Theorem subne0d 11006

Description: Two unequal numbers have nonzero difference. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
subne0d.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
subne0d	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ≠ 0)

Proof of Theorem subne0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subne0d.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
2		negidd.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
3		pncand.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
4		subeq0 10912	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐵) = 0 ↔ 𝐴 = 𝐵))
5	2, 3, 4	syl2anc 586	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) = 0 ↔ 𝐴 = 𝐵))
6	5	necon3bid 3060	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) ≠ 0 ↔ 𝐴 ≠ 𝐵))
7	1, 6	mpbird 259	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ≠ 0)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3016  (class class class)co 7156  ℂcc 10535  0cc0 10537   − cmin 10870

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4839  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-id 5460  df-po 5474  df-so 5475  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-er 8289  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-ltxr 10680  df-sub 10872

This theorem is referenced by:  modsumfzodifsn  13313  abssubne0  14676  rlimuni  14907  climuni  14909  pwm1geoserOLD  15225  evth  23563  dvlem  24494  dvconst  24514  dvid  24515  dvcnp2  24517  dvaddbr  24535  dvmulbr  24536  dvcobr  24543  dvcjbr  24546  dvrec  24552  dvcnvlem  24573  dvferm2lem  24583  taylthlem2  24962  ulmdvlem1  24988  ang180lem4  25390  ang180lem5  25391  ang180  25392  isosctrlem3  25398  isosctr  25399  ssscongptld  25400  affineequivne  25405  angpieqvdlem  25406  angpieqvdlem2  25407  angpined  25408  angpieqvd  25409  chordthmlem  25410  chordthmlem2  25411  heron  25416  asinlem  25446  lgamgulmlem2  25607  lgamgulmlem3  25608  2sqmod  26012  ttgcontlem1  26671  brbtwn2  26691  axcontlem8  26757  subne0nn  30537  signsvtn0  31840  unbdqndv2lem2  33849  bj-bary1lem  34594  bj-bary1lem1  34595  bj-bary1  34596  pellexlem6  39451  jm2.26lem3  39618  areaquad  39843  bcc0  40692  bccm1k  40694  abssubrp  41561  lptre2pt  41941  limclner  41952  climxrre  42051  cnrefiisplem  42130  fperdvper  42223  stoweidlem23  42328  wallispilem4  42373  wallispi  42375  wallispi2lem1  42376  wallispi2lem2  42377  wallispi2  42378  stirlinglem5  42383  fourierdlem4  42416  fourierdlem42  42454  fourierdlem74  42485  fourierdlem75  42486  fouriersw  42536  sigardiv  43138  sigarcol  43141  sharhght  43142  affinecomb1  44709  affinecomb2  44710  1subrec1sub  44712  eenglngeehlnmlem1  44744  eenglngeehlnmlem2  44745  rrx2vlinest  44748  rrx2linest  44749  2itscp  44788  itscnhlinecirc02plem1  44789  itscnhlinecirc02p  44792