Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  efcj GIF version

Theorem efcj 11552
 Description: The exponential of a complex conjugate. Equation 3 of [Gleason] p. 308. (Contributed by NM, 29-Apr-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
efcj (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(∗‘𝐴)) = (∗‘(exp‘𝐴)))

Proof of Theorem efcj
Dummy variables 𝑗 𝑘 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cjcl 10730 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘𝐴) ∈ ℂ)
2 eqid 2157 . . . 4 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((∗‘𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((∗‘𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))
32efcvg 11545 . . 3 ((∗‘𝐴) ∈ ℂ → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((∗‘𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))) ⇝ (exp‘(∗‘𝐴)))
41, 3syl 14 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((∗‘𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))) ⇝ (exp‘(∗‘𝐴)))
5 nn0uz 9456 . . 3 0 = (ℤ‘0)
6 eqid 2157 . . . 4 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛)))
76efcvg 11545 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛)))) ⇝ (exp‘𝐴))
8 seqex 10328 . . . 4 seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((∗‘𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))) ∈ V
98a1i 9 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((∗‘𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))) ∈ V)
10 0zd 9162 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → 0 ∈ ℤ)
116eftvalcn 11536 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘) = ((𝐴𝑘) / (!‘𝑘)))
12 eftcl 11533 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
1311, 12eqeltrd 2234 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘) ∈ ℂ)
145, 10, 13serf 10355 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛)))):ℕ0⟶ℂ)
1514ffvelrnda 5599 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛))))‘𝑗) ∈ ℂ)
16 addcl 7840 . . . . . 6 ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ) → (𝑘 + 𝑚) ∈ ℂ)
1716adantl 275 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ)) → (𝑘 + 𝑚) ∈ ℂ)
18 simpl 108 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
19 elnn0uz 9459 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ0𝑘 ∈ (ℤ‘0))
2019biimpri 132 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (ℤ‘0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
2118, 20, 13syl2an 287 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘0)) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘) ∈ ℂ)
22 simpr 109 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → 𝑗 ∈ ℕ0)
2322, 5eleqtrdi 2250 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → 𝑗 ∈ (ℤ‘0))
24 cjadd 10766 . . . . . 6 ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ) → (∗‘(𝑘 + 𝑚)) = ((∗‘𝑘) + (∗‘𝑚)))
2524adantl 275 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ)) → (∗‘(𝑘 + 𝑚)) = ((∗‘𝑘) + (∗‘𝑚)))
26 expcl 10419 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
27 faccl 10591 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
2827adantl 275 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
2928nncnd 8830 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘𝑘) ∈ ℂ)
3028nnap0d 8862 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘𝑘) # 0)
3126, 29, 30cjdivapd 10850 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (∗‘((𝐴𝑘) / (!‘𝑘))) = ((∗‘(𝐴𝑘)) / (∗‘(!‘𝑘))))
32 cjexp 10775 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (∗‘(𝐴𝑘)) = ((∗‘𝐴)↑𝑘))
3328nnred 8829 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘𝑘) ∈ ℝ)
3433cjred 10853 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (∗‘(!‘𝑘)) = (!‘𝑘))
3532, 34oveq12d 5836 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((∗‘(𝐴𝑘)) / (∗‘(!‘𝑘))) = (((∗‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)))
3631, 35eqtrd 2190 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (∗‘((𝐴𝑘) / (!‘𝑘))) = (((∗‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)))
3711fveq2d 5469 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (∗‘((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘)) = (∗‘((𝐴𝑘) / (!‘𝑘))))
382eftvalcn 11536 . . . . . . . 8 (((∗‘𝐴) ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((∗‘𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘) = (((∗‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)))
391, 38sylan 281 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((∗‘𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘) = (((∗‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)))
4036, 37, 393eqtr4d 2200 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (∗‘((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘)) = ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((∗‘𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘))
4118, 20, 40syl2an 287 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘0)) → (∗‘((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘)) = ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((∗‘𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘))
4220adantl 275 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘0)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
431ad2antrr 480 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘0)) → (∗‘𝐴) ∈ ℂ)
4443, 42expcld 10533 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘0)) → ((∗‘𝐴)↑𝑘) ∈ ℂ)
4518, 20, 29syl2an 287 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘0)) → (!‘𝑘) ∈ ℂ)
4618, 20, 30syl2an 287 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘0)) → (!‘𝑘) # 0)
4744, 45, 46divclapd 8646 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘0)) → (((∗‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
48 oveq2 5826 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑘 → ((∗‘𝐴)↑𝑛) = ((∗‘𝐴)↑𝑘))
49 fveq2 5465 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑘 → (!‘𝑛) = (!‘𝑘))
5048, 49oveq12d 5836 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑘 → (((∗‘𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)) = (((∗‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)))
5150, 2fvmptg 5541 . . . . . . 7 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (((∗‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((∗‘𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘) = (((∗‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)))
5242, 47, 51syl2anc 409 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘0)) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((∗‘𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘) = (((∗‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)))
5352, 47eqeltrd 2234 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘0)) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((∗‘𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘) ∈ ℂ)
5417, 21, 23, 25, 41, 53, 17seq3homo 10391 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (∗‘(seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛))))‘𝑗)) = (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((∗‘𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛))))‘𝑗))
5554eqcomd 2163 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((∗‘𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛))))‘𝑗) = (∗‘(seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛))))‘𝑗)))
565, 7, 9, 10, 15, 55climcj 11200 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((∗‘𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))) ⇝ (∗‘(exp‘𝐴)))
57 climuni 11172 . 2 ((seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((∗‘𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))) ⇝ (exp‘(∗‘𝐴)) ∧ seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((∗‘𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))) ⇝ (∗‘(exp‘𝐴))) → (exp‘(∗‘𝐴)) = (∗‘(exp‘𝐴)))
584, 56, 57syl2anc 409 1 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(∗‘𝐴)) = (∗‘(exp‘𝐴)))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1335   ∈ wcel 2128  Vcvv 2712   class class class wbr 3965   ↦ cmpt 4025  ‘cfv 5167  (class class class)co 5818  ℂcc 7713  0cc0 7715   + caddc 7718   # cap 8439   / cdiv 8528  ℕcn 8816  ℕ0cn0 9073  ℤ≥cuz 9422  seqcseq 10326  ↑cexp 10400  !cfa 10581  ∗ccj 10721   ⇝ cli 11157  expce 11521 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4079  ax-sep 4082  ax-nul 4090  ax-pow 4134  ax-pr 4168  ax-un 4392  ax-setind 4494  ax-iinf 4545  ax-cnex 7806  ax-resscn 7807  ax-1cn 7808  ax-1re 7809  ax-icn 7810  ax-addcl 7811  ax-addrcl 7812  ax-mulcl 7813  ax-mulrcl 7814  ax-addcom 7815  ax-mulcom 7816  ax-addass 7817  ax-mulass 7818  ax-distr 7819  ax-i2m1 7820  ax-0lt1 7821  ax-1rid 7822  ax-0id 7823  ax-rnegex 7824  ax-precex 7825  ax-cnre 7826  ax-pre-ltirr 7827  ax-pre-ltwlin 7828  ax-pre-lttrn 7829  ax-pre-apti 7830  ax-pre-ltadd 7831  ax-pre-mulgt0 7832  ax-pre-mulext 7833  ax-arch 7834  ax-caucvg 7835 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rmo 2443  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-if 3506  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-iun 3851  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-tr 4063  df-id 4252  df-po 4255  df-iso 4256  df-iord 4325  df-on 4327  df-ilim 4328  df-suc 4330  df-iom 4548  df-xp 4589  df-rel 4590  df-cnv 4591  df-co 4592  df-dm 4593  df-rn 4594  df-res 4595  df-ima 4596  df-iota 5132  df-fun 5169  df-fn 5170  df-f 5171  df-f1 5172  df-fo 5173  df-f1o 5174  df-fv 5175  df-isom 5176  df-riota 5774  df-ov 5821  df-oprab 5822  df-mpo 5823  df-1st 6082  df-2nd 6083  df-recs 6246  df-irdg 6311  df-frec 6332  df-1o 6357  df-oadd 6361  df-er 6473  df-en 6679  df-dom 6680  df-fin 6681  df-pnf 7897  df-mnf 7898  df-xr 7899  df-ltxr 7900  df-le 7901  df-sub 8031  df-neg 8032  df-reap 8433  df-ap 8440  df-div 8529  df-inn 8817  df-2 8875  df-3 8876  df-4 8877  df-n0 9074  df-z 9151  df-uz 9423  df-q 9511  df-rp 9543  df-ico 9780  df-fz 9895  df-fzo 10024  df-seqfrec 10327  df-exp 10401  df-fac 10582  df-ihash 10632  df-cj 10724  df-re 10725  df-im 10726  df-rsqrt 10880  df-abs 10881  df-clim 11158  df-sumdc 11233  df-ef 11527 This theorem is referenced by:  resinval  11594  recosval  11595
 Copyright terms: Public domain W3C validator