Theorem subne0d 11573

Description: Two unequal numbers have nonzero difference. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
subne0d.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
subne0d	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ≠ 0)

Proof of Theorem subne0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subne0d.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
2		negidd.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
3		pncand.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
4		subeq0 11479	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐵) = 0 ↔ 𝐴 = 𝐵))
5	2, 3, 4	syl2anc 595	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) = 0 ↔ 𝐴 = 𝐵))
6	5	necon3bid 3002	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) ≠ 0 ↔ 𝐴 ≠ 𝐵))
7	1, 6	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ≠ 0)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  (class class class)co 7410  ℂcc 11093  0cc0 11095   − cmin 11436

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5556  df-po 5569  df-so 5570  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-ltxr 11243  df-sub 11438

This theorem is referenced by:  modsumfzodifsn  13976  abssubne0  15364  rlimuni  15597  climuni  15599  chnccat  18677  chnrev  18678  evth  25118  dvlem  26055  dvconst  26076  dvid  26077  dvcnp2  26079  dvaddbr  26097  dvmulbr  26098  dvcobr  26105  dvcjbr  26108  dvrec  26114  dvcnvlem  26135  dvferm2lem  26145  taylthlem2  26537  ulmdvlem1  26563  ang180lem4  26977  ang180lem5  26978  ang180  26979  isosctrlem3  26985  isosctr  26986  ssscongptld  26987  affineequivne  26992  angpieqvdlem  26993  angpieqvdlem2  26994  angpined  26995  angpieqvd  26996  chordthmlem  26997  chordthmlem2  26998  heron  27003  asinlem  27033  lgamgulmlem2  27194  lgamgulmlem3  27195  2sqmod  27600  ttgcontlem1  29234  brbtwn2  29255  axcontlem8  29321  subne0nn  33166  constrrtll  34121  constrrtlc1  34122  constrrtcclem  34124  constrrtcc  34125  constrfin  34136  constrelextdg2  34137  cos9thpiminplylem3  34174  signsvtn0  34957  unbdqndv2lem2  37099  bj-bary1lem  37954  bj-bary1lem1  37955  bj-bary1  37956  qdiff  37971  lcmineqlem11  42806  pellexlem6  43561  jm2.26lem3  43728  areaquad  43943  bcc0  45050  bccm1k  45052  abssubrp  45995  lptre2pt  46354  limclner  46365  climxrre  46464  cnrefiisplem  46543  fperdvper  46633  stoweidlem23  46737  wallispilem4  46782  wallispi  46784  wallispi2lem1  46785  wallispi2lem2  46786  wallispi2  46787  stirlinglem5  46792  fourierdlem4  46825  fourierdlem42  46863  fourierdlem74  46894  fourierdlem75  46895  fouriersw  46945  sigardiv  47575  sigarcol  47578  sharhght  47579  sqrtnnaa  47604  sqrtnzqaa  47605  affinecomb1  49482  affinecomb2  49483  1subrec1sub  49485  eenglngeehlnmlem1  49517  eenglngeehlnmlem2  49518  rrx2vlinest  49521  rrx2linest  49522  2itscp  49561  itscnhlinecirc02plem1  49562  itscnhlinecirc02p  49565