Theorem subne0d 11518

Description: Two unequal numbers have nonzero difference. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
subne0d.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
subne0d	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ≠ 0)

Proof of Theorem subne0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subne0d.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
2		negidd.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
3		pncand.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
4		subeq0 11424	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐵) = 0 ↔ 𝐴 = 𝐵))
5	2, 3, 4	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) = 0 ↔ 𝐴 = 𝐵))
6	5	necon3bid 2969	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) ≠ 0 ↔ 𝐴 ≠ 𝐵))
7	1, 6	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ≠ 0)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  (class class class)co 7369  ℂcc 11042  0cc0 11044   − cmin 11381

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5526  df-po 5539  df-so 5540  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-ltxr 11189  df-sub 11383

This theorem is referenced by:  modsumfzodifsn  13885  abssubne0  15259  rlimuni  15492  climuni  15494  evth  24834  dvlem  25773  dvconst  25794  dvid  25795  dvcnp2  25797  dvcnp2OLD  25798  dvaddbr  25816  dvmulbr  25817  dvmulbrOLD  25818  dvcobr  25825  dvcobrOLD  25826  dvcjbr  25829  dvrec  25835  dvcnvlem  25856  dvferm2lem  25866  taylthlem2  26258  taylthlem2OLD  26259  ulmdvlem1  26285  ang180lem4  26698  ang180lem5  26699  ang180  26700  isosctrlem3  26706  isosctr  26707  ssscongptld  26708  affineequivne  26713  angpieqvdlem  26714  angpieqvdlem2  26715  angpined  26716  angpieqvd  26717  chordthmlem  26718  chordthmlem2  26719  heron  26724  asinlem  26754  lgamgulmlem2  26916  lgamgulmlem3  26917  2sqmod  27323  ttgcontlem1  28788  brbtwn2  28808  axcontlem8  28874  subne0nn  32719  constrrtll  33694  constrrtlc1  33695  constrrtcclem  33697  constrrtcc  33698  constrfin  33709  constrelextdg2  33710  cos9thpiminplylem3  33747  signsvtn0  34534  unbdqndv2lem2  36471  bj-bary1lem  37271  bj-bary1lem1  37272  bj-bary1  37273  lcmineqlem11  42000  pellexlem6  42795  jm2.26lem3  42963  areaquad  43178  bcc0  44302  bccm1k  44304  abssubrp  45247  lptre2pt  45611  limclner  45622  climxrre  45721  cnrefiisplem  45800  fperdvper  45890  stoweidlem23  45994  wallispilem4  46039  wallispi  46041  wallispi2lem1  46042  wallispi2lem2  46043  wallispi2  46044  stirlinglem5  46049  fourierdlem4  46082  fourierdlem42  46120  fourierdlem74  46151  fourierdlem75  46152  fouriersw  46202  sigardiv  46832  sigarcol  46835  sharhght  46836  affinecomb1  48664  affinecomb2  48665  1subrec1sub  48667  eenglngeehlnmlem1  48699  eenglngeehlnmlem2  48700  rrx2vlinest  48703  rrx2linest  48704  2itscp  48743  itscnhlinecirc02plem1  48744  itscnhlinecirc02p  48747