ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fermltl GIF version

Theorem fermltl 12234
Description: Fermat's little theorem. When ๐‘ƒ is prime, ๐ดโ†‘๐‘ƒโ‰ก๐ด (mod ๐‘ƒ) for any ๐ด, see theorem 5.19 in [ApostolNT] p. 114. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Feb-2014.) (Proof shortened by AV, 19-Mar-2022.)
Assertion
Ref Expression
fermltl ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘ƒ) mod ๐‘ƒ) = (๐ด mod ๐‘ƒ))

Proof of Theorem fermltl
StepHypRef Expression
1 prmnn 12110 . . . 4 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•)
2 dvdsmodexp 11802 . . . . 5 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘ƒ) mod ๐‘ƒ) = (๐ด mod ๐‘ƒ))
323exp 1202 . . . 4 (๐‘ƒ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ƒ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ ๐ด โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘ƒ) mod ๐‘ƒ) = (๐ด mod ๐‘ƒ))))
41, 1, 3sylc 62 . . 3 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ ๐ด โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘ƒ) mod ๐‘ƒ) = (๐ด mod ๐‘ƒ)))
54adantr 276 . 2 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ ๐ด โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘ƒ) mod ๐‘ƒ) = (๐ด mod ๐‘ƒ)))
6 coprm 12144 . . . 4 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค) โ†’ (ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด โ†” (๐‘ƒ gcd ๐ด) = 1))
7 prmz 12111 . . . . . 6 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„ค)
8 gcdcom 11974 . . . . . 6 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ƒ gcd ๐ด) = (๐ด gcd ๐‘ƒ))
97, 8sylan 283 . . . . 5 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ƒ gcd ๐ด) = (๐ด gcd ๐‘ƒ))
109eqeq1d 2186 . . . 4 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ƒ gcd ๐ด) = 1 โ†” (๐ด gcd ๐‘ƒ) = 1))
116, 10bitrd 188 . . 3 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค) โ†’ (ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด โ†” (๐ด gcd ๐‘ƒ) = 1))
12 simp2 998 . . . . . . . 8 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด gcd ๐‘ƒ) = 1) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
1313ad2ant1 1018 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด gcd ๐‘ƒ) = 1) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•)
1413phicld 12218 . . . . . . . . 9 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด gcd ๐‘ƒ) = 1) โ†’ (ฯ•โ€˜๐‘ƒ) โˆˆ โ„•)
1514nnnn0d 9229 . . . . . . . 8 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด gcd ๐‘ƒ) = 1) โ†’ (ฯ•โ€˜๐‘ƒ) โˆˆ โ„•0)
16 zexpcl 10535 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (ฯ•โ€˜๐‘ƒ) โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘(ฯ•โ€˜๐‘ƒ)) โˆˆ โ„ค)
1712, 15, 16syl2anc 411 . . . . . . 7 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด gcd ๐‘ƒ) = 1) โ†’ (๐ดโ†‘(ฯ•โ€˜๐‘ƒ)) โˆˆ โ„ค)
18 zq 9626 . . . . . . 7 ((๐ดโ†‘(ฯ•โ€˜๐‘ƒ)) โˆˆ โ„ค โ†’ (๐ดโ†‘(ฯ•โ€˜๐‘ƒ)) โˆˆ โ„š)
1917, 18syl 14 . . . . . 6 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด gcd ๐‘ƒ) = 1) โ†’ (๐ดโ†‘(ฯ•โ€˜๐‘ƒ)) โˆˆ โ„š)
20 1z 9279 . . . . . . 7 1 โˆˆ โ„ค
21 zq 9626 . . . . . . 7 (1 โˆˆ โ„ค โ†’ 1 โˆˆ โ„š)
2220, 21mp1i 10 . . . . . 6 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด gcd ๐‘ƒ) = 1) โ†’ 1 โˆˆ โ„š)
23 nnq 9633 . . . . . . 7 (๐‘ƒ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„š)
2413, 23syl 14 . . . . . 6 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด gcd ๐‘ƒ) = 1) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„š)
2513nngt0d 8963 . . . . . 6 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด gcd ๐‘ƒ) = 1) โ†’ 0 < ๐‘ƒ)
26 eulerth 12233 . . . . . . 7 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด gcd ๐‘ƒ) = 1) โ†’ ((๐ดโ†‘(ฯ•โ€˜๐‘ƒ)) mod ๐‘ƒ) = (1 mod ๐‘ƒ))
271, 26syl3an1 1271 . . . . . 6 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด gcd ๐‘ƒ) = 1) โ†’ ((๐ดโ†‘(ฯ•โ€˜๐‘ƒ)) mod ๐‘ƒ) = (1 mod ๐‘ƒ))
2819, 22, 12, 24, 25, 27modqmul1 10377 . . . . 5 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด gcd ๐‘ƒ) = 1) โ†’ (((๐ดโ†‘(ฯ•โ€˜๐‘ƒ)) ยท ๐ด) mod ๐‘ƒ) = ((1 ยท ๐ด) mod ๐‘ƒ))
29 phiprm 12223 . . . . . . . . . 10 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ (ฯ•โ€˜๐‘ƒ) = (๐‘ƒ โˆ’ 1))
30293ad2ant1 1018 . . . . . . . . 9 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด gcd ๐‘ƒ) = 1) โ†’ (ฯ•โ€˜๐‘ƒ) = (๐‘ƒ โˆ’ 1))
3130oveq2d 5891 . . . . . . . 8 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด gcd ๐‘ƒ) = 1) โ†’ (๐ดโ†‘(ฯ•โ€˜๐‘ƒ)) = (๐ดโ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 1)))
3231oveq1d 5890 . . . . . . 7 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด gcd ๐‘ƒ) = 1) โ†’ ((๐ดโ†‘(ฯ•โ€˜๐‘ƒ)) ยท ๐ด) = ((๐ดโ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 1)) ยท ๐ด))
3312zcnd 9376 . . . . . . . 8 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด gcd ๐‘ƒ) = 1) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
34 expm1t 10548 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘ƒ) = ((๐ดโ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 1)) ยท ๐ด))
3533, 13, 34syl2anc 411 . . . . . . 7 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด gcd ๐‘ƒ) = 1) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘ƒ) = ((๐ดโ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 1)) ยท ๐ด))
3632, 35eqtr4d 2213 . . . . . 6 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด gcd ๐‘ƒ) = 1) โ†’ ((๐ดโ†‘(ฯ•โ€˜๐‘ƒ)) ยท ๐ด) = (๐ดโ†‘๐‘ƒ))
3736oveq1d 5890 . . . . 5 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด gcd ๐‘ƒ) = 1) โ†’ (((๐ดโ†‘(ฯ•โ€˜๐‘ƒ)) ยท ๐ด) mod ๐‘ƒ) = ((๐ดโ†‘๐‘ƒ) mod ๐‘ƒ))
3833mulid2d 7976 . . . . . 6 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด gcd ๐‘ƒ) = 1) โ†’ (1 ยท ๐ด) = ๐ด)
3938oveq1d 5890 . . . . 5 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด gcd ๐‘ƒ) = 1) โ†’ ((1 ยท ๐ด) mod ๐‘ƒ) = (๐ด mod ๐‘ƒ))
4028, 37, 393eqtr3d 2218 . . . 4 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด gcd ๐‘ƒ) = 1) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘ƒ) mod ๐‘ƒ) = (๐ด mod ๐‘ƒ))
41403expia 1205 . . 3 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐ด gcd ๐‘ƒ) = 1 โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘ƒ) mod ๐‘ƒ) = (๐ด mod ๐‘ƒ)))
4211, 41sylbid 150 . 2 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค) โ†’ (ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘ƒ) mod ๐‘ƒ) = (๐ด mod ๐‘ƒ)))
43 dvdsdc 11805 . . . 4 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค) โ†’ DECID ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด)
441, 43sylan 283 . . 3 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค) โ†’ DECID ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด)
45 exmiddc 836 . . 3 (DECID ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ ๐ด โˆจ ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด))
4644, 45syl 14 . 2 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ ๐ด โˆจ ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด))
475, 42, 46mpjaod 718 1 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘ƒ) mod ๐‘ƒ) = (๐ด mod ๐‘ƒ))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   โˆจ wo 708  DECID wdc 834   โˆง w3a 978   = wceq 1353   โˆˆ wcel 2148   class class class wbr 4004  โ€˜cfv 5217  (class class class)co 5875  โ„‚cc 7809  1c1 7812   ยท cmul 7816   โˆ’ cmin 8128  โ„•cn 8919  โ„•0cn0 9176  โ„คcz 9253  โ„šcq 9619   mod cmo 10322  โ†‘cexp 10519   โˆฅ cdvds 11794   gcd cgcd 11943  โ„™cprime 12107  ฯ•cphi 12209
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4119  ax-sep 4122  ax-nul 4130  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-iinf 4588  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-mulrcl 7910  ax-addcom 7911  ax-mulcom 7912  ax-addass 7913  ax-mulass 7914  ax-distr 7915  ax-i2m1 7916  ax-0lt1 7917  ax-1rid 7918  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-precex 7921  ax-cnre 7922  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-ltwlin 7924  ax-pre-lttrn 7925  ax-pre-apti 7926  ax-pre-ltadd 7927  ax-pre-mulgt0 7928  ax-pre-mulext 7929  ax-arch 7930  ax-caucvg 7931
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-if 3536  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-tr 4103  df-id 4294  df-po 4297  df-iso 4298  df-iord 4367  df-on 4369  df-ilim 4370  df-suc 4372  df-iom 4591  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-isom 5226  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-1st 6141  df-2nd 6142  df-recs 6306  df-irdg 6371  df-frec 6392  df-1o 6417  df-2o 6418  df-oadd 6421  df-er 6535  df-en 6741  df-dom 6742  df-fin 6743  df-sup 6983  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-xr 7996  df-ltxr 7997  df-le 7998  df-sub 8130  df-neg 8131  df-reap 8532  df-ap 8539  df-div 8630  df-inn 8920  df-2 8978  df-3 8979  df-4 8980  df-n0 9177  df-z 9254  df-uz 9529  df-q 9620  df-rp 9654  df-fz 10009  df-fzo 10143  df-fl 10270  df-mod 10323  df-seqfrec 10446  df-exp 10520  df-ihash 10756  df-cj 10851  df-re 10852  df-im 10853  df-rsqrt 11007  df-abs 11008  df-clim 11287  df-proddc 11559  df-dvds 11795  df-gcd 11944  df-prm 12108  df-phi 12211
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator