Theorem ac6n 10554

Description: Equivalent of Axiom of Choice. Contrapositive of ac6s 10553. (Contributed by NM, 10-Jun-2007.)

Hypotheses

Ref	Expression
ac6s.1	⊢ 𝐴 ∈ V
ac6s.2	⊢ (𝑦 = (𝑓‘𝑥) → (𝜑 ↔ 𝜓))

Assertion

Ref	Expression
ac6n	⊢ (∀𝑓(𝑓:𝐴⟶𝐵 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜓) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝜑)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑓,𝐴   𝑥,𝑦,𝐵,𝑓   𝜑,𝑓   𝜓,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝜓(𝑥,𝑓)   𝐴(𝑦)

Proof of Theorem ac6n

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ac6s.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ V
2		ac6s.2	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = (𝑓‘𝑥) → (𝜑 ↔ 𝜓))
3	2	notbid 318	. . . 4 ⊢ (𝑦 = (𝑓‘𝑥) → (¬ 𝜑 ↔ ¬ 𝜓))
4	1, 3	ac6s 10553	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝜑 → ∃𝑓(𝑓:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝜓))
5	4	con3i 154	. 2 ⊢ (¬ ∃𝑓(𝑓:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝜓) → ¬ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝜑)
6		dfrex2 3079	. . . . 5 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜓 ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝜓)
7	6	imbi2i 336	. . . 4 ⊢ ((𝑓:𝐴⟶𝐵 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜓) ↔ (𝑓:𝐴⟶𝐵 → ¬ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝜓))
8	7	albii 1817	. . 3 ⊢ (∀𝑓(𝑓:𝐴⟶𝐵 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜓) ↔ ∀𝑓(𝑓:𝐴⟶𝐵 → ¬ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝜓))
9		alinexa 1841	. . 3 ⊢ (∀𝑓(𝑓:𝐴⟶𝐵 → ¬ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝜓) ↔ ¬ ∃𝑓(𝑓:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝜓))
10	8, 9	bitri 275	. 2 ⊢ (∀𝑓(𝑓:𝐴⟶𝐵 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜓) ↔ ¬ ∃𝑓(𝑓:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ 𝜓))
11		dfral2 3105	. . . 4 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ↔ ¬ ∃𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝜑)
12	11	rexbii 3100	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ¬ ∃𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝜑)
13		rexnal 3106	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 ¬ ∃𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝜑 ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝜑)
14	12, 13	bitri 275	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝜑)
15	5, 10, 14	3imtr4i 292	1 ⊢ (∀𝑓(𝑓:𝐴⟶𝐵 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜓) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝜑)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395  ∀wal 1535   = wceq 1537  ∃wex 1777   ∈ wcel 2108  ∀wral 3067  ∃wrex 3076  Vcvv 3488  ⟶wf 6569  ‘cfv 6573

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-reg 9661  ax-inf2 9710  ax-ac2 10532

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-iin 5018  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-se 5653  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-isom 6582  df-riota 7404  df-ov 7451  df-om 7904  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-en 9004  df-r1 9833  df-rank 9834  df-card 10008  df-ac 10185

This theorem is referenced by:  nmobndseqiALT  30812