Theorem alephord3 10095

Description: Ordering property of the aleph function. (Contributed by NM, 11-Nov-2003.)

Assertion

Ref	Expression
alephord3	⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ (ℵ‘𝐴) ⊆ (ℵ‘𝐵)))

Proof of Theorem alephord3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		alephord2 10093	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → (𝐵 ∈ 𝐴 ↔ (ℵ‘𝐵) ∈ (ℵ‘𝐴)))
2	1	ancoms 458	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐵 ∈ 𝐴 ↔ (ℵ‘𝐵) ∈ (ℵ‘𝐴)))
3	2	notbid 318	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (¬ 𝐵 ∈ 𝐴 ↔ ¬ (ℵ‘𝐵) ∈ (ℵ‘𝐴)))
4		ontri1 6397	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴))
5		alephon 10086	. . . 4 ⊢ (ℵ‘𝐴) ∈ On
6		alephon 10086	. . . 4 ⊢ (ℵ‘𝐵) ∈ On
7		ontri1 6397	. . . 4 ⊢ (((ℵ‘𝐴) ∈ On ∧ (ℵ‘𝐵) ∈ On) → ((ℵ‘𝐴) ⊆ (ℵ‘𝐵) ↔ ¬ (ℵ‘𝐵) ∈ (ℵ‘𝐴)))
8	5, 6, 7	mp2an 691	. . 3 ⊢ ((ℵ‘𝐴) ⊆ (ℵ‘𝐵) ↔ ¬ (ℵ‘𝐵) ∈ (ℵ‘𝐴))
9	8	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → ((ℵ‘𝐴) ⊆ (ℵ‘𝐵) ↔ ¬ (ℵ‘𝐵) ∈ (ℵ‘𝐴)))
10	3, 4, 9	3bitr4d 311	1 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ (ℵ‘𝐴) ⊆ (ℵ‘𝐵)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∈ wcel 2099   ⊆ wss 3944  Oncon0 6363  ‘cfv 6542  ℵcale 9953

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-inf2 9658

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-om 7865  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-oi 9527  df-har 9574  df-card 9956  df-aleph 9957

This theorem is referenced by:  alephgeom  10099  aleph11  10101  alephexp1  10596  minregex  42936