Theorem alephislim 10133

Description: Every aleph is a limit ordinal. (Contributed by NM, 11-Nov-2003.)

Assertion

Ref	Expression
alephislim	⊢ (𝐴 ∈ On ↔ Lim (ℵ‘𝐴))

Proof of Theorem alephislim

Step	Hyp	Ref	Expression
1		alephgeom 10132	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On ↔ ω ⊆ (ℵ‘𝐴))
2		cardlim 10024	. . 3 ⊢ (ω ⊆ (card‘(ℵ‘𝐴)) ↔ Lim (card‘(ℵ‘𝐴)))
3		alephcard 10120	. . . 4 ⊢ (card‘(ℵ‘𝐴)) = (ℵ‘𝐴)
4	3	sseq2i 3959	. . 3 ⊢ (ω ⊆ (card‘(ℵ‘𝐴)) ↔ ω ⊆ (ℵ‘𝐴))
5		limeq 6363	. . . 4 ⊢ ((card‘(ℵ‘𝐴)) = (ℵ‘𝐴) → (Lim (card‘(ℵ‘𝐴)) ↔ Lim (ℵ‘𝐴)))
6	3, 5	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (Lim (card‘(ℵ‘𝐴)) ↔ Lim (ℵ‘𝐴))
7	2, 4, 6	3bitr3i 304	. 2 ⊢ (ω ⊆ (ℵ‘𝐴) ↔ Lim (ℵ‘𝐴))
8	1, 7	bitri 278	1 ⊢ (𝐴 ∈ On ↔ Lim (ℵ‘𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3898  Oncon0 6351  Lim wlim 6352  ‘cfv 6527  ωcom 7860  cardccrd 9987  ℵcale 9988

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-inf2 9620

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-se 5601  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6293  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-isom 6536  df-riota 7365  df-ov 7411  df-om 7861  df-2nd 7985  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8454  df-er 8695  df-en 8952  df-dom 8953  df-sdom 8954  df-fin 8955  df-oi 9482  df-har 9529  df-card 9991  df-aleph 9992

This theorem is used by:  alephreg  10638  pwcfsdom  10639