Theorem rnasclg 39208

Description: The set of injected scalars is also interpretable as the span of the identity. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
rnasclg.a	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑊)
rnasclg.o	⊢ 1 = (1r‘𝑊)
rnasclg.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
rnasclg	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑊 ∈ Ring) → ran 𝐴 = (𝑁‘{ 1 }))

Proof of Theorem rnasclg

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2820	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
2		rnasclg.o	. . . 4 ⊢ 1 = (1r‘𝑊)
3	1, 2	ringidcl 19311	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ Ring → 1 ∈ (Base‘𝑊))
4		eqid 2820	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
5		eqid 2820	. . . 4 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
6		eqid 2820	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
7		rnasclg.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
8	4, 5, 1, 6, 7	lspsn 19767	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 1 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝑁‘{ 1 }) = {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑥 = (𝑦( ·𝑠 ‘𝑊) 1 )})
9	3, 8	sylan2 594	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑊 ∈ Ring) → (𝑁‘{ 1 }) = {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑥 = (𝑦( ·𝑠 ‘𝑊) 1 )})
10		rnasclg.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑊)
11	10, 4, 5, 6, 2	asclfval 20101	. . 3 ⊢ 𝐴 = (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ↦ (𝑦( ·𝑠 ‘𝑊) 1 ))
12	11	rnmpt 5820	. 2 ⊢ ran 𝐴 = {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑥 = (𝑦( ·𝑠 ‘𝑊) 1 )}
13	9, 12	syl6reqr 2874	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑊 ∈ Ring) → ran 𝐴 = (𝑁‘{ 1 }))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1536   ∈ wcel 2113  {cab 2798  ∃wrex 3138  {csn 4560  ran crn 5549  ‘cfv 6348  (class class class)co 7149  Basecbs 16476  Scalarcsca 16561   ·_𝑠 cvsca 16562  1_rcur 19244  Ringcrg 19290  LModclmod 19627  LSpanclspn 19736  algSccascl 20077

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2792  ax-rep 5183  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5323  ax-un 7454  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2892  df-nfc 2962  df-ne 3016  df-nel 3123  df-ral 3142  df-rex 3143  df-reu 3144  df-rmo 3145  df-rab 3146  df-v 3493  df-sbc 3769  df-csb 3877  df-dif 3932  df-un 3934  df-in 3936  df-ss 3945  df-pss 3947  df-nul 4285  df-if 4461  df-pw 4534  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-uni 4832  df-int 4870  df-iun 4914  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-tr 5166  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-om 7574  df-1st 7682  df-2nd 7683  df-wrecs 7940  df-recs 8001  df-rdg 8039  df-er 8282  df-en 8503  df-dom 8504  df-sdom 8505  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-nn 11632  df-2 11694  df-ndx 16479  df-slot 16480  df-base 16482  df-sets 16483  df-plusg 16571  df-0g 16708  df-mgm 17845  df-sgrp 17894  df-mnd 17905  df-grp 18099  df-minusg 18100  df-sbg 18101  df-mgp 19233  df-ur 19245  df-ring 19292  df-lmod 19629  df-lss 19697  df-lsp 19737  df-ascl 20080

This theorem is referenced by: (None)