn0d 9552	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑃) = 1) → (ϕ‘𝑃) ∈ ℕ0)
16		zexpcl 10915	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (ϕ‘𝑃) ∈ ℕ0) → (𝐴↑(ϕ‘𝑃)) ∈ ℤ)
17	12, 15, 16	syl2anc 411	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑃) = 1) → (𝐴↑(ϕ‘𝑃)) ∈ ℤ)
18		zq 9957	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴↑(ϕ‘𝑃)) ∈ ℤ → (𝐴↑(ϕ‘𝑃)) ∈ ℚ)
19	17, 18	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑃) = 1) → (𝐴↑(ϕ‘𝑃)) ∈ ℚ)
20		1z 9602	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℤ
21		zq 9957	. . . . . . 7 ⊢ (1 ∈ ℤ → 1 ∈ ℚ)
22	20, 21	mp1i 10	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑃) = 1) → 1 ∈ ℚ)
23		nnq 9964	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℚ)
24	13, 23	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑃) = 1) → 𝑃 ∈ ℚ)
25	13	nngt0d 9280	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑃) = 1) → 0 < 𝑃)
26		eulerth 12926	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑃) = 1) → ((𝐴↑(ϕ‘𝑃)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃))
27	1, 26	syl3an1 1307	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑃) = 1) → ((𝐴↑(ϕ‘𝑃)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃))
28	19, 22, 12, 24, 25, 27	modqmul1 10738	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑃) = 1) → (((𝐴↑(ϕ‘𝑃)) · 𝐴) mod 𝑃) = ((1 · 𝐴) mod 𝑃))
29		phiprm 12916	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (ϕ‘𝑃) = (𝑃 − 1))
30	29	3ad2ant1 1045	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑃) = 1) → (ϕ‘𝑃) = (𝑃 − 1))
31	30	oveq2d 6065	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑃) = 1) → (𝐴↑(ϕ‘𝑃)) = (𝐴↑(𝑃 − 1)))
32	31	oveq1d 6064	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑃) = 1) → ((𝐴↑(ϕ‘𝑃)) · 𝐴) = ((𝐴↑(𝑃 − 1)) · 𝐴))
33	12	zcnd 9700	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑃) = 1) → 𝐴 ∈ ℂ)
34		expm1t 10928	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → (𝐴↑𝑃) = ((𝐴↑(𝑃 − 1)) · 𝐴))
35	33, 13, 34	syl2anc 411	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑃) = 1) → (𝐴↑𝑃) = ((𝐴↑(𝑃 − 1)) · 𝐴))
36	32, 35	eqtr4d 2268	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑃) = 1) → ((𝐴↑(ϕ‘𝑃)) · 𝐴) = (𝐴↑𝑃))
37	36	oveq1d 6064	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑃) = 1) → (((𝐴↑(ϕ‘𝑃)) · 𝐴) mod 𝑃) = ((𝐴↑𝑃) mod 𝑃))
38	33	mullidd 8291	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑃) = 1) → (1 · 𝐴) = 𝐴)
39	38	oveq1d 6064	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑃) = 1) → ((1 · 𝐴) mod 𝑃) = (𝐴 mod 𝑃))
40	28, 37, 39	3eqtr3d 2273	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑃) = 1) → ((𝐴↑𝑃) mod 𝑃) = (𝐴 mod 𝑃))
41	40	3expia 1232	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ((𝐴 gcd 𝑃) = 1 → ((𝐴↑𝑃) mod 𝑃) = (𝐴 mod 𝑃)))
42	11, 41	sylbid 150	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (¬ 𝑃 ∥ 𝐴 → ((𝐴↑𝑃) mod 𝑃) = (𝐴 mod 𝑃)))
43		dvdsdc 12480	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → DECID 𝑃 ∥ 𝐴)
44	1, 43	sylan 283	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → DECID 𝑃 ∥ 𝐴)
45		exmiddc 844	. . 3 ⊢ (DECID 𝑃 ∥ 𝐴 → (𝑃 ∥ 𝐴 ∨ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴))
46	44, 45	syl 14	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ 𝐴 ∨ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴))
47	5, 42, 46	mpjaod 726	1 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ((𝐴↑𝑃) mod 𝑃) = (𝐴 mod 𝑃))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 716  DECID wdc 842   ∧ w3a 1005   = wceq 1398   ∈ wcel 2203   class class class wbr 4108  ‘cfv 5351  (class class class)co 6049  ℂcc 8124  1c1 8127   · cmul 8131   − cmin 8443  ℕcn 9236  ℕ₀cn0 9495  ℤcz 9576  ℚcq 9950   mod cmo 10683  ↑cexp 10899   ∥ cdvds 12469   gcd cgcd 12645  ℙcprime 12800  ϕcphi 12902

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4224  ax-sep 4227  ax-nul 4235  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-setind 4658  ax-iinf 4709  ax-cnex 8217  ax-resscn 8218  ax-1cn 8219  ax-1re 8220  ax-icn 8221  ax-addcl 8222  ax-addrcl 8223  ax-mulcl 8224  ax-mulrcl 8225  ax-addcom 8226  ax-mulcom 8227  ax-addass 8228  ax-mulass 8229  ax-distr 8230  ax-i2m1 8231  ax-0lt1 8232  ax-1rid 8233  ax-0id 8234  ax-rnegex 8235  ax-precex 8236  ax-cnre 8237  ax-pre-ltirr 8238  ax-pre-ltwlin 8239  ax-pre-lttrn 8240  ax-pre-apti 8241  ax-pre-ltadd 8242  ax-pre-mulgt0 8243  ax-pre-mulext 8244  ax-arch 8245  ax-caucvg 8246

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 839  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-csb 3138  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-nul 3508  df-if 3620  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-int 3949  df-iun 3992  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-tr 4208  df-id 4413  df-po 4416  df-iso 4417  df-iord 4486  df-on 4488  df-ilim 4489  df-suc 4491  df-iom 4712  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-ima 4761  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355  df-f1 5356  df-fo 5357  df-f1o 5358  df-fv 5359  df-isom 5360  df-riota 6002  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-1st 6333  df-2nd 6334  df-recs 6535  df-irdg 6600  df-frec 6621  df-1o 6646  df-2o 6647  df-oadd 6650  df-er 6766  df-en 6975  df-dom 6976  df-fin 6977  df-sup 7274  df-pnf 8309  df-mnf 8310  df-xr 8311  df-ltxr 8312  df-le 8313  df-sub 8445  df-neg 8446  df-reap 8848  df-ap 8855  df-div 8946  df-inn 9237  df-2 9295  df-3 9296  df-4 9297  df-n0 9496  df-z 9577  df-uz 9853  df-q 9951  df-rp 9986  df-fz 10342  df-fzo 10476  df-fl 10629  df-mod 10684  df-seqfrec 10809  df-exp 10900  df-ihash 11137  df-cj 11523  df-re 11524  df-im 11525  df-rsqrt 11679  df-abs 11680  df-clim 11960  df-proddc 12233  df-dvds 12470  df-gcd 12646  df-prm 12801  df-phi 12904

This theorem is referenced by: (None)