MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  alephord3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem alephord3 9717
Description: Ordering property of the aleph function. (Contributed by NM, 11-Nov-2003.)
Assertion
Ref Expression
alephord3 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴𝐵 ↔ (ℵ‘𝐴) ⊆ (ℵ‘𝐵)))

Proof of Theorem alephord3
StepHypRef Expression
1 alephord2 9715 . . . 4 ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → (𝐵𝐴 ↔ (ℵ‘𝐵) ∈ (ℵ‘𝐴)))
21ancoms 462 . . 3 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐵𝐴 ↔ (ℵ‘𝐵) ∈ (ℵ‘𝐴)))
32notbid 321 . 2 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (¬ 𝐵𝐴 ↔ ¬ (ℵ‘𝐵) ∈ (ℵ‘𝐴)))
4 ontri1 6265 . 2 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴𝐵 ↔ ¬ 𝐵𝐴))
5 alephon 9708 . . . 4 (ℵ‘𝐴) ∈ On
6 alephon 9708 . . . 4 (ℵ‘𝐵) ∈ On
7 ontri1 6265 . . . 4 (((ℵ‘𝐴) ∈ On ∧ (ℵ‘𝐵) ∈ On) → ((ℵ‘𝐴) ⊆ (ℵ‘𝐵) ↔ ¬ (ℵ‘𝐵) ∈ (ℵ‘𝐴)))
85, 6, 7mp2an 692 . . 3 ((ℵ‘𝐴) ⊆ (ℵ‘𝐵) ↔ ¬ (ℵ‘𝐵) ∈ (ℵ‘𝐴))
98a1i 11 . 2 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → ((ℵ‘𝐴) ⊆ (ℵ‘𝐵) ↔ ¬ (ℵ‘𝐵) ∈ (ℵ‘𝐴)))
103, 4, 93bitr4d 314 1 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴𝐵 ↔ (ℵ‘𝐴) ⊆ (ℵ‘𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399  wcel 2111  wss 3881  Oncon0 6231  cfv 6398  cale 9577
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2709  ax-rep 5194  ax-sep 5207  ax-nul 5214  ax-pow 5273  ax-pr 5337  ax-un 7542  ax-inf2 9281
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2072  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-ral 3067  df-rex 3068  df-reu 3069  df-rmo 3070  df-rab 3071  df-v 3423  df-sbc 3710  df-csb 3827  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4253  df-if 4455  df-pw 4530  df-sn 4557  df-pr 4559  df-tp 4561  df-op 4563  df-uni 4835  df-int 4875  df-iun 4921  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5151  df-tr 5177  df-id 5470  df-eprel 5475  df-po 5483  df-so 5484  df-fr 5524  df-se 5525  df-we 5526  df-xp 5572  df-rel 5573  df-cnv 5574  df-co 5575  df-dm 5576  df-rn 5577  df-res 5578  df-ima 5579  df-pred 6176  df-ord 6234  df-on 6235  df-lim 6236  df-suc 6237  df-iota 6356  df-fun 6400  df-fn 6401  df-f 6402  df-f1 6403  df-fo 6404  df-f1o 6405  df-fv 6406  df-isom 6407  df-riota 7189  df-om 7664  df-wrecs 8068  df-recs 8129  df-rdg 8167  df-er 8412  df-en 8648  df-dom 8649  df-sdom 8650  df-fin 8651  df-oi 9151  df-har 9198  df-card 9580  df-aleph 9581
This theorem is referenced by:  alephgeom  9721  aleph11  9723  alephexp1  10218
  Copyright terms: Public domain W3C validator