Theorem nmobndseqiALT 30709

Description: Alternate shorter proof of nmobndseqi 30708 based on Axioms ax-reg 9545 and ax-ac2 10416 instead of ax-cc 10388. (Contributed by NM, 18-Jan-2008.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
nmoubi.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
nmoubi.y	⊢ 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
nmoubi.l	⊢ 𝐿 = (normCV‘𝑈)
nmoubi.m	⊢ 𝑀 = (normCV‘𝑊)
nmoubi.3	⊢ 𝑁 = (𝑈 normOpOLD 𝑊)
nmoubi.u	⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
nmoubi.w	⊢ 𝑊 ∈ NrmCVec

Assertion

Ref	Expression
nmobndseqiALT	⊢ ((𝑇:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝐿‘(𝑓‘𝑘)) ≤ 1) → ∃𝑘 ∈ ℕ (𝑀‘(𝑇‘(𝑓‘𝑘))) ≤ 𝑘)) → (𝑁‘𝑇) ∈ ℝ)

Distinct variable groups:   𝑓,𝑘,𝐿   𝑘,𝑌   𝑓,𝑀,𝑘   𝑇,𝑓,𝑘   𝑓,𝑋,𝑘   𝑘,𝑁

Allowed substitution hints:   𝑈(𝑓,𝑘)   𝑁(𝑓)   𝑊(𝑓,𝑘)   𝑌(𝑓)

Proof of Theorem nmobndseqiALT

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		impexp 450	. . . . . 6 ⊢ (((𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝐿‘(𝑓‘𝑘)) ≤ 1) → ∃𝑘 ∈ ℕ (𝑀‘(𝑇‘(𝑓‘𝑘))) ≤ 𝑘) ↔ (𝑓:ℕ⟶𝑋 → (∀𝑘 ∈ ℕ (𝐿‘(𝑓‘𝑘)) ≤ 1 → ∃𝑘 ∈ ℕ (𝑀‘(𝑇‘(𝑓‘𝑘))) ≤ 𝑘)))
2		r19.35 3088	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑘 ∈ ℕ ((𝐿‘(𝑓‘𝑘)) ≤ 1 → (𝑀‘(𝑇‘(𝑓‘𝑘))) ≤ 𝑘) ↔ (∀𝑘 ∈ ℕ (𝐿‘(𝑓‘𝑘)) ≤ 1 → ∃𝑘 ∈ ℕ (𝑀‘(𝑇‘(𝑓‘𝑘))) ≤ 𝑘))
3	2	imbi2i 336	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓:ℕ⟶𝑋 → ∃𝑘 ∈ ℕ ((𝐿‘(𝑓‘𝑘)) ≤ 1 → (𝑀‘(𝑇‘(𝑓‘𝑘))) ≤ 𝑘)) ↔ (𝑓:ℕ⟶𝑋 → (∀𝑘 ∈ ℕ (𝐿‘(𝑓‘𝑘)) ≤ 1 → ∃𝑘 ∈ ℕ (𝑀‘(𝑇‘(𝑓‘𝑘))) ≤ 𝑘)))
4	1, 3	bitr4i 278	. . . . 5 ⊢ (((𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝐿‘(𝑓‘𝑘)) ≤ 1) → ∃𝑘 ∈ ℕ (𝑀‘(𝑇‘(𝑓‘𝑘))) ≤ 𝑘) ↔ (𝑓:ℕ⟶𝑋 → ∃𝑘 ∈ ℕ ((𝐿‘(𝑓‘𝑘)) ≤ 1 → (𝑀‘(𝑇‘(𝑓‘𝑘))) ≤ 𝑘)))
5	4	albii 1819	. . . 4 ⊢ (∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝐿‘(𝑓‘𝑘)) ≤ 1) → ∃𝑘 ∈ ℕ (𝑀‘(𝑇‘(𝑓‘𝑘))) ≤ 𝑘) ↔ ∀𝑓(𝑓:ℕ⟶𝑋 → ∃𝑘 ∈ ℕ ((𝐿‘(𝑓‘𝑘)) ≤ 1 → (𝑀‘(𝑇‘(𝑓‘𝑘))) ≤ 𝑘)))
6		nnex 12192	. . . . . 6 ⊢ ℕ ∈ V
7		fveq2 6858	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = (𝑓‘𝑘) → (𝐿‘𝑦) = (𝐿‘(𝑓‘𝑘)))
8	7	breq1d 5117	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = (𝑓‘𝑘) → ((𝐿‘𝑦) ≤ 1 ↔ (𝐿‘(𝑓‘𝑘)) ≤ 1))
9		fveq2 6858	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = (𝑓‘𝑘) → (𝑇‘𝑦) = (𝑇‘(𝑓‘𝑘)))
10	9	fveq2d 6862	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = (𝑓‘𝑘) → (𝑀‘(𝑇‘𝑦)) = (𝑀‘(𝑇‘(𝑓‘𝑘))))
11	10	breq1d 5117	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = (𝑓‘𝑘) → ((𝑀‘(𝑇‘𝑦)) ≤ 𝑘 ↔ (𝑀‘(𝑇‘(𝑓‘𝑘))) ≤ 𝑘))
12	8, 11	imbi12d 344	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = (𝑓‘𝑘) → (((𝐿‘𝑦) ≤ 1 → (𝑀‘(𝑇‘𝑦)) ≤ 𝑘) ↔ ((𝐿‘(𝑓‘𝑘)) ≤ 1 → (𝑀‘(𝑇‘(𝑓‘𝑘))) ≤ 𝑘)))
13	6, 12	ac6n 10438	. . . . 5 ⊢ (∀𝑓(𝑓:ℕ⟶𝑋 → ∃𝑘 ∈ ℕ ((𝐿‘(𝑓‘𝑘)) ≤ 1 → (𝑀‘(𝑇‘(𝑓‘𝑘))) ≤ 𝑘)) → ∃𝑘 ∈ ℕ ∀𝑦 ∈ 𝑋 ((𝐿‘𝑦) ≤ 1 → (𝑀‘(𝑇‘𝑦)) ≤ 𝑘))
14		nnre 12193	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℝ)
15	14	anim1i 615	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 ((𝐿‘𝑦) ≤ 1 → (𝑀‘(𝑇‘𝑦)) ≤ 𝑘)) → (𝑘 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 ((𝐿‘𝑦) ≤ 1 → (𝑀‘(𝑇‘𝑦)) ≤ 𝑘)))
16	15	reximi2 3062	. . . . 5 ⊢ (∃𝑘 ∈ ℕ ∀𝑦 ∈ 𝑋 ((𝐿‘𝑦) ≤ 1 → (𝑀‘(𝑇‘𝑦)) ≤ 𝑘) → ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑋 ((𝐿‘𝑦) ≤ 1 → (𝑀‘(𝑇‘𝑦)) ≤ 𝑘))
17	13, 16	syl 17	. . . 4 ⊢ (∀𝑓(𝑓:ℕ⟶𝑋 → ∃𝑘 ∈ ℕ ((𝐿‘(𝑓‘𝑘)) ≤ 1 → (𝑀‘(𝑇‘(𝑓‘𝑘))) ≤ 𝑘)) → ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑋 ((𝐿‘𝑦) ≤ 1 → (𝑀‘(𝑇‘𝑦)) ≤ 𝑘))
18	5, 17	sylbi 217	. . 3 ⊢ (∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝐿‘(𝑓‘𝑘)) ≤ 1) → ∃𝑘 ∈ ℕ (𝑀‘(𝑇‘(𝑓‘𝑘))) ≤ 𝑘) → ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑋 ((𝐿‘𝑦) ≤ 1 → (𝑀‘(𝑇‘𝑦)) ≤ 𝑘))
19		nmoubi.1	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
20		nmoubi.y	. . . 4 ⊢ 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
21		nmoubi.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (normCV‘𝑈)
22		nmoubi.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (normCV‘𝑊)
23		nmoubi.3	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (𝑈 normOpOLD 𝑊)
24		nmoubi.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
25		nmoubi.w	. . . 4 ⊢ 𝑊 ∈ NrmCVec
26	19, 20, 21, 22, 23, 24, 25	nmobndi 30704	. . 3 ⊢ (𝑇:𝑋⟶𝑌 → ((𝑁‘𝑇) ∈ ℝ ↔ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑋 ((𝐿‘𝑦) ≤ 1 → (𝑀‘(𝑇‘𝑦)) ≤ 𝑘)))
27	18, 26	imbitrrid 246	. 2 ⊢ (𝑇:𝑋⟶𝑌 → (∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝐿‘(𝑓‘𝑘)) ≤ 1) → ∃𝑘 ∈ ℕ (𝑀‘(𝑇‘(𝑓‘𝑘))) ≤ 𝑘) → (𝑁‘𝑇) ∈ ℝ))
28	27	imp 406	1 ⊢ ((𝑇:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝐿‘(𝑓‘𝑘)) ≤ 1) → ∃𝑘 ∈ ℕ (𝑀‘(𝑇‘(𝑓‘𝑘))) ≤ 𝑘)) → (𝑁‘𝑇) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395  ∀wal 1538   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  ∃wrex 3053   class class class wbr 5107  ⟶wf 6507  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  ℝcr 11067  1c1 11069   ≤ cle 11209  ℕcn 12186  NrmCVeccnv 30513  BaseSetcba 30515  norm_CVcnmcv 30519   normOp_OLD cnmoo 30670

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-reg 9545  ax-inf2 9594  ax-ac2 10416  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145  ax-pre-sup 11146

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-se 5592  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-isom 6520  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-er 8671  df-map 8801  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-sup 9393  df-r1 9717  df-rank 9718  df-card 9892  df-ac 10069  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-n0 12443  df-z 12530  df-uz 12794  df-rp 12952  df-seq 13967  df-exp 14027  df-cj 15065  df-re 15066  df-im 15067  df-sqrt 15201  df-abs 15202  df-grpo 30422  df-gid 30423  df-ginv 30424  df-ablo 30474  df-vc 30488  df-nv 30521  df-va 30524  df-ba 30525  df-sm 30526  df-0v 30527  df-nmcv 30529  df-nmoo 30674

This theorem is referenced by: (None)