MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nmobndseqiALT Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nmobndseqiALT 30629
Description: Alternate shorter proof of nmobndseqi 30628 based on Axioms ax-reg 9610 and ax-ac2 10481 instead of ax-cc 10453. (Contributed by NM, 18-Jan-2008.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nmoubi.1 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
nmoubi.y π‘Œ = (BaseSetβ€˜π‘Š)
nmoubi.l 𝐿 = (normCVβ€˜π‘ˆ)
nmoubi.m 𝑀 = (normCVβ€˜π‘Š)
nmoubi.3 𝑁 = (π‘ˆ normOpOLD π‘Š)
nmoubi.u π‘ˆ ∈ NrmCVec
nmoubi.w π‘Š ∈ NrmCVec
Assertion
Ref Expression
nmobndseqiALT ((𝑇:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ βˆ€π‘“((𝑓:β„•βŸΆπ‘‹ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (πΏβ€˜(π‘“β€˜π‘˜)) ≀ 1) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„• (π‘€β€˜(π‘‡β€˜(π‘“β€˜π‘˜))) ≀ π‘˜)) β†’ (π‘β€˜π‘‡) ∈ ℝ)
Distinct variable groups:   𝑓,π‘˜,𝐿   π‘˜,π‘Œ   𝑓,𝑀,π‘˜   𝑇,𝑓,π‘˜   𝑓,𝑋,π‘˜   π‘˜,𝑁
Allowed substitution hints:   π‘ˆ(𝑓,π‘˜)   𝑁(𝑓)   π‘Š(𝑓,π‘˜)   π‘Œ(𝑓)

Proof of Theorem nmobndseqiALT
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 impexp 449 . . . . . 6 (((𝑓:β„•βŸΆπ‘‹ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (πΏβ€˜(π‘“β€˜π‘˜)) ≀ 1) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„• (π‘€β€˜(π‘‡β€˜(π‘“β€˜π‘˜))) ≀ π‘˜) ↔ (𝑓:β„•βŸΆπ‘‹ β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ β„• (πΏβ€˜(π‘“β€˜π‘˜)) ≀ 1 β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„• (π‘€β€˜(π‘‡β€˜(π‘“β€˜π‘˜))) ≀ π‘˜)))
2 r19.35 3098 . . . . . . 7 (βˆƒπ‘˜ ∈ β„• ((πΏβ€˜(π‘“β€˜π‘˜)) ≀ 1 β†’ (π‘€β€˜(π‘‡β€˜(π‘“β€˜π‘˜))) ≀ π‘˜) ↔ (βˆ€π‘˜ ∈ β„• (πΏβ€˜(π‘“β€˜π‘˜)) ≀ 1 β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„• (π‘€β€˜(π‘‡β€˜(π‘“β€˜π‘˜))) ≀ π‘˜))
32imbi2i 335 . . . . . 6 ((𝑓:β„•βŸΆπ‘‹ β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„• ((πΏβ€˜(π‘“β€˜π‘˜)) ≀ 1 β†’ (π‘€β€˜(π‘‡β€˜(π‘“β€˜π‘˜))) ≀ π‘˜)) ↔ (𝑓:β„•βŸΆπ‘‹ β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ β„• (πΏβ€˜(π‘“β€˜π‘˜)) ≀ 1 β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„• (π‘€β€˜(π‘‡β€˜(π‘“β€˜π‘˜))) ≀ π‘˜)))
41, 3bitr4i 277 . . . . 5 (((𝑓:β„•βŸΆπ‘‹ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (πΏβ€˜(π‘“β€˜π‘˜)) ≀ 1) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„• (π‘€β€˜(π‘‡β€˜(π‘“β€˜π‘˜))) ≀ π‘˜) ↔ (𝑓:β„•βŸΆπ‘‹ β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„• ((πΏβ€˜(π‘“β€˜π‘˜)) ≀ 1 β†’ (π‘€β€˜(π‘‡β€˜(π‘“β€˜π‘˜))) ≀ π‘˜)))
54albii 1813 . . . 4 (βˆ€π‘“((𝑓:β„•βŸΆπ‘‹ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (πΏβ€˜(π‘“β€˜π‘˜)) ≀ 1) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„• (π‘€β€˜(π‘‡β€˜(π‘“β€˜π‘˜))) ≀ π‘˜) ↔ βˆ€π‘“(𝑓:β„•βŸΆπ‘‹ β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„• ((πΏβ€˜(π‘“β€˜π‘˜)) ≀ 1 β†’ (π‘€β€˜(π‘‡β€˜(π‘“β€˜π‘˜))) ≀ π‘˜)))
6 nnex 12243 . . . . . 6 β„• ∈ V
7 fveq2 6890 . . . . . . . 8 (𝑦 = (π‘“β€˜π‘˜) β†’ (πΏβ€˜π‘¦) = (πΏβ€˜(π‘“β€˜π‘˜)))
87breq1d 5154 . . . . . . 7 (𝑦 = (π‘“β€˜π‘˜) β†’ ((πΏβ€˜π‘¦) ≀ 1 ↔ (πΏβ€˜(π‘“β€˜π‘˜)) ≀ 1))
9 fveq2 6890 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (π‘“β€˜π‘˜) β†’ (π‘‡β€˜π‘¦) = (π‘‡β€˜(π‘“β€˜π‘˜)))
109fveq2d 6894 . . . . . . . 8 (𝑦 = (π‘“β€˜π‘˜) β†’ (π‘€β€˜(π‘‡β€˜π‘¦)) = (π‘€β€˜(π‘‡β€˜(π‘“β€˜π‘˜))))
1110breq1d 5154 . . . . . . 7 (𝑦 = (π‘“β€˜π‘˜) β†’ ((π‘€β€˜(π‘‡β€˜π‘¦)) ≀ π‘˜ ↔ (π‘€β€˜(π‘‡β€˜(π‘“β€˜π‘˜))) ≀ π‘˜))
128, 11imbi12d 343 . . . . . 6 (𝑦 = (π‘“β€˜π‘˜) β†’ (((πΏβ€˜π‘¦) ≀ 1 β†’ (π‘€β€˜(π‘‡β€˜π‘¦)) ≀ π‘˜) ↔ ((πΏβ€˜(π‘“β€˜π‘˜)) ≀ 1 β†’ (π‘€β€˜(π‘‡β€˜(π‘“β€˜π‘˜))) ≀ π‘˜)))
136, 12ac6n 10503 . . . . 5 (βˆ€π‘“(𝑓:β„•βŸΆπ‘‹ β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„• ((πΏβ€˜(π‘“β€˜π‘˜)) ≀ 1 β†’ (π‘€β€˜(π‘‡β€˜(π‘“β€˜π‘˜))) ≀ π‘˜)) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„• βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 ((πΏβ€˜π‘¦) ≀ 1 β†’ (π‘€β€˜(π‘‡β€˜π‘¦)) ≀ π‘˜))
14 nnre 12244 . . . . . . 7 (π‘˜ ∈ β„• β†’ π‘˜ ∈ ℝ)
1514anim1i 613 . . . . . 6 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 ((πΏβ€˜π‘¦) ≀ 1 β†’ (π‘€β€˜(π‘‡β€˜π‘¦)) ≀ π‘˜)) β†’ (π‘˜ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 ((πΏβ€˜π‘¦) ≀ 1 β†’ (π‘€β€˜(π‘‡β€˜π‘¦)) ≀ π‘˜)))
1615reximi2 3069 . . . . 5 (βˆƒπ‘˜ ∈ β„• βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 ((πΏβ€˜π‘¦) ≀ 1 β†’ (π‘€β€˜(π‘‡β€˜π‘¦)) ≀ π‘˜) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 ((πΏβ€˜π‘¦) ≀ 1 β†’ (π‘€β€˜(π‘‡β€˜π‘¦)) ≀ π‘˜))
1713, 16syl 17 . . . 4 (βˆ€π‘“(𝑓:β„•βŸΆπ‘‹ β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„• ((πΏβ€˜(π‘“β€˜π‘˜)) ≀ 1 β†’ (π‘€β€˜(π‘‡β€˜(π‘“β€˜π‘˜))) ≀ π‘˜)) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 ((πΏβ€˜π‘¦) ≀ 1 β†’ (π‘€β€˜(π‘‡β€˜π‘¦)) ≀ π‘˜))
185, 17sylbi 216 . . 3 (βˆ€π‘“((𝑓:β„•βŸΆπ‘‹ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (πΏβ€˜(π‘“β€˜π‘˜)) ≀ 1) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„• (π‘€β€˜(π‘‡β€˜(π‘“β€˜π‘˜))) ≀ π‘˜) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 ((πΏβ€˜π‘¦) ≀ 1 β†’ (π‘€β€˜(π‘‡β€˜π‘¦)) ≀ π‘˜))
19 nmoubi.1 . . . 4 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
20 nmoubi.y . . . 4 π‘Œ = (BaseSetβ€˜π‘Š)
21 nmoubi.l . . . 4 𝐿 = (normCVβ€˜π‘ˆ)
22 nmoubi.m . . . 4 𝑀 = (normCVβ€˜π‘Š)
23 nmoubi.3 . . . 4 𝑁 = (π‘ˆ normOpOLD π‘Š)
24 nmoubi.u . . . 4 π‘ˆ ∈ NrmCVec
25 nmoubi.w . . . 4 π‘Š ∈ NrmCVec
2619, 20, 21, 22, 23, 24, 25nmobndi 30624 . . 3 (𝑇:π‘‹βŸΆπ‘Œ β†’ ((π‘β€˜π‘‡) ∈ ℝ ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 ((πΏβ€˜π‘¦) ≀ 1 β†’ (π‘€β€˜(π‘‡β€˜π‘¦)) ≀ π‘˜)))
2718, 26imbitrrid 245 . 2 (𝑇:π‘‹βŸΆπ‘Œ β†’ (βˆ€π‘“((𝑓:β„•βŸΆπ‘‹ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (πΏβ€˜(π‘“β€˜π‘˜)) ≀ 1) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„• (π‘€β€˜(π‘‡β€˜(π‘“β€˜π‘˜))) ≀ π‘˜) β†’ (π‘β€˜π‘‡) ∈ ℝ))
2827imp 405 1 ((𝑇:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ βˆ€π‘“((𝑓:β„•βŸΆπ‘‹ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (πΏβ€˜(π‘“β€˜π‘˜)) ≀ 1) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„• (π‘€β€˜(π‘‡β€˜(π‘“β€˜π‘˜))) ≀ π‘˜)) β†’ (π‘β€˜π‘‡) ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394  βˆ€wal 1531   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3051  βˆƒwrex 3060   class class class wbr 5144  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7413  β„cr 11132  1c1 11134   ≀ cle 11274  β„•cn 12237  NrmCVeccnv 30433  BaseSetcba 30435  normCVcnmcv 30439   normOpOLD cnmoo 30590
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-reg 9610  ax-inf2 9659  ax-ac2 10481  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210  ax-pre-sup 11211
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3961  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-int 4946  df-iun 4994  df-iin 4995  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-se 5629  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7866  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8718  df-map 8840  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-sup 9460  df-r1 9782  df-rank 9783  df-card 9957  df-ac 10134  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11897  df-nn 12238  df-2 12300  df-3 12301  df-n0 12498  df-z 12584  df-uz 12848  df-rp 13002  df-seq 13994  df-exp 14054  df-cj 15073  df-re 15074  df-im 15075  df-sqrt 15209  df-abs 15210  df-grpo 30342  df-gid 30343  df-ginv 30344  df-ablo 30394  df-vc 30408  df-nv 30441  df-va 30444  df-ba 30445  df-sm 30446  df-0v 30447  df-nmcv 30449  df-nmoo 30594
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator