Theorem nmobndseqiALT 27975

Description: Alternate shorter proof of nmobndseqi 27974 based on axioms ax-reg 8653 and ax-ac2 9487 instead of ax-cc 9459. (Contributed by NM, 18-Jan-2008.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
nmoubi.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
nmoubi.y	⊢ 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
nmoubi.l	⊢ 𝐿 = (normCV‘𝑈)
nmoubi.m	⊢ 𝑀 = (normCV‘𝑊)
nmoubi.3	⊢ 𝑁 = (𝑈 normOpOLD 𝑊)
nmoubi.u	⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
nmoubi.w	⊢ 𝑊 ∈ NrmCVec

Assertion

Ref	Expression
nmobndseqiALT	⊢ ((𝑇:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝐿‘(𝑓‘𝑘)) ≤ 1) → ∃𝑘 ∈ ℕ (𝑀‘(𝑇‘(𝑓‘𝑘))) ≤ 𝑘)) → (𝑁‘𝑇) ∈ ℝ)

Distinct variable groups:   𝑓,𝑘,𝐿   𝑘,𝑌   𝑓,𝑀,𝑘   𝑇,𝑓,𝑘   𝑓,𝑋,𝑘   𝑘,𝑁

Allowed substitution hints:   𝑈(𝑓,𝑘)   𝑁(𝑓)   𝑊(𝑓,𝑘)   𝑌(𝑓)

Proof of Theorem nmobndseqiALT

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		impexp 437	. . . . . 6 ⊢ (((𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝐿‘(𝑓‘𝑘)) ≤ 1) → ∃𝑘 ∈ ℕ (𝑀‘(𝑇‘(𝑓‘𝑘))) ≤ 𝑘) ↔ (𝑓:ℕ⟶𝑋 → (∀𝑘 ∈ ℕ (𝐿‘(𝑓‘𝑘)) ≤ 1 → ∃𝑘 ∈ ℕ (𝑀‘(𝑇‘(𝑓‘𝑘))) ≤ 𝑘)))
2		r19.35 3232	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑘 ∈ ℕ ((𝐿‘(𝑓‘𝑘)) ≤ 1 → (𝑀‘(𝑇‘(𝑓‘𝑘))) ≤ 𝑘) ↔ (∀𝑘 ∈ ℕ (𝐿‘(𝑓‘𝑘)) ≤ 1 → ∃𝑘 ∈ ℕ (𝑀‘(𝑇‘(𝑓‘𝑘))) ≤ 𝑘))
3	2	imbi2i 325	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓:ℕ⟶𝑋 → ∃𝑘 ∈ ℕ ((𝐿‘(𝑓‘𝑘)) ≤ 1 → (𝑀‘(𝑇‘(𝑓‘𝑘))) ≤ 𝑘)) ↔ (𝑓:ℕ⟶𝑋 → (∀𝑘 ∈ ℕ (𝐿‘(𝑓‘𝑘)) ≤ 1 → ∃𝑘 ∈ ℕ (𝑀‘(𝑇‘(𝑓‘𝑘))) ≤ 𝑘)))
4	1, 3	bitr4i 267	. . . . 5 ⊢ (((𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝐿‘(𝑓‘𝑘)) ≤ 1) → ∃𝑘 ∈ ℕ (𝑀‘(𝑇‘(𝑓‘𝑘))) ≤ 𝑘) ↔ (𝑓:ℕ⟶𝑋 → ∃𝑘 ∈ ℕ ((𝐿‘(𝑓‘𝑘)) ≤ 1 → (𝑀‘(𝑇‘(𝑓‘𝑘))) ≤ 𝑘)))
5	4	albii 1895	. . . 4 ⊢ (∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝐿‘(𝑓‘𝑘)) ≤ 1) → ∃𝑘 ∈ ℕ (𝑀‘(𝑇‘(𝑓‘𝑘))) ≤ 𝑘) ↔ ∀𝑓(𝑓:ℕ⟶𝑋 → ∃𝑘 ∈ ℕ ((𝐿‘(𝑓‘𝑘)) ≤ 1 → (𝑀‘(𝑇‘(𝑓‘𝑘))) ≤ 𝑘)))
6		nnex 11228	. . . . . 6 ⊢ ℕ ∈ V
7		fveq2 6332	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = (𝑓‘𝑘) → (𝐿‘𝑦) = (𝐿‘(𝑓‘𝑘)))
8	7	breq1d 4796	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = (𝑓‘𝑘) → ((𝐿‘𝑦) ≤ 1 ↔ (𝐿‘(𝑓‘𝑘)) ≤ 1))
9		fveq2 6332	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = (𝑓‘𝑘) → (𝑇‘𝑦) = (𝑇‘(𝑓‘𝑘)))
10	9	fveq2d 6336	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = (𝑓‘𝑘) → (𝑀‘(𝑇‘𝑦)) = (𝑀‘(𝑇‘(𝑓‘𝑘))))
11	10	breq1d 4796	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = (𝑓‘𝑘) → ((𝑀‘(𝑇‘𝑦)) ≤ 𝑘 ↔ (𝑀‘(𝑇‘(𝑓‘𝑘))) ≤ 𝑘))
12	8, 11	imbi12d 333	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = (𝑓‘𝑘) → (((𝐿‘𝑦) ≤ 1 → (𝑀‘(𝑇‘𝑦)) ≤ 𝑘) ↔ ((𝐿‘(𝑓‘𝑘)) ≤ 1 → (𝑀‘(𝑇‘(𝑓‘𝑘))) ≤ 𝑘)))
13	6, 12	ac6n 9509	. . . . 5 ⊢ (∀𝑓(𝑓:ℕ⟶𝑋 → ∃𝑘 ∈ ℕ ((𝐿‘(𝑓‘𝑘)) ≤ 1 → (𝑀‘(𝑇‘(𝑓‘𝑘))) ≤ 𝑘)) → ∃𝑘 ∈ ℕ ∀𝑦 ∈ 𝑋 ((𝐿‘𝑦) ≤ 1 → (𝑀‘(𝑇‘𝑦)) ≤ 𝑘))
14		nnre 11229	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℝ)
15	14	anim1i 594	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 ((𝐿‘𝑦) ≤ 1 → (𝑀‘(𝑇‘𝑦)) ≤ 𝑘)) → (𝑘 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 ((𝐿‘𝑦) ≤ 1 → (𝑀‘(𝑇‘𝑦)) ≤ 𝑘)))
16	15	reximi2 3158	. . . . 5 ⊢ (∃𝑘 ∈ ℕ ∀𝑦 ∈ 𝑋 ((𝐿‘𝑦) ≤ 1 → (𝑀‘(𝑇‘𝑦)) ≤ 𝑘) → ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑋 ((𝐿‘𝑦) ≤ 1 → (𝑀‘(𝑇‘𝑦)) ≤ 𝑘))
17	13, 16	syl 17	. . . 4 ⊢ (∀𝑓(𝑓:ℕ⟶𝑋 → ∃𝑘 ∈ ℕ ((𝐿‘(𝑓‘𝑘)) ≤ 1 → (𝑀‘(𝑇‘(𝑓‘𝑘))) ≤ 𝑘)) → ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑋 ((𝐿‘𝑦) ≤ 1 → (𝑀‘(𝑇‘𝑦)) ≤ 𝑘))
18	5, 17	sylbi 207	. . 3 ⊢ (∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝐿‘(𝑓‘𝑘)) ≤ 1) → ∃𝑘 ∈ ℕ (𝑀‘(𝑇‘(𝑓‘𝑘))) ≤ 𝑘) → ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑋 ((𝐿‘𝑦) ≤ 1 → (𝑀‘(𝑇‘𝑦)) ≤ 𝑘))
19		nmoubi.1	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
20		nmoubi.y	. . . 4 ⊢ 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
21		nmoubi.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (normCV‘𝑈)
22		nmoubi.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (normCV‘𝑊)
23		nmoubi.3	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (𝑈 normOpOLD 𝑊)
24		nmoubi.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
25		nmoubi.w	. . . 4 ⊢ 𝑊 ∈ NrmCVec
26	19, 20, 21, 22, 23, 24, 25	nmobndi 27970	. . 3 ⊢ (𝑇:𝑋⟶𝑌 → ((𝑁‘𝑇) ∈ ℝ ↔ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝑋 ((𝐿‘𝑦) ≤ 1 → (𝑀‘(𝑇‘𝑦)) ≤ 𝑘)))
27	18, 26	syl5ibr 236	. 2 ⊢ (𝑇:𝑋⟶𝑌 → (∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝐿‘(𝑓‘𝑘)) ≤ 1) → ∃𝑘 ∈ ℕ (𝑀‘(𝑇‘(𝑓‘𝑘))) ≤ 𝑘) → (𝑁‘𝑇) ∈ ℝ))
28	27	imp 393	1 ⊢ ((𝑇:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝐿‘(𝑓‘𝑘)) ≤ 1) → ∃𝑘 ∈ ℕ (𝑀‘(𝑇‘(𝑓‘𝑘))) ≤ 𝑘)) → (𝑁‘𝑇) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 382  ∀wal 1629   = wceq 1631   ∈ wcel 2145  ∀wral 3061  ∃wrex 3062   class class class wbr 4786  ⟶wf 6027  ‘cfv 6031  (class class class)co 6793  ℝcr 10137  1c1 10139   ≤ cle 10277  ℕcn 11222  NrmCVeccnv 27779  BaseSetcba 27781  norm_CVcnmcv 27785   normOp_OLD cnmoo 27936

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-reg 8653  ax-inf2 8702  ax-ac2 9487  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215  ax-pre-sup 10216

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-iin 4657  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-isom 6040  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-er 7896  df-map 8011  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-sup 8504  df-r1 8791  df-rank 8792  df-card 8965  df-ac 9139  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-div 10887  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-n0 11495  df-z 11580  df-uz 11889  df-rp 12036  df-seq 13009  df-exp 13068  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183  df-abs 14184  df-grpo 27687  df-gid 27688  df-ginv 27689  df-ablo 27739  df-vc 27754  df-nv 27787  df-va 27790  df-ba 27791  df-sm 27792  df-0v 27793  df-nmcv 27795  df-nmoo 27940

This theorem is referenced by: (None)