Theorem subne0d 11595

Description: Two unequal numbers have nonzero difference. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
subne0d.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
subne0d	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ≠ 0)

Proof of Theorem subne0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subne0d.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
2		negidd.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
3		pncand.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
4		subeq0 11501	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐵) = 0 ↔ 𝐴 = 𝐵))
5	2, 3, 4	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) = 0 ↔ 𝐴 = 𝐵))
6	5	necon3bid 2975	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) ≠ 0 ↔ 𝐴 ≠ 𝐵))
7	1, 6	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ≠ 0)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2931  (class class class)co 7399  ℂcc 11119  0cc0 11121   − cmin 11458

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-sep 5263  ax-nul 5273  ax-pow 5332  ax-pr 5399  ax-un 7723  ax-resscn 11178  ax-1cn 11179  ax-icn 11180  ax-addcl 11181  ax-addrcl 11182  ax-mulcl 11183  ax-mulrcl 11184  ax-mulcom 11185  ax-addass 11186  ax-mulass 11187  ax-distr 11188  ax-i2m1 11189  ax-1ne0 11190  ax-1rid 11191  ax-rnegex 11192  ax-rrecex 11193  ax-cnre 11194  ax-pre-lttri 11195  ax-pre-lttrn 11196  ax-pre-ltadd 11197

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3358  df-rab 3414  df-v 3459  df-sbc 3764  df-csb 3873  df-dif 3927  df-un 3929  df-in 3931  df-ss 3941  df-nul 4307  df-if 4499  df-pw 4575  df-sn 4600  df-pr 4602  df-op 4606  df-uni 4881  df-br 5117  df-opab 5179  df-mpt 5199  df-id 5545  df-po 5558  df-so 5559  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6480  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-riota 7356  df-ov 7402  df-oprab 7403  df-mpo 7404  df-er 8713  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-ltxr 11266  df-sub 11460

This theorem is referenced by:  modsumfzodifsn  13951  abssubne0  15322  rlimuni  15553  climuni  15555  evth  24894  dvlem  25834  dvconst  25855  dvid  25856  dvcnp2  25858  dvcnp2OLD  25859  dvaddbr  25877  dvmulbr  25878  dvmulbrOLD  25879  dvcobr  25886  dvcobrOLD  25887  dvcjbr  25890  dvrec  25896  dvcnvlem  25917  dvferm2lem  25927  taylthlem2  26319  taylthlem2OLD  26320  ulmdvlem1  26346  ang180lem4  26758  ang180lem5  26759  ang180  26760  isosctrlem3  26766  isosctr  26767  ssscongptld  26768  affineequivne  26773  angpieqvdlem  26774  angpieqvdlem2  26775  angpined  26776  angpieqvd  26777  chordthmlem  26778  chordthmlem2  26779  heron  26784  asinlem  26814  lgamgulmlem2  26976  lgamgulmlem3  26977  2sqmod  27383  ttgcontlem1  28796  brbtwn2  28816  axcontlem8  28882  subne0nn  32733  constrrtll  33681  constrrtlc1  33682  constrrtcclem  33684  constrrtcc  33685  constrfin  33696  constrelextdg2  33697  signsvtn0  34523  unbdqndv2lem2  36449  bj-bary1lem  37249  bj-bary1lem1  37250  bj-bary1  37251  lcmineqlem11  41974  pellexlem6  42782  jm2.26lem3  42950  areaquad  43165  bcc0  44290  bccm1k  44292  abssubrp  45231  lptre2pt  45599  limclner  45610  climxrre  45709  cnrefiisplem  45788  fperdvper  45878  stoweidlem23  45982  wallispilem4  46027  wallispi  46029  wallispi2lem1  46030  wallispi2lem2  46031  wallispi2  46032  stirlinglem5  46037  fourierdlem4  46070  fourierdlem42  46108  fourierdlem74  46139  fourierdlem75  46140  fouriersw  46190  sigardiv  46820  sigarcol  46823  sharhght  46824  affinecomb1  48568  affinecomb2  48569  1subrec1sub  48571  eenglngeehlnmlem1  48603  eenglngeehlnmlem2  48604  rrx2vlinest  48607  rrx2linest  48608  2itscp  48647  itscnhlinecirc02plem1  48648  itscnhlinecirc02p  48651