Theorem subne0d 11672

Description: Two unequal numbers have nonzero difference. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
subne0d.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
subne0d	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ≠ 0)

Proof of Theorem subne0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subne0d.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
2		negidd.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
3		pncand.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
4	2, 3	subeq0ad 11670	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) = 0 ↔ 𝐴 = 𝐵))
5	4	necon3bid 3000	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) ≠ 0 ↔ 𝐴 ≠ 𝐵))
6	1, 5	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ≠ 0)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  (class class class)co 7418  ℂcc 11191  0cc0 11193   − cmin 11534

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-po 5559  df-so 5560  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-er 8710  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-ltxr 11341  df-sub 11536

This theorem is used by:  modsumfzodifsn  14080  abssubne0  15477  rlimuni  15710  climuni  15712  chnccat  18793  chnrev  18794  evth  25273  dvlem  26209  dvconst  26230  dvid  26231  dvcnp2  26233  dvaddbr  26251  dvmulbr  26252  dvcobr  26259  dvcjbr  26262  dvrec  26268  dvcnvlem  26289  dvferm2lem  26299  taylthlem2  26694  ulmdvlem1  26720  ang180lem4  27133  ang180lem5  27134  ang180  27135  isosctrlem3  27141  isosctr  27142  ssscongptld  27143  affineequivne  27148  angpieqvdlem  27149  angpieqvdlem2  27150  angpined  27151  angpieqvd  27152  chordthmlem  27153  chordthmlem2  27154  heron  27159  asinlem  27189  lgamgulmlem2  27350  lgamgulmlem3  27351  2sqmod  27756  ttgcontlem1  29455  brbtwn2  29476  axcontlem8  29542  subne0nn  33406  constrrtll  34356  constrrtlc1  34357  constrrtcclem  34359  constrrtcc  34360  constrfin  34371  constrelextdg2  34372  cos9thpiminplylem3  34409  signsvtn0  35192  unbdqndv2lem2  37356  bj-bary1lem  38211  bj-bary1lem1  38212  bj-bary1  38213  qdiff  38228  lcmineqlem11  43069  pellexlem6  43820  jm2.26lem3  43987  areaquad  44202  bcc0  45309  bccm1k  45311  abssubrp  46261  lptre2pt  46619  limclner  46630  climxrre  46729  cnrefiisplem  46808  fperdvper  46898  stoweidlem23  47002  wallispilem4  47047  wallispi  47049  wallispi2lem1  47050  wallispi2lem2  47051  wallispi2  47052  stirlinglem5  47057  fourierdlem4  47090  fourierdlem42  47128  fourierdlem74  47159  fourierdlem75  47160  fouriersw  47210  sigardiv  47840  sigarcol  47843  sharhght  47844  sqrtnnaa  47882  sqrtnzqaa  47883  affinecomb1  49783  affinecomb2  49784  1subrec1sub  49786  eenglngeehlnmlem1  49818  eenglngeehlnmlem2  49819  rrx2vlinest  49822  rrx2linest  49823  2itscp  49862  itscnhlinecirc02plem1  49863  itscnhlinecirc02p  49866