ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  efcj GIF version
Theorem efcj 11680
Description: The exponential of a complex conjugate. Equation 3 of [Gleason] p. 308. (Contributed by NM, 29-Apr-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
efcj (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (expβ€˜(βˆ—β€˜π΄)) = (βˆ—β€˜(expβ€˜π΄)))
Proof of Theorem efcj
Dummy variables 𝑗 π‘˜ π‘š 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cjcl 10856 . . 3 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (βˆ—β€˜π΄) ∈ β„‚)
2 eqid 2177 . . . 4 (𝑛 ∈ β„•0 ↦ (((βˆ—β€˜π΄)↑𝑛) / (!β€˜π‘›))) = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ (((βˆ—β€˜π΄)↑𝑛) / (!β€˜π‘›)))
32efcvg 11673 . . 3 ((βˆ—β€˜π΄) ∈ β„‚ β†’ seq0( + , (𝑛 ∈ β„•0 ↦ (((βˆ—β€˜π΄)↑𝑛) / (!β€˜π‘›)))) ⇝ (expβ€˜(βˆ—β€˜π΄)))
41, 3syl 14 . 2 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ seq0( + , (𝑛 ∈ β„•0 ↦ (((βˆ—β€˜π΄)↑𝑛) / (!β€˜π‘›)))) ⇝ (expβ€˜(βˆ—β€˜π΄)))
5 nn0uz 9561 . . 3 β„•0 = (β„€β‰₯β€˜0)
6 eqid 2177 . . . 4 (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!β€˜π‘›))) = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!β€˜π‘›)))
76efcvg 11673 . . 3 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ seq0( + , (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!β€˜π‘›)))) ⇝ (expβ€˜π΄))
8 seqex 10446 . . . 4 seq0( + , (𝑛 ∈ β„•0 ↦ (((βˆ—β€˜π΄)↑𝑛) / (!β€˜π‘›)))) ∈ V
98a1i 9 . . 3 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ seq0( + , (𝑛 ∈ β„•0 ↦ (((βˆ—β€˜π΄)↑𝑛) / (!β€˜π‘›)))) ∈ V)
10 0zd 9264 . . 3 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ 0 ∈ β„€)
116eftvalcn 11664 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!β€˜π‘›)))β€˜π‘˜) = ((π΄β†‘π‘˜) / (!β€˜π‘˜)))
12 eftcl 11661 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((π΄β†‘π‘˜) / (!β€˜π‘˜)) ∈ β„‚)
1311, 12eqeltrd 2254 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!β€˜π‘›)))β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
145, 10, 13serf 10473 . . . 4 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ seq0( + , (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!β€˜π‘›)))):β„•0βŸΆβ„‚)
1514ffvelcdmda 5651 . . 3 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑗 ∈ β„•0) β†’ (seq0( + , (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!β€˜π‘›))))β€˜π‘—) ∈ β„‚)
16 addcl 7935 . . . . . 6 ((π‘˜ ∈ β„‚ ∧ π‘š ∈ β„‚) β†’ (π‘˜ + π‘š) ∈ β„‚)
1716adantl 277 . . . . 5 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑗 ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ β„‚ ∧ π‘š ∈ β„‚)) β†’ (π‘˜ + π‘š) ∈ β„‚)
18 simpl 109 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑗 ∈ β„•0) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
19 elnn0uz 9564 . . . . . . 7 (π‘˜ ∈ β„•0 ↔ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜0))
2019biimpri 133 . . . . . 6 (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜0) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
2118, 20, 13syl2an 289 . . . . 5 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑗 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜0)) β†’ ((𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!β€˜π‘›)))β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
22 simpr 110 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑗 ∈ β„•0) β†’ 𝑗 ∈ β„•0)
2322, 5eleqtrdi 2270 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑗 ∈ β„•0) β†’ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜0))
24 cjadd 10892 . . . . . 6 ((π‘˜ ∈ β„‚ ∧ π‘š ∈ β„‚) β†’ (βˆ—β€˜(π‘˜ + π‘š)) = ((βˆ—β€˜π‘˜) + (βˆ—β€˜π‘š)))
2524adantl 277 . . . . 5 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑗 ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ ∈ β„‚ ∧ π‘š ∈ β„‚)) β†’ (βˆ—β€˜(π‘˜ + π‘š)) = ((βˆ—β€˜π‘˜) + (βˆ—β€˜π‘š)))
26 expcl 10537 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (π΄β†‘π‘˜) ∈ β„‚)
27 faccl 10714 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ ∈ β„•0 β†’ (!β€˜π‘˜) ∈ β„•)
2827adantl 277 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (!β€˜π‘˜) ∈ β„•)
2928nncnd 8932 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (!β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
3028nnap0d 8964 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (!β€˜π‘˜) # 0)
3126, 29, 30cjdivapd 10976 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (βˆ—β€˜((π΄β†‘π‘˜) / (!β€˜π‘˜))) = ((βˆ—β€˜(π΄β†‘π‘˜)) / (βˆ—β€˜(!β€˜π‘˜))))
32 cjexp 10901 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (βˆ—β€˜(π΄β†‘π‘˜)) = ((βˆ—β€˜π΄)β†‘π‘˜))
3328nnred 8931 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (!β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
3433cjred 10979 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (βˆ—β€˜(!β€˜π‘˜)) = (!β€˜π‘˜))
3532, 34oveq12d 5892 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((βˆ—β€˜(π΄β†‘π‘˜)) / (βˆ—β€˜(!β€˜π‘˜))) = (((βˆ—β€˜π΄)β†‘π‘˜) / (!β€˜π‘˜)))
3631, 35eqtrd 2210 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (βˆ—β€˜((π΄β†‘π‘˜) / (!β€˜π‘˜))) = (((βˆ—β€˜π΄)β†‘π‘˜) / (!β€˜π‘˜)))
3711fveq2d 5519 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (βˆ—β€˜((𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!β€˜π‘›)))β€˜π‘˜)) = (βˆ—β€˜((π΄β†‘π‘˜) / (!β€˜π‘˜))))
382eftvalcn 11664 . . . . . . . 8 (((βˆ—β€˜π΄) ∈ β„‚ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((𝑛 ∈ β„•0 ↦ (((βˆ—β€˜π΄)↑𝑛) / (!β€˜π‘›)))β€˜π‘˜) = (((βˆ—β€˜π΄)β†‘π‘˜) / (!β€˜π‘˜)))
391, 38sylan 283 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((𝑛 ∈ β„•0 ↦ (((βˆ—β€˜π΄)↑𝑛) / (!β€˜π‘›)))β€˜π‘˜) = (((βˆ—β€˜π΄)β†‘π‘˜) / (!β€˜π‘˜)))
4036, 37, 393eqtr4d 2220 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (βˆ—β€˜((𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!β€˜π‘›)))β€˜π‘˜)) = ((𝑛 ∈ β„•0 ↦ (((βˆ—β€˜π΄)↑𝑛) / (!β€˜π‘›)))β€˜π‘˜))
4118, 20, 40syl2an 289 . . . . 5 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑗 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜0)) β†’ (βˆ—β€˜((𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!β€˜π‘›)))β€˜π‘˜)) = ((𝑛 ∈ β„•0 ↦ (((βˆ—β€˜π΄)↑𝑛) / (!β€˜π‘›)))β€˜π‘˜))
4220adantl 277 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑗 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜0)) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
431ad2antrr 488 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑗 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜0)) β†’ (βˆ—β€˜π΄) ∈ β„‚)
4443, 42expcld 10653 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑗 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜0)) β†’ ((βˆ—β€˜π΄)β†‘π‘˜) ∈ β„‚)
4518, 20, 29syl2an 289 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑗 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜0)) β†’ (!β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
4618, 20, 30syl2an 289 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑗 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜0)) β†’ (!β€˜π‘˜) # 0)
4744, 45, 46divclapd 8746 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑗 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜0)) β†’ (((βˆ—β€˜π΄)β†‘π‘˜) / (!β€˜π‘˜)) ∈ β„‚)
48 oveq2 5882 . . . . . . . . 9 (𝑛 = π‘˜ β†’ ((βˆ—β€˜π΄)↑𝑛) = ((βˆ—β€˜π΄)β†‘π‘˜))
49 fveq2 5515 . . . . . . . . 9 (𝑛 = π‘˜ β†’ (!β€˜π‘›) = (!β€˜π‘˜))
5048, 49oveq12d 5892 . . . . . . . 8 (𝑛 = π‘˜ β†’ (((βˆ—β€˜π΄)↑𝑛) / (!β€˜π‘›)) = (((βˆ—β€˜π΄)β†‘π‘˜) / (!β€˜π‘˜)))
5150, 2fvmptg 5592 . . . . . . 7 ((π‘˜ ∈ β„•0 ∧ (((βˆ—β€˜π΄)β†‘π‘˜) / (!β€˜π‘˜)) ∈ β„‚) β†’ ((𝑛 ∈ β„•0 ↦ (((βˆ—β€˜π΄)↑𝑛) / (!β€˜π‘›)))β€˜π‘˜) = (((βˆ—β€˜π΄)β†‘π‘˜) / (!β€˜π‘˜)))
5242, 47, 51syl2anc 411 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑗 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜0)) β†’ ((𝑛 ∈ β„•0 ↦ (((βˆ—β€˜π΄)↑𝑛) / (!β€˜π‘›)))β€˜π‘˜) = (((βˆ—β€˜π΄)β†‘π‘˜) / (!β€˜π‘˜)))
5352, 47eqeltrd 2254 . . . . 5 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑗 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜0)) β†’ ((𝑛 ∈ β„•0 ↦ (((βˆ—β€˜π΄)↑𝑛) / (!β€˜π‘›)))β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
5417, 21, 23, 25, 41, 53, 17seq3homo 10509 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑗 ∈ β„•0) β†’ (βˆ—β€˜(seq0( + , (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!β€˜π‘›))))β€˜π‘—)) = (seq0( + , (𝑛 ∈ β„•0 ↦ (((βˆ—β€˜π΄)↑𝑛) / (!β€˜π‘›))))β€˜π‘—))
5554eqcomd 2183 . . 3 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑗 ∈ β„•0) β†’ (seq0( + , (𝑛 ∈ β„•0 ↦ (((βˆ—β€˜π΄)↑𝑛) / (!β€˜π‘›))))β€˜π‘—) = (βˆ—β€˜(seq0( + , (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!β€˜π‘›))))β€˜π‘—)))
565, 7, 9, 10, 15, 55climcj 11328 . 2 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ seq0( + , (𝑛 ∈ β„•0 ↦ (((βˆ—β€˜π΄)↑𝑛) / (!β€˜π‘›)))) ⇝ (βˆ—β€˜(expβ€˜π΄)))
57 climuni 11300 . 2 ((seq0( + , (𝑛 ∈ β„•0 ↦ (((βˆ—β€˜π΄)↑𝑛) / (!β€˜π‘›)))) ⇝ (expβ€˜(βˆ—β€˜π΄)) ∧ seq0( + , (𝑛 ∈ β„•0 ↦ (((βˆ—β€˜π΄)↑𝑛) / (!β€˜π‘›)))) ⇝ (βˆ—β€˜(expβ€˜π΄))) β†’ (expβ€˜(βˆ—β€˜π΄)) = (βˆ—β€˜(expβ€˜π΄)))
584, 56, 57syl2anc 411 1 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (expβ€˜(βˆ—β€˜π΄)) = (βˆ—β€˜(expβ€˜π΄)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  Vcvv 2737   class class class wbr 4003   ↦ cmpt 4064  β€˜cfv 5216  (class class class)co 5874  β„‚cc 7808  0cc0 7810   + caddc 7813   # cap 8537   / cdiv 8628  β„•cn 8918  β„•0cn0 9175  β„€β‰₯cuz 9527  seqcseq 10444  β†‘cexp 10518  !cfa 10704  βˆ—ccj 10847   ⇝ cli 11285  expce 11649
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-iinf 4587  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-mulrcl 7909  ax-addcom 7910  ax-mulcom 7911  ax-addass 7912  ax-mulass 7913  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-1rid 7917  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-precex 7920  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-apti 7925  ax-pre-ltadd 7926  ax-pre-mulgt0 7927  ax-pre-mulext 7928  ax-arch 7929  ax-caucvg 7930
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-tr 4102  df-id 4293  df-po 4296  df-iso 4297  df-iord 4366  df-on 4368  df-ilim 4369  df-suc 4371  df-iom 4590  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-isom 5225  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-recs 6305  df-irdg 6370  df-frec 6391  df-1o 6416  df-oadd 6420  df-er 6534  df-en 6740  df-dom 6741  df-fin 6742  df-pnf 7993  df-mnf 7994  df-xr 7995  df-ltxr 7996  df-le 7997  df-sub 8129  df-neg 8130  df-reap 8531  df-ap 8538  df-div 8629  df-inn 8919  df-2 8977  df-3 8978  df-4 8979  df-n0 9176  df-z 9253  df-uz 9528  df-q 9619  df-rp 9653  df-ico 9893  df-fz 10008  df-fzo 10142  df-seqfrec 10445  df-exp 10519  df-fac 10705  df-ihash 10755  df-cj 10850  df-re 10851  df-im 10852  df-rsqrt 11006  df-abs 11007  df-clim 11286  df-sumdc 11361  df-ef 11655
This theorem is referenced by:  resinval  11722  recosval  11723
  Copyright terms: Public domain W3C validator