Theorem subne0d 11618

Description: Two unequal numbers have nonzero difference. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
subne0d.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
subne0d	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ≠ 0)

Proof of Theorem subne0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subne0d.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
2		negidd.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
3		pncand.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
4		subeq0 11524	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐵) = 0 ↔ 𝐴 = 𝐵))
5	2, 3, 4	syl2anc 582	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) = 0 ↔ 𝐴 = 𝐵))
6	5	necon3bid 2982	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) ≠ 0 ↔ 𝐴 ≠ 𝐵))
7	1, 6	mpbird 256	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ≠ 0)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2937  (class class class)co 7426  ℂcc 11144  0cc0 11146   − cmin 11482

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5580  df-po 5594  df-so 5595  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-ltxr 11291  df-sub 11484

This theorem is referenced by:  modsumfzodifsn  13949  abssubne0  15303  rlimuni  15534  climuni  15536  evth  24905  dvlem  25845  dvconst  25866  dvid  25867  dvcnp2  25869  dvcnp2OLD  25870  dvaddbr  25888  dvmulbr  25889  dvmulbrOLD  25890  dvcobr  25897  dvcobrOLD  25898  dvcjbr  25901  dvrec  25907  dvcnvlem  25928  dvferm2lem  25938  taylthlem2  26329  taylthlem2OLD  26330  ulmdvlem1  26356  ang180lem4  26764  ang180lem5  26765  ang180  26766  isosctrlem3  26772  isosctr  26773  ssscongptld  26774  affineequivne  26779  angpieqvdlem  26780  angpieqvdlem2  26781  angpined  26782  angpieqvd  26783  chordthmlem  26784  chordthmlem2  26785  heron  26790  asinlem  26820  lgamgulmlem2  26982  lgamgulmlem3  26983  2sqmod  27389  ttgcontlem1  28715  brbtwn2  28736  axcontlem8  28802  subne0nn  32605  signsvtn0  34235  unbdqndv2lem2  36018  bj-bary1lem  36822  bj-bary1lem1  36823  bj-bary1  36824  lcmineqlem11  41542  pellexlem6  42285  jm2.26lem3  42453  areaquad  42675  bcc0  43808  bccm1k  43810  abssubrp  44686  lptre2pt  45057  limclner  45068  climxrre  45167  cnrefiisplem  45246  fperdvper  45336  stoweidlem23  45440  wallispilem4  45485  wallispi  45487  wallispi2lem1  45488  wallispi2lem2  45489  wallispi2  45490  stirlinglem5  45495  fourierdlem4  45528  fourierdlem42  45566  fourierdlem74  45597  fourierdlem75  45598  fouriersw  45648  sigardiv  46278  sigarcol  46281  sharhght  46282  affinecomb1  47853  affinecomb2  47854  1subrec1sub  47856  eenglngeehlnmlem1  47888  eenglngeehlnmlem2  47889  rrx2vlinest  47892  rrx2linest  47893  2itscp  47932  itscnhlinecirc02plem1  47933  itscnhlinecirc02p  47936