Theorem addclprlem1 11019

Description: Lemma to prove downward closure in positive real addition. Part of proof of Proposition 9-3.5 of [Gleason] p. 123. (Contributed by NM, 13-Mar-1996.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
addclprlem1	⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ Q) → (𝑥 <Q (𝑔 +Q ℎ) → ((𝑥 ·Q (*Q‘(𝑔 +Q ℎ))) ·Q 𝑔) ∈ 𝐴))

Proof of Theorem addclprlem1

Dummy variables 𝑦 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elprnq 10994	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → 𝑔 ∈ Q)
2		ltrnq 10982	. . . . 5 ⊢ (𝑥 <Q (𝑔 +Q ℎ) ↔ (*Q‘(𝑔 +Q ℎ)) <Q (*Q‘𝑥))
3		ltmnq 10975	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ Q → ((*Q‘(𝑔 +Q ℎ)) <Q (*Q‘𝑥) ↔ (𝑥 ·Q (*Q‘(𝑔 +Q ℎ))) <Q (𝑥 ·Q (*Q‘𝑥))))
4		ovex 7456	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ·Q (*Q‘(𝑔 +Q ℎ))) ∈ V
5		ovex 7456	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ·Q (*Q‘𝑥)) ∈ V
6		ltmnq 10975	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 ∈ Q → (𝑦 <Q 𝑧 ↔ (𝑤 ·Q 𝑦) <Q (𝑤 ·Q 𝑧)))
7		vex 3462	. . . . . . 7 ⊢ 𝑔 ∈ V
8		mulcomnq 10956	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ·Q 𝑧) = (𝑧 ·Q 𝑦)
9	4, 5, 6, 7, 8	caovord2 7635	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 ∈ Q → ((𝑥 ·Q (*Q‘(𝑔 +Q ℎ))) <Q (𝑥 ·Q (*Q‘𝑥)) ↔ ((𝑥 ·Q (*Q‘(𝑔 +Q ℎ))) ·Q 𝑔) <Q ((𝑥 ·Q (*Q‘𝑥)) ·Q 𝑔)))
10	3, 9	sylan9bbr 520	. . . . 5 ⊢ ((𝑔 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ Q) → ((*Q‘(𝑔 +Q ℎ)) <Q (*Q‘𝑥) ↔ ((𝑥 ·Q (*Q‘(𝑔 +Q ℎ))) ·Q 𝑔) <Q ((𝑥 ·Q (*Q‘𝑥)) ·Q 𝑔)))
11	2, 10	bitrid 286	. . . 4 ⊢ ((𝑔 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ Q) → (𝑥 <Q (𝑔 +Q ℎ) ↔ ((𝑥 ·Q (*Q‘(𝑔 +Q ℎ))) ·Q 𝑔) <Q ((𝑥 ·Q (*Q‘𝑥)) ·Q 𝑔)))
12		recidnq 10968	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ Q → (𝑥 ·Q (*Q‘𝑥)) = 1Q)
13	12	oveq1d 7438	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ Q → ((𝑥 ·Q (*Q‘𝑥)) ·Q 𝑔) = (1Q ·Q 𝑔))
14		mulcomnq 10956	. . . . . . 7 ⊢ (1Q ·Q 𝑔) = (𝑔 ·Q 1Q)
15		mulidnq 10966	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 ∈ Q → (𝑔 ·Q 1Q) = 𝑔)
16	14, 15	eqtrid 2813	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 ∈ Q → (1Q ·Q 𝑔) = 𝑔)
17	13, 16	sylan9eqr 2823	. . . . 5 ⊢ ((𝑔 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ Q) → ((𝑥 ·Q (*Q‘𝑥)) ·Q 𝑔) = 𝑔)
18	17	breq2d 5126	. . . 4 ⊢ ((𝑔 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ Q) → (((𝑥 ·Q (*Q‘(𝑔 +Q ℎ))) ·Q 𝑔) <Q ((𝑥 ·Q (*Q‘𝑥)) ·Q 𝑔) ↔ ((𝑥 ·Q (*Q‘(𝑔 +Q ℎ))) ·Q 𝑔) <Q 𝑔))
19	11, 18	bitrd 282	. . 3 ⊢ ((𝑔 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ Q) → (𝑥 <Q (𝑔 +Q ℎ) ↔ ((𝑥 ·Q (*Q‘(𝑔 +Q ℎ))) ·Q 𝑔) <Q 𝑔))
20	1, 19	sylan 592	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ Q) → (𝑥 <Q (𝑔 +Q ℎ) ↔ ((𝑥 ·Q (*Q‘(𝑔 +Q ℎ))) ·Q 𝑔) <Q 𝑔))
21		prcdnq 10996	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → (((𝑥 ·Q (*Q‘(𝑔 +Q ℎ))) ·Q 𝑔) <Q 𝑔 → ((𝑥 ·Q (*Q‘(𝑔 +Q ℎ))) ·Q 𝑔) ∈ 𝐴))
22	21	adantr 486	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ Q) → (((𝑥 ·Q (*Q‘(𝑔 +Q ℎ))) ·Q 𝑔) <Q 𝑔 → ((𝑥 ·Q (*Q‘(𝑔 +Q ℎ))) ·Q 𝑔) ∈ 𝐴))
23	20, 22	sylbid 243	1 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ Q) → (𝑥 <Q (𝑔 +Q ℎ) → ((𝑥 ·Q (*Q‘(𝑔 +Q ℎ))) ·Q 𝑔) ∈ 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∈ wcel 2146   class class class wbr 5114  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423  Qcnq 10855  1_Qc1q 10856   +_Q cplq 10858   ·_Q cmq 10859  *_Qcrq 10860   <_Q cltq 10861  Pcnp 10862

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pr 5409  ax-un 7745

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-oadd 8466  df-omul 8467  df-er 8703  df-ni 10875  df-mi 10877  df-lti 10878  df-mpq 10912  df-ltpq 10913  df-enq 10914  df-nq 10915  df-erq 10916  df-mq 10918  df-1nq 10919  df-rq 10920  df-ltnq 10921  df-np 10984

This theorem is used by:  addclprlem2  11020