Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  alephsdom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem alephsdom 9501
 Description: If an ordinal is smaller than an initial ordinal, it is strictly dominated by it. (Contributed by Jeff Hankins, 24-Oct-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
alephsdom ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 ∈ (ℵ‘𝐵) ↔ 𝐴 ≺ (ℵ‘𝐵)))

Proof of Theorem alephsdom
StepHypRef Expression
1 simpl 486 . . 3 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → 𝐴 ∈ On)
2 alephon 9484 . . . 4 (ℵ‘𝐵) ∈ On
3 onenon 9366 . . . 4 ((ℵ‘𝐵) ∈ On → (ℵ‘𝐵) ∈ dom card)
42, 3ax-mp 5 . . 3 (ℵ‘𝐵) ∈ dom card
5 cardsdomel 9391 . . 3 ((𝐴 ∈ On ∧ (ℵ‘𝐵) ∈ dom card) → (𝐴 ≺ (ℵ‘𝐵) ↔ 𝐴 ∈ (card‘(ℵ‘𝐵))))
61, 4, 5sylancl 589 . 2 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 ≺ (ℵ‘𝐵) ↔ 𝐴 ∈ (card‘(ℵ‘𝐵))))
7 alephcard 9485 . . 3 (card‘(ℵ‘𝐵)) = (ℵ‘𝐵)
87eleq2i 2905 . 2 (𝐴 ∈ (card‘(ℵ‘𝐵)) ↔ 𝐴 ∈ (ℵ‘𝐵))
96, 8syl6rbb 291 1 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 ∈ (ℵ‘𝐵) ↔ 𝐴 ≺ (ℵ‘𝐵)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5042  dom cdm 5532  Oncon0 6169  ‘cfv 6334   ≺ csdm 8495  cardccrd 9352  ℵcale 9353 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-inf2 9092 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rmo 3138  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4814  df-int 4852  df-iun 4896  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-se 5492  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-isom 6343  df-riota 7098  df-om 7566  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-oi 8962  df-har 9009  df-card 9356  df-aleph 9357 This theorem is referenced by:  alephdom2  9502
 Copyright terms: Public domain W3C validator