MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  addclprlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem addclprlem1 11010
Description: Lemma to prove downward closure in positive real addition. Part of proof of Proposition 9-3.5 of [Gleason] p. 123. (Contributed by NM, 13-Mar-1996.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
addclprlem1 (((๐ด โˆˆ P โˆง ๐‘” โˆˆ ๐ด) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Q) โ†’ (๐‘ฅ <Q (๐‘” +Q โ„Ž) โ†’ ((๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜(๐‘” +Q โ„Ž))) ยทQ ๐‘”) โˆˆ ๐ด))

Proof of Theorem addclprlem1
Dummy variables ๐‘ฆ ๐‘ง ๐‘ค are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elprnq 10985 . . 3 ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐‘” โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐‘” โˆˆ Q)
2 ltrnq 10973 . . . . 5 (๐‘ฅ <Q (๐‘” +Q โ„Ž) โ†” (*Qโ€˜(๐‘” +Q โ„Ž)) <Q (*Qโ€˜๐‘ฅ))
3 ltmnq 10966 . . . . . 6 (๐‘ฅ โˆˆ Q โ†’ ((*Qโ€˜(๐‘” +Q โ„Ž)) <Q (*Qโ€˜๐‘ฅ) โ†” (๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜(๐‘” +Q โ„Ž))) <Q (๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜๐‘ฅ))))
4 ovex 7441 . . . . . . 7 (๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜(๐‘” +Q โ„Ž))) โˆˆ V
5 ovex 7441 . . . . . . 7 (๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ V
6 ltmnq 10966 . . . . . . 7 (๐‘ค โˆˆ Q โ†’ (๐‘ฆ <Q ๐‘ง โ†” (๐‘ค ยทQ ๐‘ฆ) <Q (๐‘ค ยทQ ๐‘ง)))
7 vex 3478 . . . . . . 7 ๐‘” โˆˆ V
8 mulcomnq 10947 . . . . . . 7 (๐‘ฆ ยทQ ๐‘ง) = (๐‘ง ยทQ ๐‘ฆ)
94, 5, 6, 7, 8caovord2 7618 . . . . . 6 (๐‘” โˆˆ Q โ†’ ((๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜(๐‘” +Q โ„Ž))) <Q (๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜๐‘ฅ)) โ†” ((๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜(๐‘” +Q โ„Ž))) ยทQ ๐‘”) <Q ((๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜๐‘ฅ)) ยทQ ๐‘”)))
103, 9sylan9bbr 511 . . . . 5 ((๐‘” โˆˆ Q โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Q) โ†’ ((*Qโ€˜(๐‘” +Q โ„Ž)) <Q (*Qโ€˜๐‘ฅ) โ†” ((๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜(๐‘” +Q โ„Ž))) ยทQ ๐‘”) <Q ((๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜๐‘ฅ)) ยทQ ๐‘”)))
112, 10bitrid 282 . . . 4 ((๐‘” โˆˆ Q โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Q) โ†’ (๐‘ฅ <Q (๐‘” +Q โ„Ž) โ†” ((๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜(๐‘” +Q โ„Ž))) ยทQ ๐‘”) <Q ((๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜๐‘ฅ)) ยทQ ๐‘”)))
12 recidnq 10959 . . . . . . 7 (๐‘ฅ โˆˆ Q โ†’ (๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜๐‘ฅ)) = 1Q)
1312oveq1d 7423 . . . . . 6 (๐‘ฅ โˆˆ Q โ†’ ((๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜๐‘ฅ)) ยทQ ๐‘”) = (1Q ยทQ ๐‘”))
14 mulcomnq 10947 . . . . . . 7 (1Q ยทQ ๐‘”) = (๐‘” ยทQ 1Q)
15 mulidnq 10957 . . . . . . 7 (๐‘” โˆˆ Q โ†’ (๐‘” ยทQ 1Q) = ๐‘”)
1614, 15eqtrid 2784 . . . . . 6 (๐‘” โˆˆ Q โ†’ (1Q ยทQ ๐‘”) = ๐‘”)
1713, 16sylan9eqr 2794 . . . . 5 ((๐‘” โˆˆ Q โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Q) โ†’ ((๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜๐‘ฅ)) ยทQ ๐‘”) = ๐‘”)
1817breq2d 5160 . . . 4 ((๐‘” โˆˆ Q โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Q) โ†’ (((๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜(๐‘” +Q โ„Ž))) ยทQ ๐‘”) <Q ((๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜๐‘ฅ)) ยทQ ๐‘”) โ†” ((๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜(๐‘” +Q โ„Ž))) ยทQ ๐‘”) <Q ๐‘”))
1911, 18bitrd 278 . . 3 ((๐‘” โˆˆ Q โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Q) โ†’ (๐‘ฅ <Q (๐‘” +Q โ„Ž) โ†” ((๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜(๐‘” +Q โ„Ž))) ยทQ ๐‘”) <Q ๐‘”))
201, 19sylan 580 . 2 (((๐ด โˆˆ P โˆง ๐‘” โˆˆ ๐ด) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Q) โ†’ (๐‘ฅ <Q (๐‘” +Q โ„Ž) โ†” ((๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜(๐‘” +Q โ„Ž))) ยทQ ๐‘”) <Q ๐‘”))
21 prcdnq 10987 . . 3 ((๐ด โˆˆ P โˆง ๐‘” โˆˆ ๐ด) โ†’ (((๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜(๐‘” +Q โ„Ž))) ยทQ ๐‘”) <Q ๐‘” โ†’ ((๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜(๐‘” +Q โ„Ž))) ยทQ ๐‘”) โˆˆ ๐ด))
2221adantr 481 . 2 (((๐ด โˆˆ P โˆง ๐‘” โˆˆ ๐ด) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Q) โ†’ (((๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜(๐‘” +Q โ„Ž))) ยทQ ๐‘”) <Q ๐‘” โ†’ ((๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜(๐‘” +Q โ„Ž))) ยทQ ๐‘”) โˆˆ ๐ด))
2320, 22sylbid 239 1 (((๐ด โˆˆ P โˆง ๐‘” โˆˆ ๐ด) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Q) โ†’ (๐‘ฅ <Q (๐‘” +Q โ„Ž) โ†’ ((๐‘ฅ ยทQ (*Qโ€˜(๐‘” +Q โ„Ž))) ยทQ ๐‘”) โˆˆ ๐ด))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 396   โˆˆ wcel 2106   class class class wbr 5148  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  Qcnq 10846  1Qc1q 10847   +Q cplq 10849   ยทQ cmq 10850  *Qcrq 10851   <Q cltq 10852  Pcnp 10853
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5427  ax-un 7724
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-oadd 8469  df-omul 8470  df-er 8702  df-ni 10866  df-mi 10868  df-lti 10869  df-mpq 10903  df-ltpq 10904  df-enq 10905  df-nq 10906  df-erq 10907  df-mq 10909  df-1nq 10910  df-rq 10911  df-ltnq 10912  df-np 10975
This theorem is referenced by:  addclprlem2  11011
  Copyright terms: Public domain W3C validator