Theorem rnasclg 43126

Description: The set of injected scalars is also interpretable as the span of the identity. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
rnasclg.a	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑊)
rnasclg.o	⊢ 1 = (1r‘𝑊)
rnasclg.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
rnasclg	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑊 ∈ Ring) → ran 𝐴 = (𝑁‘{ 1 }))

Proof of Theorem rnasclg

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rnasclg.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑊)
2		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
3		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
4		eqid 2763	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
5		rnasclg.o	. . . 4 ⊢ 1 = (1r‘𝑊)
6	1, 2, 3, 4, 5	asclfval 21937	. . 3 ⊢ 𝐴 = (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ↦ (𝑦( ·𝑠 ‘𝑊) 1 ))
7	6	rnmpt 5934	. 2 ⊢ ran 𝐴 = {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑥 = (𝑦( ·𝑠 ‘𝑊) 1 )}
8		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
9	8, 5	ringidcl 20325	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ Ring → 1 ∈ (Base‘𝑊))
10		rnasclg.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
11	2, 3, 8, 4, 10	lspsn 21076	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 1 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝑁‘{ 1 }) = {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑥 = (𝑦( ·𝑠 ‘𝑊) 1 )})
12	9, 11	sylan2 602	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑊 ∈ Ring) → (𝑁‘{ 1 }) = {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑥 = (𝑦( ·𝑠 ‘𝑊) 1 )})
13	7, 12	eqtr4id 2817	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑊 ∈ Ring) → ran 𝐴 = (𝑁‘{ 1 }))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1561   ∈ wcel 2143  {cab 2741  ∃wrex 3087  {csn 4583  ran crn 5649  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396  Basecbs 17255  Scalarcsca 17299   ·_𝑠 cvsca 17300  1_rcur 20241  Ringcrg 20293  LModclmod 20934  LSpanclspn 21045  algSccascl 21911

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1816  ax-4 1830  ax-5 1931  ax-6 1988  ax-7 2029  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5228  ax-sep 5247  ax-nul 5257  ax-pow 5323  ax-pr 5391  ax-un 7718  ax-cnex 11140  ax-resscn 11141  ax-1cn 11142  ax-icn 11143  ax-addcl 11144  ax-addrcl 11145  ax-mulcl 11146  ax-mulrcl 11147  ax-mulcom 11148  ax-addass 11149  ax-mulass 11150  ax-distr 11151  ax-i2m1 11152  ax-1ne0 11153  ax-1rid 11154  ax-rnegex 11155  ax-rrecex 11156  ax-cnre 11157  ax-pre-lttri 11158  ax-pre-lttrn 11159  ax-pre-ltadd 11160  ax-pre-mulgt0 11161

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1564  df-fal 1574  df-ex 1801  df-nf 1805  df-sb 2092  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5102  df-opab 5164  df-mpt 5183  df-tr 5209  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-er 8678  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-pnf 11229  df-mnf 11230  df-xr 11231  df-ltxr 11232  df-le 11233  df-sub 11427  df-neg 11428  df-nn 12221  df-2 12290  df-sets 17210  df-slot 17228  df-ndx 17240  df-base 17256  df-plusg 17309  df-0g 17480  df-mgm 18684  df-sgrp 18763  df-mnd 18779  df-grp 18988  df-minusg 18989  df-sbg 18990  df-mgp 20197  df-ur 20242  df-ring 20295  df-lmod 20936  df-lss 21006  df-lsp 21046  df-ascl 21914

This theorem is referenced by: (None)