ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  efcj GIF version

Theorem efcj 11024
Description: The exponential of a complex conjugate. Equation 3 of [Gleason] p. 308. (Contributed by NM, 29-Apr-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
efcj (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(∗‘𝐴)) = (∗‘(exp‘𝐴)))

Proof of Theorem efcj
Dummy variables 𝑗 𝑘 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cjcl 10343 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘𝐴) ∈ ℂ)
2 eqid 2089 . . . 4 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((∗‘𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((∗‘𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))
32efcvg 11017 . . 3 ((∗‘𝐴) ∈ ℂ → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((∗‘𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))) ⇝ (exp‘(∗‘𝐴)))
41, 3syl 14 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((∗‘𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))) ⇝ (exp‘(∗‘𝐴)))
5 nn0uz 9114 . . 3 0 = (ℤ‘0)
6 eqid 2089 . . . 4 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛)))
76efcvg 11017 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛)))) ⇝ (exp‘𝐴))
8 seqex 9918 . . . 4 seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((∗‘𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))) ∈ V
98a1i 9 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((∗‘𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))) ∈ V)
10 0zd 8823 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → 0 ∈ ℤ)
116eftvalcn 11008 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘) = ((𝐴𝑘) / (!‘𝑘)))
12 eftcl 11005 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
1311, 12eqeltrd 2165 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘) ∈ ℂ)
145, 10, 13serf 9961 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛)))):ℕ0⟶ℂ)
1514ffvelrnda 5448 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛))))‘𝑗) ∈ ℂ)
16 addcl 7528 . . . . . 6 ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ) → (𝑘 + 𝑚) ∈ ℂ)
1716adantl 272 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ)) → (𝑘 + 𝑚) ∈ ℂ)
18 simpl 108 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
19 elnn0uz 9117 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ0𝑘 ∈ (ℤ‘0))
2019biimpri 132 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (ℤ‘0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
2118, 20, 13syl2an 284 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘0)) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘) ∈ ℂ)
22 simpr 109 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → 𝑗 ∈ ℕ0)
2322, 5syl6eleq 2181 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → 𝑗 ∈ (ℤ‘0))
24 cjadd 10379 . . . . . 6 ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ) → (∗‘(𝑘 + 𝑚)) = ((∗‘𝑘) + (∗‘𝑚)))
2524adantl 272 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ)) → (∗‘(𝑘 + 𝑚)) = ((∗‘𝑘) + (∗‘𝑚)))
26 expcl 10034 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
27 faccl 10204 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
2827adantl 272 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
2928nncnd 8497 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘𝑘) ∈ ℂ)
3028nnap0d 8529 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘𝑘) # 0)
3126, 29, 30cjdivapd 10463 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (∗‘((𝐴𝑘) / (!‘𝑘))) = ((∗‘(𝐴𝑘)) / (∗‘(!‘𝑘))))
32 cjexp 10388 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (∗‘(𝐴𝑘)) = ((∗‘𝐴)↑𝑘))
3328nnred 8496 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘𝑘) ∈ ℝ)
3433cjred 10466 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (∗‘(!‘𝑘)) = (!‘𝑘))
3532, 34oveq12d 5684 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((∗‘(𝐴𝑘)) / (∗‘(!‘𝑘))) = (((∗‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)))
3631, 35eqtrd 2121 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (∗‘((𝐴𝑘) / (!‘𝑘))) = (((∗‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)))
3711fveq2d 5322 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (∗‘((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘)) = (∗‘((𝐴𝑘) / (!‘𝑘))))
382eftvalcn 11008 . . . . . . . 8 (((∗‘𝐴) ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((∗‘𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘) = (((∗‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)))
391, 38sylan 278 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((∗‘𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘) = (((∗‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)))
4036, 37, 393eqtr4d 2131 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (∗‘((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘)) = ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((∗‘𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘))
4118, 20, 40syl2an 284 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘0)) → (∗‘((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘)) = ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((∗‘𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘))
4220adantl 272 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘0)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
431ad2antrr 473 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘0)) → (∗‘𝐴) ∈ ℂ)
4443, 42expcld 10147 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘0)) → ((∗‘𝐴)↑𝑘) ∈ ℂ)
4518, 20, 29syl2an 284 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘0)) → (!‘𝑘) ∈ ℂ)
4618, 20, 30syl2an 284 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘0)) → (!‘𝑘) # 0)
4744, 45, 46divclapd 8318 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘0)) → (((∗‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
48 oveq2 5674 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑘 → ((∗‘𝐴)↑𝑛) = ((∗‘𝐴)↑𝑘))
49 fveq2 5318 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑘 → (!‘𝑛) = (!‘𝑘))
5048, 49oveq12d 5684 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑘 → (((∗‘𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)) = (((∗‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)))
5150, 2fvmptg 5393 . . . . . . 7 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (((∗‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((∗‘𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘) = (((∗‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)))
5242, 47, 51syl2anc 404 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘0)) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((∗‘𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘) = (((∗‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)))
5352, 47eqeltrd 2165 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘0)) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((∗‘𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘) ∈ ℂ)
5417, 21, 23, 25, 41, 53, 17seq3homo 10005 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (∗‘(seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛))))‘𝑗)) = (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((∗‘𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛))))‘𝑗))
5554eqcomd 2094 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((∗‘𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛))))‘𝑗) = (∗‘(seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛))))‘𝑗)))
565, 7, 9, 10, 15, 55climcj 10770 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((∗‘𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))) ⇝ (∗‘(exp‘𝐴)))
57 climuni 10742 . 2 ((seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((∗‘𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))) ⇝ (exp‘(∗‘𝐴)) ∧ seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((∗‘𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))) ⇝ (∗‘(exp‘𝐴))) → (exp‘(∗‘𝐴)) = (∗‘(exp‘𝐴)))
584, 56, 57syl2anc 404 1 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(∗‘𝐴)) = (∗‘(exp‘𝐴)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103   = wceq 1290  wcel 1439  Vcvv 2620   class class class wbr 3851  cmpt 3905  cfv 5028  (class class class)co 5666  cc 7409  0cc0 7411   + caddc 7414   # cap 8119   / cdiv 8200  cn 8483  0cn0 8734  cuz 9080  seqcseq 9913  cexp 10015  !cfa 10194  ccj 10334  cli 10727  expce 10993
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-coll 3960  ax-sep 3963  ax-nul 3971  ax-pow 4015  ax-pr 4045  ax-un 4269  ax-setind 4366  ax-iinf 4416  ax-cnex 7497  ax-resscn 7498  ax-1cn 7499  ax-1re 7500  ax-icn 7501  ax-addcl 7502  ax-addrcl 7503  ax-mulcl 7504  ax-mulrcl 7505  ax-addcom 7506  ax-mulcom 7507  ax-addass 7508  ax-mulass 7509  ax-distr 7510  ax-i2m1 7511  ax-0lt1 7512  ax-1rid 7513  ax-0id 7514  ax-rnegex 7515  ax-precex 7516  ax-cnre 7517  ax-pre-ltirr 7518  ax-pre-ltwlin 7519  ax-pre-lttrn 7520  ax-pre-apti 7521  ax-pre-ltadd 7522  ax-pre-mulgt0 7523  ax-pre-mulext 7524  ax-arch 7525  ax-caucvg 7526
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 782  df-3or 926  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-nel 2352  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rmo 2368  df-rab 2369  df-v 2622  df-sbc 2842  df-csb 2935  df-dif 3002  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-nul 3288  df-if 3398  df-pw 3435  df-sn 3456  df-pr 3457  df-op 3459  df-uni 3660  df-int 3695  df-iun 3738  df-br 3852  df-opab 3906  df-mpt 3907  df-tr 3943  df-id 4129  df-po 4132  df-iso 4133  df-iord 4202  df-on 4204  df-ilim 4205  df-suc 4207  df-iom 4419  df-xp 4458  df-rel 4459  df-cnv 4460  df-co 4461  df-dm 4462  df-rn 4463  df-res 4464  df-ima 4465  df-iota 4993  df-fun 5030  df-fn 5031  df-f 5032  df-f1 5033  df-fo 5034  df-f1o 5035  df-fv 5036  df-isom 5037  df-riota 5622  df-ov 5669  df-oprab 5670  df-mpt2 5671  df-1st 5925  df-2nd 5926  df-recs 6084  df-irdg 6149  df-frec 6170  df-1o 6195  df-oadd 6199  df-er 6306  df-en 6512  df-dom 6513  df-fin 6514  df-pnf 7585  df-mnf 7586  df-xr 7587  df-ltxr 7588  df-le 7589  df-sub 7716  df-neg 7717  df-reap 8113  df-ap 8120  df-div 8201  df-inn 8484  df-2 8542  df-3 8543  df-4 8544  df-n0 8735  df-z 8812  df-uz 9081  df-q 9166  df-rp 9196  df-ico 9373  df-fz 9486  df-fzo 9615  df-iseq 9914  df-seq3 9915  df-exp 10016  df-fac 10195  df-ihash 10245  df-cj 10337  df-re 10338  df-im 10339  df-rsqrt 10492  df-abs 10493  df-clim 10728  df-isum 10804  df-ef 10999
This theorem is referenced by:  resinval  11067  recosval  11068
  Copyright terms: Public domain W3C validator