ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  efcj GIF version

Theorem efcj 11278
Description: The exponential of a complex conjugate. Equation 3 of [Gleason] p. 308. (Contributed by NM, 29-Apr-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
efcj (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(∗‘𝐴)) = (∗‘(exp‘𝐴)))

Proof of Theorem efcj
Dummy variables 𝑗 𝑘 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cjcl 10560 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘𝐴) ∈ ℂ)
2 eqid 2115 . . . 4 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((∗‘𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((∗‘𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))
32efcvg 11271 . . 3 ((∗‘𝐴) ∈ ℂ → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((∗‘𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))) ⇝ (exp‘(∗‘𝐴)))
41, 3syl 14 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((∗‘𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))) ⇝ (exp‘(∗‘𝐴)))
5 nn0uz 9309 . . 3 0 = (ℤ‘0)
6 eqid 2115 . . . 4 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛)))
76efcvg 11271 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛)))) ⇝ (exp‘𝐴))
8 seqex 10160 . . . 4 seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((∗‘𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))) ∈ V
98a1i 9 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((∗‘𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))) ∈ V)
10 0zd 9017 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → 0 ∈ ℤ)
116eftvalcn 11262 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘) = ((𝐴𝑘) / (!‘𝑘)))
12 eftcl 11259 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
1311, 12eqeltrd 2192 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘) ∈ ℂ)
145, 10, 13serf 10187 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛)))):ℕ0⟶ℂ)
1514ffvelrnda 5521 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛))))‘𝑗) ∈ ℂ)
16 addcl 7709 . . . . . 6 ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ) → (𝑘 + 𝑚) ∈ ℂ)
1716adantl 273 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ)) → (𝑘 + 𝑚) ∈ ℂ)
18 simpl 108 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
19 elnn0uz 9312 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ0𝑘 ∈ (ℤ‘0))
2019biimpri 132 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (ℤ‘0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
2118, 20, 13syl2an 285 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘0)) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘) ∈ ℂ)
22 simpr 109 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → 𝑗 ∈ ℕ0)
2322, 5syl6eleq 2208 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → 𝑗 ∈ (ℤ‘0))
24 cjadd 10596 . . . . . 6 ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ) → (∗‘(𝑘 + 𝑚)) = ((∗‘𝑘) + (∗‘𝑚)))
2524adantl 273 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ)) → (∗‘(𝑘 + 𝑚)) = ((∗‘𝑘) + (∗‘𝑚)))
26 expcl 10251 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
27 faccl 10421 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
2827adantl 273 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
2928nncnd 8691 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘𝑘) ∈ ℂ)
3028nnap0d 8723 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘𝑘) # 0)
3126, 29, 30cjdivapd 10680 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (∗‘((𝐴𝑘) / (!‘𝑘))) = ((∗‘(𝐴𝑘)) / (∗‘(!‘𝑘))))
32 cjexp 10605 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (∗‘(𝐴𝑘)) = ((∗‘𝐴)↑𝑘))
3328nnred 8690 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘𝑘) ∈ ℝ)
3433cjred 10683 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (∗‘(!‘𝑘)) = (!‘𝑘))
3532, 34oveq12d 5758 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((∗‘(𝐴𝑘)) / (∗‘(!‘𝑘))) = (((∗‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)))
3631, 35eqtrd 2148 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (∗‘((𝐴𝑘) / (!‘𝑘))) = (((∗‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)))
3711fveq2d 5391 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (∗‘((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘)) = (∗‘((𝐴𝑘) / (!‘𝑘))))
382eftvalcn 11262 . . . . . . . 8 (((∗‘𝐴) ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((∗‘𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘) = (((∗‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)))
391, 38sylan 279 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((∗‘𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘) = (((∗‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)))
4036, 37, 393eqtr4d 2158 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (∗‘((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘)) = ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((∗‘𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘))
4118, 20, 40syl2an 285 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘0)) → (∗‘((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘)) = ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((∗‘𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘))
4220adantl 273 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘0)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
431ad2antrr 477 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘0)) → (∗‘𝐴) ∈ ℂ)
4443, 42expcld 10364 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘0)) → ((∗‘𝐴)↑𝑘) ∈ ℂ)
4518, 20, 29syl2an 285 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘0)) → (!‘𝑘) ∈ ℂ)
4618, 20, 30syl2an 285 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘0)) → (!‘𝑘) # 0)
4744, 45, 46divclapd 8510 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘0)) → (((∗‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
48 oveq2 5748 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑘 → ((∗‘𝐴)↑𝑛) = ((∗‘𝐴)↑𝑘))
49 fveq2 5387 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑘 → (!‘𝑛) = (!‘𝑘))
5048, 49oveq12d 5758 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑘 → (((∗‘𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)) = (((∗‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)))
5150, 2fvmptg 5463 . . . . . . 7 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (((∗‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((∗‘𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘) = (((∗‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)))
5242, 47, 51syl2anc 406 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘0)) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((∗‘𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘) = (((∗‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)))
5352, 47eqeltrd 2192 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘0)) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((∗‘𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘) ∈ ℂ)
5417, 21, 23, 25, 41, 53, 17seq3homo 10223 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (∗‘(seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛))))‘𝑗)) = (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((∗‘𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛))))‘𝑗))
5554eqcomd 2121 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((∗‘𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛))))‘𝑗) = (∗‘(seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛))))‘𝑗)))
565, 7, 9, 10, 15, 55climcj 11030 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((∗‘𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))) ⇝ (∗‘(exp‘𝐴)))
57 climuni 11002 . 2 ((seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((∗‘𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))) ⇝ (exp‘(∗‘𝐴)) ∧ seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((∗‘𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))) ⇝ (∗‘(exp‘𝐴))) → (exp‘(∗‘𝐴)) = (∗‘(exp‘𝐴)))
584, 56, 57syl2anc 406 1 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(∗‘𝐴)) = (∗‘(exp‘𝐴)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103   = wceq 1314  wcel 1463  Vcvv 2658   class class class wbr 3897  cmpt 3957  cfv 5091  (class class class)co 5740  cc 7582  0cc0 7584   + caddc 7587   # cap 8306   / cdiv 8392  cn 8677  0cn0 8928  cuz 9275  seqcseq 10158  cexp 10232  !cfa 10411  ccj 10551  cli 10987  expce 11247
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-coll 4011  ax-sep 4014  ax-nul 4022  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-setind 4420  ax-iinf 4470  ax-cnex 7675  ax-resscn 7676  ax-1cn 7677  ax-1re 7678  ax-icn 7679  ax-addcl 7680  ax-addrcl 7681  ax-mulcl 7682  ax-mulrcl 7683  ax-addcom 7684  ax-mulcom 7685  ax-addass 7686  ax-mulass 7687  ax-distr 7688  ax-i2m1 7689  ax-0lt1 7690  ax-1rid 7691  ax-0id 7692  ax-rnegex 7693  ax-precex 7694  ax-cnre 7695  ax-pre-ltirr 7696  ax-pre-ltwlin 7697  ax-pre-lttrn 7698  ax-pre-apti 7699  ax-pre-ltadd 7700  ax-pre-mulgt0 7701  ax-pre-mulext 7702  ax-arch 7703  ax-caucvg 7704
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 803  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-nel 2379  df-ral 2396  df-rex 2397  df-reu 2398  df-rmo 2399  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-csb 2974  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-nul 3332  df-if 3443  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-int 3740  df-iun 3783  df-br 3898  df-opab 3958  df-mpt 3959  df-tr 3995  df-id 4183  df-po 4186  df-iso 4187  df-iord 4256  df-on 4258  df-ilim 4259  df-suc 4261  df-iom 4473  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-rn 4518  df-res 4519  df-ima 4520  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fn 5094  df-f 5095  df-f1 5096  df-fo 5097  df-f1o 5098  df-fv 5099  df-isom 5100  df-riota 5696  df-ov 5743  df-oprab 5744  df-mpo 5745  df-1st 6004  df-2nd 6005  df-recs 6168  df-irdg 6233  df-frec 6254  df-1o 6279  df-oadd 6283  df-er 6395  df-en 6601  df-dom 6602  df-fin 6603  df-pnf 7766  df-mnf 7767  df-xr 7768  df-ltxr 7769  df-le 7770  df-sub 7899  df-neg 7900  df-reap 8300  df-ap 8307  df-div 8393  df-inn 8678  df-2 8736  df-3 8737  df-4 8738  df-n0 8929  df-z 9006  df-uz 9276  df-q 9361  df-rp 9391  df-ico 9617  df-fz 9731  df-fzo 9860  df-seqfrec 10159  df-exp 10233  df-fac 10412  df-ihash 10462  df-cj 10554  df-re 10555  df-im 10556  df-rsqrt 10710  df-abs 10711  df-clim 10988  df-sumdc 11063  df-ef 11253
This theorem is referenced by:  resinval  11321  recosval  11322
  Copyright terms: Public domain W3C validator