Theorem ac6n 10383

Description: Equivalent of Axiom of Choice. Contrapositive of ac6s 10382. (Contributed by NM, 10-Jun-2007.)

Hypotheses

Ref	Expression
ac6s.1	⊢ 𝐴 ∈ V
ac6s.2	⊢ (𝑦 = (𝑓‘𝑥) → (𝜑 ↔ 𝜓))

Assertion

Ref	Expression
ac6n	⊢ (∀𝑓(𝑓:𝐴⟶𝐵 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜓) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝜑)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑓,𝐴   𝑥,𝑦,𝐵,𝑓   𝜑,𝑓   𝜓,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝜓(𝑥,𝑓)   𝐴(𝑦)

Proof of Theorem ac6n

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ac6s.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ V
2		ac6s.2	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = (𝑓‘𝑥) → (𝜑 ↔ 𝜓))
3	2	notbid 318	. . . 4 ⊢ (𝑦 = (𝑓‘𝑥) → (¬ 𝜑 ↔ ¬ 𝜓))
4	1, 3	ac6s 10382	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝜑 → ∃𝑓(𝑓:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝜓))
5	4	con3i 154	. 2 ⊢ (¬ ∃𝑓(𝑓:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝜓) → ¬ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝜑)
6		dfrex2 3060	. . . . 5 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜓 ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝜓)
7	6	imbi2i 336	. . . 4 ⊢ ((𝑓:𝐴⟶𝐵 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜓) ↔ (𝑓:𝐴⟶𝐵 → ¬ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝜓))
8	7	albii 1820	. . 3 ⊢ (∀𝑓(𝑓:𝐴⟶𝐵 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜓) ↔ ∀𝑓(𝑓:𝐴⟶𝐵 → ¬ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝜓))
9		alinexa 1844	. . 3 ⊢ (∀𝑓(𝑓:𝐴⟶𝐵 → ¬ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝜓) ↔ ¬ ∃𝑓(𝑓:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝜓))
10	8, 9	bitri 275	. 2 ⊢ (∀𝑓(𝑓:𝐴⟶𝐵 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜓) ↔ ¬ ∃𝑓(𝑓:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝜓))
11		dfral2 3084	. . . 4 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ↔ ¬ ∃𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝜑)
12	11	rexbii 3080	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ¬ ∃𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝜑)
13		rexnal 3085	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 ¬ ∃𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝜑 ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝜑)
14	12, 13	bitri 275	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝜑)
15	5, 10, 14	3imtr4i 292	1 ⊢ (∀𝑓(𝑓:𝐴⟶𝐵 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜓) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝜑)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395  ∀wal 1539   = wceq 1541  ∃wex 1780   ∈ wcel 2113  ∀wral 3048  ∃wrex 3057  Vcvv 3437  ⟶wf 6482  ‘cfv 6486

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5219  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-reg 9485  ax-inf2 9538  ax-ac2 10361

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-int 4898  df-iun 4943  df-iin 4944  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-isom 6495  df-riota 7309  df-ov 7355  df-om 7803  df-2nd 7928  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-en 8876  df-r1 9664  df-rank 9665  df-card 9839  df-ac 10014

This theorem is referenced by:  nmobndseqiALT  30762