Theorem subne0d 11549

Description: Two unequal numbers have nonzero difference. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
subne0d.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
subne0d	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ≠ 0)

Proof of Theorem subne0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subne0d.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
2		negidd.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
3		pncand.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
4		subeq0 11455	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐵) = 0 ↔ 𝐴 = 𝐵))
5	2, 3, 4	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) = 0 ↔ 𝐴 = 𝐵))
6	5	necon3bid 2970	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) ≠ 0 ↔ 𝐴 ≠ 𝐵))
7	1, 6	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ≠ 0)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926  (class class class)co 7390  ℂcc 11073  0cc0 11075   − cmin 11412

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5536  df-po 5549  df-so 5550  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-ltxr 11220  df-sub 11414

This theorem is referenced by:  modsumfzodifsn  13916  abssubne0  15290  rlimuni  15523  climuni  15525  evth  24865  dvlem  25804  dvconst  25825  dvid  25826  dvcnp2  25828  dvcnp2OLD  25829  dvaddbr  25847  dvmulbr  25848  dvmulbrOLD  25849  dvcobr  25856  dvcobrOLD  25857  dvcjbr  25860  dvrec  25866  dvcnvlem  25887  dvferm2lem  25897  taylthlem2  26289  taylthlem2OLD  26290  ulmdvlem1  26316  ang180lem4  26729  ang180lem5  26730  ang180  26731  isosctrlem3  26737  isosctr  26738  ssscongptld  26739  affineequivne  26744  angpieqvdlem  26745  angpieqvdlem2  26746  angpined  26747  angpieqvd  26748  chordthmlem  26749  chordthmlem2  26750  heron  26755  asinlem  26785  lgamgulmlem2  26947  lgamgulmlem3  26948  2sqmod  27354  ttgcontlem1  28819  brbtwn2  28839  axcontlem8  28905  subne0nn  32753  constrrtll  33728  constrrtlc1  33729  constrrtcclem  33731  constrrtcc  33732  constrfin  33743  constrelextdg2  33744  cos9thpiminplylem3  33781  signsvtn0  34568  unbdqndv2lem2  36505  bj-bary1lem  37305  bj-bary1lem1  37306  bj-bary1  37307  lcmineqlem11  42034  pellexlem6  42829  jm2.26lem3  42997  areaquad  43212  bcc0  44336  bccm1k  44338  abssubrp  45281  lptre2pt  45645  limclner  45656  climxrre  45755  cnrefiisplem  45834  fperdvper  45924  stoweidlem23  46028  wallispilem4  46073  wallispi  46075  wallispi2lem1  46076  wallispi2lem2  46077  wallispi2  46078  stirlinglem5  46083  fourierdlem4  46116  fourierdlem42  46154  fourierdlem74  46185  fourierdlem75  46186  fouriersw  46236  sigardiv  46866  sigarcol  46869  sharhght  46870  affinecomb1  48695  affinecomb2  48696  1subrec1sub  48698  eenglngeehlnmlem1  48730  eenglngeehlnmlem2  48731  rrx2vlinest  48734  rrx2linest  48735  2itscp  48774  itscnhlinecirc02plem1  48775  itscnhlinecirc02p  48778