Theorem fermltl 13012

Description: Fermat's little theorem. When 𝑃 is prime, 𝐴↑𝑃≡𝐴 (mod 𝑃) for any 𝐴, see theorem 5.19 in [ApostolNT] p. 114. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Feb-2014.) (Proof shortened by AV, 19-Mar-2022.)

Assertion

Ref	Expression
fermltl	⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ((𝐴↑𝑃) mod 𝑃) = (𝐴 mod 𝑃))

Proof of Theorem fermltl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prmnn 12888	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
2		dvdsmodexp 12562	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∥ 𝐴) → ((𝐴↑𝑃) mod 𝑃) = (𝐴 mod 𝑃))
3	2	3exp 1233	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → (𝑃 ∈ ℕ → (𝑃 ∥ 𝐴 → ((𝐴↑𝑃) mod 𝑃) = (𝐴 mod 𝑃))))
4	1, 1, 3	sylc 62	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 ∥ 𝐴 → ((𝐴↑𝑃) mod 𝑃) = (𝐴 mod 𝑃)))
5	4	adantr 276	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ 𝐴 → ((𝐴↑𝑃) mod 𝑃) = (𝐴 mod 𝑃)))
6		coprm 12922	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (¬ 𝑃 ∥ 𝐴 ↔ (𝑃 gcd 𝐴) = 1))
7		prmz 12889	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
8		gcdcom 12750	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑃 gcd 𝐴) = (𝐴 gcd 𝑃))
9	7, 8	sylan 283	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑃 gcd 𝐴) = (𝐴 gcd 𝑃))
10	9	eqeq1d 2247	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ((𝑃 gcd 𝐴) = 1 ↔ (𝐴 gcd 𝑃) = 1))
11	6, 10	bitrd 188	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (¬ 𝑃 ∥ 𝐴 ↔ (𝐴 gcd 𝑃) = 1))
12		simp2 1029	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑃) = 1) → 𝐴 ∈ ℤ)
13	1	3ad2ant1 1049	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑃) = 1) → 𝑃 ∈ ℕ)
14	13	phicld 12996	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑃) = 1) → (ϕ‘𝑃) ∈ ℕ)
15	14	nnnn0d 9620	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑃) = 1) → (ϕ‘𝑃) ∈ ℕ0)
16		zexpcl 10991	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (ϕ‘𝑃) ∈ ℕ0) → (𝐴↑(ϕ‘𝑃)) ∈ ℤ)
17	12, 15, 16	syl2anc 415	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑃) = 1) → (𝐴↑(ϕ‘𝑃)) ∈ ℤ)
18		zq 10026	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴↑(ϕ‘𝑃)) ∈ ℤ → (𝐴↑(ϕ‘𝑃)) ∈ ℚ)
19	17, 18	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑃) = 1) → (𝐴↑(ϕ‘𝑃)) ∈ ℚ)
20		1z 9670	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℤ
21		zq 10026	. . . . . . 7 ⊢ (1 ∈ ℤ → 1 ∈ ℚ)
22	20, 21	mp1i 10	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑃) = 1) → 1 ∈ ℚ)
23		nnq 10033	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℚ)
24	13, 23	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑃) = 1) → 𝑃 ∈ ℚ)
25	13	nngt0d 9348	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑃) = 1) → 0 < 𝑃)
26		eulerth 13011	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑃) = 1) → ((𝐴↑(ϕ‘𝑃)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃))
27	1, 26	syl3an1 1311	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑃) = 1) → ((𝐴↑(ϕ‘𝑃)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃))
28	19, 22, 12, 24, 25, 27	modqmul1 10814	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑃) = 1) → (((𝐴↑(ϕ‘𝑃)) · 𝐴) mod 𝑃) = ((1 · 𝐴) mod 𝑃))
29		phiprm 13001	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (ϕ‘𝑃) = (𝑃 − 1))
30	29	3ad2ant1 1049	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑃) = 1) → (ϕ‘𝑃) = (𝑃 − 1))
31	30	oveq2d 6101	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑃) = 1) → (𝐴↑(ϕ‘𝑃)) = (𝐴↑(𝑃 − 1)))
32	31	oveq1d 6100	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑃) = 1) → ((𝐴↑(ϕ‘𝑃)) · 𝐴) = ((𝐴↑(𝑃 − 1)) · 𝐴))
33	12	zcnd 9769	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑃) = 1) → 𝐴 ∈ ℂ)
34		expm1t 11004	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → (𝐴↑𝑃) = ((𝐴↑(𝑃 − 1)) · 𝐴))
35	33, 13, 34	syl2anc 415	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑃) = 1) → (𝐴↑𝑃) = ((𝐴↑(𝑃 − 1)) · 𝐴))
36	32, 35	eqtr4d 2274	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑃) = 1) → ((𝐴↑(ϕ‘𝑃)) · 𝐴) = (𝐴↑𝑃))
37	36	oveq1d 6100	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑃) = 1) → (((𝐴↑(ϕ‘𝑃)) · 𝐴) mod 𝑃) = ((𝐴↑𝑃) mod 𝑃))
38	33	mullidd 8344	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑃) = 1) → (1 · 𝐴) = 𝐴)
39	38	oveq1d 6100	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑃) = 1) → ((1 · 𝐴) mod 𝑃) = (𝐴 mod 𝑃))
40	28, 37, 39	3eqtr3d 2279	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑃) = 1) → ((𝐴↑𝑃) mod 𝑃) = (𝐴 mod 𝑃))
41	40	3expia 1236	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ((𝐴 gcd 𝑃) = 1 → ((𝐴↑𝑃) mod 𝑃) = (𝐴 mod 𝑃)))
42	11, 41	sylbid 150	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (¬ 𝑃 ∥ 𝐴 → ((𝐴↑𝑃) mod 𝑃) = (𝐴 mod 𝑃)))
43		dvdsdc 12565	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → DECID 𝑃 ∥ 𝐴)
44	1, 43	sylan 283	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → DECID 𝑃 ∥ 𝐴)
45		exmiddc 848	. . 3 ⊢ (DECID 𝑃 ∥ 𝐴 → (𝑃 ∥ 𝐴 ∨ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴))
46	44, 45	syl 14	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ 𝐴 ∨ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴))
47	5, 42, 46	mpjaod 730	1 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ((𝐴↑𝑃) mod 𝑃) = (𝐴 mod 𝑃))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 720  DECID wdc 846   ∧ w3a 1009   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4130  ‘cfv 5377  (class class class)co 6085  ℂcc 8177  1c1 8180   · cmul 8184   − cmin 8497  ℕcn 9304  ℕ₀cn0 9563  ℤcz 9644  ℚcq 10019   mod cmo 10759  ↑cexp 10975   ∥ cdvds 12554   gcd cgcd 12730  ℙcprime 12885  ϕcphi 12987

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-mulrcl 8278  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-precex 8289  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295  ax-pre-mulgt0 8296  ax-pre-mulext 8297  ax-arch 8298  ax-caucvg 8299

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 843  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-isom 5386  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-irdg 6641  df-frec 6662  df-1o 6687  df-2o 6688  df-oadd 6691  df-er 6807  df-en 7023  df-dom 7024  df-fin 7025  df-sup 7324  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-reap 8903  df-ap 8910  df-div 9003  df-inn 9305  df-2 9363  df-3 9364  df-4 9365  df-n0 9564  df-z 9645  df-uz 9922  df-q 10020  df-rp 10055  df-fz 10412  df-fzo 10550  df-fl 10705  df-mod 10760  df-seqfrec 10885  df-exp 10976  df-ihash 11215  df-cj 11607  df-re 11608  df-im 11609  df-rsqrt 11764  df-abs 11765  df-clim 12045  df-proddc 12318  df-dvds 12555  df-gcd 12731  df-prm 12886  df-phi 12989

This theorem is used by: (None)