Theorem subne0d 11505

Description: Two unequal numbers have nonzero difference. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
subne0d.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
subne0d	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ≠ 0)

Proof of Theorem subne0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subne0d.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
2		negidd.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
3		pncand.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
4		subeq0 11411	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐵) = 0 ↔ 𝐴 = 𝐵))
5	2, 3, 4	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) = 0 ↔ 𝐴 = 𝐵))
6	5	necon3bid 2977	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) ≠ 0 ↔ 𝐴 ≠ 𝐵))
7	1, 6	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ≠ 0)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  (class class class)co 7360  ℂcc 11027  0cc0 11029   − cmin 11368

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5519  df-po 5532  df-so 5533  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-ltxr 11175  df-sub 11370

This theorem is referenced by:  modsumfzodifsn  13897  abssubne0  15270  rlimuni  15503  climuni  15505  chnccat  18583  chnrev  18584  evth  24936  dvlem  25873  dvconst  25894  dvid  25895  dvcnp2  25897  dvaddbr  25915  dvmulbr  25916  dvcobr  25923  dvcjbr  25926  dvrec  25932  dvcnvlem  25953  dvferm2lem  25963  taylthlem2  26351  taylthlem2OLD  26352  ulmdvlem1  26378  ang180lem4  26789  ang180lem5  26790  ang180  26791  isosctrlem3  26797  isosctr  26798  ssscongptld  26799  affineequivne  26804  angpieqvdlem  26805  angpieqvdlem2  26806  angpined  26807  angpieqvd  26808  chordthmlem  26809  chordthmlem2  26810  heron  26815  asinlem  26845  lgamgulmlem2  27007  lgamgulmlem3  27008  2sqmod  27413  ttgcontlem1  28967  brbtwn2  28988  axcontlem8  29054  subne0nn  32910  constrrtll  33891  constrrtlc1  33892  constrrtcclem  33894  constrrtcc  33895  constrfin  33906  constrelextdg2  33907  cos9thpiminplylem3  33944  signsvtn0  34730  unbdqndv2lem2  36786  bj-bary1lem  37640  bj-bary1lem1  37641  bj-bary1  37642  lcmineqlem11  42492  pellexlem6  43280  jm2.26lem3  43447  areaquad  43662  bcc0  44785  bccm1k  44787  abssubrp  45727  lptre2pt  46086  limclner  46097  climxrre  46196  cnrefiisplem  46275  fperdvper  46365  stoweidlem23  46469  wallispilem4  46514  wallispi  46516  wallispi2lem1  46517  wallispi2lem2  46518  wallispi2  46519  stirlinglem5  46524  fourierdlem4  46557  fourierdlem42  46595  fourierdlem74  46626  fourierdlem75  46627  fouriersw  46677  sigardiv  47307  sigarcol  47310  sharhght  47311  affinecomb1  49190  affinecomb2  49191  1subrec1sub  49193  eenglngeehlnmlem1  49225  eenglngeehlnmlem2  49226  rrx2vlinest  49229  rrx2linest  49230  2itscp  49269  itscnhlinecirc02plem1  49270  itscnhlinecirc02p  49273