Theorem subne0d 11589

Description: Two unequal numbers have nonzero difference. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
subne0d.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
subne0d	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ≠ 0)

Proof of Theorem subne0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subne0d.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
2		negidd.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
3		pncand.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
4		subeq0 11495	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐵) = 0 ↔ 𝐴 = 𝐵))
5	2, 3, 4	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) = 0 ↔ 𝐴 = 𝐵))
6	5	necon3bid 3004	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) ≠ 0 ↔ 𝐴 ≠ 𝐵))
7	1, 6	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ≠ 0)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960  (class class class)co 7416  ℂcc 11109  0cc0 11111   − cmin 11452

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-mulcom 11175  ax-addass 11176  ax-mulass 11177  ax-distr 11178  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-1rid 11181  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186  ax-pre-ltadd 11187

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-po 5571  df-so 5572  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-er 8696  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-ltxr 11259  df-sub 11454

This theorem is used by:  modsumfzodifsn  13994  abssubne0  15388  rlimuni  15621  climuni  15623  chnccat  18700  chnrev  18701  evth  25149  dvlem  26086  dvconst  26107  dvid  26108  dvcnp2  26110  dvaddbr  26128  dvmulbr  26129  dvcobr  26136  dvcjbr  26139  dvrec  26145  dvcnvlem  26166  dvferm2lem  26176  taylthlem2  26568  ulmdvlem1  26594  ang180lem4  27008  ang180lem5  27009  ang180  27010  isosctrlem3  27016  isosctr  27017  ssscongptld  27018  affineequivne  27023  angpieqvdlem  27024  angpieqvdlem2  27025  angpined  27026  angpieqvd  27027  chordthmlem  27028  chordthmlem2  27029  heron  27034  asinlem  27064  lgamgulmlem2  27225  lgamgulmlem3  27226  2sqmod  27631  ttgcontlem1  29265  brbtwn2  29286  axcontlem8  29352  subne0nn  33212  constrrtll  34161  constrrtlc1  34162  constrrtcclem  34164  constrrtcc  34165  constrfin  34176  constrelextdg2  34177  cos9thpiminplylem3  34214  signsvtn0  34998  unbdqndv2lem2  37132  bj-bary1lem  37987  bj-bary1lem1  37988  bj-bary1  37989  qdiff  38004  lcmineqlem11  42839  pellexlem6  43594  jm2.26lem3  43761  areaquad  43976  bcc0  45083  bccm1k  45085  abssubrp  46028  lptre2pt  46387  limclner  46398  climxrre  46497  cnrefiisplem  46576  fperdvper  46666  stoweidlem23  46770  wallispilem4  46815  wallispi  46817  wallispi2lem1  46818  wallispi2lem2  46819  wallispi2  46820  stirlinglem5  46825  fourierdlem4  46858  fourierdlem42  46896  fourierdlem74  46927  fourierdlem75  46928  fouriersw  46978  sigardiv  47608  sigarcol  47611  sharhght  47612  sqrtnnaa  47637  sqrtnzqaa  47638  affinecomb1  49515  affinecomb2  49516  1subrec1sub  49518  eenglngeehlnmlem1  49550  eenglngeehlnmlem2  49551  rrx2vlinest  49554  rrx2linest  49555  2itscp  49594  itscnhlinecirc02plem1  49595  itscnhlinecirc02p  49598