Theorem ac6n 10567

Description: Equivalent of Axiom of Choice. Contrapositive of ac6s 10566. (Contributed by NM, 10-Jun-2007.)

Hypotheses

Ref	Expression
ac6s.1	⊢ 𝐴 ∈ V
ac6s.2	⊢ (𝑦 = (𝑓‘𝑥) → (𝜑 ↔ 𝜓))

Assertion

Ref	Expression
ac6n	⊢ (∀𝑓(𝑓:𝐴⟶𝐵 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜓) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝜑)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑓,𝐴   𝑥,𝑦,𝐵,𝑓   𝜑,𝑓   𝜓,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥, 𝑦)   𝜓(𝑥, 𝑓)   𝐴(𝑦)

Proof of Theorem ac6n

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ac6s.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ V
2		ac6s.2	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = (𝑓‘𝑥) → (𝜑 ↔ 𝜓))
3	2	notbid 321	. . . 4 ⊢ (𝑦 = (𝑓‘𝑥) → (¬ 𝜑 ↔ ¬ 𝜓))
4	1, 3	ac6s 10566	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝜑 → ∃𝑓(𝑓:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝜓))
5	4	con3i 155	. 2 ⊢ (¬ ∃𝑓(𝑓:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝜓) → ¬ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝜑)
6		dfrex2 3089	. . . . 5 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜓 ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝜓)
7	6	imbi2i 339	. . . 4 ⊢ ((𝑓:𝐴⟶𝐵 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜓) ↔ (𝑓:𝐴⟶𝐵 → ¬ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝜓))
8	7	albii 1851	. . 3 ⊢ (∀𝑓(𝑓:𝐴⟶𝐵 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜓) ↔ ∀𝑓(𝑓:𝐴⟶𝐵 → ¬ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝜓))
9		alinexa 1875	. . 3 ⊢ (∀𝑓(𝑓:𝐴⟶𝐵 → ¬ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝜓) ↔ ¬ ∃𝑓(𝑓:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝜓))
10	8, 9	bitri 278	. 2 ⊢ (∀𝑓(𝑓:𝐴⟶𝐵 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜓) ↔ ¬ ∃𝑓(𝑓:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝜓))
11		dfral2 3113	. . . 4 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ↔ ¬ ∃𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝜑)
12	11	rexbii 3109	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ¬ ∃𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝜑)
13		rexnal 3114	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 ¬ ∃𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝜑 ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝜑)
14	12, 13	bitri 278	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝜑)
15	5, 10, 14	3imtr4i 295	1 ⊢ (∀𝑓(𝑓:𝐴⟶𝐵 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜓) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝜑)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401  ∀wal 1567   = wceq 1569  ∃wex 1811   ∈ wcel 2144  ∀wral 3076  ∃wrex 3086  Vcvv 3450  ⟶wf 6535  ‘cfv 6539

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-reg 9590  ax-inf2 9646  ax-ac2 10545

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-isom 6548  df-riota 7378  df-ov 7424  df-om 7879  df-2nd 8003  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-en 8978  df-r1 9772  df-rank 9773  df-scott 9933  df-card 10024  df-ac 10199

This theorem is used by:  nmobndseqiALT  31388