Theorem alephsdom 10192

Description: If an ordinal is smaller than an initial ordinal, it is strictly dominated by it. (Contributed by Jeff Hankins, 24-Oct-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
alephsdom	⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 ∈ (ℵ‘𝐵) ↔ 𝐴 ≺ (ℵ‘𝐵)))

Proof of Theorem alephsdom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 488	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → 𝐴 ∈ On)
2		alephon 10175	. . . 4 ⊢ (ℵ‘𝐵) ∈ On
3		onenon 10057	. . . 4 ⊢ ((ℵ‘𝐵) ∈ On → (ℵ‘𝐵) ∈ dom card)
4	2, 3	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (ℵ‘𝐵) ∈ dom card
5		cardsdomel 10082	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ (ℵ‘𝐵) ∈ dom card) → (𝐴 ≺ (ℵ‘𝐵) ↔ 𝐴 ∈ (card‘(ℵ‘𝐵))))
6	1, 4, 5	sylancl 598	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 ≺ (ℵ‘𝐵) ↔ 𝐴 ∈ (card‘(ℵ‘𝐵))))
7		alephcard 10176	. . 3 ⊢ (card‘(ℵ‘𝐵)) = (ℵ‘𝐵)
8	7	eleq2i 2856	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (card‘(ℵ‘𝐵)) ↔ 𝐴 ∈ (ℵ‘𝐵))
9	6, 8	bitr2di 291	1 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 ∈ (ℵ‘𝐵) ↔ 𝐴 ≺ (ℵ‘𝐵)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∈ wcel 2147   class class class wbr 5106  dom cdm 5655  Oncon0 6380  ‘cfv 6558   ≺ csdm 9000  cardccrd 10043  ℵcale 10044

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-inf2 9669

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-isom 6567  df-riota 7400  df-ov 7446  df-om 7902  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-1o 8504  df-er 8745  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-fin 9005  df-oi 9531  df-har 9578  df-card 10047  df-aleph 10048

This theorem is used by:  alephdom2  10193  j0ltaleph  36008  jltaleph  36026