Theorem subne0d 10604

Description: Two unequal numbers have nonzero difference. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
subne0d.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
subne0d	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ≠ 0)

Proof of Theorem subne0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subne0d.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
2		negidd.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
3		pncand.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
4		subeq0 10510	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐵) = 0 ↔ 𝐴 = 𝐵))
5	2, 3, 4	syl2anc 567	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) = 0 ↔ 𝐴 = 𝐵))
6	5	necon3bid 2987	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) ≠ 0 ↔ 𝐴 ≠ 𝐵))
7	1, 6	mpbird 247	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ≠ 0)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   = wceq 1631   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2943  (class class class)co 6794  ℂcc 10137  0cc0 10139   − cmin 10469

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7097  ax-resscn 10196  ax-1cn 10197  ax-icn 10198  ax-addcl 10199  ax-addrcl 10200  ax-mulcl 10201  ax-mulrcl 10202  ax-mulcom 10203  ax-addass 10204  ax-mulass 10205  ax-distr 10206  ax-i2m1 10207  ax-1ne0 10208  ax-1rid 10209  ax-rnegex 10210  ax-rrecex 10211  ax-cnre 10212  ax-pre-lttri 10213  ax-pre-lttrn 10214  ax-pre-ltadd 10215

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 829  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3589  df-csb 3684  df-dif 3727  df-un 3729  df-in 3731  df-ss 3738  df-nul 4065  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-op 4324  df-uni 4576  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-id 5158  df-po 5171  df-so 5172  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-iota 5995  df-fun 6034  df-fn 6035  df-f 6036  df-f1 6037  df-fo 6038  df-f1o 6039  df-fv 6040  df-riota 6755  df-ov 6797  df-oprab 6798  df-mpt2 6799  df-er 7897  df-en 8111  df-dom 8112  df-sdom 8113  df-pnf 10279  df-mnf 10280  df-ltxr 10282  df-sub 10471

This theorem is referenced by:  modsumfzodifsn  12952  abssubne0  14265  rlimuni  14490  climuni  14492  pwm1geoser  14808  evth  22979  dvlem  23881  dvconst  23901  dvid  23902  dvcnp2  23904  dvaddbr  23922  dvmulbr  23923  dvcobr  23930  dvcjbr  23933  dvrec  23939  dvcnvlem  23960  dvferm2lem  23970  taylthlem2  24349  ulmdvlem1  24375  ang180lem4  24764  ang180lem5  24765  ang180  24766  isosctrlem3  24772  isosctr  24773  ssscongptld  24774  angpieqvdlem  24777  angpieqvdlem2  24778  angpined  24779  angpieqvd  24780  chordthmlem  24781  chordthmlem2  24782  heron  24787  asinlem  24817  lgamgulmlem2  24978  lgamgulmlem3  24979  ttgcontlem1  25987  brbtwn2  26007  axcontlem8  26073  2sqmod  29989  signsvtn0  30988  unbdqndv2lem2  32839  bj-bary1lem  33498  bj-bary1lem1  33499  bj-bary1  33500  pellexlem6  37925  jm2.26lem3  38095  areaquad  38329  bcc0  39066  bccm1k  39068  abssubrp  40006  lptre2pt  40391  limclner  40402  climxrre  40501  cnrefiisplem  40574  fperdvper  40652  stoweidlem23  40758  wallispilem4  40803  wallispi  40805  wallispi2lem1  40806  wallispi2lem2  40807  wallispi2  40808  stirlinglem5  40813  fourierdlem4  40846  fourierdlem42  40884  fourierdlem74  40915  fourierdlem75  40916  fouriersw  40966  sigardiv  41571  sigarcol  41574  sharhght  41575