Theorem 1pr 11017

Description: The positive real number 'one'. (Contributed by NM, 13-Mar-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Jun-2013.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
1pr	⊢ 1P ∈ P

Proof of Theorem 1pr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-1p 10984	. 2 ⊢ 1P = {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 1Q}
2		1nq 10930	. . 3 ⊢ 1Q ∈ Q
3		nqpr 11016	. . 3 ⊢ (1Q ∈ Q → {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 1Q} ∈ P)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 1Q} ∈ P
5	1, 4	eqeltri 2861	1 ⊢ 1P ∈ P

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2146  {cab 2743   class class class wbr 5111  Qcnq 10854  1_Qc1q 10855   <_Q cltq 10860  Pcnp 10861  1_Pc1p 10862

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-inf2 9617

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-oadd 8463  df-omul 8464  df-er 8700  df-ni 10874  df-pli 10875  df-mi 10876  df-lti 10877  df-plpq 10910  df-mpq 10911  df-ltpq 10912  df-enq 10913  df-nq 10914  df-erq 10915  df-plq 10916  df-mq 10917  df-1nq 10918  df-rq 10919  df-ltnq 10920  df-np 10983  df-1p 10984

This theorem is used by:  1idpr  11031  gt0srpr  11080  0r  11082  1sr  11083  m1r  11084  m1p1sr  11094  m1m1sr  11095  0lt1sr  11097  0idsr  11099  1idsr  11100  00sr  11101  recexsrlem  11105  mappsrpr  11110  ltpsrpr  11111  map2psrpr  11112  supsrlem  11113