Theorem subne0d 11684

Description: Two unequal numbers have nonzero difference. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
subne0d.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
subne0d	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ≠ 0)

Proof of Theorem subne0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subne0d.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
2		negidd.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
3		pncand.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
4	2, 3	subeq0ad 11682	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) = 0 ↔ 𝐴 = 𝐵))
5	4	necon3bid 2999	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) ≠ 0 ↔ 𝐴 ≠ 𝐵))
6	1, 5	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ≠ 0)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  (class class class)co 7422  ℂcc 11203  0cc0 11205   − cmin 11546

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7753  ax-resscn 11262  ax-1cn 11263  ax-icn 11264  ax-addcl 11265  ax-addrcl 11266  ax-mulcl 11267  ax-mulrcl 11268  ax-mulcom 11269  ax-addass 11270  ax-mulass 11271  ax-distr 11272  ax-i2m1 11273  ax-1ne0 11274  ax-1rid 11275  ax-rnegex 11276  ax-rrecex 11277  ax-cnre 11278  ax-pre-lttri 11279  ax-pre-lttrn 11280  ax-pre-ltadd 11281

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-po 5558  df-so 5559  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6496  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7379  df-ov 7425  df-oprab 7426  df-mpo 7427  df-er 8722  df-en 8979  df-dom 8980  df-sdom 8981  df-pnf 11350  df-mnf 11351  df-ltxr 11353  df-sub 11548

This theorem is used by:  modsumfzodifsn  14092  abssubne0  15491  rlimuni  15724  climuni  15726  chnccat  18807  chnrev  18808  evth  25287  dvlem  26223  dvconst  26244  dvid  26245  dvcnp2  26247  dvaddbr  26265  dvmulbr  26266  dvcobr  26273  dvcjbr  26276  dvrec  26282  dvcnvlem  26303  dvferm2lem  26313  taylthlem2  26708  ulmdvlem1  26734  ang180lem4  27147  ang180lem5  27148  ang180  27149  isosctrlem3  27155  isosctr  27156  ssscongptld  27157  affineequivne  27162  angpieqvdlem  27163  angpieqvdlem2  27164  angpined  27165  angpieqvd  27166  chordthmlem  27167  chordthmlem2  27168  heron  27173  asinlem  27203  lgamgulmlem2  27364  lgamgulmlem3  27365  2sqmod  27770  ttgcontlem1  29469  brbtwn2  29490  axcontlem8  29556  subne0nn  33461  constrrtll  34411  constrrtlc1  34412  constrrtcclem  34414  constrrtcc  34415  constrfin  34426  constrelextdg2  34427  cos9thpiminplylem3  34464  signsvtn0  35247  unbdqndv2lem2  37470  bj-bary1lem  38338  bj-bary1lem1  38339  bj-bary1  38340  qdiff  38355  lcmineqlem11  43196  pellexlem6  43948  jm2.26lem3  44115  areaquad  44325  bcc0  45431  bccm1k  45433  abssubrp  46399  lptre2pt  46757  limclner  46768  climxrre  46867  cnrefiisplem  46946  fperdvper  47036  stoweidlem23  47140  wallispilem4  47185  wallispi  47187  wallispi2lem1  47188  wallispi2lem2  47189  wallispi2  47190  stirlinglem5  47195  fourierdlem4  47228  fourierdlem42  47266  fourierdlem74  47297  fourierdlem75  47298  fouriersw  47348  sigardiv  47978  sigarcol  47981  sharhght  47982  sqrtnnaa  48020  sqrtnzqaa  48021  affinecomb1  49921  affinecomb2  49922  1subrec1sub  49924  eenglngeehlnmlem1  49957  eenglngeehlnmlem2  49958  rrx2vlinest  49960  rrx2linest  49961  2itscp  50000  itscnhlinecirc02plem1  50001  itscnhlinecirc02p  50004