Theorem subne0d 11501

Description: Two unequal numbers have nonzero difference. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
subne0d.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
subne0d	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ≠ 0)

Proof of Theorem subne0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subne0d.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
2		negidd.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
3		pncand.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
4		subeq0 11407	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐵) = 0 ↔ 𝐴 = 𝐵))
5	2, 3, 4	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) = 0 ↔ 𝐴 = 𝐵))
6	5	necon3bid 2976	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) ≠ 0 ↔ 𝐴 ≠ 𝐵))
7	1, 6	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ≠ 0)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2932  (class class class)co 7358  ℂcc 11024  0cc0 11026   − cmin 11364

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-po 5532  df-so 5533  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-ltxr 11171  df-sub 11366

This theorem is referenced by:  modsumfzodifsn  13867  abssubne0  15240  rlimuni  15473  climuni  15475  chnccat  18549  chnrev  18550  evth  24914  dvlem  25853  dvconst  25874  dvid  25875  dvcnp2  25877  dvcnp2OLD  25878  dvaddbr  25896  dvmulbr  25897  dvmulbrOLD  25898  dvcobr  25905  dvcobrOLD  25906  dvcjbr  25909  dvrec  25915  dvcnvlem  25936  dvferm2lem  25946  taylthlem2  26338  taylthlem2OLD  26339  ulmdvlem1  26365  ang180lem4  26778  ang180lem5  26779  ang180  26780  isosctrlem3  26786  isosctr  26787  ssscongptld  26788  affineequivne  26793  angpieqvdlem  26794  angpieqvdlem2  26795  angpined  26796  angpieqvd  26797  chordthmlem  26798  chordthmlem2  26799  heron  26804  asinlem  26834  lgamgulmlem2  26996  lgamgulmlem3  26997  2sqmod  27403  ttgcontlem1  28957  brbtwn2  28978  axcontlem8  29044  subne0nn  32902  constrrtll  33888  constrrtlc1  33889  constrrtcclem  33891  constrrtcc  33892  constrfin  33903  constrelextdg2  33904  cos9thpiminplylem3  33941  signsvtn0  34727  unbdqndv2lem2  36710  bj-bary1lem  37515  bj-bary1lem1  37516  bj-bary1  37517  lcmineqlem11  42293  pellexlem6  43076  jm2.26lem3  43243  areaquad  43458  bcc0  44581  bccm1k  44583  abssubrp  45524  lptre2pt  45884  limclner  45895  climxrre  45994  cnrefiisplem  46073  fperdvper  46163  stoweidlem23  46267  wallispilem4  46312  wallispi  46314  wallispi2lem1  46315  wallispi2lem2  46316  wallispi2  46317  stirlinglem5  46322  fourierdlem4  46355  fourierdlem42  46393  fourierdlem74  46424  fourierdlem75  46425  fouriersw  46475  sigardiv  47105  sigarcol  47108  sharhght  47109  affinecomb1  48948  affinecomb2  48949  1subrec1sub  48951  eenglngeehlnmlem1  48983  eenglngeehlnmlem2  48984  rrx2vlinest  48987  rrx2linest  48988  2itscp  49027  itscnhlinecirc02plem1  49028  itscnhlinecirc02p  49031