Theorem subne0d 11324

Description: Two unequal numbers have nonzero difference. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
subne0d.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
subne0d	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ≠ 0)

Proof of Theorem subne0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subne0d.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
2		negidd.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
3		pncand.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
4		subeq0 11230	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐵) = 0 ↔ 𝐴 = 𝐵))
5	2, 3, 4	syl2anc 583	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) = 0 ↔ 𝐴 = 𝐵))
6	5	necon3bid 2989	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) ≠ 0 ↔ 𝐴 ≠ 𝐵))
7	1, 6	mpbird 256	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ≠ 0)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1541   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2944  (class class class)co 7268  ℂcc 10853  0cc0 10855   − cmin 11188

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1801  ax-4 1815  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2014  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2140  ax-11 2157  ax-12 2174  ax-ext 2710  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7579  ax-resscn 10912  ax-1cn 10913  ax-icn 10914  ax-addcl 10915  ax-addrcl 10916  ax-mulcl 10917  ax-mulrcl 10918  ax-mulcom 10919  ax-addass 10920  ax-mulass 10921  ax-distr 10922  ax-i2m1 10923  ax-1ne0 10924  ax-1rid 10925  ax-rnegex 10926  ax-rrecex 10927  ax-cnre 10928  ax-pre-lttri 10929  ax-pre-lttrn 10930  ax-pre-ltadd 10931

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1786  df-nf 1790  df-sb 2071  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-reu 3072  df-rab 3074  df-v 3432  df-sbc 3720  df-csb 3837  df-dif 3894  df-un 3896  df-in 3898  df-ss 3908  df-nul 4262  df-if 4465  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-op 4573  df-uni 4845  df-br 5079  df-opab 5141  df-mpt 5162  df-id 5488  df-po 5502  df-so 5503  df-xp 5594  df-rel 5595  df-cnv 5596  df-co 5597  df-dm 5598  df-rn 5599  df-res 5600  df-ima 5601  df-iota 6388  df-fun 6432  df-fn 6433  df-f 6434  df-f1 6435  df-fo 6436  df-f1o 6437  df-fv 6438  df-riota 7225  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-mpo 7273  df-er 8472  df-en 8708  df-dom 8709  df-sdom 8710  df-pnf 10995  df-mnf 10996  df-ltxr 10998  df-sub 11190

This theorem is referenced by:  modsumfzodifsn  13645  abssubne0  15009  rlimuni  15240  climuni  15242  evth  24103  dvlem  25041  dvconst  25062  dvid  25063  dvcnp2  25065  dvaddbr  25083  dvmulbr  25084  dvcobr  25091  dvcjbr  25094  dvrec  25100  dvcnvlem  25121  dvferm2lem  25131  taylthlem2  25514  ulmdvlem1  25540  ang180lem4  25943  ang180lem5  25944  ang180  25945  isosctrlem3  25951  isosctr  25952  ssscongptld  25953  affineequivne  25958  angpieqvdlem  25959  angpieqvdlem2  25960  angpined  25961  angpieqvd  25962  chordthmlem  25963  chordthmlem2  25964  heron  25969  asinlem  25999  lgamgulmlem2  26160  lgamgulmlem3  26161  2sqmod  26565  ttgcontlem1  27233  brbtwn2  27254  axcontlem8  27320  subne0nn  31114  signsvtn0  32528  unbdqndv2lem2  34669  bj-bary1lem  35460  bj-bary1lem1  35461  bj-bary1  35462  lcmineqlem11  40027  pellexlem6  40636  jm2.26lem3  40803  areaquad  41027  bcc0  41911  bccm1k  41913  abssubrp  42767  lptre2pt  43135  limclner  43146  climxrre  43245  cnrefiisplem  43324  fperdvper  43414  stoweidlem23  43518  wallispilem4  43563  wallispi  43565  wallispi2lem1  43566  wallispi2lem2  43567  wallispi2  43568  stirlinglem5  43573  fourierdlem4  43606  fourierdlem42  43644  fourierdlem74  43675  fourierdlem75  43676  fouriersw  43726  sigardiv  44328  sigarcol  44331  sharhght  44332  affinecomb1  46000  affinecomb2  46001  1subrec1sub  46003  eenglngeehlnmlem1  46035  eenglngeehlnmlem2  46036  rrx2vlinest  46039  rrx2linest  46040  2itscp  46079  itscnhlinecirc02plem1  46080  itscnhlinecirc02p  46083