Theorem subne0d 10745

Description: Two unequal numbers have nonzero difference. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
subne0d.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
subne0d	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ≠ 0)

Proof of Theorem subne0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subne0d.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
2		negidd.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
3		pncand.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
4		subeq0 10651	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐵) = 0 ↔ 𝐴 = 𝐵))
5	2, 3, 4	syl2anc 579	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) = 0 ↔ 𝐴 = 𝐵))
6	5	necon3bid 3013	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) ≠ 0 ↔ 𝐴 ≠ 𝐵))
7	1, 6	mpbird 249	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ≠ 0)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   = wceq 1601   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2969  (class class class)co 6924  ℂcc 10272  0cc0 10274   − cmin 10608

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228  ax-resscn 10331  ax-1cn 10332  ax-icn 10333  ax-addcl 10334  ax-addrcl 10335  ax-mulcl 10336  ax-mulrcl 10337  ax-mulcom 10338  ax-addass 10339  ax-mulass 10340  ax-distr 10341  ax-i2m1 10342  ax-1ne0 10343  ax-1rid 10344  ax-rnegex 10345  ax-rrecex 10346  ax-cnre 10347  ax-pre-lttri 10348  ax-pre-lttrn 10349  ax-pre-ltadd 10350

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-op 4405  df-uni 4674  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-id 5263  df-po 5276  df-so 5277  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-riota 6885  df-ov 6927  df-oprab 6928  df-mpt2 6929  df-er 8028  df-en 8244  df-dom 8245  df-sdom 8246  df-pnf 10415  df-mnf 10416  df-ltxr 10418  df-sub 10610

This theorem is referenced by:  modsumfzodifsn  13066  abssubne0  14467  rlimuni  14693  climuni  14695  pwm1geoser  15008  evth  23170  dvlem  24101  dvconst  24121  dvid  24122  dvcnp2  24124  dvaddbr  24142  dvmulbr  24143  dvcobr  24150  dvcjbr  24153  dvrec  24159  dvcnvlem  24180  dvferm2lem  24190  taylthlem2  24569  ulmdvlem1  24595  ang180lem4  24994  ang180lem5  24995  ang180  24996  isosctrlem3  25002  isosctr  25003  ssscongptld  25004  affineequivne  25009  angpieqvdlem  25010  angpieqvdlem2  25011  angpined  25012  angpieqvd  25013  chordthmlem  25014  chordthmlem2  25015  heron  25020  asinlem  25050  lgamgulmlem2  25212  lgamgulmlem3  25213  ttgcontlem1  26238  brbtwn2  26258  axcontlem8  26324  2sqmod  30214  signsvtn0  31251  signsvtn0OLD  31252  unbdqndv2lem2  33087  bj-bary1lem  33761  bj-bary1lem1  33762  bj-bary1  33763  pellexlem6  38368  jm2.26lem3  38537  areaquad  38770  bcc0  39505  bccm1k  39507  abssubrp  40407  lptre2pt  40790  limclner  40801  climxrre  40900  cnrefiisplem  40979  fperdvper  41071  stoweidlem23  41177  wallispilem4  41222  wallispi  41224  wallispi2lem1  41225  wallispi2lem2  41226  wallispi2  41227  stirlinglem5  41232  fourierdlem4  41265  fourierdlem42  41303  fourierdlem74  41334  fourierdlem75  41335  fouriersw  41385  sigardiv  41987  sigarcol  41990  sharhght  41991  affinecomb1  43448  affinecomb2  43449  1subrec1sub  43451  eenglngeehlnmlem1  43483  eenglngeehlnmlem2  43484  rrx2vlinest  43487  rrx2linest  43488  2itscp  43527  itscnhlinecirc02plem1  43528  itscnhlinecirc02p  43531