Theorem 1pr 11110

Description: The positive real number 'one'. (Contributed by NM, 13-Mar-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Jun-2013.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
1pr	⊢ 1P ∈ P

Proof of Theorem 1pr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-1p 11077	. 2 ⊢ 1P = {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 1Q}
2		1nq 11023	. . 3 ⊢ 1Q ∈ Q
3		nqpr 11109	. . 3 ⊢ (1Q ∈ Q → {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 1Q} ∈ P)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 1Q} ∈ P
5	1, 4	eqeltri 2859	1 ⊢ 1P ∈ P

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2146  {cab 2741   class class class wbr 5105  Qcnq 10947  1_Qc1q 10948   <_Q cltq 10953  Pcnp 10954  1_Pc1p 10955

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-sep 5251  ax-nul 5262  ax-pow 5330  ax-pr 5394  ax-un 7758  ax-inf2 9652

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3455  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-ss 3900  df-pss 4016  df-dif 4049  df-in 4093  df-un 4153  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4838  df-uni 4870  df-int 4910  df-iun 4955  df-br 5106  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5549  df-eprel 5554  df-po 5562  df-so 5563  df-fr 5607  df-we 5609  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6310  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6500  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-ov 7430  df-oprab 7431  df-mpo 7432  df-om 7885  df-1st 8008  df-2nd 8009  df-frecs 8310  df-wrecs 8341  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8487  df-oadd 8491  df-omul 8492  df-er 8728  df-ni 10967  df-pli 10968  df-mi 10969  df-lti 10970  df-plpq 11003  df-mpq 11004  df-ltpq 11005  df-enq 11006  df-nq 11007  df-erq 11008  df-plq 11009  df-mq 11010  df-1nq 11011  df-rq 11012  df-ltnq 11013  df-np 11076  df-1p 11077

This theorem is used by:  1idpr  11124  gt0srpr  11173  0r  11175  1sr  11176  m1r  11177  m1p1sr  11187  m1m1sr  11188  0lt1sr  11190  0idsr  11192  1idsr  11193  00sr  11194  recexsrlem  11198  mappsrpr  11203  ltpsrpr  11204  map2psrpr  11205  supsrlem  11206