Theorem subne0d 11718

Description: Two unequal numbers have nonzero difference. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
subne0d.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
subne0d	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ≠ 0)

Proof of Theorem subne0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subne0d.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
2		negidd.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
3		pncand.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
4	2, 3	subeq0ad 11716	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) = 0 ↔ 𝐴 = 𝐵))
5	4	necon3bid 3003	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) ≠ 0 ↔ 𝐴 ≠ 𝐵))
6	1, 5	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ≠ 0)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  (class class class)co 7451  ℂcc 11237  0cc0 11239   − cmin 11580

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5553  df-po 5566  df-so 5567  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-ltxr 11387  df-sub 11582

This theorem is used by:  modsumfzodifsn  14127  abssubne0  15527  rlimuni  15761  climuni  15763  chnccat  18850  chnrev  18851  evth  25335  dvlem  26271  dvconst  26292  dvid  26293  dvcnp2  26295  dvaddbr  26313  dvmulbr  26314  dvcobr  26321  dvcjbr  26324  dvrec  26330  dvcnvlem  26351  dvferm2lem  26361  taylthlem2  26758  ulmdvlem1  26784  ang180lem4  27197  ang180lem5  27198  ang180  27199  isosctrlem3  27205  isosctr  27206  ssscongptld  27207  affineequivne  27212  angpieqvdlem  27213  angpieqvdlem2  27214  angpined  27215  angpieqvd  27216  chordthmlem  27217  chordthmlem2  27218  heron  27223  asinlem  27253  lgamgulmlem2  27414  lgamgulmlem3  27415  2sqmod  27820  ttgcontlem1  29519  brbtwn2  29540  axcontlem8  29606  subne0nn  33509  constrrtll  34474  constrrtlc1  34475  constrrtcclem  34477  constrrtcc  34478  constrfin  34489  constrelextdg2  34490  cos9thpiminplylem3  34527  signsvtn0  35310  unbdqndv2lem2  37591  bj-bary1lem  38499  bj-bary1lem1  38500  bj-bary1  38501  qdiff  38516  lcmineqlem11  43355  pellexlem6  44107  jm2.26lem3  44274  areaquad  44479  bcc0  45585  bccm1k  45587  abssubrp  46565  lptre2pt  46923  limclner  46934  climxrre  47033  cnrefiisplem  47112  fperdvper  47202  stoweidlem23  47306  wallispilem4  47351  wallispi  47353  wallispi2lem1  47354  wallispi2lem2  47355  wallispi2  47356  stirlinglem5  47361  fourierdlem4  47394  fourierdlem42  47432  fourierdlem74  47463  fourierdlem75  47464  fouriersw  47514  sigardiv  48144  sigarcol  48147  sharhght  48148  sqrtnnaa  48186  sqrtnzqaa  48187  affinecomb1  50145  affinecomb2  50146  1subrec1sub  50148  eenglngeehlnmlem1  50181  eenglngeehlnmlem2  50182  rrx2vlinest  50184  rrx2linest  50185  2itscp  50224  itscnhlinecirc02plem1  50225  itscnhlinecirc02p  50228