Theorem 0n0s 28346

Description: Peano postulate: 0_s is a non-negative surreal integer. (Contributed by Scott Fenton, 17-Mar-2025.)

Assertion

Ref	Expression
0n0s	⊢ 0s ∈ ℕ0s

Proof of Theorem 0n0s

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-n0s 28331	. . . 4 ⊢ ℕ0s = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 +s 1s )), 0s ) “ ω)
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → ℕ0s = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 +s 1s )), 0s ) “ ω))
3		0no 27826	. . . 4 ⊢ 0s ∈ No
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → 0s ∈ No )
5	2, 4	noseq0 28307	. 2 ⊢ (⊤ → 0s ∈ ℕ0s)
6	5	mptru 1554	1 ⊢ 0s ∈ ℕ0s

Syntax hints:   = wceq 1547  ⊤wtru 1548   ∈ wcel 2119  Vcvv 3432   ↦ cmpt 5160   “ cima 5628  (class class class)co 7363  ωcom 7813  reccrdg 8345   No csur 27628   0_s c0s 27822   1_s c1s 27823   +_s cadds 27976  ℕ_0scn0s 28329

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-rep 5206  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-tp 4567  df-op 4569  df-uni 4846  df-int 4885  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-om 7814  df-2nd 7939  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-1o 8402  df-2o 8403  df-no 27631  df-lts 27632  df-bday 27633  df-slts 27775  df-cuts 27777  df-0s 27824  df-n0s 28331

This theorem is referenced by:  dfn0s2  28349  n0mulscl  28362  1n0s  28365  n0fincut  28372  eln0s  28378  n0subs  28380  n0lts1e0  28385  bdayn0sf1o  28387  eucliddivs  28393  n0seo  28438  bdaypw2n0bndlem  28480  bdayfinbndlem1  28484  z12bdaylem1  28487  zz12s  28492