MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  addclprlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem addclprlem1 11025
Description: Lemma to prove downward closure in positive real addition. Part of proof of Proposition 9-3.5 of [Gleason] p. 123. (Contributed by NM, 13-Mar-1996.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
addclprlem1 (((๐ด โˆˆ P โˆง ๐‘” โˆˆ ๐ด) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Q) โ†’ (๐‘ฅ <Q (๐‘” +Q โ„Ž) โ†’ ((๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜(๐‘” +Q โ„Ž))) ยทQ ๐‘”) โˆˆ ๐ด))

Proof of Theorem addclprlem1
Dummy variables ๐‘ฆ ๐‘ง ๐‘ค are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elprnq 11000 . . 3 ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐‘” โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐‘” โˆˆ Q)
2 ltrnq 10988 . . . . 5 (๐‘ฅ <Q (๐‘” +Q โ„Ž) โ†” (*Qโ€˜(๐‘” +Q โ„Ž)) <Q (*Qโ€˜๐‘ฅ))
3 ltmnq 10981 . . . . . 6 (๐‘ฅ โˆˆ Q โ†’ ((*Qโ€˜(๐‘” +Q โ„Ž)) <Q (*Qโ€˜๐‘ฅ) โ†” (๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜(๐‘” +Q โ„Ž))) <Q (๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜๐‘ฅ))))
4 ovex 7447 . . . . . . 7 (๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜(๐‘” +Q โ„Ž))) โˆˆ V
5 ovex 7447 . . . . . . 7 (๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ V
6 ltmnq 10981 . . . . . . 7 (๐‘ค โˆˆ Q โ†’ (๐‘ฆ <Q ๐‘ง โ†” (๐‘ค ยทQ ๐‘ฆ) <Q (๐‘ค ยทQ ๐‘ง)))
7 vex 3473 . . . . . . 7 ๐‘” โˆˆ V
8 mulcomnq 10962 . . . . . . 7 (๐‘ฆ ยทQ ๐‘ง) = (๐‘ง ยทQ ๐‘ฆ)
94, 5, 6, 7, 8caovord2 7625 . . . . . 6 (๐‘” โˆˆ Q โ†’ ((๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜(๐‘” +Q โ„Ž))) <Q (๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜๐‘ฅ)) โ†” ((๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜(๐‘” +Q โ„Ž))) ยทQ ๐‘”) <Q ((๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜๐‘ฅ)) ยทQ ๐‘”)))
103, 9sylan9bbr 510 . . . . 5 ((๐‘” โˆˆ Q โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Q) โ†’ ((*Qโ€˜(๐‘” +Q โ„Ž)) <Q (*Qโ€˜๐‘ฅ) โ†” ((๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜(๐‘” +Q โ„Ž))) ยทQ ๐‘”) <Q ((๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜๐‘ฅ)) ยทQ ๐‘”)))
112, 10bitrid 283 . . . 4 ((๐‘” โˆˆ Q โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Q) โ†’ (๐‘ฅ <Q (๐‘” +Q โ„Ž) โ†” ((๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜(๐‘” +Q โ„Ž))) ยทQ ๐‘”) <Q ((๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜๐‘ฅ)) ยทQ ๐‘”)))
12 recidnq 10974 . . . . . . 7 (๐‘ฅ โˆˆ Q โ†’ (๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜๐‘ฅ)) = 1Q)
1312oveq1d 7429 . . . . . 6 (๐‘ฅ โˆˆ Q โ†’ ((๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜๐‘ฅ)) ยทQ ๐‘”) = (1Q ยทQ ๐‘”))
14 mulcomnq 10962 . . . . . . 7 (1Q ยทQ ๐‘”) = (๐‘” ยทQ 1Q)
15 mulidnq 10972 . . . . . . 7 (๐‘” โˆˆ Q โ†’ (๐‘” ยทQ 1Q) = ๐‘”)
1614, 15eqtrid 2779 . . . . . 6 (๐‘” โˆˆ Q โ†’ (1Q ยทQ ๐‘”) = ๐‘”)
1713, 16sylan9eqr 2789 . . . . 5 ((๐‘” โˆˆ Q โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Q) โ†’ ((๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜๐‘ฅ)) ยทQ ๐‘”) = ๐‘”)
1817breq2d 5154 . . . 4 ((๐‘” โˆˆ Q โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Q) โ†’ (((๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜(๐‘” +Q โ„Ž))) ยทQ ๐‘”) <Q ((๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜๐‘ฅ)) ยทQ ๐‘”) โ†” ((๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜(๐‘” +Q โ„Ž))) ยทQ ๐‘”) <Q ๐‘”))
1911, 18bitrd 279 . . 3 ((๐‘” โˆˆ Q โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Q) โ†’ (๐‘ฅ <Q (๐‘” +Q โ„Ž) โ†” ((๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜(๐‘” +Q โ„Ž))) ยทQ ๐‘”) <Q ๐‘”))
201, 19sylan 579 . 2 (((๐ด โˆˆ P โˆง ๐‘” โˆˆ ๐ด) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Q) โ†’ (๐‘ฅ <Q (๐‘” +Q โ„Ž) โ†” ((๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜(๐‘” +Q โ„Ž))) ยทQ ๐‘”) <Q ๐‘”))
21 prcdnq 11002 . . 3 ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐‘” โˆˆ ๐ด) โ†’ (((๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜(๐‘” +Q โ„Ž))) ยทQ ๐‘”) <Q ๐‘” โ†’ ((๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜(๐‘” +Q โ„Ž))) ยทQ ๐‘”) โˆˆ ๐ด))
2221adantr 480 . 2 (((๐ด โˆˆ P โˆง ๐‘” โˆˆ ๐ด) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Q) โ†’ (((๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜(๐‘” +Q โ„Ž))) ยทQ ๐‘”) <Q ๐‘” โ†’ ((๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜(๐‘” +Q โ„Ž))) ยทQ ๐‘”) โˆˆ ๐ด))
2320, 22sylbid 239 1 (((๐ด โˆˆ P โˆง ๐‘” โˆˆ ๐ด) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Q) โ†’ (๐‘ฅ <Q (๐‘” +Q โ„Ž) โ†’ ((๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜(๐‘” +Q โ„Ž))) ยทQ ๐‘”) โˆˆ ๐ด))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   โˆˆ wcel 2099   class class class wbr 5142  โ€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  Qcnq 10861  1Qc1q 10862   +Q cplq 10864   ยทQ cmq 10865  *Qcrq 10866   <Q cltq 10867  Pcnp 10868
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pr 5423  ax-un 7732
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7863  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-oadd 8482  df-omul 8483  df-er 8716  df-ni 10881  df-mi 10883  df-lti 10884  df-mpq 10918  df-ltpq 10919  df-enq 10920  df-nq 10921  df-erq 10922  df-mq 10924  df-1nq 10925  df-rq 10926  df-ltnq 10927  df-np 10990
This theorem is referenced by:  addclprlem2  11026
  Copyright terms: Public domain W3C validator