Theorem subne0d 11626

Description: Two unequal numbers have nonzero difference. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
subne0d.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
subne0d	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ≠ 0)

Proof of Theorem subne0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subne0d.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
2		negidd.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
3		pncand.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
4		subeq0 11532	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐵) = 0 ↔ 𝐴 = 𝐵))
5	2, 3, 4	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) = 0 ↔ 𝐴 = 𝐵))
6	5	necon3bid 2982	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) ≠ 0 ↔ 𝐴 ≠ 𝐵))
7	1, 6	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ≠ 0)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1536   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2937  (class class class)co 7430  ℂcc 11150  0cc0 11152   − cmin 11489

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5582  df-po 5596  df-so 5597  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-ltxr 11297  df-sub 11491

This theorem is referenced by:  modsumfzodifsn  13981  abssubne0  15351  rlimuni  15582  climuni  15584  evth  25004  dvlem  25945  dvconst  25966  dvid  25967  dvcnp2  25969  dvcnp2OLD  25970  dvaddbr  25988  dvmulbr  25989  dvmulbrOLD  25990  dvcobr  25997  dvcobrOLD  25998  dvcjbr  26001  dvrec  26007  dvcnvlem  26028  dvferm2lem  26038  taylthlem2  26430  taylthlem2OLD  26431  ulmdvlem1  26457  ang180lem4  26869  ang180lem5  26870  ang180  26871  isosctrlem3  26877  isosctr  26878  ssscongptld  26879  affineequivne  26884  angpieqvdlem  26885  angpieqvdlem2  26886  angpined  26887  angpieqvd  26888  chordthmlem  26889  chordthmlem2  26890  heron  26895  asinlem  26925  lgamgulmlem2  27087  lgamgulmlem3  27088  2sqmod  27494  ttgcontlem1  28913  brbtwn2  28934  axcontlem8  29000  subne0nn  32827  constrrtll  33736  constrrtlc1  33737  constrrtcclem  33739  constrrtcc  33740  constrfin  33750  constrelextdg2  33751  signsvtn0  34563  unbdqndv2lem2  36492  bj-bary1lem  37292  bj-bary1lem1  37293  bj-bary1  37294  lcmineqlem11  42020  pellexlem6  42821  jm2.26lem3  42989  areaquad  43204  bcc0  44335  bccm1k  44337  abssubrp  45225  lptre2pt  45595  limclner  45606  climxrre  45705  cnrefiisplem  45784  fperdvper  45874  stoweidlem23  45978  wallispilem4  46023  wallispi  46025  wallispi2lem1  46026  wallispi2lem2  46027  wallispi2  46028  stirlinglem5  46033  fourierdlem4  46066  fourierdlem42  46104  fourierdlem74  46135  fourierdlem75  46136  fouriersw  46186  sigardiv  46816  sigarcol  46819  sharhght  46820  affinecomb1  48551  affinecomb2  48552  1subrec1sub  48554  eenglngeehlnmlem1  48586  eenglngeehlnmlem2  48587  rrx2vlinest  48590  rrx2linest  48591  2itscp  48630  itscnhlinecirc02plem1  48631  itscnhlinecirc02p  48634