Theorem alephislim 10000

Description: Every aleph is a limit ordinal. (Contributed by NM, 11-Nov-2003.)

Assertion

Ref	Expression
alephislim	⊢ (𝐴 ∈ On ↔ Lim (ℵ‘𝐴))

Proof of Theorem alephislim

Step	Hyp	Ref	Expression
1		alephgeom 9999	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On ↔ ω ⊆ (ℵ‘𝐴))
2		cardlim 9891	. . 3 ⊢ (ω ⊆ (card‘(ℵ‘𝐴)) ↔ Lim (card‘(ℵ‘𝐴)))
3		alephcard 9987	. . . 4 ⊢ (card‘(ℵ‘𝐴)) = (ℵ‘𝐴)
4	3	sseq2i 3945	. . 3 ⊢ (ω ⊆ (card‘(ℵ‘𝐴)) ↔ ω ⊆ (ℵ‘𝐴))
5		limeq 6325	. . . 4 ⊢ ((card‘(ℵ‘𝐴)) = (ℵ‘𝐴) → (Lim (card‘(ℵ‘𝐴)) ↔ Lim (ℵ‘𝐴)))
6	3, 5	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (Lim (card‘(ℵ‘𝐴)) ↔ Lim (ℵ‘𝐴))
7	2, 4, 6	3bitr3i 303	. 2 ⊢ (ω ⊆ (ℵ‘𝐴) ↔ Lim (ℵ‘𝐴))
8	1, 7	bitri 277	1 ⊢ (𝐴 ∈ On ↔ Lim (ℵ‘𝐴))

Syntax hints:   ↔ wb 208   = wceq 1548   ∈ wcel 2121   ⊆ wss 3884  Oncon0 6313  Lim wlim 6314  ‘cfv 6488  ωcom 7809  cardccrd 9854  ℵcale 9855

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-rep 5201  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7681  ax-inf2 9557

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3725  df-csb 3833  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3904  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4841  df-int 4880  df-iun 4925  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-tr 5182  df-id 5515  df-eprel 5520  df-po 5528  df-so 5529  df-fr 5573  df-se 5574  df-we 5575  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6255  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-isom 6497  df-riota 7316  df-ov 7362  df-om 7810  df-2nd 7934  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-oi 9419  df-har 9466  df-card 9858  df-aleph 9859

This theorem is referenced by:  alephreg  10501  pwcfsdom  10502