Theorem subne0d 11574

Description: Two unequal numbers have nonzero difference. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
subne0d.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
subne0d	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ≠ 0)

Proof of Theorem subne0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subne0d.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
2		negidd.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
3		pncand.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
4		subeq0 11480	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐵) = 0 ↔ 𝐴 = 𝐵))
5	2, 3, 4	syl2anc 595	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) = 0 ↔ 𝐴 = 𝐵))
6	5	necon3bid 3008	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) ≠ 0 ↔ 𝐴 ≠ 𝐵))
7	1, 6	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ≠ 0)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964  (class class class)co 7408  ℂcc 11094  0cc0 11096   − cmin 11437

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-id 5554  df-po 5567  df-so 5568  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6490  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-ltxr 11244  df-sub 11439

This theorem is referenced by:  modsumfzodifsn  13976  abssubne0  15364  rlimuni  15597  climuni  15599  chnccat  18678  chnrev  18679  evth  25083  dvlem  26020  dvconst  26041  dvid  26042  dvcnp2  26044  dvaddbr  26062  dvmulbr  26063  dvcobr  26070  dvcjbr  26073  dvrec  26079  dvcnvlem  26100  dvferm2lem  26110  taylthlem2  26499  ulmdvlem1  26525  ang180lem4  26939  ang180lem5  26940  ang180  26941  isosctrlem3  26947  isosctr  26948  ssscongptld  26949  affineequivne  26954  angpieqvdlem  26955  angpieqvdlem2  26956  angpined  26957  angpieqvd  26958  chordthmlem  26959  chordthmlem2  26960  heron  26965  asinlem  26995  lgamgulmlem2  27156  lgamgulmlem3  27157  2sqmod  27562  ttgcontlem1  29171  brbtwn2  29192  axcontlem8  29258  subne0nn  33103  constrrtll  34062  constrrtlc1  34063  constrrtcclem  34065  constrrtcc  34066  constrfin  34077  constrelextdg2  34078  cos9thpiminplylem3  34115  signsvtn0  34898  unbdqndv2lem2  36984  bj-bary1lem  37837  bj-bary1lem1  37838  bj-bary1  37839  qdiff  37854  lcmineqlem11  42691  pellexlem6  43448  jm2.26lem3  43615  areaquad  43830  bcc0  44937  bccm1k  44939  abssubrp  45882  lptre2pt  46241  limclner  46252  climxrre  46351  cnrefiisplem  46430  fperdvper  46520  stoweidlem23  46624  wallispilem4  46669  wallispi  46671  wallispi2lem1  46672  wallispi2lem2  46673  wallispi2  46674  stirlinglem5  46679  fourierdlem4  46712  fourierdlem42  46750  fourierdlem74  46781  fourierdlem75  46782  fouriersw  46832  sigardiv  47462  sigarcol  47465  sharhght  47466  affinecomb1  49362  affinecomb2  49363  1subrec1sub  49365  eenglngeehlnmlem1  49397  eenglngeehlnmlem2  49398  rrx2vlinest  49401  rrx2linest  49402  2itscp  49441  itscnhlinecirc02plem1  49442  itscnhlinecirc02p  49445