ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  isumadd GIF version

Theorem isumadd 10825
Description: Addition of infinite sums. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Aug-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
isumadd.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
isumadd.2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
isumadd.3 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = 𝐴)
isumadd.4 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐴 ∈ ℂ)
isumadd.5 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) = 𝐵)
isumadd.6 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐵 ∈ ℂ)
isumadd.7 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
isumadd.8 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )
Assertion
Ref Expression
isumadd (𝜑 → Σ𝑘𝑍 (𝐴 + 𝐵) = (Σ𝑘𝑍 𝐴 + Σ𝑘𝑍 𝐵))
Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝐺   𝑘,𝑀   𝜑,𝑘   𝑘,𝑍
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem isumadd
Dummy variables 𝑗 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isumadd.1 . 2 𝑍 = (ℤ𝑀)
2 isumadd.2 . 2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
3 simpr 108 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝑘𝑍)
4 isumadd.3 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = 𝐴)
5 isumadd.4 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐴 ∈ ℂ)
64, 5eqeltrd 2164 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
7 isumadd.5 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) = 𝐵)
8 isumadd.6 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐵 ∈ ℂ)
97, 8eqeltrd 2164 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) ∈ ℂ)
106, 9addcld 7507 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝐹𝑘) + (𝐺𝑘)) ∈ ℂ)
11 fveq2 5305 . . . . . 6 (𝑚 = 𝑘 → (𝐹𝑚) = (𝐹𝑘))
12 fveq2 5305 . . . . . 6 (𝑚 = 𝑘 → (𝐺𝑚) = (𝐺𝑘))
1311, 12oveq12d 5670 . . . . 5 (𝑚 = 𝑘 → ((𝐹𝑚) + (𝐺𝑚)) = ((𝐹𝑘) + (𝐺𝑘)))
14 eqid 2088 . . . . 5 (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚) + (𝐺𝑚))) = (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚) + (𝐺𝑚)))
1513, 14fvmptg 5380 . . . 4 ((𝑘𝑍 ∧ ((𝐹𝑘) + (𝐺𝑘)) ∈ ℂ) → ((𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚) + (𝐺𝑚)))‘𝑘) = ((𝐹𝑘) + (𝐺𝑘)))
163, 10, 15syl2anc 403 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚) + (𝐺𝑚)))‘𝑘) = ((𝐹𝑘) + (𝐺𝑘)))
174, 7oveq12d 5670 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝐹𝑘) + (𝐺𝑘)) = (𝐴 + 𝐵))
1816, 17eqtrd 2120 . 2 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚) + (𝐺𝑚)))‘𝑘) = (𝐴 + 𝐵))
195, 8addcld 7507 . 2 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ)
20 isumadd.7 . . . 4 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
211, 2, 4, 5, 20isumclim2 10816 . . 3 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ Σ𝑘𝑍 𝐴)
22 seqex 9857 . . . 4 seq𝑀( + , (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚) + (𝐺𝑚)))) ∈ V
2322a1i 9 . . 3 (𝜑 → seq𝑀( + , (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚) + (𝐺𝑚)))) ∈ V)
24 isumadd.8 . . . 4 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )
251, 2, 7, 8, 24isumclim2 10816 . . 3 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐺) ⇝ Σ𝑘𝑍 𝐵)
261, 2, 6serf 9900 . . . 4 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹):𝑍⟶ℂ)
2726ffvelrnda 5434 . . 3 ((𝜑𝑗𝑍) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗) ∈ ℂ)
281, 2, 9serf 9900 . . . 4 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐺):𝑍⟶ℂ)
2928ffvelrnda 5434 . . 3 ((𝜑𝑗𝑍) → (seq𝑀( + , 𝐺)‘𝑗) ∈ ℂ)
30 simpr 108 . . . . 5 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝑗𝑍)
3130, 1syl6eleq 2180 . . . 4 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝑗 ∈ (ℤ𝑀))
32 simpll 496 . . . . 5 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝜑)
331eleq2i 2154 . . . . . . 7 (𝑘𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
3433biimpri 131 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑘𝑍)
3534adantl 271 . . . . 5 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑘𝑍)
3632, 35, 6syl2anc 403 . . . 4 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
3732, 35, 9syl2anc 403 . . . 4 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐺𝑘) ∈ ℂ)
3832, 35, 10syl2anc 403 . . . . 5 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝐹𝑘) + (𝐺𝑘)) ∈ ℂ)
3935, 38, 15syl2anc 403 . . . 4 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚) + (𝐺𝑚)))‘𝑘) = ((𝐹𝑘) + (𝐺𝑘)))
4031, 36, 37, 39ser3add 9935 . . 3 ((𝜑𝑗𝑍) → (seq𝑀( + , (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚) + (𝐺𝑚))))‘𝑗) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗) + (seq𝑀( + , 𝐺)‘𝑗)))
411, 2, 21, 23, 25, 27, 29, 40climadd 10714 . 2 (𝜑 → seq𝑀( + , (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚) + (𝐺𝑚)))) ⇝ (Σ𝑘𝑍 𝐴 + Σ𝑘𝑍 𝐵))
421, 2, 18, 19, 41isumclim 10815 1 (𝜑 → Σ𝑘𝑍 (𝐴 + 𝐵) = (Σ𝑘𝑍 𝐴 + Σ𝑘𝑍 𝐵))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102   = wceq 1289  wcel 1438  Vcvv 2619  cmpt 3899  dom cdm 4438  cfv 5015  (class class class)co 5652  cc 7348   + caddc 7353  cz 8750  cuz 9019  seqcseq 9852  cli 10666  Σcsu 10742
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3954  ax-sep 3957  ax-nul 3965  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260  ax-setind 4353  ax-iinf 4403  ax-cnex 7436  ax-resscn 7437  ax-1cn 7438  ax-1re 7439  ax-icn 7440  ax-addcl 7441  ax-addrcl 7442  ax-mulcl 7443  ax-mulrcl 7444  ax-addcom 7445  ax-mulcom 7446  ax-addass 7447  ax-mulass 7448  ax-distr 7449  ax-i2m1 7450  ax-0lt1 7451  ax-1rid 7452  ax-0id 7453  ax-rnegex 7454  ax-precex 7455  ax-cnre 7456  ax-pre-ltirr 7457  ax-pre-ltwlin 7458  ax-pre-lttrn 7459  ax-pre-apti 7460  ax-pre-ltadd 7461  ax-pre-mulgt0 7462  ax-pre-mulext 7463  ax-arch 7464  ax-caucvg 7465
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rmo 2367  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-csb 2934  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-nul 3287  df-if 3394  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-int 3689  df-iun 3732  df-br 3846  df-opab 3900  df-mpt 3901  df-tr 3937  df-id 4120  df-po 4123  df-iso 4124  df-iord 4193  df-on 4195  df-ilim 4196  df-suc 4198  df-iom 4406  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-rn 4449  df-res 4450  df-ima 4451  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fn 5018  df-f 5019  df-f1 5020  df-fo 5021  df-f1o 5022  df-fv 5023  df-isom 5024  df-riota 5608  df-ov 5655  df-oprab 5656  df-mpt2 5657  df-1st 5911  df-2nd 5912  df-recs 6070  df-irdg 6135  df-frec 6156  df-1o 6181  df-oadd 6185  df-er 6292  df-en 6458  df-dom 6459  df-fin 6460  df-pnf 7524  df-mnf 7525  df-xr 7526  df-ltxr 7527  df-le 7528  df-sub 7655  df-neg 7656  df-reap 8052  df-ap 8059  df-div 8140  df-inn 8423  df-2 8481  df-3 8482  df-4 8483  df-n0 8674  df-z 8751  df-uz 9020  df-q 9105  df-rp 9135  df-fz 9425  df-fzo 9554  df-iseq 9853  df-seq3 9854  df-exp 9955  df-ihash 10184  df-cj 10276  df-re 10277  df-im 10278  df-rsqrt 10431  df-abs 10432  df-clim 10667  df-isum 10743
This theorem is referenced by:  sumsplitdc  10826
  Copyright terms: Public domain W3C validator