Theorem 1pr 11000

Description: The positive real number 'one'. (Contributed by NM, 13-Mar-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Jun-2013.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
1pr	⊢ 1P ∈ P

Proof of Theorem 1pr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-1p 10967	. 2 ⊢ 1P = {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 1Q}
2		1nq 10913	. . 3 ⊢ 1Q ∈ Q
3		nqpr 10999	. . 3 ⊢ (1Q ∈ Q → {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 1Q} ∈ P)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 1Q} ∈ P
5	1, 4	eqeltri 2865	1 ⊢ 1P ∈ P

Syntax hints:   ∈ wcel 2149  {cab 2747   class class class wbr 5113  Qcnq 10837  1_Qc1q 10838   <_Q cltq 10843  Pcnp 10844  1_Pc1p 10845

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-inf2 9610

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-oadd 8457  df-omul 8458  df-er 8694  df-ni 10857  df-pli 10858  df-mi 10859  df-lti 10860  df-plpq 10893  df-mpq 10894  df-ltpq 10895  df-enq 10896  df-nq 10897  df-erq 10898  df-plq 10899  df-mq 10900  df-1nq 10901  df-rq 10902  df-ltnq 10903  df-np 10966  df-1p 10967

This theorem is referenced by:  1idpr  11014  gt0srpr  11063  0r  11065  1sr  11066  m1r  11067  m1p1sr  11077  m1m1sr  11078  0lt1sr  11080  0idsr  11082  1idsr  11083  00sr  11084  recexsrlem  11088  mappsrpr  11093  ltpsrpr  11094  map2psrpr  11095  supsrlem  11096