Theorem aleph11 10190

Description: The aleph function is one-to-one. (Contributed by NM, 3-Aug-2004.)

Assertion

Ref	Expression
aleph11	⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → ((ℵ‘𝐴) = (ℵ‘𝐵) ↔ 𝐴 = 𝐵))

Proof of Theorem aleph11

Step	Hyp	Ref	Expression
1		alephord3 10184	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ (ℵ‘𝐴) ⊆ (ℵ‘𝐵)))
2		alephord3 10184	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → (𝐵 ⊆ 𝐴 ↔ (ℵ‘𝐵) ⊆ (ℵ‘𝐴)))
3	2	ancoms 464	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐵 ⊆ 𝐴 ↔ (ℵ‘𝐵) ⊆ (ℵ‘𝐴)))
4	1, 3	anbi12d 644	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) ↔ ((ℵ‘𝐴) ⊆ (ℵ‘𝐵) ∧ (ℵ‘𝐵) ⊆ (ℵ‘𝐴))))
5		eqss 3928	. . 3 ⊢ (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴))
6		eqss 3928	. . 3 ⊢ ((ℵ‘𝐴) = (ℵ‘𝐵) ↔ ((ℵ‘𝐴) ⊆ (ℵ‘𝐵) ∧ (ℵ‘𝐵) ⊆ (ℵ‘𝐴)))
7	4, 5, 6	3bitr4g 317	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 = 𝐵 ↔ (ℵ‘𝐴) = (ℵ‘𝐵)))
8	7	bicomd 226	1 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → ((ℵ‘𝐴) = (ℵ‘𝐵) ↔ 𝐴 = 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ⊆ wss 3900  Oncon0 6380  ‘cfv 6558  ℵcale 10044

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-inf2 9669

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-isom 6567  df-riota 7400  df-ov 7446  df-om 7902  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-1o 8504  df-er 8745  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-fin 9005  df-oi 9531  df-har 9578  df-card 10047  df-aleph 10048

This theorem is used by:  alephf1  10191  alephiso  10204