Theorem ac6n 10525

Description: Equivalent of Axiom of Choice. Contrapositive of ac6s 10524. (Contributed by NM, 10-Jun-2007.)

Hypotheses

Ref	Expression
ac6s.1	⊢ 𝐴 ∈ V
ac6s.2	⊢ (𝑦 = (𝑓‘𝑥) → (𝜑 ↔ 𝜓))

Assertion

Ref	Expression
ac6n	⊢ (∀𝑓(𝑓:𝐴⟶𝐵 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜓) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝜑)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑓,𝐴   𝑥,𝑦,𝐵,𝑓   𝜑,𝑓   𝜓,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝜓(𝑥,𝑓)   𝐴(𝑦)

Proof of Theorem ac6n

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ac6s.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ V
2		ac6s.2	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = (𝑓‘𝑥) → (𝜑 ↔ 𝜓))
3	2	notbid 318	. . . 4 ⊢ (𝑦 = (𝑓‘𝑥) → (¬ 𝜑 ↔ ¬ 𝜓))
4	1, 3	ac6s 10524	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝜑 → ∃𝑓(𝑓:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝜓))
5	4	con3i 154	. 2 ⊢ (¬ ∃𝑓(𝑓:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝜓) → ¬ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝜑)
6		dfrex2 3073	. . . . 5 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜓 ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝜓)
7	6	imbi2i 336	. . . 4 ⊢ ((𝑓:𝐴⟶𝐵 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜓) ↔ (𝑓:𝐴⟶𝐵 → ¬ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝜓))
8	7	albii 1819	. . 3 ⊢ (∀𝑓(𝑓:𝐴⟶𝐵 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜓) ↔ ∀𝑓(𝑓:𝐴⟶𝐵 → ¬ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝜓))
9		alinexa 1843	. . 3 ⊢ (∀𝑓(𝑓:𝐴⟶𝐵 → ¬ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝜓) ↔ ¬ ∃𝑓(𝑓:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝜓))
10	8, 9	bitri 275	. 2 ⊢ (∀𝑓(𝑓:𝐴⟶𝐵 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜓) ↔ ¬ ∃𝑓(𝑓:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝜓))
11		dfral2 3099	. . . 4 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ↔ ¬ ∃𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝜑)
12	11	rexbii 3094	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ¬ ∃𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝜑)
13		rexnal 3100	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 ¬ ∃𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝜑 ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝜑)
14	12, 13	bitri 275	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝜑)
15	5, 10, 14	3imtr4i 292	1 ⊢ (∀𝑓(𝑓:𝐴⟶𝐵 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜓) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝜑)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395  ∀wal 1538   = wceq 1540  ∃wex 1779   ∈ wcel 2108  ∀wral 3061  ∃wrex 3070  Vcvv 3480  ⟶wf 6557  ‘cfv 6561

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-reg 9632  ax-inf2 9681  ax-ac2 10503

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-en 8986  df-r1 9804  df-rank 9805  df-card 9979  df-ac 10156

This theorem is referenced by:  nmobndseqiALT  30799