Theorem subne0d 11387

Description: Two unequal numbers have nonzero difference. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
subne0d.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
subne0d	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ≠ 0)

Proof of Theorem subne0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subne0d.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
2		negidd.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
3		pncand.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
4		subeq0 11293	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐵) = 0 ↔ 𝐴 = 𝐵))
5	2, 3, 4	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) = 0 ↔ 𝐴 = 𝐵))
6	5	necon3bid 2986	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) ≠ 0 ↔ 𝐴 ≠ 𝐵))
7	1, 6	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ≠ 0)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   ≠ wne 2941  (class class class)co 7307  ℂcc 10915  0cc0 10917   − cmin 11251

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pow 5297  ax-pr 5361  ax-un 7620  ax-resscn 10974  ax-1cn 10975  ax-icn 10976  ax-addcl 10977  ax-addrcl 10978  ax-mulcl 10979  ax-mulrcl 10980  ax-mulcom 10981  ax-addass 10982  ax-mulass 10983  ax-distr 10984  ax-i2m1 10985  ax-1ne0 10986  ax-1rid 10987  ax-rnegex 10988  ax-rrecex 10989  ax-cnre 10990  ax-pre-lttri 10991  ax-pre-lttrn 10992  ax-pre-ltadd 10993

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3286  df-rab 3287  df-v 3439  df-sbc 3722  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4566  df-pr 4568  df-op 4572  df-uni 4845  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-id 5500  df-po 5514  df-so 5515  df-xp 5606  df-rel 5607  df-cnv 5608  df-co 5609  df-dm 5610  df-rn 5611  df-res 5612  df-ima 5613  df-iota 6410  df-fun 6460  df-fn 6461  df-f 6462  df-f1 6463  df-fo 6464  df-f1o 6465  df-fv 6466  df-riota 7264  df-ov 7310  df-oprab 7311  df-mpo 7312  df-er 8529  df-en 8765  df-dom 8766  df-sdom 8767  df-pnf 11057  df-mnf 11058  df-ltxr 11060  df-sub 11253

This theorem is referenced by:  modsumfzodifsn  13710  abssubne0  15073  rlimuni  15304  climuni  15306  evth  24167  dvlem  25105  dvconst  25126  dvid  25127  dvcnp2  25129  dvaddbr  25147  dvmulbr  25148  dvcobr  25155  dvcjbr  25158  dvrec  25164  dvcnvlem  25185  dvferm2lem  25195  taylthlem2  25578  ulmdvlem1  25604  ang180lem4  26007  ang180lem5  26008  ang180  26009  isosctrlem3  26015  isosctr  26016  ssscongptld  26017  affineequivne  26022  angpieqvdlem  26023  angpieqvdlem2  26024  angpined  26025  angpieqvd  26026  chordthmlem  26027  chordthmlem2  26028  heron  26033  asinlem  26063  lgamgulmlem2  26224  lgamgulmlem3  26225  2sqmod  26629  ttgcontlem1  27297  brbtwn2  27318  axcontlem8  27384  subne0nn  31180  signsvtn0  32594  unbdqndv2lem2  34735  bj-bary1lem  35525  bj-bary1lem1  35526  bj-bary1  35527  lcmineqlem11  40089  pellexlem6  40693  jm2.26lem3  40861  areaquad  41085  bcc0  41996  bccm1k  41998  abssubrp  42862  lptre2pt  43230  limclner  43241  climxrre  43340  cnrefiisplem  43419  fperdvper  43509  stoweidlem23  43613  wallispilem4  43658  wallispi  43660  wallispi2lem1  43661  wallispi2lem2  43662  wallispi2  43663  stirlinglem5  43668  fourierdlem4  43701  fourierdlem42  43739  fourierdlem74  43770  fourierdlem75  43771  fouriersw  43821  sigardiv  44435  sigarcol  44438  sharhght  44439  affinecomb1  46106  affinecomb2  46107  1subrec1sub  46109  eenglngeehlnmlem1  46141  eenglngeehlnmlem2  46142  rrx2vlinest  46145  rrx2linest  46146  2itscp  46185  itscnhlinecirc02plem1  46186  itscnhlinecirc02p  46189