Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  isumadd GIF version

 Description: Addition of infinite sums. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Aug-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
isumadd.3 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = 𝐴)
isumadd.4 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐴 ∈ ℂ)
isumadd.5 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) = 𝐵)
isumadd.6 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐵 ∈ ℂ)
isumadd.7 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
isumadd.8 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )
Assertion
Ref Expression
isumadd (𝜑 → Σ𝑘𝑍 (𝐴 + 𝐵) = (Σ𝑘𝑍 𝐴 + Σ𝑘𝑍 𝐵))
Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝐺   𝑘,𝑀   𝜑,𝑘   𝑘,𝑍
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)

Dummy variables 𝑗 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isumadd.1 . 2 𝑍 = (ℤ𝑀)
2 isumadd.2 . 2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
3 simpr 109 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝑘𝑍)
4 isumadd.3 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = 𝐴)
5 isumadd.4 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐴 ∈ ℂ)
64, 5eqeltrd 2216 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
7 isumadd.5 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) = 𝐵)
8 isumadd.6 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐵 ∈ ℂ)
97, 8eqeltrd 2216 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) ∈ ℂ)
106, 9addcld 7785 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝐹𝑘) + (𝐺𝑘)) ∈ ℂ)
11 fveq2 5421 . . . . . 6 (𝑚 = 𝑘 → (𝐹𝑚) = (𝐹𝑘))
12 fveq2 5421 . . . . . 6 (𝑚 = 𝑘 → (𝐺𝑚) = (𝐺𝑘))
1311, 12oveq12d 5792 . . . . 5 (𝑚 = 𝑘 → ((𝐹𝑚) + (𝐺𝑚)) = ((𝐹𝑘) + (𝐺𝑘)))
14 eqid 2139 . . . . 5 (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚) + (𝐺𝑚))) = (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚) + (𝐺𝑚)))
1513, 14fvmptg 5497 . . . 4 ((𝑘𝑍 ∧ ((𝐹𝑘) + (𝐺𝑘)) ∈ ℂ) → ((𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚) + (𝐺𝑚)))‘𝑘) = ((𝐹𝑘) + (𝐺𝑘)))
163, 10, 15syl2anc 408 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚) + (𝐺𝑚)))‘𝑘) = ((𝐹𝑘) + (𝐺𝑘)))
174, 7oveq12d 5792 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝐹𝑘) + (𝐺𝑘)) = (𝐴 + 𝐵))
1816, 17eqtrd 2172 . 2 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚) + (𝐺𝑚)))‘𝑘) = (𝐴 + 𝐵))
195, 8addcld 7785 . 2 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ)
20 isumadd.7 . . . 4 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
211, 2, 4, 5, 20isumclim2 11191 . . 3 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ Σ𝑘𝑍 𝐴)
22 seqex 10220 . . . 4 seq𝑀( + , (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚) + (𝐺𝑚)))) ∈ V
2322a1i 9 . . 3 (𝜑 → seq𝑀( + , (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚) + (𝐺𝑚)))) ∈ V)
24 isumadd.8 . . . 4 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )
251, 2, 7, 8, 24isumclim2 11191 . . 3 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐺) ⇝ Σ𝑘𝑍 𝐵)
261, 2, 6serf 10247 . . . 4 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹):𝑍⟶ℂ)
2726ffvelrnda 5555 . . 3 ((𝜑𝑗𝑍) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗) ∈ ℂ)
281, 2, 9serf 10247 . . . 4 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐺):𝑍⟶ℂ)
2928ffvelrnda 5555 . . 3 ((𝜑𝑗𝑍) → (seq𝑀( + , 𝐺)‘𝑗) ∈ ℂ)
30 simpr 109 . . . . 5 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝑗𝑍)
3130, 1eleqtrdi 2232 . . . 4 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝑗 ∈ (ℤ𝑀))
32 simpll 518 . . . . 5 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝜑)
331eleq2i 2206 . . . . . . 7 (𝑘𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
3433biimpri 132 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑘𝑍)
3534adantl 275 . . . . 5 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑘𝑍)
3632, 35, 6syl2anc 408 . . . 4 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
3732, 35, 9syl2anc 408 . . . 4 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐺𝑘) ∈ ℂ)
3832, 35, 10syl2anc 408 . . . . 5 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝐹𝑘) + (𝐺𝑘)) ∈ ℂ)
3935, 38, 15syl2anc 408 . . . 4 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚) + (𝐺𝑚)))‘𝑘) = ((𝐹𝑘) + (𝐺𝑘)))
4031, 36, 37, 39ser3add 10278 . . 3 ((𝜑𝑗𝑍) → (seq𝑀( + , (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚) + (𝐺𝑚))))‘𝑗) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗) + (seq𝑀( + , 𝐺)‘𝑗)))
411, 2, 21, 23, 25, 27, 29, 40climadd 11095 . 2 (𝜑 → seq𝑀( + , (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚) + (𝐺𝑚)))) ⇝ (Σ𝑘𝑍 𝐴 + Σ𝑘𝑍 𝐵))
421, 2, 18, 19, 41isumclim 11190 1 (𝜑 → Σ𝑘𝑍 (𝐴 + 𝐵) = (Σ𝑘𝑍 𝐴 + Σ𝑘𝑍 𝐵))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1331   ∈ wcel 1480  Vcvv 2686   ↦ cmpt 3989  dom cdm 4539  ‘cfv 5123  (class class class)co 5774  ℂcc 7618   + caddc 7623  ℤcz 9054  ℤ≥cuz 9326  seqcseq 10218   ⇝ cli 11047  Σcsu 11122 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-mulrcl 7719  ax-addcom 7720  ax-mulcom 7721  ax-addass 7722  ax-mulass 7723  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0lt1 7726  ax-1rid 7727  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-precex 7730  ax-cnre 7731  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-ltwlin 7733  ax-pre-lttrn 7734  ax-pre-apti 7735  ax-pre-ltadd 7736  ax-pre-mulgt0 7737  ax-pre-mulext 7738  ax-arch 7739  ax-caucvg 7740 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-isom 5132  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-irdg 6267  df-frec 6288  df-1o 6313  df-oadd 6317  df-er 6429  df-en 6635  df-dom 6636  df-fin 6637  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806  df-sub 7935  df-neg 7936  df-reap 8337  df-ap 8344  df-div 8433  df-inn 8721  df-2 8779  df-3 8780  df-4 8781  df-n0 8978  df-z 9055  df-uz 9327  df-q 9412  df-rp 9442  df-fz 9791  df-fzo 9920  df-seqfrec 10219  df-exp 10293  df-ihash 10522  df-cj 10614  df-re 10615  df-im 10616  df-rsqrt 10770  df-abs 10771  df-clim 11048  df-sumdc 11123 This theorem is referenced by:  sumsplitdc  11201
 Copyright terms: Public domain W3C validator