Theorem subne0d 11603

Description: Two unequal numbers have nonzero difference. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
subne0d.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
subne0d	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ≠ 0)

Proof of Theorem subne0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subne0d.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
2		negidd.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
3		pncand.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
4		subeq0 11509	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐵) = 0 ↔ 𝐴 = 𝐵))
5	2, 3, 4	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) = 0 ↔ 𝐴 = 𝐵))
6	5	necon3bid 2976	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) ≠ 0 ↔ 𝐴 ≠ 𝐵))
7	1, 6	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ≠ 0)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2932  (class class class)co 7405  ℂcc 11127  0cc0 11129   − cmin 11466

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-id 5548  df-po 5561  df-so 5562  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-ltxr 11274  df-sub 11468

This theorem is referenced by:  modsumfzodifsn  13962  abssubne0  15335  rlimuni  15566  climuni  15568  evth  24909  dvlem  25849  dvconst  25870  dvid  25871  dvcnp2  25873  dvcnp2OLD  25874  dvaddbr  25892  dvmulbr  25893  dvmulbrOLD  25894  dvcobr  25901  dvcobrOLD  25902  dvcjbr  25905  dvrec  25911  dvcnvlem  25932  dvferm2lem  25942  taylthlem2  26334  taylthlem2OLD  26335  ulmdvlem1  26361  ang180lem4  26774  ang180lem5  26775  ang180  26776  isosctrlem3  26782  isosctr  26783  ssscongptld  26784  affineequivne  26789  angpieqvdlem  26790  angpieqvdlem2  26791  angpined  26792  angpieqvd  26793  chordthmlem  26794  chordthmlem2  26795  heron  26800  asinlem  26830  lgamgulmlem2  26992  lgamgulmlem3  26993  2sqmod  27399  ttgcontlem1  28864  brbtwn2  28884  axcontlem8  28950  subne0nn  32800  constrrtll  33765  constrrtlc1  33766  constrrtcclem  33768  constrrtcc  33769  constrfin  33780  constrelextdg2  33781  cos9thpiminplylem3  33818  signsvtn0  34602  unbdqndv2lem2  36528  bj-bary1lem  37328  bj-bary1lem1  37329  bj-bary1  37330  lcmineqlem11  42052  pellexlem6  42857  jm2.26lem3  43025  areaquad  43240  bcc0  44364  bccm1k  44366  abssubrp  45304  lptre2pt  45669  limclner  45680  climxrre  45779  cnrefiisplem  45858  fperdvper  45948  stoweidlem23  46052  wallispilem4  46097  wallispi  46099  wallispi2lem1  46100  wallispi2lem2  46101  wallispi2  46102  stirlinglem5  46107  fourierdlem4  46140  fourierdlem42  46178  fourierdlem74  46209  fourierdlem75  46210  fouriersw  46260  sigardiv  46890  sigarcol  46893  sharhght  46894  affinecomb1  48682  affinecomb2  48683  1subrec1sub  48685  eenglngeehlnmlem1  48717  eenglngeehlnmlem2  48718  rrx2vlinest  48721  rrx2linest  48722  2itscp  48761  itscnhlinecirc02plem1  48762  itscnhlinecirc02p  48765