Theorem subne0d 11656

Description: Two unequal numbers have nonzero difference. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
subne0d.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
subne0d	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ≠ 0)

Proof of Theorem subne0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subne0d.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
2		negidd.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
3		pncand.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
4		subeq0 11562	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐵) = 0 ↔ 𝐴 = 𝐵))
5	2, 3, 4	syl2anc 583	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) = 0 ↔ 𝐴 = 𝐵))
6	5	necon3bid 2991	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) ≠ 0 ↔ 𝐴 ≠ 𝐵))
7	1, 6	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ≠ 0)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946  (class class class)co 7448  ℂcc 11182  0cc0 11184   − cmin 11520

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-po 5607  df-so 5608  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-ltxr 11329  df-sub 11522

This theorem is referenced by:  modsumfzodifsn  13995  abssubne0  15365  rlimuni  15596  climuni  15598  evth  25010  dvlem  25951  dvconst  25972  dvid  25973  dvcnp2  25975  dvcnp2OLD  25976  dvaddbr  25994  dvmulbr  25995  dvmulbrOLD  25996  dvcobr  26003  dvcobrOLD  26004  dvcjbr  26007  dvrec  26013  dvcnvlem  26034  dvferm2lem  26044  taylthlem2  26434  taylthlem2OLD  26435  ulmdvlem1  26461  ang180lem4  26873  ang180lem5  26874  ang180  26875  isosctrlem3  26881  isosctr  26882  ssscongptld  26883  affineequivne  26888  angpieqvdlem  26889  angpieqvdlem2  26890  angpined  26891  angpieqvd  26892  chordthmlem  26893  chordthmlem2  26894  heron  26899  asinlem  26929  lgamgulmlem2  27091  lgamgulmlem3  27092  2sqmod  27498  ttgcontlem1  28917  brbtwn2  28938  axcontlem8  29004  subne0nn  32825  constrrtll  33722  constrrtlc1  33723  constrrtcclem  33725  constrrtcc  33726  constrfin  33736  constrelextdg2  33737  signsvtn0  34547  unbdqndv2lem2  36476  bj-bary1lem  37276  bj-bary1lem1  37277  bj-bary1  37278  lcmineqlem11  41996  pellexlem6  42790  jm2.26lem3  42958  areaquad  43177  bcc0  44309  bccm1k  44311  abssubrp  45190  lptre2pt  45561  limclner  45572  climxrre  45671  cnrefiisplem  45750  fperdvper  45840  stoweidlem23  45944  wallispilem4  45989  wallispi  45991  wallispi2lem1  45992  wallispi2lem2  45993  wallispi2  45994  stirlinglem5  45999  fourierdlem4  46032  fourierdlem42  46070  fourierdlem74  46101  fourierdlem75  46102  fouriersw  46152  sigardiv  46782  sigarcol  46785  sharhght  46786  affinecomb1  48436  affinecomb2  48437  1subrec1sub  48439  eenglngeehlnmlem1  48471  eenglngeehlnmlem2  48472  rrx2vlinest  48475  rrx2linest  48476  2itscp  48515  itscnhlinecirc02plem1  48516  itscnhlinecirc02p  48519