Theorem subne0d 11476

Description: Two unequal numbers have nonzero difference. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
subne0d.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
subne0d	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ≠ 0)

Proof of Theorem subne0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subne0d.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
2		negidd.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
3		pncand.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
4		subeq0 11382	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐵) = 0 ↔ 𝐴 = 𝐵))
5	2, 3, 4	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) = 0 ↔ 𝐴 = 𝐵))
6	5	necon3bid 2972	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) ≠ 0 ↔ 𝐴 ≠ 𝐵))
7	1, 6	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ≠ 0)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  (class class class)co 7341  ℂcc 10999  0cc0 11001   − cmin 11339

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663  ax-resscn 11058  ax-1cn 11059  ax-icn 11060  ax-addcl 11061  ax-addrcl 11062  ax-mulcl 11063  ax-mulrcl 11064  ax-mulcom 11065  ax-addass 11066  ax-mulass 11067  ax-distr 11068  ax-i2m1 11069  ax-1ne0 11070  ax-1rid 11071  ax-rnegex 11072  ax-rrecex 11073  ax-cnre 11074  ax-pre-lttri 11075  ax-pre-lttrn 11076  ax-pre-ltadd 11077

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4855  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5506  df-po 5519  df-so 5520  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-er 8617  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-pnf 11143  df-mnf 11144  df-ltxr 11146  df-sub 11341

This theorem is referenced by:  modsumfzodifsn  13846  abssubne0  15219  rlimuni  15452  climuni  15454  chnccat  18527  chnrev  18528  evth  24880  dvlem  25819  dvconst  25840  dvid  25841  dvcnp2  25843  dvcnp2OLD  25844  dvaddbr  25862  dvmulbr  25863  dvmulbrOLD  25864  dvcobr  25871  dvcobrOLD  25872  dvcjbr  25875  dvrec  25881  dvcnvlem  25902  dvferm2lem  25912  taylthlem2  26304  taylthlem2OLD  26305  ulmdvlem1  26331  ang180lem4  26744  ang180lem5  26745  ang180  26746  isosctrlem3  26752  isosctr  26753  ssscongptld  26754  affineequivne  26759  angpieqvdlem  26760  angpieqvdlem2  26761  angpined  26762  angpieqvd  26763  chordthmlem  26764  chordthmlem2  26765  heron  26770  asinlem  26800  lgamgulmlem2  26962  lgamgulmlem3  26963  2sqmod  27369  ttgcontlem1  28858  brbtwn2  28878  axcontlem8  28944  subne0nn  32796  constrrtll  33736  constrrtlc1  33737  constrrtcclem  33739  constrrtcc  33740  constrfin  33751  constrelextdg2  33752  cos9thpiminplylem3  33789  signsvtn0  34575  unbdqndv2lem2  36544  bj-bary1lem  37344  bj-bary1lem1  37345  bj-bary1  37346  lcmineqlem11  42072  pellexlem6  42867  jm2.26lem3  43034  areaquad  43249  bcc0  44373  bccm1k  44375  abssubrp  45317  lptre2pt  45678  limclner  45689  climxrre  45788  cnrefiisplem  45867  fperdvper  45957  stoweidlem23  46061  wallispilem4  46106  wallispi  46108  wallispi2lem1  46109  wallispi2lem2  46110  wallispi2  46111  stirlinglem5  46116  fourierdlem4  46149  fourierdlem42  46187  fourierdlem74  46218  fourierdlem75  46219  fouriersw  46269  sigardiv  46899  sigarcol  46902  sharhght  46903  affinecomb1  48734  affinecomb2  48735  1subrec1sub  48737  eenglngeehlnmlem1  48769  eenglngeehlnmlem2  48770  rrx2vlinest  48773  rrx2linest  48774  2itscp  48813  itscnhlinecirc02plem1  48814  itscnhlinecirc02p  48817