Theorem subne0d 11163

Description: Two unequal numbers have nonzero difference. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
subne0d.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
subne0d	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ≠ 0)

Proof of Theorem subne0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subne0d.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
2		negidd.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
3		pncand.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
4		subeq0 11069	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐵) = 0 ↔ 𝐴 = 𝐵))
5	2, 3, 4	syl2anc 587	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) = 0 ↔ 𝐴 = 𝐵))
6	5	necon3bid 2976	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) ≠ 0 ↔ 𝐴 ≠ 𝐵))
7	1, 6	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ≠ 0)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1543   ∈ wcel 2112   ≠ wne 2932  (class class class)co 7191  ℂcc 10692  0cc0 10694   − cmin 11027

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2018  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7501  ax-resscn 10751  ax-1cn 10752  ax-icn 10753  ax-addcl 10754  ax-addrcl 10755  ax-mulcl 10756  ax-mulrcl 10757  ax-mulcom 10758  ax-addass 10759  ax-mulass 10760  ax-distr 10761  ax-i2m1 10762  ax-1ne0 10763  ax-1rid 10764  ax-rnegex 10765  ax-rrecex 10766  ax-cnre 10767  ax-pre-lttri 10768  ax-pre-lttrn 10769  ax-pre-ltadd 10770

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2809  df-nfc 2879  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rab 3060  df-v 3400  df-sbc 3684  df-csb 3799  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-nul 4224  df-if 4426  df-pw 4501  df-sn 4528  df-pr 4530  df-op 4534  df-uni 4806  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5121  df-id 5440  df-po 5453  df-so 5454  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-iota 6316  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-riota 7148  df-ov 7194  df-oprab 7195  df-mpo 7196  df-er 8369  df-en 8605  df-dom 8606  df-sdom 8607  df-pnf 10834  df-mnf 10835  df-ltxr 10837  df-sub 11029

This theorem is referenced by:  modsumfzodifsn  13482  abssubne0  14845  rlimuni  15076  climuni  15078  evth  23810  dvlem  24747  dvconst  24768  dvid  24769  dvcnp2  24771  dvaddbr  24789  dvmulbr  24790  dvcobr  24797  dvcjbr  24800  dvrec  24806  dvcnvlem  24827  dvferm2lem  24837  taylthlem2  25220  ulmdvlem1  25246  ang180lem4  25649  ang180lem5  25650  ang180  25651  isosctrlem3  25657  isosctr  25658  ssscongptld  25659  affineequivne  25664  angpieqvdlem  25665  angpieqvdlem2  25666  angpined  25667  angpieqvd  25668  chordthmlem  25669  chordthmlem2  25670  heron  25675  asinlem  25705  lgamgulmlem2  25866  lgamgulmlem3  25867  2sqmod  26271  ttgcontlem1  26930  brbtwn2  26950  axcontlem8  27016  subne0nn  30809  signsvtn0  32215  unbdqndv2lem2  34376  bj-bary1lem  35164  bj-bary1lem1  35165  bj-bary1  35166  lcmineqlem11  39730  pellexlem6  40300  jm2.26lem3  40467  areaquad  40691  bcc0  41572  bccm1k  41574  abssubrp  42427  lptre2pt  42799  limclner  42810  climxrre  42909  cnrefiisplem  42988  fperdvper  43078  stoweidlem23  43182  wallispilem4  43227  wallispi  43229  wallispi2lem1  43230  wallispi2lem2  43231  wallispi2  43232  stirlinglem5  43237  fourierdlem4  43270  fourierdlem42  43308  fourierdlem74  43339  fourierdlem75  43340  fouriersw  43390  sigardiv  43992  sigarcol  43995  sharhght  43996  affinecomb1  45664  affinecomb2  45665  1subrec1sub  45667  eenglngeehlnmlem1  45699  eenglngeehlnmlem2  45700  rrx2vlinest  45703  rrx2linest  45704  2itscp  45743  itscnhlinecirc02plem1  45744  itscnhlinecirc02p  45747