Theorem subne0d 11505

Description: Two unequal numbers have nonzero difference. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
subne0d.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
subne0d	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ≠ 0)

Proof of Theorem subne0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subne0d.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
2		negidd.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
3		pncand.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
4		subeq0 11411	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐵) = 0 ↔ 𝐴 = 𝐵))
5	2, 3, 4	syl2anc 590	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) = 0 ↔ 𝐴 = 𝐵))
6	5	necon3bid 2978	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) ≠ 0 ↔ 𝐴 ≠ 𝐵))
7	1, 6	mpbird 258	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ≠ 0)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2934  (class class class)co 7356  ℂcc 11027  0cc0 11029   − cmin 11368

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-id 5513  df-po 5526  df-so 5527  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-er 8633  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-ltxr 11175  df-sub 11370

This theorem is referenced by:  modsumfzodifsn  13897  abssubne0  15270  rlimuni  15503  climuni  15505  chnccat  18583  chnrev  18584  evth  24944  dvlem  25881  dvconst  25902  dvid  25903  dvcnp2  25905  dvaddbr  25923  dvmulbr  25924  dvcobr  25931  dvcjbr  25934  dvrec  25940  dvcnvlem  25961  dvferm2lem  25971  taylthlem2  26357  ulmdvlem1  26383  ang180lem4  26794  ang180lem5  26795  ang180  26796  isosctrlem3  26802  isosctr  26803  ssscongptld  26804  affineequivne  26809  angpieqvdlem  26810  angpieqvdlem2  26811  angpined  26812  angpieqvd  26813  chordthmlem  26814  chordthmlem2  26815  heron  26820  asinlem  26850  lgamgulmlem2  27011  lgamgulmlem3  27012  2sqmod  27417  ttgcontlem1  28971  brbtwn2  28992  axcontlem8  29058  subne0nn  32914  constrrtll  33915  constrrtlc1  33916  constrrtcclem  33918  constrrtcc  33919  constrfin  33930  constrelextdg2  33931  cos9thpiminplylem3  33968  signsvtn0  34754  unbdqndv2lem2  36816  bj-bary1lem  37670  bj-bary1lem1  37671  bj-bary1  37672  qdiff  37687  lcmineqlem11  42524  pellexlem6  43279  jm2.26lem3  43446  areaquad  43661  bcc0  44784  bccm1k  44786  abssubrp  45724  lptre2pt  46083  limclner  46094  climxrre  46193  cnrefiisplem  46272  fperdvper  46362  stoweidlem23  46466  wallispilem4  46511  wallispi  46513  wallispi2lem1  46514  wallispi2lem2  46515  wallispi2  46516  stirlinglem5  46521  fourierdlem4  46554  fourierdlem42  46592  fourierdlem74  46623  fourierdlem75  46624  fouriersw  46674  sigardiv  47304  sigarcol  47307  sharhght  47308  affinecomb1  49193  affinecomb2  49194  1subrec1sub  49196  eenglngeehlnmlem1  49228  eenglngeehlnmlem2  49229  rrx2vlinest  49232  rrx2linest  49233  2itscp  49272  itscnhlinecirc02plem1  49273  itscnhlinecirc02p  49276