Theorem 1pr 11029

Description: The positive real number 'one'. (Contributed by NM, 13-Mar-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Jun-2013.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
1pr	⊢ 1P ∈ P

Proof of Theorem 1pr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-1p 10996	. 2 ⊢ 1P = {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 1Q}
2		1nq 10942	. . 3 ⊢ 1Q ∈ Q
3		nqpr 11028	. . 3 ⊢ (1Q ∈ Q → {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 1Q} ∈ P)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 1Q} ∈ P
5	1, 4	eqeltri 2830	1 ⊢ 1P ∈ P

Syntax hints:   ∈ wcel 2108  {cab 2713   class class class wbr 5119  Qcnq 10866  1_Qc1q 10867   <_Q cltq 10872  Pcnp 10873  1_Pc1p 10874

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-inf2 9655

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-oadd 8484  df-omul 8485  df-er 8719  df-ni 10886  df-pli 10887  df-mi 10888  df-lti 10889  df-plpq 10922  df-mpq 10923  df-ltpq 10924  df-enq 10925  df-nq 10926  df-erq 10927  df-plq 10928  df-mq 10929  df-1nq 10930  df-rq 10931  df-ltnq 10932  df-np 10995  df-1p 10996

This theorem is referenced by:  1idpr  11043  gt0srpr  11092  0r  11094  1sr  11095  m1r  11096  m1p1sr  11106  m1m1sr  11107  0lt1sr  11109  0idsr  11111  1idsr  11112  00sr  11113  recexsrlem  11117  mappsrpr  11122  ltpsrpr  11123  map2psrpr  11124  supsrlem  11125