MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ac6n Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ac6n 9595
Description: Equivalent of Axiom of Choice. Contrapositive of ac6s 9594. (Contributed by NM, 10-Jun-2007.)
Hypotheses
Ref Expression
ac6s.1 𝐴 ∈ V
ac6s.2 (𝑦 = (𝑓𝑥) → (𝜑𝜓))
Assertion
Ref Expression
ac6n (∀𝑓(𝑓:𝐴𝐵 → ∃𝑥𝐴 𝜓) → ∃𝑥𝐴𝑦𝐵 𝜑)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑓,𝐴   𝑥,𝑦,𝐵,𝑓   𝜑,𝑓   𝜓,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝜓(𝑥,𝑓)   𝐴(𝑦)

Proof of Theorem ac6n
StepHypRef Expression
1 ac6s.1 . . . 4 𝐴 ∈ V
2 ac6s.2 . . . . 5 (𝑦 = (𝑓𝑥) → (𝜑𝜓))
32notbid 310 . . . 4 (𝑦 = (𝑓𝑥) → (¬ 𝜑 ↔ ¬ 𝜓))
41, 3ac6s 9594 . . 3 (∀𝑥𝐴𝑦𝐵 ¬ 𝜑 → ∃𝑓(𝑓:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴 ¬ 𝜓))
54con3i 152 . 2 (¬ ∃𝑓(𝑓:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴 ¬ 𝜓) → ¬ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 ¬ 𝜑)
6 dfrex2 3176 . . . . 5 (∃𝑥𝐴 𝜓 ↔ ¬ ∀𝑥𝐴 ¬ 𝜓)
76imbi2i 328 . . . 4 ((𝑓:𝐴𝐵 → ∃𝑥𝐴 𝜓) ↔ (𝑓:𝐴𝐵 → ¬ ∀𝑥𝐴 ¬ 𝜓))
87albii 1915 . . 3 (∀𝑓(𝑓:𝐴𝐵 → ∃𝑥𝐴 𝜓) ↔ ∀𝑓(𝑓:𝐴𝐵 → ¬ ∀𝑥𝐴 ¬ 𝜓))
9 alinexa 1940 . . 3 (∀𝑓(𝑓:𝐴𝐵 → ¬ ∀𝑥𝐴 ¬ 𝜓) ↔ ¬ ∃𝑓(𝑓:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴 ¬ 𝜓))
108, 9bitri 267 . 2 (∀𝑓(𝑓:𝐴𝐵 → ∃𝑥𝐴 𝜓) ↔ ¬ ∃𝑓(𝑓:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴 ¬ 𝜓))
11 dfral2 3174 . . . 4 (∀𝑦𝐵 𝜑 ↔ ¬ ∃𝑦𝐵 ¬ 𝜑)
1211rexbii 3222 . . 3 (∃𝑥𝐴𝑦𝐵 𝜑 ↔ ∃𝑥𝐴 ¬ ∃𝑦𝐵 ¬ 𝜑)
13 rexnal 3175 . . 3 (∃𝑥𝐴 ¬ ∃𝑦𝐵 ¬ 𝜑 ↔ ¬ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 ¬ 𝜑)
1412, 13bitri 267 . 2 (∃𝑥𝐴𝑦𝐵 𝜑 ↔ ¬ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 ¬ 𝜑)
155, 10, 143imtr4i 284 1 (∀𝑓(𝑓:𝐴𝐵 → ∃𝑥𝐴 𝜓) → ∃𝑥𝐴𝑦𝐵 𝜑)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 198  wa 385  wal 1651   = wceq 1653  wex 1875  wcel 2157  wral 3089  wrex 3090  Vcvv 3385  wf 6097  cfv 6101
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-reg 8739  ax-inf2 8788  ax-ac2 9573
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-int 4668  df-iun 4712  df-iin 4713  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-se 5272  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-pred 5898  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-isom 6110  df-riota 6839  df-om 7300  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-en 8196  df-r1 8877  df-rank 8878  df-card 9051  df-ac 9225
This theorem is referenced by:  nmobndseqiALT  28160
  Copyright terms: Public domain W3C validator