Theorem 1pr 10771

Description: The positive real number 'one'. (Contributed by NM, 13-Mar-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Jun-2013.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
1pr	⊢ 1P ∈ P

Proof of Theorem 1pr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-1p 10738	. 2 ⊢ 1P = {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 1Q}
2		1nq 10684	. . 3 ⊢ 1Q ∈ Q
3		nqpr 10770	. . 3 ⊢ (1Q ∈ Q → {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 1Q} ∈ P)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 1Q} ∈ P
5	1, 4	eqeltri 2835	1 ⊢ 1P ∈ P

Syntax hints:   ∈ wcel 2106  {cab 2715   class class class wbr 5074  Qcnq 10608  1_Qc1q 10609   <_Q cltq 10614  Pcnp 10615  1_Pc1p 10616

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-inf2 9399

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-oadd 8301  df-omul 8302  df-er 8498  df-ni 10628  df-pli 10629  df-mi 10630  df-lti 10631  df-plpq 10664  df-mpq 10665  df-ltpq 10666  df-enq 10667  df-nq 10668  df-erq 10669  df-plq 10670  df-mq 10671  df-1nq 10672  df-rq 10673  df-ltnq 10674  df-np 10737  df-1p 10738

This theorem is referenced by:  1idpr  10785  gt0srpr  10834  0r  10836  1sr  10837  m1r  10838  m1p1sr  10848  m1m1sr  10849  0lt1sr  10851  0idsr  10853  1idsr  10854  00sr  10855  recexsrlem  10859  mappsrpr  10864  ltpsrpr  10865  map2psrpr  10866  supsrlem  10867