Theorem ac6n 10491

Description: Equivalent of Axiom of Choice. Contrapositive of ac6s 10490. (Contributed by NM, 10-Jun-2007.)

Hypotheses

Ref	Expression
ac6s.1	⊢ 𝐴 ∈ V
ac6s.2	⊢ (𝑦 = (𝑓‘𝑥) → (𝜑 ↔ 𝜓))

Assertion

Ref	Expression
ac6n	⊢ (∀𝑓(𝑓:𝐴⟶𝐵 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜓) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝜑)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑓,𝐴   𝑥,𝑦,𝐵,𝑓   𝜑,𝑓   𝜓,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥, 𝑦)   𝜓(𝑥, 𝑓)   𝐴(𝑦)

Proof of Theorem ac6n

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ac6s.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ V
2		ac6s.2	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = (𝑓‘𝑥) → (𝜑 ↔ 𝜓))
3	2	notbid 321	. . . 4 ⊢ (𝑦 = (𝑓‘𝑥) → (¬ 𝜑 ↔ ¬ 𝜓))
4	1, 3	ac6s 10490	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝜑 → ∃𝑓(𝑓:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝜓))
5	4	con3i 155	. 2 ⊢ (¬ ∃𝑓(𝑓:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝜓) → ¬ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝜑)
6		dfrex2 3091	. . . . 5 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜓 ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝜓)
7	6	imbi2i 339	. . . 4 ⊢ ((𝑓:𝐴⟶𝐵 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜓) ↔ (𝑓:𝐴⟶𝐵 → ¬ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝜓))
8	7	albii 1852	. . 3 ⊢ (∀𝑓(𝑓:𝐴⟶𝐵 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜓) ↔ ∀𝑓(𝑓:𝐴⟶𝐵 → ¬ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝜓))
9		alinexa 1876	. . 3 ⊢ (∀𝑓(𝑓:𝐴⟶𝐵 → ¬ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝜓) ↔ ¬ ∃𝑓(𝑓:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝜓))
10	8, 9	bitri 278	. 2 ⊢ (∀𝑓(𝑓:𝐴⟶𝐵 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜓) ↔ ¬ ∃𝑓(𝑓:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝜓))
11		dfral2 3115	. . . 4 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ↔ ¬ ∃𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝜑)
12	11	rexbii 3111	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ¬ ∃𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝜑)
13		rexnal 3116	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 ¬ ∃𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝜑 ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝜑)
14	12, 13	bitri 278	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝜑)
15	5, 10, 14	3imtr4i 295	1 ⊢ (∀𝑓(𝑓:𝐴⟶𝐵 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜓) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝜑)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401  ∀wal 1568   = wceq 1570  ∃wex 1812   ∈ wcel 2145  ∀wral 3078  ∃wrex 3088  Vcvv 3453  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-reg 9568  ax-inf2 9624  ax-ac2 10469

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7374  df-ov 7420  df-om 7867  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-en 8957  df-r1 9750  df-rank 9751  df-scott 9872  df-card 9948  df-ac 10123

This theorem is used by:  nmobndseqiALT  31269