Theorem subne0d 11629

Description: Two unequal numbers have nonzero difference. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
subne0d.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
subne0d	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ≠ 0)

Proof of Theorem subne0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subne0d.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
2		negidd.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
3		pncand.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
4		subeq0 11535	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐵) = 0 ↔ 𝐴 = 𝐵))
5	2, 3, 4	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) = 0 ↔ 𝐴 = 𝐵))
6	5	necon3bid 2985	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) ≠ 0 ↔ 𝐴 ≠ 𝐵))
7	1, 6	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ≠ 0)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940  (class class class)co 7431  ℂcc 11153  0cc0 11155   − cmin 11492

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-ltxr 11300  df-sub 11494

This theorem is referenced by:  modsumfzodifsn  13985  abssubne0  15355  rlimuni  15586  climuni  15588  evth  24991  dvlem  25931  dvconst  25952  dvid  25953  dvcnp2  25955  dvcnp2OLD  25956  dvaddbr  25974  dvmulbr  25975  dvmulbrOLD  25976  dvcobr  25983  dvcobrOLD  25984  dvcjbr  25987  dvrec  25993  dvcnvlem  26014  dvferm2lem  26024  taylthlem2  26416  taylthlem2OLD  26417  ulmdvlem1  26443  ang180lem4  26855  ang180lem5  26856  ang180  26857  isosctrlem3  26863  isosctr  26864  ssscongptld  26865  affineequivne  26870  angpieqvdlem  26871  angpieqvdlem2  26872  angpined  26873  angpieqvd  26874  chordthmlem  26875  chordthmlem2  26876  heron  26881  asinlem  26911  lgamgulmlem2  27073  lgamgulmlem3  27074  2sqmod  27480  ttgcontlem1  28899  brbtwn2  28920  axcontlem8  28986  subne0nn  32823  constrrtll  33772  constrrtlc1  33773  constrrtcclem  33775  constrrtcc  33776  constrfin  33787  constrelextdg2  33788  signsvtn0  34585  unbdqndv2lem2  36511  bj-bary1lem  37311  bj-bary1lem1  37312  bj-bary1  37313  lcmineqlem11  42040  pellexlem6  42845  jm2.26lem3  43013  areaquad  43228  bcc0  44359  bccm1k  44361  abssubrp  45287  lptre2pt  45655  limclner  45666  climxrre  45765  cnrefiisplem  45844  fperdvper  45934  stoweidlem23  46038  wallispilem4  46083  wallispi  46085  wallispi2lem1  46086  wallispi2lem2  46087  wallispi2  46088  stirlinglem5  46093  fourierdlem4  46126  fourierdlem42  46164  fourierdlem74  46195  fourierdlem75  46196  fouriersw  46246  sigardiv  46876  sigarcol  46879  sharhght  46880  affinecomb1  48623  affinecomb2  48624  1subrec1sub  48626  eenglngeehlnmlem1  48658  eenglngeehlnmlem2  48659  rrx2vlinest  48662  rrx2linest  48663  2itscp  48702  itscnhlinecirc02plem1  48703  itscnhlinecirc02p  48706