Theorem 0n0s 28321

Description: Peano postulate: 0_s is a non-negative surreal integer. (Contributed by Scott Fenton, 17-Mar-2025.)

Assertion

Ref	Expression
0n0s	⊢ 0s ∈ ℕ0s

Proof of Theorem 0n0s

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-n0s 28306	. . . 4 ⊢ ℕ0s = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 +s 1s )), 0s ) “ ω)
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → ℕ0s = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 +s 1s )), 0s ) “ ω))
3		0no 27801	. . . 4 ⊢ 0s ∈ No
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → 0s ∈ No )
5	2, 4	noseq0 28282	. 2 ⊢ (⊤ → 0s ∈ ℕ0s)
6	5	mptru 1549	1 ⊢ 0s ∈ ℕ0s

Syntax hints:   = wceq 1542  ⊤wtru 1543   ∈ wcel 2114  Vcvv 3430   ↦ cmpt 5167   “ cima 5634  (class class class)co 7367  ωcom 7817  reccrdg 8348   No csur 27603   0_s c0s 27797   1_s c1s 27798   +_s cadds 27951  ℕ_0scn0s 28304

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5308  ax-pr 5376  ax-un 7689

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6266  df-ord 6327  df-on 6328  df-lim 6329  df-suc 6330  df-iota 6455  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-2o 8406  df-no 27606  df-lts 27607  df-bday 27608  df-slts 27750  df-cuts 27752  df-0s 27799  df-n0s 28306

This theorem is referenced by:  dfn0s2  28324  n0mulscl  28337  1n0s  28340  n0fincut  28347  eln0s  28353  n0subs  28355  n0lts1e0  28360  bdayn0sf1o  28362  eucliddivs  28368  n0seo  28413  bdaypw2n0bndlem  28455  bdayfinbndlem1  28459  z12bdaylem1  28462  zz12s  28467