Theorem subne0d 11603

Description: Two unequal numbers have nonzero difference. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
subne0d.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
subne0d	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ≠ 0)

Proof of Theorem subne0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subne0d.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
2		negidd.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
3		pncand.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
4	2, 3	subeq0ad 11601	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) = 0 ↔ 𝐴 = 𝐵))
5	4	necon3bid 2999	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) ≠ 0 ↔ 𝐴 ≠ 𝐵))
6	1, 5	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ≠ 0)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  (class class class)co 7413  ℂcc 11122  0cc0 11124   − cmin 11465

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5550  df-po 5563  df-so 5564  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-ltxr 11272  df-sub 11467

This theorem is used by:  modsumfzodifsn  14008  abssubne0  15404  rlimuni  15637  climuni  15639  chnccat  18714  chnrev  18715  evth  25187  dvlem  26123  dvconst  26144  dvid  26145  dvcnp2  26147  dvaddbr  26165  dvmulbr  26166  dvcobr  26173  dvcjbr  26176  dvrec  26182  dvcnvlem  26203  dvferm2lem  26213  taylthlem2  26610  ulmdvlem1  26636  ang180lem4  27049  ang180lem5  27050  ang180  27051  isosctrlem3  27057  isosctr  27058  ssscongptld  27059  affineequivne  27064  angpieqvdlem  27065  angpieqvdlem2  27066  angpined  27067  angpieqvd  27068  chordthmlem  27069  chordthmlem2  27070  heron  27075  asinlem  27105  lgamgulmlem2  27266  lgamgulmlem3  27267  2sqmod  27672  ttgcontlem1  29341  brbtwn2  29362  axcontlem8  29428  subne0nn  33292  constrrtll  34241  constrrtlc1  34242  constrrtcclem  34244  constrrtcc  34245  constrfin  34256  constrelextdg2  34257  cos9thpiminplylem3  34294  signsvtn0  35078  unbdqndv2lem2  37207  bj-bary1lem  38062  bj-bary1lem1  38063  bj-bary1  38064  qdiff  38079  lcmineqlem11  42905  pellexlem6  43675  jm2.26lem3  43842  areaquad  44057  bcc0  45164  bccm1k  45166  abssubrp  46109  lptre2pt  46468  limclner  46479  climxrre  46578  cnrefiisplem  46657  fperdvper  46747  stoweidlem23  46851  wallispilem4  46896  wallispi  46898  wallispi2lem1  46899  wallispi2lem2  46900  wallispi2  46901  stirlinglem5  46906  fourierdlem4  46939  fourierdlem42  46977  fourierdlem74  47008  fourierdlem75  47009  fouriersw  47059  sigardiv  47689  sigarcol  47692  sharhght  47693  sqrtnnaa  47731  sqrtnzqaa  47732  affinecomb1  49632  affinecomb2  49633  1subrec1sub  49635  eenglngeehlnmlem1  49667  eenglngeehlnmlem2  49668  rrx2vlinest  49671  rrx2linest  49672  2itscp  49711  itscnhlinecirc02plem1  49712  itscnhlinecirc02p  49715