Theorem alephord3 10052

Description: Ordering property of the aleph function. (Contributed by NM, 11-Nov-2003.)

Assertion

Ref	Expression
alephord3	⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ (ℵ‘𝐴) ⊆ (ℵ‘𝐵)))

Proof of Theorem alephord3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		alephord2 10050	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → (𝐵 ∈ 𝐴 ↔ (ℵ‘𝐵) ∈ (ℵ‘𝐴)))
2	1	ancoms 459	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐵 ∈ 𝐴 ↔ (ℵ‘𝐵) ∈ (ℵ‘𝐴)))
3	2	notbid 317	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (¬ 𝐵 ∈ 𝐴 ↔ ¬ (ℵ‘𝐵) ∈ (ℵ‘𝐴)))
4		ontri1 6384	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴))
5		alephon 10043	. . . 4 ⊢ (ℵ‘𝐴) ∈ On
6		alephon 10043	. . . 4 ⊢ (ℵ‘𝐵) ∈ On
7		ontri1 6384	. . . 4 ⊢ (((ℵ‘𝐴) ∈ On ∧ (ℵ‘𝐵) ∈ On) → ((ℵ‘𝐴) ⊆ (ℵ‘𝐵) ↔ ¬ (ℵ‘𝐵) ∈ (ℵ‘𝐴)))
8	5, 6, 7	mp2an 690	. . 3 ⊢ ((ℵ‘𝐴) ⊆ (ℵ‘𝐵) ↔ ¬ (ℵ‘𝐵) ∈ (ℵ‘𝐴))
9	8	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → ((ℵ‘𝐴) ⊆ (ℵ‘𝐵) ↔ ¬ (ℵ‘𝐵) ∈ (ℵ‘𝐴)))
10	3, 4, 9	3bitr4d 310	1 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ (ℵ‘𝐴) ⊆ (ℵ‘𝐵)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∈ wcel 2106   ⊆ wss 3941  Oncon0 6350  ‘cfv 6529  ℵcale 9910

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7705  ax-inf2 9615

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3430  df-v 3472  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4520  df-pw 4595  df-sn 4620  df-pr 4622  df-op 4626  df-uni 4899  df-int 4941  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-se 5622  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6286  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6531  df-fn 6532  df-f 6533  df-f1 6534  df-fo 6535  df-f1o 6536  df-fv 6537  df-isom 6538  df-riota 7346  df-ov 7393  df-om 7836  df-2nd 7955  df-frecs 8245  df-wrecs 8276  df-recs 8350  df-rdg 8389  df-1o 8445  df-er 8683  df-en 8920  df-dom 8921  df-sdom 8922  df-fin 8923  df-oi 9484  df-har 9531  df-card 9913  df-aleph 9914

This theorem is referenced by:  alephgeom  10056  aleph11  10058  alephexp1  10553  minregex  42042