Theorem alephsdom 9842

Description: If an ordinal is smaller than an initial ordinal, it is strictly dominated by it. (Contributed by Jeff Hankins, 24-Oct-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
alephsdom	⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 ∈ (ℵ‘𝐵) ↔ 𝐴 ≺ (ℵ‘𝐵)))

Proof of Theorem alephsdom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 483	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → 𝐴 ∈ On)
2		alephon 9825	. . . 4 ⊢ (ℵ‘𝐵) ∈ On
3		onenon 9707	. . . 4 ⊢ ((ℵ‘𝐵) ∈ On → (ℵ‘𝐵) ∈ dom card)
4	2, 3	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (ℵ‘𝐵) ∈ dom card
5		cardsdomel 9732	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ (ℵ‘𝐵) ∈ dom card) → (𝐴 ≺ (ℵ‘𝐵) ↔ 𝐴 ∈ (card‘(ℵ‘𝐵))))
6	1, 4, 5	sylancl 586	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 ≺ (ℵ‘𝐵) ↔ 𝐴 ∈ (card‘(ℵ‘𝐵))))
7		alephcard 9826	. . 3 ⊢ (card‘(ℵ‘𝐵)) = (ℵ‘𝐵)
8	7	eleq2i 2830	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (card‘(ℵ‘𝐵)) ↔ 𝐴 ∈ (ℵ‘𝐵))
9	6, 8	bitr2di 288	1 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 ∈ (ℵ‘𝐵) ↔ 𝐴 ≺ (ℵ‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5074  dom cdm 5589  Oncon0 6266  ‘cfv 6433   ≺ csdm 8732  cardccrd 9693  ℵcale 9694

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-inf2 9399

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-om 7713  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-oi 9269  df-har 9316  df-card 9697  df-aleph 9698

This theorem is referenced by:  alephdom2  9843