Theorem subumgredg2en 16678

Description: An edge of a subgraph of a multigraph connects exactly two different vertices. (Contributed by AV, 26-Nov-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
subumgredg2.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝑆)
subumgredg2.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
subumgredg2en	⊢ ((𝑆 SubGraph 𝐺 ∧ 𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) → (𝐼‘𝑋) ∈ {𝑒 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 𝑒 ≈ 2o})

Distinct variable groups:   𝑒,𝐼   𝑒,𝑉   𝑒,𝑋

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑒)   𝐺(𝑒)

Proof of Theorem subumgredg2en

Dummy variables 𝑗 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 4133	. 2 ⊢ (𝑒 = (𝐼‘𝑋) → (𝑒 ≈ 2o ↔ (𝐼‘𝑋) ≈ 2o))
2		subumgredg2.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝑆)
3		subumgredg2.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝑆)
4		umgruhgr 16520	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → 𝐺 ∈ UHGraph)
5	4	3ad2ant2 1050	. . . 4 ⊢ ((𝑆 SubGraph 𝐺 ∧ 𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) → 𝐺 ∈ UHGraph)
6		simp1 1028	. . . 4 ⊢ ((𝑆 SubGraph 𝐺 ∧ 𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) → 𝑆 SubGraph 𝐺)
7		simp3 1030	. . . 4 ⊢ ((𝑆 SubGraph 𝐺 ∧ 𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) → 𝑋 ∈ dom 𝐼)
8	2, 3, 5, 6, 7	subgruhgredgdm 16677	. . 3 ⊢ ((𝑆 SubGraph 𝐺 ∧ 𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) → (𝐼‘𝑋) ∈ {𝑠 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑠})
9		elrabi 2979	. . 3 ⊢ ((𝐼‘𝑋) ∈ {𝑠 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑠} → (𝐼‘𝑋) ∈ 𝒫 𝑉)
10	8, 9	syl 14	. 2 ⊢ ((𝑆 SubGraph 𝐺 ∧ 𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) → (𝐼‘𝑋) ∈ 𝒫 𝑉)
11		eqid 2238	. . . . . . 7 ⊢ (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
12	11	uhgrfun 16484	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → Fun (iEdg‘𝐺))
13	4, 12	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → Fun (iEdg‘𝐺))
14	13	3ad2ant2 1050	. . . 4 ⊢ ((𝑆 SubGraph 𝐺 ∧ 𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) → Fun (iEdg‘𝐺))
15		eqid 2238	. . . . . . 7 ⊢ (Vtx‘𝑆) = (Vtx‘𝑆)
16		eqid 2238	. . . . . . 7 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
17		eqid 2238	. . . . . . 7 ⊢ (Edg‘𝑆) = (Edg‘𝑆)
18	15, 16, 3, 11, 17	subgrprop2 16667	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 SubGraph 𝐺 → ((Vtx‘𝑆) ⊆ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐼 ⊆ (iEdg‘𝐺) ∧ (Edg‘𝑆) ⊆ 𝒫 (Vtx‘𝑆)))
19	18	simp2d 1041	. . . . 5 ⊢ (𝑆 SubGraph 𝐺 → 𝐼 ⊆ (iEdg‘𝐺))
20	19	3ad2ant1 1049	. . . 4 ⊢ ((𝑆 SubGraph 𝐺 ∧ 𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) → 𝐼 ⊆ (iEdg‘𝐺))
21		funssfv 5721	. . . . 5 ⊢ ((Fun (iEdg‘𝐺) ∧ 𝐼 ⊆ (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) → ((iEdg‘𝐺)‘𝑋) = (𝐼‘𝑋))
22	21	eqcomd 2244	. . . 4 ⊢ ((Fun (iEdg‘𝐺) ∧ 𝐼 ⊆ (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) → (𝐼‘𝑋) = ((iEdg‘𝐺)‘𝑋))
23	14, 20, 7, 22	syl3anc 1278	. . 3 ⊢ ((𝑆 SubGraph 𝐺 ∧ 𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) → (𝐼‘𝑋) = ((iEdg‘𝐺)‘𝑋))
24		simp2 1029	. . . 4 ⊢ ((𝑆 SubGraph 𝐺 ∧ 𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) → 𝐺 ∈ UMGraph)
25	3	dmeqi 4982	. . . . . . . 8 ⊢ dom 𝐼 = dom (iEdg‘𝑆)
26	25	eleq2i 2305	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ dom 𝐼 ↔ 𝑋 ∈ dom (iEdg‘𝑆))
27		subgreldmiedg 16676	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 SubGraph 𝐺 ∧ 𝑋 ∈ dom (iEdg‘𝑆)) → 𝑋 ∈ dom (iEdg‘𝐺))
28	27	ex 115	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 SubGraph 𝐺 → (𝑋 ∈ dom (iEdg‘𝑆) → 𝑋 ∈ dom (iEdg‘𝐺)))
29	26, 28	biimtrid 152	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 SubGraph 𝐺 → (𝑋 ∈ dom 𝐼 → 𝑋 ∈ dom (iEdg‘𝐺)))
30	29	a1d 22	. . . . 5 ⊢ (𝑆 SubGraph 𝐺 → (𝐺 ∈ UMGraph → (𝑋 ∈ dom 𝐼 → 𝑋 ∈ dom (iEdg‘𝐺))))
31	30	3imp 1224	. . . 4 ⊢ ((𝑆 SubGraph 𝐺 ∧ 𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) → 𝑋 ∈ dom (iEdg‘𝐺))
32	16, 11	umgredg2en 16516	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑋 ∈ dom (iEdg‘𝐺)) → ((iEdg‘𝐺)‘𝑋) ≈ 2o)
33	24, 31, 32	syl2anc 415	. . 3 ⊢ ((𝑆 SubGraph 𝐺 ∧ 𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) → ((iEdg‘𝐺)‘𝑋) ≈ 2o)
34	23, 33	eqbrtrd 4152	. 2 ⊢ ((𝑆 SubGraph 𝐺 ∧ 𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) → (𝐼‘𝑋) ≈ 2o)
35	1, 10, 34	elrabd 2984	1 ⊢ ((𝑆 SubGraph 𝐺 ∧ 𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) → (𝐼‘𝑋) ∈ {𝑒 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 𝑒 ≈ 2o})

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1009   = wceq 1402  ∃wex 1545   ∈ wcel 2209  {crab 2532   ⊆ wss 3220  𝒫 cpw 3688   class class class wbr 4130  dom cdm 4774  Fun wfun 5371  ‘cfv 5377  2_oc2o 6681   ≈ cen 7020  Vtxcvtx 16419  iEdgciedg 16420  Edgcedg 16464  UHGraphcuhgr 16474  UMGraphcumgr 16499   SubGraph csubgr 16660

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8271  ax-resscn 8272  ax-1cn 8273  ax-1re 8274  ax-icn 8275  ax-addcl 8276  ax-addrcl 8277  ax-mulcl 8278  ax-addcom 8280  ax-mulcom 8281  ax-addass 8282  ax-mulass 8283  ax-distr 8284  ax-i2m1 8285  ax-1rid 8287  ax-0id 8288  ax-rnegex 8289  ax-cnre 8291

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-iord 4511  df-on 4513  df-suc 4516  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-1o 6687  df-2o 6688  df-en 7023  df-sub 8501  df-inn 9308  df-2 9366  df-3 9367  df-4 9368  df-5 9369  df-6 9370  df-7 9371  df-8 9372  df-9 9373  df-n0 9569  df-dec 9783  df-ndx 13407  df-slot 13408  df-base 13410  df-edgf 16412  df-vtx 16421  df-iedg 16422  df-edg 16465  df-uhgrm 16476  df-upgren 16500  df-umgren 16501  df-subgr 16661

This theorem is used by:  subumgr  16681  subusgr  16682