Theorem subne0d 11492

Description: Two unequal numbers have nonzero difference. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
subne0d.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
subne0d	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ≠ 0)

Proof of Theorem subne0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subne0d.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
2		negidd.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
3		pncand.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
4		subeq0 11398	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐵) = 0 ↔ 𝐴 = 𝐵))
5	2, 3, 4	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) = 0 ↔ 𝐴 = 𝐵))
6	5	necon3bid 2973	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) ≠ 0 ↔ 𝐴 ≠ 𝐵))
7	1, 6	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ≠ 0)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2929  (class class class)co 7355  ℂcc 11015  0cc0 11017   − cmin 11355

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-resscn 11074  ax-1cn 11075  ax-icn 11076  ax-addcl 11077  ax-addrcl 11078  ax-mulcl 11079  ax-mulrcl 11080  ax-mulcom 11081  ax-addass 11082  ax-mulass 11083  ax-distr 11084  ax-i2m1 11085  ax-1ne0 11086  ax-1rid 11087  ax-rnegex 11088  ax-rrecex 11089  ax-cnre 11090  ax-pre-lttri 11091  ax-pre-lttrn 11092  ax-pre-ltadd 11093

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5516  df-po 5529  df-so 5530  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-er 8631  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11159  df-mnf 11160  df-ltxr 11162  df-sub 11357

This theorem is referenced by:  modsumfzodifsn  13858  abssubne0  15231  rlimuni  15464  climuni  15466  chnccat  18540  chnrev  18541  evth  24905  dvlem  25844  dvconst  25865  dvid  25866  dvcnp2  25868  dvcnp2OLD  25869  dvaddbr  25887  dvmulbr  25888  dvmulbrOLD  25889  dvcobr  25896  dvcobrOLD  25897  dvcjbr  25900  dvrec  25906  dvcnvlem  25927  dvferm2lem  25937  taylthlem2  26329  taylthlem2OLD  26330  ulmdvlem1  26356  ang180lem4  26769  ang180lem5  26770  ang180  26771  isosctrlem3  26777  isosctr  26778  ssscongptld  26779  affineequivne  26784  angpieqvdlem  26785  angpieqvdlem2  26786  angpined  26787  angpieqvd  26788  chordthmlem  26789  chordthmlem2  26790  heron  26795  asinlem  26825  lgamgulmlem2  26987  lgamgulmlem3  26988  2sqmod  27394  ttgcontlem1  28883  brbtwn2  28904  axcontlem8  28970  subne0nn  32830  constrrtll  33816  constrrtlc1  33817  constrrtcclem  33819  constrrtcc  33820  constrfin  33831  constrelextdg2  33832  cos9thpiminplylem3  33869  signsvtn0  34655  unbdqndv2lem2  36626  bj-bary1lem  37427  bj-bary1lem1  37428  bj-bary1  37429  lcmineqlem11  42205  pellexlem6  42991  jm2.26lem3  43158  areaquad  43373  bcc0  44497  bccm1k  44499  abssubrp  45440  lptre2pt  45800  limclner  45811  climxrre  45910  cnrefiisplem  45989  fperdvper  46079  stoweidlem23  46183  wallispilem4  46228  wallispi  46230  wallispi2lem1  46231  wallispi2lem2  46232  wallispi2  46233  stirlinglem5  46238  fourierdlem4  46271  fourierdlem42  46309  fourierdlem74  46340  fourierdlem75  46341  fouriersw  46391  sigardiv  47021  sigarcol  47024  sharhght  47025  affinecomb1  48864  affinecomb2  48865  1subrec1sub  48867  eenglngeehlnmlem1  48899  eenglngeehlnmlem2  48900  rrx2vlinest  48903  rrx2linest  48904  2itscp  48943  itscnhlinecirc02plem1  48944  itscnhlinecirc02p  48947